Chuyên đề Giá trị tuyệt đối

A. nhứng kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối
I. Các định nghĩa
1. 1. Định nghĩa 1
Giá trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ
f: R
R+
a
a
với mỗi giá trị a R có một và chỉ một giá trị f(a) = a R+
1.2. Định nghĩa 2
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu a là:
a nếu a 0
a =
-a nếu a < 0
15 = 15
32 = 32
0 =0
Ví dụ1:
1 = 1

17 = 17

*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), kí hiệu A(x) là:
A(x) nếu A(x) 0
A(x) =
-A(x) nếu A(x) < 0
Ví dụ 2:
2x - 1 nếu 2x- 1 0
2x 1 =

2x - 1 nếu x

1
2

1 - 2x nếu x <

1
2

=
-(2x - 1) nếu 2x - 1 < 0

1.3. Định nghĩa 3:
Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là a , là số đo( theo đơn vị dài đợc dùng để lập
trục số) của khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc 0 trên trục số ( hình 1).
-a

0
-a

a
a
Hình 1

Ví dụ 1:
3

a =3 a=
3
Do đó đẳng thức đã cho đợc nghiệm đúng bởi hai số tơng ứng với hai điểm trên trục số

( hình 2)
-3

0

Hình 2

3


a = b

b
b
a= ; a = b a=
b
b
b > 0

Tổng quát:
Ví dụ 2:

a 3 nếu a 0

a 3

0 a 3


-3 a 3

-a 3 nếu a < 0
-3 a < 0
Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn [ 3;3] và trên trục sôd
thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [ 3;3] ( hình 3)
-3

0

3
Hình 3

Ví dụ 3:

a 3 nếu a 0

a 3

a 3 nếu a 0



3 a hoặc a 3

-a 3 nếu a < 0
a -3 v nếu a < 0
Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa đoạn (- ; 3] và [3; +
) và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai nửa đoạn tơng ứng với các khoảng số đó.
(hình 4)
-3

0

3
Hình 4

a b
Tổng quát: a b
a b
bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a = a
b) a < a
c) a > a
d) a = -a

e) a a
f) a + a = 0
g) a + b = b
Bài 2:Tìm các ví dụ chứng tỏ các khẳng định sau đây không đúng:
a) a Z a > 0
b) a Q a > a
c) a, b Z, a = b a = b
d) a, b Q, a > b a > b
Bài 3: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng
a) a = b a = b
b) a > b a > b
Bài 4: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau, sau đó biểu diễn các số tìm
đợc lên trục số:
a) a 1

b) a 3
c) a - 6 = 5
d) 1 < a 3
Bài 5:
a) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho x < 50
b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho x + y = 5
2


( Các cặp số nguyên (1, 2) và (2,1)là hai cặp khác nhau)
c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho x + y < 4
II - một số tính chất về giá trị tuyệt đối
a 0 a
2.1. Tính chất 1:
2.2. Tính chất 2: a = 0 a = 0
2.3. Tính chất 3: - a a a
2.4 Tính chất 4: a = a
Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối ngời ta rễ thấy đợc các tính chất 1, 2, 3, 4.
2.5. Tính chất 5: a + b a + b
Thật vậy: - a a a ; - b a b -( a + b ) a + b a + b
2.6. Tính chất 6:
a - b a b a + b
Thật vậy: a = a b + b a b + b a b a b

(1)

a b = a + ( b) a + b = a + b a b a + b
Từ (1) và (2) đpcm.

(2)

2.7. Tính chất 7:
a b a b

Thật vậy: a b a b

(1)

b a b a = (b a ) = a b ( a b ) a b
a b
ab =
(3)
( a b )
Từ (1), (2) và (3) a b a b

(2)

(4)

a b a b a ( b) a + b a b a + b

Từ (4) và (5) đpcm.
2.8. Tính chất 8:
a.b = a . b

Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b 0 hay a 0, b= 0
(1)
a.b = a . b
a > 0 và b > 0 a = a, b = b và a.b > 0
a.b = a.b = a . b a.b = a . b (2)

a < 0 và b < 0 a = -a, b = -b và a.b > 0
a.b = a.b = ( a )(b) = a . b a.b = a . b

(3)

a > 0 và b < 0 a = a, b = -b và a.b < 0
a.b = a.b = a.(b) = a . b a.b = a . b

(4)

Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm.
2.9. Tính chất 9:
a
a
= (b 0)
b
b

3

(5)


Thật vậy: a = 0

a
a
a
= 0 = 0 (1)
b

b
b

a > 0 và b > 0 a = a, b = b và

a
a a a
>0 = =
b
b b b

a
a a a a
>0 = =
=
b
b b b b

(3)

a
a
a
a
a
<0 = =
=
b
b
b b b

(4)

a < 0 và b < 0 a = -a, b = -b và
a > 0 và b < 0 a = a, b = -b và

(2)

Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm.
bài tập tự luyện
Bài 6:
Điền vào chỗ trống các dấu , , = để khẳng đinh sau đúng a, b
a) a + b ... a + b
b) a b ... a - b với a b
c) a.b ........... a . b
d)

a
a
=
b
b

Bài 7:
Tìm các số a, b thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a + b = a + b
b) a + b = a - b
Bài 8:
Cho a c < 3 , b c < 2 Chứng minh rằng a b < 5
Bài 9:

Rút gọn biểu thức:
a) a +a
b) a - a
c) a .a

d) a : a

e) 3( x 1) 2 x + 3

f) 2 x 3 (4 x 1)
B. các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong chơng trình THCS
chủ đề i: giải phơng trình và hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. các kiến thức cần lu ý
1.1
A(x) nếu A(x) 0
A(x ) =
( A(x) là biểu thức đại số)
-A(x) nếu A(x) < 0
1.2. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a 0)
Nhị thức bậc nhất ax + b (a 0) sẽ:
+ Cùng dấu với a với các giá trị của nhị thức lớn hơn nghiệm của nhị thức.
+ Trái dấu với a với các giá trị của nhị thức nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
Giả sử x0 là nghiệm của nhị thức ax + b khi đó:
+ Nhị thức cùng dấu với a x > x0
+ Nhị thức trái dấu với a x < x0
1.3. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a 0)
- Nếu < 0, thì f(x) cùng dấu với a x
4

- Nếu 0 thì:
+ f(x) cùng dấu với a x nằm ngoài khoảng hai nghiệm
+ f(x) trái dấu với a x nằm trong khoảng hai nghiệm
Hay
- Nếu < 0 a.f(x) > 0 x
- Nếu 0 f(x) có hai nghiệm x1 x2
nếu x1 < x < x2 a.f(x) < 0
nếu x x1 hoặc x x2 a.f(x) > 0
Nhận xét: Giả trị tuyệt đối của một biểu thức banừg chính nó( nếu biểu thức không âm) hoặc
bằng biểu thức đối của nó( nếu biểu thức âm). Vì thế khi khử dấu giá tị tuyệt đối của một
biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối của biến làm cho biểu thức dơng hay âm( dựa vào định lí
về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc định lí về dấu của tam thức bậc hai). Dấu của biểu thức
thờng đợc viết trong bảng xét dấu.
II. các bài tập điển hình
2.1 Rút gọn biểu thức A = 2(3x - 1) - x 3
Thật vậy:
+ Với ( x - 3) 0 hay x 3 thì x 3 = x - 3
+ Với ( x- 3) < 0 hay x < 3 thì x 3 = -(x - 3) = 3 - x
ta xét hai trờng hợp ứng với hai khoảng của biến x
+ Nếu x 3 thì A = 2(3x - 1) - x 3
= 2(3x - 1) - (x - 3)
= 6x - 2 - x + 3
= 5x + 1
+ Nếu x < 3 thì A = 2(3x - 1) - x 3
= 2(3x - 1) - (3 - x)
= 6x - 2 - 3 + x
= 7x - 5
2.2 Rút gọn biểu thức B = x 1 - x 5
Thật vậy

Với x-1 0 hay x 1thì x 1 =x-1
Với x-1<0 hay x<1thì x 1 = -(x-1)=1-x
Với x-5 0 hay x 5 thì x 5 = x+5
Với x-5<0 hay x<5 thì x 5 =-(x-5) =5-x
áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc bậc nhất ta có bảng xét dấu sau:
X
1
5
x-1
- 0
+
+
x-5
0
+
Từ bảng xét dấu ta xét ba trờng hợp ứng với ba khoảng của biến x
Nếu x<1 thì B = x 1 - x 5
=1-x-( 5-x)
=1-x-5+x
=-4
Nếu 1 x<5 thì B = x 1 - x 5
=(x-1)-(5-x)
=x-1-5+x
5


=2x-6
Nếu x 5 thì B = x 1 - x 5
=(x-1)-(x-5)
=x-1-x+5 = 4

2.2 Rút gọn biểu thức B = /x2 - 4x + 3/-5
Thật vậy: Xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 4x + 3
f(x) có ' = 4 -3 = 1 > 0
x1 = 1; x2 = 3
Với 1 < x < 3 1.f(x) < 0 f(x) < 0
Với x 1 hoặc x 3 4f(x) > 0 f(x) > 0
Vậy ta xét hai trờng hợp ứng với ba khoảng của biến
Với 1 < x < 3 thì B = -(x2 - 4x + 3) - 5
= - x2 + 4x - 3 - 5
= - x2 + 4x - 8
Với x 1 hoặc x 3 thì B = ( x2 - 4x + 3) - 5
= x2 - 4x + 3 - 5
= x2 - 4x - 2
2.3. Giải phơng trình x 1 + x 2 = 3x + 1
Thật vậy:
áp dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất và lập bảng, ta xét 3 trờng hợp ứng với 3 khoảng.
+ Nếu x < 1 ta đợc phơng trình: 1 - x + 2 - x = 3x + 1
3 - 2x = 3x + 1
5x = 2
x = 2/5 < 1 ( là nghiệm)
+ Nếu 1 x < 2 ta đợc phơng trình: x -1 + ( 2 - x) = 3x + 1
x = 0 [1, 2] ( không là nghiệm)
+ Nếu x 2 ta đựoc phơng trình: x - 1 + x - 2 = 3x + 1
x = - 4 < 2 ( không là nghiệm)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2/5
2.4. Giải phơng trình x 2 1 = 5
Thật vậy:
áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
x 2 1 = 5(1)
x 2 1 = 5

x 2 1 = 5(2)
x 2 = 6(1' )

Giải 1: x 2 1 = 5 x 2 = 6

x 2 = 6(2' )

Giải 1': x 2 = 6 x = 8 x = 8 ( là nghiệm)
Giải 2': x 2 = 6 x = 4 x không có giá trị
Giải 2: x 2 1 = 5 x 2 = 4 ( không có nghĩa)
Vậy phơng trình có hai ngiệm: x = 8 hoặc x = -8
2.5 Giải hệ phơng trình

x y = 1

x y + y 2 = 3

Thật vậy:
6


Phơng trình thứ nhất đa đến tập hợp hai phơng trình:
x y = 1
y = x 1(1)
x y = 1 hay y = x + 1( 2)



Việc phân tích phơng trình thứ hai đa đến tập hợp 4 phơng trình theo các khoảng xác định.
Theo dạng của phơng trình thứ 2 ta thấy dễ dàng là x 1 3 và y 2 3 , từ đó - 2 x 4 và

-1 y 5
Với - 2 x 1 ta có:
Với -1 y 2, 1 - x + 2 - y = 3 hay là x + y = 0 (I)
Với 2 y 5, 1 - x + y - 2 = 3 hay là y - x = 4 (II)
Với 1 x 4 ta có :
Với -1 y 2, x -1 + 2 - y = 3 hay là x - y = 2 (III)
Với 2 y 5, x -1 + y - 2 = 3 hay là x + y = 6 (IV)
Giải 8 hệ phơng trình bậc nhất:
x y = 1
1
1
x = ; y = , đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.
2
2
x + y = 0
x y = 1
Hệ (1; II)
không có nghiệm
y x = 4
x y = 1
Hệ (1; III)
không có nghiệm
x y = 2
x y = 1
7
5
x = ; y = đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.
Hệ (1; IV)
2
2

x + y = 6
x y = 1
1
1
x = ; y = đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.
Hệ (2; I)
2
2
x + y = 0
x y = 1
Hệ (2; II)
không có nghiệm
y x = 4
x y = 1
Hệ (2; III)
không có nghiệm
x y = 2
x y = 1
5
7
x = ; y = , đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.
Hệ (2; IV)
2
2
x + y = 6

Hệ (1; I)

Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:
x1 = 1/2; y1 = -1/2

x2 = 7/2; y2 = 5/2
x3 = -1/2; y3 = 1/2
x4 = 5/2; y4 = 7/2

Bài tập luyện tập
Bài 10: Tìm x trong các biểu thức
a) 2 x 3 = 5
b) 5 x 3 x = 7
c) x 1 + 3x = 1
d) x 1 + x 2 = 1
Bài 11: Tìm x trong các biểu thức
a) x 1 1 = 2
2
b) x 3 = ( x 3)

e)
f)
g)
h)

2x 1 = 2x + 3
x +1 2 x 1 x = 0
x 3 x + 3 x = 1
x +1 2 x = 3

e) x + 2 3 = 1
2
2
f) x 3x + 2 = 3x x 2

7


c) x = 1 + x 1 = 2
d) x + 2 + x + x 2 = 4

2
g) x 1 = x
h) 4 x 1 2 x 3 + x 2 = 0

Bài 12: với giá trị nào của a, b ta có đẳng thức:
a (b 2) = a (2 b)

Bài 13: Tìm các số a, b sao cho: a + b = a b
Bài 14: Giải các hệ phơng trình sau
x + y = 2
x + y = 3

c)

3 x + 5 y + 9 = 0
2 x y 7 = 0

x y = 2
x + y = 4

d)

a)

x + 3 + y + 1 = 4
x 1 + y 3 = 5

b)

2
2
Bài 15: Giải phơng tình sau: x x + 1 + x x 2 = 3
Bài 16: Tìm x
2 x + a x 2a = 3a ( a là hằng số)

chủ đề II: giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. các kiến thức cần lu ý
1.1. Các phép biến đổi bất đẳng thức
a b a + c b + c
a b a.c b.c ( c > 0 )
a b a.c b.c ( c < 0 )
1.2 Các dạng cơ bản của bất phơng trình
+Dạng 1: f ( x) a -a f(x) a
a: số thực không âm
f(x): hàm số một đối số
+Dạng 2: f (x) a f(x) a hoặc f(x) -a
f ( x) g ( x)

a: số thực không âm
f(x):hàm số một đối số

+Dạng 3: f (x) g(x)
f(x), g(x): hàm số một đối số
f ( x) g ( x)

+Dạng 4: f (x) g(x) -g(x) f(x) g(x)
f(x), g(x): hàm số một đối số
+Dạng 5: f (x) g (x) [f(x)]2 = [g(x)]2
f(x), g(x): hàm số một đối số
8


II. bài tập điển hình
2x 5 7
2.1 Giải bất phơng trình:
Thật vậy:
2 x 5 7 -7 2x - 5 7 -2 2x 12 -1 x 6

2.2 Giải bất phơng trình:
Thật vậy:

3 x 5 10

3 x 5 10
3 x 5 10

3 x 5 10

Vậy x 5 hoặc x -

x 5
3 x 15

3 x 5 x 5

3


5
3

2.3 Giải bất phơng trình: x 2 2 x 2 1
Thật vậy:
x 2 2 x 2 1 1 x 2 2 x 2 1 x2-2x-2 1 và x2-2x-2 -1
Từ x 2 2 x 2 1 x 2 2 x 3 0
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai -1 x 3
Từ x 2 2 x 2 1 x 2 2 x 1 0
x 1 2

Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai

x 1 + 2

Kết hợp lại ta đợc các nghiệm của hệ là:
1 x 1 2 ;
1+ 2 x 3
2.4 Giải bất phơng trình:

x+2
2
x 1

Thật vậy: TXĐ: x 1
x+2
x 1 2

x+2
Cách 1:
2
x 1
x + 2 2
x 1
x+2
x+2
4x
2
20
0 1 x 4
+ Với
x 1
x 1
x 1
x+2
x+2
3x
< 2
+2<0
< 0 0 < x <1
+ Với
x 1
x 1
x 1
Vậy bất phơng trình có ngiệm: 1 x 4; 0 < x < 1

Cách 2:
Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:

x+2
x+2
>2
> 2 x + 2 > 2 x 1
x 1
x 1
x + 2 2 x 1 > 0

9


áp dụng định lí và dấu của nhị thức, ta xét 3 trờng hợp:
+ Nếu x -2 thì - x- 2 -2(1 - x) > 0 x > 4 > -2 ( không là nghiệm)
+ Nếu -2 x < 1 thì x + 2 - 2(1 - x) > 0 3x > 0 x > 0
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 0 < x < 1
+ Nếu x > 1 thì x + 2 - 2(x - 1) > 0 x < 4
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 1 < x < 4
Vậy bất phơng trình có ngiệm: 1 x 4; 0 < x < 1
Cách 3:
Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:
x+2
x+2
>2
> 2 x + 2 > 2 x 1
x 1
x 1
(x + 2)2 > 4(x - 1)2
x2 4x + 4 > 4(x2 - 2x + 1)
3x2 - 12x < 0
3x( x - 4) < 0

0Kết hợp với TXĐ 1 < x < 4;
0
III Bài tập luyện tập
Bài 17: Tìm x trong các bất đẳng thức
a) 2 x 1 5
b) 2 x 3 4 x < 9
c) 2 x 3 7
d) 3x 2 + 5 x > 10
Bài 18: Tìm x trong các bất đẳng thức
a) 3x 2 < 4
b) 3 2 x < x + 1
c) 3x 1 > 5
3
d) x + 1 x + 1
Bài 19: Tìm x trong các bất đẳng thức
a) x + 1 > x 3
b) x 1 > x + 2 3
c) x + 1 + x 5 > 8
d) x 3 + x + 1 < 8
e) x 2 x 0
f) 2 x + 5 3x 7 0
Bài 20: Tìm x trong các bất đẳng thức
x2 1
<1
a)
x+2
2x 5
2

x2 1
c) x + 3 + x 1 + x 3 < 10

b)

d) x 1 + x 4 + x + 7 < 8
10


2
e) x + 2 x 5 + 1 < 8
2
f) 2 x 5 x 3 < x + 3

Chủ đề III: đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
I. Đồ thị hàm số y = f(|x|)
1.1. Kiến thức cần lu ý:
Ta thấy f( x ) = f( x ) .Do đó hàm số y = f( x )là hàm chẵn nên đồ thị của hàm số đối
xứng qua trục Oy
Cách dựng :
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) đối với x > 0
- Dựng phần đò thị bên trái đối xứng với trục bên phải qua Oy
1.2 Ví dụ:
Dựng đồ thị hàm số y = 2|x| - 2
Thật vậy:
Đồ thị của hàm số y = 2x - 2
với x = 1 y = 0 (1, 0) thuộc đồ thị
với x = 0 y = -2 ( 0, -2) thuộc đồ thị
y

-1

O

x
1

-2
Hình 6
Phần đồ thị in đậm( Hình 6) là đồ thị hàm số y = 2|x| - 2

II. đồ thị hàm số y = |f(x)|
2.1 Kiến thức càn lu ý
Nhận xét
11


f(x) với f(x) 0
y=
-f(x) với f(x) < 0
Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x)
- Phần đồ thị nằm ở dới mặt phẳng Ox nghĩa là ở đấy f(x) < 0 ta dựng phần đồ thị đối
xứng với phần đồ thị đó qua Ox.
* Chú ý: Đồ thị hàm số y = |f(x)| + k đợc xem nh đồ thị hàm số
y = |f(x)|tịnh tiến theo đờng thẳng đứng một đoạn bằn k ( k là số thực)


2.2 Ví dụ:

Dựng đồ thị hàm số y = |x - 2|
Đồ thị hàm số y = x - 2
x = 0 y = -2 ( 0, -2) thuộc đồ thị hàm số
x = 1 y = -1 (1, -1) thuộc đồ thị hàm số
y

O

x

1

-1
-2
Hình 7
Phần đồ thị in đậm ( hình 7) là đồ thị hàm số y = |x - 2|

III. đồ thị của hàm số y = |f(|x|)|
3.1 Kiến thức cần lu ý
Ta có:
f(|x|) với f(|x|)



0

y = |f(|x|)|=


- f(|x|) với f(|x|) < 0

Cách dựng
a) Dựng đồ thị hàm số y = |f(|x|)|
+ Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với x > 0
+ Dựng phần đồ thị bên trái đối xứng với phần bên phải qua Oy
b) Phần đồ thị nằm ở mặt phẳng dới Ox nghiã là ở đấy f(|x|) < 0
xứng với phần đồ thị đó qua trục Ox.
12

ta

dựng phần đồ thị đối


( Hay biến đổi các phần của đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng dới nên nửa mặt phẳng trên
đối xứng qua trục Ox)
3.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y = |1 - |x||
Thật vậy:
Đồ thị hàm số y = 1- x
x = 1 y = 0 ( 1, 0 ) thuộc đồ thị hàm số
x = 0 y = 1 ( 0, 1) thuộc đò thị hàm số
Đồ thị hàm số
y = 1 - x với x 0

Đồ thị hàm số
y = 1 - |x|

O

y

y

y

1

Đồ thịi hàm số
y = |1 - |x||

1

x

-1

O

x

1

-1 O

a)

b)
Hình 8
Phần đồ thị in đậm trong phần b ( hình 8) là đồ thị hàm số
y = |1 - |x||

1
c)

IV. Đồ thị của |y| = f(x) với f(x) 0
4.1 Kiến thức cần lu ý
Ta có: y = f(x) với f(x) 0
Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với f(x) 0
( Phần đồ thị của hàm số y = f(x) phía trên trục hoành )
- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đẫ thu đợc qua trục Ox.
4. 2 Ví dụ
Dựng đồ thị hàm số

|y| =

Thật vậy:
Đồ thị hàm số y =

1
x +1
2

1
x +1
2

x = 0 y = 1 ( 0; 1) thuộc đồ thị
x = -2 y = 0 ( -2; 0) thuộc đồ thị

-1
-2

O
-1

Hình 9
13

x


Phần đồ thị in đậm ( hình 9 ) là đồ thị hàm số |y| =

1
x +1
2

V. Đồ thị của hàm số |y| = |f(x)|
5.1 Kiến thức cần lu ý:
Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối, ta có: y = |f(x)|
Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y =|f(x)|( hoàn toàn nằm ở nửa mặt phẳng trên)
- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị thu đợc ở trên qua trục Ox.
5.2 Ví dụ:
1. Dựng đồ thị hàm số|y| = |x - 3|
Thật vậy:
Đồ thị hàm số y = x - 3
x = 0 y = -3 ( 0; -3) thuộc đồ thị
x = 3 y = 0 ( 3; 0) thuộc đồ thị

Đồ thị hàm số
y = 1- x với 0

Đồ thị hàm số
y = 1- |x|

y

y

y
x

O

x

3

O

a)

Đồ thị hàm số
y = |1- |x||

3

b)
Hình 10

x
O

3

c)

Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 10) là đồ thị hàm số
|y| = |x - 3|
VI. mở rộng
Đối với mỗi dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối đều có một cách dựng riêng tơng ứng với nó.
Tuy nhiên trong thực tế có thể có các hàm số giá trị tuyệt đối không chỉ ở một dạng nêu trên
mà nó là sự kết hợp của nhiều dạng khác nhau. Đối với trờng hợp này chúng ta có thể dựng
hàm số đó bằng cách kết hợp nhiều cách dựng nêu trên, ngoài ra ta còn có thể dựng hàm số
đó bằn cách dựng chung. Cách dựng này có thể áp dụng cho tất cả các dạng đồ thị hàm số
giá trị tuyệt đối.
Cách dựng chung
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét theo từng khoảng của biến ( xem chủ đề 1)
- Mỗi khoảng ta đều thu đợc một hàm tơng ứng Dựng đồ thị theo từng khoảng đang xét.
Ví dụ 1: Dựng đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 3|
Thật vậy:
Xét theo từng khoảng của biến x ta thu đợc:
14


4 - 2x nếu x 1
y=
2
nếu 1 x 3

2x - 4
nếu x 3
Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số
y = 4- 2x với x 1
y = 2 với 1 x 3

Đồ thị hàm số
y = 2x - 4 với x 3

y

y

y

4

4

4

2

2

2

x
O

x
O

1

a)

1

x
O

3

b)

1

3

c)
Hình 11

Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 11) là đồ thị hàm số
y = |x - 1| + |x - 3|
Ví dụ 2. Dựng đồ thị hàm số y = ||x| - 2|
Thật vậy:
-2 - x nếu x -2
Với x 0,

y = |-2 - x| =
x + 2 nếu x -2

-2 - x nếu x -2
y=
x + 2 nếu 0 x -2
x - 2 nếu x 2
Với x 0, y = |x - 2| =
2 - x nếu x 2
x - 2 nếu x 2
y =
2 - x nếu 0 x 2
Việc dựng đồ thị đợc thực hiện trong 4 khoảng
-2 - x nếu x -2
x + 2 nếu -2 < x 0
y=
2 - x nếu 0 < x 2
x - 2 nếu x > 2
y

ĐTHS y= -2 -x
x -2
-2

O

y

y

y

ĐTHS y= x + 2
-2 < x 0

ĐTHS y = 2 - x
0
ĐTHS y = x - 2
x>2

x
-2

O

x

15
-2 O 2

x

x
-2 O 2


a)

b)

c)

d)

Hình 12
Phần đồ thị in đậm trong phần d) (hình 12) là đồ thị hàm số:
y = ||x| - 2|
VIII.bài tập luyện tập
Bài 21. Dựng đồ thị của các hàm số
a) y =

1
x 2
3

b) y = 3 - 1.5|x|

Bài 22. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) y = 2|x - 3|
b) y = |x + 2| + 1
Bài 23. Dựng đồ thị của các hàm số sau:

c) Y = -|X - 1|

1

b) y = 1 x
Bài 24. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) |y| = 1 - x
b) |y - 1| = x

Bài 25. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) |y| = |x|
b) |y - 2| = |x|
a) y = |2|x| - 3|

c) y = 1 - |x|

c) |y| = x2 + 1
c) |y - 1| = |x - 2|

chủ đề IV: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. các kiến thức cần lu ý:

Cho A, B là các biểu thức đại số.
1.1 |A| 0 ( Đẳng thức xẩy ra khi A = 0 )
1.2 |A + B| |A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B 0 )
1.3 |A - B| |A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B 0 )
1.4 |A - B| |A| - |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B 0 )
1.5 ||A| - |B|| |A + B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B 0 )
1.5 ||A| - |B|| |A - B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B 0 )

II. Các bài tập điển hình
2.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2|3x - 1| - 4
Thật vậy:
16


Ta có: |3x - 1| 0 x
2|3x - 1|- 4 -4 x
GTNN của B = -4 3x - 1 = 0

x = 1/3
6

2.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x 3 với x Z
Thật vậy:
Xét |x| > 3 C > 0 |x| > 3
Xét |x| < 3 thì do x Z |x| = { 0; 1; 2}
Nếu |x| = 0 C = -2
Nếu |x| = 1 C = -3
Nếu |x| = 2 C = -6
GTNN của C = -6 |x| = 2 x = 2
2.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = |x - 2| + |x - 3|
Thật vậy:
Cách 1: áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và lập bảng
* Xét x < 2 thì D = 2 - x + 3 - x = 5 - 2x
Do x < 2 nên -2x > -4 D > 1 (1)
* Xét 2 x 3 thì D = x - 2 + 3 - x = 1 (2)
* Xét x > 3 thì D = x - 2 + x - 3 = 2x - 5
Do x > 3 nên 2x > 6 D > 1 (3)
So sánh (1), (2), (3) ta đợc minD = 1 2 x 3
Cách 2:
Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|= |x - 2| + |3 - x| |x - 2 + 3 - x| = 1
Do đó minD = 1 (x - 2)(3 - x) 0 2 x 3
Cách 3:
Ta có: D = |x - 2| + |x - 3| | (x - 2) - (x - 3)| |x - 2 + 3 - x| = 1
Do đó minD = 1 (x - 2)(3 - x) 0 2 x 3
2.4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E = ||x - 1|- |x - 5||
Thật vậy:
Cách 1:
Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5|| |(x - 1)- (x - 5)|= |x -1 +5 - x| = 4

Do đó max E = 4 (x - 1)(x + 5) 0 5 x hoặc x 1
Cách 2:
Ta có:
E = ||x - 1|- |x - 5|| = ||x - 1| + | 5 - x|| |x -1 +5 - x| = 4
Do đó max E = 4 khi (x - 1)(5 - x) 0 5 x hoặc x 1
III. bài tập luyện tập
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A = 5 - |2x - 1|
1

b) B = x 2 + 3
c) C =

x+2
với x Z
x

17

( chủ đề I), ta có:


Bài 27: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a) A = 2|3x - 2| - 1
b) B = x2 + 3|x - 2| - 1
c) C = |x + 2|+ |x + 3|
d) D = |2x - 1|+ | 2x + 4|
e) E = |x2 - x - 1|+ |x2 - x - 2|
f) F = (0,5x2 + x)2 - 3|0,5x2 + x|
Bài 28: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = ||x - 2|- |x + 3||

c. Đáp án
Bài 1:
a) a > 0; b) không tồn tại;
c) d) a < 0;
e) a > 0; f) a < 0; g) a = -5; h) a = 0
Bài 2:
a) a = 0; b) a = 2; c) a = 1, b = -1; d) a = - 5, b = -2
Bài 3:
a) a, b cùng dấu hoặc cùng bằng 0
b) b = 0 hoặc a, b cùng dơng
Bài 4:
a) -1 a 1; b) a 3 hoặc a -3; c) a = 11; d) -3 a < -1; 1 < a 3
Bài 5:
a) 99 số; b) 20 cặp số
Bài 6:
a) ; b) ; c) =; d) =
Bài 7:
a) Cách 1:
Xét hai trờng hợp:
Nếu b 0 thì a + b = |a| + b a = |a| a 0
Nếu b < 0 thì a + b = |a| - b |a| - a = 2b VT 0, VP < 0 đăng thức không xẩy ra a
0, b 0 là các giá trị thoả mãn
Cách 2:
Ta có a |a|, b |b|. Do đó a + b = |a| + |b| a 0, b 0
b) Tơng tự b 0, a 0 hoặc b < 0, a = -b
Bài 8: |a - b| = |(a + c) + (c - b)| |a - c| + |c - b| = 3 + 2 = 5
Bài 9:
a) BT = 2a với a 0; BT = 0 với a < 0
b) BT = 0 với a 0, BT = -2a với a < 0

c) BT = a2 với a 0, BT = - a2 với a < 0
d) BT = 1 với a > 0, BT = -1 với a < 0
18


e) BT = x - 9 víi x ≥ - 3, BT = 5x + 3 víi x < - 3
f) BT = 2x + 5 víi x < 1/4, BT = -6x + 7 víi 1/4 ≤ x < 3, BT = -2x - 5 víi x ≥ 3
Bµi 10:
a) x1 = 4, x2 = -1; b) x = -1/2
c) x1 = 5/2, x2 = -2/3
d) x1= 1/2, x2 = 3/2
e) x = 0
f) x = -1/2 g) 1 ≤ x ≤ 2 i) x ≥ 2
Bµi 11:
b) 1 ≤ x ≤ 2 c) 2,3 vµ 4

a) x = 4 hoÆc x = - 2

e) x ≥ 1 f) -3/2g) 0 h) 0 vµ 3/2
Bµi 12:
a > 0 vµ b < 2 hoÆc a < 0 vµ b > 2
Bµi 13:
a = b = 0 hoÆc a > 0; b< 0 hoÆc a = -b
Bµi 14:

d)

−1 ± 5
2

i) 2,0,-4 vµ -6

k) -5,7,3,-1,1


 
 
 

a)  ; −2 ÷ ;  2 ; − ÷ ;  − ; 2 ÷;  −2 ; ÷
2  2 2  2 2  2 2
2
b) (1; 3) ; (3 ; 1) ; (- 3; -1) ; (-1; -3)
1

1

1

1

1

1

1 1

2
4
; y = −5

7
7
1
3
1

 

d)  ; − ÷ ;  −3 ;3 ÷
2 2  2 

c) x = 6

Bµi 15:
|A| ≥ -A, dÊu " = " xÈy ra ⇔ A ≤ 0 ⇔ x2 - x - 2 ≤ 0 ⇔ (x + 1)(x - 2) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 2
Bµi 16:
NÕu a > 0 th× - a < 2a; XÐt trêng hîp x < -a, -a ≤ x ≤ 2a, x ≥ 2a ta ®îc c¸c nghiÖm x = -7a,
x=a
NÕu a ≤ 0 th× 2a < -a; XÐt c¸c trêng hîp x < 2a; 2a ≤ x ≤ -a, x > -a th× ta ®îc nghiÖm x = -a
Bµi 17:
a) -2 ≤ x ≤ 3;
b) x > -2; c)x ≤ -2; x ≥ 5;
d) x > 3/2
Bµi 18:
3
2

a) − < x < 2
Bµi 19:
a) x < 1;

g) x ≤

3
4
< x < 4 c) x < − ; x > 2
2
3

b)

b) x < -1; x > 7;

d) x ≤ 0, x ≥ 1

c) -3 < x < 5 d) x ≤ 1

e) 0 ≤ x ≤ 1

2
hoÆc x ≥ 12
5

Bµi 20:
a)

2
−1 − 15
−1 + 15
c) - 3 < x < 3

3
2
2
3 + 21
3 − 21
e) −1 − 13 < x < −1 + 13 f) 0 ≤ x ≤ 2 hoÆc x ≥
hoÆc x ≤
2
2

−1 − 13
−1 + 13
;
2
2

d) v« nghiÖm
Bµi 21:

-6

b)

y

y

y
1

O

x
6

x
-2

O

2

19

x
-1

O

1


a

b)

c)

Bµi 22:

y

y

y

6
1
x
O

O
-1

3

3

x

x
-2 O

a

b)

c)

Bµi 23:
y

y

3

x

3
−
2

x

3
2

O

1

a)

O

1

b)

Bµi 24:

1

1
O

y

y

y

x

O 1

x

20

1
O

x


a)

b)

y

y

c)

Bµi 25:
y

x

x
O

O

a)

b)

1
O

x
2

c)

Bµi 26:

a) max A = 5 ⇔ x =

1
2

1
⇔ x=2
3
c) XÐt c¸c trêng hîp ⇒ max C = 3 max A = 5 ⇔ x = 1

b) max A =
Bµi 27:

a) min A = -1 ⇔ x =

2
3

b) min B = -1 ⇔ x = 0; y = 2
c) min C = 5 ⇔ -2 ≤ x ≤ 3
1
2

d) min D = 5 ⇔ −2 ≤ x ≤ e) min E = 3 ⇔ -1 ≤ x ≤ 2
f) §Æt |0,5x2 + x| = y ⇒ min G = -9/4 ⇔ y = 3/2 ⇔ x1 = 1; x2 = -30
Bµi 28: max H = 5 ⇔ x ≥ 2 hoÆc x ≤ -3

21