Đề cương ôn tập môn giải tích 2

Vũ Viết Tiệp

Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2
Lý thuyết:
1. Định nghĩa ánh xạ khả vi, đạo hàm của ánh xạ tuyến tính. Cho ví dụ?
Cho E = Rn, F là không gian vectơ, Ω là mở trong Rn.
Cho f : Ω → F và x 0 ∈ Ω . Ta nói rằng ánh xạ f khả vi tại x0 nếu tồn tại S ∈ L(Rn, F) sao cho:
f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) − S ( h ) = 0 ( h ) (1)
Có nghĩa là:
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ h < δ

f ( x0 + h ) − f ( x0 ) − S ( h ) < h
=
(1) được viết dưới dạng quen thuộc: lim
h →0

f ( x0 + h ) − f ( x0 ) − S ( h )
h

=0

Ánh xạ f được gọi là khả vi trên Ω nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc Ω .
Nhận xét:
+ Tính khả vi của f tại x0 không phụ thuộc vào chuẩn trên E và F.
+ Ánh xạ S ∈ L(Rn, F) thỏa mãn (1) duy nhất, kí hiệu F’(x0) hay D f (x0) và gọi là đạo hàm
hay vi phân của f tại x0. Thật vậy nếu T ∈ L(Rn, F) cùng thỏa mãn (1) thì
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀h ∈ R n :
S ( h ) − T ( h ) ≤ f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) − S ( h ) + f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) − T ( h ) ≤ 2ε h

Vậy: S − T < 2ε
Cho ε → 0 ta nhận được S − T = 0 và vậy thì S = T
Như vậy nếu f khả vi trên Ω ta có ánh xạ f ′ : Ω → L(En, F). Hàm f gọi là khả vi liên tục
hay thuộc lớp C1 trên Ω nếu f khả vi trên Ω và f ′ : Ω → L(En, F) là liên tục.
0
Do f ′ ( x ) ∈ L(En, F) là liên tục từ (1) suy ra f liên tục tại x0 nếu f khả vi tại đó.
Ví dụ:
+ Nếu f : Ω → F , f = cos t thì f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ Ω
+ Xét f = S Ω : Ω → F ở đây S ∈ L(En, F).
Khi đó: f ′ ( x ) = S , ∀x ∈ Ω
Vì: f ( x + h ) − f ( x ) − S ( h ) = S ( x + h ) − S ( x ) − S ( h ) = S ( x ) + S ( h ) − S ( x ) − S ( h ) = 0, ∀h
2. Định nghĩa đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng của hàm số hai biến số tại một
điểm?
a) Định nghĩa đạo hàm riêng:
D ⊆ ¡ 2, f : D → ¡

( x, y ) a

f ( x, y ) = z

là hàm hai biến xác định trên D
Cho z = f ( x, y ) xác định trên D mở ⊆ ¡ 2 , M 0 ( x0 , y0 ) ∈ D
Gắn cho y = y0 một giá trị không đổi. Khi đó z = f ( x0 , y0 ) là hàm một biến đối với x.
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2

1


Vũ Viết Tiệp

Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên

Cho x0 một số gia ∆x ( ∆x đủ nhỏ, M ( x0 + ∆x, y0 ) ∈ D )
Hàm số nhận được số gia tương ứng:
∆ x z = ∆ x f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) được gọi là số gia riêng của z = f ( x, y ) theo biến x
tại M 0 ( x0 , y0 )

∆ x z f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 )
=
có giới hạn hữu hạn khi ∆x → 0 thì giới hạn đó được
∆x
∆x
gọi là đạo hàm riêng của z = f ( x, y ) tại M 0 ( x0 , y0 )

Nếu tỷ số

∂z
∂x
∂f ( x0 , y0 )
hay
, z′x ( x0 , y0 ) hay f x′ ( x0 , y0 )
∂x

Kí hiệu:

Theo định nghĩa:

∆ z ( x0 , y0 )
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 )
∂z

= z ′x ( x0 , y0 ) = lim x
= lim
∆x → 0
∆x → 0
∂x
∆x
∆x

Hoàn toàn tương tự cố định x cho y thay đổi và trên các điều kiện của y ta cũng có định
nghĩa về đạo hàm riêng của z = f ( x, y ) mở theo biến y tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) . Kí hiệu:
∂z
∂f ( x0 , y0 )
, z ′y ( x0 , y0 ) hay f y′ ( x0 , y0 )
hay
∂y
∂y
∆ z
f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 )
∂z
= z′y ( x0 , y0 ) = lim y = lim
∆y →0 ∆y
∆y →0
∂y
∆y

b) Đạo hàm theo hướng:
Giả sử Ω ⊂ R n là tập con mở, f : Ω → F và h ∈ R n , h ≠ 0 . Cố định x 0 ∈ Ω . Do Ω mở nên
x + th ∈ Ω với t đủ bé. Vì vậy có thể xét giới hạn: lim
0

f ( x 0 + th ) − f ( x 0 )

t →0

t

Nếu giới hạn này tồn tại thì ta nói f khả vi theo hướng h tại x0 và kí hiệu là

∂f
( x0 )
∂sh

3. Định nghĩa vi phân toàn phần của hàm số hai biến số tại một điểm?
Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định trên D mở ⊂ ¡ 2 , M 0 ( x0 , y0 ) ∈ D
Cho x0, y0 các số gia tương ứng ∆x, ∆y ( ∆x , ∆y đủ nhỏ): M ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ∈ D
Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng là ∆z = ∆f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 )
được gọi là số gia toàn phần của hàm z = f ( x, y ) tại M 0 ( x0 , y0 )
Gọi khoảng cách giữa M0 và M là ρ ( M 0 , M )
ρ ( M 0 , M ) = ∆2 x + ∆2 y

Giả sử số gia toàn phần của hàm z = f ( x, y ) tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) biểu diễn dưới dạng
∆z = A∆x + B∆y + 0 ( ρ )

0 ( ρ ) ρ →0

→0
ρ
Khi đó phần tuyến tính đối với ∆x, ∆y của số gia ∆z : A∆x + B∆y

Trong đó: A, B là hằng số không đổi phụ thuộc vào ∆x, ∆y ,

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2

2


Vũ Viết Tiệp

Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên

được gọi là vi phân toàn phần của hàm z = f ( x, y ) tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) . Kí hiệu là dz hay
df ( x0 , y0 )

4. Mối liên hệ giữa đạo hàm riêng và tính khả vi của hàm số hai biến số?
Mối liên hệ giữa tính khả vi và đạo hàm theo hướng của hàm hai biến.
a) Mối liên hệ giữa đạo hàm riêng và tính khả vi của hàm số hai biến số
Nếu hàm u = f ( x, y ) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M 0 ( x0 , y0 ) và nếu các đạo hàm
riêng ấy liên tục tại M0 thì f ( x, y ) khả vi tại M0 và ta có:
∂u ( x, y )
∂u ( x, y )
∂u
∂u
dx + dy
∆x +
∆y = df hay du = df =
∂x
∂y
∂x
∂y
Nếu hàm số u = f ( x, y ) khả vi tại điểm ( x, y ) thì tại điểm này hàm số tồn tại cả hai đạo hàm

du =

này theo biến x và y.
b) Mối liên hệ giữa tính khả vi và đạo hàm theo hướng của hàm hai biến.
Nếu hàm số u = f ( x, y ) khả vi tại điểm ( x, y ) thì hàm số có đạo hàm theo mọi hướng tại

( x, y ) và

Dϕ f ( x, y ) =

∂u ( x, y )
∂u ( x, y )
cosϕ +
sin ϕ
∂x
∂y

5. Định nghĩa cực trị địa phương của hàm số hai biến số?
Cho hàm u = f ( x, y ) xác định trong miền mở D ⊂ ¡ 2 .Hàm u được gọi là đạt cực đại địa
phương tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) ∈ D nếu tồn tại lân cận của M0: S(M0, r), r > 0 sao cho
∀M ( x, y ) ∈ S ( M 0 , r ) thì f ( x, y ) < f ( x0 , y0 ) , M ≠ M 0
Tương tự hàm số đạt cực tiểu địa phương tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) ∈ D nếu tồn tại lân cận của
S(M0, r), r > 0 sao cho ∀M ( x, y ) ∈ S ( M 0 , r ) thì f ( x, y ) > f ( x0 , y0 ) , M ≠ M 0
Cực đại địa phương, cực tiểu địa phương được gọi là cực trị địa phương.
6. Phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện cần để hàm đạt cực trị địa phương?
Nếu f đạt cực đại tại a thì hàm f đạt cực tiểu tại a. Vậy chỉ cần phát biểu định lý đối với
cực tiểu địa phương.
Định lý: Nếu f : U → U khả vi tại a ∈ U và đạt cực tiểu địa phương (cực đại địa phương) tại
a thì f ′ ( a ) = 0 .
CM:

Lấy h ∈ E bất kì, ta chứng minh f ′ ( a ) ( h ) = 0 .
Xét hàm g ( t ) = f ( a + th ) . Từ giả thiết t = 0 là điểm mà g đạt cực tiểu địa phương, do định lý
Fermat g ′ ( 0 ) = 0
nhưng g ′ ( 0 ) = f ′ ( a ) ( h ) . Vậy f ′ ( a ) ( h ) = 0 .
7. Định nghĩa ba loại tích phân phụ thuộc tham số?
a) Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số:
a ≤ x ≤ b
α ≤ u ≤ β

Giả sử hàm số f ( x, u ) xác định trên hình chữ nhật R 

Với mỗi u ∈ [ α , β ] hàm số f ( x, u ) khả tích theo biến x.
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2

3


Vũ Viết Tiệp

Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên
b

Tức là tồn tại

∫
a

b

f ( x, u ) dx . Tích phân này là hàm của u. Kí hiệu ϕ ( u ) = ∫ f ( x, u ) dx gọi là tích

a

phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số.
b) Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm của tham số:
a ≤ x ≤ b
α ≤ u ≤ β

Cho hàm f ( x, u ) khả tích R 

a ( u ) , b ( u ) là các hàm của u ∈ [ α , β ]

Khi đó hàm ψ ( u ) =

b( u )

∫ f ( x, u ) dx

a( u )

là tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm của tham số.

c) Tích phân phụ thuộc tham số với cận là vô tận:
 a ≤ x ≤ +∞
α ≤ u ≤ β

Cho hàm số f ( x, u ) xác định trên R 
Với mỗi u ∈ [ α , β ] tích phân

+∞

∫ f ( x, u ) dx

hội tụ

a

Kí hiệu: I ( u ) =

+∞

∫ f ( x, u ) dx

gọi là tích phân phụ thuộc tham số với cận là vô tận

a

I ( u ) = lim

A→+∞

A

∫

f ( x, u ) dx =

a

+∞

∫ f ( x, u ) dx
a

Tương tự I ( u ) =

a

∫

f ( x, u ) dx = lim

A′→−∞

−∞

I ( u ) ==

+∞

∫ f ( x, u ) dx =

−∞

a

∫ f ( x, u ) dx

A′

A

lim

∫ f ( x, u ) dx

A′→−∞
A→+∞ A′

8. Phát biểu và chứng minh các định lí về tính liên tục, khả vi, khả tích cử tích phân
phụ thuộc tham số với cận là hằng số?
a) Định lí 1: Tính liên tục
a ≤ x ≤ b
thì hàm ϕ ( u ) liên tục trên [ α , β ]
α ≤ u ≤ β

Nếu hàm f ( x, u ) liên tục trên hình chữ nhật R 

.
CM:
∆ϕ ( u ) = 0
Lấy u bất kì thuộc [ α , β ] . Ta chứng minh hàm ϕ ( u ) liên tục tại u ⇔ ∆lim
u →0

+ Vì hàm f ( x, u ) liên tục trên hình chữ nhật R nên hàm f ( x, u ) liên tục theo biến x trên
b

[ a, b] tức là ∃∫ f ( x, u ) dx
a

Cho u một số gia ∆u sao cho u + ∆u =∈ [ α , β ]

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2

4


Vũ Viết Tiệp

Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên

∆ϕ ( u ) = ϕ ( u + ∆u ) − ϕ ( u )
b

b

a

a

= ∫ f ( x, u + ∆u ) dx − ∫ f ( x, u ) dx
b

= ∫  f ( x, u + ∆u ) − f ( x, u ) dx
a

b

⇒ ∆ϕ ( u ) ≤ ∫ f ( x, u + ∆u ) − f ( x, u ) dx

( 1)

a

+ Vì hàm f ( x, u ) liên tục trên R là kín và bị chặn
Theo định lí Canto thì hàm f ( x, u ) liên tục đều trên R.
⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀p1 , p2 ∈ R : ρ ( p1 , p2 ) < δ

Thì f ( p1 ) − f ( p2 ) < ε
Chọn p1 ( x, u + ∆u ) , p2 ( x, u )
ρ ( p1 , p2 ) = ∆ 2u = ∆u < δ ⇒ f ( x, u + ∆u ) − f ( x, u ) < ε

( 2)

b

∆ϕ ( u ) < ∫ ε dx = ε ( b − a ) = ε ′
a

∆ϕ ( u ) = 0
Vậy ∆ϕ ( u ) < ε ′ với ∆ ( u ) < δ → ∆lim
u →0

⇒ Hàm ϕ liên tục tại u ⇒ Hàm ϕ liên tục trên [ α , β ]

b) Định lí 2: Tính khả vi
Giả sử: i) Với mỗi u ∈ [ α , β ] hàm f ( x, u ) liên tục theo biến x trên [ a, b]
a ≤ x ≤ b
α ≤ u ≤ β

ii) fu′ ( x, u ) liên tục trên R 

b

Khi đó hàm ϕ ( u ) khả vi trên [ α , β ] và ϕ ′ ( u ) = ∫ fu′ ( x, u ) dx
a

CM:
Từ các giả thiết i), ii) ⇒ ∃ các tích phân

b

b

a

a

∫ f ( x, u ) dx, ∫ f ′ ( x, u ) dx
u

Cho u một số gia ∆u sao cho u + ∆u ∈ [ α , β ]
Ta có
b

b

a

a

∆ϕ ( u ) = ∫ f ( x, u + ∆u ) − ∫ f ( x, u ) dx
b

= ∫ ( f ( x, u + ∆u ) − f ( x, u ) ) dx
a

∆ϕ ( u ) b f ( x, u + ∆u ) − f ( x, u )
=∫
dx ( 1)
∆u
∆
u
a
+ Từ giả thiết ii) ⇒ fu′ liên tục trên hình chữ nhật R

Áp dụng định lý Lagrăng theo biến u ta được
f ( x, u + ∆u ) − f ( x, u ) = fu′ ( x, u + ∆u ) ∆u

( 0 < θ < 1) ( 2 )

Thay (2) vào (1) ta được:
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2

5


Vũ Viết Tiệp

Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên

∆ϕ ( u ) b
= ∫ f u′ ( x, u + θ∆u ) dx
∆u
a

( 0 < θ < 1)

Ta có:

b
b
b
∆ϕ ( u ) b
′
′
′
− ∫ f u ( x, u ) dx = ∫ fu ( x, u + θ∆u ) dx − ∫ f ( x, u ) dx ≤ ∫ f u′ ( x, u + θ∆u ) − f u′ ( x, u ) dx
∆u
a
a
a
a
′
′
Do fu liên tục trên R nên theo định lý Canto fu liên tục đều trên R.

( 3)

⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀p1 , p2 ∈ R có ρ ( p1 , p2 ) < δ thì f u′ ( p1 ) − f u′ ( p2 ) < ε

Chọn p1 ( x, u + θ∆u ) , p2 ( x, u )
Ta có: ρ ( p1 , p2 ) = θ ∆u < ∆u < δ vì 0 < θ < 1
⇒ fu′ ( p1 ) − f u′ ( p2 ) < ε
⇔ fu′ ( x, u + θ∆u ) − fu′ ( x, u ) < ε

( 4)

Thay (4) vào (3):

b
∆ϕ ( u ) b
− ∫ f u′ ( x, u ) dx < ∫ ε dx = ε ( b − a ) = ε ′
∆u
a
a

Với ∆u < δ ⇒ ∆lim
u →0

∆ϕ ( u ) b
= ∫ f u′ ( x, u ) dx
∆u
a

c) Định lí 3: Tính khả tích
a ≤ x ≤ b
liên tục trên hình chữ nhật R 
thì hàm ϕ ( u ) = ∫ f ( x, u ) dx liên
α ≤ u ≤ β
a

b

Nếu hàm f ( x, u )

β b
b β




α
,
β
f
x
,
u
dx
du
=
] và ∫  ∫ ( ) ÷ ∫  ∫ f ( x, u ) du ÷÷dx
tục trên [
αa
a α



( 1)

CM:

β

Với giả thiết ⇒ ∃∫ ϕ ( u ) du . Ta chứng minh đẳng thức (1)
α

Để chứng minh (1) ta có thể chứng minh một kết quả tổng quát hơn:
α ≤v≤β

b v
b



f
x
,
u
dx
du
=
f
x
,
u
du
(
)
(
)


÷

÷dx
∫ ∫
∫a  α∫
αa


v

( 2)

Đạo hàm vế trái của (2) theo biến v ta được:
′
b
vb
 
v
′
= ϕ u du = ϕv = ∫ f ( x, v ) dx
( 3)
 ∫  ∫ f ( x, u ) dx ÷du ÷
÷ ∫ ( ) ÷
a
  v α
v
α  a
Vế phải (2): Từ giả thiết hàm f ( x, u ) liên tục trên hình chữ nhật R nên f ( x, u ) liên tục trên
a ≤ x ≤ b
hình chữ nhật R′ 

α ≤ u ≤ v
v

Theo định lý 1 ⇒ ϕ ( x, v ) = ∫ f ( x, u ) du liên tục theo biến x trên [ a, b] với α ≤ v ≤ β
α

v
′
′
Mặt khác: ϕv =  ∫ f ( x, u ) du ÷ = f ( x, v ) liên tục trên R′
α
v
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2

6


Vũ Viết Tiệp

Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên

′ bβ
b
bv
′
 
Áp dụng định lý 2:  ∫  ∫ f ( x, u ) du ÷dx ÷÷ = ∫  ∫ f ( x, u ) du ÷÷ dx = ∫ f ( x, v ) dx
a
  v a α
v

 a α
Từ (3) và (4) ⇒ VT ( 2 ) = VP ( 2 ) (Đạo hàm hai vế đều bằng nhau)

( 4)

v
b v


⇒ ∫ ϕ ( u ) du = ∫  ∫ f ( x, u ) du ÷dx + C
α
a α

Đặc biệt cho v = α thì C = 0 ⇒ Ta được (2)
Cho v = β trong (2) ta được (1)

9. Định nghĩa tích phân hai lớp, tích phân ba lớp?
a) ĐN tích phân hai lớp:
Cho f ( x, y ) xác định trên (D) đóng, bị chặn và đo được. Dùng một phép phân hoạch π chia
miền (D) thành n miền nhỏ (D1), (D2),..., (Dn) không có điểm chung. Các miền (D i) bị đóng,
bị chặn và đo được có diện tích tương ứng là D 1, D2,..., Dn. Trên Di chon bất kì điểm
M i ( ξ ,i η i )

i = 1, n
n

Lập tổng σ π = ∑ f ( ξi ,ηi ) Di (tổng tích phân)
i =1

Gọi d( π ) là đường kính lớn nhất của (Di) nếu tồn tại:

lim σ π = lim

d( π ) → 0

d( π ) →0

n

∑ f ( ξ ,η ) D
i

i

i

hữu hạn

1

không phụ thuộc vào phép phân hoạch π và cách chọn điểm Mi thì giá trị giới hạn đó gọi là
tích phân hai lớp của f ( x, y ) trên (D)
Kí hiệu

∫∫ f ( x, y ) dxdy

( D)

Khi đó f ( x, y ) khả tích trên (D)
b) ĐN tích phân ba lớp:
Cho hàm số f ( x, y, z ) xác định trên miền (V) đóng, bị chặn, đo được. Dùng phép phân

hoạch π chia miền (V) thành (V1), (V2),..., (Vn) đóng, bị chặn, đo được. Độ đo tương ứng
V1, V2,..., Vn. Chọn bất kì điểm M i ( ξ ,i ηiτ i ) ∈ Vi
n

Lập tổng σ π = ∑ f ( ξi ,ηi ,τ i )Vi (tổng tích phân)
i =1

Gọi d( π ) = Max của (Vi). Nếu tồn tại:
lim σ π = lim

d( π ) → 0

d( π ) →0

n

∑ f ( ξ ,η ,τ )V
i =1

i

i

i

i

là hữu hạn

không phụ thuộc vào phép phân hoạch π và cách chọn điểm Mi thì giá trị giới hạn đó gọi là

tích phân ba lớp của f ( x, y, z ) trên (V)
Kí hiệu

∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz
(V )

Bài tập:
1. Phép tính vi phân của hàm nhiều biến.
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2

7


Vũ Viết Tiệp

Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên

+ Tính đạo hàm riêng cấp một, cấp cao. Tính vi phân cấp một, cấp cao.
+ Xét tính đạo hàm riêng, khả vi và đạo hàm theo hướng
+ Cực trị của hàm hai biến
2. Tính tích phân phụ thuộc tham số. Xét sự hội tụ của tích phân phụ thuộc tham số
với cận vô tận
3. Tính tích phân hai lớp
4. Tính tích phân ba lớp
5. Ứng dụng của tích phân bội

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2

8