bai giang toan ung dung

Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
(Tài liệu cập nhật – 2009)

Chương 1

QUAN HỆ &
SUY LUẬN TOÁN HỌC

GV. Nguyễn Thanh Chuyên

Email:


Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
1.1 Tập hợp và Quan hệ
1- Khái niệm về tập hợp
2- Quan hệ giữa các tập hợp
3- Các phép toán về tập hợp

1.2 Suy luận toán học
4- Quy nạp toán học
5- Định nghĩa bằng đệ quy
6- Các thuật toán đệ quy
7- Tính đúng đắn của chương trình

1.3 Quan hệ hai ngôi
8- Quan hệ tương đương
9- Quan hệ thứ tự

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ

1- Khái niệm về Tập hợp
Tập hợp các SV lớp A, trường B

+ TẬP HỢP; một số các
phần tử cùng tính chất

Tập hợp các số nguyên
Tập hợp các điểm trên một đường tròn
Z
X

C
+ Tập hợp A , B, C --các phần tử x, y, z...

A

B
Y

phần tử x thuộc tập hợp A,
x không thuộc tập hợp B
C là tập hợp rỗng

x∈ A
TOÁN ỨNG DỤNG

x∉B

∅

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)

1- Khái niệm về Tập hợp

+ CÁCH DIỄN TẢ
MỘT TẬP HỢP;

x, y , z ∈ A

+ Liệt kê

A = { x, y , z}

+ Đặc trưng

A = {xx có tính chất p}

Ví dụ 1.1:
A = {5, 10, 17, 26}

B = {x x=n2+1; n∈N và
1

+ THCS tự nhiên N
+ THCS nguyên Z
+ THCS hữu tỷ Q
+ THCS vô tỷ
TOÁN ỨNG DỤNG

L

+ THCS ảo A
+ THCS phức P

+ Tập hợp
các số thực
R

+ THCS nguyên tố NT
+ THCS chẵn C

+ THCS lẻ L....

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC

N
R


1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)

2- Quan hệ giữa các tập hợp;

A = { x, y , z}
+ Tập hợp CON

x, y , z ∈ A

x, y , z , t ∈ B

A⊂ B
Tính bắc cầu:

A⊂C

Quy ước:

∅ ⊂ A, B, C

Z
X

A = { x, y , z}
E = { y , x, z}

E⊂A
E = A⇔
A⊂ E

B⊂C

TOÁN ỨNG DỤNG

+ Sự bằng nhau của
2 tập hợp

Z
X

E

A

B
t

n
Y

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC

B
C

Y


1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)

3- Các phép toán về tập hợp
a. Phép hợp
b. Phép giao

c. Hiệu của 2 tập hợp
d. Tập bù
e. Tích của 2 tập hợp
f. Phân hoạch

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)

a. Phép HỢP

A∪ B

Ví dụ 1.2:

A = { 1,2,3,4}

B = { 2,3, a, b}

3- Các phép toán về tập hợp

2

1

A
4

2

3

B

3

a
b

A ∪ B = { 1,2,3,4, a, b} ( x ∈ A ∪ B ) ⇔ ( x ∈ A ) hay ( x ∈ B )
Tính chất (hợp)
1

A
A∪ A = A
4
T.giao hoán A ∪ B = B ∪ A
T.kết hợp A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C

T.lũy đẳng

T. rỗng
TOÁN ỨNG DỤNG

22
33

∅ ∪ A = A∪ ∅ = A

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC

B

a
b


1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)

b. Phép GIAO
Ví dụ 1.3:

A = { 1,2,3,4}

B = { 2,3, a, b}

A∩B

( x ∈ A ∩ B ) ⇔ ( x ∈ A) và ( x ∈ B )
A ∩ B = { 2,3}

Tính chất (GIAO )
T.lũy đẳng

3- Các phép toán về tập hợp

A∩ A = A

2
2

1

A
4

3
3

T.giao hoán

A∩ B = B ∩ A

T.kết hợp

A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C

T.rỗng
TOÁN ỨNG DỤNG

∅ ∩ A = A∩ ∅ = ∅

B
b

f

E rời B

E∩ B= ∅

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC

a

E


1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)

3- Các phép toán về tập hợp

c. HiỆU của 2 tập hợp

( x ∈ F \ E ) ⇔ ( x ∈ F ) và ( x ∉ E )

Ví dụ 1.4:

E = { 1,2,3,4}

F = { 2,3, a, b}

F \ E = { a , b}

E \ F = {1,4}

2

2

1

E
4

1
4

TOÁN ỨNG DỤNG

22
2

E

33
3

F

3
3

a
b

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC

a

F
b


1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)

3- Các phép toán về tập hợp

d/ Tập BÙ

A⊂E
E \ A = CE A = A

E

EA
A

Bù của A trong E
Luật De Morgan

∀A , B ⊂ E

A∪B = A∩B

A∩B = A∪B

Ví dụ 1.5:

E = {1,2,3,4,5,6}

A = { 2,3}
TOÁN ỨNG DỤNG

A = E \ A = CE A = {1,4,5,6}

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)

d/ TÍCH của 2 tập hợp

3- Các phép toán về tập hợp

Không có tính giao hóan

( x, y ) ∈ A × B ⇔ ( x ∈ A ) và ( y ∈ B )
B

AxB

Ví dụ 1.6:

A = {1,2,3}

A

A × B ) = { (1, a ), (2, a ), (3, a ), (1, b), (2, b), (3, b)}
(
B = { a, b}
TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)

3- Các phép toán về tập hợp

e/ PHÂN HOẠCH
Các tập con A1, A2, A3 …của tập X tạo nên một PHÂN HOẠCH của X, nếu:
n

(∪ Ai = X ) và ( Ai ∩ Aj ) = ∅

Ví dụ 1.7:

i =1

A2

A3

TOÁN ỨNG DỤNG

A6

A1
A4

A5

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)

Ví dụ 1.8- (Hệ nhị phân)

1: True; 0 : False

U = N10 = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

TOÁN ỨNG DỤNG

3- Các phép toán về tập hợp

1111111111

N5 = { 1,2,3,4,5}

1111100000

NL10 = { 1,3,5,7,9}

1010101010

NC10 = { 2,4,6,8,10}

0101010101

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


Bài tập về nhà DẠNG 1 (Homework-1):
Bài tập 1.1: Biết

U = N17 = { 1,2,3, ,...,17} Hãy tính:

NC17 ∪ NL17
NL17 ∪ N 17
NC17 \ N 17
NL17 \ N 17
NC17 ∩ N 17
NL17 ∩ N 17
TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


Bài tập về nhà DẠNG 1 (Homework-1):

2
Bài tập 1.2: Cho A = {x x=n +1; n∈N và 1và B = {y y=5n; n=2, 5, 8, 10, 13} Xác định:

A∪ B

A∩ B

A\ B
A ∩ B trong A
A ∩ B trong B
A ∩ B trong A∪B
TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


1.2 Suy luận toán học
4- Quy nạp toán học
5- Định nghĩa bằng đệ quy
6- Các thuật toán đệ quy
7- Tính đúng đắn của chương trình

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


4- Quy nạp toán học

1.2 Suy luận toán học

Chứng minh 1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n-1)= n2 với n ≥ 1
1. Phương pháp
Với những bài toán chứng minh tính đúng đắn của một biểu
thức mệnh đề có chứa tham số n, như P(n). Quy nạp toán

học là một kỹ thuật chứng minh P(n) đúng với mọi số tự
nhiên n ≥N0.
- Quá trình chứng minh quy nạp bao gồm 2 bước:
 Bước cơ sở: Chỉ ra P(N0) đúng.
 Bước quy nạp: Chứng minh nếu P(k) đúng thì P(k+1)
đúng. Trong đó P(k) được gọi là giả thiết quy nạp.
TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


Ví dụ 1.9:

Chứng minh
Giải:

1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) = n (*)
2

Bước 1: Chỉ ra n=1 (*) đúng:

1 = 12

Bước 2: Giả sử (*) đúng với n= k :

1 + 3 + 5 + .... + (2k − 1) = k 2
 Chứng minh (*) đúng với n =k+1:

1 + 3 + 5 + .... + (2k − 1) + [2( k + 1) − 1] =
= k 2 + (2k + 1) = (k + 1) 2

 Bài toán đã được chứng minh đúng với n=k+1) :

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


1.2 Suy luận toán học

5- Định nghĩa bằng đệ quy
(Định nghĩa quy nạp)
Ví dụ 1.10:

Biết

f (0) = 3, f ( n + 1) = 2 f ( n ) + 3

Tính f(3)

Giải:

n = 0 → f (0) = 3, f (1) = 2 f (0) + 3 = 9
n = 1 → f (1) = 9, f ( 2) = 2 f (1) + 3 = 21
n = 2 → f ( 2) = 21, f (3) = 2 f ( 2) + 3 = 45
TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


Bài tập về nhà DẠNG 2 (Homework-2):

Biết f

(0) = 2, f ( n + 1) = 3 f ( n ) − 5

Tính f(4)

Bài tập 2.2:

Biết

2

f (0) = 4, f (n + 1) = [ f ( n )] − 3

Tính f(3)

Bài tập 2.3:

Biết

+4

Tính f(5)

Bài tập 2.1:

TOÁN ỨNG DỤNG

f
(

n
)
f (0) = 2, f ( n + 1) =

2

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


6- Các thuật toán đệ quy
1.2 Suy luận toán học

Ví dụ 1.11- Thuật toán đệ quy tính an

a = a *a
n

Hàm lũy thừa

n −1

(a∈R và a≠0; n∈N và n≥0 )

if n=0 then luythua(a,n) :=1
else luythua(a,n)=a*luythua(a,n-1)

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC

1.2 Suy luận toán học

7- Tính đúng đắn của chương trình
Chương trình đúng đắn ⇔ Mọi đầu vào khả dĩ  đầu ra đúng

p{ S } q

Chương trình (Đọan CT) S là đúng đắn bộ
phận đối với khẳng định đầu p và khẳng
định cuối q

Câu lệnh điều kiện
If điều_kiện then
S1
else
S2
TOÁN ỨNG DỤNG

Bất biến vòng lập While
While điều_kiện
S

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


1.3 Quan hệ hai ngôi

23

Định nghĩa
Một quan hệ hai ngôi từ tập A đến tập B là tập con của tích Đề
các R ⊆ A x B.
Chúng ta sẽ viết a R b thay cho (a, b) ∈ R
Quan hệ từ A đến chính nó được gọi là quan hệ trên A

R = { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) }
TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC


1.3 Quan hệ hai ngôi
Ví dụ. A = tập sinh viên; B = các lớp học.
R = {(a, b) | sinh viên a học lớp b}

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC

24


1.3 Quan hệ hai ngôi
Ví dụ. Cho A = {1, 2, 3, 4}, và
R = {(a, b) | a là ước của b}
Khi đó
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)}

TOÁN ỨNG DỤNG

1

2

3

4

1

2

3

4

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC

25