bài giảng toán ứng dụng dành cho SV các trường cao đẳng

Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN TẬP
1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
a) Tập hợp:
Là một khái niệm cơ bản của toán học,được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa:A,B,C….: Tập
các số tự nhiên N, tập hợp các số nguyên Z,tập hợp các số hữu tỉ Q,tập các số thực R.
Được mô tả theo 2 cách:
+)Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp: Ví dụ:
{ }
3, 2, 1,0,1, 2,3A = − − −
+)Nêu tính chất đặc trưng: Ví dụ:
{ }
4 4A x Z x= ∈ − < <
Chú ý: tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng,kí hiệu
∅
Tập con:
A B x A x B⊆ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈
.
Chú ý:
A A⊆
, và
∅
là tập con của mọi tập hợp
b) Các phép toán trên tập hợp:
• Hai tập hợp bằng nhau:
A B
A B
B A
⊆

= ⇔


⊆

• Giao của hai tập hợp:
{ }
à x BA B x x v∩ = ∈ ∈
,tức là:
x A B x A∈ ∩ ⇔ ∈
và
x B∈
Ví dụ:
{ }
2; 1;0;1;2A = − −
và
{ }
1;0;1;2;3B = −
.Ta có
{ }
1,0,1, 2A B∩ = −
• Hợp của hai tập hợp:
{ }
A B x x Ahoacx B
∪ = ∈ ∈
,tức là:
x A B
∈ ∪
x A
⇔ ∈
hoặc
x B

∈
hoặc
x A
x B
∈


∈

.Ví dụ: Cho
{ }
2
0A x x x= − ≥
và
{ }
0B x x= ≤
.Ta có
{ }
1A B x x∪ = ≤
• Phần bù: Cho
B A⊆
,
{ }
à x B
A
C B x x Av= ∈ ∉
,tức là
A
x C B x A∈ ⇔ ∈
và

x B
∉
Ví dụ: cho
{ }
3. 2, 1,0,1,2,3,4A = − − −
và
{ }
2, 1,0,1, 2B = − −
{ }
3,3,4
A
C B⇒ = −
•Tích đề các của hai tập hợp:
{ }
( , ) ,A B x y x A y B× = ∈ ∈
Chú ý: mỗi phần tử của
A B×
được biểu diễn thành một điểm trong hệ trục tọa độ đề các
vuông góc oxy
Ví dụ: Cho
{ } { }
2 3 ; 3 4A x x B y y= ≤ ≤ = ≤ ≤
. Hãy biểu diễn hình học tích Đề- các A x B
lên mặt phẳng tọa độ.
2. Ánh xạ
Các định nghĩa:
•Ánh xạ: Cho hai tập hợp:
,X Y≠ ∅ ≠ ∅
.Ta gọi ánh xạ
f

từ X vào Y là một quy tắc cho
tương ứng mỗi phần tử
x X
∈
một và chỉ một phần tử
y Y∈
sao cho
( )y f x=
.Kí hiêu:
: , ( )f X Y x f x y→ → =
.X được gọi là tập nguồn,Y gọi là tập đích, y gọi là ảnh của x
•Đơn ánh: ánh xạ
:f X Y→
là đơn ánh
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x X x x f x f x⇔ ∀ ∈ = ⇒ =
•Toàn ánh: ánh xạ
:f X Y→
là toàn ánh
⇔
phương trình
( )f x y=
có nghiệm với mọi x (
x coi là ẩn và y coi là hằng số)
•Song ánh: ánh xạ
:f X Y→
là song ánh nếu
f
vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh
•Ánh xạ ngược: Cho

: , ( )f X Y x f x y→ → =
là một song ánh

⇒ ∃
ánh xạ
1 1
: , ( )f Y X y x f y
− −
→ → =
gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ
f
Ví dụ:
Ánh xạ sau có phải là đơn ánh? Toàn ánh? Song ánh? Nếu là song ánh hãy tìm ánh xạ
ngược.

: , 3 2f R R x y x→ = − +a
1
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
CHƯƠNG I: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC – GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI 1: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC
1. Định nghĩa hàm số một biến số thực
• Cho
,X R X⊂ ≠ ∅
,ta gọi ánh xạ
: , ( )f X R x y f x→ → =
là một hàm số một biến số thực
xác định trên tập X, x gọi là biến số độc lập, y gọi là biến số phụ thuộc hay hàm số của x, X gọi
là miền xác định của hàm số,tập
{ }
( ) ( ),Y f X y y f x x X= = = ∀ ∈

gọi là miền giá trị của hàm số
• Miền xác định của hàm số
( )y f x=
là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức
( )f x
có nghĩa.
Chú ý : Tìm miền giá trị của hàm số
( )y f x=
là tìm điều kiện để phương trình
( )f x y=
có
nghiệm với điều kiện của x cho trước ( y coi là hằng số, x coi là ẩn)
Ví dụ1: Cho hàm số
2
2 4 6y x x= − +
,tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số trên:
Lg: hàm số
2
2 4 6y x x= − +
xác định với mọi
x R
∈
do vậy MXĐ của hàm số là R
Ta xét phương trình:
2 2
2 4 6 2 4 6 0x x y x x y− + = ⇔ − + − =
,phương trình có nghiệm
x R∀ ∈
4 2(6 ) 0 4y y⇔ ∆ = − − ≥ ⇔ ≥
, do vậy MGT của hàm số là

[
)
4,+∞
Ví dụ 2: Tìm MXĐ và MGT của hàm số sau
2
1y x= −
2. Đồ thị của hàm số một biến số:
Giả sử hàm số
( )y f x=
xác định trên
X R⊂
,ứng với mỗi giá trị
o
x X∈
ta được giá trị
( )
o o
y f x=
của hàm số. Gọi
( , )
o o o
M x y=
nằm trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ đề các vuông
góc oxy,cho
o
x
biến thiên trên tập X khi đó điểm
o
M
biến thiên theo và tạo nên một đường cong

trong mặt phẳng oxy,đường cong đó gọi là đồ thị của hàm số
( )y f x=
Ví dụ: hàm số
2
y x=
có đồ thị là một parabol
3. Hàm số đơn điệu – Hàm số chẵn, hàm số lẻ - Hàm tuần hoàn
a) Hàm số đơn điệu:
Hàm số
( )y f x=
được gọi là tăng( đồng biến) trên khoảng (a,b) nếu
1 2 1 2 1 2
, ( , ), ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
Hàm số
( )y f x=
được gọi là giảm (nghịch biến) trên khoảng (a,b) nếu
1 2 1 2 1 2
, ( , ), ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >
Hàm số
( )y f x=
được gọi là đơn điệu trên khoảng (a,b) nếu nó tăng hoặc giảm trên khoảng
(a,b)
b) Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm số
( )y f x=
được gọi là chẵn trên khoảng
( , )l l−
nếu
( )
, , ( ) ( )x l l f x f x∀ ∈ − − =

Hàm số
( )y f x=
được gọi là lẻ trên khoảng
( , )l l−
nếu
( )
, , ( ) ( )x l l f x f x∀ ∈ − − = −

Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

3
( ) 3f x x x= −
,
1
( ) ln
1
x
f x
x
−
=
+
c) Hàm tuần hoàn
Hàm số
( )y f x=
được gọi là tuần hoàn với chu kì
0T
≠
nếu
( ) ( )f x T f x+ =

Ví dụ: hàm số
( ) sinxy f x= =
là hàm tuần hoàn với chu kì 2
π
4. Hàm số hợp – Hàm số ngược
a) Hàm số hợp
2
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
Cho hàm số
( )y f u=
là hàm số của biến số u, đồng thời
( )u g x=
là hàm số của biến số
x.Khi đó hàm số
( ( ))y f g x=
được gọi là hàm số hợp của biến số độc lập x thông qua biến số
trung gian u.Kí hiệu
( )( ) ( ( ))f g x f g x=
o
Miền xác định của hàm số
f g
o
là tập hợp các giá trị của x sao cho
( )g x
thuộc miền xác
định của x
* Một số bài toán liên quan
Bài toán 1: Tìm
( ( )), ( ( )), ( ( )), ( ( ))f f x g g x f g x g f x
biết các hàm số f(x) và g(x) là các

hàm xác định cho trước
Phương pháp: coi f(x),g(x) như x rồi thay vào các hàm đã cho sau khi tìm được hàm số
liên quan đến f(x),g(x) ta lại thay f(x),g(x) bằng các hàm số của x đã cho.
Ví dụ: Tìm
( ( )), ( ( )), ( ( )), ( ( ))f f x g g x f g x g f x
biết
2
( ) , ( ) 2
x
f x x g x= =
Lg: Ta có
2 2 2 4
( ( )) ( ( )) ( )f f x f x x x= = =
,
( ) 2
( ( )) 2 2
x
g x
g g x = =

2 2 2
( ( )) ( ( )) (2 ) 2 4
x x x
f g x g x= = = =
,
2
( )
( ( )) 2 2
f x x
g f x = =

Bài toán 2: Xác định hàm số f(x) nếu biết hàm hợp f(g(x)) của nó
Phương pháp: +)Đặt
( )u g x=
,rút x theo biến u,rồi thay vào hàm f(g(x)) đã cho ta tìm
được một hàm số liên quan đến u.
+) Trả lại biến thay u bằng x ( nếu có điều kiện của x thì phải tìm điều kiện
của u theo điều kiện của x)
Ví dụ: Tìm hàm
( )f x
biết:
a)
2
( 1) 3 2f x x x+ = − +
b)
2
1
1 ( 0)f x x x
x
 
= + + >
 ÷
 
b) Hàm số ngược
Cho hàm số
( )y f x=
xác định,đơn điệu trên tập
X R⊂
,Khi đó
f
là một song ánh từ tập

X vào tập f(X) = Y,nếu
f
tồn tại ánh xạ ngược
1 1
: , ( )f Y X y x f y
− −
→ → =
thì
1
f
−
gọi là
hàm số ngược của hàm số
f
có MXĐ là miền giá trị của hàm
f
và MGT là miền xác định của
hàm
f
Ví dụ: Xác định hàm số ngược của các hàm số sau:
2
2 3, 1y x y x= + = −
5. Các hàm sơ cấp cơ bản
a. Hàm lũy thừa:
y x
α
=
xác định trên R nếu
N
α

∈
và xác định trên
{ }
\ 0N
nếu
α
<0
b. Hàm số mũ:
( 0, 1)
x
y a a a= > ≠
xác định trên R và lấy giá trị dương,đồng biến nếu
1a >
và nghịch biến nếu
1a <
c. Hàm logarit:
log ( 0, 1)
a
y x a a= > ≠
xác định trên
( )
0,+∞
,đồng biến khi
1a >
,
nghịch biến nếu
1a
<
d. Hàm số lượng giác
Hàm

siny x=
xác định trên R và lấy giá trị trên
[ ]
1,1−
,là hàm lẻ ,tuần hoàn với chu kì
2
π
Hàm
cosy x=
xác định trên R và lấy giá trị trên
[ ]
1,1−
,là hàm chẵn ,tuần hoàn với chu kì
2
π
3
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
Hàm
t anxy =
xác định trên
\ (2 1) ,
2
R k k Z
π
 
+ ∈
 
 
và lấy giá trị trên R,là hàm lẻ và tuần
hoàn với chu kì

π
Hàm
cot xy =
xác định trên
{ }
\ ,R k k Z
π
∈
và lấy giá trị trên R,là hàm lẻ và tuần hoàn với
chu kì
π
• Hàm số ngược của hàm lượng giác
Hàm
arcsiny x=
có miền xác định
[ ]
1,1−
và miền giá trị
,
2 2
π π
 
−
 
 
và là hàm tăng
Hàm
arc osy c x=
có miền xác định
[ ]

1,1−
và miền giá trị
[ ]
0,
π
và là hàm giảm
Hàm
arctany x=
có miền xác định R và miền giá trị
,
2 2
π π
 
−
 ÷
 
và là hàm tăng
Hàm
arc ty co x=
có miền xác định R và miền giá trị
( )
0,
π
và là hàm giảm
4
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
BÀI 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
A.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn của hàm số một biến số
a) Định nghĩa1: Giả sử hàm số

( )y f x=
xác định trên lân cận của điểm a( trừ điểm a).Ta nói
hàm số
( )y f x=
có giới hạn là A khi x dần tới a nếu
0
ε
∀ >
cho trước,đều tồn tại
0
δ
>
sao
cho khi
x a
δ
− <
thì
( )f x A
ε
− <
.Kí hiệu là
lim ( )
x a
f x A
→
=
Ví dụ1: Chứng minh rằng
1
lim(2 1) 3

x
x
→
+ =
Chú ý: Trong định nghĩa ta thấy khi x dần tới a nên x > a hoặc x < a .
Khi x dần về phía bên trái a (x < a) mà f(x) dần tới A thì A gọi là giới hạn trái,Kí hiệu
lim ( )
x a
f x A
−
→
=
.
Khi x dần về phía bên phải a ( x > a) mà f(x) dần tới A thì A gọi là giới hạn phải.Kí hiệu
lim ( )
x a
f x A
+
→
=

lim ( ) lim ( ) lim ( )
x a
x a x a
f x A f x f x A
− +
→
→ →
= ⇔ ∃ = =
Ví dụ 2: Hàm số

0
( )
1 0
x khi x
f x
x khi x
<

=

− >

b) Định nghĩa 2: Hàm số
( )y f x=
được gọi là có giới hạn là +
∞
khi x dần tới a nếu
0M
∀ >

cho trước,lớn tùy ý luôn
0
δ
∃ >
sao cho khi
x a
δ
− <
ta có
( )f x M>

.Kí hiệu
lim ( )
x a
f x
→
= +∞
Các trường hợp
( ) ,f x x a→ −∞ →
,
( ) ,f x A x→ → ±∞
ta định nghĩa tương tự
Ví dụ: Chứng minh
2
1
1
lim
1
x
x
→
= +∞
−
2. Các tính chất của giới hạn hàm số một biến số
a) Định lí 1: Giả sử
1 2
lim ( ) ,lim ( )
x a x a
f x A f x B
→ →
= =

thì ta có:

1 2 1 2
1 2 1 2
1
1
2 2
lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )
lim( ( ). ( )) lim ( ).lim ( ) .
lim ( )
( )
lim , 0
( ) lim ( )
x a x a
x a
x a x a
x a
x a
x a
x a
f x f x f x f x A B
f x f x f x f x A B
f x
f x A
B
f x f x B
→ →
→
→ →
→

→
→
→
+ = + = +
= =
 
= = ≠
 ÷
 
Ví dụ1: Tính các giới hạn sau

2
2
2 2
2
3
3
sin
) lim
3 1
( 3)
)lim
5 2
( 3)
)lim
2
x
x
x
x

a
x x
x
b
x
x
c
x
π
→
→
→
+ −
−
−
−
−
b) Các dạng giới hạn vô đinh và một số giới hạn đặc biệt
Các giới hạn đặc biệt cần nhớ
5
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB

( )
0
1
0
sinx
lim 1
1 1
lim 1 ,lim 1 ( )

x
x
u
x u
x
e u e u
x x
→
→∞ →
=
 
+ = + = =
 ÷
 
Các dạng giới hạn vô định:
0
, ,0. , ,1
0
∞
∞
∞ ∞ − ∞
∞
Phương pháp giải : khử dạng vô định bằng cách: phân tích thành nhân tử chung, nhân với biểu
thức liên hợp,chia cả tử và mẫu với x có bậc cao nhất,áp dụng các giới hạn đặc biệt.
• Dạng
0
0
Ví dụ 2 : Tính các giới hạn sau

3

2
1
0 0
0
2
0
3
0
0
0
8
)lim
2
1 8 3
)lim
4 2
sin 5 sin
)lim ,lim
tan x
)lim
1 cos
)lim
tan sinx
)lim
arcsin
)lim
arctan
)lim
x
x

x x
x
x
x
x
x
x
a
x
x
b
x
x x
c
x x
d
x
x
e
x
x
f
x
x
g
x
x
h
x
α

→
→
→ →
→
→
→
→
→
−
−
+ −
−
−
−
• Dạng
∞
∞
Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau

2
2
2
3
4
1
)lim
2 3
1
) lim
x

x
x x
a
x
x x
b
x x x
→∞
→+∞
− +
−
+ +
+ −
• Dạng
0.∞
Ví dụ 3 : Tính các giới hạn sau

0
1
)limsinx.cot
)lim(1 ).tan
2
x
x
a x
x
b x
π
→
→

−
• Dạng
∞ − ∞
Ví dụ 4: Tính giới hạn sau:
6
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB

2
1
lim ( 1 )
1 2
lim
1 1
x
x
x x x
x x
→+∞
→
+ −
 
−
 ÷
− −
 
•Dạng
1
∞
Ví dụ 5: Tính các gới hạn sau

2
3
1
sin
0
3
)lim
2
) lim
1
)lim( os2 )
x
x
x
x
x
x
x
a
x
x
b
x
c c x
→∞
+
→∞
→
+
 

 ÷
 
+
 
 ÷
−
 
B.SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ
1. Các định nghĩa:
• Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên khoảng (a,b),
( , )
o
x a b∈
.Ta nói rằng hàm số
( )y f x=

liên tục tại điểm
o
x
nếu
lim ( ) ( )
o
o
x x
f x f x
→
=
• Hàm số

( )y f x=
được gọi là liên tục trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm
( , )
o
x a b∈
• Hàm số
( )y f x=
được gọi là gián đoạn tại điểm
o
x
nếu:
+)
( )f x
không xác định tại
o
x
+)
lim ( ) lim ( )
o o
x x x x
f x f x
+ −
→ →
≠
+) không tồn tại
lim ( )
o
x x
f x
→

Nhận xét: để tìm giới hạn của hàm số liên tục ta chỉ việc thay x bởi
o
x
và áp dụng các công
thức sau:

0
0
0
lim ( )
( )
lim ( )ln ( )
( ) ( )ln ( )
0
0
lim ( ) lim ( )
lim
lim ( ) lim
ln(1 )
lim 1
1
lim 1
o
x x
o
x x
o
o
x x x x
u x

u x
x x
v x u x
v x v x u x
x x x x
u
u
u
u x u x
e e
u x e e
u
u
e
u
→
→
→ →
→
→ →
→
→
=
=
= =
+
=
−
=
• Chú ý:

+) Các hàm sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó
+) Nếu
lim ( ) lim ( )
o o
x x x x
f x f x
+ −
→ →
≠
thì
o
x
gọi là điểm gián đoạn loại 1
+) Hàm số
( )y f x=
liên tục tại điểm
o
x
lim ( ) lim ( ) ( )
o o
o
x x x x
f x f x f x
+ −
→ →
⇔ = =
2. Các ví dụ:
7
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

1
3
0
3
1
1
)lim(1 )
)lim 4 5
)lim(sinx cos )
x
x
x
x
x o
a x
b x x
c x
→
→
→
+
+ +
+
Ví dụ 2: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau

2
1
3 2
1

)
3 2
1
)
1
)
2 1
x
x
a y
x x
b y
e
x x
c y
x
−
+
=
− +
=
−
−
=
−
Ví dụ 3:
)a
Cho hàm số
2
3 2

2
x x
y
x
− +
=
−
.Xác định
(2)f
để hàm số liên tục tại x = 2

)b
Tìm a để hàm số sau liên tục với mọi x
2
1 1
3 ax 1
x khi x
y
khi x
+ ≤

=

− >


)c
Tìm a và b để hàm số sau liên tục với mọi x:
2sin
2

a sin
2 2
cos
2
x khi x
y x b khi x
x khi x
π
π π
π

− ≤ −



= + − < <



≥


Ví dụ 4: Xét sự liên tục và gián đoạn của các hàm số sau

2
2
4
: 2
) ( )
2

0 : 2
: 0 1
) ( )
2 :1 2
x
x
a f x
x
x
x x
b f x
x x

−
≠

=
−


=


≤ ≤
=

− < ≤

8
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB

CHƯƠNG II: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
BÀI 1: ĐẠO HÀM
1. Định nghĩa:
•Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên khoảng (a,b) và
( , )
o
x a b∈
.Nếu tồn tại giới hạn của tỉ số
( ) ( )
o
o
f x f x
x x
−
−
khi
o
x x→
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số
( )y f x=
tại điểm
o
x
.Kí
hiệu
0
( ) ( )
'( ) lim

o
o
x x
o
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
•Nếu ta đặt
x o
x x∆ = −
- gọi là số gia của đối số và
( ) ( )
y o x o
f x f x∆ = + ∆ −
- gọi là số gia của
hàm số thì
0
'( ) lim
x
y
o
x
f x
∆ →
∆
=

∆
•Đạo hàm trái:
0
( ) ( )
'( ) lim
o
o
x x
o
f x f x
f x
x x
−
−
→
−
=
−
,Đạo hàm phải:
0
( ) ( )
'( ) lim
o
o
x x
o
f x f x
f x
x x
+

+
→
−
=
−
Chú ý: hàm số
( )y f x=
có đạo hàm tại
o
x
⇔
( )y f x=
liên tục tại
o
x
và
'( ) '( )
o o
f x f x
+ −
∃ =
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa

) 3 4
1
)
a y x
b y
x
= +

=
2. Đạo hàm của tổng, tích, thương của hai hàm số
Nếu các hàm số
( )u x
và
( )v x
có đạo hàm tại x thì:
a)
( ) ( )u x v x+
có đạo hàm tại x và
( )' ' 'u v u v+ = +
b)
( ). ( )u x v x
có đạo hàm tại x và
( . )' '. '.u v u v v u= +
c)
( )
( )
u x
v x
có đạo hàm tại x và
'
2
'. '.u u v v u
v v
−
 
=
 ÷
 

3. Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số
( )y f u=
có đạo hàm theo biến u và
( )u g x=
có đạo hàm theo x thì hàm hợp
( ( ))f g x
có đạo hàm theo biến x và
'( ) '( ) '( )y x y u u x=
Ví dụ: hàm số
sin(cos )y x=
.Đặt u = cos x
sin( ) '( ) '( ). '( ) os( ).( sinx) sinx. os(cos )y u y x y u u x c u c x⇒ = ⇒ = = − = −
4. Đạo hàm của hàm số ngược
Cho hàm số
( )y f x=
có đạo hàm theo x,
'( ) 0f x ≠
và có hàm ngược là hàm
( )x y
ϕ
=
.Khi
đó hàm
( )x y
ϕ
=
có đạo hàm tại
( )y f x=

và ta có
1
'( )
'( )
y
f x
ϕ
=
Ví dụ: cho hàm số
sinxy =
có hàm ngược là hàm
arcsiny x=
và
'( ) cosy x x=
.Hãy tính đạo
hàm của hàm số
arcsiny x=
5. Bảng đạo hàm của các hàm số thường gặp
9
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB

Đạo hàm của các hàm cơ bản Đạo hàm của hàm hợp tương ứng
1
2
2
2
' 0( ons )
( )' . ( 0, )
( )' ln ( 0, 1)
( )'

1
(log )' ( 0, 1, 0)
ln
1
(ln )' ( 0)
(sinx)' cos
(cos )' sinx
1
(t anx)' ( , )
os 2
1
(cot )' ( , )
sin x
1
(arcsin )' ( 1
1
x x
x x
a
c c c t
x x x R
a a a a a
e e
x a a x
x a
x x
x
x
x
x k k Z

c x
x x k k Z
x x
x
α α
α α
π
π
π
−
= =
= > ∈
= > ≠
=
= > ≠ >
= >
=
= −
= ≠ + ∈
= − ≠ ∈
= <
−
2
2
2
)
1
(arccos )' ( 1)
1
1

(arctanx)'=
1
1
(ar cot )'
1
x x
x
x
c x
x
= − <
−
+
= −
+
1
2
2
2
2
( )' . . '( )
( )' .ln . '( )
( )' '( ).
'( )
(log )'
ln
'( )
(ln )'
(sin )' '( ).cos
(cos )' '( ).sin

'( )
(tan )'
os
'( )
(cot )'
sin
'( )
(arcsin )'
1
'( )
(arccos )'
1
(arc
u u
u u
a
u u u x
a a a u x
e u x e
u x
u
u a
u x
u
u
u u x u
u u x u
u x
u
c u

u x
u
u
u x
u
u
u x
u
u
α α
α
−
=
=
=
=
=
=
= −
=
= −
=
−
= −
−
2
2
'( )
tan )'
1

'( )
(ar cot ) '
1
u x
u
u
u x
c u
u
=
+
= −
+
Ví dụ1: Tính đạo hàm của các hàm số sau

2
3 4
2
2
2
1
sin
) (2 5)
) ln( 1)
)
ln
sin cos
)
cos sinx
(1 )arctan

)
2
)
x
a y x
b y x x
x
c y
x
x x x
d y
x x
x x x
e y
f y e
= +
= + +
=
+
=
−
+ −
=
=
Chú ý( Phương pháp logarit để tính đao hàm)
Hai trường hợp sau ta lấy loogarit rồi mới lấy đao hàm hai vế
+)
( )
'
( ) ( ) ln ln ( ln ) ' ' .( ln )'

v x
f
f x u x f v u v u f f v u
f
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
+) f(x) là tích ,thương của nhiều thừa số
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau
10
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB

2
osx
2 sinx
1
ln
(sin )
( 1)
1
x
c
x
x
x
y x
y x
y x
x
y
x
y x

y x
=
=
= +
 
=
 ÷
+
 
=
=
6. Đạo hàm cấp cao
a)Định nghĩa
Nếu hàm số
( )y f x=
có đạo hàm thì
' '( )y f x=
gọi là đạo hàm cấp 1
Đạo hàm (nếu có) của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2.Kí hiệu
(2)
''( ) ( '( ))'y f x f x= =
Tương tự ta có đạo hàm của đạo hàm cấp n – 1 của hàm
( )y f x=
gọi là đạo hàm cấp n.Kí
hiệu
( ) ( 1)
( ( ))'
n n
y f x
−

=
.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau

2
2 2
1
) (2ln 3)
4
1 2
) sin3 cos3
9 27
) ln( 4) 4
a y x x
b y x x x
c y x x x x
= −
= − −
= + + − +
Ví dụ 2:
)a
chứng minh rằng
sin ln cos lny x x= +
thỏa mãn đẳng thức sau

2
'' ' 0x y xy y+ + =

)b
Chứng minh rằng

2
2
x x
y e e= +
thỏa mãn
''' 6 '' 11 ' 6 0y y y y− + − =

)c
Chứng minh
3
4
x
y
x
−
=
+
thỏa mãn
2
2 ' ( 1) ''y y y= −

)d
Chứng minh
x x
y e e
−
= +
thỏa mãn
1 1
'' ' 0

2 4
xy y y+ − =
Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau

) ln
1
)
1
)
) 2 2
x x
a y x
x
b y
x
c y x
d y
−
=
+
=
−
=
= +
•Công thức leibniz
( ) ( ) ( ) (0) (0)
0
!
( . ) , , ,
!( )!

n
n k n k k k
n n
k
n
u v C u v C u u v v
k n k
−
=
= = = =
−
∑
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
( 2 3)
x
y x x e= + −
.Hãy tính
(3) (6) (10)
, ,y y y

11
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
BÀI 2 VI PHÂN
1. Định nghĩa
a)Cho hàm số
( )y f x=
có đạo hàm tại x,theo định nghĩa đạo hàm ta có
0
'( ) lim

x
y
f x
x
∆ →
∆
=
∆
,trong
đó
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ −
,khi
0 '( ) , 0 0
y
x f x khi x
x
α α
∆
∆ → ⇒ ≈ + → ∆ →
∆

Do đó
'( ). .y f x x x
α
∆ ≈ ∆ + ∆
,Ta gọi biểu thức
'( ).f x x∆
là vi phân cấp 1 của hàm số
( )y f x=
.Kí hiệu :

'( ).dy f x x= ∆
,khi y = x ta có
1. '( ).dy dx x dy f x dx= = ∆ ⇒ =
Nếu hàm số
( )y f x=
có vi phân tại x ta nói hàm
( )y f x=
khả vi tại x,như vậy đối với hàm
một biến số khái niệm hàm số có đạo hàm tại x và hàm số khả vi tại x là tương đương nhau
Chú ý : hàm số
( )y f x=
khả vi tại điểm
o
x
⇔
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim
o o
x x x x
o o
f x f x f x f x
x x x x
+ −
→ →
− −
=
− −
b) Vi phân cấp cao:
( )

( )
n n n
d y f x dx=
2. Các công thức vi phân
Cho các hàm
( ), ( )u x v x
là các hàm số khả vi theo x.Khi đó ta có:

1
2
( )
( . )
d u v du dv
d u v vdu udv
du u du
u vdu udv
d
v v
α α
α
−
± = ±
= +
=
−
 
=
 ÷
 
Chú ý: công thức tính gần đúng giá trị của hàm số tại

o
x x+ ∆
là
0 0
( ) ( ) '( ).
o
f x x f x f x x+ ∆ ≈ + ∆
3. Một số ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: a) Cho y = arctanx, tính
2 3
, ,dy d y d y
b) Cho y = x(lnx-1),tính
2 3
, ,dy d y d y
c) Cho
2
ln( 4)y x x= + +
Tính
2
d y
Ví dụ 2: Tính
,y dy∆
nếu
3 2
( ) 2 1y f x x x x= = + − +
nếu x biến thiên từ 2 đến 2,01
Ví dụ 3: Tính gần đúng
4
15,8
,

4
17
,arctan 1,05;arctan0,97
Ví dụ 4: Tìm vi phân của các hàm số sau

2
2
) 1
2
1 6
) ln
12 6
1
) arctan
)
x
x
a y x
x
b y
x
c y x
x
d y x e
= −
−
=
+
= +
= −

12
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
BÀI 1: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa
• Khái niệm nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số
( )y f x=
trong
khoảng I nếu
( ( ))' ( )x I F x f x∀ ∈ ⇒ =
hay
( ) ( )dF x f x dx=
• Nếu hàm f(x) có một nguyên hàm F(x) thì mọi nguyên hàm của hàm f(x) đều có dạng
( )F x C+
,với C = const.
• Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y = f(x) gọi là tích phân bất định.
Kí hiệu
( )f x dx
∫
2. Bảng tích phân cơ bản

1
2
2
2
2
2 2
2 2
0
( 1)

1
ln ( 0)
( , 1)
ln
sin cos
cos sin
tan
cos
cot
sin
arctan
1
arcsin
1
1
arctan
1
2
x
x
x x
dx C
x
x dx C
dx
x C x
x
a
a dx C a o a
a

e dx e C
xdx x C
xdx x C
dx
x C
x
dx
x C
x
dx
x C
x
dx
x C
x
dx x
C
a x a a
dx
a x a
α
α
α
α
+
=
= + ≠ −
+
= + ≠
= + > ≠

= +
= − +
= +
= +
= − +
= +
+
= +
−
= +
+
=
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2 2
2 2
2 2
ln
arcsin

ln
a x
C
a x
dx x
C
a
a x
dx
x x a C
x a
+
+
−
= +
−
= + ± +
±
∫
∫
∫
3. Tính chất cơ bản của tích phân

af ( ) ( ) , ons
( ( ) ( )) ( ) ( )
x dx a f x dx a c t
f x g x dx f x dx g x dx
= =
± = ±
∫ ∫

∫ ∫ ∫
4. Các phương pháp tính tích phân
13
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
a) Phân tích thành những tích phân đơn giản
Ví dụ: Tính các tích phân sau

3
3 4
2
2
3
2
2
)
3
)
1
) 2
) 1
)
sin 2
)
(1 ln )
x
x
x
a I dx
x
x

b I dx
x
c I x x dx
x
e
d I e dx
x
dx
e I
x
dx
f I
x x
−
−
=
−
=
 
= + +
 ÷
 
 
= −
 ÷
 
=
=
+
∫

∫
∫
∫
∫
∫
b) Đổi biến
Để tính
( )f x dx
∫
ta sử dụng phép biến đổi đặt
( ) '( )x t dx t dt
ϕ ϕ
= ⇒ =
.Khi đó ta có công
thức biến đổi sau
( ) ( ( )) '( )f x dx f t t dt
ϕ ϕ
=
∫ ∫
Ví dụ: Tính các tích phân sau

2
2
6
4 4
2
) 1
)
1
sin 2

)
sin os
) (ln )
a x dx
x
b dx
x
x
c dx
x c x
dx
d x
x
−
+
+
∫
∫
∫
∫
c) Phương pháp tích phân từng phần
• Giả sử
( ), ( )u u x v v x= =
là các hàm khả vi.Khi đó ta có công thức tính tích phân từng phần
là:
.udv u v vdu= −
∫ ∫
•Các trường hợp sau ta dùng tích phân từng phần

( )

( )sin
( )cos
x
P x e dx
P x axdx
P x axdx
α







∫
∫
∫
ta đặt:
( ),u P x dv=
là phần còn lại

( )log
( )arcsin
( )arctan
a
P x xdx
P x xdx
P x xdx








∫
∫
∫
ta đặt
( )dv P x dx=
và u là phần còn lại
sin , os
x x
a xdx a c xdx
α α
β β
∫ ∫
ta đặt tùy ý
Ví dụ: Tính các tích phân sau
14
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
2
2
2
) sin
) sin x
) cos
) ( 3)
) ( 5 1)ln
) arctan

x
x
x
a x xdx
b e dx
c e xdx
d x e dx
e x x xdx
f x xdx
−
+ −
∫
∫
∫
∫
∫
∫
5. Một số tích phân của các hàm số thường gặp và phương pháp giải
a) Tích phân của các phân thức hữu tỷ đơn giản
•Hàm hữu tỷ đơn giản là các hàm số có một trong các dạng sau

:
A
I
x a−
;
:
( )
k
A

II
x a−
;
2
:
Mx N
III
x px q
+
+ +
và
2
:
( )
k
Mx N
IV
x px q
+
+ +
•Phương pháp giải:
Dạng
( )
: . .ln
A d x a
I dx A A x a C
x a x a
−
= = − +
− −

∫ ∫
Dạng
1
1
: . ( ) ( ) .
( ) 1 ( )
k
k k
A A
II dx A x a d x a C
x a k x a
−
−
= − − = +
− − −
∫ ∫
Dạng
III
và IV : +) xét
2
2
2
2 4
p p
x px q x q
 
 
+ + = + + −
 ÷
 ÷

 
 
Với điều kiện
2
4 0p q− <
+) Đặt
2
2 2 2 2
, , ,
2 4 2
p q p
t x a p dx dt x t x px q t a= + = − ⇒ = = − + + = +
.
Ta có:
2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
2
2
: ln( ) arctan
2 2
p
p
M t N
N M
Mx N Mt p t
III dx dt dt dt t a N M
x px q t a t a t a a a
 
− +

−
 ÷
+
 
 
= = + = + + −
 ÷
+ + + + +
 
∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2
1 1
2
ln( ) arctan
2 2
4 4
p
x
p
x px q N M
q q
p p
+
 
= + + + −
 ÷
 
− −
+C

2 2 2 2 2 2 1
1 1
: . .
( ) ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) 2
k
k k k k
Mx N t p dt M p
IV dx M dt N M N M I
x px q t a t a k t a
−
+
   
= + − = + −
 ÷  ÷
+ + + + − +
   
∫ ∫ ∫
Với
2 2
( )
k
k
dt
I
t a
=
+
∫
Ta dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt
2 2

1
,
( )
k
u dv dt
t a
= =
+
Sau khi tìm được kết quả cuối cùng ta thay t bằng x
Ví dụ: tính các tích phân sau
15
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB

3
2
2 2
2
)
4
)
( 3)
2 3
)
1
2
)
( 4 5)
a dx
x
dx

b
x
x
c dx
x x
x
d dx
x x
+
+
+
+ +
+
+ +
∫
∫
∫
∫
b) Tích phân của hàm hữu tỷ bất kì
( )
( )
n
n
P x
Q x
với
( )
2
( ) .( )
n

Q x x a x px q
α
β
= − + +
Phương pháp: Ta dùng phương pháp hệ số bất định

Giả sử
1 2 1 1
2 2 2
( )

( ) ( ) ( ) ( )
n
n
P x A B x C
A A B x C
Q x x a x a x a x px q x px q
α α α
α β
+
+
= + + + + + +
− − − + + + +
Quy đồng phân thức bên phải rồi đồng nhất các hệ số tìm ra các giá trị
1 2 1
, , , , , ,A A A B B
α β
.Rồi áp dụng các dạng
, , ,I II III IV
để làm

Ví dụ: Tính các tích phân sau

( )
2
2
2 2
4 2
3 2
)
2 3
5
)
( 2) 2 5
2
)
( 1)( 1)
2
)
3 2
x
a dx
x x
b dx
x x x
x
c dx
x x
xdx
d
x x

+
+ −
− − +
+ +
+ +
∫
∫
∫
∫
c) Tích phân của biểu thức lượng giác
•Dạng
(sinx, osx)R c dx
∫
: Ta đặt
2
2 2
2 1
tan sinx ,cos
2 1 1
x t t
t x
t t
−
= ⇒ = =
− +
Ví dụ: Tính tích phân sau
,
5 4sin 3cos 2sin cos 5
dx dx
x x x x− + − +

∫ ∫
•Dạng
( sinx,cos ) (sinx, osx)R x R c− = −
(Tức là hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với
sinx): Ta đặt cosx = t
Ví dụ : tính các tích phân sau
3
3 2
sinx sin
, sin
ox2
x
dx xcos xdx
c x
−
∫ ∫
•Dạng
(sinx, cos ) (sinx, osx)R x R c− = −
(Tức là hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với
cosx): Ta đặt sinx = t
Ví dụ: Tính tích phân sau
3
2 3
2
os
sin cos ,
sin
c x
x xdx dx
x

∫ ∫
•Dạng
( sinx, cos ) (sinx,cos )R x R x− − =
(Tức là hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với
cả sinx và cosx):Ta đặt tan x = t
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
16
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB

2 2 2
2 2
)
(sin 2cos )
)
2sin sin 2 3cos
dx
a
x x
dx
b
x x x
+
− +
∫
∫
•Dạng
sin . os
m n
x c xdx
∫

với m,n là số nguyên
+) Nếu m chẵn(hoặc n lẻ) đặt cosx = t (hoặc sinx = t)
+) Nếu m, n đều là chẵn và có ít nhất một trong hai số là số âm thì ta đặt tanx = t,
+) Nếu m và n đều chẵn và dương thì ta dùng công thức hạ bậc

2
2
1
sin (1 os2 )
2
1
os (1 os2 )
2
x c x
c x c x
= −
= +
Ví dụ: Tính các tích phân sau

4
3
4
6
2 4
os
)
sin
sin
)
os

) sin cos
c x
a dx
x
x
b dx
c x
c x xdx
∫
∫
∫
•Dạng
sin . os , sin .sin , os .cosx c xdx x xdx c x xdx
α β α β α β
∫ ∫ ∫
Phương pháp giải: Ta dùng các công thức biến đổi tích thành tổng để đưa về tích phân đơn
giản

( )
( )
1
sin cos (sin( ) sin( ))
2
1
sin sin os( ) os( )
2
1
cos cos os( ) os( )
2
a b a b a b

a b c a b c a b
a b c a b c a b
= + + −
= + − −
= + + −
Ví dụ: Tính các tích phân sau

) sin 3 cos4
) sin x cos3 cos5
) sin 2 cos3
a x xdx
b x xdx
c x xdx
∫
∫
∫
17
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
BÀI 2: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
A. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Định nghĩa
Cho hàm số
( )y f x=
xác định và bị chặn trên
[ ]
,a b
.Ta chia đoạn
[ ]
,a b
thành n- đoạn nhỏ bởi

các điểm chia
1 2 1 1

o i i n n
a x x x x x x x b
+ −
= < < < < < < < < =
.Trên mỗi đoạn nhỏ
[ ]
1
, 0, 1
i i
x x i n
+
∀ = −
ta lấy một điểm bất kì
i
ξ
và lập tổng
1
0
( )
n
n i i
i
I f x
ξ
−
=
= ∆

∑
với
1i i i
x x x
+
∆ = −
Nếu tồn tại
1
ax 0
lim lim ( )
i
n
n i i
n m x
i o
I I f x I
ξ
−
→∞ ∆ →
=
= ⇔ ∆ =
∑
không phụ thuộc vàocách chia đoạn
[ ]
,a b
và
cách chọn điểm
i
ξ
Thì giới hạn đó gọi là tích phân xác định của hàm số

( )y f x=
trên đoạn
[ ]
,a b
.Kí hiệu
( )
b
a
f x dx
∫
,trong đó a – cận dưới,b – cận trên, f(x) – là hàm dưới dấu tích
phân,f(x)dx – biểu thức dưới dấu tích phân
2. Các tính chất của tích phân xác định
[ ]
) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( )
) . ( ) . ( )
) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b a
a b
b b b
a a a
b b
a a
b c b
a a c
a f x dx f t dt

b f x dx f x dx a b
c f x g x dx f x dx g x dx
d k f x dx k f x dx
e f x dx f x dx f x dx
=
= − >
+ = +
=
= +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
3. Các phương pháp tính tích phân xác định
a) Phương pháp đổi biến số
Xét
( )
b
a
f x dx
∫
với
( )f x
là hàm số liên tục trên
[ ]
,a b
•Phương pháp
+) Đặt
( )x t

ϕ
=
,từ điều kiện
a x b
≤ ≤
ta tìm điều kiện của t:
t
α β
≤ ≤
và
'( )dx t dt
ϕ
=
+) Áp dụng công thức
( ) ( ( )) '( )
b
a
f x dx f t t dt
β
α
ϕ ϕ
=
∫ ∫
• Ví dụ: Tính các tích phân sau

1
2
0
2
2

0
6
0
) 1
sin
)
1 cos
) sin
2
a x dx
x
b dx
x
x
c dx
π
π
−
+
∫
∫
∫
18
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
b) Phương pháp tích phân từng phần

•Công thức: Giả sử
( ), ( )u u x v v x= =
là các hàm khả vi và liên tục trên
[ ]

,a b
.Khi đó ta có
công thức tính tích phân từng phần là:
.
b b
b
a
a a
udv u v vdu= −
∫ ∫
• Ví dụ : Tính các tích phân sau

ln2
0
0
3
0
2
0
)
) sin
) arctan
) cos
x
a xe dx
b x xdx
c x xdx
d x xdx
π
π

−
∫
∫
∫
∫
B.TÍCH PHÂN SUY RỘNG
1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn
a) Các giá trị của tích phân suy rộng

( ) lim ( )
( ) lim ( )
( ) ( ) ( )
b
b
a a
a a
c
c
a
a
f x dx f x dx
f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx
+∞
→+∞
→−∞
−∞
+∞ +∞
−∞ −∞
=

=
= +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Chú ý: Nếu các giới hạn bên phải tồn tại thì ta nói các tích phân đó hội tụ ngược lại ta nói
chúng phân kỳ
Ví dụ : Tính các tích phân sau

2 2
2
2
sin
(1 )
1
o
x
o
x xdx
e dx
dx
x
dx
x x
+∞
+∞
−
+∞
−∞
+∞

+
+
∫
∫
∫
∫
b) Sự hội tụ của tích phân suy rộng
Phương pháp: Ta sử dụng các tính chất sau đây để xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
19
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB

)
a
dx
a
x
α
+∞
∫
hội tụ khi
1
α
>
và phân kỳ khi
1
α
<

)b
Nếu các hàm f(x) và g(x) liên tục trên

[
)
,a +∞
và
0 ( ) ( )f x g x≤ ≤
thì
+)Nếu
( )
a
g x dx
+∞
∫
hội tụ thì
( )
a
f x dx
+∞
∫
hội tụ
+)Nếu
( )
a
f x dx
+∞
∫
phân kỳ thì
( )
a
g x dx
+∞

∫
phân kỳ

)c
Nếu
( )
a
f x dx
+∞
∫
hội tụ thì
( )
a
f x dx
+∞
∫
hội tụ
Ví dụ: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân sau

3
1
1
3
1
)
1
1
)
sinx
)

x
dx
a I
x
e
b I dx
x
c I dx
x
+∞
+∞
−
+∞
=
+
+
=
=
∫
∫
∫
2. Tích phân suy rộng với cận là hằng số
a) Các giá trị của tích phân suy rộng
+)
0
( ) lim ( )
b b
a a
f x dx f x dx
ε

ε
−
→
=
∫ ∫
,với
lim ( )
x b
f x
→
= ∞
+)
0
( ) lim ( )
b b
a a
f x dx f x dx
ε
ε
→
+
=
∫ ∫
, với
lim ( )
x a
f x
→
= ∞
Ví dụ1: Tính các tích phân sau

0
2
1
2
0
1
2
2
dx
x
x
dx
x
−
−
+
−
∫
∫
+)
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
với
lim ( )
x c
f x

→
= ∞
Với dạng này ta phải đi tìm các điểm gián đoạn của hàm số f(x)
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau

2
4
2
2
0
4
2
2
2
ln
1
9
dx
x x
dx
x
x dx
x
−
−
−
∫
∫
∫
20

Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
Chú ý: Nếu các giới hạn bên phải tồn tại thì ta nói các tích phân đó hội tụ ngược lại ta nói
chúng phân kỳ
b)Sự hội tụ của tích phân suy rộng
Phương pháp: Ta sử dụng các tính chất sau đây để xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
a) Cho các hàm f(x) và g(x)khả tích trên
[ ]
, 0a b b a
ε ε
− ∀ < < −
và
0 ( ) ( )f x g x≤ ≤

+)Nếu
( )
b
a
g x dx
∫
hội tụ thì
( )
b
a
f x dx
∫
hội tụ
+)Nếu
( )
b
a

f x dx
∫
phân kỳ thì
( )
b
a
g x dx
∫
phân kỳ

)b
Nếu
( )
b
a
f x dx
∫
hội tụ thì
( )
b
a
f x dx
∫
hội tụ tuyệt đối
Nếu
( )
b
a
f x dx
∫

phân kỳ và
( )
b
a
f x dx
∫
hội tụ thì ta nói
( )
b
a
f x dx
∫
bán hội tụ
c)
( )
b
a
dx
b x
α
−
∫
hội tụ khi
1
α
<
và phân kì khi
1
α
≥

( )
b
a
dx
x a
α
−
∫
hội tụ khi
1
α
<
và phân kì khi
1
α
≥

Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau

1
4
0
1
2
0
)
1
sin 2
)

1
n
x
a dx
x
x
b dx
x
−
−
∫
∫

21
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
CHƯƠNG IV: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
BÀI 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
1. Khái niệm hàm nhiều biến số
a) Khái niệm không gian
n
R
: Không gian biến số thực n – chiều là tập hợp các bộ gồm n –
số thực sắp thứ tự
1 2
( , , , )
n
x x x
.Mỗi điểm của không gian
n
R

là một phần tử
1 2
( , , , )
n
x x x
n
R∈
.Kí hiệu là M =
1 2
( , , , )
n
x x x
b) Khái niệm hàm nhiều biến : Cho
n
D R⊂
,ánh xạ
1 2 1 2
: , ( , , , ) ( ) ( , , , )
n
n n
f D R M x x x f M f x x x→ =a
được gọi là hàm số n biến số
• D được gọi là miền xác định của hàm số
•
1 2
, , ,
n
x x x
gọi là các biến số độc lập
• Trường hợp đặc biệt n = 2 – ta có

( , )Z f x y=
gọi là hàm số hai biến số
n = 3 – ta có
( , , )U f x y z=
gọi là hàm số ba biến số
Ví dụ:
2 2
Z x y= +
- gọi là hàm 2 biến x, y

3 3 3
3 3 6U x y xy z yz= + − + − +
- gọi là hàm ba biến số
2. Miền xác định của hàm số nhiều biến số
a) Định nghĩa: Miền xác định của hàm số
( )U f M=
là tập hợp các điểm M =
1 2
( , , , )
n
x x x

sao cho biểu thức
( )f M
có nghĩa
b) Ví dụ: Tìm miền xác định của các hàm số sau

2 2
2 2 2 2
2 2

1
4 9
ln( 1)
z x y
z x y x y
z x y
z x y
= − −
= + − + − −
= + −
= +
3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của hàm hai biến số
a) Đạo hàm riêng
• Định nghĩa (SGT)
+) Đạo hàm riêng theo biến x.Kí hiệu
' '
, , ,
x x
z f
Z f
x x
∂ ∂
∂ ∂
+) Đạo hàm riêng theo biến x.Kí hiệu
' '
, , ,
y y
z f
Z f
y y

∂ ∂
∂ ∂

• Phương pháp tính đạo hàm riêng
Nguyên tắc chung: muốn tính đạo hàm riêng của hàm số
( , )Z f x y=
theo biến nào ta coi
biến đó là ẩn,các biến còn lại coi là hằng số .Sau đó áp dụng các công thức và quy tắc tính
đạo hàm của hàm một biến số để tính.
• Ví dụ : Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau

2 2
2 2
2
ln
arctan
sin
Z x y
Z x y
y
Z
x
Z x y
= +
= +
=
= +
b) Vi phân toàn phần
• Định nghĩa:
22

Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
Cho hàm số
( , )Z f x y=
xác định trên
2
D R⊂
,gọi
( , )
o o o
M x y
,
( , )
o o
M x x y y+ ∆ + ∆
là hai
điểm
D∈
,Nều số gia của hàm số
( , ) ( , ) ( , )
o o o o o o
f x y f x x y y f x y
∆ = + ∆ + ∆ −
được viết dưới dạng
( , ) . . . .
o o
f x y A x B y x y
α β
∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆
trong đó
,A B

là những số phụ thuộc vào
,x y∆ ∆
và
0, 0
α β
→ →
khi
( ) ( )
, 0,0x y∆ ∆ →
(tức là khi
o
M M→
) thì ta nói rằng hàm
( , )Z f x y=

khả vi tại điểm
( , )
o o o
M x y
và biểu thức
A x B y∆ + ∆
gọi là vi phân toàn phần của hàm
( , )Z f x y=
.Kí hiệu
' '
x y
dz f dx f dy= +
• Ví dụ : Tìm vi phân toàn phần của hàm số sau

2 2

3 3
3
sin
2
x y y x
Z x xy y
y
Z
x
Z
+
= + +
=
=
4. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao
a) Đạo hàm riêng cấp cao
• Định nghĩa: Cho hàm số
( , )Z f x y=
xác định trên miền
2
D R⊂
và có đạo hàm riêng cấp
1 là
'
x
Z
và
'
y
Z

.Nếu các đạo hàm riêng
'
x
Z
và
'
y
Z
có các đạo hàm riêng theo biến x và y thì ta
gọi các đạo hàm riêng đó là đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số
( , )Z f x y=
.
Kí hiệu :
( )
( )
( ) ( )
2
2
'
'' '
2
'
'' '
2
' '
'' '' ' '
yx
x
x
x

y
y
y
xy x y
y x
Z
Z Z
x
Z
Z Z
y
Z Z Z Z
∂
= =
∂
∂
= =
∂
= = =
• Ví dụ: Tìm đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau

4 4 2 3
4 3 6 6 9
sin( )
Z x y x y xy x y
Z x y
= + + + + + +
= +
b) Vi phân cấp cao
• Định nghĩa : Cho hàm số

( , )Z f x y=
xác định trên miền
2
D R⊂
và có vi phân toàn phần
là
' '
x y
dz f dx f dy= +
.Nếu
dz
khả vi tại mọi x
∈
D thì vi phân đó gọi là vi phân cấp hai của hàm
( , )Z f x y=
,kí hiệu :
2 2
2 '' 2 '' '' 2
( ) 2
xy
x y
dz d dz z dx z dxdy z dy= = + +
• Ví dụ : Tìm vi phân cấp hai của các hàm số sau

3 4
ln( )
arctan
Z x y
Z x x y
y

Z
x
= +
= +
=
23
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
BÀI 2: CỰC TRỊ
A.CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN
1. Định nghĩa
• Cho hàm số
( , )Z f x y=
xác định trên
2
D R⊂
,
( , )
o o o
M x y D∈
.Ta nói hàm số
( , )Z f x y=
đạt cực trị tại điểm
o
M
nếu
( , )M x y D∀ ∈
nằm gần sát
o
M
nhưng

≠
o
M
thì
( ) ( )
o
f M f M−
có
dấu không đổi
+)
( ) ( ) 0
o
f M f M− >
ta nói hàm
( , )Z f x y=
đạt cực tiểu tại
o
M
và
o
M
gọi là điểm cực
tiểu
( )
o
f M
gọi là giá trị cực tiểu
+)
( ) ( ) 0
o

f M f M− <
ta nói hàm
( , )Z f x y=
đạt cực đại tại
o
M
và
o
M
gọi là điểm cực đại
( )
o
f M
gọi là giá trị cực đại
+) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số gọi chung là cực trị của hàm số
• Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số sau bằng định nghĩa
2 2
Z x y=
2. Định lý điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị
a) Định lý điều kiện cần
Hàm số
( , )Z f x y=
đạt cực trị tại
' '
( , ) ( ) ( ) 0
o o o x o y o
M x y f M f M⇒ = =
* Chú ý: Điểm
o
M

thỏa mãn
' '
( ) ( ) 0
x o y o
f M f M= =
gọi là điểm dừng( hay điểm tới hạn)
b) Định lý điều kiện đủ (SGT)
3 Phương pháp tím cực trị
• Bước 1: Giải hệ phương trình
'
'
( , ) 0
( , ) 0
x o o
y o o
f x y
f x y

=


=


tìm ra các điểm dừng
( , )
o o o
M x y
• Bước 2 : Tính các giá trị
2 2

'' '' ''
2
) ( ), ( ), ( )
)
o xy o o
x y
A f M B f M C f M
B AC
+ = = =
+ −
• Bước 3 : Dựa vào bảng sau để kết luận
2
0B AC
− >
Hàm số không đạt cực trị
2
0B AC
− <
0A >
Hàm số đạt cực tiểu tại
o
M
0A <
Hàm số đạt cực đại tại
o
M
2
0B AC− =
Ta phải dùng định nghĩa để kiểm tra
4 Ví dụ áp dụng

Tìm cực trị của các hàm số sau

3 3
3 3
2 2
3
2 3 6
2
Z x y xy
Z x y x y
Z x xy y x y
= + −
= + − −
= + + − −
B. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM HAI BIẾN
24
Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB
Bài toán : Xét hàm số
( , )Z f x y=
xác định trên miền
2
D R⊂
:
( , )g x y a≤
(a = const).Hãy tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D
1. Phương pháp giải
• Bước 1: Xét tại g(x,y) < a
+) Giải hệ phương trình
'

'
( , ) 0
( , ) 0
x o o
y o o
f x y
f x y

=


=


tìm ra các điểm dừng
( , )
o o o
M x y
+) Tính
( ) ?
o
f M =
•Bước 2: Xét tại
( , ) ( . ) 0g x y a a g x y= ⇔ − =
+) Đặt
( , ) ( , ) ( ( , ))x y f x y a g x y
ϕ λ
= + −
+) Giải hệ phương trình
'

1 1
'
1 1
( , ) 0
( , ) 0
x
y
x y
x y
ϕ
ϕ

=


=


Tìm ra các điểm
1 1 1
( , )N x y
+) Tính
1
( ) ?f N =
•Bước 3: So sánh các giá trị
( ),
o
f M
1
( )f N

+) Giá trị lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của hàm số
+) Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên là GTNN của hàm số
2. Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN của các hàm số sau

2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 , : 100
, : 5
, : 1
Z x y D x y
Z x y D x y
Z x y D x y
= + + ≤
= + + ≤
= + ≤

CHƯƠNG V: TÍCH PHÂN BỘI
25