Vai trò của tính lồi trong bài toán tối ưu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN LÂM HÀ

VAI TRÒ CỦA TÍNH LỒI
TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN LÂM HÀ

VAI TRÒ CỦA TÍNH LỒI
TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN – 2015

✐

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐✐
▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❚➟♣ ❧ç✐ ✈➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
✶✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✷✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✷✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✷✳✶✳ ❍➔♠ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✷✳✷✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✶✳✸✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❤➔♠ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✷✳✶✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❤â❛ ✤ì♥ ♠ö❝ t✐➯✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✷✳✶✳✷✳ ❱➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✷✳✷✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✷✳✸✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ ❞÷î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✾

✷✳✸✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❞÷î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷✳✸✳✷✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ ❞÷î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❱❛✐ trá ❝õ❛ t➼♥❤ ❧ç✐ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻




ớ ỡ
ữủ t t trữớ ồ ồ
ồ ữợ sỹ ữợ ừ ụ ữ ổ
tọ ỏ t ỡ s s ố ợ t sỹ t t t t
ữợ t tr t ỳ t
ự tr sốt q tr t tỹ
ổ t ỡ ỏ t ồ
t trữớ ồ ồ ồ ũ
t ổ t ồ õ q
t ú ù tr sốt tớ ồ t t trữớ
ố ũ tổ ỷ ớ ỡ tợ trữớ
P ũ ỗ ú
ù t tổ ồ t ự
ổ t ỡ

t
ồ

r tớ t ồ õ ự ử
ỹ ừ ớ số ở t ỵ tt t
ỗ ỗ õ ởt tr q trồ tr t ồ q
t ữ t ỗ tố ữ õ t ồ
t t ởt tờ qt ỗ ợ ởt số t t
ỡ ữủ sỷ ử rở r tr t ồ ỵ tt ụ ữ t
ồ ự ử
r ự ử t tữớ t tố ữ ỗ
t t t tố ữ ỗ ừ t tố ữ
ỗ ụ ữ trỏ ừ t ỗ tr t tố ữ ỳ t
tr õ ỳ t t ỡ rt
t ỗ t ỳ tũ r ộ t
ỹ tr t t ữớ t ữ r ữủ ỳ ữỡ
qt ộ t
ử t t ỗ tr t tố ữ t
ỡ tổ ồ t trỏ ừ t ỗ tr t tố
ữ ừ
ỗ ữỡ ở t
ử t t
ữỡ tr tự ỡ t ỗ
t ỗ ỗ t t ừ ỗ ữợ ừ
ỗ ừ t tố ữ ỗ t tố ữ ỗ
ữ trú t ữỡ ữợ
t tố ữ ỗ
ữỡ ợ t t tố ữ ỗ ừ

✷
❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❧ç✐ ✈➔ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ ❞÷î✐ ✤↕♦
❤➔♠ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤↔ ✈✐ ✈➔ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ ❞÷î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥
tè✐ ÷✉ ❧ç✐ ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ ✈✐✱ ✳✳✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✵✻ ♥➠♠ ✷✵✶✺

◆❣✉②➵♥ ▲➙♠ ❍➔

❍å❝ ✈✐➯♥ ❈❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✼❆
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣
❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥
❊♠❛✐❧✿ ❛♥❤t❤✉❜♦♥❣❤❣❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠




ữỡ
ỗ ỗ
r ú t s ợ ổ
tr trữớ số tỹ

R



Rn

ữỡ tr ởt số

tự ỡ t t ỗ ỗ ũ ợ ởt số t t
trữ ừ õ s ữủ sỷ ử tr ở ừ ữỡ
ữủ tr ừ tứ t t

t t ừ t ỗ
t t
A X x1 x2 A
t ố x1 x2 õ
{x X : x = x1 + x2 , , R, + = 1}.

ữớ t q x1 x2 ữủ
{x R : x = x1 + x2 , 0, 0, + = 1}.

ởt t A ữủ ồ A ự ồ ữớ

t q x1, x2 t tở A tự
x1 , x2 A, R t x1 + (1 )x2 A.
sỷ a Rn ởt tỡ R õ




ỷ ổ õ
{x : aT x > } ỷ ổ
A X ữủ ồ ỗ
{x : aT x }

x1 , x2 A, R : 0 1

t x1 + (1 )x2 A.

ử


X





t ỗ

ỷ ổ tr

R2



R3

t ỗ

trỏ tr t ỡ tr ổ
tr ổ rt t ỗ

ỗ õ ợ ở

ợ ởt số tỹ tự C D t ỗ tr Rn t C D
C + D ụ t ỗ

ừ ởt ồ tũ ỵ t ỗ tr Rn ởt t ỗ
tr Rn
ự sỷ A Rn( I) t ỗ ợ I t số
A = I A ỗ
tũ ỵ x1 x2 A õ x1 x2 A ợ I A ỗ
x1 + (1 )x2 A ợ [0, 1] x1 + (1 )x2 A
A t ỗ

t t ự t

sỷ Ai

ỗ i R(i = 1, 2, . . . , m) õ
1 A1 + 2 A2 + . . . + m Am ỗ
tỡ x Rn ữủ ồ tờ ủ ỗ ừ tỡ
x1 , x2 , . . . , xm Rn
Rn

m

i 0, i = 1, 2, . . . , m,

m

i = 1 : x =
i=1

i xi .
i=1

A Rn ỗ õ ự ồ tờ ủ ỗ

ừ tỡ ừ õ tự A Rn ỗ
m

m N, 1 , . . . , m 0 :

m

i = 1, x1 , . . . , xm A
i=1

i xi A.
i=1

ự ồ m = 2 ú
ự q sỷ

m

A 1 , . . . , m 0

A t ỗ t tũ ỵ x1 , . . . , xm
m

i = 1; x =

ự

m = 1 : x1 A; 1 = 1 x A
m = 2 : x1 , x2 A; 1 + 2 = 1 A
sỷ x A ú ợ m 1 t õ
m

i=1

ợ
ợ

i = 1; i 0; i N.

m1

i xi =
i=1

ợ

x = 1 x1 + 2 x2 A

i=1

m

x=

ỗ s r

m

i xi A; xi A;

t

x A

i=1

i=1

i xi + m xm
i=1

m = 0 x A
m = 1 1 = . . . = m1 = 0 x = xm A
0 < < 1 t õ
1 m = 1 + . . . + m1 > 0,
i
0(i = 1, . . . , m 1).
1 m

m1

i
= 1

i=1 1 m
y A xm A t õ


1 m > 0



m1
t tt q

xi A

y =

ợ

i=1

(1 m ) + m = 1 x = (1 m )y + m xm A.

ừ ởt t ỗ A ữủ ừ

t ọ t ự A ổ s s ợ A ữủ
dimA t ữủ ồ ừ A ữủ
af f A


✻

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳ ✣✐➸♠ x0 ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐ A ⊂ Rn ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ tr♦♥❣
t÷ì♥❣ ✤è✐ ❝õ❛

A ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ af f A ❝â ♠ët sè λ > 0 s❛♦ ❝❤♦
x0 + λ(x − x0 ) ∈ A✳ P❤➛♥ tr♦♥❣ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❝õ❛ A ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr♦♥❣
t÷ì♥❣ ✤è✐ ❝õ❛ A✱ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ riA✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳ ❚➟♣ A ⊂ Rn ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥â♥ ♥➳✉✿
∀a ∈ A, ∀λ > 0

t❤➻ λx ∈ A.

◆â♥ A ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥â♥ ♥❤å♥ ♥➳✉ ♥â ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣✳ ◆â♥ A
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐ ♥➳✉ A ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✳ ◆➳✉ A ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ ✤❛ ❞✐➺♥ t❤➻ t❛
♥â✐ ♥â♥ s✐♥❤ ❜ð✐ A ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐ ✤❛ ❞✐➺♥✳
▼ët ✈➼ ❞ö q✉❛♥ trå♥❣ ✈➲ ♥â♥ ❧ç✐ tr♦♥❣

Rn

❧➔ ♥â♥ ♦rt❤❛♥t ❞÷ì♥❣

Rn+ = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n}.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳ ●✐↔ sû A ⊆ Rn ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ✈➔ x0 ∈ A✳ ❚➟♣
NA (x0 ) = {x∗ ∈ Rn : x∗ , x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ A},

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ A t↕✐ x0✳
❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ 0 ∈ NA(x0) ♥➯♥ t❛ ❝â NA(x0) ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐ ✤â♥❣✳

✶✳✶✳✷✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ t→❝❤

❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ t→❝❤ t➟♣ ❧ç✐ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ q✉❛♥
trå♥❣ ♥❤➜t ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧ç✐✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✵✳ ❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝
✤✐➸♠ ❝â ❞↕♥❣

{x ∈ Rn : aT x = α},

tr♦♥❣ ✤â✱ a ∈ Rn ❧➔ ✈❡❝tì ❦❤→❝ ✵ ✈➔ α ∈ R✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✶✳ ❚➟♣ ❝â ❞↕♥❣
{x ∈ Rn : a, x ≥ α},

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤â♥❣✱ tr♦♥❣ ✤â a = 0 ✈➔ α ∈ R✳





{x Rn : a, x > },

ữủ ồ ỷ ổ
ởt s s ổ r ỷ ổ ộ
ỷ ổ ởt ừ s
ừ ỷ ổ ỷ ổ õ

t S T rộ õ s
t, x =

t S T
t, x t, y , x S, y T.

t t S T
t, x < < t, y , x S, y T.

t S T
sup t, x < < inf t, y , x S, y T.
xS

yT

ỵ t S T t ỗ rộ tr

s S T = õ t õ ởt s t S T
ỵ t S T t ỗ õ rộ
s S T = sỷ õ t t ởt t t õ t
õ t t ởt s

Rn

ú ỵ

tt ởt tr t t ổ tọ

t ỵ ổ ỏ ú

ử S = {(x, y) R2 | xy 1}



T = {(x, y) R2 | y 0}

t õ rớ ữ ổ t

q ờ rs a Rn A tr m ì n

õ a, x 0 ợ ồ x tọ Ax 0 tỗ t
y 0 tở Rm s a = AT y


✽

❍➻♥❤ ✶✳✶✿ ❚→❝❤ ❤➥♥ ✤÷ñ❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ t→❝❤ ❤➥♥ ✤÷ñ❝
Þ ♥❣❤➽❛ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ❇ê ✤➲ ❋❛r❦❛s✿ ❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❣è❝ tå❛ ✤ë

a, x = 0 ✤➸ ♥â♥ Ax ≥ 0 ✈➲ ♠ët ♣❤➼❛ ❝õ❛ ♥â ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈❡❝tì ♣❤→♣
t✉②➳♥ a ❝õ❛ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♥â♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥
A✳

✶✳✷✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ❧ç✐
✶✳✷✳✶✳ ❍➔♠ ❧ç✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✸✳ ❍➔♠ f

A ⊆ Rn ✳

❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
✭✐✮ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ A ♥➳✉

: A → R ∪ {+∞}

①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ ❧ç✐

f [(1 − λ)x + λy] ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ A, x = y, ∀λ ∈ [0, 1].

✭✐✐✮ ❤➔♠ ❧ç✐ ❝❤➦t tr➯♥ A ♥➳✉
f [(1 − λ)x + λy] < (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ A, x = y, ∀λ ∈ (0, 1).

✭✐✐✐✮ ❤➔♠ ❧ã♠ ✭❧ã♠ ❝❤➦t✮ tr➯♥ A ♥➳✉ ❤➔♠ −f ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ✭❧ç✐ ❝❤➦t✮ tr➯♥
A✳
✭✐✈✮ ❤➔♠ ❛❢❢✐♥❡ tr➯♥ A ♥➳✉ f ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ✈ø❛ ❧ç✐ ✈ø❛ ❧ã♠ tr➯♥ A✳


✾

f : A → R ∪ {+∞} ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ♠ð rë♥❣ t❤➔♥❤ ❤➔♠
n
✤à♥❤ tr➯♥ t♦➔♥ ❜ë R ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤➦t f (x) = +∞ ✈î✐ ♠å✐ x ∈
/ A✳
n
✤➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥ t❛ ①➨t ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ t♦➔♥ R ✳
❍➔♠ ❧ç✐

❧ç✐ ①→❝
❉♦ ✤â✱

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳
•

❍➔♠ ❛❢❢✐♥❡ ❦❤æ♥❣ ❧ç✐ ❝❤➦t ❤❛② ❧ã♠ ❝❤➦t✳

•

❍➔♠ ❧ç✐ ❝❤➦t ❧➔ ❧ç✐ ♥❤÷♥❣ ✤✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✹✳ ❈❤♦ ❤➔♠ f : A → R ∪ {+∞} ✈î✐ A ⊆ Rn✳ ▼✐➲♥ ❤ú✉

❞ö♥❣ ❝õ❛ f ❧➔ t➟♣

domf = {x ∈ A : f (x) < +∞}.

❚➟♣ tr➯♥ ✤ç t❤à ❝õ❛ f ❧➔
epif = {(x, α) ∈ AxR : f (x) ≤ α}.

❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣ ♥➳✉ domf = ∅ ✈➔ f (x) >
−∞, ∀x ∈ A✳
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✻✳ ❍➔♠ ❧ç✐ ❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣ f tr➯♥ Rn ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ tr♦♥❣
❝õ❛ ♠✐➲♥ ❤ú✉ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♥â ✭f ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ domf ✮✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳
• epif
m

• f(

f

❧ç✐ tr➯♥

A

♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉

❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✱ ❤❛②

m

λi xi ) ≤

i=1

i✱

❚❛ ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤➔♠

tr♦♥❣ ✤â

λi f (xi ) ✈î✐ ♠å✐ xi ∈ A✱

λi = 1 ✈➔ λi ≥ 0 ✈î✐ ♠å✐
i=1

i=1

m

m

❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ✭❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❏❡♥s❡♥✮✳

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳
❛✮ ❍➔♠

f :R→R
f (x) = x2
epif = {(x, µ) ∈ R × R; f (x) = x2 ≤ µ},
❧➔ t➟♣ ❧ç✐ tr♦♥❣

R×R⇒f

❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐✳


✶✵
❜✮ ❍➔♠

f :R→R
f (x) = x3
❦❤æ♥❣ ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ✈➻

epif = {(x, µ) ∈ R × R; f (x) = x3 ≤ µ},
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❧ç✐ tr♦♥❣

R × R✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✺✳ ❍➔♠ f (x) ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ ❧ç✐ C ⊂ Rn ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❧ç✐ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✱ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè ρ > 0 ✭❤➡♥❣ sè ❧ç✐ ♠↕♥❤✮ s❛♦ ❝❤♦
✈î✐ ♠å✐ x✱ y ∈ C ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ λ ∈ [0, 1] t❛ ❝â
f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)ρ||x − y||2 .

❈❤ó þ ✶✳✷✳

❍➔♠ ❧ç✐ ♠↕♥❤ t❤➻ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥❤÷♥❣ ✤✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✳

❱➼ ❞ö✱ ❤➔♠

ex ✱ x ∈ R

❧ç✐ ❝❤➦t ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ❧ç✐ ♠↕♥❤✳

✶✳✷✳✷✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✼✳ ❈❤♦ f ✈➔ g ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ t➟♣ ❧ç✐ S ✈➔ T t÷ì♥❣ ù♥❣✳

❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ❤➔♠ αf + βg✱ ✭∀α, β ≥ 0✮ ✈➔ max{f, g} ❧➔ ❧ç✐ tr➯♥ S ∩ T ✳
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✽✳ ▼ët ❤➔♠ ❧ç✐ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ ❧ç✐ A t❤➻ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ♠å✐
✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❝õ❛ A✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳ ❇è♥ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ❜↔♦ t♦➔♥ ❤➔♠ ❧ç✐
• ◆➳✉ fi : Rn → R (i = 1, . . . , m) ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ t❤➻ α1 f1 + . . . + αm fm ❧ç✐
✈î✐ ♠å✐ αi ✈➔ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥➳✉ ➼t ♥❤➜t ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ fi ❧ç✐ ❝❤➦t ✈î✐
αi > 0✳
• ◆➳✉ fi (i ∈ I) : Rn → R ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ t❤➻ ❤➔♠ f (x) = sup fi (x) ❧➔ ❤➔♠
i∈I
❧ç✐✳
• ◆➳✉ S : Rn → R ❧➔ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ f : Rn → R ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐
t❤➻ ❤➔♠ ❤ñ♣ g(x) = f (Ax) ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐✳

f : T Rn R ỗ g : R R ỗ ổ
t ủ h(x) = g(f (x)) ỗ
t f : A R{+} ỗ tr Rn R{+}
õ õ t ỗ
t ự ữợ


C = {x : f (x) < }, C = {x : f (x) },


t ự tr
D = {x : f (x) > }, D = {x : f (x) },

f ởt ó tr Rn

ú ỵ



f

tọ ồ t ự ữợ t ỗ ữủ ồ

tỹ ỗ ử

f (x) = x3

tr

R

tỹ ỗ

f (x) x Rn ỗ ởt

số f (x + d) ỗ t ợ ộ x, d Rn
f ỗ tữớ tr Rn tỡ t Rn
ồ ởt ữợ rt ữợ ừ f t x0 Rn
t, x x0 + f (x0 ) f (x), x Rn .

tt ữợ rt ồ ữợ ừ f t x0

f (x0 ) = {t Rn : t, x x0 f (x0 ) f (x), x Rn }.

f ữủ ồ ữợ t x0 f (x0) =
f ởt ỗ ỳ tr t ỗ C ú õ
f õ ữợ t ồ tở riC
ứ ỵ r r

Rn

f

ởt ỗ tr t ổ

t õ õ ữợ t ồ

riRn = Rn

f : Rn R ỗ x domf t

f (x ) = minn f (x) 0 f (x ).
xR


✶✷

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❞♦ f ✤↕t ❝ü❝ t✐➸✉ t↕✐ x∗ ∈ domf ♥➯♥
f (x) − f (x∗ ) ≥ 0 ⇔ f (x) − f (x∗ ) ≥ 0, x − x∗ ⇔ 0 ∈ ∂f (x∗ ).

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✼✳ ❈❤♦ D ⊆ R ❧➔ ❧ç✐✱ f : D → R ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ✈➔

❳➨t ❜➔✐ t♦→♥✿

min f (x).

≥ 0✳
✭P✮

x∈D

▼ët ✤✐➸♠ x∗ ∈ D ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✲ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭P✮ ❦❤✐
f (x∗ ) ≤ min f (x) + .
x∈D

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳ ❱❡❝tì x∗ ∈ D ❧➔ ✲ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥
❦❤✐ 0 ∈ ∂ f (x∗)✳

✭P✮

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✽✳ ❈❤♦ D ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ tr➯♥ Rn✱ x ∈ Rn

✈➔ ≥ 0✳ ▼ët ✤✐➸♠ px ∈ D ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✲ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ x tr➯♥ D ♥➳✉ px ❧➔
♠ët ✲ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥
1
min{ ||x − y||2 },
y∈D 2

♥❣❤➽❛ ❧➔✱
tr♦♥❣ ✤â✱

✭◗✮

1
1
||x − px ||2 ≤ ||x − PD (x)||2 + ,
2
2
PD (x) ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ x tr➯♥ D✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ ❈❤♦ D ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱ px ❧➔ ✲ ❝❤✐➳✉
❝õ❛ x tr➯♥ D ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

x − px , px − y ≥ − , ∀y ∈ D.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✾✳ ❱î✐ t ∈ Rn\{0}✱ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❣✐î✐ ❤↕♥ ✭❤ú✉ ❤↕♥ ❤❛②

✈æ ❤↕♥✮

f (x0 + λt) − f (x0 )
,
λ→0
λ
lim

t❤➻ ❣✐î✐ ❤↕♥ ✤â ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ t❤❡♦ ❤÷î♥❣ t ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ x0✱ ❦➼
❤✐➺✉ f (x0, t).




f ởt ỗ tữớ x0 domf
õ
f (x0, t) tỗ t ợ ộ ữợ t Rn tọ
f (x0 + t) f (x0 )
.
>0


f (x0 , t) = inf

t f (x0, t) ỗ t t ữỡ x f (x0)

x , t f (x0 , t), t Rn .

f tử t x0 t f (x0, t) ỳ tử t ộ
t Rn ữợ f (x0 ) t
f (x0 , t) = max{ x , t |x f (x0 )}.

f ỗ tr t ỗ C t ợ ồ x C ồ

s x + t C t ữợ t ừ f t x ổ tỗ t
ú
t

f (x, t) f (x + t) f (x).

r ợ ộ x ố f (x, .) ởt ỗ tr t ỗ
{t : x + t C}
ứ ỵ s r

f

t

f (x, t) =

f (x), t , t.

ởt t ỗ C Rn f : Rn R tr
C

f ỗ tr C
f (y) f (x) +

f (x), y x ,

f (y) > f (x) +

f (x), y x ,

ợ ồ x y C

ợ ồ x y C x = y t f ỗ t tr C




ỵ ỡ ữợ ỗ


f : Rn R

ỗ tữớ

> 0

t õ

x domf f ỗ tữớ
ụ ỗ tữớ x dom(f )
õ (f ) (x, .) = f (x, .) s r (f )(x) = f (x)
x
/ domf t (f )(x) = f (x) =
f (x)

t ợ

(f )(x) =

> 0 t f

ỵ s s ú t ự ởt số t t ừ ữợ

f1, f2, . . . , fk ỗ ỳ tr t ỗ

rộ S tr Rn A tr m ì n b riA(S)
x S, Ax = b, fi (x) < 0, i = 1, 2, . . . , k,

ổ t tỗ t ởt tỡ t Rk ỳ số ổ 1, 2, . . . , k
õ tờ s
k

t, Ax b +

i fi (x) 0, x S.
i=1

ứ ỵ t õ t ự ởt số ỵ s

r r f1, f2 ỗ
tữớ tr Rn t ợ ộ x Rn õ

f1 (x) + f2 (x) (f1 + f2 )(x).

ỡ ỳ tỗ t ởt a domf1 domf2 ởt tr
tử t a t õ tự ữủ
A : Rm Rn t tỷ t t tử f
ỗ tữớ tr Rn t ợ ộ x Rm t õ
AT f (Ax) (f A)(x).

f tử t ởt số tr Im(A) t tự tr
tự ợ x Rn tr õ Im(A) ừ A


✶✺

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✵✳ ▼ët t➟♣ ❝♦♥ G ❝õ❛ R × R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❦❤✐
x¯ − y¯, x − y ≥ 0,

♥â

tr♦♥❣ ✤â (x, x¯), (y, y¯) ∈ G.

▼ët →♥❤ ①↕ ✤❛ trà T : R ⇒ 2R ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♥➳✉ ✤ç t❤à ❝õ❛
G(T ) = {(x, x¯) ∈ R × R : x¯ ∈ T (x)},

❧➔ ♠ët t➟♣ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳ ▼ët t➟♣ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉
♥â ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ tr♦♥❣ ❤å ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ t➟♣ ❝♦♥ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ R × R✳ ❚❛ ♥â✐
r➡♥❣ ♠ët t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ T ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ ❦❤✐ ✤ç t❤à ❝õ❛ ♥â ❧➔
♠ët t➟♣ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✳
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✾✳ ◆➳✉ f ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐✱ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R t❤➻ →♥❤ ①↕ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥
❝õ❛ ♥â ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✳


✶✻

❈❤÷ì♥❣ ✷
❱❛✐ trá ❝õ❛ t➼♥❤ ❧ç✐ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥
tè✐ ÷✉

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➲ ✈❛✐ trá ❝õ❛ t➼♥❤ ❧ç✐ tr♦♥❣
❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤÷ñ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ ❝❤õ ②➳✉ tø t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✷❪✱ ❬✸❪✱ ❬✹❪✱
❬✺❪ ✈➔ ❬✻❪✳

✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❧ç✐
✷✳✶✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❤â❛ ✤ì♥ ♠ö❝ t✐➯✉
❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❞÷î✐ ❞↕♥❣

min{f (x) ✿ x ∈ D},
tr♦♥❣ ✤â✱

D

D⊆X

✭t❤÷í♥❣

✿ ♠✐➲♥ r➔♥❣ ❜✉ë❝✱

f

✭P✮

X ≡ Rn ✮✱ f : D → R✳
✿ ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ✣✐➸♠ x∗ ∈ D ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ tè✐ ÷✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣
❝õ❛ ✭P✮ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ x∗ s❛♦ ❝❤♦

f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ U ∩ D.

◆➳✉
f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ D,

t❤➻ x∗ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ tè✐ ÷✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ✭P✮✳



ữớ t

D := {x X, gj (x) 0, hi (x) = 0, j = 1, . . . , m, i = 1, . . . , p},
gj , hi



r ở

ú ỵ
max{f (x) : x D} = min{f (x) : x D},
t tố ữ trũ

D t ỗ rộ f ỗ õ ồ

tố ữ ữỡ ừ f tr D ụ tố ữ t ử
ự sỷ x D ởt tố ữ ữỡ ừ

(P )
x D s
t

tỗ t ởt



B(x , )

ừ

f (x ) f (x), x B(x , ) D.
ợ t ý

x D

t õ

x = x + (1 )x = x + (x x ) B(x , ) D,


0<<1





ừ ọ

x

ỹ t ữỡ

ỗ

f (x ) f (
x) f (x) + (1 )f (x ) f (x ) f (x).
õ ự tọ

x

tố ữ t ử ừ t

ử
t t
X = Rn f

t t

C

ởt t ỗ tự

f (x) = cT x

số tr,

C := {x 0 : Ax = b},

(P )

f

A

tr õ

tr

m



n b Rm

t

n

cj xj ( cT x),

max
j=1
tọ

n

xj 0,

aij xj bi (i = 1, . . . , m).
j=1

ởt q t t

t t t ỗ
C ỗ f ỗ tữớ t C

ữủ ợ

gj

ỗ

hi



ử P ởt t ỗ

min{||x y||2 : x C},
tr õ

y

ữủ trữợ

ừ t tố ữ ỗ
sỷ t

min{f (x) x C Rn }.

P

õ trữớ ủ tỗ t tố ữ t ử

C = ổ õ ữủ
f ổ ữợ tr C infxC f (x) =
infxC f (x) < ữ ổ õ ỹ t
ỗ t x C s f (x ) = min fxC f (x)

ừ tỗ t ừ tố ữ t ử
P



F + (C) := {t R : f (x) t, x C},

õ ữợ
ự x t ử t F +(C) = [f (x), +] õ
ũ ừ ởt t ữợ

F + (C) ữợ t t = inf F + (C) > ứ
t = inf F + (C) s r x C s f (x ) = t

ữủ sỷ

F + (C)

õ




strss C t f ỷ tử ữợ
tr C t

õ ởt tố ữ
q ỷ tử ữợ tr tọ
t ở s
P

f (x) +

x C, ||x|| +,

t f õ ởt ỹ t tr
ự t C(a) := {x C : f (x) f (a)} ợ a C
C(a)

f õ
f tr C

õ

ỹ t ừ

ởt ỹ t tr

C(a)

ụ

rữớ ủ ổ
t q ỗ C t ỗ f
P

ỗ tr C f ữợ t ừ x
tố ữ ừ t P
0 f (x ) + NC (x ),



tr õ NC (x) õ t ừ C t x
ự t C ừ C t õ C (x) = 0 x C
C (x) =



x = C



õ t P õ t ữủ t t

t ổ r ở tữỡ ữỡ

min{f (x) + C (x), x Rn }.
õ

x

ởt tố ữ ừ P

0 (f (x ) + C (x )).
ỷ ử ỵ r r t õ t t

0 f (x ) + C (x ).
ứ

C (x ) = NC (x ) := {w : w, x x 0, x C},

P



t õ

0 f (x ) + NC (x ).

q x intC x S(C, f ) t tố ữ ừ

t 0 f (x) t f C t ở ổ
t 0 = f (x)
P

sỷ t P ữủ

min f (x),

tr õ

x D := {x D : gj (x) 0, hi (x) = 0, j = 1, . . . , m, i = 1, . . . , k},
ợ

= X Rn



f, gj , hi : Rn R, j, i

r

ổ tự

m

L(x, , à) := 0 f (x) +

k

j gj (x) +
j=1

ồ P ởt t ỗ

X

ài hi (x).
i=1

ỗ

rs r sỷ

f, gj
P

ỗ

hi



t ỗ x

ởt tố ữ ừ t P t tỗ t i 0(i = 0, 1, . . . , m)
àj (j = 1, . . . , k) ổ ỗ tớ s
L(x . , à ) = min L(x, , à ),
xX

ũ
ỡ ỳ intX = tr
j gj (x ) = 0 (i = 1, . . . , m).

x0 D : gi (x0 ) < 0 (i = 1, . . . , m),

ữủ tọ hi ở t t
tr X t 0 > 0 tr ừ ữủ
x tr t tố ữ ừ P

ự sỷ x tố ữ ừ P
C := {(0 , 1 , . . . , m , à1 , . . . , àk ) | (x X) :
f (x) f (x ) < 0 , gi (x) i , i = 1, . . . , m, hj (x) = àj , j = 1, . . . , k}.
X =

f, gi ỗ hj X t C t ỗ õ tr
Rm+k+1 õ 0
/ C t sỷ ữủ 0 C t õ ởt

t x s f (x) < f (x ) t

ợ x ởt tố ữ


ứ ỵ t õ i (i = 0, 1, . . . , m), àj (j = 1, . . . , k) s
ứ

ỗ



m

k

i i

i=0

àj àj 0, (0 , . . . , m , à1 , . . . , àk ) C.

+



j=1

ú ỵ r

0 , . . . , m > 0

t ồ

x = x

t õ

(0 , . . . , m , 0, . . . , 0) C.
0 , 1 , . . . , m 0 r ợ > 0 x X

t ồ 0 = f (x) f (x ) + i = gi (x) (i = 1, . . . , m) àj = hj (x)
(i = 1, . . . , k) sỷ ử t 0 x X t õ
õ t õ t t

m

0 f (x)+

k

i gi (x)+
i=1

m

ài hi (x)



k

0 f (x )+

i=1

i gi (x )+
i=1

ài hi (x ).
i=1



L(x , , à ) L(x, , à ), x X.
trt t ữủ ự

x õ t

gi (x ) = < 0 t ợ ồ > 0

ự ũ t t r tứ

gj (x ) 0

ợ ồ

j

õ

i

s

t õ

( , . . . , , , . . . , , 0, . . . , 0) C (
t

i 0



i = 0

0

t õ

t

i 0

i + 1).
ữ tứ

< 0

õ