BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

MỤC LỤC

SVTH: Lưu Thùy Thương

-Trang 1-


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Đa tạp khả vi
1.1. Đa tạp khả vi
Định nghĩa:
Cho M là không gian tôpô Hausdorff, n là số nguyên không âm. Một atlas A (lớp

C k , k  0 ) n chiều trên M là họ những (U , ) , U là một tập mở trong M ,  là
một đồng phôi từ U lên  (U ) - mở trong

n

 : U   (U )
p

 ( p)  ( x1 ( p), x 2 ( p),..., x n ( p))

( U : miền xác định của M , (U , ) được gọi là bản đồ địa phương của M )
sao cho:

M
I

U

+ Nếu (U , ) ; (U ,  ) là hai bản đồ địa phương thuộc atlas A mà U  U    thì:

  1 :  (U  U  )   (U  U  )
( xi ( p))

( y i ( p))

là một vi phôi lớp C k giữa các tập mở  (U  U  ) ,  (U  U  ) trong

n

Atlas A được gọi là tối đại nếu mọi atlas B của M (cùng lớp C k ) mà B  A thì

B= A
Một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều trên M là một atlas (lớp C k ) n chiều tối
đại trên M
Hai atlas khả vi A, B lớp C k trên M gọi là tương đương (cùng xác định một cấu trúc
đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều trên M ) nếu với mọi (U , )  A và (V ,  )  B mà

SVTH: Lưu Thùy Thương

-Trang 2-


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

U  V   thì   1 và   1 khả vi lớp C k . Dĩ nhiên hợp của tất cả atlas tương
đương với atlas A cũng là một atlas lớp C k , đó chính là atlas tối đại mở rộng từ atlas

A
Một atlas bất kỳ, lớp C k , bao giờ cũng mở rộng một cách duy nhất thành một atlas tối
đại như trên. Do đó, để cho một cấu trúc đa tạp khả vi ta chỉ cần cho một atlas khả vi
lớp C k là đủ
Không gian tôpô Hausdorff M cùng với một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều
trên M gọi là đa tạp khả vi lớp C k n chiều. Và ta vẫn ký hiệu đa tạp đó là M .
Một đa tạp khả vi lớp C k , với mọi k 

thì M đựơc gọi là đa tạp nhẵn (lớp C  ).

Rõ ràng để cho một đa tạp khả vi (lớp C k ), ta chỉ cần cho một atlas khả vi lớp C k
 Để cho tiện từ nay về sau nói chung chúng ta giả thiết các đa tạp được xét là đa tạp
nhẵn
Phép đổi toạ độ địa phương:

U

U




 (U  U  )

 (U )

 (U  U  )



 (U  )

1

Với (U , ) , (U  ,  ) là hai bản đồ địa phương của M mà U  U    thì:

  1 :  (U  U  )   (U  U  )
( xi ( p))

SVTH: Lưu Thùy Thương

( y i ( p))

-Trang 3-


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI

VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

được gọi là phép biến đổi tọa độ địa phương từ bản đồ (U , ) sang bản đồ (U  ,  )
Hiển nhiên ta cũng có phép đổi tọa độ địa phương từ bản đồ (U  ,  ) sang bản đồ

(U , )
1.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Mặt cầu n chiều S n xác định bởi:


S n   x  ( x1, x 2 ,..., x n1 ) 


n 1

n1

|  ( x1 )  1
i 1


Xét atlas A  (U , ),(V , ) , trong đó U  S n \ (0,0,...,0,1); V  S n \ (0,0,...,0, 1) và:

:

U
( x1, x 2 ,..., x n1 )

:

V
( x1, x 2 ,..., x n1 )

 1 :

n

( x1 , x 2 ,..., x n )

 1 :

n

( x1 , x 2 ,..., x n )

n

 2 x1
2x2
2xn 
,
,...,


n 1
1  x n1
1  x n1 
1 x

n

 2 x1
2 x2
2xn 
,
,...,


n 1
1  x n1
1  x n1 
1 x

U
n


( xi )  4 


1
n
4x
4x


,...,
, i 1 n
n

n


i 2
4   ( xi ) 2 4   ( xi ) 2 
 4   (x )
i 1
i 1
i 1



V
n


4

( xi ) 


1
n
4x
4x
i 1


,...,
,

n
n
n

i 2
i 2
i 2
4   (x ) 4  (x ) 
 4   (x )
i 1
i 1
i 1



Ta dễ thấy rằng  1 và   1 là các ánh xạ nhẵn. Do đó, S n là một đa tạp khả vi
nhẵn.
Ví dụ 2: Ánh xạ Gauss

SVTH: Lưu Thùy Thương

-Trang 4-


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

1.3. Tích của hai đa tạp khả vi

M , N là hai đa tạp nhẵn với số chiều theo tứ tự là m và n, với các atlas của chúng lần







 ,

lượt là: A  (U , ) và B  (V ,  ) thì C  (U  V ;   )

là atlas khả vi

của đa tạp nhẵn m+n chiều trên M  N và M  N được gọi là đa tạp tích.
m n

Torng đó:    : U  V   (U )   (V ) 
1.4. Đa tạp con

2. Ánh xạ khả vi
2.1. Định nghĩa
Cho M , N là hai đa tạp khả vi nhẵn có số chiều lần lượt là m, n. Ánh xạ f : M  N
gọi là ánh xạ khả vi lớp C k nếu f liên tục với mọi bản đồ địa phương (U , ) của

M và (V ,  ) của N mà U  f 1 (V )   thì ánh xạ:





 f  1 :  U  f 1 (V )   V  f (U ) 
 ( p)

 ( f ( p))

là ánh xạ khả vi lớp C k
Các ánh xạ  f  1 gọi là các biểu thức tọa độ địa phương của f
Ta ký hiệu hình thức

 ( x)  ( x1, x 2 ,..., x m )
 ( y )  ( y1, y 2 ,..., y n )
Hạng của f tại x là hạng của ánh xạ  f  1 | ( x ) , tức là hạng của ma trận:

  (  f  1 ) j 


xi

nm

, với

i  1, m
j  1, n

Khi k   thì f được gọi là khả vi lớp C  (hay nhẵn)

SVTH: Lưu Thùy Thương

-Trang 5-


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

Định nghĩa:
Ánh xạ f : M  N được gọi là vi phôi lớp C k nếu f là song ánh và f , f 1 là các
ánh xạ khả vi lớp C k
Định nghĩa:
Ánh xạ f : M 

nhẵn thì ta gọi f là hàm nhẵn trên M

Tập các hàm nhẵn trên M được ký hiệu là
2.2. Ví dụ
Ví dụ 1

M là đa tạp khả vi m chiều trong U - mở của

k

N là đa tạp khả vi n chiều trong V - mở của

s

F : U  V khả vi và F (M )  N thì

f  F : M  N khả vi vì trên M thì

 f  1   F  1 khả vi
Ví dụ 2 (Ánh xạ Gauss)

3. Không gian tiếp xúc
3.1. Định nghĩa
Đặt vấn đề

Định nghĩa

3.2. Đạo hàm của một hàm số theo một hướng

SVTH: Lưu Thùy Thương

-Trang 6-


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

3.3. Vi phân của một hàm số khả vi

4. Trường vectơ
4.1. Định nghĩa
Nhận xét

Định nghĩa

4.2. Tính chất

5. Ánh xạ tuyến tính tiếp xúc
5.1. Định nghĩa
5.2. Nhận xét

6. Phân hoạch đơn vị
6.1. Định nghĩa
Định nghĩa:
Một họ tập con (U i )iI của không gian tôpô M được gọi là hữu hạn địa phương nếu
với mỗi x  M có một lân cận U giao khác rỗng chỉ với một sốhữu hạn tập mở của họ

(U i )iI
Nếu (U i )iI và (V j ) jJ là các phủ mở của một tập thì phủ (U i )iI gọi là mịn hơn phủ

(V j ) jJ nếu mỗi phần tử của họ (U i )iI là tập con của một phần tử nào đó của họ
(V j ) jJ

SVTH: Lưu Thùy Thương

-Trang 7-


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

Không gian tôpô M được gọi là compact địa phương nếu mỗi điểm của nó có một lân
cận mà bao đóng là compact
Không gian tôpô M gọi là có cơ sở mở đếm được nếu có họ đếm được tập mở U i mà
mọi tập mở của M là hợp của những U i đó
Định nghĩa:
Nếu f là hàm thực thì giá của f là: Support ( f )  x | f ( x)  0
Ký hiệu: Supp( f )
6.2. Đa tạp paracompact
Không gian tôpô Hausdorff M gọi là paracompact nếu mọi phủ mở của M đều tồn tại
một phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn.
Nếu M là đa tạp khả vi lớp C k và tôpô của M là paracompact thì M là đa tạp
paracompact lớp C k
Người ta chứng minh được rằng, một đa tạp C k với cơ sở mở đếm được thì bao giờ
cũng là paracompact
6.3. Định lý về phân hoạch đơn vị
Nếu (U i )iI là một phủ mở của M , thì họ các hàm số khả vi (lớp C k ) i iI trên M
thỏa mãn:

1) i  0, i  I
2) Supp i  U i
3) Họ Supp i iI hữu hạn địa phương, tức là với mọi x  M có lân cận chỉ giao với
một số hữu hạn tập Supp i

4)

i ( x)  1, x  M
iI

Định nghĩa:
Họ i iI nói trên được gọi là phân hoạch đơn vị ứng với phủ (U i )iI của đa tạp M .

SVTH: Lưu Thùy Thương

-Trang 8-


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ ỨNG DỤNG

SVTH: Lưu Thùy Thương

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

-Trang 9-


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

Chương 2
DẠNG VI PHÂN VÀ KHÔNG GIAN
ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
1. Dạng vi phân
1.1.Dạng đa tuyến tính thay dấu
Định nghĩa:
Gọi

Sq

là tập các phép thế của

(1,2,..., q) . Thì với mỗi phép thế

  Sq , :{1,2,..., q}  {1,2,..., q} ta xây dựng ánh xạ (vẫn ký hiệu là  )

 : T q (V * )  T q (V * )
f
( f )
mà  ( f )(v1, v2 ,..., vq )  f (v (1) , v (2) ,..., v ( q) ) , với v1, v2 ,..., vq V
Nếu  ( f )   f thì f được gọi là dạng đa tuyến tính thay dấu (ở đây   là dấu của
phép thế 
Đặt  q (V * ) là tập các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu
Ta quy ước: 0 (V * ) 
1 (V * )  V *

Nhận xét:
Với q  n thì  q (V * )  0 , vì với mọi    q (V * ) do tính thay dấu của  ta suy ra

 0
Mệnh đề:
Tập các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu (  q (V * ) ) là một không gian vectơ.

SVTH: Lưu Thùy Thương

-Trang 10-


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI

VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

Chú ý: Dạng đa tuyến tính thay dấu còn được gọi là dạng đa tuyến tính phản đối xứng.
Định nghĩa (tích ngoài)
Nếu   q (V * ),    s (V * ) , tích ngoài của  và  là một phần tử được ký hiệu là
   xác định bởi:
1
  
    v (1) , v (2) ,..., v ( q)    v (1) , v (2) ,..., v ( q) 
q !s !  Sq  s
Mệnh đề
Với , 1, 2  q (V * ) ;  ,1,2   s (V * ) ;    k (V * ) và a 

thì ta có:

i )     (1) qs  
ii ) (1  2 )    1    2  
iii )   (1  2 )    1     2
iv) (a )      (a )  a(   )
v) (   )      (   )      
Nhận xét:
Ngoài tính chất kết hợp thì tích ngoài còn là dạng song tuyến tính
Định lý:
Giả sử e1, e2 ,..., en là một cơ sở của V và e1, e2 ,..., en là cơ sở của không gian liên hợp

V * : ei (e j )   ij . Nếu 1  q  n , tập hợp các phần tử ei1  ei2  ...  e q
i

với

( 1  i1  ...  iq  n ) làm thành một cơ sở của  q (V * ) và ta có dim q (V * )  Cnq
Nếu q  n thì  q (V * )  {0}
Hệ quả 1

dim  (V )
q

*

 Cnq ,

dim n (V * )  1

Hệ quả 2

  q (V * ) và q lẻ thì     0
Định lý
Giả sử v1, v 2 ,..., vn là một cơ sở của không gian V và    n (V * ) . Đối với n vectơ bất
n

kỳ i   aij v j thuộc V . Ta có  1, 2 ,..., n   det(aij ).  v1, v2 ,..., vn 
j 1

SVTH: Lưu Thùy Thương

-Trang 11-

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

1.2. Dạng vi phân trên đa tạp

1.3. Ánh xạ đối tiếp xúc
Cho f : M  N là ánh xạ nhẵn giữa các đa tạp. Khi đó ta định nghĩa ánh xạ f * :

f * :  qr ( N )   rq ( M )



f *

Trong đó: f * là dạng vi phân bậc q trên M . Và x  M ; v1, v2 ,..., vq  Tx M

( f * ) x (v1, v2 ,..., vq )   f ( x) (Tx f (v1),..., Tx f (vq ))
thì f * được gọi là ánh xạ đối tiếp xúc
Lưu ý: Với g là hàm thực nhẵn (khả vi lớp C  ) ta đặt f * g  g f

2. Tích phân trên đa tạp
2.1. Đa tạp định hướng

2.2. Đa tạp với bờ, định hướng của bờ

2.3. Tích phân trên đa tạp

2.3.1. Định nghĩa

2.3.2. Định lý Stock

3. Dạng đóng, dạng chính xác và không gian đối đồng điều Dehram

SVTH: Lưu Thùy Thương

-Trang 12-


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

3.1. Dạng đóng

3.2. Dạnh chính xác
Định nghĩa

Nhận xét

3.3. Định nghĩa không gian đối đồng điều

3.4. Ánh xạ f * ( H( f ) )

SVTH: Lưu Thùy Thương

-Trang 13-

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

Chương 3
BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
VÀ CÁC ỨNG DỤNG
1. Định lý cơ bản
1.1. Định lý

1.2. Ví dụ

2. Tính chất
2.1. Định nghĩa

2.2. Định lý, hệ quả

3. Một số áp dụng

SVTH: Lưu Thùy Thương

-Trang 14-