SỰ CẦN THIẾT CỦA CÁC MẪU HẠT NHÂN I LÝ DO XUẤT HIỆN CÁC MẪU HẠT NHÂN

HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

CHƯƠNG 1: SỰ CẦN THIẾT CỦA CÁC MẪU HẠT NHÂN
I. LÝ DO XUẤT HIỆN CÁC MẪU HẠT NHÂN
Cho đến nay chúng ta chưa xây dựng được một lý thuyết hoàn chỉnh để giải thích
toàn diện và đúng đắn tất cả các số liệu thực nghiệm về hạt nhân. Các vấn đề liên quan
đến lý thuyết hạt nhân có thể phân thành hai loại là cấu trúc hạt nhân và phản ứng hạt
nhân. Tuy nhiên, khi xây dựng lý thuyết hạt nhân ta vấp phải 3 khó khăn chính là:
+ Không biết chính xác về lực tương tác giữa các nucleon trong hạt nhân.
+ Số lượng các phương trình miêu tả sự chuyển động của các nucleon trong hạt
nhân rất lớn.
+ Không thể quan niệm hạt nhân như một môi trường vĩ mô liên tục.
Để tránh các khó khăn trên người ta phải xây dựng các mẫu hạt nhân, trong đó
hạt nhân được thay bằng một hệ vật lý nào đó có khả năng miêu tả các tính chất của
hạt nhân với cách giải thích toán học đơn giản có thể chấp nhận được. Mẫu hạt nhân
cần giải thích được các tính chất cơ bản của các trạng thái hạt nhân như spin, độ chẵn
lẻ, momen từ, momen tứ cực điện, các tính chất của các trạng thái kích thích , mà
trước tiên là phổ kích thích của hạt nhân, và các tính chất động lực học của hạt nhân
như xác suất phóng gamma của các mức kích thích của hạt nhân. Mỗi mẫu hạt nhân
chỉ giải thích được một số tính chất của hạt nhân, do đó có nhiều mẫu hạt nhân khác
nhau.

II. PHÂN LOẠI CÁC MẪU HẠT NHÂN
Mỗi mẫu giải thích một số tính chất về hạt nhân. Chưa có mẫu nào có thể giải
thích toàn diện các hiện tượng hạt nhân. Chính vì vậy các mẫu riêng lẻ vẫn cứ song
song tồn tại.
Cơ sở để xây dựng mẫu hạt nhân là giả thuyết về sự độc lập của một tập hợp nào
đó các bậc tự do của hạt nhân. Các bậc tự do của hạt nhân được chia làm hai loại là :
bậc tự do một hạt mô tả sự chuyển động của các hạt riêng biệt, và bậc tự do tập thể mô

tả sự chuyển động của một số lớn hạt. Một cách tương ứng, mẫu hạt nhân cũng được
phân thành hai loại là mẫu tập thể và mẫu một hạt, ngoài ra còn có mẫu suy rộng, là
tổng hợp hai mẫu nói trên.

-1-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

II.1 Mẫu tập thể
Mẫu tập thể là mẫu dựa trên các bậc tự do tập thể của nhiều hạt và còn được gọi
là mẫu tương tác mạnh giữa các hạt. Mẫu này thể hiện các hiệu ứng tập thể trong hạt
nhân khi quãng đường tự do của các hạt trong hạt nhân rất bé so với kích thước hạt
nhân. Điều đó cũng tương đương với khái niệm cho rằng các hạt bên trong hạt nhân
tương tác mạnh với nhau và với một số ít hạt bên cạnh. Với ý nghĩa đó mẫu tập thể coi
hạt nhân như một giọt chất lỏng hay một vật rắn. Mẫu tập thể gồm mẫu giọt chất lỏng
và mẫu hạt nhân không có dạng hình cầu.

II.2 Mẫu một hạt
Mẫu một hạt dựa trên các bậc tự do của một hạt và được gọi là mẫu các hạt độc
lập. Trong mẫu này, quãng đường tự do của các hạt lớn hơn kích thước hạt nhân, tức là
một hạt chuyển động độc lập trong một thế năng trung bình nào đó. Mẫu một hạt gồm
mẫu vỏ không có tương tác dư và mẫu vỏ có tính đến hiệu ứng cặp.

II.3 Mẫu suy rộng
Mẫu suy rộng tính đến các tính chất chuyển động độc lập lẫn tính chất chuyển
động tập thể của các hạt trong hạt nhân. Mẫu này gồm mẫu suy rộng với liên kết yếu
và mẫu suy rộng với liên kết mạnh.

Hai giả thiết cơ bản của mẫu suy rộng là:
+ Dạng cân bằng của hạt nhân ở xa các số magic là dạng elipxoit tròn xoay.
+ Chuyển động tập thể trong đó có chuyển động dao động và chuyển động quay
không phá hoại dạng của hố thế hạt nhân.

-2-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

III. SƠ ĐỒ TỔNG QUÁT MÔ TẢ CẤU TRÚC HẠT NHÂN

Hình 1: Sơ đồ tổng quát mô tả cấu trúc hạt nhân

-3-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

CHƯƠNG 2 : MẪU GIỌT CHẤT LỎNG
I. KHÁI NIỆM
Mẫu giọt chất lỏng là mẫu điển hình nhất của các mẫu tương tác mạnh (mẫu tập thể).
Trong mẫu giọt chất lỏng, các nucleon được xem là tương tác mạnh với nhau giống như các
phân tử trong một giọt chất lỏng. Một nucleon đã cho thường xuyên va chạm với các nucleon
khác ở bên trong hạt nhân, quãng đường tự do trung bình của nó nhỏ hơn nhiều so với bán
kính hạt nhân. Sự chuyển động “zic – zắc” thường xuyên như thế gợi cho chúng ta hình ảnh

về sự chuyển động nhiệt hỗn loạn của các phân tử trong một giọt chất lỏng.
Mẫu gọt giả thiết rằng các nucleon va chạm thường xuyên với nhau và hạt nhân phức
hợp có thời gian sống dài trong các phản ứng hạt nhân. Mẫu giọt cho phép chúng ta thiết lập
được sự tương quan của nhiều sự kiện về khối lượng và năng lượng liên kết của hạt nhân; nó
rất tiện ích trong việc giải thích sự phân hạch và các phản ứng hạt nhân.
Theo mẫu này thì hạt nhân là một giọt chất lỏng hình cầu mang điện và không nén được.
Các phần tử tạo nên chất hạt nhân là các nucleon chỉ tương tác với những nucleon bên cạnh.
Những chuyển động riêng lẻ của từng nucleon không gây các tính chất của nhân. Chỉ có
những tương tác mạnh của các nucleon mới tạo nên các tính chất của hạt nhân.
Trong tất cả các mẫu hạt nhân, mẫu giọt là mẫu đơn giản nhất. Mẫu giọt do N.Bohr đề
ra năm 1936. Tuy đơn giản nhưng mẫu giọt được ứng dụng hiệu quả trong việc giải thích
nhiều tính chất của hạt nhân và phản ứng hạt nhân.

II. Cơ sở xây dựng mẫu giọt chất lỏng
Mẫu giọt chất lỏng của hạt nhân được xây dựng trên cơ sở giống nhau giữa hạt
nhân và giọt chất lỏng. Đó là:
II.1 Tính không chịu nén của hạt nhân và giọt chất lỏng
Mật độ hạt nhân ρ không phụ thuộc số khối lượng A, tức là không phụ thuộc
vào kích thước hạt nhân, và bằng cỡ 1014 g/cm3. Giọt chất lỏng tuy có mật độ
bé hơn nhưng cũng không phụ thuộc vào kích thước của nó. Đó là tính không
chịu
nén của hạt nhân và giọt chất lỏng.
Mật độ hạt nhân là một hằng số, không đổi với mọi hạt nhân.

-4-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

n=

A
A
A
3
=
=
=
≈ 1038 nucleon / cm3
3
4
4
V
π R3
π r03 A 4π r0
3
3

ρ = n.mn = 1038.1, 66.10−24 ≈ 1014 g / cm3

Đối với chất lỏng thì mật độ cũng không phụ thuộc vào kích thước của nó (tính
không thể nén được của chất lỏng).
II.1 Tính bão hòa của các lực tương tác
Năng lượng liên kết trung bình trên một nucleon tuy có thay đổi theo số khối
lượng A nhưng dao động trong khoảng từ 7,4 MeV đến 8,6 MeV, với giá trị trung bình
khoảng 7,6 MeV. Điều đó cho thấy một nucleon trong hạt nhân không tương tác với
tất cả các nucleon còn lại mà chỉ tương tác với một số hữu hạn các nucleon ở gần nó.
Hiện tượng này xuất phát từ tính bão hòa của lực hạt nhân. Giọt chất lỏng cũng có tính

chất tương tự. Trong một giọt chất lỏng các phân tử tương tác với nhau bằng các lực
tác dụng gần, nghĩa là mỗi phân tử chỉ tác dụng với một số phân tử ở gần nó. Các phân
tử nằm trên bề mặt của giọt chất lỏng chỉ liên kết một phía với các phân tử khác. Vì
vậy phía còn lại sẽ tạo nên một sức căng bề mặt.

Hình 2 : Các nucleon chứa bên trong hạt nhân.
Dựa vào các đặc tính giống nhau đó mà N. Bohr và J. Frenkel đã xây dựng mẫu
giọt chất lỏng. Mẫu giọt chất lỏng coi hạt nhân là một giọt chất lỏng mang điện tích và
không nén được. Các phần tử tạo nên hạt nhân là các nucleon, chúng tương tác với các
nucleon bên cạnh. Năng lượng liên kết của hạt nhân gồm năng lượng thể tích, năng
lượng bề mặt và năng lượng Coulomb, tương ứng với 3 số hạng đầu trong công thức
bán thực nghiệm Weizsacker (1.60). Phạm vi ứng dụng của mẫu giọt chất lỏng là miêu
tả năng lượng liên kết trung bình của hạt nhân là hàm của A và Z, khảo sát các dao

-5-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

động bề mặt của các hạt nhân hình cầu và giải thích định tính quá trình phân hạch hạt
nhân.

III. ỨNG DỤNG CỦA MẪU GIỌT CHẤT LỎNG
III.1 Mô tả năng lượng liên kết của hạt nhân
Công thức bán thực nghiệm Weizsacker:
Elk ( A, Z ) = α A − β A2/3 −

γZ2

A
1
− ς ( − Z ) 2 − δ Elk
1/3
A
2
A

( 1)

Ba số hạng đầu của công thức (1) có thể được giải thích trên cơ sở mẫu giọt chất
lỏng.
− Số hạng thứ nhất tương ứng với năng lượng khối. Đối với một giọt nước, nhiệt
lượng cần thiết để nó bay hơi tỉ lệ với nhiệt độ bay hơi. Nhiệt độ này tỉ lệ với năng
lượng chuyển động của các phân tử tạo nên giọt nước. Cũng như vậy, một hạt nhân
muốn tách thành các nucleon riêng biệt phải được cung cấp một năng lượng thắng
được năng lượng liên kết giữa các nucleon. Năng lượng liên kết đó bằng tổng các năng
năng lượng liên kết của từng nucleon, bằng α A, trong đó α là năng lượng liên kết
trung bình của nucleon trong hạt nhân.
− Số hạng thứ hai tương ứng với năng lượng mặt. Đối với một giọt nước ta có
sức căng mặt ngoài. Đối với hạt nhân cũng tương tự như vậy, các nucleon trên bề mặt
hạt nhân chỉ chịu sức hút về phía trong vì ở phía ngoài không có chất hạt nhân nữa. Vì
vậy năng lượng liên kết của hạt nhân phải trừ đi một lượng tỉ lệ với diện tích bề mặt
hạt nhân, tức là tỉ lệ với A2/3.
− Số hạng thứ ba tương ứng với năng lượng đẩy tĩnh điện Coulomb. Hạt nhân là
một giọt chất lỏng tích điện dương. Lực tương tác tĩnh điện trong hạt nhân có giá trị
dương và làm giảm lực liên kết. Năng lượng Coulomb tỉ lệ với bình phương số proton
Z2
Z và tỉ lệ nghịch với kích thước hạt nhân A , nghĩa là tỉ lệ với 1/3 .
A

2

1/3

Hai số hạng cuối của công thức (1) không được giải thích trong khuôn khổ mẫu
giọt chất lỏng mà phải tính đến vai trò của số các nucleon, tính đối xứng của Z và N,
và tính chẵn lẻ của số nucleon trong hạt nhân. Nói khác đi, hai số hạng đó được miêu
tả bởi mẫu vỏ hạt nhân.

-6-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

III.2 Tính khối lượng của hạt nhân
Từ công thức năng lượng liên kết (1) có thể nhận được khối lượng hạt nhân như
sau:
M = Zm p + ( A − Z ) mn − Elk ( A, Z )
M = Zm p + ( A − Z ) mn − Elk ( A, Z ) − α A + β A2/3 +

γ Z2
A
1
+ ς ( − Z ) 2 − δ Elk
1/3
A
2
A

( 2)

Công thức bán thực nghiệm (2) cho phép tính bất cứ khối lượng của hạt nhân nào
với A, Z, mp và mn cho trước với sai số tương đối không vượt quá 10-4.
Công thức (2) biểu diễn sự phụ thuộc khối lượng hạt nhân vào điện tích Z và số
khối lượng A. Đối với các hạt nhân đồng khối, khối lượng M chỉ phụ thuộc vào Z và
biến thiên theo hàm parabole (hình 3).

Hình 3 : Các hạt đồng khối với A lẻ. Các hạt nhân phân rã β − và β + để chuyển
về hạt nhân bền nhất có khối lượng bé nhất ứng với điện tích Zo.
Trên hình 3, khối lượng cực tiểu tại giá trị Z o ứng với hạt nhân bền nhất. Giá trị
Zo được xác định bằng cách lấy đạo hàm khối lượng M theo Z đối với A cố định và
cho đạo hàm này bằng 0:
Z0 =

A
1,98 + 0, 015 A3/2

Trong công thức bán thực nghiệm thì số hạng hiệu chính trong năng lượng liên
kết là:

-7-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

Trên hình 3 hạt nhân có khối lượng M(Z o) là hạt nhân bền nhất trong số các hạt

nhân đồng khối với A lẻ. Do với A lẻ thì δ Elk = 0 theo công thức (1) nên M(Z) là hàm
đơn trị theo Z, do đó đối với mỗi giá trị A chỉ có một giá trị Z o tương ứng với hạt nhân
đồng khối bền. Hạt nhân với Z = Z o + 1 ở nhánh bên phải của parabole có khối lượng
lớn hơn M(Zo) nên phân rã β + để chuyển về hạt nhân này. Hạt nhân đồng khối với Z
= Zo – 1 ở nhánh bên trái của parabole cũng có khối lượng lớn hơn M(Z o) và phân rã
β − để chuyển về hạt nhân bền. Cũng tương tự như vậy, hạt nhân (A, Z o + 2) phân rã
β + để chuyển về hạt nhân (A, Z o + 1) và hạt nhân (A, Z o – 2) phân rã β − để chuyển về

hạt nhân (A, Zo – 1). Ví dụ với A = 25 thì Z o = 12, đó là hạt nhân bền 12Mg25; với A =
43 thì Zo = 20, đó là hạt nhân bền 20Ca43, . . .
Đối với hạt nhân đồng khối với A chẵn, khối lượng M(Z) là hàm lưỡng trị vì số
hạng δ Elk trong công thức (1) nhận hai giá trị khác nhau đối với các hạt nhân chẵnchẵn và lẻ - lẻ. Khi đó khối lượng M khi A không đổi được miêu tả bởi hai đường
parabole thể hiện trên hình 4.

Hình 4 : Các hạt nhân đồng khối với A chẵn. Hình 4a ứng với các
hạt nhân lẻ - lẻ không bền còn các hạt nhân chẵn - chẵn bền. Hình 4b
ứng với các hạt nhân lẻ-lẻ bền còn các hạt nhân chẵn - chẵn không bền.

-8-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

Trên hình 4a, đường parabole dưới ứng với các hạt nhân bền hơn, đó là các hạt
nhân với Z chẵn, còn đường parabole trên ứng với các hạt nhân kém bền hơn, đó là các
hạt nhân với Z lẻ. Từ hình 4a thấy rằng các hạt nhân cạnh nhau trên cùng một parabole
khác nhau về Z đến 2 đơn vị và tồn tại một vài hạt nhân bền đối với các hạt nhân đồng
khối chẵn - chẵn. Đó là do sự chuyển đổi hạt nhân với điện tích Z o + 2 hay Zo –2 thành

hạt nhân với điện tích Zo +1 hay Zo –1 bị cấm về mặt năng lượng còn sự chuyển đổi
trực tiếp bằng phân rã b kép từ hạt nhân Z o + 2 hay Zo –2 sang hạt nhân Zo có xác suất
rất bé, coi như không thể xảy ra. Mặt khác mỗi hạt nhân trên parabole trên có hai hạt
nhân nhẹ hơn với điện tích cách ± 1 nằm ở parabole dưới nên tất cả hạt nhân đồng
khối lẻ-lẻ đều không bền, trừ bốn hạt nhân 1H2, 3Li6, 5B10 và 7N14.
Bốn hạt nhân này thuộc trường hợp được minh họa trên hình 4b, khi đó hạt nhân
lẻ - lẻ bền còn hạt nhân chẵn-chẵn không bền. Ví dụ với hạt nhân lẻ - lẻ 7N14 do các hạt
nhân chẵn - chẵn 6C14 và 8O14 chuyển thành.

III.3 Khảo sát các dao động bề mặt của hạt nhân hình cầu
Ta hãy xem xét sự kích thích các bậc tự do khả dĩ của giọt chất lỏng hạt nhân.
Trong trạng thái tự do, nghĩa là không bị kích thích, giọt chất lỏng có dạng hình cầu. Ở
trạng thái kích thích, giọt chất lỏng không bị nén nhưng có thể thay đổi dạng hình học,
do đó các bậc tự do bị kích thích sẽ tương ứng với các dao động bề mặt.

Hình 5 : Giọt chất lỏng có dạng hình cầu (hình a). Dao động tứ cực (hình b) và
dao động bát cực (hình c) của giọt chất lỏng.
Lý thuyết phi lượng tử của các dao động bé bề mặt của giọt chất lỏng tự do đã
phát triển trước khi có lý thuyết lượng tử. Theo lý thuyết này thì tần số thấp nhất ωquad
ứng với các dao động riêng tứ cực, khi đó giọt chất lỏng có dạng hình ellipsoid căng
hay dẹt (hình 5b). Tần số cao hơn ωoct ứng với các dao động bát cực, khi đó giọt chất

-9-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

lỏng có dạng hình quả lê (hình 5c). Các dao động riêng khác tương ứng với các biến

dạng phức tạp hơn và có tần số cao hơn. Khi chuyển sang lí thuyết lượng tử thì các dao
động riêng của hạt nhân được lượng tử hóa. Việc lượng tử hóa không làm thay đổi các
tần số riêng nhưng các phổ năng lượng và momen động lượng của các trạng thái dao
động kích thích trở thành gián đoạn. Khi đó các năng lượng dao động tứ cực và bát
cực nhận các giá trị sau:
Equad = hωquad nquad ; Eoct = hωoct noct

(3)

Trong đó nquad và noct là số các lượng tử tứ cực và bát cực, đồng thời n quad, noct = 1,
2, . . . Mỗi lượng tử tứ cực có spin J = 2 và độ chẵn lẻ dương, còn mỗi lượng tử bát cực
có spin J = 3 và độ chẵn lẻ âm. Sử dụng công thức Weizsacker (1) có thể tính được
năng lượng của lượng tử tứ cực bằng:
hωquad = 30 A1/2 MeV

( 4)

Lượng tử bát cực có năng lượng cỡ hai lần năng lượng lượng tử tứ cực với cùng
một giá trị A. Các công thức (3) và (4) phù hợp với thực nghiệm đối với các mức thấp
nhất khi nquad = 1, 2 và noct = 1. Bây giờ ta hãy xem xét mẫu giọt chất lỏng miêu tả các
mức năng lượng thấp nhất như thế nào. Nếu mức cơ bản có đặc trưng 0+ thì mức kích
thích thứ nhất là mức 2+ có năng lượng tính theo công thức (4). Mức 3 tiếp theo sẽ có
năng lượng gấp đôi. Gần mức 3 là ba mức nằm rất gần nhau tương ứng với trạng thái
kích thích của hai lượng tử tứ cực với các đặc trưng 0+, 2+ và 4+. Chú ý rằng khi cộng
r

r

hai vector 2 với 2 ta được vector tổng cộng với các độ lớn 0, 1, 2, 3, 4, nhưng các
trạng thái 1+ và 3+ bị cấm do các lượng tử kích thích (3) tuân theo thống kê Bose.

Tiên đoán về việc mức kích thích đầu tiên có đặc trưng 2+ được thực hiện hầu
như đối với tất cả các hạt nhân chẵn-chẵn. Tuy nhiên năng lượng của mức này thấp
hơn giá trị tính theo công thức (4). Chẳng hạn mức 2+ đối với hạt nhân 28Ni60 có năng
lượng 1,3 MeV trong khi tính toán cho năng lượng 3 MeV. Ở rất nhiều hạt nhân chẵn chẳn cũng thấy có bộ ba 0+, 2+ và 4+ nằm ở mức năng lượng cao hơn hai lần so với
mức kích thích đầu tiên (hình 2.4). Và cuối cùng hầu như ở tất cả các hạt nhân chẵn
-chẵn đều có mức 3- được giải thích do kích thích bát cực.

-10-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

Trong mẫu giọt chất lỏng còn có bậc tự do riêng do dao động của toàn bộ khối
lượng các neutron đối với toàn bộ khối lượng các proton. Với giả thuyết này ta coi hạt
nhân gồm hai giọt chất lỏng neutron và proton trộn với nhau. Khi kích thích bậc tự do
này, hạt nhân trở thành một tứ cực điện, nghĩa là bị phân cực. Kích thích phân cực ứng
với sự thay đổi cấu trúc bên trong hạt nhân. Do đó năng lượng kích thích khá lớn, cỡ
15 - 20 MeV đối với các hạt nhân nặng và 20 - 25 MeV đối với các hạt nhân nhẹ.

III.4 Giải thích định tính quá trình phân hạch hạt nhân
Ngay sau khi phát hiện ra hiện tượng phân hạch, Niels Bohr và John Wheeler đã
phát triển thành mẫu giọt hạt nhân, dựa trên sự tương tự giữa hạt nhân và một giọt chất
lỏng tích điện để giải thích những đặc điểm chủ yếu của quá trình phân hạch. Hình (6)
cho thấy quá trình phân hạch được diễn ra như thế nào theo quan điểm đó. Khi một hạt
nhân nặng (giả sử là 92U235) hấp thụ một nơtrôn chậm, như trên hình 6a, nơtrôn này rơi
vào một giếng thế gắn liền với lực hạt nhân mạnh tác dụng ở bên trong hạt nhân và
chuyển hóa thành hạt nhân ở trạng thái kích thích. Năng lượng kích thích mà nơtrôn
chậm đưa vào hạt nhân đúng bằng công cần thiết để bứt một nơtrôn ra khỏi hạt nhân

đó, tức là bằng năng lượng liên kết εn của nơtrôn đó. Hình 6b cho thấy rằng hạt nhân
giống như một giọt chất lỏng tích điện dao động mạnh. Sớm hay muộn gì rồi cũng sẽ
phát triển thành hình thắt cổ chai ngắn và bắt đầu tách xa dần ra thành hai “khối cầu”
tích điện. Nếu các điều kiện là thích hợp thì lực đẩy tĩnh điện giữa hai khối cầu đó sẽ
buộc chúng tách ra xa nhau và làm đứt chổ thắt cổ chai. Hai mảnh đó vẫn còn mang
một số năng lượng kích thích còn dư rồi bay ra xa nhau. Như vậy, sự phân hạch đã xảy
ra.

-11-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

Hình 6 : Cơ chế phân hạch

IV. HẠN CHẾ CỦA MẨU GIỌT CHẤT LỎNG
Mẫu giọt chất lỏng không giải thích đầy đủ các số hạng trong công thức bán thực
nghiệm về khối lượng và năng lượng liên kết của hạt nhân, không cung cấp được các
số liệu định lượng về các trạng thái kích thích của hạt nhân…
Ngoài ra, còn một loạt các vấn đề mà mẫu giọt chất lỏng chưa đề cập đến, đó là
các đặc trưng cá biệt của các trạng thái cơ bản và kích thích của hạt nhân như năng
lượng liên kết, spin, moment từ và tính chẵn lẻ, các tính chất của phân rã alpha và
beta…
 Mẫu giọt chất lỏng bị hạn chế trong việc mô tả tính chất của hạt nhân có lien
quan đến vai trò của nucleon và sự biến thiên tuần hoàn của chúng.
Thiếu sót chính của mẫu giọt chất lỏng là số phổ kích thích ít, không tính đến các
tính chất riêng biệt của từng hạt nhân cũng như không thể giải thích các momen tứ cực
của các trạng thái kích thích đầu tiên.

-12-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

CHƯƠNG 3: MẪU KHÍ FERMI
I. LÍ DO ĐƯA RA MẪU KHÍ FERMI
Ta biết rằng:
Ở một phạm vi gần đúng nhất định thì năng lượng liên kết riêng và mật độ hạt
nhân có số khối A là độc lập.
Tính chất của khí lý tưởng: các phân tử khí bên trong chất khí lý tưởng có quãng
đường tự do trung bình rất lớn, điều này có thể xem như các phân tử khí lý tưởng
không tương tác với nhau.
Từ đó, chúng ta có thể giả thiết rằng: các nucleon chuyển động một cách tự do
bên trong hạt nhân (giả thiết này hợp lý đối với các hạt nhân nặng). Một cách gần
đúng, từ mọi phía mật độ của nucleon là như nhau. Do đó ảnh hưởng của các lực với
các hướng khác nhau gây ra bởi các nucleon bên cạnh triệt tiêu lẫn nhau. Điều này có
nghĩa là lực trung bình tác động bởi một nucleon đang chuyển động bên trong hạt nhân
là bằng không.

II. NỘI DUNG MẪU KHÍ FERMI
Trong mẫu khí Fermi, các proton và các neutron- gọi chung là các nucleon được
thừa nhận là hai hệ độc lập nhau, mỗi hệ di chuyển tự do bên trong thể tích của hạt
nhân theo nguyên lý loại trừ Pauli.

Hình 7 : Hố thế của proton và nơtron trong hạt nhân.

-13-


HVTH: Đỗ Quyên



GVHD: TS. Võ Xuân Ân

Tính toán độ sâu của hố thế

Các mức năng lượng được chiếm đầy từ đáy của giếng thế. Mức năng lượng cao
nhất được chiếm đầy được gọi là mức năng lượng Fermi E F và có động lượng là

pF = 2MEF , ở đây M là khối lượng của nucleon. Trong phạm vi thể tích V, số
trạng thái có động lượng từ p → p+ dp được cho bởi mật độ yếu tố trạng thái.
Ta có thể tính số trạng thái hạt khả dĩ xuất phát từ một quan sát không gian pha:
yếu tố nhỏ nhất của không gian pha, ta có:

dVK dV p ≈ h3 .
VK: thể tích hạt nhân.
Vp: thể tích không gian xung lượng.
Đối với hạt nằm trong yếu tố thể tích dV K có xung lượng nằm trong khoảng p →
p + dp thì dVp được tính theo công thức:

dV p = 4π p 2 dp.
Thể tích không gian pha: dV = dVK dV p = 4π p dpVK .
2

Mật độ yếu tố trạng thái:

dV 4π p 2 dpVK p 2 dpVK
dn = n( p)dp = 3 =
=
.
h
h3
2π 2 h3
Mỗi trạng thái năng lượng có thể chứa hai Fermion cùng loại: chúng ta có ( sử
dụng n = 2∫

pF

0

dn ):

( pFn )3VK
( pFp )3VK
và Z =
N=
.
3π 2 h3
3π 2 h3
Các neutron và proton tương ứng với thể tích hạt nhân:

4
4
VK = π R 3 = π r03 A.
3

3

pF2
Ta có thể tính được xung lượng pF và chú ý rằng : EF =
.
2m

-14-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

Ta có:
1

1

 9π N  3 h và p  9π Z  3 h
p =
pF = 
÷
÷ .
 4 A  r0
 4 A  r0
n
F

Ta cũng có:

2

2

2
2
 9π N  3 h và p  9π Z  3 h
EFn = 
E
=
.
F
÷

÷
2
2
 4 A  2mr0
 4 A  2mr0

Nếu đặt: m ≈ mn ≈ m p và r0= 1,4fm thì ta nhận được năng lượng cực đại của
nucleon trong hạt nhân:
2

2

 N 3
 Z 3
E = 38, 6  ÷ MeV, EFp = 38, 6  ÷ Mev.
 A

 A
n
F

Đối với các hạt nhân nhẹ có

N Z 1
= = , thì EF= 24 MeV.
A A 2

Đối với các hạt nhân nặng, tỉ số trên là:

N
Z
≈ 0, 445 và
≈ 0,555 . Từ đây ta sẽ
A
A

tính được các mức năng lượng Fermi tương ứng là:

EFn = 26 MeV và EFp = 23MeV .
Ta biết rằng: độ sâu của hố thế được tính bằng tổng năng lượng Fermi tương ứng
của từng loại nucleon và năng lượng tách của các nucleon, nghĩa là:

V0n = EFn + ESn và V0n = EFn + ESn
Năng lượng tách nucleon vào khoảng 8 MeV, ta tính được:

V0n = 34 MeV và V0p = 31MeV .
 Nhận xét : Chiều sâu hố thế của neutron sâu hơn hố thế của proton. Điều này

góp phần giải thích ở các hạt nhân nặng thì số neutron nhiều hơn số proton.

-15-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

III. ỨNG DỤNG CỦA MẪU KHÍ FERMI
 Nêu vấn đề
Ta biết, năng lượng liên kết là thành phần năng lượng giữ các nucleon liên kết lại
với nhau trong hạt nhân.
Năng lượng liên kết có độ lớn :
Elk = T + U
Trong đó : T : tổng động năng toàn phần
U : tổng thế năng toàn phần
Bài toán đặt ra ở đây là tìm công thức tính năng lượng liên kết.
 Giải quyết vấn đề
Xác định T, U gồm những thành phần gì, có độ lớn thế nào ?

III.1 Động năng
III.1.1 Động năng của các nucleon khi chưa kể đến năng lượng bề mặt
Chúng ta có thể giả thiết rằng các nucleon chuyển động một cách tự do trong hạt
nhân. Giả thiết trên có thể hợp lý đối với những hạt nhân nặng. Như vậy một cách gần
đúng thì từ mọi phía, mật độ các nucleon gần như bằng nhau. Do đó, ảnh hưởng của
các lực với các hướng khác gây ra bởi các nucleon bên cạnh triệt tiêu lẫn nhau. Điều
đó có nghĩa là lực trung bình tác động bởi một nucleon đang chuyển động ở bên trong
hạt nhân là bằng không. Rõ ràng ở đây chúng ta chưa đề cập tới các nucleon chuyển
động gần bề mặt hạt nhân. Với sự nghiên cứu gần đúng, ta bỏ qua ảnh hưởng của các

nucleon chuyển động gần bề mặt của hạt nhân.
 Hàm sóng mô tả trạng thái của các nucleon
Trong mẫu này, chúng ta mô tả các nucleon bằng hàm sóng riêng đặc trưng cho



chuyển động tự do của nó, tức là bằng hàm exp(i k r ).
Nếu kể tới phần đặc trưng cho spin của các nucleon thì chúng ta sẽ nhân phần
phụ thuộc vào tọa độ đó với các hàm số đặc trưng cho trạng thái spin. Đó là α(s)
nucleon có hướng lên trên và β(s) ứng với các nucleon có hướng xuống dưới. Vậy hàm
số trạng thái toàn phần của một nucleon sẽ có dạng:





ψ (r , s) = α ( s) exp(ik r ) hoặc ψ (r , s) = β ( s ) exp(ik r )

-16-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

Đối với neutron cũng như đối với proton hoặc đối với các hạt Fermi, theo nguyên
lí Pauli, chúng ta thấy ở trong hạt nhân hai hạt (hoặc proton hoặc neutron) cùng loại
không có cùng một trạng thái, như vậy rõ ràng phần phụ thuộc vào spin của trạng thái
sẽ có giá trị ngược nhau. Thí dụ đối với neutron sẽ có Ο ↑ Ο ↓ , tương tự, đối với
proton thì ↑ ⊕ ↓ ⊕ .



Trong phần hàm sóng phụ thuộc vào tọa độ, chúng ta sẽ lập giá trị k như thế
nào?
Ta có công thức tính động năng là:


p2
∆
= − 2
2m
2m
Giải bài toán hàm riêng- trị riêng như sau:

2 d2
ˆ
TΨ (ϕ ) = −
Ψ (ϕ ) = EΨ (ϕ )
2 m dϕ 2
Trong đó Ψ (ϕ ) là hàm riêng và E là trị riêng của Tˆ
Đặt k 2 =

2mE
, ta có:
2

d 2 Ψ (ϕ )
+ k 2 Ψ (ϕ ) = 0
2

dϕ
Nghiệm Ψ (ϕ ) có dạng:

Ψ (ϕ ) = Aeikϕ
Từ điều kiện đơn giá Ψ (ϕ ) = Ψ (ϕ + 2π ) , ta có:

eik 2π = 1 hay

k = 0, ±1, ±2, ±3,...

Vậy:

h2 k 2
với k = 0,±1,±2,±3,...
Ψ (ϕ ) = Ae , E =
2m
ikϕ

 2k 2
Vậy ta có trị riêng của nó là
nếu ta lấy hàm số trạng thái phụ thuộc vào tọa
2m
độ là hàm sóng phẳng.

-17-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân



2πτ
Ta có thể biểu thị k dưới dạng
bằng cách phân tích như sau:
L
   
k = k1 + k 2 + k3

2πτ 2π  2π  2π 
⇔
=
l +
m+
n
L
L
L
L

trong đó: τ là vector có ba thành phần là l, m, n và nhận các giá trị
l , m, n = 0, ±1, ±2,...

Ta lại có công thức tính xác suất:
2

V

∫ Ψ ( x, y , z )

dV

0



L L L



*
= ∫ ∫ ∫ (exp(ik i r )) exp(ik j r )dxdydz
0 0 0

L L L

= ∫∫ ∫ exp
0 0 0

2πi
(l j − li ) x + ( m j − mi ) y + ( n j − ni ) z dxdydz
L

[

]

= L3δ ( l j , li )δ ( m j , mi )δ ( n j , ni )
2

Theo cơ lượng tử: Nếu tích phân của Ψ theo tất cả các giá trị khả dĩ của tọa độ
hội tụ:

∫ Ψ ( x, y , z , t )

2

dV = A

thì ta có thể chọn hàm sóng mới sai khác hàm sóng cũ bằng một hằng số:
φ=A

−1

2

Ψ sao cho đẳng thức sau thỏa mãn:

∫ϕ

2

dV = 1

Vậy, ta chọn hàm sóng là:



1

ϕ i ( r ) = 3 exp(ik r )
L2
là hàm sóng đã được chuẩn hóa trên toàn thể tích L3, tức là:

 


(
)
(
)
(
)
ϕ
*
r
ϕ
r
dV
=
δ
L
j
j , Li
∫ i

L3

-18-

HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

 
δ ( L j , Li ) = δ ( l j , li )δ ( m j , mi )δ ( n j , ni )
KL
để chứa tất cả các tọa độ của các nucleon
2π

Nếu chúng ta lấy hình cầu bán kính

chuyển động trong hạt nhân thì thể tích của quả cầu đó là:

4 K 3 L3π
V=
3 (2π ) 3
Với hàm sóng đã được mô tả ở trên, thì trong mỗi một ô lập phương có cạnh là L
ở trong quả cầu có yếu tố thể tích L3 sẽ có xác suất tìm thấy hạt bằng 1. Tương tự như
vậy, trong một thể tích hạt nhân là v, chắc chắn chúng ta cũng sẽ tìm thấy một xác suất
nucleon nhất định. Vậy, nếu ta chọn L3=v và ta có:

α ( s )  

ψ (r , s ) = 
ϕ (r )
β ( s ) 



sẽ thỏa mãn k ≤ K của các nucleon.
 Số trạng thái nucleon nằm trong vùng (k, k+dk)
Ta gọi n(k ) là số trạng thái với hàm số sóng trên và hàm số spin lấy cả về 2 phía
trong toàn bộ thể tích v thì nó có dạng sau :
n( k ) = 2

4π K 3v
K 3v
=
3 (2π )3 3π 2

Vậy số trạng thái proton hay neutron nằm trong vùng (k,k+dk) sẽ là:

vk 2 dk
dn = n(k + dk ) − n(k ) =
π2
Chứng minh

-19-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

dn = n( k + dk ) − n( k ) =

[

(k + dk ) 3 v k 3v
− 2
3π 2
3π

]

v
( k + dk ) 3 − k 3
2
3π
v
= 2 ( k 3+3k 2 dk + 3kdk 2 + dk 3 − k 3 )
3π
( do dk 2 << 1, dk 3 << 1)
=

=

v
vk 2 dk
2
3
k
dk
=
3π 2
π2

Ở trạng thái cơ bản của hạt nhân, theo nguyên lí Pauli thì tất cả các nucleon đều

cho phép ở trạng thái có năng lượng thấp nhất tức là có số neutron hay proton có k=0
cho tới k bằng một giá trị cực đại nào đó (k = K N hay k = K P ) , chúng nó chiếm giữ ở
trạng thái thực của nó, ngược lại các trạng thái có số sóng k > K N , K P là những trạng
thái trống , rõ ràng ở trong trường hợp của vector
của các neutron và

r
k

thì K N là một bán kính hình cầu

K P là một bán kính hình cầu của các proton. Đó chính là hình cầu

Fermi, và từ đó có khái niệm về “khí nucleon” và như vậy theo Fermi thì số proton
hay là neutron được biểu thị bằng các công thức sau :

K N3 v
n( K N ) =
=N
3π 2
K P3 v
n( K P ) = 2 = Z
3π

13

 3π 2 N 
(a) → K N = 
÷
 v 

13

 3π 2 Z 
(b) → K P = 
÷
 v 

 Động năng của các nucleon trong hạt nhân
Từ các kết quả này chúng ta có khả năng tính được động năng toàn phần của
neutron cũng như là của proton mà ta kí hiệu là TN và TP . Ta hãy nhân động năng của
một nucleon với số trạng thái theo công thức (a) , (b) và lấy tích phân theo tất cả các
trạng thái của nucleon , có nghĩa là :

-20-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

TN =

kN

∫
0

TP =

kP

∫
0

2/3

h2 2 vk 2 dk 3h2 2
3  3π 2  h2 5/3
k
=
KN N = 
N
÷
2M
π2
10M
10  v  M
2/3

h2 2 vk 2 dk 3h2 2
3  3π 2  h2 5/3
k
=
K
Z
=
Z

÷
P

2M
π2
10M
10  v  M

Chứng minh : TN và TP
TN =

KN

∫
0

=

h2 2 vk 2 dk
h2 v
k
=
2M
π2
2M π 2
5
N

2

∫ k dk
4

0


K N3 v
3π 2 N 
vì
N
=
⇒
v
=

÷
3π 2
K N3 


h 3π N 1 K
2 M K N3 π 2 5
2

KN

23

 3π 2 N  
 vì K N = 
÷ ÷

v  ÷





23

3h2 2
3h2  3π 2 N 
TN =
KN N =

÷ N
10 M
10 M  v 
23

3  3π 2  h2 5 3
= 
N
÷
10  v  M

( dpcm )

Chứng minh tương tự với TP
Gọi T = TN + TP là động năng toàn phần của nucleon trong hạt nhân.
Khi số neutron nhiều hơn số proton có trong hạt nhân tức là (N-Z)/A<<1, ta có:
2/3

3  3π 2  h2

T = TN + TP = 
( N 5/3 + Z 5/3 )
÷
10  v  M
2/3

2
3  3π 2 ρ  h2  5  N − Z 
≈ 
A 1 + 
÷
÷ +L
10  2  M  9  A 
= TO + TS





Hay:
2/3
 5  N − Z 2
3 h2  9π 
T=

÷ A 1 + 
÷ +L
10 Mr0 2  8 
 9  A 





và ở đây khai triển đến bậc hai, trong công thức thì ρ = A / v là mật độ nucleon
chứa trong hạt nhân .

-21-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

Chứng minh
3  3π 2 

T = TN + TP = 
10  v 
3  3π 2 ρ 

= 
10  A 

23

23

2
(N 5 3 + Z 5 3 )

M

2
(N 5 3 + Z 5 3)
M

Đặt ∆ = N − Z ⇒ N =

( A + ∆)
( A − ∆)
;Z =
2
2

23

53
53
3  3π 2 ρ  h2  A + ∆ 
 A−∆  
T= 

÷
÷ +
÷ 
10  A  M  2 
 2  
23

53

53
53
3  3π 2 ρ  h2  A   ∆ 
 ∆ 
= 
÷
 ÷  1 + ÷ +  1 − ÷ 
10  A  M  2   A 
 A  
23
2
3  3π 2 ρ  h2 A  5 ∆ 5  ∆ 
= 
+  ÷ +L
1 +
÷
10  2  M 2  3 A 9  A 

  5 ∆ 5  ∆ 2
+ 1−
+
+L
÷
÷  3 A 9  A ÷
 



÷
÷

 

Ở đây khai triển chuỗi nhị thức đến bậc hai

( 1+ x)

m

= 1 + mx +

m(m − 1) 2 m(m − 1)(m − 2) 3
m(m − 1)...(m − n + 1) n
x +
x +L +
x +L
2!
3!
n!

-22-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

Vậy:
23

2

3  3π 2 ρ  h2 A  10  ∆ 
T= 
2 +  ÷ + L
÷
10  2  M 2 
9  A





23

2

3  3π 2 ρ  h2 A  5  ∆ 
= 
2 1 +  ÷ + L 
÷
10  2  M 2  9  A 

23

2
3  3π 2 ρ  h2  5  N − Z 
= 
A
1
+


÷

÷ +L
10  2  M  9  A 
= T0 + TS





Do:
4
4
v = π r 3 = π r03 A
3
3
3
⇒ρ=
4π r03
v=

A
ρ

Suy ra:
23

2
3  3π 2 3  h2  5  N − Z 
T= 

A
1
+

÷

÷ +L
10  2 4π r03  M  9  A 
2/3
 5  N − Z 2

3 h2  9π 
=
A
1
+
+
L



÷

÷
10 Mr0 2  8 
 9  A 







- Trường hợp hạt nhân đối xứng
Khi hạt nhân đối xứng thì động năng toàn phần gồm T = TO tức là:
2/3

3  3π 2 ρ  h2
3 h2 2
TO = 
A
=
K A
÷
10  2  M
10 M

trong đó : K 3 = 3π 2 ρ / 2

-23-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

TO là phần động năng của hạt nhân đối xứng, tức là ở trong hạt nhân này, ta có

A = 2N = 2Z và K = K N = K P là số sóng cực đại của proton hoặc của neutron.
- Trường hợp hạt nhân bất đối xứng
Nếu N ≠ Z trong hạt nhân thì cùng với TO ( là động năng của hạt nhân) ta có

thêm:
2/3

1  3π 2 ρ  h2 ( N − Z ) 2 1 h2 2 ( N − Z ) 2
TS = 
=
K
÷
6 2  M
A
6M
A
Ta có

TS là phần năng lượng tạo nên bởi sự bất đối xứng.

Như vậy, động năng toàn phần là:

3 2 2
1  2 2 ( N − Z )2
T = T0 + Ts =
K A+
K
10 M
6M
A
2
3 2 2  5 N −Z  
=
K A1 + 

 
10 M
 9  A  
III.1.1 Động năng của các nucleon khi tính đến năng lượng bề mặt
 Hàm sóng mô tả trạng thái các nucleon
Trước đây, chúng ta thường tính động năng toàn phần của các nucleon trong hạt
nhân theo mẫu khí Fermi, chúng ta đã bỏ qua năng lượng bề mặt của hạt nhân. Bây
giờ, khi kể đến năng lượng bề mặt, chúng ta giả sử khí nucleon này được giữ trong
một hình hộp có các thành hộp không thể cho các nucleon xuyên qua, nghĩa là các
nucleon đó đập vào thành hình hộp và quay trở lại. Do đó, xác suất tồn tại các hạt ở
gần tường hình hộp bằng 0 và cũng từ đó hàm sóng của các nucleon ở vùng này cũng
phải bỏ qua. Hàm sóng xác định trạng thái của các nucleon ở vùng này không thể dùng
hàm sóng phẳng được nữa. Theo cơ học lượng tử, trong trường hợp đó, ta có hàm sóng
xác định trạng thái là:


2
ϕ ( r ) = ( )3/2 sink 1x.sink 2 y.sink 3z
L
Trong đó: k1 = π.  /L; k2 = π.m/L; k3 = π.n/L
với l, m, n = 1, 2, 3,...

-24-


HVTH: Đỗ Quyên

GVHD: TS. Võ Xuân Ân

Hình 8 : Tọa độ theo 3 chiều của ô lập phương có cạnh là L ở trong quả cầu chứa

khí nucleon.



2
L

Chứng minh : ϕ ( r ) = ( )3/2 sink 1 x.sink 2 y.sink 3 z
Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế có dạng:

 2 ∂2
∂2
∂2
−
(
+
+
)ϕ ( x, y, z ) = Eϕ ( x, y, z )
2m ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Đặt ϕ ( x, y, z ) = ϕ ( x )ϕ ( y )ϕ ( z ) và phương trình Schrodinger sau đó chia cả hai
vế cho ϕ ( x )ϕ ( y )ϕ ( z ) ta được:

−

2
1 ∂ϕ ( x) 2
1 ∂ϕ ( y ) 2
1 ∂ϕ ( z ) 2
(
+

+
) = E = const
2m ϕ ( x) ∂x 2
ϕ ( y ) ∂y 2
ϕ ( z ) ∂z 2

Từ đây suy ra:

2
1 ∂ϕ ( x) 2
−
(
) = E1 = const
2m ϕ ( x) ∂x 2
2
1 ∂ϕ ( y ) 2
−
(
= E2 = const
2m ϕ ( y ) ∂y 2
2
1 ∂ϕ ( z ) 2
−
(
) = E3 = const
2m ϕ ( z ) ∂z 2
E = E1 + E2 + E3

-25-