CƠ SỞ LÍ THUYẾT CỦA VẬT LÍ LƯỢNG TỬ

Nguyễn văn hiệu
Nguyễn bá Ân

Cơ sở lý thuyết
của
vật lý lợng tử

Đại học quốc gia Hà nội - Trờng Đại Học Cộng Nghệ
Khoa Vật lý kỹ thuật
Hà nội - 2003

1


Lời nói đầu

Cuốn sách này là giáo trình về những vấn đề cơ bản của lý thuyết lợng tử mà các tác
giả viết để giảng cho sinh viên ngành Vật lý Kỹ thuật (đào tạo Kỹ s Vật lý) của Trờng
Đại Học Công nghệ Đại học Quốc gia Hà Nội. Những kiến thức cơ bản cần phải nắm vững
để hiểu đợc những thành tựu của nhiều lĩnh vực công nghệ cao phát triển trên cơ sở những
phát minh mới của Vật lý lợng tử đã đợc trình bày trong nhiều giáo trình, song sinh viên
ngành Vật lý Kỹ thuật phải có nhiều thời gian để học những môn kỹ thuật và công nghệ
nên không thể học Vật lý lợng tử với thời gian dài nh sinh viên ngành Vật lý. Do đó cần
có một giáo trình rút gọn về Vật lý lợng tử. Đó chính là nhiệm vụ mà các tác giả tự đặt
ra cho mình khi soạn giáo trình này. Những nội dung đợc trình bày trong cuốn sách này
là hết sức cần thiết đối với sinh viên và học viên cao học có nguyện vọng nghiên cứu cộng
nghệ nanô.
Các môn toán học và vật lý trong chơng trình đào tạo Kỹ s Vật lý của Trờng Đại
Học Công nghệ là một hệ thống đồng bộ các môn học nối tiếp nhau. Các kiến thức toán
học cần thiết cho việc học môn vật lý nào bao giờ cũng đợc học trớc môn vật lý đó. Theo
cách bố trí các môn học nh vậy thì tất cả các kiến thức toán học cần thiết để học giáo

trình này đã đợc học từ trớc, cho nên các tác giả không trình bày lại một cách tỷ mỉ nữa,
mà chỉ nhắc lại một cách vắn tắt khi cần thiết. Cuốn sách chủ yếu trình bày các nội dung
mang tính chất cơ sở lý thuyết. Sinh viên cần đọc thêm các sách trong danh mục tài liệu
tham khảo để có thêm kiến thức về các thí nghiệm tơng ứng.
Lần đầu tiên đợc xuất bản, cuốn sách không thể tránh khỏi những thiếu sót. Các tác
giả rất mong các đồng nghiệp tham khảo cuốn sách này và các sinh viên học giáo trình này
góp ý kiến để cuốn sách đợc hoàn chỉnh hơn khi tái bản và xin thành thật cảm ơn các bạn
trớc.
Các tác giả chân thành cảm ơn Đại học Quốc gia Hà Nội và Trờng Đại Học Công nghệ
đã quyết định mở ngành Vật lý Kỹ thuật trong Đại học Quốc gia Hà Nội và đã tổ chức hệ
đào tạo chất lợng cao, là hai điều đã thôi thúc việc soạn thảo giáo trình này.
Cuối cùng, các tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Hội đồng khoa học tự nhiên đã giúp
đỡ về kinh phí để xuất bản cuốn sách này.
Hà nội, mùa Thu 2003
Các tác giả

2


Mục lục

Lời nói đầu

2

Chơng I: Thuyết lợng tử năng lợng của planck

7

1.1 Bế tắc của lý thuyết cổ điển

7

1.2 Thuyết lợng tử năng lợng của Planck
Chơng II: Thuyết lợng tử ánh sáng của einstein

15
18

2.1 Hiệu ứng quang điện

18

2.2 Tán xạ Compton

20

Chơng III: Thuyết lợng tử quỹ đạo của Bohr

23

Chơng IV: Thuyết của de broglie về lỡng tính sóng-hạt của
các hạt vi mô
27
Chơng V: Phơng trình Schrodinger

32

Chơng VI: Những tiên đề của cơ học lợng tử

35

6.1 Diễn tả trạng thái hạt vi mô bởi hàm sóng

35

6.1.1 Nguyên lý chồng chập

35

6.1.2 Điều kiện biên tuần hoàn

38

6.2 Diễn tả đại lợng vật lý bằng toán tử tuyến tính tự liên hợp

39

6.2.1 Toán tử tuyến tính tự liên hợp

39

6.2.2 Hệ thức giữa các toán tử

41

6.3 Biểu diễn các toán tử bằng các ma trận

42

6.4 Dạng tổng quát của các biểu diễn khác nhau

43

6.5 Giá trị đo đợc của các đại lợng vật lý

46

6.5.1 Hàm riêng và trị riêng của toán tử

46

6.5.2 Giá trị trung bình của một đại lợng vật lý

47

3


6.6 Hàm sóng hệ nhiều hạt

49

Chơng VII: Một số phơng trình và định lý suy ra từ các tiên
đề của cơ học lợng tử
53
7.1 Phơng trình chuyển động lợng tử Heisenberg

53

7.2 Các phơng trình chuyển động lợng tử của các toán tử tọa độ và xung lợng

54

7.3 Các phơng trình chuyển động của các giá trị trung bình của toán tử tọa độ và xung
lợng

55

7.4 Phơng trình liên tục

56

7.5 Những đại lợng vật lý đồng thời có giá trị xác định

57

7.6 Hệ thức bất định Heisenberg

58

Chơng VIII: Các định luật bảo toàn trong cơ học lợng tử 61
Chơng IX: Spin của hạt vi mô

67

Chơng X: Lý thuyết lợng tử về mômen xung lợng

74

10.1 Lợng tử hoá mômen xung lợng

74

10.2 Mômen xung lợng quỹ đạo

79

10.3 Cộng mômen xung lợng

85

10.3.1 Quy tắc cộng mômen xung lợng

85

10.3.2 Tính các hệ số Clebsh-Gỏdan

89

10.4 Sự suy biến của các trạng thái với hình chiếu mômen xung lợng toàn phần khác
nhau

93

Chơng XI: Phổ năng lợng trong cơ học lợng tử
11.1 Hạt vi mô trong giếng thế năng

96
96

11.2 Nguyên tử tựa hydro

103

11.2.1 Phổ năng lợng

103

11.2.2 Hàm sóng

107
4


11.3 Dao động tử điều hòa

110

11.3.1 Biểu diễn tọa độ

110

11.3.2 Biểu diễn số hạt

114

11.4 Điện tử trong trờng tuần hoàn của tinh thể

119

11.4.1 Mạng Bravais và mạng đảo

120

11.4.2 Hàm sóng của điện tử trong trờng tuần hoàn

121

11.4.3 Vùng năng lợng

124

11.5 Dao động mạng tinh thể

127

11.5.1 Chuỗi nguyên tử một loại

127

11.5.2 Chuỗi nguyên tử hai loại khác nhau

133

11.5.3 Mạng tinh thể ba chiều

137

Chơng XII: Tính gần đúng năng lợng và hàm sóng của các

trạng thái dừng
139
12.1 Sự xê dịch của các mức năng lợng gián đoạn

139

12.2 Phổ năng lợng của điện tử gần tự do

143

12.3 Sự tán xạ của hạt vi mô

147

Chơng XIII: Tơng tác của bức xạ điện từ với điện tử

152

Chơng XIV: Hệ nhiều hạt đồng nhất

159

14.1 Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất

159

14.2 Thống kê Bose-Einstein và thống kê Fermi-Dirac

161

14.3 Đối xứng hoá và phản đối xứng hoá hàm sóng

162

14.4 Nguyên lý loại trừ Pauli và ngng tụ Bose-Einstein

164

14.5 Giao hoán tử hay phản giao hoán tử ?

165

14.6 Trạng thái của hệ các điện tử trong nguyên tử

168

14.7 Tơng tác trao đổi

172
5


Chơng XV: Các trạng thái pha trộn và ràng buộc lợng tử 179
15.1 Ma trận mật độ

179

15.2 Ma trận mật độ rút gọn

182

Chơng XVI: Các hàm phân bố trong vật lý thống kê lợng tử
186
Tài liệu tham khảo

193

6


Chơng I
Thuyết lợng tử năng lợng của planck

Sự xuất hiện của Vật lý học lợng tử và thuyết tơng đối là một cuộc cách mạng của
Vật lý học vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học của nhiều lĩnh vực công
nghệ cao nh công nghệ điện tử và vi điện tử, công nghệ viễn thông, công nghệ quang tử,
công nghệ tự động hoá, công nghệ thông tin v.v.... Vật lý học lợng tử ra đời vào năm 1900
khi Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từ phát ra từ các vật giả thuyết lợng tử - để giải thích những kết quả thực nghiệm về bức xạ nhiệt của các vật
đen.

1.1 Bế tắc của lý thuyết cổ điển
Vào cuối thế kỷ 19 thuyết điện từ của Maxwell đã trở thành một lý thuyết thống nhất
về các hiện tợng điện từ và các quá trình quang học. Tuy nhiên khi áp dụng để nghiên
cứu bức xạ nhiệt của các vật đen thì lý thuyết đó không giải thích đợc các kết quả thực
nghiệm. Đầu tiên hãy xem xét những sự không phù hợp này và sau đó trình bày thuyết
lợng tử năng lợng của Planck.
Gọi U là mật độ năng lợng bức xạ. Đó là lợng năng lợng bức xạ với tất cả các tần
số chứa trong một đơn vị thể tích. Vì ánh sáng truyền với một tốc độ không đổi c, mật
độ dòng năng lợng bức xạ sẽ là cU . Đó là lợng năng lợng bức xạ với tất cả các tần số
truyền đi trong một đơn vị thời gian từ một đơn vị thể tích theo tất cả mọi hớng. Lợng

năng lợng bức xạ với tất cả các tần số truyền đi trong một đơn vị thời gian theo các hớng
trong góc đặc d và đi qua yếu tố diện tích dS vuông góc với hớng trung bình của góc
đặc đó gọi là năng thông bức xạ. Ký hiệu năng thông bức xạ là d2 , ta có
d2 =

cU
ddS.
4

(1)

Nếu I là cờng độ bức xạ, tức là lợng năng lợng bức xạ với tất cả các tần số truyền đi
trong một đơn vị thời gian và đi qua một đơn vị diện tích theo hớng vuông góc với diện
tích đó, thì năng thông có thể biểu diễn qua cờng độ nh sau
d2 = IddS.

(2)

Từ hai đẳng thức (1) và (2) suy ra
cU
4

(3)

4
I.
c

(4)

I=
hay
U=

7


Nếu chú ý đến cả hai trạng thái phân cực của trờng bức xạ thì ta phải nhân thêm 2 vào vế
phải của công thức (4). Kết quả là
U=

8
I
c

(5)

I=

cU
ã
8

(6)

và, thay cho đẳng thức (3),

Ký hiệu là tần số bức xạ và ký hiệu mật độ năng lợng bức xạ đơn sắc là (), cờng
độ bức xạ đơn sắc là I(). Ta có
Z

U=
()d,
0

I=

Z



I()d.

0

Giống nh các hệ thức (5) và (6) các đại lợng () và I() liên hệ với nhau nh sau
() =

8
I()
c

(7)

I() =

c
().
8

(8)

và

Hình 1: (Bên trái) Các vật bức xạ nhiệt trong trạng thái cân bằng nhiệt với
trờng bức xạ ở nhiệt độ T.
Hình 2: (Bên phải) Mô hình vật đen tuyết đối.
Xét một hệ gồm một số vật bức xạ nhiệt ở trạng thái cân bằng nhiệt với trờng bức xạ.
Hệ này có thể là một số vật trong một hốc đã rút hết không khí có vách trong là các gơng
phản xạ toàn phần (Hình 1). Trạng thái cân bằng nhiệt có thể đợc thiết lập nếu bức xạ từ
8


các vật chỉ là bức xạ nhiệt. Thật vậy, khi cha có cân bằng vật có thể bức xạ nhiều hơn (ít
hơn) hấp thụ. Nội năng, cũng có nghĩa là nhiệt độ, của vật sẽ giảm đi (tăng lên). Nhiệt độ
giảm (tăng) dẫn đến sự giảm (tăng) khả năng bức xạ. Cứ nh thế nhiệt độ sẽ giảm (tăng) tới
lúc nào mà năng lợng bức xạ và hấp thụ của vật bằng nhau. Khi đó nhiệt độ của toàn hệ
sẽ không giảm (không tăng) nữa và trạng thái cân bằng nhiệt đợc thiết lập với một nhiệt
độ T xác định.
Gọi Ai (, T ) là hệ số hấp thụ (đại lợng không thứ nguyên) của vật thứ i đối với bức xạ
có tần số . Đó là tỷ số giữa năng lợng mà vật i hấp thụ đợc trên năng lợng của trờng
bức xạ chiếu vào nó. Rõ ràng bao giờ cũng có Ai (, T ) 1. Nếu Ai (, T ) = 1 ta có vật
đen lý tởng, còn khi Ai (, T ) < 1 thì đó là vật xám. Trong một hệ mà lúc đầu tất cả các
vật đều có nhiệt độ T (nh trên Hình 1), nếu vật thứ i có khả năng bức xạ nhiệt lớn hơn
vật thứ j, có nghĩa là Ii (, T ) > Ij (, T ), thì nhiệt độ của vật thứ i phải trở nên nhỏ hơn
nhiệt độ của vật thứ j nếu không có sự bù trừ do sự hấp thụ. Trong một hệ cân bằng nhiệt
với nhiệt độ T thì vật thứ i phải có khả năng hấp thụ lớn hơn vật thứ j để bù lại sự giảm
nhiệt độ nhanh hơn do Ii (, T ) > Ij (, T ). Nói cách khác vật thứ i bất kỳ nào có Ii (, T )
lớn thì cũng phải có Ai (, T ) lớn. Thực nghiệm đã phát hiện đợc các hệ thức sau
I1 (, T )
I2 (, T )

I3 (, T )
=
=
= ããã ã
A1 (, T )
A2 (, T )
A3 (, T )

(9)

Các hệ thức (9) cũng có nghĩa là
Ii (, T )
= F (, T )
Ai (, T )

(10)

với F (, T ) là một hàm vạn năng không phụ thuộc bản chất của vật bức xạ mà chỉ phụ
thuộc vào tần số và nhiệt độ T . Các hệ thức (9) hoặc (10) là định luật Kirchhoff đợc
đa ra năm 1859. Có hai điều cần lu ý:
i) Bản thân Ii (, T ) và Ai (, T ) thay đổi mạnh từ chất này sang chất khác
nhng tỷ số giữa chúng là nh nhau đối với mọi chất;
ii) Dạng giải tích cụ thể của hàm F (, T ) còn cha biết.
Đối với vật đen tuyệt đối Ai (, T ) = 1, do đó từ định luật Kirchhoff suy ra
Ii (, T ) = F (, T )

(11)

và nh thế làm thí nghiệm trên vật đen tuyệt đối có thể xác định ngay hàm vạn năng
F (, T ). Trong thực tế không có vật đen tuyệt đối, nhng có thể tạo ra vật đen gần tuyệt

đối. Khoét một cái hốc trong lòng một khối kim loại, để một lỗ nhỏ thông với bên ngoài
(Hình 2). ánh sáng từ ngoài đi qua lỗ vào hốc phải chịu phản xạ rất nhiều lần bởi vách
trong của hốc trớc khi có thể ra khỏi hốc cũng qua lỗ nhỏ đó. Mỗi lần phản xạ năng lợng
của trờng điện từ lại giảm đi một ít do bị hấp thụ và nh vậy sau rất nhiều lần phản xạ
9


hầu nh toàn bộ năng lợng bức xạ với bất kỳ tần số nào đều bị hấp thụ hết. Hốc nh thế
có thể xem là một vật đen tuyệt đối nếu giữ cho vỏ của nó luôn ở một nhiệt độ xác định
nào đó. Đo cờng độ bức xạ của hốc phát ra qua lỗ nhỏ rồi phân tích phổ của nó, ta sẽ
khảo sát đợc sự phụ thuộc của hàm F vào tần số và nhiệt độ.
Thông thờng trong thực nghiệm ngời ta hay đo sự phụ thuộc vào bớc sóng hơn là
vào tần số . Ký hiệu cờng độ bức xạ đơn sắc tính theo bớc sóng là Ji (, T ), ta có
Ii (, T )d = Ji (, T )d

(12)

trong đó d là khoảng bớc sóng tơng ứng với khoảng tần số d. Dấu trong đẳng
thức (12) chỉ sự tăng (giảm) của khi giảm (tăng), vì
=

c
ã


(13)

Từ đẳng thức (12) ta có
d
d

(14)

d
ã
d

(15)

Ii (, T ) = Ji (, T )
và
Ji (, T ) = Ii (, T )
Mặt khác, theo hệ thức (13)
d
c
= 2
d


(16)

d
c
= 2 ã
d


(17)

và

Thay thế công thức (16) vào công thức (14) rồi đặt = c/ trong Ji , ta thu đợc
c
c
Ji ( , T ).
2



Ii (, T ) =

(18)

Tơng tự, thay thế công thức (17) vào công thức (15) rồi đặt = c/ trong Ii , ta đi đến
biểu thức sau
Ji (, T ) =

c
c
Ii ( , T ).
2



(19)

Các công thức (18) và (19) cho phép xác định cờng độ bức xạ đơn sắc theo bớc sóng nếu
biết cờng độ bức xạ đơn sắc theo tần số và ngợc lại. Đối với vật đen tuyệt đối, theo định
luật Kirchhoff Ji (, T ) = L(, T ), trong đó L là một hàm vạn năng, nh nhau cho mọi vật,
chỉ phụ thuộc vào bớc sóng và nhiệt độ. Biết L(, T ), từ công thức (18) suy ra rằng

F (, T ) =

c
c
L( , T ).
2



10

(20)


Biến đổi ngợc lại của (20), tính theo bớc sóng, là
c
c
L(, T ) = 2 F ( , T ).



(21)

Các công thức (20) và (21) cho phép xác định sự phụ thuộc của hàm vạn năng vào bớc
sóng nếu biết sự phụ thuộc vào tần số và ngợc lại.
Kết quả thực nghiệm về sự phụ thuộc của L(, T ) vào bớc sóng và nhiệt độ đợc thể
hiện bằng các đờng liền nét trên Hình 3. Có hai nhận xét chính:
i) Cờng độ bức xạ ứng với một giá trị T ,
R
L(, T )d = diện tích phía dới đờng cong,

0
tăng nhanh khi T tăng;
ii) Với mỗi nhiệt độ T xác định cờng độ bức xạ đạt cực đại ở một bớc
sóng nhất định = max và giá trị của max này dịch về phía xanh khi T
tăng.

Hình 3: L(, T ) phụ thuộc với T1 > T2 > T3 . Đờng đứt nét là công thức
(38) của Rayleigh-Jeans. Các đờng liền nét là kết quả thực nghiệm và phù
hợp tốt với công thức (44) của Planck.
Năm 1884 Stefan và Boltzmann dựa trên các phép đo chính xác đã đi đến kết luận là
đối với vật đen tuyệt đối cờng độ bức xạ tỷ lệ với T 4
Z
4
I(T ) =
F (, T )d =
T
(22)
2
0
trong đó
= 5.670 ã 108 W att m2 K 4
11

(23)


là một hằng số thực nghiệm, gọi là hằng số Stefan-Boltzmann. Đó là định luật StefanBoltzmann
Phải mất nhiều năm mới tìm ra đợc dạng giải tích của hàm F (, T ). Theo hớng này
Wien là ngời đầu tiên vào năm 1893 đã chỉ ra rằng F (, T ) phải có dạng

F (, T ) = 3 f ( ).
T

(24)

Tuy trong biểu thức (24) hàm f vẫn là hàm cha biết (chỉ biết nó phụ thuộc vào tỷ số /T ),
đề xuất của Wien đã giải thích đợc về mặt định tính các kết quả thực nghiệm. Thật vậy,
theo các hệ thức (22) và (24)
Z
Z

I(T ) =
F (, T )d =
3 f ( )d
T
0
0
Z 3
Z



4
4
= T
f( )d
3 f()d T 4
=T
T
T

T
0
0
phù hợp với định luật T 4 của Stefan và Boltzmann. Tiếp theo, từ các hệ thức (21) và (24)
suy ra
L(, T ) =

c c
c c 3 c c4 c
F
f
,
T
=
= 5f
.
2

2
T

T

(25)

Lấy đạo hàm cả hai vế theo , ta có

dL(, T )
L0 (, T )
d

c4 c
c4 c 0 c
f

5
=

f
5
2 T
T
6
T
c i
c4 h c 0 c
f
+ 5f
.
= 6
T
T
T

Bớc sóng max (max 6= , theo thực nghiệm) ứng với cực đại của L(, T ) thoả mãn
phơng trình
L0 (max , T ) = 0,
tức là
c
max T

f

0

à

c
max T

ả

+ 5f

à

c
max T

ả

= 0.

(26)

Từ phơng trình (26) suy ra
c
= const.
0

(27)

xf 0 (x) + 5f (x) = 0.

(28)

max T =
với 0 là lời giải của phơng trình

12


Hệ thức (27) là định luật Wien về sự dịch chuyển về phía xanh của cực đại cờng độ bức
xạ nh một hàm của bớc sóng khi nhiệt độ tăng. Giá trị thực nghiệm của const. trong
(27) là 2.90 ã 103 m K. Năm 1911 Wilhelm Wien đã đợc nhận giải Nobel Vật lý vì đã
khám phá ra những định luật về bức xạ nhiệt trong đó có định luật mang tên ông mà ta vừa
trình bày ở trên.
Về lý thuyết dạng tờng minh của F (, T ) có thể tìm đợc từ các công thức (11) và (8)
c
F (, T ) = I(, T ) =
(, T ).
(29)
8
Gọi dn là số trạng thái bức xạ trong một đơn vị thể tích có tần số giữa và + d (cũng
chính là số các tần số giữa và + d). Nếu năng lợng trung bình của một trạng thái là
T ) thì
E(,
T )dn
(, T )d = E(,

(30)

hay
T ) dn ã
(, T ) = E(,
(31)
d
Trớc tiên ta tính dn . Xét vật đen tuyệt đối dới dạng một hốc hình hộp chữ nhật có các
cạnh ax , ay , az và thể tích V = ax ay az . Các trạng thái của trờng bức xạ bên trong hình
hộp phải là các sóng đứng và phải triệt tiêu trên các mặt của hình hộp. Biểu diễn các trạng
thái đó dới dạng
X
(x, y, z) =
kx ky kz sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z)
kx ,ky ,kz

tự động bảo đảm điều kiện triệt tiêu trờng bức xạ trên các mặt x = 0, y = 0 và z = 0. Để
(x, y, z) = 0 trên các mặt còn lại, x = ax , y = ay , z = az , cần có các điều kiện sau



(32)
kx = nx , ky = ny , kz = nz
ax
ay
az
với các số nguyên tùy ý nx , ny , nz . Trong không gian véctơ sóng k các điểm cuối của các
véctơ sóng thoả mãn điều kiện (32) tạo thành một mạng ba chiều mà mỗi ô cơ sở là một
hình hộp chữ nhật với các cạnh

kx = , ky = , kz = .
ax
ay
az
Dễ nhận ra rằng mỗi ô cơ sở với thể tích
3
V
chứa một nút mạng, tức là một giá trị cho phép của véctơ k. Do đó số véctơ sóng giữa k
và k + dk là
dk
V
dNk =
= 3 d3 k
kx ky kz

V
4V
=
4k 2 dk = 2 k 2 dk.
3


vk = kx ky kz =

13


Vì

c 2
k
2
cho nên cả 8 véctơ khác nhau ở dấu các thành phần trên mỗi trục tọa độ đều ứng với cùng
một trạng thái. Vậy số trạng thái giữa k và k + dk chỉ bằng 1/8 giá trị của dNk viết ở trên
và ta có
dNk
1 2
4
dn =
=
k dk = 3 2 d.
8V
2
c
Nếu kể cả hai trạng thái phân cực của trờng bức xạ ta phải nhân thêm 2 vào vế phải của
biểu thức trên và thu đợc
=

8 2
d
c3

(33)

dn
8
= 3 2.
d
c

(34)

dn =
hay

Thay thế hệ thức (34) vào công thức (31) rồi sau đó thay thế kết quả nhận đợc vào biểu
thức (29), ta đi đến công thức
F (, T ) =

2
E(, T ).
c2

(35)

Trong lý thuyết bức xạ cổ điển
T ) = kB T
E(,

(36)

với kB là hằng số Boltzmann. Thay thế đẳng thức (36) vào công thức (35), ta thu đợc dạng
giải tích tờng minh của F (, T )
F (, T ) =

2
kB T.
c2

(37)

Biết F (, T ) và sử dụng hệ thức (21) dễ dàng suy ra rằng
L(, T ) =

c
kB T.
4

(38)

Công thức (37) (hoặc (38)) là công thức Rayleigh-Jeans, do Rayleigh và Jeans dẫn ra năm
1900. Đờng đứt nét trên Hình 3 là sự phụ thuộc của L(, T ) vào ở một nhiệt độ xác
định, tính theo công thức (38). Có bốn nhận xét nh sau:
i) Dạng hàm F (, T ) trong công thức (37) phù hợp với giả thiết của Wien
(xem công thức (24));
ii) Công thức (38) chỉ phù hợp với thực nghiệm ở bớc sóng lớn nhng hoàn
toàn khác kết quả thực nghiệm ở bớc sóng nhỏ (xem Hình 3);
14


iii) Công thức (38) không giải thích đợc định luật dịch chuyển Wien, vì
L(, T ) nh một hàm của không có cực đại;
iv) Đặc biệt với mọi T , cờng độ bức xạ là
Z
Z
2
I(T ) =
F (, T )d = (kB T /c )
0

0

2 d = ,

một điều vô lý (đó là tai biến cực tím mà lý thuyết cổ điển chịu bó tay).

1.2 Thuyết lợng tử năng lợng của Planck
Để khắc phục điều vô lý nói trên và thu đợc sự phù hợp với các kết quả thực nghiệm,
năm 1900 Max Planck đã đề xuất giả thiết lợng tử nh sau: Mọi trạng thái của bức xạ
điện từ đơn sắc tần số đều chỉ có thể có năng lợng gián đoạn là bội của một lợng bằng
h gọi là lợng tử năng lợng,
E(, n) = nh ,

(39)

trong đó n = 1, 2, ... và h là một hằng số gọi là hằng số Planck.
Hãy áp dụng giả thuyết Planck để tính năng lợng trung bình của trạng thái bức xạ tần
số . Theo nhiệt động học, ở nhiệt độ T trạng thái với năng lợng E(, n) có xác suất xác
định bởi hàm phân bố Boltzmann
P (E(, n)) = const. eE(,n)/kB T .

(40)

Do đó
T) =
E(,

P

E(, n)eE(,n)/kB T
nP
E(,n)/kB T
ne

ã

(41)

Thay thế đẳng thức (39) vào công thức (41), ta có
P
nenh/kB T

E(, T ) = h Pn nh/k T .
B
ne
Đặt = h/kB T rồi tính các tổng

X

en =

n

X
n

ta thu đợc

ne

n

1
,
1 e

d X n
d
=
e
=
d n
d

T )) = h
E(,

à

1
1 e

ả

=

e

,
(1 e )2

eh/kB T
h
=
ã
1 eh/kB T
eh/kB T 1
15

(42)


Thay thế phơng trình (42) vào hệ thức (35), ta đợc
h
3
ã
c2 eh/kB T 1

(43)

hc2
1
ã
5
hc/k
BT 1
e

(44)

F (, T )) =
Sử dụng hệ thức (25), ta đi đến kết quả
L(, T )) =
Có sáu nhận xét sau:

i) Công thức (43) hoàn toàn phù hợp với giả thiết của Wien về dạng của hàm
F (, T );
ii) Cờng độ bức xạ,
Z
Z
4
4 kB
h
3 d
I(T ) =
F (, T )d = 2
=
T 4,
c 0 eh/kB T 1
15c2 h3
0

(45)

là hữu hạn (thoát đợc tai hoạ cực tím);
4
iii) So sánh công thức (45) với công thức (22), ta suy ra = 2 5 kB
/(15c2 h3 ).

Với các giá trị số h = 6.626 ã 1034 J s, kB = 1.38 ã 1023 J/K và c =
2.889 ã 108 m/s ta có ' 5.66 ã 108 W att m2 K 4 , phù hợp tuyệt vời
về định lợng với định luật Stefan-Boltzmann;

iv) Khi h kB T , có thể viết gần đúng exp (h/kB T ) 1 ' h/kB T và
do đó F (, T ) ' ( 2 kB T /c2 ), chính là công thức Reyleigh-Jeans;
v) Khi h kB T , có thể viết gần đúng exp (h/kB T ) 1 ' exp (h/kB T )
và do đó F (, T ) ' (h 3 /c2 ) exp (h/kB T ). Kết quả này cũng hoàn
toàn phù hợp với thực nghiệm ở miền bớc sóng ngắn và/hoặc nhiệt độ
thấp;
vi) Các công thức (43) và (44) trùng khớp hoàn toàn với các đờng liền nét
trên Hình 3, là các đờng cong thực nghiệm.
Tóm lại, thuyết lợng tử năng lợng của Planck giải thích mỹ mãn tất cả các kết quả
thực nghiệm về bức xạ nhiệt. Max Planck đã nhận giải Nobel Vật lý năm 1918.

16


Bài tập
1.1 Tơng tự nh max , ký hiệu max là giá trị của tần số ở đó cờng độ bức
xạ đạt cực đại khi thay đổi. Hệ thức
max =

c
max

có đúng hay không ? Tại sao ?
1.2 Tìm giá trị của hằng số trong vế phải định luật dịch chuyển Wien (27),
cho biết phơng trình
x

ex + = 1
5
có nghiệm là x = 4.965.

17


Chơng II
thuyết lợng tử ánh sáng của einstein

2.1 Hiệu ứng quang điện
Hiệu ứng quang điện, sự bật các điện tử ra khỏi bề mặt của kim loại khi kim loại này
bị chiếu sáng, đợc phát hiện lần đầu tiên vào năm 1887. Sau đó nhiều nhà thực nghiệm
ở nhiều nớc đã kiểm tra lại hiệu ứng này và đến năm 1898 những kết quả thực nghiệm
chính xác đã đợc công nhận. Sơ đồ thí nghiệm nh sau (Hình 4). Qua cửa sổ C ánh sáng
đợc chiếu vào cathode K làm bằng một lá kim loại. Giữa cathode K và anode A tạo một
hiệu điện thế đợc đo bằng vôn kế V và thay đổi đợc nhờ bộ pin P. Các điện tử bật khỏi
cathode sẽ chuyển động về phía anode sinh ra dòng điện đợc đo bằng ampe kế I. Có thể
triệt tiêu dòng điện này bằng cách đổi cực nguồn pin để tạo ra một thế hãm V0 đủ lớn.

Hình 4: Sơ đồ thí nghiệm của hiệu ứng quang điện.
Các kết quả thực nghiệm là:
i) Có hiệu ứng ngỡng: dòng quang điện chỉ xuất hiện khi tần số của ánh
sáng không nhỏ hơn một giá trị ngỡng 0 nào đó và giá trị của 0 phụ
thuộc vào chất bị chiếu sáng;
ii) Vận tốc của các điện tử và độ lớn của thế hãm không phụ thuộc vào cờng
độ mà chỉ phụ thuộc vào tần số của ánh sáng và chất bị chiếu sáng;
18

iii) Với > 0 cờng độ dòng quang điện bão hoà tỷ lệ thuận với cờng độ
ánh sáng gây ra hiệu ứng quang điện.
Không thể giải thích những phát hiện trên bằng quan niệm cho ánh sáng thuần tuý là
sóng, vì năng lợng của sóng có thể thay đổi liên tục, nếu chiếu sáng đủ mạnh, không quan
trọng tần số của ánh sáng là bao nhiêu, các điện tử sẽ nhận một lợng năng lợng lớn hơn
công tối thiểu (gọi là công thoát) của kim loại để thoát ra ngoài và chuyển động càng nhanh
khi cờng độ chiếu sáng càng lớn, những điều hoàn toàn trái ngợc với các kết quả thực
nghiệm.
Để giải thích các kết quả của thực nghiệm về hiệu ứng quang điện Albert Einstein năm
1905 đã mở rộng thuyết lợng tử của Planck và đề xuất thuyết lợng tử ánh sáng (còn gọi
là thuyết photon) thừa nhận tính chất hạt của ánh sáng. Theo Einstein, ánh sáng là chùm
các hạt gọi là các lợng tử ánh sáng hay các photon chuyển động trong chân không với
cùng một vận tốc c trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Tính chất hạt của photon đợc thể
hiện qua năng lợng E và xung lợng p liên hệ với tần số và véctơ sóng k bởi các công
thức
E = h, p =

h
k.
2

(46)

Giữa năng lợng và xung lợng của photon có hệ thức
E = cp

(47)

suy ra từ hệ thức giữa tần số và véctơ sóng của ánh sáng tơng ứng
k = 2

2
=
,
c


(48)

là bớc sóng của sóng ánh sáng.
Theo thuyết photon, hiệu ứng quang điện là hệ quả của sự va chạm của photon với điện
tử trong kim loại mà toàn bộ năng lợng của photon đợc truyền cho điện tử và làm cho
điện tử bật ra khỏi kim loại. Ký hiệu công thoát là A0 , vận tốc của điện tử sau khi bứt ra
khỏi kim loại là v và khối lợng nghỉ của điện tử là m. Trong kim loại thế năng của điện
tử là A0 . Theo định luật bảo toàn năng lợng
h A0 =

mv 2
.
2

(49)

Hiệu ứng quang điện chỉ có thể xảy ra nếu v 0, nghĩa là nếu tần số của ánh sáng không
nhỏ hơn một giá trị ngỡng 0 nào đó,
0 =

A0
.

h

(50)

Vì công thoát khác nhau đối với các kim loại khác nhau nên tần số ngỡng 0 phụ thuộc
vào tính chất của kim loại gây ra hiện tợng quang điện. Những điều này giải thích kết quả
thực nghiệm thứ nhất đã nêu ở trên.
19


Từ đẳng thức (49) cũng suy ra rằng vận tốc của các điện tử không phụ thuộc vào cờng
độ mà chỉ phụ thuộc vào tần số của ánh sáng và chất bị chiếu sáng,
r
2
v=
(h A0 ) ,
m
hoàn toàn phù hợp với kết quả thực nghiệm thứ hai. Đối với thế hãm cũng vậy. Vì
eV0 = mv2 /2 (e là giá trị tuyệt đối của điện tích của điện tử) nên, theo các hệ thức (49) và
(50),
eV0 = h( 0 ).

(51)

Hệ thức (51) cho phép xác định hằng số Planck bằng cách nghiên cứu thực nghiệm sự phụ
thuộc của thế hãm vào tần số của ánh sáng trong một loại kim loại nhất định.
Thuyết photon còn giải thích đợc cả kết quả thực nghiệm thứ ba. Thật vậy, cờng độ
dòng quang điện bão hoà tỷ lệ với số điện tử bị bứt ra ngoài, mà số điện tử này lại tỷ lệ
với số photon và số photon lại chính là cờng độ ánh sáng. Giải Nobel Vật lý năm 1921 đã
đợc trao cho Albert Einstein để ghi nhận công lao của ông trong lĩnh vực Vật lý lý thuyết

và đặc biệt là việc giải thích trọn vẹn hiệu ứng quang điện.

2.2 Tán xạ Compton
Một hiệu ứng nổi tiếng khác không thể giải thích đợc bằng lý thuyết điện từ cổ điển
mà cũng đòi hỏi phải áp dụng thuyết lợng tử ánh sáng là tán xạ Compton. Năm 1923 khi
nghiên cứu tán xạ của tia X có bớc sóng lên các vật rắn khác nhau Compton quan sát
thấy tia tán xạ có bớc sóng 0 > . Kết quả đo cho thấy
= 0 = 0 (1 cos )

(52)

trong đó là góc tán xạ (góc giữa các hớng của tia tới và tia tán xạ) còn 0 = 2.42ã1010 cm,
một hằng số thực nghiệm, gọi là bớc sóng Compton.
Hiệu ứng này đợc giải thích là kết quả của sự tán xạ đàn tính của photon lên điện tử
liên kết yếu trong vật rắn
+ e + e.
Điện tử liên kết yếu trong các nguyên tử có thể xem là điện tử tự do khi năng lợng liên
kết của nó rất nhỏ hơn so với năng lợng mà nó nhận đợc từ photon trong quá trình va
chạm. Trớc khi tán xạ điện tử đứng yên và sau tán xạ nó chuyển động với vận tốc v. Gọi
xung lợng và năng lợng của photon trớc khi tán xạ là p và E = cp, sau khi tán xạ là p
và E 0 = cp0 . Theo các định luật bảo toàn xung lợng và năng lợng
mv

p= q

1
20

v2
c2

+ p0 ,

(53)


mc2
mc2 + cp = q
+ cp0 ,
v2
1 c2

hay là

mv
,
p0 p = q
2
1 vc2


1

p p0 = mc q

1

Từ hai phơng trình (55) và (56) suy ra

v2

c2

(54)

(55)


1 .

pp0 (1 cos ) = mc(p p0 ).

(56)

(57)

Theo các công thức (46) và (48),
p=

h
h 2
h
h 0
h 2
h
k=
= , p0 =
k =
= 0,
0
2

2

2
2


(58)

hệ thức (57) trở thành
0 =

h
(1 cos )
mc

(59)

So sánh công thức (59) với công thức (52) ta rút ra biểu thức của bớc sóng Compton
0 =

h
.
mc

(60)

Thay các giá trị số của h, c và m = 9.109 ã 1031 Kg vào hệ thức (60), ta tính đợc
0 ' 2.424 ã 1010 cm, phù hợp rất tốt với kết quả thực nghiệm. Arthur Compton đã nhận
giải Nobel Vật lý năm 1927.
Cùng với hiệu ứng quang điện và hiệu ứng Compton, tất cả những nghiên cứu thực

nghiệm khác về tơng tác của ánh sáng với các hạt vi mô đều rất phù hợp với những tính
toán lý thuyết dựa trên thuyết photon của Einstein. Trong tất cả các quá trình đó ánh sáng
thể hiện tính chất hạt một cách rõ rệt. Mặt khác, trong hiện tợng giao thoa và nhiễu xạ thì
ánh sáng lại không thể hiện tính hạt mà lại bộc lộ tính sóng. Thuyết điện từ cổ điển của
Maxwell hoàn toàn diễn tả đợc tất cả các quá trình mà trong đó ánh sáng thể hiện tính
sóng, nhng không giải thích đợc những quá trình mà trong đó ánh sáng thể hiện tính hạt.
Trái lại, thuyết photon hoàn toàn diễn tả đợc tất cả các quá trình mà trong đó ánh sáng thể
hiện tính hạt, nhng không giải thích đợc những quá trình mà trong đó ánh sáng thể hiện
tính sóng. Sự ra đời của thuyết lợng tử ánh sáng của Einstein tiếp theo lý thuyết điện từ
cổ điển của Maxwell đặt ra cho ngành Vật lý trong những thập niên đầu thế kỷ 20 một vấn
đề mới: Xây dựng một lý thuyết thống nhất diễn tả đợc cả tính chất sóng lẫn tính chất
hạt của ánh sáng, nghĩa là một lý thuyết có khả năng thống nhất thuyết lợng tử ánh sáng
của Einstein với thuyết điện từ cổ điển của Maxwell. Lý thuyết đó đã đợc xây dựng hoàn
chỉnh vào giữa thế kỷ 20 và đợc gọi là Điện động lực học lợng tử.
21


Bài tập
2.1 Ký hiệu góc tán xạ của photon và góc bay ra của điện tử (so với hớng
truyền của photon tới) trong quá trình tán xạ Compton là và , chứng
minh rằng
à
ả
h

ctg = 1 +
tg
.
mc2
2

2.2 Chứng minh hệ thức
2h
2
K
2 sin
= mc2h 22
E
1 + mc2 sin


2

giữa động năng K của điện tử bị đẩy và năng lợng E của photon tới
trong tán xạ Compton ( là góc tán xạ).
2.3 Một điện tử tự do không thể hấp thụ hoặc phát ra một photon. Hãy giải
thích tại sao ?

22


Chơng III
thuyết lợng tử quỹ đạo của bohr
Lịch sử phát triển của lý thuyết về cấu tạo nguyên tử là một chặng đờng dài. Từ lâu
ngời ta đã biết:
i) Nguyên tử tồn tại bền vững;
ii) Quang phổ của hydro (và các ion tựa hydro) gồm các vạch sắp xếp có quy
luật. Từ 1885 Balmer đã thiết lập đợc công thức chính xác về sự sắp xếp
theo bớc sóng của các vạch trong một dãy các vạch đã quan sát đợc từ
quang phổ của hydro
2

n
=
n2 4

(61)

là một hằng số còn n = 3, 4, 5, .... Công thức (61) có thể viết
trong đó
dới một dạng khác (thuận tiện hơn cho việc so sánh với thực nghiệm)
nh sau:
à
ả
1
1
1
= R 2 2 , n = 3, 4, 5, . . .
(62)

2
n
trong đó
R=

4
= 1.097 ã 107 m1



(63)

gọi là hằng số Rydberg.
Năm 1911 Rutherford bắn phá các nguyên tử bằng tia và đã khám phá ra mẫu hành
tinh nguyên tử: hạt nhân mang điện tích dơng nằm ở giữa còn các điện tử thì chuyển động
xung quanh hạt nhân theo các quỹ đạo của chúng. Tuy nhiên mẫu nguyên tử này vấp phải
một số bi kịch trên quan điểm của lý thuyết cổ điển. Để thấy rõ điều này, ta hãy xét
chuyển động của một điện tử mang điện tích âm e trong trờng thế Coulomb của một ion
dơng. Để đơn giản xét ion đó là proton với điện tích +e. Bài toán hai hạt này có thể quy
về chuyển động của một hạt có khối lợng à bằng khối lợng thu gọn của hệ hai hạt điện
tử-proton trong trờng thế xuyên tâm. Vì khối lợng của proton lớn hơn rất nhiều so với
khối lợng của điện tử ta có thể coi à = m là khối lợng của điện tử. Để đơn giản chỉ
khảo sát chuyển động tròn đều của điện tử quanh proton với vận tốc góc theo quỹ đạo
tròn bán kính r. Hai đại lợng vật lý bảo toàn là năng lợng của điện tử
1 2 2
1 e2
E = mr
2
4 r
và mômen xung lợng của nó
M = mr2 .
23

(64)


Phơng trình chuyển động xuyên tâm là
mr 2 =

1 e2
,
4 r2

(65)

E=

1 e2
.
8 2r

(66)

M2
.
me2

(67)

do đó

Từ các công thức (64) và (65) suy ra
r = 4

Thay công thức (67) vào công thức (66), ta thu đợc hệ thức giữa E và M
E=

1 me4
.
32 2 2M 2

(68)

Chú ý rằng chuyển động theo quỹ đạo tròn là một chuyển động có gia tốc. Theo thuyết
điện từ cổ điển của Maxwell thì điện tử sẽ phải phát ra bức xạ một cách liên tục và nh thế
năng lợng của nó phải giảm liên tục. Theo hệ thức (66), năng lợng E càng giảm thì bán
kính quỹ đạo r càng bé và điện tử tất yếu sẽ phải nhập vào proton, một điều trái với thực
tế là nguyên tử tồn tại bền vững. Hơn nữa, vì mômen xung lợng M phải bảo toàn, nếu r
giảm liên tục thì lại phải tăng liên tục (xem (64)) dẫn đến quang phổ liên tục, trái với
các kết quả quan sát thực nghiệm nh đã nói ở trên (xem (61)).
Niels Bohr tiếp tục phát triển thuyết lợng tử năng lợng của Planck và thuyết photon
của Einstein để xây dựng lý thuyết về cấu tạo nguyên tử và về các quá trình phát và hấp thụ
ánh sáng bởi các nguyên tử nhằm mục đích khắc phục thiếu sót nói trên của thuyết điện từ
cổ điển và giải thích các kết quả thực nghiệm đã biết. Năm 1913 Bohr đã đề xuất hai tiên
đề sau:
Tiên đề 1: Trong vô số các quỹ đạo khả dĩ, điện tử chỉ có thể ở trên một trong số
các quỹ đạo với một năng lợng gián đoạn hoàn toàn xác định. Khi điện
tử tồn tại ở một quỹ đạo nào đó thì nó không hề phát ra bức xạ điện từ,
mà chỉ phát ra bức xạ điện từ dới dạng một photon có năng lợng h
khi chuyển từ quỹ đạo có năng lợng Em sang quỹ đạo có năng lợng En
thoả mãn điều kiện bảo toàn năng lợng
Em En = h.

(69)

Ngợc lại, khi hấp thụ một photon với năng lợng h thì điện tử ở quỹ đạo
có năng lợng En sẽ chuyển sang quỹ đạo có năng lợng Em = En + h.

24


Tiên đề 2: Các quỹ đạo đợc phép đợc xác định bởi điều kiện sau đây gọi là quy

tắc lợng tử hoá Bohr: Mômen xung lợng của chuyển động của điện tử
quanh hạt nhân có các giá trị gián đoạn
Mn =

h
n, n = 1, 2, 3, . . . .
2

(70)

Thay quy tắc lợng tử (70) vào công thức (68), ta có các giá trị gián đoạn của năng
lợng
En =

me4 1
.
8h2 n2

(71)

Số nguyên n gọi là số lợng tử của trạng thái đang xét. Từ các công thức (69) và (71), ta
thấy rằng khi điện tử trong nguyên tử hydro chuyển từ trạng thái với số lợng tử m sang
trạng thái với số lợng tử n < m thì nó phát ra photon ứng với ánh sáng có tần số gián
đoạn
à
ả
1
me4 1
1
= (Em En ) =

,
(72)
h
8h3 n2 m2
hay
1
me4
=

8ch3

à

1
1
2
2
n
m

ả

.

(73)

Tuỳ theo giá trị của n ứng với trạng thái năng lợng thấp nhất đợc điện tử chuyển đến
mà ta có các dãy vạch quang phổ khác nhau. Dãy Lyman, với n = 1, m = 2, 3, 4, . . . ,
đợc phát hiện bằng thực nghiệm không lâu sau khi Bohr đa ra các tiên đề của mình. Với

n = 2, m = 3, 4, 5, . . . ta có dãy Balmer đã đợc phát hiện từ 1885. So sánh công thức (73)
với công thức (62) cho trờng hợp dãy Balmer, ta rút ra biểu thức cho hằng số Rydberg
me4
.
R=
8ch3

(74)

Thay các giá trị bằng số của các hằng số có mặt trong vế phải của hệ thức (74), ta đợc
R ' 1.098 ã 107 m1
phù hợp rất tốt với giá trị thực nghiệm (xem (63)). Tơng tự, với n = 3, 4, 5, . . . và m > n
ta có các dãy Paschen, Bracket, Pfund, ... đều đã đợc phát hiện bằng thực nghiệm. Ngoài
phổ năng lợng gián đoạn điện tử còn có phổ năng lợng liên tục ứng với trạng thái điện
tử bị bứt ra khỏi nguyên tử.
Từ công thức (67) và điều kiện lợng tử hoá (70) ta suy ra bán kính của các quỹ đạo
đợc phép
h2 2
rn =
n,
me2
25