Bài giảng Xác suất thống kê

§1. CÔNG THỨC GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1.1.

Quy tắc cộng và quy tắc nhân

1. Quy tắc cộng
Nếu một công việc được chia làm k trường hợp để thực hiện, trường hợp 1
có n1 cách thực hiện xong công việc, trường hợp 2 có n2 cách thực hiện xong
công việc, … , trường hợp k có nk cách thực hiện xong công việc và không có
bất kì một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với một cách thực
hiện ở trường hợp khác, thì có n1 + n2 + … + nk cách thực hiện xong công việc.
2. Quy tắc nhân
Nếu một công việc được chia làm k giai đoạn để thực hiện, giai đoạn 1 có
n1 cách thực hiện xong công việc, giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện xong công
việc, … , giai đoạn k có nk cách thực hiện xong công việc và không có bất kì
một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với một cách thực hiện ở
trường hợp khác, thì có n1. n2 . … nk cách thực hiện xong công việc.
Ví du 1. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hỏi có bao nhiêu số ngàn được lập
từ tập A trong các trường hợp sau:
a) Số ngàn có các chữ số khác nhau
b) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số chẵn
c) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số lẽ
1.2. Hoán vị
Một hoán vị của n phần tử là một cách xếp thứ tự của n phần tử đó. Số hoán vị
của n phần tử kí hiệu là Pn  n!
Ví dụ 2. Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên trong đó có M, N vào một bàn dài có 5 chổ.
Có bao nhiêu cách xếp trong các trường hợp sau:
a) Ngồi tùy ý
b) M ngồi ở đầu bàn
c) M và N ngồi cạnh nhau
d) M và N ngồi ở hai đầu bàn

e) M và N không ngồi cạnh nhau
1.3. Chỉnh hợp
Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử khác
nhau lấy từ n phần tử đã cho.
Số các chỉnh hợp chập k lấy từ n phần tử kí hiệu là Ank và được xác định:


n!
(n  k )!
Ví dụ 3. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ. Chọn ngẫu nhiên từ lớp
đó ra 4 sinh viên để lập một ban cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó học tập,
lớp phó văn nghệ và thủ quỷ. Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp
sau:
a) Chọn tùy ý không phân biệt nam, nữ.
b) Lớp trưởng phải là nữ.
c) Có đúng một nữ.
d) Có ít nhất một nữ.
Ank 

1.4. Tổ hợp
Một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử lấy từ n phần tử
n!
đã cho, kí hiệu là Cnk 
k !(n  k )!
Ví dụ 4. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ. Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra
5 sinh viên. Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau
a) Có 5 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.
b) Có 3 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.
c) Có ít nhất 4 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.
d) Có nhiều nhất 2 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.

Ví dụ 5. Một hộp có 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 8 bi vàng. Lấy từ hộp ra 9 bi. Hỏi có bao
nhiêu cách lấy trong các trường hợp sau
a) Có màu tùy ý
b) Có 2 bi xanh, 3 bi đỏ và 4 bi vàng
c) Có 2 bi xanh
d) Có nhiều nhất 2 bi xanh
Ví dụ 6. Có hai hộp bi. Hộp 1 có 6 bi xanh, 4 bi đỏ, hộp 2 có 7 bi xanh, 8 bi đỏ.
Lấy từ hộp 1 ra 2 bi, lấy từ hộp 2 ra 3 bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong
các trường hợp sau
a) Có màu tùy ý
b) Có 1 bi xanh
c) Có nhiều nhất 1 bi xanh

§2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
2.1. Phép thử và biến cố
1. Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác


định nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được
gọi là một biến cố.
Ví dụ. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Các biến
cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,…
2. Biến cố chắc chắn, kí hiệu Ω, là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện
phép thử.
Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm
không quá 6” là biến cố chắc chắn.
3. Biến cố không thể, kí hiệu Φ, là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện
phép thử.
Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn
hơn 6” là biến cố không thể.

4. Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực
hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố
ngẫu nhiên.
Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một
biến cố ngẫu nhiên.
Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi Aj (j =
1,2,…,6) là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” .
5. Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B là biến cố xác định bởi
A + B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.
(Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra).
Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A1, A2,…, An như sau:
A1 + A2 +…+ An xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong n biến cố A1, A2,…, An
xảy ra.
Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số
chấm không quá 3” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lẽ”, ta có:
A = A1 + A 2 + A 3
B = A1 + A 3 + A 5
6. Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi:
AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra (trong cùng một phép thử)
Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời
xảy ra trong cùng một phép thử.
Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A1, A2,…, An như sau:
A1A2…An xảy ra khi và chỉ khi tất cả n biến cố A1, A2,…, An đồng thời xảy ra.
Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:


A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5.
C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5.
Ta có: AB = A6 và ABC = Φ.

7. Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và không thể phân tích dưới
dạng tổng của hai biến cố khác.
Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất không thể phân
chia đươc nữa. Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp nào đó,
ta gọi những biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A. Như vậy, mọi biến cố sơ
cấp đều thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi không có biến cố sơ cấp nào thuận
lợi cho biến cố bất khả.
Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả 6 biến cố sơ cấp là Aj (j =
1,2,…,6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Khi đó:
A = A1 + A 3 + A 5 .
Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A1, A3, A5.
8. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB =  , nghĩa là A và B không
bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử.
Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố :
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt 1 chấm.
C : Xuất hiện mặt có số không quá 2.
Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì không (AC = A2).
9. Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A , là biến cố định bởi A xảy ra khi và
chỉ khi A không xảy ra.
Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A = Ω, nghĩa là nhất thiết phải có một
và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra khi thực hiện phép thử.
Các ví dụ.
1) Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ.
Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A.
2) Tung đồng xu, xét các biến cố
A: Đồng xu xuất hiện mặt sấp
B: Đồng xu xuất hiện mặt ngửa

Khi đó A, B là hai biến cố đối lập
3) Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy từ hộp ra 3 bi, xét các biến cố
A: Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh


B: Ba bi lấy ra là ba bi đỏ
Khi đó A, B là hai biến cố đối lập
C: Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh
D: Ba bi lấy ra là ba bi xanh
Khi đó C, D là hai biến cố đối lập
10. Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra như nhau khi
thực hiện phép thử.
Ví dụ 1. Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp
Aj (j = 1, 2,…,6) là đồng khả năng.
Ví dụ 2. Có 2 hộp bi, mỗi hộp có 10 viên trong đó hộp thứ i có i + 2 bi đỏ còn lại
là bi xanh. Lấy từ mỗi hộp ra 1 bi. Gọi Ai là “Bi lấy từ hộp i là bi xanh”, i = 1,2.
Hãy dùng A1, A2 để biểu diễn các biến cố sau
a) Hai bi lấy ra là hai bi xanh
b) Hai bi lấy ra có một bi xanh
c) Hai bi lấy ra cùng màu
d) Hai bi lấy ra chỉ có bi của hộp 2 là xanh
Giải
a) Gọi A là hai bi lấy ra là hai bi xanh
Ta có : A = A1A2
b) Gọi B là hai bi lấy ra có một bi xanh
Ta có : B  A1 A2  A1 A2
c) Gọi C là hai bi lấy ra cùng màu
Ta có : C  A1 A2  A1 A2
d) Gọi D là hai bi lấy ra chỉ có bi của hộp 2 là xanh
Ta có : D  A1 A2

2.2. Định nghĩa xác suất.
Giả sử khi tiến hành một phép thử, có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có
thể xảy ra, trong đó có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Tỉ số
m
P( A) 
n
được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).
Ví dụ 1. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra ba bi. Tính
các xác suất sau:
a) Ba bi lấy ra là ba bi xanh
b) Ba bi lấy ra có 1 bi xanh
c) Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh
d) Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh
Giải


a) Gọi A là “Ba bi lấy ra là 3 bi xanh”

C63
P( A)  3
C10
b) Gọi B là “Ba bi lấy ra là có 1 bi xanh”
C61C42
P( B)  3
C10
c) Gọi C là “Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh”
C43  C61C42  C62C41
P(C ) 
C103
b) Gọi D là “Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh”

C1C 2  C62C41  C63
P ( D)  6 4
C103
Ví dụ 2. Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu.
Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 sản phẩm
chọn ra có:
a) Nhiều nhất 2 sản phẩm xấu
b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu.
Giải
Gọi Ai là “Có i sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra” (i = 0, 1, 2, 3)
a) Gọi A là “Có nhiều nhất 2 sản phẩm xấu”. Ta có:
A = A0 + A 1 + A 2 .
Suy ra P( A)  P( A0 )  P( A1 )  P( A2 )
b) Gọi B là “Có ít nhất 1 sản phẩm xấu”. Khi đó, biến cố đối lập B là biến cố
không có sản phẩm xấu nào trong 3 sản phẩm chọn ra nên B = A0. Suy ra xác suất
của B là P( B)  1  P( A0 )
§3.CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
3.1. Công thức cộng xác suất
1. Công thức cộng xác suất thứ nhất.
Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có : P(A+B) = P(A) + P(B)
Mở rộng. Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có:
P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)
Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có
P( A ) = 1 − P(A)


Ví dụ 1. Một lô hàng có 20 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm loại A, còn lại là
loại B. Lấy từ lô hàng ra 5 sản phẩm.
a) Tính xác suất để 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại A.
b) Tính xác suất để 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 4 sản phẩm loại A.

Giải
a) Gọi A là 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại A.
Suy ra A là 5 sản phẩm lấy ra là 5 sản phẩm loại B.
P ( A) 

Mà P( A)  1  P( A) nên P( A)  1 

C145
5
C20

C145
5
C20

b) Gọi B là 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 4 sản phẩm loại A.
Suy ra B là 5 sản phẩm lấy ra là 5 sản phẩm loại A.
C65
P( B )  5
C20
C65
Mà P( B)  1  P( B) nên P( A)  1  5
C20

2. Công thức cộng xác suất thứ hai
Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) −P(AB)
Ví dụ 2 (CHKT2006). Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên giỏi
Toán, 60 sinh viên giỏi ngoại ngữ và 20 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và ngoại
ngữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tính các xác suất sau
a) Sinh viên đó chỉ giỏi môn toán

b) Sinh viên đó chỉ giỏi ngoại ngữ
c) Sinh viên đó giỏi ít nhất một trong hai môn
Giải
a) Gọi A là "Sinh viên chỉ giỏi môn toán"
Số sinh viên chỉ giỏi Toán là: 50  20  30 .
30
Vậy P( A) 
 0,3
100
b) Gọi B là "Sinh viên chỉ giỏi môn ngoại ngữ"
Số sinh viên chỉ giỏi Ngoại ngữ là: 60  20  40 .
40
 0, 4
Vậy P( B) 
100
c)
Cách 1


Gọi C là “sinh viên được chọn giỏi môn Toán”
Gọi D là “sinh viên được chọn giỏi môn ngoại ngữ”
Khi đó
- CD là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ.
- C + D là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc
ngoại ngữ. Vì C, D không xung khắc nên
P(C + D) = P(C) + P(D) − P(CD)
P(C  D) 

50 60 20



 0,9
100 100 100

Cách 2
Gọi E là “Sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn”
Khi đó E  A  B  AB , vì A, B, AB xung khắc nên theo công thức cộng thư nhất
P( E)  P( A)  P( B)  P( AB)  0,3  0, 4  0, 2  0,9

3.2. Công thức nhân xác suất
1. Xác suất có điều kiện
a. Định nghĩa. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra, được gọi
là xác suất có điều kiện của A đối với B. Kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A
nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi.
b. Công thức
 A  P( AB)
P  
 B  P( B)

+ P(AB) là xác suất để cả A và B cùng xảy ra.
+ P(B) là xác suất để B xảy ra.
Ví dụ 1. Có 3 sinh viên X, Y, Z cùng thi xác suất thống kê và có hai sinh viên thi
đậu. Tính xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y đã thi đậu.
Giải
Gọi A là sinh viên X thi đậu
Gọi B là sinh viên Y thi đậu
Xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y thi đậu chính là xác suất có
điều kiện của A đối với B.
 A

P( AB)

1

2

Ta có: P   
, với P( AB)  ; P( B)  .
3
3
 B  P( B)
 A

1

Vậy P     0,5 .
B 2
Ví dụ 2. Tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Xét các biến cố sau:
- A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
- B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ.


- C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4.
- D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4.
Khi đó
- P(A/B) = 0
- P(A/C) = 2/4 = 0,5
- P(A/D) = 2/3
Nhận xét. Trong ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(A) = 3/6 = 0,5. Do đó
P(A/B) < P(A);

P(A/C) = P(A);
P(A/D) > P(A).
Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng
nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(A). Đặc biệt, ta thấy xác suất
để biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C
đã xảy ra. Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau:
2. Biến cố độc lập. Nếu P(A/B) = P(A) hay P(B/A) = P(B), nghĩa là sự xuất hiện
của biến cố B không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A hoặc ngược lại, thì ta
nói A độc lập với B.
2. Công thức nhân xác suất thứ nhất
Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có
P(AB) = P(A) P(B)
Mở rộng. Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi
1 ≤ i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An).
Ví dụ. Có ba hộp bi, mỗi hộp có 10 bi. Trong đó hộp thứ i có i bi đỏ, 10 – i bi
xanh (i = 1, 2, 3). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bi. Tính các xác suất sau:
a) Ba bi lấy ra là ba bi đỏ
b) Ba bi lấy có một bi xanh
c) Bi lấy ra từ hộp hai là xanh, biết rằng ba bi lấy ra có một bi xanh
Giải
Gọi Ai là “Bi lấy từ hộp i là bi đỏ” (i = 1, 2, 3)
1
2
3
; P( A2 )  ; P( A3 )  ;
10
10
10
9
8

7
P( A1 )  ; P( A2 )  ; P( A3 )  ;
10
10
10

Ta có P( A1 ) 

a) Gọi A là “Ba bi lấy ra là ba bi đỏ”
Ta có A  A1 A2 A3
Suy ra P( A)  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
b) Gọi B là “Ba bi lấy ra là có một bi xanh”


B  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3
Suy ra P( B)  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
c) Tính xác suất có điều kiện
 A  P( A2 B)
, với P( A2 B)  P( A1 A2 A3 )
P 2  
P( B)
 B
3. Công thức nhân xác suất thứ hai
Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B)
Mở rộng. Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ, ta có:
P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/A1)… P(An/A1 A2 …An−1).
Chẳng hạn:
P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB).
Ví dụ. Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.
Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào lấy ra được

3 sản phẩm tốt thì dừng lại.
a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3
b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4
c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Tính xác suất để ở lần kiểm
tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu
Giải
Gọi Ai, Bi lần lượt là các biến cố chọn được sản phẩm tốt xấu ở lần kiểm tra thứ i.
a) Gọi A là "Khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3"
Ta có : A  A1 A2 A3 , suy ra P( A)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )


6 5 4
   0,1667
10 9 8

b) Gọi B là "Khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4"
Ta có : B  B1 A2 A3 A4  A1B2 A3 A4  A1 A2 B3 A4
Suy ra P( B)  P( B1 A2 A3 A4 )  P( A1B2 A3 A4 )  P( A1 A2 B3 A4 )  0, 2857
c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Khi đó biến cố B đã
xảy ra. Do đó xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm
xấu chính là xác suất có điều kiện P( B3 / B) 

P( B3 B)
.
P( B)

Mà B3 B  A1 A2 B3 A4 , do đó
P( B3 B)  P( A1 A2 B3 A4 )  P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( B3 / A1 A2 ) P( A4 / A1 A2 B3 )  0,0952

Suy ra P( B3 / B)  0,3333

§4. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES
4.1. Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi
Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng
đôi nếu hai tính chất sau được thỏa:
- A1 + A2 +… + An = Ω;
-  1 ≤ i ≠ j ≤ n, AiAj = Φ,
nghĩa là các biến cố A1, A2,…, An xung khắc từng đôi và nhất thiết phải có một và
chỉ một biến cố Aj nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ.
Nhận xét. Với A1, A2,…, An là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có
P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1.
Ví dụ. Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi
trắng; hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp chọn ra 2 bi. Xét các biến cố sau:
- Ai (i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2 − i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I.
- Bj (j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2 − j bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp II.
Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi:
- A0 , A1 , A2.
- B0 , B1 , B2.
- A0B0 , A0B1 , A0B2 , A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0 , A2B1 , A2B2.
- A0B0 , A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0 , A1B2+ A2B1 , A2B2.
4.2. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi. Khi đó, với
A là một biến cố có khả năng xảy ra phụ thuộc vào hệ {A1 ,A2 , ,An } , ta có:

 A   P(A )P  A A  

a. P( A)  P(A1 ) P A

2

1

2

 P(A n ) P  A 
 An 

P(A k ) P( A Ak )
A
b. P  k  
, với k = 1, 2, 3, ... , n
A


P( A)
Công thức tính P(A) được gọi là công thức xác suất đầy đủ, công thức tính
A
P  k  được gọi là công thức Bayes.
 A
Ví dụ 1. Có hai hộp bi. Hộp 1 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp 2 có 7 bi xanh và 3 bi
đỏ.
1. Chọn một hộp, rồi từ hộp đó lấy ra hai bi. Tính các xác suất sau:
a) Hai bi lấy ra là hai bi xanh
b) Hai bi lấy ra có một bi xanh
c) Chọn được hộp 1, biết rằng hai bi lấy ra có một bi xanh


2. Lấy một bi từ hộp 1 bỏ qua hộp 2, sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi. Tính các xác
suất sau:

a) Hai bi lấy ra có một bi xanh
b) Bi bỏ từ hộp 1 qua hộp 2 là bi đỏ biết rằng hai bi lấy ra có một bi xanh
Giải
1. Gọi Ai là “Chọn được hộp thứ i” (i = 1, 2)
1
Khi đó P( A1 )  P( A2 )  và {A1 ,A2 } là hệ đầy đủ
2
a) Gọi A là “Hai bi lấy ra là hai bi xanh”
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
1  C62 C72 
A
A
P( A)  P(A1 ) P
 P(A 2 ) P
  2  2
A1
A2
2  C10 C10 
b) Gọi B là “Hai bi lấy ra có một bi xanh”
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
1  C61C41 C71C31 
B
B
P( B)  P(A1 ) P
 P(A 2 ) P
  2  2 
A1
A2
2  C10
C10 

c) Áp dụng công thức Bayes, ta có:
1 1
1 C6C4 2
2
C10
P(A1 ) P( B A1 )
A
P 1


1 1
1 1
B
P( B)
1  C6C4 2  C7C3 2 
2
C10
C10 
2. Gọi A1 là “Bi bỏ từ hộp 1 qua hộp 2 là bi xanh”
Gọi A2 là “Bi bỏ từ hộp 1 qua hộp 2 là bi đỏ”
6
4
Khi đó P( A1 )  , P( A2 )  và {A1 ,A2 } là hệ đầy đủ
10
10
a) Gọi A là “Hai bi lấy ra có một bi xanh”
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
6 C81C31 4 C71C41
A
A

P( A)  P(A1 ) P
 P(A 2 ) P


A1
A 2 10 C 2
10 C112
11
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có:
1 1
4 C7C4 2
10
P(A 2 ) P( A A2 )
C11
A
P 2


1
1
A
6 C8C3 4 C71C41
P( A)

10 C112
10 C112

 

 

 

 

 

 

 

 

Ví dụ 2. Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm
tốt, 5 sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên
từ lô I 2 sản phẩm bỏ sang lô II, sau đó từ lô II lấy ra 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1


sản phẩm xấu.
b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Tính xác
suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I.
Giải
Gọi Ai là “Số sản phẩm tốt trong hai sản phẩm từ lô I bỏ sang lô II”, i  0,1, 2
C52
C101 C51
C102
;
;
P

(
A
)

P
(
A
)

1
2
C152
C152
C152
Suy ra {A0 ,A1 ,A2 } là hệ đầy đủ.

Ta có: P( A0 ) 

a) Gọi A là “Hai sản phẩm lấy từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu”
P( A)  P( A0 ) P( A / A0 )  P( A1 ) P( A / A1 )  P( A2 ) P( A / A2 )
P( A1 ) P( A / A1 )
b) P( A1 / A) 
.
P( A)

§5. CÔNG THỨC BERNOULLI
5.1. Công thức Bernoulli
Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau. Giả sử ở mỗi
phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác suất p không đổi, hoặc không xảy ra với
xác suất q = 1 – p. Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có công thức Bernoulli tính xác

suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là:
Pn (k ; p)  Cnk p k q nk
5.2. Hệ quả. Với các giả thiết như trên ta có:
1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là qn.
2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là pn.
Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 70%. Cho máy
sản xuất 5 sản phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có:
a) 3 sản phẩm tốt.
b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt.
Giải
Gọi Ak (k = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (5 − k) sản phẩm xấu có
trong 5 sản phẩm thu được. Áp dụng Công thức Bernoulli với
n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta có
a) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là:
P( A3 )  C53 (0.7)3 (0.3)2
b) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt chính là
P(A3 + A4 + A5). Ta có:
P( A3  A4  A5 )  C53 (0.7)3 (0.3)2  C54 (0.7)4 (0.3)1  C55 (0.7)5 (0.3)0


BÀI TẬP
1.1 Có ba nhóm sinh viên, mỗi nhóm có 20 người, trong nhóm thứ i có i + 3 sinh
viên nữ còn lại là sinh viên nam. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi nhóm 1 sinh viên. Tính
xác suất để:
a) Có 2 sinh viên nữ.
b) Có nhiều nhất 2 sinh viên nữ.
c) Có ít nhất 1 sinh viên nữ.
d) Sinh viên của nhóm một là nữ, biết rằng 3 sinh viên được chọn có 2 sinh viên
nữ.
e) Sinh viên của nhóm hai là nam, biết rằng 3 sinh viên được chọn có 2 sinh viên

nữ.
1.2. Có ba khẩu súng I, II, III bắn độc lập vào một mục tiêu. Mỗi khẩu bắn một
viên với xác suất bắn trúng mục tiêu lần lượt là: 0,6; 0,7 và 0,8. Tính xác suất để
a) Có một khẩu bắn trúng
b) Có ít nhất một khẩu bắn trúng
c) Có nhiều nhất hai khẩu bắn trúng
d) Khẩu thứ hai bắn trúng biết rằng có một khẩu bắn trúng.
e) Khẩu thứ nhất bắn trúng biết rằng có hai khẩu bắn trúng.
1.3. Có hai hộp bi, hộp 1 có 9 bi đỏ và 1 bi vàng, hộp 2 có 6 bi đỏ và 4 bi vàng.
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp hai bi. Tính các xác suất sau
a) Bốn bi lấy ra là bốn bi vàng
b) Bốn bi lấy ra có hai bi vàng
c) Bốn bi lấy ra có ba bi đỏ và một bi vàng
d) Bi vàng lấy từ hộp một, biết rằng bốn bi lấy ra có ba bi đỏ và một bi vàng
1.4. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từng
sản phẩm ra kiểm tra cho đến khi lấy đủ 3 phế phẩm thì dừng lại. Tính xác suất để
a) Dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4
b) Khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4
c) Lần kiểm tra thứ nhất lấy được phế phẩm, biết rằng biết rằng kiểm tra tới lần
thứ tư thì lấy ra đủ 3 phế phẩm.
1.5 Có ba hộp bi, mỗi hộp có 10 viên, trong đó hộp thứ i có i + 2 viên bi đỏ còn lại
là bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác
suất để:
a) Ba bi lấy ra có một bi xanh.
b) Ba bi lấy ra là ba bi xanh.
c) Chọn được hộp 1, biết rằng ba bi lấy ra có một bi xanh.


1.6. Sản phẩm X bán ra ở thị trường do một nhà máy gồm ba phân xưởng I, II và
III sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%, phân xưởng II chiếm 50%, phân

xưởng III chiếm 20%. Tỉ lệ sản phẩm loại A do ba phân xưởng I, II, III sản xuất
lần lượt là: 60%, 70%, 80%.
a) Tính tỉ lệ sản phẩm loại A do nhà máy sản xuất
b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm A ở thị trường. Giả sử đã mua được sản
phẩm loại A. Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra
nhiều nhất ? Tại sao ?
c) Chọn mua ngẫu nhiên 100 sản phẩm X ở thị trường.
1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A
2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A
1.7. Có hai hộp I và II, mỗi hộp chứa 12 viên bi, trong đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 4 bi
trắng. Hộp II gồm 5 bi đỏ, 7 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp I 3 bi rồi bỏ sang hộp
II, sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp II 4 bi.
a) Tính xác suất để lấy được ba bi đỏ và một bi trằng từ hộp II.
b) Giả sử đã lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II. Tìm xác suất để trong ba
bi lấy từ hộp I có hai bi đỏ và một bi trắng.
1.8. Có ba hộp mỗi hộp đựng 5 viên bi trong đó hộp thứ nhất có 1 bi trắng, 4 bi
đen; hộp thứ hai có 2 bi trắng, 3 bi đen; hộp thứ ba có 3 bi trắng, 2 bi đen;
a) Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi. Tính xác suất
1. Ba bi lấy ra là ba bi trắng
2. Ba bi lấy ra có 2 bi đen và 1 bi trắng
3. Giả sử trong 3 viên bi lấy ra có đúng 1 bi trắng. Tính xác suất để bi trắng đó là
của hộp thứ nhất.
b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất
được cả 3 bi đen.
1.9. Có 20 hộp sản phẩm cùng loại, mỗi hộp chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó có
10 hộp của xí nghiệp I, 6 hộp của xí nghiệp II và 4 hộp của xí nghiệp III. Tỉ lệ phế
phẩm của các xí nghiệp lần lượt là 2%, 4% và 5%. Lấy ngẫu nhiên một hộp và
chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm từ hộp đó.
a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm.
b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm. Tính xác suất để 2 sản

phẩm đó của xí nghiệp I.
1.10. Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu. Xác suất để một viên đạn bắn
ra trúng mục tiêu là 0,8. Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng thì mục tiêu chắc chắn bị
tiêu diệt; Nếu có từ 2 đến 9 viên trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 80%;
Nếu có 1 viên trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 20%.
a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt
b) Giả sử mục tiêu đã bị tiêu diệt, tính xác suất có 10 viên trúng.


1.11. Một máy sản suất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Một lô hàng
gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Cho máy sản xuất 2 sản phẩm
và từ lô hàng lấy ra 3 sản phẩm.
a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm do nhà máy sản xuất
bằng số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm lấy ra từ lô hàng.
b) Giả sử trong 5 sản phẩm thu được có 2 sản phẩm loại A. Tính xác suất để 2 sản
phẩm loại A đó đều do máy sản xuất.
1.12. Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 60% sản phẩm tốt, trong đó lô I chứa 15 sản
phẩm, lô II chứa rất nhiều sản phẩm. Từ lô II lấy ra 3 sản phẩm bỏ vào lô I, sau đó
từ lô I lấy ra 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất lấy được 1 sp xấu, 1 sp tốt từ lô I.
b) Giả sử đã lấy được 1 sp tốt, 1 sp xấu từ lô I. Tính xác suất đã lấy được 2 sp tốt,
1 sp xấu từ lô II.
1.13 Có 3 khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi khẩu bắn một phát với xác
suất bắn trúng lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8. Giả sử xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi
trúng k phát đạn là 1  1/ 2k . (k = 0, 1, 2, 3).
a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt.
b) Tính xác suất để mục tiêu bị trúng một phát khi bị tiêu diệt.
1.14 Có hai lô hàng. Lô 1 gồm 3 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Lô 2 gồm
6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm của lô 1 đem
bỏ vào lô 2. Sau đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở lô 2.

a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ở lô 2 là loại B.
b) Nếu sản phẩm lấy ở lô 2 là loại B, tính xác suất để 4 sản phẩm của lô 1 đem bỏ
vào lô 2 có 2 sản phẩm loại B.


Chương II: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
§1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo
kết quả của phép thử.
Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên.
Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên.
Ví dụ. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy từ hộp ra 3 bi
Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì X là đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận các
giá trị: 0, 1, 2, 3.
1.2. Phân loại đại lượng ngẫu nhiên
a. Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn
đếm được các giá trị.
Ví dụ. Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành công. Khi đó
X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0; 1;..; n.
b. Loại liên tục. Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm
được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập
các số thực.
Ví dụ. Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương. Ta có T là một đại
lượng ngẫu nhiên liên tục.
1.3. Luật phân phối
a. Trường hợp rời rạc
Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x0,
x1,…,xn ta lập bảng:
X
P(X)

x1
p1

x2
p2

…
…

xn
pn

Được gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X.
Ví dụ. Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm
xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong
2 sản phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối của X.
Giải
Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2.
C61C41 8
C62
C42
2
5
Ta có P( X  0)  2  ; P( X  1)  2  ; P( X  2)  2 
C10 15
C10
15
C10 15

Lập bảng
X
P(X)

0
2 15

1
8 15

2
5 15

§2. HÀM CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
2.1. Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên
Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên Y được xác định theo đại lượng ngẫu nhiên X
bằng quy tắc hàm f thì Y được gọi là một hàm theo đại lượng ngẫu nhiên X, ký
hiệu Y = f(X)
Ví dụ. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy từ hộp ra 3 bi.
Goi X là số bi xanh trong ba bi lấy ra, X = {0, 1, 2, 3}
Gọi Y là số bi xanh còn lại trong hộp
Khi đó Y = 6 – X là hàm của một đại lượng ngẫu nhiên
Cách lập bảng phân phối xác suất của Y = f(X)
Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:
X
P(X)

x1
p1

x2
p2

…
…

xn
pn

Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Y có thể nhận các giá trị y1 = f(x1), y2 = f(x2), …,
Yn = f(xn) và các xác suất tương ứng được tính theo quy tắc:
P(Y  y j )   P( X  xi )   pi
f ( xi )  y j

f ( xi )  y j

Ví dụ. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:
X
P(X)

-1
0,2

0
0,3

1
0,1

2
0,4

Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau:
a) Y = 2X – 1
b) Y = X
c) Y = X2 – 2X + 4
2.2. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên
Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên Z được xác định theo hai đại lượng ngẫu nhiên
độc lập X và Y bằng quy tắc hàm f thì Z được gọi là một hàm theo hai đại lượng
ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu Z = f(X, Y)
Ví dụ. Một kho hàng có tỉ lệ phế phẩm là 20%, một lô hàng có 20 sản phẩm trong
đó có 5 phế phẩm. Lấy từ lô hàng ra 2 sản phẩm và từ kho hàng ra 2 sản phẩm.
Goi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra từ kho hàng, X = {0, 1, 2}
Gọi Y là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra từ lô hàng, Y = {0, 1, 2}


Gọi Z là số phế phẩm trong 4 sản phẩm lấy ra từ kho hàng và lô hàng
Khi đó Z = X + Y là hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên
Cách lập bảng phân phối xác suất của Z = f(X, Y)
Giả sử X, Y là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:
X
P(X)

x1
p1

x2
p2

…
…

xm
pm

Y
P(Y)

y1
q1

y2
q2

…
…

yn
qn

Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Z có thể nhận các giá trị
bảng sau:
Z
y1
y2
…
x1
z11
z12

…
x2
z21
z22
…
…
xm
zm1
zm2
…

zij  f ( xi , y j ) như trong
yn
z1n
z2n
zmn

Xác suất để Z nhận các giá trị tương ứng được tính theo quy tắc sau:

P ( Z  zk ) 



f ( xi , y j )  zk

P( X  xi ) P(Y  y j ) 



f ( xi , y j )  zk

pi q j

Ví dụ. Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:
X
P(X)

-1
0,2

0
0,3

1
0,1

2
0,4

Y
P(Y)

0
0,2

1
0,3

2
0,5

Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau:
a) Z = 2X – Y
b) Z = XY
c) Z = X2 – 2Y + 4
Ví dụ. Cho X  B(2;0,4) và Y  H (10;6;2) .
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của Z = X - Y
b) Tính P(X = Y)
§3. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN.
3.1. Mode. Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x0 của
X được xác định như sau:
- Nếu X rời rạc thì x0 là giá trị mà xác suất P(X = x0) lớn nhất trong số
các xác suất P(X = x).


- Nếu X liên tục thì x0 là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất.
Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy
nhất. Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau.
3.2. Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình)
1. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực được xác định
như sau:
- Nếu X rời rạc có luật phân phối
X
P(X)

x1
p1

x2
p2

Thì M ( X )  x1 p1  x2 p2 

…
…

xn
pn

xn pn

2. Tính chất: Kỳ vọng có các tính chất sau:
Tính chất 1: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính
hằng số đó, nghĩa là:
M(C) = C (C: Const).
Tính chất 2: Với k là hằng số ta có
M(kX) = kM(X).
Tính chất 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có
M(XY) = M(X)M(Y).
3.3. Phương sai và độ lệch chuẩn.
1. Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực
không âm định bởi:
D(X) = M[(X − μ)2 ]
trong đó μ = M(X) là kỳ vọng của X.
Ta có thể tính phương sai bằng công thức sau
D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X )
Trong đó M ( X 2 )  x12 p1  x2 2 p2  xn 2 pn
Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu σ (X ).
Vậy σ(X) = D(X) .

Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau:
X
0
1
2
P(X)
2 15
8 15
5 15


Khi đó kỳ vọng của X là M(X) = 1,2 .
Suy ra phương sai của X là:
D(X) = M(X2) – [M(X)]2 = 02.2/15 + 12.8/15 + 22.1/3 − (1,2)2 = 32/75 ≈ 0,4267.
3. Tính chất: Phương sai có các tính chất sau:
Tính chất 1: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0,
nghĩa là:
D(C) = 0.
Tính chất 2: Với k là hằng số ta có
D(kX) = k2(D(X).
Tính chất 3: Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có:
D(X + Y) = D(X) + D(Y).
§4. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
4.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, …, n và
C k C nk
tồn tại các số nguyên M, N ( n  M  N ) sao cho P( X  k )  M nN  M được gọi là
CN
đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội theo ba tham số N, M, n và kí hiệu
X  H(N, M, n).
Ví dụ. Cho X  H(10, 6, 4), tính các xác suất sau

a. P( X  0) , P( X  2) , P( X  1) , P( X  1,5)
b. P( X  4) , P( X  3) , P(1  X  4) , P(2  X  2)
4.2. Các đặc số của phân phối siêu bội
Giả sử X có phân phối siêu bội X  H(N, M, n). Khi đó X có các đặc số như sau:
a) Kỳ vọng:
M
M(X) = np với p 
N
b) Phương sai.
N n
với q  1  p
D( X )  npq
N 1
Ví dụ. Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4
bi. Gọi X là số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X và xác
định kỳ vọng, phương sai của X.
Giải
Ta thấy X có phân phối siêu bội
X  H(N, M, n) với N = 12; M = 8, n = 4.
Từ đây ta tính được
P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495;
P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495.


Vậy luật phân phối của X là:
X
0
1
P(X)
1/495 32/495

2
168/495

3
224/495

4
70/495

§5. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
5.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, …, n và
tồn tại số thực p  (0,1) sao cho P( X  k )  Cnk p k (1  p)nk được gọi là đại lượng
ngẫu nhiên có phân phối nhị thức theo hai tham số n, p và kí hiệu X  B(n, p).
Ví dụ. Cho X  B(10; 0,4), tính các xác suất sau
a. P( X  0) , P( X  2) , P( X  1) , P( X  1,5)
b. P( X  8) , P( X  3) , P(1  X  4) , P(2  X  2)
5.2. Các đặc số của phân phối nhị thức
Giả sử X có phân phối nhị thức X  B(n,p). Khi đó X có các đặc số như sau:
a) Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số nguyên thỏa
np – q ≤ k ≤ np – q + 1
b) Kỳ vọng: M(X) = np
c) Phương sai: D(X) = npq
Ví dụ. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ sản phẩm loại tốt là
60%. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có
trong 5 sản phẩm chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và
phương sai của X. Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu?
Giải
Ta thấy X có phân phối nhị thức X  B(n,p) với n = 5, p = 0,6. Suy ra X nhận 6
giá trị nguyên 0,1,…, 5 với các xác suất được tính theo theo Công thức Bernoulli

Từ đây ta tính được
P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304;
P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776.
- Kỳ vọng của X là M(X) = np = 5.0,6 = 3.
- Phương sai của X là D(X) = npq = 5.0,6. 0,4 = 1,2.
- Giá trị tin chắc nhất của X chính là Mod(X): Mod(X) = k với k là số
nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + 1, suy ra 5. 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5. 0,6 – 0,4 + 1
Do đó k = 3.
Vậy giá trị tin chắc nhất của X là k = 3.
 Quy tắc tính gần đúng của phân phối nhị thức


Nếu X  B(n, p) trong đó n khá lớn và np =  không nhỏ, thì ta có công thức tính
gần đúng sau:
 k  np 
1
P( X  k ) 
f

npq  npq 
 k  np 
 k  np 
P(k1  X  k2 )    2
  1

 npq 
 npq 





Trong đó:
1. f(u) là hàm mật độ Gauss, f(u) là hàm số chẵn và f(u) = 0,0001 u  4
2.  (u ) là hàm tích phân Laplace,  (u ) là hàm số lẽ và  (u)  0,5 u  5
Ví dụ.
a. Cho X  B(1000;0,001) . Tính P( X  1)
b. Cho Y  B(100;0,8) . Tính P( X  80) và P(70  X  90)
5.3. Định lý (quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối siêu bội). Cho X là
một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X  H(N, M, n). Giả sử rằng n rất
nhỏ so với N. Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối
M
nhị thức X ≈ Y, trong đó Y  B(n, p) với p 
, khi đó
N
P( X  k )  Cnk p k (1  p)nk , với k = 0, 1, 2, …, n
Ví dụ: Một lô hàng chứa 10000 sản phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm tốt và 2000
sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tính xác suất chọn
được 7 sản phẩm tốt.
Giải
Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 10 sản phẩm chọn ra. Khi đó X có phân phối
siêu bội X  H(N, M, n) với N = 10000; M= 8000; n =10. Vì n = 10 rất nhỏ so với
N = 10000 nên ta có thể xem như X có phân phối nhị thức X  B(n,p) với n = 10;
p = M/N = 8000/10000 = 0,8. Do đó xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt là:
P( X  7)  C107 0,870,23
§6. PHÂN PHỐI POISSON
6.1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, … và tồn
 k e 
tại số thực dương  sao cho P( X  k ) 
được gọi là đại lượng ngẫu nhiên
k!

có phân phối Poisson theo tham số  và kí hiệu X  P(  ).
Ví dụ. Cho X  P(4), tính các xác suất sau


a. P( X  0) , P( X  2) , P( X  1) , P( X  1,5)
b. P( X  3) , P(1  X  4) , P(2  X  2)
6.2. Các đặc số của phân phối Poisson
Giả sử X có phân phối Poisson X  P(  ). Khi đó X có các đặc số như sau:
a) Kỳ vọng: M(X) = 
b) Phương sai D(X) = 
6.3. Tính chất. Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson X1  P(  1),
X2  P(  2). Khi đó X1 + X2 cũng có phân phối Poisson X1 + X2  P( 1  2 ).
6.4. Định lý Poisson (Quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối Poisson).
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X  B(n,p). Giả sử rằng
n khá lớn và p khá bé (thông thường p < 0,1). Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại
lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, trong đó Y  P(  )
 k e 
với  = np, nghĩa là: P( X  k ) 
, với k = 0, 1, 2, …
k!
Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong một giờ máy hoạt động có
1 ống sợi bị đứt là 0,2%. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị
đứt.
Giải
Gọi X là tổng số ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy thì X có phân
phối nhị thức X  B(n,p) với n = 1000, p = 0,002. Vì n = 1000 khá lớn và
p = 0,002 khá bé nên ta có thể xem X có phân phối Poisson:
X  P(  ) với  = np = 1000.0,002 = 2.
Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy là:
P( X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)

Chương III

THỐNG KÊ
§1. CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU
1.1. Khái niệm cơ bản
 Tổng thể: là tập hợp có các phần tử là đối tượng ta nghiên cứu.
 Mẫu: là tập hợp gồm n phần tử được chọn từ tổng thể để nghiên cứu vấn
đề của tổng thể, n được gọi là kích thước mẫu.
 Bảng số liệu
Khi khảo sát đám đông X ta thu thập số liệu của mẫu cỡ n: (X1, X2,…, Xn) và
thường lập bảng số liệu theo các dạng sau:
Dạng 1: Liệt kê dưới dạng: (x1, x2,…, xn)
trong đó mỗi số liệu có thể lặp lại nhiều lần.
Dạng 2: Lập bảng có dạng:
xi
ni

x1
n1

x2
n2

…
…

xk
nk

trong đó x1 < x2 <...< xk và mỗi số liệu xi xuất hiện ni lần.
Dạng 3: Lập bảng có dạng:
xi
ni

x1 – x2
n1

x2 – x3
n2

…
…

xk – xk+1
nk

trong đó x1 < x2 <...< xk < xk+1 và mỗi nửa khoảng [xi; xi+1) (trừ cái cuối
cùng là đoạn [xk; xk+1]) chứa ni số liệu.
Khi xử lý số liệu ta sẽ đưa số liệu về Dạng 2.
Có thể đưa Dạng 1 về Dạng 2 bằng cách thống kê lại.
Dạng 3 được đưa về Dạng 2 bằng cách thay các khoảng xi-xi+1 bằng giá
x  xi 1
trị trung bình của hai đầu mút xi  i
2
1.2. Các tham số đặc trưng của mẫu
a. Tỷ lệ mẫu
Định nghĩa. Cho mẫu có kích thước n, trong đó có m phần tử có tính chất A, khi
đó tỷ lệ mẫu là một số được ký hiệu và xác định như sau:

m
f 
n
b. Trung bình mẫu - Phương sai mẫu