Chuyên đề PT BPT hệ PT

Chuyên đề:
phơng trình,bất phơng trình vô tỉ,hệ phơng trình
và hệ bất phơng trình

Biên soạn :trịnh xuân tình

Phần I:

Phơng trình vô tỉ

Phơng pháp 1:Phơng pháp giải dạng cơ bản:

g ( x ) 0
1/ f ( x ) = g ( x )
2
f ( x ) = g ( x )
2/ f ( x ) + g ( x ) = h ( x )
Bình phơng hai vế

1-(ĐHQGHN KD-1997)

16x + 17 = 8x 23

2-(ĐH Cảnh sát -1999)

x 2 + x 2 + 11 = 31
3-(HVNHHCM-1999)
x 2 + 4x + 2 = 2x
4-(ĐH Thơng mại-1999) Giải và biện luận pt: m x 2 3x + 2 = x
5-(ĐHCĐ KB-2006) Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt:

5x 1 3x 2 x 1 = 0

6-(ĐGKTQD-2000)

x 2 + mx + 2 = 2x + 1

x ( x 1) + x ( x + 2 ) = 2 x 2

7-(ĐHSP 2 HN)

x + 3 2x 1 = 3x 2
3x + 4 2x + 1 = x + 3

8-(HVHCQ-1999)
9-(HVNH-1998)
10-(ĐH Ngoại thơng-1999)

3 x + x2 2 + x x2 = 1

Phơng pháp 2: phơng pháp đặt ẩn phụ:
I-Đặt ẩn phụ đa pt về pt theo ần phụ:
Dạng 1: Pt dạng:
Cách giải: Đặt

ax + bx + c = px + qx + r
2

2

trong đó

a b
=
p q

t = px 2 + qx + r ĐK t 0

1-(ĐH Ngoại thơng-2000)
2-(ĐH Ngoại ngữ -1998)

( x + 5) ( 2 x ) = 3
( x + 4 ) ( x + 1) 3
1

x 2 + 3x
x 2 + 5x + 2 = 6


(x + 1)(2 x) = 1 + 2x 2x 2

3-(ĐH Cần thơ-1999)
4-

4x 2 + 10x + 9 = 5 2x 2 + 5x + 3

5- 18x 2

18x + 5 = 3 3 9x 2 9x + 2

3x 2 + 21x + 18 + 2 x 2 + 7x + 7 = 2

Dạng 2: Pt Dạng: P(x) + Q(x) + P(x).Q(x) = 0 ( 0 )
P ( x ) = 0
Cách giải:
* Nếu P ( x ) = 0 pt
Q ( x ) = 0
Q( x)
* Nếu P ( x ) 0 chia hai vế cho P ( x ) sau đó đặt t =
P( x)
6-

1-(ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm:
2-

(

)

Dạng 3: Pt Dạng :

( P( x) + Q( x) ) +

(

3 x 1 + m x +1 = 2 4 x 2 1
3- 2 x 2 + 2 = 5 x 3 + 1

(

2 x 2 3x + 2 = 3 x 3 + 8
P( x) Q( x)

(

2 P ( x ) .Q ( x ) + = 0 2 + 2 0

)

t0

)

)

t = P ( x ) Q ( x ) t 2 = P ( x ) + Q ( x ) 2 P ( x ) .Q ( x )
2
1-(ĐHQGHN-2000)
1+
x x2 = x + 1 x
3
2-(HVKTQS-1999)
3x 2 + x 1 = 4x 9 + 2 3x 2 5x + 2
Cách giải: Đặt

3-(Bộ quốc phòng-2002)

2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2x 2 + 5x + 3 16

4-

4x + 3 + 2x + 1 = 6x + 8x 2 + 10x + 3 16

5-(CĐSPHN-2001)

x 2 x + 2 = 2 x 2 4 2x + 2
Dạng 4: Pt Dạng:
a + cx + b cx + d ( a + cx ) ( b cx ) = n
Trong đó a, b,c,d, n là các hằng số , c > 0,d 0
Cách giải: Đặt t = a + cx + b cx ( a + b t 2 ( a + b )
1-(ĐH Mỏ-2001)

x + 4 x 2 = 2 + 3x 4 x 2
2


3+ x + 6 x

23-(ĐHSP Vinh-2000)

( 3+ x) ( 6 x)

=3

Cho pt:

x +1 + 3 x
a/ Giải pt khi m = 2
4-(ĐHKTQD-1998) Cho pt

( x + 1) ( 3 x )

=m

b/Tìm các gt của m để pt có nghiệm

1 + x + 8 x + (1 + x)(8 x) = a

a/Gpt khi a = 3
b/Tìm các gt của a để pt có nghiệm
5-TT ĐT Y tế tphcm-1999) Tìm các gt của m để pt có nghiệm

x 1 + 3 x + (x 1)(3 x) = m
6-(ĐH Ngoại ngữ-2001)

x + 1 + 4 x + (x + 1)(4 x) = 5

x + a 2 b + 2a x b + x + a 2 b 2a x b = cx + m
Trong đó a, b,c, m là hằng số a 0
Cách giải : Đặt t = x b ĐK: t 0 đa pt về dạng:
t + a + t a = c(t 2 + b) + m
Dạng 5: Pt dạng:

1-(ĐHSP Vinh-2000)

x 1 + 2 x 2 x 1 2 x 2 = 1

2-(HV BCVT-2000)

x + 2 x 1 x 2 x 1 = 2

3-(ĐHCĐ KD-2005)

2 x + 2 + 2 x +1 x +1 = 4

4-(ĐH Thuỷ sản -2001)

x + 2 x 1 + x 2 x 1 =

56-

x + 2 + 2 x +1 + x + 2 2 x +1 =

Xét pt:

x +6 x 9 + x 6 x 9 =

x+m
6

x +3
2

x +5
2

a/ Giải pt khi m = 23
b/ Tìm các gt của m để pt có nghiệm
II-Sử dụng ẩn phụ đa pt về ẩn phụ đó ,còn ẩn ban đầu coi là tham số:
12-(ĐH Dợc-1999)

6x 2 10x + 5 ( 4x 1) 6x 2 6x + 5 = 0

( x + 3)

10 x 2 = x 2 x 12

3


3-(ĐH Dợc-1997)
4-

( 4x 1)

2 ( 1 x ) x 2 + 2x 1 = x 2 2x 1

x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1

2 ( 1 x ) x 2 + x + 1 = x 2 3x 1

x 2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 + 1

6-(ĐHQG-HVNH KA-2001)
III-Sử dụng ẩn phụ đa về hệ pt:
Dạng 1: Pt Dạng: x n + a =

5-

b n bx a

n

x
by + a = 0

Cách giải: Đặt y = n bx a khi đó ta có hệ:
n
y bx + a = 0
1-(ĐHXD-DH Huế-1998)
x2 1 = x +1
2- x 2 + x + 5 = 5
3- x 2 2002 2002x 2001 + 2001 = 0
4- (ĐH Dợc-1996)
x 3 + 1 = 2 3 2x 1
2
Dạng 2: Pt Dạng:
ax + b = r ( ux + v ) + dx + e trong đó a, u, r 0
Và u = ar + d, v = br + e
uy + v = r ( ux + v ) 2 + dx + e
Cách giải:
Đặt uy + v = ax + b khi đó ta có hệ:
2
ax + b = ( uy + v )
1-(ĐHCĐ KD-2006)
2x 1 + x 2 3x + 1 = 0
23- 3x + 1 = 4x 2 + 13x 5
2x + 15 = 32x 2 + 32x 20
45- x 2 = 2 x + 2
x + 5 = x 2 4x 3
6x 1 = 3 + x x2
n a f x +m b+f x = c

Dạng 3: PT Dạng:
( )
( )
u + v = c
Cách giải: Đặt u = n a f ( x ) , v = m b + f ( x ) khi đó ta có hệ: n
m
u + v = a + b
3
1-(ĐHTCKT-2000)
2 x = 1 x 1
2- 3 x + 34 3 x 3 = 1
3- 3 x 2 + x + 1 = 3
4- 4 97 x + 4 x = 5
5- 4 18 x + 4 x 1 = 3

Phơng pháp 3: Nhân lợng liên hợp:
Dạng 1: Pt Dạng:

f ( x) + a f ( x) = b
4


Cách giải:
1-

f ( x ) + a f ( x ) = b
Nhân lợng liên hợp của vế trái khi đó ta có hệ:
f ( x ) + a m f ( x ) = a b

4x 2 + 5x + 1 + 4x 2 + 5x + 7 = 3

3- 3- (ĐH Ngoại thơng-1999 )

2-

3x 2 + 5x + 1 3x 2 + 5x 7 = 2

3 x + x2 2 + x x2 = 1

x 2 3x + 3 + x 2 3x + 6 = 3
1
1
+
=1
5-(HVKTQS-2001)
x+4+ x+2
x+2+ x
Dạng 2: Pt Dạng:
f ( x) g( x) = m( f ( x) g( x) )
x +3
1-(HVBCVT-2001)
4x + 1 3x 2 =
5
2-(HVKTQS-2001)
3(2 + x 2) = 2x + x + 6
4-(ĐH Thơng mại-1998)

Phơng pháp 4:Phơng pháp đánh giá:
1- x 2 + 4 x = x 2 6x + 11
3-(ĐHQGHN-Ngân hàng KD-2000)

4-(ĐH Nông nghiệp-1999)

x2 + x 1 + x x2 + 1 = x2 x + 2
4x 1 + 4x 2 1 = 1
x 2 2x + 5 + x 1 = 2

Phơng pháp 5:Phơng pháp đk cần và đủ:
1-Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất:
2- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất

2-

x + 2x = m
x 5 + 9 x = m
4
x + 4 1 x + x + 1 x = m

3- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất
Phơng pháp 6: Phơng pháp hàm số (Sử dụng đạo hàm)
1-(ĐHCĐ KB-2004) - Tìm m để pt sau có nghiệm :

m

(

)

1+ x2 1 x2 + 2 = 2 1 x4 + 1+ x2 1 x2

2- - Tìm m để các pt sau có nghiệm :

1*/ 4 x 2 = mx m + 2
2*/
x +1 +
3--(ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm:

x 1 5 x 18 3x = 2m + 1
4

3 x 1 + m x +1 = 2 x 2 1
4-(ĐHCĐKB-2007) CMR m > 0 pt sau có 2nghiệm pb: x 2 + 2x 8 = m(x 2)
5


5-

x + x 5 + x + 7 + x + 16 = 14
2*/ x 1 = x 3 4x + 5
3*/
2x 1 + x 2 + 3 = 4 x
1*/

6-(HVAn ninh KA-1997)Tìm m để pt sau có nghiệm:

x 2 + 2x + 4 x 2 2x + 4 = m

Phần II:

BấT Phơng trình vô tỉ
Phơng pháp 1: Phơng pháp giải dạng cơ bản:

1/

g(x) < 0
f (x) 0

f (x) > g(x)
g(x) 0

2
f (x) > g (x)

3/

f (x) g(x) h(x)

1-(ĐHQG-1997)
2-(ĐHTCKT Tphcm-1999)
3-(ĐH Luật 1998)
4-(ĐH Mỏ-2000)
5-(ĐH Ngoại ngữ)
6-(ĐHCĐKA-2005)
7-(ĐH Ngoai thơng-2000)
8-(ĐH Thuỷ lợi -2000)
9-(ĐH An ninh -1999)
10-(ĐHBK -1999)
11-(ĐHCĐ KA-2004)

g(x) < 0

2/ f (x) < g(x) f (x) 0

2
f (x) < g (x)
Bình phơng hai vế bpt

x 2 + 6x 5 > 8 2x
2x 1 8 x
x 2x 2 + 1 > 1 x
(x + 1)(4 x) > x 2
x +5 x +4 > x +3
5x 1 x 1 > 2x 4
x + 3 2x 8 + 7 x
x + 2 3 x < 5 2x
5x 1 4x 1 3 x
x +1 > 3 x + 4
2(x 2 16)
7x
+ x 3 >
x 3
x 3

Phơng pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi tơng đơng

6


f (x) > 0
f (x) < 0
f (x)
>0

hoặc
g(x)
g(x) > 0
g(x) < 0
f (x) > 0
f (x) < 0
f (x)
<0
2/
hoặc
g(x)
g(x) < 0
g(x) > 0
1/

Lu ý: 1*/

B > 0
A
>1
2
B
A > B

2*/

2
51

2x

x
1-(ĐHTCKT-1998)
<1
1 x

2-(ĐHXD)

2
1

1

4x
3-(ĐH Ngoại ngữ -1998)
<3
x

B > 0

A 0

2
A < B

B < 0
A
hay
<1
B

A 0

4-(ĐHSP)

3x 2 + x + 4 + 2
<2
x
2 x + 4x 3
2
x

Phơng pháp 2:Nhân biểu thức liên hợp:
1-(ĐHSP Vinh-2001)

( 1+

x2
1+ x

)

2

> x 4 2-(ĐH Mỏ-1999)

34(x + 1) 2 < (2x + 10)(1
Phơng pháp 3:Xác định nhân tử chung của hai vế:

(

2x 2

)

3 9 + 2x 2

< x + 21

3 + 2x ) 2

1-(ĐH An ninh -1998)

x 2 + x 2 + x 2 + 2x 3 x 2 + 4x 5

2-(ĐHBK-2000)

x 2 + 3x + 2 + x 2 + 6x + 5 2x 2 + 9x + 7

3-(ĐH Dợc -2000)

x 2 8x + 15 + x 2 + 2x 15 4x 2 18x + 18

4-(ĐH Kiến trúc -2001)
Phơng pháp 4: Đặt ẩn phụ:
1-(ĐH Văn hoá)
2-(ĐH Dân lập phơng đông -2000)
3-(HV Quan hệ qt-2000)

x 2 4x + 3 2x 2 3x + 1 x 1
5x 2 + 10x + 1 7 x 2 2x

2x 2 + 4x + 3 3 2x x 2 > 1
(x + 1)(x + 4) < 5 x 2 + 5x + 28
7


4-(ĐH Y-2001)

2x 2 + x 2 5x 6 > 10x + 15

5-(HVNH HCM-1999)

x(x 4) x 2 + 4x + (x 2) 2 < 2
3
1
3 x+
< 2x +
7
2x
2 x
2
1
4 x+
< 2x +
+2
2x
x

6-ĐH Thái nguyên -2000)
7-(ĐH Thuỷ lợi)

x + 2 x 1 + x 2 x 1 > 3 2
9- Cho bpt: 4 (4 x)(2 + x) x 2 2x + a 18
a/ Giải bpt khi a = 6
b/Tìm a để bpt nghiệm đúng x [ 2;4 ]
10-Xác định m để bpt sau thoả mãn trên đoạn đã chỉ ra :
(4 + x)(6 x) x 2 2x + m trên [ 4;6]
8-(HV Ngân hàng 1999)

Phơng pháp 5: Phơng pháp hàm số:
1-(ĐH An ninh-2000)

7x + 7 + 7x 6 + 2 49x 2 + 7x 42 < 181 14x
x + x + 7 + 2 x 2 + 7x < 35 2x

2-

x + 2 + x + 5 + 2 x 2 + 7x + 10 < 5 2x
4- Xác định m để bpt sau có nghiệm: a/
4x 2 + 16 4x m
3-

b/

Phần III:

2x 2 + 1 m x

Hệ Phơng trình

A- một số hệ pt bậc hai cơ bản

I-hệ pt đối xứng loại 1
1*/ Định nghĩa:

f (x; y) = 0
Trong đó f (x; y) = f (y; x), g(x; y) = g(y; x)

g(x;
y)
=
0

Đặt S = x + y, P = xy ĐK: S2 4P

2*/ Cách giải:
Dạng 1: Giải phơng trình

8


 x y + y x = 30
 x + y + xy = 11
1-(§HQG-2000)  2
2
2
x
+
y
+
3(x
+

y)
=
28

 x x + y y = 35
 x 2 + y 2 + xy = 7
 x + y + xy = 11
3-(§HGTVT-2000)  2
4-(§HSP-2000)
 4
2
4
2 2
x
y
+
y
x
=
30
 x + y + x y = 21

1 1

x
+
y
+
+ =5


x y
5- (§H Ngo¹i th¬ng-1997)

x 2 + y2 + 1 + 1 = 9

x 2 y2
 x + y − xy = 3
 x 2 + y 2 = 5
6-(§H Ngo¹i th¬ng -1998) 
7-(§HC§KA-2006) 
4
2 2
4
 x − x y + y = 13
 x + 1 + y + 1 = 4
D¹ng 2: T×m §K ®Ó hÖ cã nghiÖm:

 x + y = 1

1-(§HC§KD-2004) T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm: 

 x x + y y = 1 − 3m
 x + y + xy = a
2T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm:  2
2
x + y = a
x + y + x 2 + y2 = 8
3-Cho hÖ pt: 
 xy(x + 1)(y + 1) = m
a/ Gi¶i hÖ khi m = 12

b/ T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
 x + xy + y = m + 1
4-Cho hÖ pt:  2
2
x y + y x = m
a/ Gi¶i hÖ khi m=-2
b/ T×m m ®Ó hÖ cã Ýt nhÊt mét nghiÖm

9

( x; y ) tho¶ m·n x > 0, y > 0


x 2 + y 2 = 2(1 + m)
5- Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm:
2
( x + y ) = 4
1
1

x
+
+
y
+
=5

x
y
6-(ĐHCĐKD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm:

x 3 + 1 + y3 + 1 = 15m 10

x3
y3

Dạng 3: Tìm ĐK để hệ có nghiệm duy nhất.

x + y + xy = m + 2
1-(HHVKTQS-2000) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất 2
2
x y + y x = m + 1
x + xy + y = 2m + 1
2-(ĐHQGHN-1999) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
xy(x + y) = m + m
x 2 y + y 2 x = 2(m + 1)
3- Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2xy + x + y = 2(m + 2)
Dạng 4: Hệ pt đối xứng ba ẩn số :
Nếu ba số x, y, z thoả mãn x + y + z
nghiệm của pt: t 3 pt 2 + qt r = 0
1-Giải các hệ pt sau :

x + y + z = 1

a/ xy + yz + zx = 4
3
3
3
x + y + z = 1

= p, xy + yz + zx = q, xyz = r thì chúng là

x + y + z = 1
2
2
2
b/ x + y + z = 1
3
3
3
x + y + z = 1


x + y + z = 9

c/ xy + yz + zx = 27
1 1 1
+ + =1
x y z

x 2 + y2 + z2 = 8
2- Cho hệ pt:
Giả sử hệ có nghiệm duy nhất
xy + yz + zx = 4
8
8
CMR:
x, y, z
3

3
II-Hệ phơng trình đối xứng loại 2

10


f (x; y) = 0
trong đó : f (x; y) = g(y; x),f (y; x) = g(x; y)

g(x;
y)
=
0

f (x; y) g(x; y) = 0
(x y)h(x; y) = 0

2*/ Cách giải: Hệ pt
f (x; y) = 0
f (x; y) = 0
x y = 0
h(x; y) = 0

hay

f (x; y) = 0
f (x; y) = 0
1*/ Định nghĩa

Dạng 1: Giải phơng trình:

y

x

3y
=
4

x
1-(ĐHQGHN-1997)
y 3x = 4 x
y

1 3

2x
+
=

y x
3-(ĐHQGHN-1999)
2y + 1 = 3

x y

5-(ĐH Văn hoá-2001)


x 3 = 3x + 8y

2-(ĐHQGHN-1998)
3
y = 3y + 8x
x 3 + 1 = 2y
4-(ĐH Thái nguyên-2001)
3
y + 1 = 2x

8

7x
+
y

=0
2

x +1 + 7 y = 4
x
6-(ĐH Huế-1997)
y +1 + 7 x = 4
7y + x 82 = 0
y


Dạng 2:Tìm đk để hệ có nghiệm:

x + 1 + y 2 = m
1-(ĐHSP Tphcm-2001) Tìm m để hệ có nghiệm:
y + 1 + x 2 = m

2x + y 3 = m
2- Tìm m để hệ có nghiệm:
2y + x 3 = m
Dạng 3: Tìm đk để hệ có nghiệm duy nhất

11


( x + 1) 2 = y + a
1-(ĐHSP-Tphcm-2001) Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
(y + 1) = x + a
xy + x 2 = m(y 1)
2- Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
xy + y = m(x 1)
x 2 + y = axy + 1
3- Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
y + x = axy + 1
III - Hệ phơng trình đẳng cấp:
*/ Hệ pt đợc gọi là đẳng cấp nếu mỗi pt trong hệ có dạng
*/ Cách giải: Đặt x = ty
*/ Lu ý: Nếu (a; b) là nghiệm của hệ thì
Dạng 1: Giải phơng trình:

ax 2 + bxy + cy 2 = d

(b;a) cũng là nghiệm của pt.

2x 2 + 3xy + y 2 = 12
1-(ĐHPĐ-2000)
2-(ĐHSP Tphcm-2000)
2
2
x xy + 3y = 11
x 2 y + xy 2 = 30
3-(ĐH Mỏ-1998)
3
3
x + y = 35

x 2 + 2xy + 3y 2 = 9
2
2
2x + 2xy + y = 2

Dạng 2: Tìm đk để hệ có nghiệm, có nghiệm duy nhất

3x 2 + 2xy + y 2 = 11
1-(ĐHQG HCM-1998) Tìm m để hệ sau có nghiệm :
2
2
x + 2xy + 3y = 17 + m
x 2 2xy 3y 2 = 8
2-(ĐHAnninh2000)Tìm ađể hệ có nghiệm:
2
2
4
3

2
2x + 4xy + 5y = a 4a + 4a 12 + 105
x 2 mxy + y 2 = m 2 3m + 2
3-Tìm m để hệ sau có nghệm diuy nhất:
2
2
2
x + 2xy + my = m 4m + 3
B- Một số phơng pháp giải hệ pt :
Phơng pháp 1:Phơng pháp thế:

x + y = m + 1

1-(ĐHSP Quy nhơn -1999) Cho hệ pt:

2
2
2
x y + y x = 2m m 3

12


1/ Giải hệ khi m = 3
2/Tìm m để hệ trên có nghiệm

x + y x y = 2
x y = 3 x y
2-(ĐHCĐKB-2002)
3-(HVQY-2001)

2
2
2
2
x + y = x + y + 2
x + y + x y = 4
x 2 + y2 = 1
4-(ĐH Huế-1997) Tìm k để hệ sau có nghiệm:
x y = k
x + my = m
5-(ĐH Thơng mại-2000) Cho hệ pt: 2
2
x + y x = 0
a. GiảI hệ khi m = 1
b. Biện luận số nghiệm của pt
c.Khi hệ có hai nghiệm phân biệt (x1; y1 );(x 2 ; y 2 ) tìm m để :
A = (x 2 x1 ) 2 + (y 2 y1 ) 2 đạt giá tri lớn nhất
x + y = 1
6-(SP TPHCM-1999) Tìm m để hệ sau có 3 nghiệm phân biệt: 3
3
x y = m(x y)
Phơng pháp 2: phơng pháp biến đổi tơng đơng:

xy 3x 2y = 16

1-(ĐHGTVT TPHCM-1999)

HD:nhân pt đầu với 2 vàcộng với pt sau

x + y 2x 4y = 33

x + xy + y = 1

2-(ĐHThơng mại-1997) y + yz + z = 4
3-(ĐHBKHN-1995)
z + zx + x = 9

2

2

x + y + z = 7
2
2
2
x + y + z = 21

2
xz = y

y + xy 2 = 6x 2
4-(ĐHSPHN-2000)
2 2
2
1 + x y = 5x

HD:chia cả hai vế của2pt cho

x 16

xy

=

y 3
1-(ĐH Ngoại ngữ-1999)
xy y = 9

x 2

x 2 x 3
( y ) + ( y ) = 12
2-(ĐH Công đoàn-2000)
(xy) 2 + xy = 6


x2

Phơng pháp 3: Phơng pháp đặt ẩn phụ:

13


x
y
7
+
=
+1

x

xy
(x > 0, y > 0)
3-(ĐH Hàng hải-1999) y

x xy + y xy = 78
x + 1 + y + 1 = 3
4-(ĐH Thuỷ sản-2000)
x y + 1 + y x + 1 + y + 1 + x + 1 = 6

Phần:IV

Hệ Bất Phơng trình

A- Hệ bpt một ẩn số:

f1 ( x ) > 0(1)
(I) Gọi S1 ,S2 Lần lợt là tập nghiệm của (1)&(2)

f 2 (x) > 0(2)
S là tập nghiệm của (I) S = S1 S2
Tìm m để hệ sau có nghiệm:
x 2 (m + 2)x + 2m < 0
1-(HVQH Quốc tế-1997) 2
x + (m + 7)x + 7m < 0
x 2 2x + 1 m 0
x 2 (m + 2)x + 2m 0
2-(ĐH Thơng mại-1997)
3-
2
2

2
x (2m + 1)x + m + m 0 x (m + 3)x + 3m 0
x 2 2mx < 0
4-(ĐH Thuỷ lợi-1998)
x 1 + m 2m
x 2 3x + 4 0
5-(ĐH Thơng mại-1998) 3
2
x 3x x m 15m 0
Cho hệ:

m để hệ sau vô nghiệm:
x 2 1 0
x 2 6x + 5 0
x 2 + 7x 8 < 0
1-
2-
3-
2
2
2
2
(m x )(x + m) < 0 x 2(m + 1)x + m + 1 0 m x + 1 > 3 + (3m 2)x
Tìm

Tìm

m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

14

 x 2 − 3x + 2 ≤ 0
 x 2 + 2x + a ≤ 0
1- 
2- 
2
2
x
−
6x
+
m(6
−
m)
≥
0

 x − 4x − 6a ≤ 0
 x 2 + (2m + 1)x + m 2 + m − 2 = 0
3- 
4
2
 x − 5x + 4 < 0
B- HÖ bpt hai Èn sè:
T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm:

 x + y ≤ 2
1-(§HGTVT-2001) 
 x + y + 2x(y − 1) + a = 2

3-

 x 2 + y 2 − 2x ≤ 2
2- 
x − y + a = 0

4x − 3y + 2 ≤ 0
 2
2
x + y = a

T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:

 x + y + 2xy + m ≥ 1
2- 
 x + y ≤ 1

 x 2 + y 2 + 2x ≤ 1
1- 
x − y + a = 0

Phó xuyªn ngµy 15 th¸ng 07 n¨m 2007

trÞnh xu©n t×nh

15