BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP a1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (922.16 KB, 35 trang )
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
TOÁN CAO CẤP A2 ĐẠI HỌC
(ĐẠI SỐ
SỐ TUYẾ
TUYẾN TÍ
TÍNH)
PHÂN PHỐ
PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
Số tiế
tiết: 45
Chương 1. Ma trận – Định thức
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
Chương 3. Không gian vector
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Chương 5. Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương
Wednesday, March 02, 2011
2. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A2
– NXB ĐHQG TP. HCM.
3. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp A2
– NXB Giáo dục.
4. Lê Sĩ Đồng – Toán cao cấp Đại số Tuyến tính
– NXB Giáo dục.
5. Bùi Xuân Hải – Đại số tuyến tính
– ĐH KHTN TP. HCM.
6. Alpha C. Chang, Kevin Wainwright
– Fundamental methods of Mathematical Economics –
Third. Edi. Mc.Graw-hill, Int. Edi. 1984.
Tài liệu tham khảo
Biên soạ
soạn: ThS.
ThS. Đoà
Đoàn Vương Nguyên
Download Slide bài giả
giảng Toá
Toán A2
A2 ĐH tại
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A2
– ĐH Công nghiệp TP. HCM.
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
§1. Ma trận
§2. Định thức
…………………………………………………
§1. MA TRẬN
(Matrix)
1.1. Các định nghĩa
a) Định nghĩa ma trận
• Ma trận A cấp m × n trên ℝ là 1 hệ thống gồm
m × n số aij ∈ ℝ (i = 1, m; j = 1, n ) và được sắp
thành bảng gồm m dòng và n cột:
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
a
11
• Khi n = 1, ta gọi A = ... là ma trận cột.
am 1
• Khi m = n = 1, ta gọi:
A = (a11 ) là ma trận gồm 1 phần tử.
• Ma trận O = (0ij )m×n có tất cả các phần tử đều bằng 0
được gọi là ma trận không.
• Tập hợp các ma trận A trên ℝ được ký hiệu là
M m ,n (ℝ ) , để cho gọn ta viết là A = ( aij ) m×n .
Toán cao cấp A2 Đại học
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
a
11 a12
a
a22
A = 21
... ...
am 1 am 2
... a1n
... a2n
.
... ...
... amn
• Các số aij được gọi là các phần tử của A ở dòng thứ i
và cột thứ j .
• Cặp số (m, n ) được gọi là kích thước của A.
• Khi m = 1, ta gọi:
A = (a11 a12 ... a1n ) là ma trận dòng.
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
• Ma trận vuông
Khi m = n , ta gọi A là ma trận vuông cấp n .
Ký hiệu là A = (aij )n .
Đường chéo chứa các phần
tử a11, a22 ,..., ann được gọi
là đường chéo chính của
A = (aij )n ,
đường chéo còn lại được gọi
là đường chéo phụ.
1
5
7
3
2 3 4
6 7 8
6 5 4
2 1 0
1
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
• Các ma trận vuông đặc biệt
Ma trận vuông có tất cả các
phần tử nằm ngoài đường
chéo chính đều bằng 0 được
gọi là ma trận chéo (diagonal
matrix).
Ký hiệu: diag(a11, a 22 ,..., ann ).
−1 0 0
0 5 0
0 0 0
Ma trận chéo cấp n gồm tất cả
1
các phần tử trên đường chéo
chính đều bằng 1 được gọi là I 3 = 0
ma trận đơn vị cấp n (Identity
0
matrix). Ký hiệu là: I n .
0 0
1 0
0 1
Ma trận ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử
nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng
0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới).
3 0 0
1 0 −2
B = 4 1 0
A = 0 −1 1
0
−1 5 2
0 0
Ma trận vuông cấp n có tất cả
các cặp phần tử đối xứng
nhau qua đường chéo chính
bằng nhau (aij = a ji ) được
gọi là ma trận đối xứng.
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
b) Ma trận bằng nhau
Hai ma trận A = (aij ) và B = (bij ) được gọi là bằng
nhau, ký hiệu A = B , khi và chỉ khi chúng cùng
kích thước và aij = bij , ∀i, j .
1 x y
1 0 −1
VD 1. Cho A =
và B =
.
z
2
t
2
u
3
Ta có:
A = B ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = 3 .
3 4 −1
4 1 0
−1 0 2
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
1.2. Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng và trừ hai ma trận
Cho hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bij )m×n , ta có:
A ± B = (aij ± bij )m×n .
−1
VD 2.
2
−1
2
0 2 2 0
+
3 −4 5 −3
0 2 2 0
−
3 −4 5 −3
2 1 0 4
=
;
1 7 0 −3
2 −3 0 0
=
.
1 −3 6 −5
Nhận xét
Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp.
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
b) Phép nhân vô hướng
Cho ma trận A = (aij )m×n và λ ∈ ℝ , ta có:
λA = (λaij )m×n .
VD 3.
−1
−3
−2
2
−4
1 0 3
=
0 −4 6
1
6 4
= 2
−2
0 8
−3 0
;
0 12
3 2
.
0 4
Chú ý
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép
cộng ma trận.
• Ma trận −1.A = −A được gọi là ma trận đối của A.
Toán cao cấp A2 Đại học
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
c) Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bjk )n×p , ta có:
AB = (cik )m×p .
n
Trong đó, cik = ∑ aijbjk
j =1
(i = 1, m; k = 1, p).
−1
VD 4. Thực hiện phép nhân 1 2 3 2 .
−5
1 −1 0
VD 5. Thực hiện phép nhân 1 2
.
−
1
0
3
(
(
)
)
2
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
0
1 1 −1 2
VD 6. Tính
1 −1.
−2 0 3
−1 3
Tính chất
Cho các ma trận A, B,C ∈ M m ,n (ℝ) và số λ ∈ ℝ .
Giả thiết các phép nhân đều thực hiện được, ta có:
1) (AB )C = A(BC );
2) A(B + C ) = AB + AC ;
3) (A + B )C = AC + BC ;
4) λ(AB ) = (λA)B = A(λB ) ;
5) AI n = A = I m A .
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Lũy thừa ma trận
Cho ma trận vuông A ∈ M n (ℝ).
• Lũy thừa ma trận A được định nghĩa theo quy nạp:
A0 = I n ; A1 = A; Ak +1 = Ak .A, ∀k ∈ ℕ .
• Nếu ∃k ∈ ℕ \ {0; 1} sao cho Ak = (0ij )n thì A được
gọi là ma trận lũy linh.
Số k ∈ ℕ, k ≥ 2 bé nhất sao cho Ak = (0ij )n được
gọi là cấp của ma trận lũy linh A.
0 1 0
VD 9. Ma trận A = 0 0 1 là lũy linh cấp 3.
0 0 0
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
1 −1
VD 10. Cho f (x ) = 2x − 4x và A =
.
0
1
Tính f (A) + I 2 .
3
2
2 0
2011
VD 11. Cho A =
, giá trị của (I 2 − A) là:
1
0
−1 −1
−1 1
0 −1
−1 0
A.
;
B.
;
C.
;
D.
−1 0
−1 1
−1 1.
1
0
VD 12. Tìm ma trận D = (ABC ) , trong đó:
−2 1
3 0 , C = 0 1.
A =
,
B
=
8 −1
1 0
1 2
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
1 0 −1
−1 −2 1
VD 7. Cho A = 2 −2 0 và B = 0 −3 1.
3 0 −3
2 −1 0
Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA.
VD 8. Thực hiện phép nhân:
1 −1 2 0
1
3 2 −1 2 −1
A = 2 −3 0−1 −2 1 1 0 −2 1 .
0 −2
−1 1 4 2 −1 −33 1
Chú ý
• Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Tính chất
1) (0n )k = 0n ; (I n )k = I n , ∀k ∈ ℕ
2) Ak +m = Ak .Am , ∀A ∈ M n ( ℝ), ∀k , m ∈ ℕ
3) Akm = (Ak )m , ∀A ∈ M n (ℝ), ∀k, m ∈ ℕ .
Chú ý
1) Nếu A = diag(a11, a22 ,..., ann ) ∈ M n (ℝ) thì:
k
k
k
Ak = diag (a11
, a 22
,..., ann
).
2) Nếu A, B ∈ M n (ℝ) thỏa AB = BA (giao hoán) thì
các hằng đẳng thức quen thuộc cũng đúng với A, B .
Khi AB ≠ BA thì các hằng đẳng thức đó không còn
đúng nữa.
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
cos α − sin α
VD 13. Cho ma trận A(α) =
.
sin α cos α
n
Hãy tìm ma trận A(α) , ∀n ∈ ℕ ?
VD 14. Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp 40 có các
phần tử aij = (−1)i + j . Phần tử a25 của A2 là:
A. a25 = 0 ; B. a25 = −40 ; C. a25 = 40 ; D. a25 = −1.
5
Toán cao cấp A2 Đại học
VD 15. Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp 100 có
các phần tử aij = (−1)i .3 j . Phần tử a 34 của A2 là:
3
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
35
A. a 34 = (1 − 3100 );
4
35 100
C. a 34 = (3 − 1);
2
35
B. a 34 = (3100 − 1);
4
35
D. a 34 = (1 − 3100 ).
2
d) Phép chuyển vị (Transposed matrix)
Cho ma trận A = (aij )m×n .
Khi đó, AT = (a ji )n×m được gọi là ma trận chuyển vị
của A (nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột).
1 4
1 2 3
T
2 5 .
VD 16. Cho A =
⇒
A
=
4 5 6
3 6
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Tính chất
1) (A + B )T = AT + BT ;
2) (λA)T = λ.AT ;
3) (AT )T = A ;
4) (AB )T = BT AT ;
5) AT = A ⇔ A là ma trận đối xứng.
1 −1
0 1 −2
VD 17. A = 0
2 , B =
.
−1 0 −3
−3 −2
a) Tính (AB )T .
b) Tính BT AT và so sánh kết quả với (AB )T .
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận
(Gauss – Jordan)
Cho ma trận A = (aij )m×n (m ≥ 2). Các phép biến đổi
sơ cấp (PBĐSC) dòng e trên A là:
di ↔dk
→ A′ .
1) (e1 ) : Hoán vị hai dòng cho nhau A
d →λd
i
i
2) (e2 ) : Nhân 1 dòng với số λ ≠ 0 , A
→ A′′ .
3) (e3 ) : Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần
di →di +λdk
dòng khác, A
→ A′′′ .
Chú ý
di →µdi +λdk
1) Trong thực hành ta thường làm A
→B.
2) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên
cột của ma trận.
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
VD 18. Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận
2 1 −1
1 −2
3
A = 1 −2 3 về B = 0 1 −7 / 5.
0
3 −1 2
0 0
Giải. Ta có:
1 −2 3
1 −2 3
d2 →d2 −2d1
d1 ↔d2
0 5 −7
A
→ 2 1 −1
→
d
→
d
−
3
d
3
3
1
3 −1 2
0 5 −7
3
1 −2
d3 →d3 −d2
0 1 −7 / 5 = B.
→
1
d2 → d2
5
0 0
0
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
1.4. Ma trận bậc thang
• Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử đều bằng
0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không).
• Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 dòng
trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.
• Ma trận bậc thang là ma trận khác không cấp m × n
(m, n ≥ 2) thỏa hai điều kiện:
1) Các dòng bằng 0 (nếu có) ở phía dưới các dòng
khác 0;
2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm bên phải
phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó.
Toán cao cấp A2 Đại học
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
VD 19. Các ma trận bậc thang:
1 0 2
0 0 3,
0 0 0
1 0 ... 0
0 1 2 3
0 1 ... 0
.
0 0 4 5, I =
n ... ... ... ...
0 0 0 1
0 0 ... 1
Các ma trận không phải là bậc thang:
0 0 0
0 2 7
1 3 5
3 1 4, 0 3 4, 0 0 4.
0 0 5
0 0 5
2 1 3
4
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Ma trận bậc thang rút gọn
Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang có
phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ đều bằng 1 và là
phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa phần tử đó.
1 3 0 0
0 1 0 3
VD 20. I n , A = 0 0 1 0, B = 0 0 1 2
0 0 0 1
0 0 0 0
là các ma trận bậc thang rút gọn.
1.5. Ma trận khả nghịch
a) Định nghĩa
• Ma trận A ∈ M n (ℝ) được gọi là khả nghịch nếu tồn
tại ma trận B ∈ M n (ℝ) sao cho:
1 2 3
Ma trận C =
không là bậc thang rút gọn.
0
0
1
Chú ý
Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì B là duy nhất
và A cũng là ma trận nghịch đảo của B .
AB = BA = I n .
• Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A.
Ký hiệu B = A−1 . Khi đó:
A−1A = AA−1 = I n ; (A−1 )−1 = A.
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
2 5
3 −5
VD 21. A =
và B =
là hai ma trận
1
3
−
1
2
nghịch đảo của nhau vì AB = BA = I 2 .
0 0 1
VD 22. Cho biết ma trận A = 0 1 0 thỏa:
1 0 0
A3 − A2 − A + I 3 = O3 . Tìm A−1 ?
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Chú ý
1) Nếu ma trận A có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì
không khả nghịch.
2) I −1 = I ; (AB )−1 = B −1A−1 .
3) Nếu ac − bd ≠ 0 thì:
−1
a b
d c
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
2 5
2 1
VD 23. Cho A =
và
B
=
3 2.
1 3
Thực hiện phép tính: a) (AB )−1 ;
b) B −1A−1 .
=
c −b
1
.
.
ac − bd −d d
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi
sơ cấp trên dòng (tham khảo)
Cho A ∈ M n (ℝ) khả nghịch, ta tìm A−1 như sau:
Bước 1. Lập ma trận A I n (ma trận chia khối) bằng
(
)
cách ghép ma trận I n vào bên phải của A.
5 −3
−4 1
VD 24. Cho hai ma trận A =
, B =
.
3 −2
−2 3
Tìm ma trận X thỏa AX = B .
Toán cao cấp A2 Đại học
Bước 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa
A I n về dạng I n B .
1 −1 0 1
Khi đó: A−1 = B .
0 −1 1 0
.
VD 25. Tìm nghịch đảo của A =
0 0 1 1
0 0 0 1
(
)
(
)
5
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
(
Giải. Ta có: A I 4
)
1 −1
0 −1
=
0 0
0 0
1
0
d3 →d3 −d4
→
d2 →d3 −d2
0
d1 →d1 +d2 −d 4
0
0 11 0 0
1 00 1 0
1 10 0 1
0 10 0 0
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
0
0
0
1
0 0 0 1 −1 1 −2
1 0 0 0 −1 1 −1
.
0 1 0 0 0 1 −1
0 0 1 0 0 0 1
I4
A−1
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
1 2 3
VD 1. Ma trận A = 4 5 6 có các ma trận con ứng
7 8 9 với các phần tử aij là:
5 6
4 6
4 5
,
,
M 11 =
M
=
M
=
12
13
7 9
7 8,
8 9
2 3
1 3
1 2
M 21 =
, M 22 = 7 9, M 23 = 7 8,
8 9
2 3
1 3
1 2
=
=
M 31 =
,
M
,
M
32
33
4 6
4 5.
5 6
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Chú ý
1) det I n = 1, detOn = 0 .
2) Tính a 21 a 22 a23 .
a 31 a 32 a 33
a13 a11 a12
a21 a22 a23 a 21 a 22
a 31 a 32 a 33 a 31 a 32
hoặc
a11 a12 a13
a 21 a22 a23
a 31 a 32 a 33
(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ
đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt).
Toán cao cấp A2 Đại học
2.1. Định nghĩa
a) Ma trận con cấp k
Cho A = (aij ) ∈ M n (ℝ).
n
• Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm
trên giao của k dòng và k cột của A được gọi là ma
trận con cấp k của A.
• Ma trận M ij có cấp n − 1 thu được từ A bằng cách
bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận con
của A ứng với phần tử aij .
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
b) Định thức (Determinant)
Định thức của ma trận vuông A ∈ M n (ℝ), ký hiệu
det A hay A , là 1 số thực được định nghĩa:
Nếu A = (a11 ) thì det A = a11 .
a
a
Nếu A = 11 12 thì detA = a11a 22 − a12a21 .
a21 a 22
Nếu A = (aij )n (cấp n ≥ 3 ) thì:
det A = a11A11 + a12A12 + ... + a1n A1n
trong đó, Aij = (−1)i + j det M ij và số thực Aij được
gọi là phần bù đại số của phần tử aij .
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
VD 2. Tính định thức của các ma trận sau:
1 2 −1
3 −2
A=
, B = 3 −2 1 .
1
4
1
2 1
a11 a12 a13
a11 a12
§2. ĐỊNH THỨC
VD 3. Tính định thức của ma trận:
0 0 3 −1
4 1 2 −1
.
A =
3 1 0 2
2 3 3 5
6
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
2.2. Các tính chất cơ bản của định thức
Cho ma trận vuông A = (aij ) ∈ M n (ℝ), ta có các
n
tính chất cơ bản sau:
b) Tính chất 2
Nếu hoán vị hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì
định thức đổi dấu.
1 −1 1
1
3 2
−1 1 1
VD 5.
a) Tính chất 1
( ) = det A.
T
det A
2 −2 1 = − 2
−1 1 1
1
2 2 1 = 0;
1 1 7
VD 6.
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
2
3
−2
7
1
1
x3
VD 8.
x + 1 y y 3 = (x + 1) 1 y y 3 .
x +1 z
z
3
1 z
z
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
1 −1
x
0
x
y
y3 = x
y
y3 + x
1
z
z3
z
z3
cos2 x
2 3
sin2 x
sin x
5 6 + cos x
sin2 x
8 9
2
2
cos2 x
Toán cao cấp A2 Đại học
2 3
x
x
y y3 ;
1 z
z3
1 2 3
5 6 = 1 5 6.
8 9
x
2
x
3
0
1
0
y = 0;
0 y
2
6
−6 −9
2
2 −3 = 0 .
−8 −3 12
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
x
1
y5
3
d) Tính chất 4
Nếu định thức có 1 dòng (hoặc 1 cột) mà mỗi phần
tử là tổng của 2 số hạng thì ta có thể tách thành tổng
2 định thức.
VD 9. x + 1 x − 1
1 y2
2) Nếu định thức có 2 dòng (hoặc 2 cột) tỉ lệ với
nhau thì bằng 0.
= 3 2 1 −2 ;
3 1 7
1 x
y5 = 0.
1) Nếu định thức có ít nhất 1 dòng (hoặc 1 cột)
bằng 0 thì bằng 0.
1 0 −1
x3
1 y2
Hệ quả
x
x +1 x
1.
2
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
c) Tính chất 3
Nếu nhân 1 dòng (hoặc 1 cột) với số thực λ thì
định thức tăng lên λ lần.
VD 7.
2
1
Hệ quả. Nếu định thức có ít nhất 2 dòng (hoặc 2 cột)
giống nhau thì bằng 0.
x x2 x3
3 3 1
1
3 2
1 2 −1
VD 4. 2 −2 1 = 3 −2 1 = −12 .
−1 1 1
2 1
1
3.1 0 3.(−1)
− 2 1 = −2
3
3 2
1 8 9
e) Tính chất 5
Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng
(hoặc 1 cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác.
VD 10. Sử dụng tính chất 5 để đưa định thức sau về
1 2 3
dạng bậc thang: ∆ = −1 2 −1 .
2 3 4
x
2 2
VD 11. Sử dụng tính chất 5 để tính ∆ = 2 x 2 .
2 2 x
7
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
2.3. Định lý (khai triển Laplace)
1 0 0 2
Cho ma trận vuông A = (aij ) ∈ M n (ℝ), ta có các
VD 12. Tính định thức
n
khai triển Laplace của định thức A:
a) Khai triển theo dòng thứ i
n
det A = ai 1Ai 1 + ai 2Ai 2 + ... + ain Ain = ∑ aij Aij .
khai triển theo dòng 1 và khai triển theo cột 2.
j =1
VD 13. Áp dụng tính chất và định lý Laplace, hãy tính
1 1
1 2
2 −1 1 3
định thức
.
1 2 −1 2
3 3
2 1
Trong đó, Aij = (−1)i + j det(M ij ).
b) Khai triển theo cột thứ j
n
det A = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + ... + anj Anj = ∑ aij Aij .
i =1
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Các kết quả đặc biệt cần nhớ
1) Dạng tam giác
a11 a12 ... a1n
0
a11
...
VD 14. Tính định thức:
1 2 3 4
0
0 a22 ... a2n
a
a22 ... 0
= 21
= a11a22 ...ann .
... ... ... ...
... ... ... ...
0
0 ... ann
an 1 an 2 ... ann
2) Dạng tích: det(AB ) = det A.det B.
3) Dạng chia khối
A ⋮ B
… … … = det A.detC , với A, B, C ∈ M n (ℝ) .
On
⋮
C
det A =
1 1 −1
2 1 4
VD 16. Tính detC = 2 0 3 2 1 3 .
1 2 1
1 2 −3
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
1 1 −12 1 4−3 1 4
VD 17. Tính det D = 2 0 3 2 1 3 0 1 2 .
1 2 1
1 2 −31 2 1
T
1
x
x
8
0 0
0 0
= 0 có nghiệm
x −2
2 x
x = ± 1
là: A. x = ±1; B. x = 1; C. x = −1; D.
.
x = ±2
Toán cao cấp A2 Đại học
VD 15. Tính định thức:
0 0 3 4
0 −2 7 19
3 −2 7 19
. det B =
.
0 0 3 0
1 2 3 7
0 0 0 −1
0 0 8 −1
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
x
1
VD 18. Phương trình
2
3
2 0 1 2
bằng hai cách
1 3 2 3
3 0 2 1
2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo
a) Định lý
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi:
det A ≠ 0.
VD 19. Giá trị của tham số m để ma trận
T
m 1 m
0 m − 1 0
A =
m 2
0 m 1 m − 1 1
khả nghịch là:
m = 0
A.
;
m = 1
m ≠ 0
B.
;
m ≠ 1
C. m ≠ 0 ;
D. m ≠ 1.
8
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
b) Thuật toán tìm A–1
• Bước 1. Tính detA. Nếu det A = 0 thì kết luận A
không khả nghịch. Ngược lại, ta làm tiếp bước 2.
• Bước 2. Lập ma trận (Aij ) , Aij = (−1)i + j det M ij .
VD 20. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của:
1 2 1
A = 1 1 2.
3 5 4
n
Suy ra ma trận phụ hợp (adjunct matrix) của A là:
T
adjA = (Aij ) .
n
• Bước 3. Ma trận nghịch đảo của A là:
1
A−1 =
.adjA.
det A
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
1 1
0 1
0 1
A11 =
= 1, A12 = −
= 1, A13 =
= −1,
2 3
1 3
1 2
A21 = −
A31 =
2 1
2 3
2 1
1 1
= −4, A22 =
= 1, A32 = −
1 1
1 3
1 1
0 1
= 2, A23 = −
= −1, A33 =
1 2
1 2
1 2
0 1
= 0,
= 1.
1 −4 1
1 −4 1
1
⇒ adjA = 1
2 −1 ⇒ A−1 = 1
2 −1 .
2
1
1
−1 0
−1 0
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Chú ý
• Nếu A = (aij )
m×n
khác 0 thì 1 ≤ r (A) ≤ min{m, n}.
• Nếu A là ma trận không thì ta quy ước r (A) = 0 .
c) Thuật toán tìm hạng của ma trận
• Bước 1. Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang.
• Bước 2. Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính
là hạng của ma trận đã cho.
• Đặc biệt
Nếu A là ma vuông cấp n thì:
r (A) = n ⇔ det A ≠ 0.
Toán cao cấp A2 Đại học
1 2 1
VD 21. Cho ma trận A = 0 1 1. Tìm A−1 .
1 2 3
Giải. Ta có: det A = 2 ≠ 0 ⇒ A khả nghịch.
2.5. Hạng của ma trận
a) Định thức con cấp k
Cho ma trận A = (aij )
m×n
. Định thức của ma trận con
cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A.
Định lý
Nếu ma trận A có tất cả các định thức con cấp k đều
bằng 0 thì các định thức con cấp k + 1 cũng bằng 0.
b) Hạng của ma trận (rank of matrix)
Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A
được gọi là hạng của ma trận A .
Ký hiệu là r (A).
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
VD 22. Điều kiện của tham số m để ma trận
m −1 −2
A = 0 3
2 có hạng bằng 3 là:
1
0 1
A. m ≠ 1; B. m ≠ −1; C. m ≠ ±1; D. m ≠ 0 .
VD 23. Cho ma trận:
1 −3 4 2
A = 2 −5 1 4.
3 −8 5 6
Tìm r (A).
VD 24. Tìm r (A). Biết:
2 1 −1 3
0 −1 0
0
.
A=
0 1
2
0
0 −1 1 −4
9
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 1. Ma trậ
trận – Định thứ
thức
Chú ý
Ta có thể hoán vị cột của ma trận rồi đưa về bậc thang.
VD 25. Giá trị của tham số m để ma trận A. m = −2 ;
m = 1
m + 1
1
3
B.
m
= 1;
A = 2
m + 2 0 có r (A) = 2 là:
m
= −2 ;
C.
1
3
m = −1
2m
D.
.
m=0
−1 2 1 −1 1
VD 26. Tùy theo
giá trị m , tìm
m −1 1 −1 −1
hạng của ma trận:A =
1 m 0 1
1
2 2 −1 1
1
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
(
)
T
(
và X = x 1 ... x n
)
T
lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và
ma trận cột ẩn.
Khi đó, hệ (I ) trở thành AX = B .
(
• Bộ số α = α1 ... αn
)
T
(
hoặc α = α1 ; ...; αn
)
được gọi là nghiệm của (I ) nếu Aα = B .
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
1.2. Định lý Crocneker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B . Gọi ma trận
a
11 a12 ... a1n b1
mở rộng là A = A B = ... ... ... ... ... .
am 1 am 2 ... amn bm
Định lý
Hệ AX = B có nghiệm khi và chỉ khi r (A) = r (A).
(
)
Trong trường hợp hệ AX = B có nghiệm thì:
Nếu r (A) = n : kết luận hệ có nghiệm duy nhất;
Nếu r (A) < n : kết luận hệ có vô số nghiệm
phụ thuộc vào n − r tham số.
Toán cao cấp A2 Đại học
……………………………………………………………
§1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT
1.1. Định nghĩa
Hệ gồm n ẩn x i (i = 1,2,..., n ) và m phương trình:
a x + a x + ... + a x = b
12 2
1n n
1
11 1
a x + a x + ... + a x = b
21 1
22 2
2n n
2
(I )
..........................................
am 1x 1 + am 2x 2 + ... + amn x n = bm
trong đó, hệ số aij , bj ∈ ℝ (i = 1,..., n; j = 1,..., m ),
được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
a11 ... a1n
Đặt: A = ... ... ... = (aij ) ,
m×n
am 1 ... amn
B = b1 ... bm
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
§1. Hệ phương trình tổng quát
§2. Hệ phương trình thuần nhất
VD 1. Cho hệ phương trình:
x − x + 2x + 4x = 4
1
2
3
4
2x + x + 4x = −3
1
2
3
2x 2 − 7x 3 = 5.
Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận:
1 −1 2 4x 1 4
x
2 1
2 = −3
4
0
x
0 2 −7 0 3 5
x
4
và α = (1; −1; −1; 1) là 1 nghiệm của hệ.
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
VD 2. Tùy theo điều kiện tham số m , hãy biện luận số
nghiệm của hệ phương trình:
x + my − 3z = 0
(1 − m 2 )z = m − 1.
VD 3. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình:
mx
+ 8z − 7t = m − 1
3x + my + 2z + 4t = m
mz + 5t = m 2 − 1
5z − mt = 2m + 2
có nghiệm duy nhất là:
A. m ≠ 0 ; B. m ≠ 1; C. m ≠ ±1; D. m ≠ ±5 .
10
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
1.3. Phương pháp giải hệ phương trình tổng quát
a) Phương pháp ma trận (tham khảo)
Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B , với A là
ma trận vuông cấp n khả nghịch.
Ta có:
AX = B ⇔ X = A−1B.
VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng
phương pháp ma trận:
2x + y − z = 1
y + 3z = 3
2x + y + z = −1.
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
2 1 −1
−1 −1 2
1
Giải. A = 0 1 3 ⇒ A−1 = 3
2 −3.
2
1
2 1 1
−1 0
Hệ phương trình ⇔ X = A−1B
x
−1 −1 2 1 x −3
1
⇔ y = 3
2 −3 3 ⇔ y = 6 .
2
1 −1 z −1
z
−1 0
x = −3,
Vậy hệ đã cho có nghiệm
y = 6,
z = −1.
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
b) Phương pháp định thức (hệ Cramer)
Cho hệ AX = B , với A là ma trận vuông cấp n .
• Bước 1. Tính các định thức:
a11 ... a1 j
∆ = det A = ... ... ...
an 1 ... anj
a11 ... b1
∆ j = ...
... ... ,
... ann
(m − 7)x + 12y − 6z = m
Khi m = 1 thì hệ −10x + (m + 19)y − 10z = 2m
−12x + 24y + (m − 13)z = 0
có ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 nhưng hệ vô nghiệm.
Chú ý
... a1n
... ... ...
an 1 ... bn
... a1n
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
• Bước 2. Kết luận:
Nếu ∆ ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất:
∆
x j = j , ∀j = 1, n.
∆
Nếu ∆ = 0 thì chưa có kết luận. Khi đó, ta giải tìm
tham số và thay vào hệ để giải trực tiếp.
... , j = 1, n
... ann
(thay cột thứ j trong ∆ bởi cột tự do).
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức:
2x + y − z = 1
y + 3z = 3
2
x
+
y + z = −1.
Giải. Ta có:
2 1 −1
∆= 0 1
2 1
3 = 4,
1
Toán cao cấp A2 Đại học
1
1 −1
∆1 = 3 1
−1 1
3 = −12 ,
1
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
2
−1
1
∆2 = 0 3
2 −1
Vậy x =
∆1
∆
2 1
1
3 = 24 , ∆3 = 0 1 3 = −4 .
1
2 1 −1
= −3, y =
∆2
∆
= 6, z =
∆3
∆
= −1.
(m + 1)x + y = m + 2
VD 6. Hệ phương trình
x + (m + 1)y = 0
có nghiệm khi và chỉ khi:
A. m = −2 ;
B. m ≠ −2 ∧ m ≠ 0 ;
C. m ≠ 0 ;
D. m ≠ −2 .
11
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
c) Phương pháp ma trận bậc thang
(phương pháp Gauss)
Xét hệ phương trình tuyến tính AX = B .
(
)
• Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A B về dạng bậc
thang bởi PBĐSC trên dòng.
• Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên.
Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:
có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng;
có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó;
(
)
có 1 dòng dạng 0...0 b , b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm.
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính:
5x 1 − 2x 2 + 5x 3 − 3x 4 = 3
4x + x + 3x − 2x = 1
2
3
4
1
= − 1.
2x 1 + 7x 2 − x 3
VD 9. Tìm nghiệm của hệ x + 4y + 5z = −1
A. x = 15, y = −4, z = 0 ; 2x + 7y − 11z = 2
3x + 11y − 6z = 1.
B. Hệ có vô số nghiệm;
x = 15 − 79α
x = 15 + 79α
y = −4 − 21α .
C.
y
4
21
α
;
D.
=
−
−
z = α ∈ ℝ
z = α ∈ ℝ
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
Chú ý
• Khi hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm, ta
gọi nghiệm phụ thuộc tham số là nghiệm tổng quát.
Nếu cho các tham số bởi các giá trị cụ thể ta được
nghiệm riêng.
• Muốn tìm điều kiện tham số để 2 hệ phương trình có
nghiệm chung, ta ghép chúng thành 1 hệ rồi tìm điều
kiện tham số để hệ chung đó có nghiệm.
VD 12. Tìm điều kiện của tham số m để 2 hệ phương
trình sau có nghiệm chung:
x + y − z + t = 2m +1 2x +5y − 2z +2t = 2m +1
,
.
x +7y − 5z − t = − m 3x +7y − 3z +3t = 1
Toán cao cấp A2 Đại học
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss:
2x + y − z = 1
y + 3z = 3
2x + y + z = −1.
Giải. Ta có:
2 1 −1 1
2 1 −1 1
d3 →d3 −d1
0 1 3 3 .
→
A B = 0 1 3 3
0 0 2 −2
2 1 1 −1
2x + y − z = 1
x = −3
Hệ ⇔
y + 3z = 3 ⇔ y = 6 .
2z = −2
z = −1
(
)
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
3x − y + 2z = 3
VD 10. Tìm nghiệm của hệ
.
2x + y − 2z = 7
x = 2
x = 2
B.
A. y = 7 − 2α ;
y = 3 + 2α
z = α ∈ ℝ
z = α ∈ ℝ
C. Hệ có vô số nghiệm; D. Hệ vô nghiệm.
VD 11. Giá trị của tham số m để hệ phương trình
x + 2y + (7 − m )z = 2
A. m = ±1;
2x + 4y − 5z = 1
B. m = 1;
C. m = −7 ;
3x + 6y + mz = 3
D. m = 7 .
có vô số nghiệm là:
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
§2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT
2.1. Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là trường hợp
đặc biệt của hệ phương trình tổng quát, có dạng:
a x + a x + ... + a x = 0
12 2
1n n
11 1
a x + a x + ... + a x = 0
21 1
22 2
2n n
(II ).
.........................................
am 1x 1 + am 2x 2 + ... + amn x n = 0
Hệ (II ) tương đương với AX = (0ij )m×1 .
12
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
Chú ý
• Do r (A) = r (A) nên hệ thuần nhất luôn có nghiệm.
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
2.2. Định lý 1
Hệ (II ) chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi:
det A ≠ 0.
2.3. Định lý 2
Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B (I)
và hệ phương trình thuần nhất AX = O (II).
Khi đó:
• Hiệu 2 nghiệm bất kỳ của (I) là 1 nghiệm của (II);
• Tổng 1 nghiệm bất kỳ của (I) và 1 nghiệm bất kỳ của
(II) là 1 nghiệm của (I).
VD 1. Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất sau chỉ có nghiệm tầm thường:
3x + m 2y + (m − 5)z = 0
(m + 2)y + z
=0
4y + (m + 2)z = 0.
VD 2. Cho 2 hệ phương trình tuyến tính:
x + 4y + 5z = −1
x + 4y + 5z = 0
2x + 7y − 11z = 2 (I) và 2x + 7y − 11z = 0 (II).
3x + 11y − 6z = 1
3x + 11y − 6z = 0
• Nghiệm (0; 0;…; 0) được gọi là nghiệm tầm thường.
Chương 3. Không gian vector
Chương 2. Hệ phương trì
trình tuyế
tuyến tính
Xét 2 nghiệm của (I) và 1 nghiệm của (II) lần lượt là:
α1 = (15; −4; 0), α2 = (−64; 17; −1)
và β = (−158; 42; −2), ta có:
§1. Khái niệm không gian vector
§2. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
§3. Cơ sở, số chiều của kgvt – Tọa độ của vector
§4. Không gian sinh bởi hệ vector
§5. Không gian Euclide
………………………………………………………………
• α1 − α2 = (79; −21; 1) là 1 nghiệm của (II);
• α1 + β = (−143; 38; −2) là 1 nghiệm của (I).
…………………………………………………………………
§1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR
(Vector space)
1.1. Định nghĩa
• Cho tập V khác rỗng, mỗi phần tử thuộc V được gọi
là một vector. Xét hai phép toán sau:
V ×V → V
ℝ ×V → V
(x , y ) ֏ x + y;
(λ, x ) ֏ λx .
Chương 3. Không gian vector
• Ta nói V cùng với hai phép toán trên là một không
gian vector (viết tắt là kgvt) trên ℝ , hay ℝ – không
gian vector, nếu thỏa 8 tính chất sau:
1) (x + y ) + z = x + (y + z ), ∀ x , y , z ∈ V ;
2) ∃ θ ∈ V : x + θ = θ + x = x , ∀ x ∈ V ;
3) ∀ x ∈ V , ∃(− x ) ∈ V : (− x ) + x = x + (− x ) = θ ;
Chương 3. Không gian vector
VD 1.
{
}
• Tập ℝ n = (x 1, x 2 ,..., x n ) x i ∈ ℝ, i = 1, n các bộ số
thực là một không gian vector.
• Tập nghiệm V của hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất là một không gian vector.
5) λ (x + y ) = λ x + λ y , ∀ x , y ∈ V , ∀ λ ∈ ℝ ;
• Tập V = M m ,n (ℝ) với hai phép toán cộng ma trận và
nhân vô hướng là một không gian vector.
6) (λ + µ )x = λ x + µ x , ∀ x ∈ V , ∀ λ , µ ∈ ℝ ;
• Tập Pn [x ] các đa thức có bậc không quá n :
4) x + y = y + x , ∀ x , y ∈ V ;
7) (λµ )x = λ ( µ x ), ∀ x ∈ V , ∀ λ , µ ∈ ℝ ;
8) 1.x = x , ∀ x ∈ V .
Trong đó, θ ∈ V được gọi là vector không.
Toán cao cấp A2 Đại học
{p(x ) = an x n + ... + a1x + a 0 , ai ∈ ℝ, i = 0,..., n }
với phép cộng đa thức và nhân số thực với đa thức là
một không gian vector.
13
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 3. Không gian vector
Chương 3. Không gian vector
1.2. Không gian vector con (Vectorial subspace)
Định nghĩa
Cho kgvt V , tập W ⊂ V được gọi là không gian
vector con của V nếu W cũng là một kgvt.
được gọi là một tổ hợp tuyến tính của n vector ui .
• Hệ gồm n vector {u1, u2 ,..., un } được gọi là độc lập
tuyến tính (viết tắt là đltt) nếu:
VD 2.
• Tập W = {θ} là kgvt con của mọi kgvt V .
}
2.1. Định nghĩa
Trong kgvt V , xét n vector ui (i =
1,..., n ). Khi đó:
n
• Tổng λ1u1 + λ2u2 + ... + λn un = ∑ λi ui , λi ∈ ℝ ,
i =1
Định lý
Cho kgvt V , tập W ⊂ V là kgvt con của V nếu:
∀x , y ∈ W , ∀λ ∈ ℝ thì (x + λy ) ∈ W .
{
§2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH
PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
n
• Tập W = (α, 0,..., 0) α ∈ ℝ là kgvt con của ℝ .
n
……………………………………………………
Chương 3. Không gian vector
VD 1. Trong ℝ 2 , xét sự đltt hay pttt của hệ 2 vector:
A = {u1 = (1; −1), u2 = (2; 3)} .
VD 2. Trong ℝ 3 , xét sự đltt hay pttt của hệ 3 vector:
B = {u1 = (−1; 3; 2), u2 = (2; 0; 1), u 3 = (0; 6; 5)} .
VD 3. Trong M 2,3 (ℝ), xét sự đltt hay pttt của hệ:
A = 1 2 0, B = 2 3 0,C = 0 1 0.
3 0 1
4 0 1
2 0 1
VD 4. Trong Pn [x ], xét sự đltt hay pttt của hệ:
{u1 = 1, u2 = x , u 3 = x 2 ,..., un = x n −1, un +1 = x n }.
Chương 3. Không gian vector
n
2.3. Hệ vector trong ℝ
Xét m vector ui = (ai 1, ai 2 ,..., ain ) , i = 1, m trong ℝ n .
Ma trận A = (aij ) được gọi là ma trận dòng của hệ
m×n
m vector {u1, u2 ,..., um }.
VD 6. Hệ {u1 = (1; −1; −2), u2 = (4; 2; −3)}
có ma trận dòng là A = 1 −1 −2 .
4 2 −3
Định lý
∑λu
i =1
i i
= θ thì λi = 0, ∀i = 1,..., n .
• Hệ {u1, u2 ,..., un } không là độc lập tuyến tính thì
được gọi là phụ thuộc tuyến tính (viết tắt là pttt).
Chương 3. Không gian vector
2.2. Định lý
Hệ gồm n vector là pttt khi và chỉ khi tồn tại một
vector là tổ hợp tuyến tính của n − 1 vector còn lại.
Nghĩa là:
u j = λ1u1 + ... + λj −1u j −1 + λj +1u j +1 + ... + λn un .
Hệ quả
• Hệ có vector không thì phụ thuộc tuyến tính.
• Nếu có một bộ phận của hệ pttt thì hệ pttt.
VD 5. Hệ {v1 = x 2 , v2 = −3x 2 , v3 = (x − 1)3 , v4 = x 4 }
là pttt vì bộ phận {v1 = x 2 , v2 = −3x 2 } pttt.
Chương 3. Không gian vector
Hệ quả
• Trong ℝ n , hệ có nhiều hơn n vector thì pttt.
• Trong ℝ n , hệ n vector đltt ⇔ det A ≠ 0 .
VD 7. Xét sự đltt hay pttt của các hệ vector:
a) B1 = {(−1; 2; 0), (2; 1; 1)} ;
b) B2 = {(−1; 2; 0), (1; 5; 3), (2; 3; 3)}.
Trong ℝ n , cho hệ gồm m vector {u1, u2 ,..., um } có
ma trận dòng là A. Khi đó:
• Hệ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi r (A) = m .
• Hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi r (A) < m .
Toán cao cấp A2 Đại học
VD 8. Trong ℝ 3 , tìm điều kiện m để hệ sau là pttt:
{(−m; 1; 1), (1 − 4m; 3; m + 2)} .
14
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 3. Không gian vector
VD 9. Trong ℝ 3 , tìm điều kiện m để hệ sau là đltt:
{(m; 1; 1), (1; m; 1), (1; 1; m )} .
VD 10. Trong ℝ 4 , cho 4 vector:
u1 = (1; −1; 0; 1), u2 = (m; m; −1; 2),
u 3 = (0; 2; 0; m ), u 4 = (2; 2; −m; 4).
Điều kiện m để u1 là tổ hợp tuyến tính của u2 , u 3 , u 4 ?
………………………………………………………………
Chương 3. Không gian vector
§3. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KGVT
TỌA ĐỘ CỦA VECTOR
3.1. Cơ sở của không gian vector
Định nghĩa
Trong kgvt V , hệ n vector F = {u1, u2 ,…, un } được
gọi là một cơ sở (basic) của V nếu hệ F là đltt và mọi
vector của V đều được biểu diễn tuyến tính qua F .
VD 1. Trong ℝ 2 , xét hệ F = {u1 =(1; −1), u2 =(0; 1)} .
Ta có: hệ F là độc lập tuyến tính.
Mặt khác, xét vector tùy ý x = (a; b ) ∈ ℝ 2 ta có:
x = au1 + (a + b )u2 .
Vậy hệ F là 1 cơ sở của ℝ 2 .
Chương 3. Không gian vector
VD 2. Trong ℝ 3 , xét hệ 2 vector:
B = {u1 = (1; 0; 0), u2 = (0; 1; 0)} .
Ta có: αu1 + βu2 ≠ (1; 1; 1), ∀α, β ∈ ℝ .
Vậy hệ B không phải là cơ sở của ℝ 3 .
VD 3.
• Trong ℝn , hệ n vector:
E = {ei = (ai 1; ai 2 ;...; ain ), i = 1, 2,..., n}
trong đó: aij = 1 nếu i = j , aij = 0 nếu i ≠ j
được gọi là cơ sở chính tắc.
• Không gian vector P4 [x ] có 1 cơ sở là:
{1; x − 1; (x − 1)2 ; (x − 1)3 ; (x − 1)4 }.
Chương 3. Không gian vector
Chú ý
Một không gian vector có thể có nhiều cơ sở và số
vector (hữu hạn) trong các cơ sở là không đổi.
3.2. Số chiều của không gian vector
Định nghĩa
Số vector có trong 1 cơ sở bất kỳ của không gian
vector V được gọi là số chiều (dimension) của V .
Ký hiệu là: dimV .
VD 4. Ta có: dim ℝ n = n , dim P4 [x ] = 5 .
Chú ý
• Trong ℝ n , mọi hệ gồm n vector đltt đều là cơ sở.
• Số chiều của kgvt có thể vô hạn. Trong chương trình,
ta chỉ xét những kgvt hữu hạn chiều.
Chương 3. Không gian vector
3.3. Tọa độ của vector
a) Định nghĩa
Trong kgvt V , cho cơ sở F = {u1, u2 ,…, un } .
Vector x ∈ V tùy ý có biểu diễn tuyến tính một cách
n
duy nhất qua cơ sở F là x = ∑ αi ui , αi ∈ ℝ .
i =1
Ta nói x có tọa độ đối với cơ sở F là (α1; α2 ;…; αn ).
α
1
α
Ký hiệu là: [x ]F = 2 = (α1 α2 ... αn )T .
⋮
αn
Toán cao cấp A2 Đại học
Chương 3. Không gian vector
Quy ước
Ta viết tọa độ của vector x đối với cơ sở chính tắc E
trong ℝ n là [x ] hoặc viết dưới dạng x = (α1;...; αn ).
VD 5. Trong ℝ 2 , cho x = (3; −5) và 1 cơ sở:
B = {u1 = (2; −1), u2 = (1; 1)} . Tìm [x ]B ?
VD 6. Trong P4 [x ], cho vector p(x ) = x 4 + x 3 và một
cơ sở:
A = u1 = 1; u2 = x − 1; u 3 = (x − 1)2 ;
{
}
u 4 = (x − 1)3 ; u5 = (x − 1)4 .
Hãy tìm [ p(x )]A ?
15
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 3. Không gian vector
Chương 3. Không gian vector
Đặc biệt. Trong ℝ n , ta có:
VD 7. Trong ℝ 2 , cho 2 cơ sở:
B1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0; −1)} ,
1
B2 = {v1 = (2; −1), v2 = (1; 1)} .
Cho biết [x ]B là (1; 2). Hãy tìm [x ]B ?
2
1
b) Tọa độ của vector trong các cơ sở khác nhau
Ma trận chuyển cơ sở
Trong kgvt V , cho 2 cơ sở:
B1 = {ui }, B2 = {vi }, i = 1,2,..., n .
(
Ma trận [v1 ]B [v2 ]B ... [vn ]B
1
1
1
) được gọi là ma trận
chuyển cơ sở từ B1 sang B2 . Ký hiệu là: PB →B .
1
2
Chương 3. Không gian vector
i
• PB →B = PB →B .PB →B ;
1
3
1
(
2
2
• PB →B = PB →B
1
2
2
1
)
3
−1
.
Hệ quả. Trong ℝ n , ta có:
(
PB →B = PB →E PE →B = PE →B
1
2
1
2
1
)
−1
PE →B .
2
VD 10. Dựa vào hệ quả, giải lại VD 7.
Chương 3. Không gian vector
• Nếu dim < S >= k thì mọi hệ con gồm k vector
đltt của S đều là cơ sở của < S >.
VD 1. Trong ℝ 3 , cho hệ vector:
S = {u1 = (1; 0; −1), u2 = (0; 1; −1)}.
Hãy tìm dạng tọa độ của vector v ∈ < S > ?
VD 2. Trong ℝ 4 , cho hệ vector:
S = {(1;2; 3; 4), (2; 4;9; 6), (1;2;5; 3), (1;2;6; 3)}.
Tìm số chiều của không gian sinh < S > ?
VD 3. Trong ℝ 4 , cho hệ vector S :
{u1 =(−2; 4; −2; −4), u2 =(2; −5; −3;1), u3 =(−1; 3; 4;1)} .
Hãy …………………………………………………………………
tìm dim < S > và 1 cơ sở của < S > ?
Toán cao cấp A2 Đại học
)
(ma trận cột của các vector trong B1 ).
Công thức đổi tọa độ
[x ]B = PB →B .[x ]B .
1
1
2
2
3
VD 8. Trong ℝ , cho hai cơ sở B1 và B2 .
1 −1 2
1
Cho biết PB →B = 0 1
3 và v = 2 .
B1
2
1
0 0 −2
3
Tìm tọa độ của vector v trong cơ sở B2 ?
Chương 3. Không gian vector
VD 9. Tìm ma trận chuyển cơ sở PB →B trong VD 7.
1
2
Định lý
Trong kgvt V , cho 3 cơ sở B1 , B2 và B3 . Khi đó:
• PB →B = I n (i = 1,2, 3 );
i
(
PE →B = [u1 ] [u2 ]...[un ]
§4. KHÔNG GIAN SINH BỞI HỆ VECTOR
4.1. Định nghĩa
Trong kgvt V cho hệ gồm m vector S = {u1,…, um }.
Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S được gọi
là không gian con sinh bởi S .
Ký hiệu là: < S > hoặc spanS .
4.2. Hệ vector trong ℝ n
Trong kgvt ℝ n , xét hệ S = {u1, …, um } ta có:
m
< S > = x ∈ ℝ n x = ∑ λi ui , λi ∈ ℝ .
i =1
Gọi A là ma trận dòng m vector của S . Khi đó:
• dim < S > = r (A) và dim < S > ≤ n .
Chương 3. Không gian vector
§5. KHÔNG GIAN EUCLIDE
5.1. Định nghĩa
• Cho không gian vector V trên ℝ . Một quy luật cho
tương ứng cặp vector x , y bất kỳ thuộc V với số
thực duy nhất, ký hiệu x y (hay (x , y )), thỏa mãn:
1) x x ≥ 0 và x x = 0 ⇔ x = θ ;
2) x y = y x ;
3) (x + y ) z = x z + y z , ∀z ∈ V ;
4) λx y = λ x y , ∀λ ∈ ℝ
được gọi là tích vô hướng của x và y .
16
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 3. Không gian vector
• Không gian vector V hữu hạn chiều trên ℝ có tích
vô hướng như trên được gọi là không gian Euclide.
VD 1. Kgvt ℝ n có tích vô hướng thông thường:
x y = (x 1,..., x n ) (y1,..., yn ) = x 1y1 + ... + x n yn
là một không gian Euclide.
VD 2. Trong C [a; b ] – không gian các hàm số thực
liên tục trên [a; b ], ta xác định được tích vô hướng:
b
f g =
∫
f (x )g(x )dx .
a
Vậy C [a; b ] có tích vô hướng như trên là kg Euclide.
Chương 3. Không gian vector
5.2. Chuẩn của vector
a) Định nghĩa
• Trong không gian Euclide V , số thực
được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vector u .
Ký hiệu là u . Vậy, u =
• d (u, v ) = u − v được gọi là khoảng cách giữa u , v .
VD 3. Trong ℝ n cho vector u = (u1, u2 ,..., un ), ta có:
u =
f f =
∫
i =1
2
i
.
Chương 3. Không gian vector
VD 5. Trong ℝ n , bất đẳng thức Cauchy – Schwarz là:
n
∑x y
f 2 (x )dx .
i =1
a
b) Định lý
n
∑u
u u = u12 + u22 + ... + un2 =
b
f =
uu .
• Vector u được gọi là vector đơn vị nếu u = 1.
Chương 3. Không gian vector
VD 4. Trong không gian Euclide C [a; b ], ta có:
uu
i i
n
n
∑x . ∑y
≤
i =1
2
i
i =1
2
i
.
VD 6. Trong C [a; b ], bất đẳng thức Cauchy–Schwarz:
Trong kg Euclide V cho 2 vector u, v bất kỳ. Ta có:
• Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
u v ≤ u .v ;
• Bất đẳng thức tam giác
u − v ≤ u +v ≤ u + v .
b
b
∫
a
• Cơ sở {u1, u2 ,..., un } được gọi là cơ sở trực chuẩn
nếu cơ sở là trực giao và ui = 1, (i = 1,..., n ).
VD 7. Trong ℝ 2 , ta có:
• Hệ {(2; −1), (−3; −6)} là cơ sở trực giao;
2
2
2
2
• Hệ ; − , −
; − là cơ sở trực chuẩn.
2
2 2
2
b) Định lý
Mọi kg Euclide n chiều đều tồn tại cơ sở trực chuẩn.
Toán cao cấp A2 Đại học
b
f 2 (x )dx .
a
∫ g (x )dx .
2
a
5.3. Cơ sở trực chuẩn
a) Định nghĩa
Trong không gian Euclide n chiều V , ta định nghĩa:
• Hai vector u, v được gọi là trực giao nếu u v = 0 ;
Chương 3. Không gian vector
• Cơ sở {u1, u2 ,..., un } được gọi là cơ sở trực giao nếu
các vector của cơ sở là trực giao từng đôi một;
∫
f (x )g(x )dx ≤
Chương 3. Không gian vector
Thuật toán trực chuẩn hóa Gram – Schmidt
• Bước 1. Trong không gian Euclide n chiều V , chọn
cơ sở {u1, u2 ,..., un } bất kỳ.
• Bước 2. Xây dựng cơ sở trực giao {v1, v2 ,..., vn } :
Đặt v1 = u1 ;
u2 v1
v 2 = u2 −
v1 ;
2
v1
v3 = u3 −
…
…
…
…
u 3 v1
v1
…
2
…
v1 −
…
…
u 3 v2
…
v2
2
…
v2 ;
…
…
…
17
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 3. Không gian vector
n −1
vn = u n − ∑
i =1
u n vi
vi
2
vi .
• Bước 3. Xây dựng cơ sở trực chuẩn {w1, w 2 ,..., wn }
bằng việc chuẩn hóa các vector ở bước 2:
v
v
v
v
w1 = 1 ; w 2 = 2 ; w 3 = 3 ;...; wn = n .
v1
v2
v3
vn
VD 8. Trong ℝ 3 , hãy trực chuẩn hóa cơ sở:
F = {u1 = (1; 0; 0), u2 = (0; 1; 1), u 3 = (0; 1; −1)}.
Chương 3. Không gian vector
Định lý
Nếu {u1,..., un } là một cơ sở trực chuẩn của kg Euclide
n
n chiều V và u ∈ V thì: u = ∑ u ui ui .
i =1
3
VD 9. Trong ℝ , hãy trực chuẩn hóa cơ sở:
{u1 = (1; −1; 0), u2 = (0; 1; −1), u 3 = (1; 1; −1)} .
Tìm tọa độ của u = (1; 2; 3) trong cơ sở trực chuẩn đó.
VD 10. Trong ℝ 4 , cho hệ S gồm 3 vector:
{u1 =(1; 1; 0; 0), u2 =(1; 0; 1; 0), u 3 =(−1; 0; 0; 1)}.
Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian < S >.
…………………………………………………………………….
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
§1. Ánh xạ tuyến tính
§2. Trị riêng – Vector riêng
§3. Chéo hóa ma trận vuông
…………………………………………………………
§1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1.1. Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát
a) Định nghĩa
Cho X , Y là 2 kgvt trên ℝ . Ánh xạ T : X → Y được
gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu
thỏa mãn 2 điều kiện sau:
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Chú ý
• Đối với ánh xạ tuyến tính (viết tắt là AXTT),
ký hiệu T (x ) còn được viết là Tx .
• Hai điều kiện của định nghĩa tương đương với:
T (x + αy ) = Tx + αTy, ∀x , y ∈ X , ∀α ∈ ℝ .
• T (θX ) = θY . Trong đó θX , θY lần lượt là vector không
của X và Y .
1) T (αx ) = αT (x ), ∀x ∈ X , ∀α ∈ ℝ ;
VD 1. Cho ánh xạ T : ℝ 3 → ℝ 2 được định nghĩa:
T (x 1; x 2 ; x 3 ) = (x 1 − x 2 + x 3 ; 2x 1 + 3x 2 ).
2) T (x + y ) = T (x ) + T (y ), ∀x , y ∈ X .
Trong ℝ 3 , xét x = (x 1; x 2 ; x 3 ), y = (y1; y2 ; y 3 ).
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Với α ∈ ℝ tùy ý, ta có:
T (x + αy ) = T (x 1 + αy1; x 2 + αy2 ; x 3 + αy 3 )
= (x 1 + αy1 − x 2 − αy2 + x 3 + αy 3 ;
2x 1 + 2αy1 + 3x 2 + 3αy2 )
= (x 1 − x 2 + x 3 ; 2x 1 + 3x 2 )
+ α(y1 − y2 + y 3 ; 2y1 + 3y2 ) = Tx + αTy.
Vậy ánh xạ T là ánh xạ tuyến tính từ ℝ 3 vào ℝ 2 .
VD 2. Cho ánh xạ f : ℝ 2 → ℝ 2 xác định như sau:
f (x ; y ) = (x − y; 2 + 3y ).
Xét u = (1; 2), v = (0; −1) ta có:
Toán cao cấp A2 Đại học
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
f (u + v ) = f (1; 1) = (1 − 1; 2 + 3.1) = (0; 5)
f (u ) + f (v ) = (−1; 8) + (1; −1) = (0; 7)
⇒ f (u + v ) ≠ f (u ) + f (v ).
Vậy ánh xạ f không phải là AXTT từ ℝ 2 vào ℝ 2 .
VD 3. Các AXTT thường gặp trong mặt phẳng:
• Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox , Oy :
T (x ; y ) = (x ; 0), T (x ; y ) = (0; y ).
• Phép đối xứng qua trục Ox , Oy :
T (x ; y ) = (x ; −y ) , T (x ; y ) = (−x ; y ).
• Phép quay 1 góc ϕ quanh gốc tọa độ O :
T (x ; y ) = (x cos ϕ − y sin ϕ; x sin ϕ + y cos ϕ).
18
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
M•′
a cos ϕ − b sin ϕ
y
a sin ϕ + b cos ϕ
b
•M
ϕ
O
a
x
VD 4. Gọi C [a; b ] là tập hợp các hàm một biến số liên
tục trên [a; b ]. Trên C [a; b ], xác định phép toán cộng
hai hàm số và nhân vô hướng thì C [a; b ] là 1 kgvt.
Các phép lấy tích phân sau là ánh xạ tuyến tính:
a
T : C [a; b ] → C [a; b ], Tf =
∫ f (x )dx ;
a
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Tính chất
Cho ánh xạ tuyến tính T : X → Y , khi đó:
• KerT là không gian con của X ;
• ImT là không gian con của Y ;
• Nếu S là tập sinh của X thì T (S ) là tập sinh của Im T ;
• T là đơn ánh khi và chỉ khi KerT = {θX }.
Định lý
Cho ánh xạ tuyến tính T : X → Y , khi đó:
dim(KerT ) + dim(Im T ) = dim X .
Chú ý
• Từ đây về sau, ta chỉ xét loại AXTT f : ℝ n → ℝ m .
• Khi n = m , ta gọi f : ℝ n → ℝ n là phép biến đổi
tuyến tính (viết tắt là PBĐTT).
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Cụ thể là, nếu:
f (u ) = a v + a v + a v + ... + a v
11 1
21 2
31 3
m1 m
1
f (u ) = a v + a v + a v + ... + a v
2
12 1
22 2
32 3
m2 m
...........................................................
f (un ) = a1n v1 + a2n v2 + a 3n v 3 + ... + amn vm
a
11 a12 ... a1n
a
a22 ... a2n
21
B
thì [ f ]B2 = a 31 a 32 ... a 3n .
1
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m 1 am 2 ... amn
Toán cao cấp A2 Đại học
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
x
S : C [a; b ] → C [a; b ], Sf =
∫ f (t )dt, x ∈ [a; b ].
a
VD 5. Cho A ∈ M m,n ( ℝ), ta có:
TA : ℝ n → ℝ m , TAx = Ax là ánh xạ tuyến tính.
b) Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa
Cho ánh xạ tuyến tính T : X → Y .
• Tập {x ∈ X : Tx = θY } được gọi là nhân của T .
Ký hiệu là KerT . Vậy KerT = {x ∈ X : Tx = θY }.
• Tập T (X ) = {Tx : x ∈ X } được gọi là ảnh của T .
Ký hiệu là RangeT hoặc ImT .
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
1.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
a) Định nghĩa
Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ n → ℝ m và hai cơ sở của
ℝ n , ℝ m lần lượt là:
B1 = {u1, u2 ,…, un } và B2 = {v1, v2 ,…, vm } .
(
Ma trận A ∈ M m,n ( ℝ): f (u1 ) f (u2 ) ... f (un )
B2
B2
B2
)
được gọi là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B1, B2 .
B
Ký hiệu là: [ f ]B2 hoặc viết đơn giản là A.
1
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Trường hợp đặc biệt
Cho PBĐTT f : ℝ n → ℝ n và cơ sở B = {u1,…, un } .
Ma trận vuông A cấp n : f (u1 ) f (u2 ) ... f (un )
B
B
B
được gọi là ma trận của PBĐTT f trong cơ sở B .
Ký hiệu là: [ f ]B hoặc [ f ] hoặc viết đơn giản là A .
Chú ý
Nếu A là ma trận của AXTT f : ℝ n → ℝ m trong cặp
cơ sở chính tắc En , E m thì f (x ) = Ax , x ∈ ℝ n .
(
)
VD 6. Cho AXTT f : ℝ 4 → ℝ 3 xác định như sau:
f (x ; y; z ; t ) = (3x + y − z ; x − 2y + t ; y + 3z − 2t ).
E
Tìm ma trận A = [ f ]E3 ? Kiểm tra f (v ) = Av, v ∈ ℝ 4 ?
4
19
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
VD 7. Cho AXTT f : ℝ → ℝ xác định như sau:
f (x ; y ) = (3x ; x − 2y; −5y ) .
2
3
VD 8. Cho PBĐTT f : ℝ 3 → ℝ 3 xác định như sau:
f (x ; y; z ) = (3x + y − z ; x − 2y; y + 3z ).
Tìm ma trận [ f ]E ?
E
Tìm ma trận [ f ]E3 ?
3
2
3 0
A. 1 −2;
0 −5
3 0
B. 1 −2;
1 −5
3 1
0
;
C.
0 −2 −5
3 1
1
.
D.
0 −2 −5
3 1 −1
A. 1 −2 0 ;
1 −1 3
3
1 −1
B. 1 −2 1 ;
3
−1 0
3 1 −1
C. 1 −2 0 ;
3
0 1
3
1 0
D. 1 −2 1.
−1 0 3
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
VD 9. Cho PBĐTT f : ℝ 2 → ℝ 2 có biểu thức:
f (x ; y ) = (2x − y; 3y ).
VD 12. Cho AXTT f : ℝ → ℝ có f
E2
B2
Tìm ma trận f , biết hai cơ sở:
2
Hãy tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc E và
cơ sở B = {u1 = (1; 2), u2 = (−1; 3)} ?
VD 10. Cho PBĐTT f : ℝ 2 → ℝ 2 có ma trận của f
đối với cơ sở F = {u1 = (1; 0), u2 = (1; 1)} là
1 2
A =
. Hãy tìm biểu thức của f ?
3 4
VD 11. Cho PBĐTT f : ℝ 2 → ℝ 2 . Biết rằng:
f (1; 2) = (−4; 3) và f (3; 4) = (−6; 7). Hãy tìm [ f ]E ?
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
E3
3
B1
1 −3
= 0 2 .
4 3
B1 = {u1 = (1; 1), u2 = (1; 2)} và
B2 = {v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 0; 0)}.
b) Định lý
B′
B′
1
2
Nếu AXTT f : ℝ n → ℝ m có f = A1 , f = A2
B1
B2
−1
và P = P
, P ′ = P ′ ′ thì: A2 = (P ′) .A1.P .
B1 →B2
B1 →B2
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Đặc biệt
Nếu PBĐTT f : ℝ n → ℝ n có [ f ]B = A , [ f ]B = B
VD 13. Cho PBĐTT f (x ; y ) = (x + y; x − 2y ).
và P = PB →B thì: B = P .A.P .
VD 14. Cho PBĐTT f : ℝ 3 → ℝ 3 có biểu thức:
f (x ; y; z ) = (x + y + z ; x − y + z ; x + y − z ).
1
2
–1
1
2
P′
B 1′
f = A
B1
1
B 2′
A2 = f
B2
P
A2 = (P ′)− 1 A1P
Toán cao cấp A2 Đại học
Tìm [ f ]B , với cơ sở B = {(2; 1), (1; −1)} ?
Tìm [ f ]F , với F = {(2; 1; 0), (1; 0; 1), (−1; 0; 1)} ?
VD 15. Cho AXTT f : ℝ 3 → ℝ 2 có biểu thức:
f (x ; y; z ) = (x + y − z ; x − y + z ).
Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở:
B = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)}
và B ′ = {(2; 1), (1; 1)} ?
20
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
c) Thuật toán tìm ma trận của AXTT
Cho AXTT f : ℝ n → ℝ m và hai cơ sở lần lượt là:
B1 = {u1, u2 ,…, un } và B2 = {v1, v2 ,…, vm }.
• Bước 1. Tìm các ma trận:
S = [v1 ]E [v2 ]E ...[vm ]E
(
m
m
m
)
(ma trận cột các vector của B2 ),
(
)
Q = [ f (u1 )]E [ f (u2 )]E ...[ f (un )]E .
n
n
n
(
• Bước 2. Dùng PBĐSC dòng đưa ma trận S Q
(
B
)
)
về dạng I [ f ]B2 .
1
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
d) Hạng của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa
Hạng của AXTT f : ℝ n → ℝ m là số chiều của không
gian ảnh của nó. Nghĩa là: r ( f ) = dim(Im f ).
Định lý. Hạng của AXTT bằng hạng ma trận của nó.
VD 19. Cho PBĐTT f : ℝ 2 → ℝ 2 có ma trận trong
1 2
cơ sở F là A =
. Vậy r ( f ) = r (A) = 1.
2
4
VD 20. Cho AXTT f : ℝ 3 → ℝ 2 có ma trận trong cặp
1 1 0
′
cơ sở B, B ′ là [ f ]BB =
. Vậy r ( f ) = 2 .
2 0 1
…………………………………………………………………….
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Định lý
Hai ma trận vuông cùng biểu diễn một PBĐTT (trong
hai cơ sở tương ứng) thì đồng dạng với nhau.
2.2. Đa thức đặc trưng
Định nghĩa
• Cho A ∈ M n (ℝ). Đa thức bậc n của λ :
PA (λ) = det(A − λI n )
được gọi là đa thức đặc trưng (characteristic
polynomial) của A và phương trình PA(λ) = 0 được
gọi là phương trình đặc trưng của A .
Toán cao cấp A2 Đại học
VD 16. Cho PBĐTT f (x ; y ) = (x + y; x − 2y ) .
Dùng thuật toán tìm [ f ]B , với B = {(2; 1), (1; −1)} ?
VD 17. Cho AXTT f : ℝ 3 → ℝ 2 có biểu thức:
f (x ; y; z ) = (x + y − z ; x − y + z ).
Dùng thuật toán tìm ma trận của f trong cặp cơ sở:
B = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)}
và B ′ = {(2; 1), (1; 1)} ?
VD 18. Cho AXTT f (x ; y ) = (x + y; y − x ; x ) và
cặp cơ sở: A = {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)} ,
B = {(1; −2), (3; 4)}. Dùng thuật toán, tìm [ f ]AB ?
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
§2. TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG
2.1. Ma trận đồng dạng
Định nghĩa
Hai ma trận vuông A, B cấp n được gọi là đồng dạng
với nhau nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa:
B = P –1AP .
1 0
−1 0
VD 1. A =
và
B
=
0 1 là đồng dạng với
6 −1
0 1
−1
nhau vì có P =
khả nghịch thỏa B = P AP .
1
3
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
• Cho PBĐTT f : ℝ n → ℝ n . Đa thức bậc n của λ :
Pf (λ) = det(A − λI n )
được gọi là đa thức đặc trưng của f ( A là ma trận
biểu diễn f trong một cơ sở nào đó) và Pf (λ) = 0
được gọi là phương trình đặc trưng của f .
1 2
VD 2. Cho ma trận A =
, ta có:
3
4
1−λ
2
2
PA (λ) =
= λ − 5λ − 2 .
3
4 −λ
Định lý
Hai ma trận đồng dạng thì có cùng đa thức đặc trưng.
21
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
VD 3. Cho PBĐTT f (x ; y; z ) = (x − y; y − z ; z − x ).
Hãy tìm phương trình đặc trưng của f ?
Chú ý
Từ đây về sau, ta gọi đa thức (phương trình) đặc
trưng chung cho PBĐTT f và ma trận A biểu diễn f .
2.3. Trị riêng, vector riêng
a) Trị riêng, vector riêng của PBĐTT
Định nghĩa
Cho PBĐTT f : ℝ n → ℝ n .
• Số λ ∈ ℝ được gọi là trị riêng (eigenvalue) của f
nếu tồn tại vector x ∈ ℝ n , x ≠ θ : f (x ) = λx (1).
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
• Vector x ≠ θ thỏa (1) được gọi là vector riêng
(eigenvector) của f ứng với trị riêng λ .
VD 4. Cho PBĐTT f (x 1; x 2 ) = (4x 1 − 2x 2 ; x 1 + x 2 ).
Xét số λ = 3 và vector x = (2; 1), ta có:
f (x ) = f (2; 1) = (6; 3) = 3(2; 1) = λx .
Vậy x = (2; 1) là vector riêng ứng với trị riêng λ = 3 .
b) Trị riêng, vector riêng của ma trận
Định nghĩa
Cho ma trận vuông A ∈ M n (ℝ).
• Số λ ∈ ℝ được gọi là trị riêng của A nếu tồn tại
vector x ∈ ℝ n , x ≠ θ : A[x ] = λ[x ] (2).
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
• Vector x ≠ θ thỏa (2) được gọi là vector riêng của A
ứng với trị riêng λ .
Định lý
• Số thực λ là trị riêng của PBĐTT f khi và chỉ khi λ
là trị riêng của ma trận A biểu diễn f trong một cơ
sở B nào đó.
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Nhận xét
A[x ] = λ[x ] ⇔ (A − λI n )[x ] = [θ ] (3).
Để x ≠ θ là vector riêng của A thì (3) phải có
nghiệm không tầm thường. Suy ra det(A − λI n ) = 0 .
Vậy λ là nghiệm của phương trình đặc trưng.
Phương pháp tìm trị riêng và vector riêng
• Vector x ∈ ℝ n \ {θ} là vector riêng của f ứng với λ
khi và chỉ khi [x ]B là vector riêng của A ứng với λ .
• Bước 1. Giải phương trình đặc trưng A − λI = 0 để
tìm giá trị riêng λ .
• Các vector riêng của f (hay A) ứng với trị riêng khác
nhau thì độc lập tuyến tính.
• Bước 2. Giải hệ phương trình (A − λI )[x ] = [θ ],
nghiệm không tầm thường là vector riêng.
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
VD 5. Cho PBĐTT f : ℝ → ℝ có ma trận biểu diễn
4 − 2
là A =
. Tìm trị riêng và vector riêng của f ?
1 1
2
2
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
2.4. Không gian con riêng
Định lý
Cho PBĐTT f : ℝ n → ℝ n . Tập hợp tất cả các vector
x ∈ ℝ n thỏa f (x ) = λx , λ ∈ ℝ (kể cả vector không)
là một không gian con của ℝ n . Ký hiệu là E (λ).
0 0 1
VD 6. Cho ma trận A = 0 1 0.
1 0 0
Tìm trị riêng và vector riêng của A ?
Toán cao cấp A2 Đại học
Định nghĩa
{
Không gian con E (λ) = x ∈ ℝ n f (x ) = λx
} được
gọi là không gian con riêng (eigenvector space) của
ℝ n ứng với trị riêng λ .
22
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Chú ý
• Các nghiệm cơ bản đltt của hệ phương trình thuần
nhất (A − λI )[x ] = [θ ] tạo thành 1 cơ sở của E (λ).
• Số chiều của không gian con riêng là:
dim E (λ) = n − r (A − λI ).
• Nếu λ là nghiệm bội k của phương trình đặc trưng
dim E (λ) ≤ k .
thì:
VD 7. Xét tiếp VD 6, ta có:
• Nghiệm cơ bản của (A − λ1I )[x ] = [θ ] là (1; 0; −1)
nên E (−1) = (1; 0; −1) và dim E (−1) = 1.
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
1
3
3
VD 10. Cho ma trận D = −3 −5 −3.
3
1
3
Tìm trị riêng, dạng vector riêng tương ứng và cơ sở
của các không gian con riêng của D ?
2.5. Định lý Cayley – Hamilton
Nếu PBĐTT f : ℝ n → ℝ n có ma trận biểu diễn là A
và đa thức đặc trưng là Pf (λ) thì:
Pf (A) = (0ij )n .
Wednesday, March 02, 2011
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
• E (1) = (1; 0; 1), (0; 1; 0) và dim E (1) = 2 .
2
4
3
VD 8. Cho ma trận B = −4 −6 −3.
3
1
3
Tìm số chiều của các không gian con riêng ứng với
các giá trị riêng của B ?
3 1 −1
VD 9. Cho ma trận C = 2 2 −1.
2 2 0
Tìm một cơ sở của các không gian con riêng ứng với
các giá trị riêng của C ?
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
VD 11. Cho PBĐTT f : ℝ 2 → ℝ 2 có ma trận biểu
4 −2
2
diễn là A =
và Pf (λ) = λ − 5λ + 6 .
1
1
4 −2
4 −2
0 0
Ta có: Pf (A) =
− 5
+ 6I 2 =
.
1
1
1
1
0
0
7 0 3
VD 12. Cho ma trận A = 0 2 0. Tính det B ?
3 0 1
Trong đó, B = A7 − 10A6 + 14A5 + 4A4 + 8I 3 .
2
…………………………………………………………………
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
§3. CHÉO HÓA MA TRẬN VUÔNG
Trong bài này, ta xét A ∈ M n (ℝ) là ma trận biểu diễn
PBĐTT f : ℝ n → ℝ n trong cơ sở B nào đó của ℝ n .
3.1. Ma trận chéo hóa được
Định nghĩa
Ma trận A ∈ M n (ℝ) được gọi là chéo hóa được nếu
A đồng dạng với ma trận đường chéo D .
−1
Nghĩa là tồn tại P khả nghịch, thỏa: P AP = D.
0 0 0
VD 1. Ma trận A = 0 1 0 là chéo hóa được, vì:
1 0 1
Toán cao cấp A2 Đại học
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
1 0 0
0 0 0
có P = 0 1 0 thỏa: P −1AP = 0 1 0.
−1 0 1
0 0 1
3.2. Điều kiện ma trận chéo hóa được
Định lý 1
Ma trận A ∈ M n (ℝ) là chéo hóa được khi và chỉ khi
ℝ n có một cơ sở gồm n vector riêng của A .
Hệ quả
Nếu ma trận A ∈ M n (ℝ) có n trị riêng phân biệt thì
chéo hóa được.
23
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Định lý 2
Cho ma trận A ∈ M n (ℝ) có k trị riêng λi i = 1, k
(
)
phân biệt và ni = dim E (λi ).
Khi đó, ba điều sau đây là tương đương:
1) Ma trận A chéo hóa được;
2) Đa thức đặc trưng của A có dạng:
n
n
n
PA (λ) = (λ − λ1 ) 1 (λ − λ2 ) 2 ...(λ − λk ) k ;
3) n1 + n2 + ... + nk = n .
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
• Vậy P là ma trận có các cột là các vector riêng đltt
của A. Ma trận chéo D gồm các trị riêng tương ứng
với các vector riêng trong ma trận P .
1
3
3
VD 2. Ma trận A = −3 −5 −3 có 2 trị riêng là:
3
1
3
λ1 = −2 , λ2 = 1 .
• Ứng với λ1 = −2 có 2 vector riêng đltt là:
u1 = (1; 0; −1), u2 = (0; 1; −1).
• Ứng với λ2 = 1 có 1 vector riêng là u 3 = (1; −1; 1).
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
VD 3. Tiếp VD 2, ta có:
10
0
0
1 2
1
10
A = 0
1 −1 0 210
0
−1 −1 1 0
3.3. Ma trận làm chéo hóa
• Cho ma trận A ∈ M n (ℝ) chéo hóa được. Khi đó, tồn
tại ma trận P khả nghịch thỏa P −1AP = D .
λ1 0 ... 0
0 λ ... 0
2
= diag(λ1, λ2 ,..., λn ).
Trong đó, D =
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 ... λn
• Xét ma trận P = ([u1 ] [u2 ]...[un ]), ta có:
P −1AP = D ⇒ AP = PD
⇒ A[ui ] = [ui ]D ⇒ A[ui ] = λi [ui ] (i = 1,2,..., n ).
Suy ra λi là trị riêng và ui là vector riêng của A.
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
1
−2 0 0
0
1
Vậy P = 0
1 −1 và D = 0 −2 0.
0 1
−1 −1 1
0
Nhận xét
P −1AP = D ⇒ A = PDP −1
⇒ A2 = (PDP −1 )(PDP −1 ) = PD 2P −1
⇒ Ak = PD k P −1 = P .[diag(λ1,..., λn )]k .P −1 .
k
k
k
−1
Vậy A = P .diag(λ1 ,..., λn ).P .
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
3.4. Thuật toán chéo hóa ma trận vuông A cấp n
0 0 −1 −1
0 1 2
1
11 1
1
1
−1023 −1023
= 1023
2047
1023 .
1
−1023 −1023
Bước 1. Giải A − λI = 0 tìm trị riêng thực của A .
• Trường hợp A không có trị riêng thực nào thì ta kết
luận A không chéo hóa được.
• Trường hợp A có n trị riêng phân biệt thì A chéo
hóa được. Ta làm tiếp bước 3 (bỏ qua bước 2).
• Trường hợp A có k trị riêng phân biệt λi (i = 1,..., k )
với số bội tương ứng ni thì nếu:
n1 + n2 + ... + nk < n ⇒ A không chéo hóa được.
n1 + n 2 + ... + nk = n , ta làm tiếp bước 2.
Toán cao cấp A2 Đại học
24
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, March 02, 2011
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
Bước 2. Với mỗi λi ta tìm r (A − λi I ) = ri .
Suy ra dim E (λi ) = n − ri .
• Nếu có một λi mà dim E (λi ) < ni thì ta kết luận A
không chéo hóa được.
• Nếu dim E (λi ) = ni với mọi λi thì A chéo hóa được.
3 1 −1
VD 4. Ma trận A = 2 2 −1 có trị riêng bội hai là
2 2 0
λ = 2 (xem VD 9, §2, chương 4).
Do dim E (2) = 1 < 2 nên A không chéo hóa được.
Ta làm tiếp bước 3.
Bước 3. Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở
của E (λi ). Khi đó, P −1AP = D với D là ma trận
chéo có các phần tử trên đường chéo chính lần lượt
là λi (mỗi λi xuất hiện liên tiếp ni lần).
Chương 4. Ánh xạ tuyế
tuyến tính
3 0
2010
VD 7. Cho ma trận A =
. Tính A .
8
−
1
4
2 −1
VD 8. Chéo hóa ma trận A = −6 −4 3 .
−6 −6 5
…………………………………………………………………………………
Chương 5. Dạng song tuyế
tuyến tính – Toà
Toàn phương
D. A, B và C.
§1. Khái niệm cơ bản
§2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
§3. Luật quán tính
Xác định dấu của dạng toàn phương
§4. Rút gọn Conic – Quadratic
……………………………………………………………………………
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Dạng song tuyến tính
Định nghĩa 1
f : ℝn × ℝ n → ℝ
• Ánh xạ
(x , y ) ֏ f (x , y )
được gọi là một dạng song tuyến tính nếu f tuyến
tính theo từng biến x , y .
Chương 5. Dạng song tuyế
tuyến tính – Toà
Toàn phương
n
n
i =1 j =1
3) f (αx , y ) = α f (x , y );
• Ma trận A = (ai j )n được gọi là ma trận của dạng song
4) f (x , αy ) = α f (x , y ), ∀x , y, z ∈ ℝn , ∀α ∈ ℝ .
• Xét một cơ sở B = {u1, u2 ,..., un } của ℝ n . Với hai
n
n
i =1
j =1
vector bất kỳ x , y ∈ ℝn , x = ∑ ui x i , y = ∑ u j y j
ta có f (x , y ) = ∑ ∑ f (ui , u j )x i y j .
Toán cao cấp A2 Đại học
C. C và A;
f (x , y ) = ∑ ∑ ai j x i y j (1).
2) f (x , y + z ) = f (x , y ) + f (x , z );
i =1 j =1
B. B và C;
Đặt aij = f (ui , u j ) ta được:
Nghĩa là:
1) f (x + y, z ) = f (x , z ) + f (y, z );
n
A. A và B;
Chương 5. Dạng song tuyế
tuyến tính – Toà
Toàn phương
1 0
VD 6. Chéo hóa (nếu được) ma trận A =
.
6
−
1
n
VD 5. Ma trận nào sau đây chéo hóa được:
1 0
1 −3
1 3
A =
, B =
, C =
.
2 3
2 5
1 −1
tuyến tính f trong cơ sở B . Ký hiệu là A = [ f ]B .
Khi đó, dạng song tuyến tính f còn được viết dưới
T
dạng ma trận: f (x , y ) = [x ]B A[y ]B (2).
Chú ý
• Nếu cơ sở không được chỉ rõ thì ta ngầm hiểu đó là
cơ sở chính tắc E trong ℝ n .
• Dạng song tuyến tính thường được cho ở dạng (1).
25
