Đường thẳng trong tọa độ mặt phẳng

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu
sắc tới thầy giáo Bùi Văn Bình đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt
thời gian thực hiện khóa luận.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong khoa
Giáo dục Tiểu học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp em hoàn thành
khóa luận này
Qua đây em cũng xin cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên
động viên, giúp đỡ trong quá trình thực hiện khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Lê Thị Hồng Phấn

1


LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện, khóa luận được hoàn thành
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Bùi Văn Bình. Trong khi thực hiện khóa
luận tôi đã sử dụng và tham khảo các kết quả của các nhà khoa học với lòng
biết ơn và trân trọng. Tôi xin cam đoan khóa luận “Đường thẳng trong mặt
phẳng tọa độ” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi.
Các kết quả trong khóa luận này không trùng lặp với bất kì kết quả nào
khác và chưa từng được ai công bố trước đây.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Lê Thị Hồng Phấn

2


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1
NỘI DUNG ................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG .......................................................... 3
§1. Khái quát chung về hệ trục tọa độ trong mặt phẳng ............................ 3
§2. Phương trình tổng quát của đường thẳng ............................................. 4
1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng............................................................. 4
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng .................................................... 4
3. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc ................................................... 5
4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng .......................................................... 6
5. Sự đối xứng ................................................................................................ 7
§3. Phương trình tham số của đường thẳng................................................ 9
1. Phương trình tham số của đường thẳng ...................................................... 9
2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng ............................................................ 9
§4. Khoảng cách và góc .............................................................................. 10
1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng ........................................ 10
2. Góc giữa hai đường thẳng ........................................................................ 12
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG
CAO ............................................................................................................ 14
§1. Một số dạng bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng ................ 14
§2. Một số dạng bài tập cơ bản về vị trí tương đối của hai đường
thẳng ........................................................................................................... 19
§3. Một số dạng bài tập cơ bản về khoảng cách và góc ............................ 22
§4. Một số bài tập tổng hợp và nâng cao .................................................. 28
KẾT LUẬN ................................................................................................. 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 47

3


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hình học là phân môn có tính hệ thống chặt chẽ, tính logic và trừu
tượng hóa cao hơn so với các phân môn khác của Toán học. Có thể nói Hình
học là phân môn thú vị nhưng tương đối khó với nhiều học sinh.
“Đường thẳng” là một thuật ngữ được nói tới thường xuyên trong Toán
học, có rất nhiều bài toán đa dạng và phong phú liên quan đến đường thẳng và
có nhiều cách giải khác nhau như: phương pháp tổng hợp, phương pháp
vectơ, phương pháp tọa độ, . . .Tuy nhiên khi giải bài toán về đường thẳng
bằng phương pháp tọa độ thì học sinh sẽ thấy được quan hệ giữa đại số và
hình học, học sinh có thể viết được phương trình đường thẳng từ đó dễ dàng
thấy được các tính chất và quan hệ giữa các đường thẳng. Ngoài ra học sinh
có thể vận dụng các biểu thức tọa độ vào việc tính khoảng cách và tính góc
cũng rất đơn giản. Từ đó phát triển tư duy toàn diện cho học sinh khi đứng
trước một bài toán, hình thành cho các em tư duy đúng đắn và phù hợp.
Chính vì vậy bắt nguồn từ lòng say mê của bản thân và được sự giúp đỡ
tận tình của thầy giáo Bùi Văn Bình em đã chọn đề tài “Đường thẳng trong
mặt phẳng tọa độ” làm khóa luận đại học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Qua việc tổng kết lí thuyết, các dạng toán và các ví dụ tham khảo
mẫu,... sẽ giúp các em hiểu rõ và nắm chắc hơn về các kiến thức liên quan đến
đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ và có thể giải tốt tất cả các bài toán ở các
dạng khác nhau.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu đề tài

- Nghiên cứu cơ sở lí thuyết về đường trong mặt phẳng tọa độ.
- Hệ thống các dạng bài tập về đường thẳng trong măt phẳng tọa độ.

4


4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tóm tắt một số kiến thức cơ bản có liên quan đến phương trình
đường thẳng mà học sinh đã học.
- Thông qua các bài tập ở một số dạng toán cơ bản để thấy được tầm
quan trọng của việc giải các bài toán liên quan đến đường thẳng trong mặt
phẳng tọa độ ở phổ thông.
- Hệ thống các bài tập tổng hợp và nâng cao liên quan đến đường
thẳng trong mặt phẳng tọa độ để các em có cái nhìn tổng quát hơn từ đó giúp
các em có thể giải được nhiều dạng bài tập khác nhau.
5. Các phương pháp chính
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu lý luận
- Phương pháp quan sát
- Phương pháp điều tra
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
6. Cấu trúc khóa luận
Phần 1: Lời nói đầu
Phần 2: Nội dung
Chương 1: Lý thuyết chung
Chương 2: Các dạng bài tập cơ bản và nâng cao
Phần 3: Kết luận

5

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT CHUNG

§1. Khái quát chung về hệ trục tọa độ trong mặt phẳng
1. Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng cho hai trục x’Ox, y’Ox vuông góc với nhau tại điểm

O. Gọi i, j là các vectơ đơn vị tương ứng trên các
y
trục x’Ox, y’Oy.


j

Hệ hai trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac
vuông góc Oxy hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxy.

O

x

- Trục x’Ox gọi là trục hoành.


i

x

y

- Trục y’Oy gọi là trục tung.
- Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ.
Tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ

Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxy và một vectơ tùy ý v . Khi đó luôn tồn
 

y
tại duy nhất cặp số x, y sao cho: v  xi  y j .

Cặp (x; y) được gọi là tọa độ của vectơ v , kí


hiệu là v (x; y). Số x được gọi là hoành độ, số y được

gọi là tung độ của vectơ v .

v ( x; y )

y
O

x

Các tính chất:



Cho hệ tọa độ Oxy , nếu có hai vectơ v1 ( x1; y1 ) và v 2 ( x2 ; y2 ) thì:

 
(i ) : v1  v2  ( x1  x2 ; y1  y2 )
 
(ii ) : v1  v2  ( x1  x2 ; y1  y2 )

(iii ) : kv1 ( x1 ; y1 )  (kx1; ky1 ), k  R.

6

x


2. Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ
Định nghĩa:
Cho hệ tọa độ Oxy và một điểm M bất kì. Tọa

y’


độ của vectơ OM cũng được gọi là tọa độ của điểm M


đối với hệ tọa độ đó. Như vậy, nếu OM ( x; y ) nghĩa là:
 

OM  xi  y j thì cặp (x; y) được gọi là tọa độ của

M’’
y

r

O

x

M(x; y)

M’
x

điểm M, kí hiệu là M(x; y).
Số x được gọi là hoành độ, số y được gọi là tung độ của điểm M.
Tính chất: Cho hệ tọa độ Oxy, với hai điểm M1(x1; y1), M2(x2; y2) thì:

M1M 2  ( x2  x1; y2  y1 )
Bán kính vectơ: Mỗi điểm M(x; y) ≡ M(r) có thể cho bằng bán kính
 

vectơ của nó: r  xi  y j   x; y
 
Vectơ r  OM xác định phép biến đổi tịnh tiến, chuyển điểm từ gốc
tọa độ O vào điểm M.

§2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ n  0 , có giá vuông góc với đường thẳng ∆ gọi là
vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
- Hai đường thẳng song song với nhau cùng chung vectơ pháp tuyến.
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

- Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0,
n  (a; b) là một vectơ pháp tuyến ( a 2  b 2  0) .

7


 Đặc biệt:
Khi b = 0 thì đường thẳng ax + c = 0 song song hoặc trùng với Oy.
Khi a = 0 thì đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với Ox.
Khi c = 0 thì đường thẳng ax + by = 0 đi qua gốc tọa độ O(0; 0).
Chú ý
- Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M  x0 ; y 0  và vectơ pháp
tuyến n = (a; b) là a(x - x0 ) + b(y - y0 ) = 0
- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A(a; 0), B( 0; b )
có dạng

x y
  1 là phương trình theo đoạn chắn.
a b

3. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc
Định nghĩa:
Gọi  là góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và đường thẳng ∆ (góc
xuất phát từ chiều dương trục Ox quay theo một chiều nhất định đến gặp
đường thẳng ∆ lần đầu tiên), ta định nghĩa k  tan  là hệ số góc của đường
thẳng ∆.
Theo định nghĩa nêu trên nếu ∆ song song hoặc trùng với Ox thì không
tồn tại hệ số góc của đường thẳng ∆.
Phương trình đường thẳng qua một điểm và có hệ số góc:
Phương trình đường thẳng đi qua M  x0 ; y0  và có hệ số góc k có dạng:

y - y0 = k(x - x0 )
Đặc biệt: khi d  Ox thì phương trình d có dạng: x  x 0
Tính chất:


a
- Nếu d có vectơ chỉ phương a  a1; a2  thì d có hệ số góc k  2 , với
a1
a1  0.

8


Ngược lại, nếu d có hệ số góc k thì d có một vectơ chỉ phương là


a 1; k 

- Nếu d có vectơ pháp tuyến n  n1; n2  thì d có hệ số góc
k 

n1
, n2  0 .
n2

Ngược lại, nếu d có hệ số góc k thì d có một vectơ pháp tuyến là


n  k ; 1
- Nếu d   thì kd  k .

- Nếu d   thì kd .k  1 .
Chú ý
- Khi sử dụng hệ số góc để viết phương trình một đường thẳng ta cần
phải xét hai trường hợp: đường thẳng đó vuông góc với Ox và đường thẳng
đó không vuông góc với Ox.
- Nếu phương trình đường thẳng d :   x  x0     y  y0   0 với
  0 sẽ trở thành: y  y0  



 x  x0  thì tỉ số k   chính là hệ số góc



của đường thẳng d, do đó ta có thể nói phương trình đường thẳng dạng:

y  y0  k  x  x0  là trường hợp đặc biệt của phương trình đường thẳng dạng:

  x  x0     y  y0   0 .
4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1: a1 x  b1 y  c1  0 và d2: a2 x  b2 y  c2  0
Đặt: D 

a1

b1

a2 b2

 0 ; Dx 

b1

c1

b2

c2

; Dy 

9

c1

a1

c2

a2

.


Khi đó ta có bảng sau:

Vị trí tương
đối của d1 và

Kết luận theo tỉ số

Kết luận theo định thức

d2

D

a1

b1

a2 b2

 0 . Khi đó toạ độ

giao điểm là:
Dx

x


D
với

 y  Dy

D

a1 b1


a2 b2

Cắt nhau

và Dy 
Song

Dx 

c1

a1

c2

a2

b1

c1

b2

c2

a1 b1 c1
D = 0 và  Dx  0 hay Dy  0 
 
a2 b2 c2
 

góc n  n  a .a  b .b  0
1
2
1 2
1 2

song

nhau
Vuông
nhau

Trùng nhau

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

D = Dx = Dy = 0

5. Sự đối xứng
- Điểm M’ đối xứng của M qua đường thẳng d
 Cách 1: Viết phương trình đường thẳng d’ qua M và vuông góc với d,
tìm giao điểm H của d và d’, do H là trung điểm của MM’, từ đó suy ra toạ độ
của M’.

10


 Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d’ qua M và

vuông góc với d, xác định tham số tH của giao điểm H giữa d và d’, do


MM '  2.MH nên tM = 2tH, từ đó suy ra toạ độ M’.
 Cách 3: Lấy một điểm H có toạ độ phụ thuộc tham số trên đường
 
d, diễn tả điều kiện MH .ad  0 , suy ra toạ độ điểm H, từ đó tính toạ độ
của điểm M’.
- Đường thẳng d’ đối xứng của đường thẳng d qua điểm M
 Cách 1: Lấy hai điểm N, K có toạ độ tùy ý trên đường thẳng d, tìm
toạ độ hai điểm đối xứng N’ và K’ của chúng qua M, đường thẳng d’ chính là
đường thẳng đi qua hai điểm N’ và K’.
 Cách 2: Lấy điểm N có toạ độ tùy ý trên đường thẳng d, tìm toạ độ
điểm đối xứng của N qua M, đường thẳng d’ chính là đường thẳng qua N’ và
song song với d.
 Cách 3: Viết dạng phương trình đường thẳng d’: ax + by + m = 0
song song với d: ax + by + c = 0, sau đó diễn tả điều kiện





: d M , d '  d  M , d  để tính m, suy ra kết quả.
- Đường thẳng d’ đối xứng của đường thẳng d qua đường thẳng 
 Cách giải: Tìm giao điểm I của d và  , lấy M có toạ độ tùy ý trên d
với M  I, tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua  , đường thẳng d’ chính
là đường thẳng qua hai điểm I và M’.
Đặc biệt: Khi d và  song song nhau, thì đường thẳng d’ là đường
thẳng qua M’ và song song với d.

11


§3. Phương trình tham số của đường thẳng
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ n  0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ được gọi là
vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Chú ý:
- Hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng chung vectơ chỉ
phương.
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vectơ chỉ phương của
đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.
- Nếu có vectơ chỉ phương của một đường thẳng là u (a; b) thì vectơ
pháp tuyến của nó là n (-b; a).
- Nếu một đường thẳng có hệ số góc là k thì có vectơ chỉ phương là
u (1; k).

2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0) và nhận vec tơ

(a; b) làm vectơ chỉ

 x  x0  at
phương có phương trình tham số 
 y  y0  bt

- Phương trình chính tắc của đường thẳng: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy, đường thẳng đi qua điểm M(x0 ; y0) và nhận vectơ u (a; b ) (a và b ≠0)
làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc:

x  x0 y  y0

a
b

Chú ý
- Từ phương trình tham số nếu ta sử dụng phương pháp cộng đại số để
khử mất tham số t thì ta được phương trình tổng quát.

12


- Ngược lại, từ phương trình tổng quát, ta chọn một điểm trên đường
thẳng và chỉ ra vectơ chỉ phương thì có thể lập được phương trình tham số của
đường thẳng đó.
- Từ phương trình chính tắc, ta nhân chéo hai vế và rút gọn thì được
phương trình tổng quát.
- Phương trình chính tắc:

x  x0 y  y0
a

 y  y0  2  x  x0  ,
a1
a2
a1

hsg k

( hsg: hệ số góc)
- Có thể sử dụng hệ phương trình theo tham số của hai đường thẳng và
tùy theo hệ này vô nghiệm hay có một nghiệm duy nhất hay có vô số nghiệm
mà hai đường thẳng này song song nhau hay cắt nhau hay trùng nhau.
-

- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A  x1 ; y1  ,
B  x2 ; y 2  có dạng

xx

1

x2  x1



y  y1
y2  y1

§4. Khoảng cách và góc
1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm M(x0; y0) tới đường thẳng ∆ : ax + by+c =0
được tính theo công thức:
d(M; ∆) =

ax 0  by0  c
a 2  b2

Chú ý

- Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng.
Cho hai điểm M(xM; yM) và N(xN; yN) và đường thẳng ∆: ax + by+c =0

13


Khi đó: Đặt f=(axM + byM+c )( axN+ byN+c) thì:
 M và N nằm cùng phía với ∆  f>0.
 M và N nằm khác phía với ∆  f<0.
- Phương trình đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng.
Cho hai đường thẳng cắt nhau: d1: a1x +b1y + c1 =0; d2: a2x +b2y + c2
=0. Gọi ∆ là phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đường thẳng
này, ta có:
a1 x  b1 y  c1
2
1

2
1



a b

a2 x  b2 y  c2
a2 2  b2 2

+ Để phân biệt được phương trình phân giác của góc nhọn và góc tù ta
có nhiều cách thực hiện như sau:
 Xác định dấu của từng vùng mà hai đường thẳng chia mặt phẳng toạ

độ, từ đó biết dấu của các vùng chứa phân giác góc nhọn và góc tù, suy ra
phương trình của chúng.
2
2
 hay 
 thì  là phân giác góc
2 
2 

 Tính góc: Nếu cos  1; d1  
nhọn (hay tù) của góc tạo bởi d1 và d2.

 Lấy một điểm N có toạ độ đặc biệt trên d1, tính d1  d  N , 1  và

d 2  d  N ,  2  , khoảng cách nào nhỏ hơn thì đường phân giác tương ứng là
đường phân giác của góc nhọn.


 
Tính n1.n2 với n1  a1; b1  và n2  a2 ; b2  :
 
 Nếu n1.n2 < 0 thì phương trình phân giác góc tù là:
a1 x  b1 y  c1
a12  b12



a2 x  b2 y  c2
a2 2  b2 2

 
 Nếu n1.n2 > 0 thì phương trình phân giác góc tù là:

14


a1 x  b1 y  c1
2
1

2
1



a2 x  b2 y  c2

a b

a2 2  b2 2

+ Để viết phương trình phân giác trong hay ngoài của một góc trong
một tam giác ta có thể thực hiện như sau:
 Lập phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh AB và AC.
 Tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường
thẳng này.
 Xét một trong hai kết quả, ví dụ như  : f(x; y) = A’x + B’y + C’ =
0. Tính f(xB; yB) và f(xC; yC).
 Nếu tích f(xB; yB).f(xC; yC) < 0 thì B, C nằm hai bên 1 nên  1 là
phân giác trong.

 Nếu tích f(xB; yB).f(xC; yC) > 0 thì B, C nằm một bên 1 nên 1 là
phân giác ngoài.
+ Một cách khác để viết phương trình phân giác trong và ngoài của
một tam giác:
 
 Tính toạ độ hai vectơ AB, AC , từ đó tính tọa độ hai vectơ đơn vị của


 AB
 AC
chúng a AB   và a AC  
AB
AC

  
 Xác định toạ độ vectơ tổng a  a AB  a AC , đây chính là vectơ chỉ
phương của đường phân giác trong của góc A.
  
 Tương tự b  a AB  a AC là vectơ chỉ phương của đường phân giác
ngoài của góc A.
2. Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ nhất trong 4 góc tạo
nên bởi 2 đường thẳng đấy.

15


Giả sử đường thẳng d: a1x + b1y + c1 = 0, đường thẳng d’: a2x + b2y + c2 = 0.
Gọi

là góc giữa 2 đường thẳng d và d’, khi đó ta có công thức:

cos 

a1a2  b1b2
a12  b12 . a2 2  b2 2


Nếu 2 đường thẳng d và d’ có 2 vectơ pháp tuyến lần lượt là : n1  a1; b1 

và


 
n2  a2 ; b2  thì cos  d1; d2   cos n1; n2 





Aˆ

của

a1a2  b1b2
a12  b12 . a2 2  b2 2

Chú ý
- Để tính góc
 

cos Aˆ  cos AB; AC .



trong

ABC

ta

dùng

công



- Gọi  là góc tạo bởi d1 và d2, thì ta có: tan  

16

kd1  kd2
1  kd1 .kd2

.

thức


CHƯƠNG 2
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

§1. Một số dạng bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng  đi qua M ( x0 ; y0 ) và có một

vectơ chỉ phương u  (u1; u2 )
Phương pháp chung
- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng
-

Kết hợp giả thiết  đi qua M(x0; y0)

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau:

a. Đi qua M (1; 2) và có một vectơ chỉ phương u  (2; 1) .
b. Đi qua hai điểm A(1; 2) và B (3; 4) .

 x  1  2t
c. Đi qua M (3; 2) và // d : 
.
y   t
d. Đi qua M (2;  3) và  d : 2 x  5 y  3  0 .
Giải

a) Đi qua M (1 ; -2) và có một vectơ chỉ phương là u  (2; 1)

Vì đường thẳng  đi qua M (1; -2) và có vectơ chỉ phương là

 x  1  2t
u  (2; 1) nên phương trình tham số của đường thẳng là : 
 y  2  t

b) Đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4)
Vì  đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4) nên  có vectơ chỉ phương

AB  (2 ; 2)
Phương trình tham số của  là:

17


 x  1  2t

 y  2  2t
 x  1  2t
c) Đi qua M (3 ;2) và // d : 
y   t

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là : ud  (2;  1) . Vì  song song


với d nên  nhận vectơ u d  (2 ;  1) làm vectơ chỉ phương. Hay u   (2 ;  1) ,
 đi qua M(3 ; 2) vì vậy  có phương trình đường thẳng là:

 x  3  2t

y  2  t
d) Đi qua M (2;  3) và  d : 2 x  5 y  3  0 .
Đường thẳng d : 2x – 5y + 3 = 0  d có vectơ pháp tuyến là

n d  ( 2 ;  5) .

Vì  vuông góc với đường thẳng d nên  nhận vectơ pháp tuyến của d

là vectơ chỉ phương. Vì vậy vectơ chỉ phương của  là u   (2 ;  5) .  đi
qua M(2 ; -3) nên phương trình đường thẳng  là:

 x  2  2t

 y  3  5 t
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua  đi qua M ( x0 ; y0 ) có một

vectơ pháp tuyến n  ( a; b) .
Phương pháp chung
- Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng
-

Kết hợp giả thiết  đi qua M(x0; y0)

Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  trong các
trường hợp sau:

a. Đi qua M (1; 2) và có vectơ pháp tuyến n  (2; 3)

18


b. Đi qua A (3; 2) và / / d : 2 x  y  1  0.
 x  1  2t
(t  R )
 y  t

c. Đi qua A (4;  3) và  d : 
Giải


a) Đi qua M(1; 2) và có một vectơ pháp tuyến là n  (2; 3)

Vì đường thẳng  đi qua M (1; 2) và có vectơ pháp tuyến

n  (2; 3) nên phương trình tổng quát của đường thẳng là:

là

2(x – 1) – 3(y – 2) = 0  2x – 3y + 4 = 0
b) Đi qua A(3; 2) và // d : 2x – y – 1 = 0

Đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là nd  (2;1) .

Đường thẳng  song song với đường thẳng d nên  nhận nd  ( 2;1)

làm vectơ pháp tuyến. Vì  đi qua A(3; 2) và có vectơ pháp tuyến là

n  (2;1) nên  có phương trình là:
2(x – 3) – (y – 2) = 0  2x – y – 4 = 0
 x  1  2t
(t  R )
 y  t

c) Đi qua B(4 ; -3) và  d : 


Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u d  ( 2 ;1) . Vì  vuông góc
với d nên  nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến 

n  (2 ;1) . Đường thẳng  đi qua B(4; -3) và có vectơ pháp tuyến

n  (2 ;1) nên  có phương trình tổng quát là:

2(x – 4) – (y + 3) = 0  2x – y – 11 = 0
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng  đi qua M ( x0 ; y0 ) và có hệ số
góc k cho trước.
Phương pháp chung
- Nếu đường thẳng  có hệ số góc k thì vectơ chỉ phương của  là

u  (1; k )

19


- Kết hợp giả thiết  đi qua M(x0; y0) .
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau:
a. Đi qua M (  1; 2) và có hệ số góc k  3 .
b. Đi qua A(3; 2) và tạo với chiều dương trục Ox góc 450 .
Giải
a) Đi qua M (  1; 2) và có hệ số góc k  3 .


 có hệ số góc k = 3 nên  có vectơ pháp tuyến là: u   (3;  1) .

 đi qua M(-1 ; 2) và có vectơ pháp tuyến là u   (3;  1) nên có

phương trình là:
3x – y + 5=0
b) Đi qua A(3; 2) và tạo với chiều dương trục Ox góc 450 .
Giả sử đường thẳng  có hệ số góc k, như vậy k được cho bởi công
thức k = tan   với   45 0  k = tan 450  k = 1
Đường thẳng  hệ số góc k = 1 vậy thì vectơ pháp tuyến của  là


u   (1;  1) ,  đi qua A(3; 2) nên  có phương trình là:
x – y – 1=0
Dạng 4: Sự đối xứng
Ví dụ: Cho đường thẳng d có phương trình x – y = 0 và điểm M(2; 1)
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường
thẳng d qua điểm M.
b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.
Giải
a) Lấy A(1; 1)

 x,  1  4
d, A ( x ; y ) đối xứng với A qua M thì  ,
 y 1  2
,

,

,

,
Suy ra A  (3;1)

Phương trình đường thẳng d có dạng:

20


1(x - 3) – 1(y – 1) = 0 hay x – y – 2 = 0
b) Xét đường thẳng ∆ có phương trình: x + y + m = 0. Dễ thấy ∆  d.
M

∆  2 +1 + m = 0  m = -3. Vậy phương trình đường thẳng ∆ đi qua

điểm M và vuông

góc với đường thẳng d là x + y -3 = 0. Gọi M’ là hình

chiếu của M trên d. Tọa độ của M’ là nghiệm của hệ:
3

x


x  y  0
2


x  y  3  0  y  3

2
3 3
Vậy M’ = ( ; )

2 2

Bài tập đề nghị
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(3; -1) và song
song với đường thẳng  có phương trình 2x+3y-1=0
Đáp số: 2x + 3y – 3=0
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A có vectơ chỉ

phương n trong các trường hợp sau:


Đi qua A(2; 3) và n (-1; 2), đi qua B(-1; 4) và n (0; 1)
x  2  t
Đáp số: 
;
 y  3  2t

Bài 3: Cho điểm A(-5; 2) và đường thẳng  :

 x  1

y  4  t

x2 y3
. Hãy viết

1
2

phương trình đường thẳng

a) Đi qua A và song song với 
b) Đi qua A và vuông góc với 
Đáp số: a)

21

x5 y2

; b) x  2 y  9  0
1
2


Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B trong các
trường hợp sau:
a) A(3; 2) và B(-1; -5)
b) A(-3; 1) và B(1; -6)
Đáp số: a)

x3 y 2
x  3 y 1

; b)

4
7
4
7

Bài 6: Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB, BC, CA là

AB : 2 x  3 y  1  0;

BC : x  3 y  7  0; CA : 5 x  2 y  1  0

Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B
Đáp số: 2x + 5y + 37/3=0
Bài 7: Cho đường thẳng d có phương trình x - y= 0 và điểm M(2; 1).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường
thẳng d qua điểm M.
b) Tìm hình chiếu của M trên đường thẳng d
3 3
Đáp số: a) x – y – 2=0 , b) M '  ; 
2 2

Bài 8: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(-4; -5) và
hai đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại có phương trình:
5x + 3y – 4=0; 3x + 8y +13=0.
Đáp số: BC: 3x -5y – 13=0, BA: 8x - 3y +17=0, AC:

x 1 y  3

2
5

§2. Một số dạng bài tập cơ bản về vị trí tương đối của hai đường thẳng
Phương pháp chung
Xét vị trí tương đối của d1: a1 x  b1 y  c1  0 và d2: a2 x  b2 y  c2  0 .
Cách 1

22

Lập hệ phương trình tạo bởi d1 và d2 theo hai ẩn x, y ta được:

a 1 x  b1 y  c1
a1x  b1 y  c1  o



a
x

b
y

c

o
a 2 x  b2 y  c2
2
2
 2

(I)

- Nếu hệ (I) vô nghiệm thì d1 // d2
- Nếu hệ (I) có vô số nghiệm thì d1

d2

- Nếu hệ (I) có nghiệm duy nhất thì d1

d2

Cách 2
- Nếu

a1 b1
thì hai đường thẳng cắt nhau.

a 2 b2

- Nếu

a1 b1 c1
thì hai đường thẳng song song nhau.


a 2 b2 c 2

- Nếu

a1 b1 c1
thì hai đường thẳng trùng nhau.


a 2 b2 c 2

Ví dụ: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm tọa độ giao
điểm trong các trường hợp cắt nhau:

a) 1 : x  y  2  0;

2 : 2 x  y  3  0 .

b) 1 : 2 x  4 y  10  0

 x  1  4t
2 : 
 y  2  2t

c) 1 :8 x  10 y  12  0

 x  6  5t
2 : 
 y  6  4t

Giải
a) 1 : x  y  2  0;

2 : 2x  y  3  0

Số giao điểm của 1 và  2 chính là số nghiệm của hệ phương trình:

x  1
 x y20
 

2 x  y  3  0
y 1

23


Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại 1 điểm, tọa độ giao điểm là
(x; y) = (1 ; 1).
b)  1 : 2 x  4 y  10  0

 x  1  4t
2 : 
 y  2  2t

Từ phương trình đường thẳng  2 ta có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay
vào  1 , ta được : 2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0  10 – 8t + 8t = 0  10 = 0 (vô lí)
 hai đường thẳng này không có điểm chung.

Vậy hai đường thẳng 1 và  2 song song với nhau.
c) 1 : 8 x  10 y  12  0

 x  6  5t
2 : 
 y  6  4t


Đường thẳng  2 có vectơ chỉ phương là u  (5;4 ) nên  2 có vectơ


pháp tuyến là n  ( 4; 5) .  2 đi qua điểm có tọa độ (-6 ; 6) nên  2 có phương
trình tổng quát là:

4(x + 6) + 5(y – 6) = 0  4x + 5y – 6 = 0.

Số giao điểm của 1 và  2 chính là số nghiệm của hệ phương trình:

8 x  10 y  12  0

4 x  5 y  6  0
Hệ này có vô số nghiệm nên  1 và  2 trùng nhau.
Bài tập đề nghị
Bài 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau :
a) 1 : 2 x  5 y  3  0
b) 1 : x  3 y  4  0
c) 1 :10 x  2 y  3  0

2 :5x  2 y  3  0
2 : 0,5x  1,5 y  4  0
2 :5x  y  1,5  0.

 9 21 
Đáp số: a) hai đường thẳng cắt nhau ở điểm  ;  ,
 29 29 

b) hai đường thẳng song song,

24


c) hai đường thẳng trùng nhau.
Bài 2: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp tọa độ sau.

 x  1  4t

, 2 : 
 y  2  2t

a) 1 : x  y  4  0
b) 1 :

x  5  t
, 2 : 
 y  3  2t

x4 y7

2
3

 x  4  2t
c) 1 : 
y  5  t
Đáp số:

 x  8  6t '
, 2 : 
'
 y  4  3t
a) hai đường thẳng trùng nhau,
b) hai đường thẳng cắt nhau tại (0 ; -13)
c) hai đường thẳng song song nhau.

§3. Một số dạng bài tập cơ bản về khoảng cách và góc
Dạng 1 : Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp chung
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d, khi đó khoảng cách từ M
tới d bằng MH. Chúng ta xét các trường hợp sau :
 Nếu đường thẳng d cho dưới dạng : ax + by + c=0. Khi đó
MH 

ax M  byM  c
a2  b2

 Trong các trường hợp còn lại (d có phương trình tham số hoặc chính
tắc) chúng ta thực hiện theo các bước :
- Chuyển phương trình d về dạng tổng quát.
- Áp dụng công thức (1)
Cũng có thể sử dụng phương pháp sau khi d được viết dưới dạng tham số:

25