Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc
tới thầy giáo Bùi Văn Bình đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian
thực hiện đề tài.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong khoa Giáo
dục Tiểu học trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp em hoàn thành khóa luận này.
Qua đây em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên
động viên, giúp đỡ trong quá trình thực hiện khóa luận này.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa thời gian và
năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng xong không
tránh khỏi những thiếu xót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các
thầy cô và của các bạn bè sinh viên để khóa luận này hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Bùi Thị Lan Anh

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện, khóa luận được hoàn thành dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo Bùi Văn Bình. Trong khi thực hiện khóa luận tôi đã sử
dụng và tham khảo các kết quả của các nhà khoa học với lòng biết ơn và trân trọng.

Tôi xin cam đoan khóa luận “ Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ” là kết quả
nghiên cứu của riêng tôi.
Các kết quả trong khóa luận này không trùng lặp với bất kì kết quả nào khác
và chưa từng được ai công bố trước đây.
Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Bùi Thị Lan Anh

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................ 1
NỘI DUNG ............................................................................................................. 3
CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ ĐƯỜNG TRÒN. ..................................... 3
§1. Khái quát chung về hệ trục tọa độ .................................................................. 3
§ 2. Những vấn đề chung về đường tròn ............................................................... 4
CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN CƠ
BẢN VÀ NÂNG CAO VỀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ...... 7
I. Các dạng bài tập toán cơ bản về đường tròn trong mặt phăng tọa độ. ............ 7
II. Một số bài tập cơ bản và nâng cao về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ .. 34
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 52

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

LỜI NÓI ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Môn toán là một trong những môn học hàng đầu trong chương trình giáo dục phổ
thông. Nó không chỉ là cơ sở, tiền đề để học tốt các môn học khác mà nó còn là ứng
dụng rất quan trọng trong thực tế.
Môn toán được chia thành hai phân môn nhỏ đó là hình học và đại số. Trong
đó hình học là phân môn nhỏ đó là hình học và đại số. Trong đó hình học là phân
môn có tính chặt chẽ, tính logic và trừu tượng hóa cao.
Đường tròn là một thuật ngữ quen thuộc được nhắc đến thường xuyên trong
hình học. Có rất nhiều các dạng bài toán phong phú và đa dạng liên quan đến đường
tròn và có nhiều cách giải khác nhau như phương pháp tổng hợp, phương pháp véc
tơ…Tuy nhiên khi giải các bài toán về đường tròn bằng phương pháp tọa độ giúp
học sinh thấy được mối tương quan 1-1 giữa đại số và hình học. Từ đó phát triển tư
duy toàn diện cho học sinh khi đứng trước một bài toán khó, hình thành cho học
sinh tư duy đúng đắn và phù hợp.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi đi đến quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “
Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
II. Mục đích nghiên cứu.
Qua việc tổng kết lí thuyết, các dạng toán và các ví dụ tham khảo mẫu,…sẽ giúp
học sinh hiểu rõ và nắm chắc hơn các kiến thức liên quan đến đường tròn trong mặt
phẳng tọa độ và có thể giải tốt được các dạng toán khác nhau.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài.
Nghiên cứu cơ sở lí thuyết về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ.
Hệ thống hóa các dạng bài tập về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu.

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

-1-


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

-

Tóm tắt một số kiến thức cơ bản có liên quan đến phương trình đường thẳng

mà học sinh đã học.
-

Thông qua các bài tập ở một số dạng toán cơ bản để thấy được tầm quan

trọng của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ trong việc giải các bài toán hình học
phẳng ở phổ thông.
V. Các phương pháp chính.
-

Phương pháp nghiên cứu tài liệu lí luận.

-

Phương pháp quan sát.

-

Phương pháp điều tra.

-

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

VI. Cấu trúc khóa luận
Phần 1: Lời nói đầu
Phần 2: Nội dung
Chương 1: Những kiến thức cơ bản về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Chương 2: Một số dạng bài tập về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ và một
số bài tập
Phần 3: Kết luận

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

-2-


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

NỘI DUNG

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ ĐƯỜNG TRÒN.
§1. Khái quát chung về hệ trục tọa độ
I. Hệ trục tọa độ


Cho hai trục x’Ox, y’Oy vuông góc với nhau tại điểm O. Gọi i, j là các véc
tơ đơn vị tương ứng trên các trục x’Ox, y’Oy.

y

Hệ hai trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac
Vuông góc Oxy hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxy.
- Trục x’Ox gọi là trục hoành.

j
x

0

x

i

- Trục y’Oy gọi là trục tung.

y

- Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ.
Tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ


Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxy và một vectơ tùy ý v . Khi đó luôn tồn tại






duy nhất cặp số x, y sao cho : v  xi  y j .

y



Cặp (x; y) được gọi là tọa độ của vectơ v


kí hiệu là v (x; y). Số x được gọi là hoành độ,

v (x;y)

y



số y được gọi là tung độ của vectơ v .

0

Các tính chất :


x

x



Cho hệ tọa độ Oxy, nếu có hai véctơ v1  x1; y1  và v2  x2 ; y2  thì :
 

 i  : v1  v2   x1  x2 ; y1  y2  .
 

 ii  : v1  v2   x1  x2 ; y1  y2  .

y'


 iii  : kv1  x1; y1    kx1; ky1  , k  R.

II. Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ

M''
r

y

M'

Định nghĩa :
Cho hệ tọa độ Oxy và một điểm M bất kì


Tọa độ của vectơ OM cũng được gọi là tọa độ

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

-3-

M (x;y)

0

x

x


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

của điểm M đối với hệ tọa độ đó.








Như vậy, nếu OM (x ; y) nghĩa là : OM  xi  y j
Thì cặp (x ; y) được gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là M(x ; y).
Số x được gọi là hoành độ, số y được gọi là tung độ của điểm M.
Tính chất : Cho hệ tọa độ Oxy, với hai điểm M 1  x1 ; y1  , M 2  x2 ; y2  thì :

M 1M 2   x2  x1 ; y2  y1  .

Bán kính vectơ : Mỗi điểm M(x ; y)  M  r  có thể cho rằng bán kính véctơ
của nó :
  

r  xi  y j   x; y.

Véctơ r  OM xác định phép biến đổi tịnh tiến, chuyển điểm từ gốc tọa độ O

vào điêm M.
§ 2. Những vấn đề chung về đường tròn

I. Phương trình chính tắc của đường tròn
Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) có tâm I(a,b) và bán kính R có
phương trình:
(C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Vậy, ta được (C):

(1).
 (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2.

Chú ý: Ta có:
2

2

2

 Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình x + y = R
2

2

 Đường tròn đơn vị có phương trình x + y = 1.

II. Phương trình tổng quát của đường tròn
Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, đường cong (C) có phương trình :
(C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a2 + b2 – c > 0
Là phương trình của đường tròn tâm I(a,b) và bán kính R =
III. Phương trình tham số của đường tròn
Đường tròn (C) có phương trình chính tắc:

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

-4-

(2).
a2  b2  c .


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

(C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2
Được chuyển về dạng tham số:
x-a 2 y-b 2
(C): (
) +(
) = 1  (C):
R
R

, t[0; 2]

 x  a  R sin t
, t[0;2]

 y  b  R cos t '

 (C): 

(3).

Phương trình (3) được gọi là phương trình tham số dạng lượng giác của đường
tròn (C).
t
2z
1-z2
Ta biết rằng, nếu đặt z = tan thì: sint =
, do đó (3) có thể
2 và cost =
2
1+z
1+z2
được viết dưới dạng:
2z

 x  a  1  z 2 .R
(C): 
,z∈ℝ
2
 y  b  (1  z ) .R

1 z2

(4).

Phương trình (4) được gọi là phương trình tham số dạng đại số của đường tròn
(C).
IV. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(x0;y0) của
đường tròn
(C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2p
Có phương trình (d): (x – a)(x0 – a) + (y – b)(y0 – b) = R2.
Chú ý:
1. Phương trình (5) được gọi là phương trình phân đôi toạ độ theo quy tắc:
(x – a)2 = (x – a)(x – a) thay bằng (x – a)(x0 – a).
(y – b)2 = (y – b)(y – b) thay bằng (y – b)(y0 – b).
2. Nếu (C) có phương trình tổng quát:

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

-5-

(5).


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

(C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a2 + b2 – c >0
Thì tiếp tuyến (d) có phương trình: x.x0 + y.y0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = 0
dựa theo quy tắc:
x2 = x.x thay bằng x.x0
y2 = y.y thay bằng y.y0.
2ax = a(x + x) thay bằng a(x + x0).
2by = b(y + y) thay bằng b(y + y0).
3. Trường hợp tổng quát, đường thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đường tròn

(C) có tâm I và bán kính R khi và chỉ khi:
D(I,(d)) = R.
V. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
Cho đường tròn (C) có phương trình:
(C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a2 + b2 – c >0.
Phương tích của điểm M(x0;y0) đối với đường tròn (C) được xác định bởi:
M/(C)

= x02 + y02 – 2ax0 – 2by0 + c

Từ giá trị về dấu của M/(C) ta xác định được vị trí của điểm M đối với đường
(C) :
 Nếu

M/(C)

 Nếu

M/(C)

 Nếu

M/(C)<

0  M ở ngoài đường tròn (C).

= 0  M ở trên đường tròn (C).
0  M ở trong đường tròn (C).

VI. Trục đẳng phương của hai đường tròn

Cho hai đường tròn không đồng tâm (C1) và (C2) có phương trình:
(C1): x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = 0, với a12 + b12 – c 1 >0.
(C2): x2 + y2 – 2a2x – 2b2y + c2 = 0, với a22 + b22 – c2>0.
Khi đó tập hợp những điểm có cùng phương tích với hai đường tròn (C1) và (C2)
với  a1 ; b1    a2 ; b2  đường thẳng (trục đẳng phương)
(d): 2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y – c1 + c2 = 0.

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

-6-


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ
BÀI TẬP TOÁN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO VỀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG
MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ.

I. Các dạng bài tập toán cơ bản về đường tròn trong mặt phăng tọa độ.
Dạng 1: Điều kiện để phương trình cho trước là phương trình đường tròn
Phương pháp chung:
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu về dạng:
(C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. (1)
Bước 2: Để (1) là phương trình đường tròn điều kiện là a2 + b2 – c > o.
TâmI  a; b 

Bước 3: Khi đó (C) có thuộc tính: 

2

2
 Bán kính R = a  b  c

.

Ví dụ1: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a. x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0
b. 16x2 + 16y2 + 16x – 8y – 11 = 0.
c. x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0.
Giải:
a. Viết phương trình dưới dạng: (x – 1)2 + (y – 1)2 = 4 suy ra tâm I(1,1) và
bán kính R = 2.
b. Viết lại phương trình dưới dạng:
1
11
1
1
x2 + y2 + x - y = 0  (x + )2 + (y - )2 = 1
2
16
2
4
1 1
Suy ra tâm I(- , ) và bán kính R = 1.
2 4
c. Viết lại phương trình dưới dạng: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
Suy ra tâm I(2,-3) và bán kính R = 4.

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

-7-


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

Ví dụ 2:Cho họ đường cong :

 Cm  : x 2  y 2   m  6  x  2  m  1  m  10  0

(1).

a. Tìm m để  Cm  là một họ đường tròn. Tìm quĩ tích tâm I m .
b. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng là trục dẳng phương cho tất
cả các đường tròn  Cm  .
c. Chứng minh rằng tất cả các đường tròn của họ  Cm  luôn tiếp xúc với
nhau tại một điểm cố định.
Giải:
a.

Ta có: a 2  b 2  c 

 m  6
4

2
2

  m  1  m  10 

5m 2

 0, m.
4

Vậy, với mọi giá trị của m phương trình (1) là phương trình của một đường
m6

; m  1 và bán kính R =
 2


tròn, có tâm I m 

5m
2

.

m6

x 
Quĩ tích tâm I M : 
2 .
 y  m  1

(I)

Khử m từ hệ (I), ta được (d): 2x – y – 7 = 0.
Vậy tâm I m của họ  Cm  thuộc đường thẳng (d): 2x – y – 7 = 0.
b. Giả sử M(x ; y)thuộc trục đẳng phương cho tất cả các đường tròn  Cm 
  M /  Cm1    M / C , m1 , m2 và m1  m2

 m2 
 x 2  y 2   m1  6  x  2  m1  1 y  m1  10 
 x 2  y 2   m2  6  x  2  m2  1 y  m2  10

  m1  m2  x  2 y  2   0, m1 , m2 và m1  m2  x  2 y  1  0.

Vậy, đường thẳng x + 2y -1 = 0 là trục đẳng phương cho tất cả các đường tròn
của họ  Cm  .

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

-8-


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

c.

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau :

Cách 1 : Với m 1 và m 2 bất kì  m1  m2  , thì :

 C  có tâm I  m 2 6 ; m  1 và bán kính R 
1

m1

1

 C  có tâm I

m2

2

1

1

5 m1
2

.

5 m2
 m2  6

.
; m2  1 và bán kính R 2 

2
 2


2
5 m1  m2  R1  R2
 m1  m2 
  m1  m2  

.


R

R
2
 2 
1
2


Suy ra : I1 I 2 = 

Vậy, các đường của họ  Cm  luôn tiếp xúc với nhau tại điểm cố định đi qua
M(-3 ; 1).
Cách 2 :Giả sử M  x0 ; y0  là điểm cố định mà họ  Cm  luôn đi qua.
 x 2  y 2   m  6  x  2  m  1 y  m  10  0, m
 m   x  2 y  1  x 2  y 2  6 x  2 y  10  0, m

 x  2 y  1  0
x  3
 2

 M  3; 1 .

2
 y  1
 x  y  6 x  2 y  10  0

Nhận xét rằng tâm I1 của họ  Cm  luôn thuộc đương thẳng (d) cố định đi
qua M.
Vậy, các đường tròn của họ  Cm  luôn tiếp xúc với nhau tại điểm cố định

M(3 ;-1).
Nhận xét :
Như vậy để “Chứng minh rằng các đường tròn của họ  Cm  luôn tiếp xúc với
nhau tại một điểm cố định.”
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau :
Cách 1:Thực hiện theo các bước:
Bước 1 : Với m 1 và m 2 bất kỳ  m1  m2  xét

 C  có tâm I
m1

1

và bán kính R 1 .

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

-9-


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

 C  có tâm I
m2

 I1I 2  R1 R2

Suy ra 

Bước 2:

 I1I 2  R1  R2

2

và bán kính R 2 .

.

Kết luận: các đường tròn của họ  Cm  luôn tiếp xúc với nhau tại một

Bước 3:

điểm cố định M  x0 ; y0  là nghiệm kép.
Cách 2:Thực hiện theo các bước:
Bước 1:Tìm điểm cố định M  x0 ; y0  mà mọi đường tròn của họ  Cm  luôn đi qua.
Bước 2: Nhận xét rằng:tâm I m của họ  Cm  luôn thuôc đường thẳng (d) cố định
đi qua M.
Bước 3: Kết luận: các đường tròn của họ  Cm  luôn tiếp xúc với nhau tại một
điểm cố định M  x0 ; yo  .
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn
Phương pháp chung:
Gọi (C) là đường tròn thoả mãn điều kiện đầu bài. Chúng ta lựa chọn phương
trình dạng tổng quát hoặc dạng chính tắc.
 Muốn có phương trình dạng tổng quát, ta lập hệ 3 phương trình với 3 ẩn

a, b, c, điều kiện
a2 + b2 – c > o.
 Muốn có phương trình dạng chính tắc, ta lập hệ 3 phương trình với 3 ẩn

a, b, R, điều kiện
R > o.
Chú ý:
1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng
phương trình thích hợp.
2. Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phương pháp quỹ
tích để
Xác định phương trình đường tròn.

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 10 -


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

Ví dụ1: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
a. Đường kính AB với A(1;1) và B(3;5).
b. Đường kính AB với A(1;a) và B(7;5).
Giải:
a. Đường tròn (C) có:
Tâm I là trung điểm của AB

Tâm I(2; 3)
 (C) :

(C) :
Bán kính R =

AB

2

Bán kính R = 5

 (C): (x – 2)2 + (y – 3)2 = 5.
b. Đường tròn (C) có đường kính AB, suy ra:
 Tâm I là trung điểm AB nên I(4;3).
 Bán kính R =

AB 1
= (7-1)2 + (5-1)2 = 13 .
2
2

Từ đó, suy ra phương trình của đường tròn (C) có dạng:
(x - 4)2 + (y – 3)2 = 13.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng:5x – 2y + 21 =
0 và tiếp xúc đồng thời với hai trục tọa độ.
Giải:
Gọi (S) là đường tròn cần tìm có phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by = 0. Theo giả
thuyết ta có hệ phương trình:
Nghiệm của hệ trên là a = b = -7, c = 49, a = 3, b -3, c = 9. Vậy có hai đường tròn
cần tim là:
x2 + y2 + 14x + 14y + 49 = 0.
x2 + y2 – 6x + 6y + 9 = 0.
Dạng 3: Vị trí tương đối của điểm và đường tròn
Phương pháp chung:
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: xác định phương tích của M đối với đường tròn (C) là M/(C).
Bước 2: Kết luận:

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 11 -


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

 Nếu

M/(C) <

0  M nằm trong đường tròn.

 Nếu

M/(C) =

0  M nằm trên đường tròn.

 Nếu

M/(C) >

0  M nằm ngoài đường tròn.

Chú ý: Ta có các kết quả sau:
 Nếu M nằm trong (C)  Không tồn tại tiếp tuyến của (C) đi qua M nhưng

khi đó mọi đường thẳng qua M đều cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
 Nếu M nằm trên (C)  tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến của (C) đi qua M

(phương trình tiếp tuyến có được bằng phương pháp phân đôi toạ độ).
 Nếu M nằm ngoài (C)  tồn tại hai tiếp tuyến của (C) đi qua M.

Ví dụ 1: Cho điểm M(6,2) và đường tròn (C) có phương trình:
(C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5.
a. Chứng tỏ rằng điểm M nằm ngoài (C).
b. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai
điểm A,B sao cho
AB = 10 .
Giải:
Đường tròn (C) có tâm I(1;2) và bán kính R = 5 .
a. ta có:

M/(C)

= (6 – 1)2 + (2 – 2)2 – 5 = 20 > 0  M nằm ngoài đường tròn.

b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB, ta có:
AB2
10 5
10
IH = IA – AH = R =5=  IH =
.
2
4
2
2
2

2

2

2

Đường thẳng (d) đi qua M có dạng:
(d): A(x – 6) + B(y – 2) = 0  (d): Ax + By – 6A – 2B = 0.
Đường thẳng (d) thoả mãn yêu cầu của đầu bài khi và chỉ khi:
A+2B-6A-2B
d(I,(d)) = IH 

2

A +B

2

=

10
 9A2 = B2 A = 3B.
2

 Với A = -3B, ta được (d1): x – 3y = 0.

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 12 -

Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

 Với A = 3B, ta được (d2): x + 3y – 12 = 0.

Vậy tồn tại hai đường thẳng (d1), (d2) thoả mãn điều kiện đầu bài.
Cách 2: Nhận xét rằng (d) qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B không thể song
song với Oy suy

ra (d): y = k(x – 6) + 2.

Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (C):
 x2  y 2  2 x  4 y  0
2
 x 2   kx – 2  3k – 1  – 2x  4  kx – 2  3k – 1   0

 y  k ( x  6)  2

 (k2 + 1)x2 – 2(6k2 + 1) + 4(9k2 – 1) = 0

Để (d)

(1)

(C) = {A,B} điều kiện là:

(1) có hai nghiệm phân biệt 

(1)>

0  (6k2 + 1)2 – 4(k2 + 1)(9k2 – 1) > 0

1
 -20k2 + 5 > 0  k < .
2
Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là hoành độ của A, B và thoả mãn:






2 6k 2  1
 x1  x2 

k 2 1
 A(x1,k(x1 – 6) + 2) và B(x2,k(x2 – 6) + 2).

4 9k 2  1

 x1.x1 
k 2 1






Vì AB = 10 nên:

 10 = (x1 – x2)2 + k2(x1 – x2)2 = (k2 + 1)[(x1 + x2)2 – 4x1x2]
 4 6 k 2  1 2 8 9k 2  1
= (k + 1) 

 k 2 1 2
k 2 1

2










 



1

k   1

3
 72k4 – 17k2 + 1 = 0  
.
1

k  

3
 Với k =

1
, ta được (d1): x – 3y = 0.
3
1
3

 Với k = - , ta được (d2): x + 3y – 12 = 0.

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 13 -


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

Vậy tồn tại hai đường thẳng (d1), (d2) thoả mãn điều kiện đầu bài.
Dạng 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Phương pháp chung:
Ta lựa chọn một trong ba cách sau:
Cách 1: Tính khoảng cách h từ I tới (d), rồi so sánh với bán kính R của đường tròn,
ta được:
 Nếu h > R  (d)

(C) = .

 Nếu h = R  (d) tiếp xúc với (C).
 Nếu h < R  (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.

Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (C) và (d), khi đó số nghiệm của phương trình
bằng số giao điểm của (d) và (C)
Cách 3: Sử dụng phương trình tham số của đường tròn.
Chú ý:
1. Bằng việc xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn chúng ta có thể
ứng dụng để giải các hệ đại số, dạng:
 x 2  y 2  2a(m) x  2b(m) x  c(m)  0

Dạng 1: Giải và biện luận hệ: 

 Ax  By  c  0
 x 2  y 2  2a (m) x  2b(m) x  c (m)  0



 Ax  By  c 0



Dạng 2:Giải và biện luận hệ:


 2
2
 x  y  2a (m) x  2b(m) x  c(m) 0
Dạng 3: Giải và biện luận hệ: 


 Ax  By  c  0

 x 2  y 2  2a(m) x  2b(m) y  c  0

Dạng 4: Giải và biện luận hệ: 

 Ax  By  c  0

2. Trong trường hợp đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ta có khái
niệm chùm đường

tròn dạng 1:

“Phương trình đường tròn đi qua giao điểm của
(d): Ax + By + C = 0 và (C): x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0
Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 14 -


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

Có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c + m(Ax + By + C) = 0.”
Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d) và đường tròn (C) có phương trình:
(d): x + y – 1 = 0, (C): x2 + y2 – 1 = 0.
a. Chứng tỏ rằng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc đường thẳng
(): 2x – y – 2 = 0.
c. Lập phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và cắt (C) tại hai điểm E,F
sao cho:

 EF có độ dài lớn nhất.
 EF = AB.

Giải:
a. Ta lựa chọn một trong ba cách sau:
Cách 1: Đường tròn (C) có tâm O(0;0) và bán kính R = 1.
Ta có:d(O,(d)) =

1
x 1



1
R
2

Vậy (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B.
Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (C):

 y  1 x
 x  y 1  0
 y  1 x
 A(0;1)

 2
  x  0  
 2
2

2
 B(1; 0)
 x  y  1  0  x  (1  x)  1  0   x  1


Vậy (d)

(C) = {A(0;1), B(1;0)}.

Cách 3: Chuyển phương trình đường tròn về dạng tham số:
 x  sin t
, t  [0; 2 ]
 y  cos t

(C): 

(1).

Thay (1) vào phương trình của (d), ta được:

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 15 -


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

t 0

Sint + cost – 1 = 0  sin(t + ) =


1
 A(0;1)
   
2 t 
 B (1;0)


Vậy, ta được (d)

2

(C) = {A(0;1), B(1;0)}.

b. Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đường tròn (S) đi qua các giao điểm của (d) và (C), có dạng
(S): x2 + y2 – 1 + m(x + y -1) = 0  (S): x2 + y2 + mx + my – 1 – m = 0
Suy ra tâm I(-

(2)

m m
;- ).
2 2

Từ giả thiết I  ) ta được: 2(-

m
m

)+
- 2 = 0  m = -4.
2
2

Thay m = -4 vào (2) ta được (s): x2 + y2 – 4x – 4y + 3 = 0.
Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (S): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với điều
kiện a2 + b2 – c  0.
Điểm A(0;1)  (S) nên 1 – 2b + c = 0.

(3)

Điểm B(1;0)  (S) nên 1 – 2a + c = 0.

(4)

Tâm I(a;b)  () nên 2a – b – 2 = 0
Giải hệ phương trình tạo bởi (3), (4), (5), ta được a = b = 2, c = 3.
Vậy phương trình đường tròn (S): x2 + y2 – 4x – 4y + 3 = 0.
c. Vì (d1) song song với (d) nên có phương trình x + y + C = 0.
Ta lần lượt:
 EF có độ dài lớn nhất, khi (d1) đi qua tâm O, tức là:

0 – 0 + C = 0  C = 0  (d1): x + y = 0.
 EF = AB suy ra E đối xứng với A qua O, tức là E(0;-1). Khi đó:

(d1)  0 – 1 + C = 0  C = 1  (d1): x + y + 1 = 0.
 x2  y2  x  0

Ví dụ 2 : Cho hệ phương trình : 

 x  ay  a  0

.

a. Tìm a để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 16 -

(5)


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

b. Gọi  x1 ; y1  ,  x2 ; y2  là nghiệm của hệ đã cho. Chứng minh rằng
2

 x2  x1    y2  y1 

2

 1.

Giải :
2

1
1

2
 x    y  . 1
Viết lại hệ dưới dạng :  2 
.
4
 x  ay  a  0. 2
 


1

1



 Phương trình (1) là đường tròn (C) có tâm I  ;0  , bán kính R = .
2
2 
 Phương trình (2) là đường thẳng (d).
a. Vậy hệ có hai nghiệm phân biệt  (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

 d I,d   R 

1
a
2
1  a2



1
4
0a .
2
3

4
3

b. Với 0  a  ,  d    C    A, B có tọa độ là A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  .
2

2

Ta có AB  2R  AB 2  4 R 2   x2  x1    y2  y1   1  đpcm.
Dạng 5: Vị trí tương đối của hai đường tròn
Phương pháp chung:
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Tính khoảng cách I1I2 (I1, I2 là hai tâm của hai đường tròn), rồi so sánh với
tổng và hiệu hai bán kính R1, R2 của hai đường tròn ta được:
 Nếu I1I2> R1 + R2 (C1) và (C2) không cắt nhau và ở ngoài nhau.


Nếu I1I2< R1 - R2  (C1) và (C2) không cắt nhau và lồng nhau.



Nếu I1I2 = R1 + R2 (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với nhau.



Nếu I1I2 = R1 - R2  (C1) và (C2) tiếp xúc trong với nhau.



Nếu R1 - R2 < I1I2< R1 + R2 (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân

biệt.

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 17 -


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

Phương pháp này thường được sử dụng để xác định số nghiệm của bài toán tiếp
tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2).
Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (C1) và (C2), khi đó số nghiệm của phương
trình bằng số giao điểm của (C1) và (C2).
Chú ý:
1. Bằng việc xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn chúng ta có thể
ứng dụng để giải các hệ đại số, dạng:
2
2
 x  y  2a1 (m) x  2b1 (m) x  c1 (m)  0
Dạng 1: Giải và biện luận hệ:  2 2
 x  y  2a2 (m) x  2b2 (m) x  c2  0

Dạng 2: Giải và biện luận hệ:

2
2
 x  y  2a1 (m) x  2b1 (m) x  c1  0
 2
2
 x  y  2a2 (m) x  2b2 (m) x  c2  0

2.Trong trường hợp hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt ta có khái niệm
chùm đường tròn dạng 2:
“phương trình đường tròn đi qua giao điểm của đường thẳng”
(C1): x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = 0,
(C2): x2 + y2 – 2a2x – 2b2y + c2 = 0
Có dạng: (x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1) + (x2 + y2 – 2a2x – 2b2y + c2) = 0.
Với ,  R và2 + 2> 0.”
Ví dụ1: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) có phương trình:
(C1): x2 + y2 – 8 = 0 và (C2): x2 + y2 – 4x = 0.
1. Chứng minh rằng hai đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau. Lập phương trình đi qua
các giao điểm đó.
2. Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C1) và (C2) và:
a. Đi qua điểm M(6;2).
b. Tiếp xúc với đường thẳng (d): x – 2y + 4 = 0.
Giải :
1. Ta có:


Đường tròn (C1) có tâm I1(0;0) và bán kính R1 = 2 2 .



Đường tròn (C2) có tâm I2(0;0) và bán kính R2 = 2.

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 18 -


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

Ta có I1I2 = 2 và:
R1 - R2 = 2 2 – 2 < I1I2< 2 2 + 2 = R1 + R2  (C1) (C2) = {A, B}.
Bằng cách trừ phương trình của (C1) cho (C2), ta được: -8 + 4x = 0  x – 2 = 0.
Đó chính là đường thẳng đi qua hai giao điểm A, B.
2. Đường tròn (S) đi qua các giao điểm của (C1) và (C2), có dạng:
(S): (x2 + y2 – 4x) + (x2 + y2 – 8) = 0
 ( + )x2 + ( + )y2 - 4x - 8 = 0. (1)
2
42
8
2
Có tâm I(
;0) và bán kính R =
.
2+
+
( + )  + 
a. Điểm M(6;2)  (S), ta được: ( + )62 + ( + )22 - 46 - 8 = 0  = -2
Thay  = -2 vào (1) ta được:
(S): -2(x2 + y2 – 4x) + (x2 + y2 -8) = 0  (S): x2 + y2 – 8x + 8 = 0.
b. (S) tiếp xúc với đường thằng (d) ta được:

2
+4
+
d(I,(d)) = R 

1+4

=

42
8
2+
( + )  + 

2
42
8
(
+ 4 )2 = 5
]  22 +  - 32 = 0
2+
+
( + )  + 
  


t   3
    3
2
2



t  1

 2t2 + t – 3 = 0  

 Với  = , ta được:

(S1): (x2 + y2 – 4x) + (x2 + y2 – 8) = 0  (S1): x2 + y2 – 2x – 4 = 0.
 Với  = 

3
, ta được:
2

3
(S2): - (x2 + y2 – 4 x) + (x2 + y2 – 8) = 0  (s2): x2 + y2 – 12x + 16 = 0.
2
Vậy, tồn tại 2 đường tròn (S1), (S2) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 19 -


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

2
2
 x  ( x  1)  m(1)

.
2
2
( x  1)  y  m(2)

Ví dụ 2:Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất : 
Giải:

Gọi X 1 và X 2 lần lượt là nghiệm của (1) và (2).
Ta có :
X 1 là tập hợp các điểm trong hình tròn (C) có tâm I 1 (0;-1), bán kính R 1 =
X 2 là tập hợp các điểm trong hình tròn (C) có tâm I 2 (-1;0), bán kính R 2 =

m.

m.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi (C 1 ) tiếp xúc với (C 2 ) :
 II = R + R  II 2 m  m =

Vậy với m =

1
.
2

1
thỏa mãn điều kiện của đầu bài.
2

Dạng 6: Tiếp tuyến của đường tròn
Chia thành hai bài toán cơ bản : - Tiếp tuyến đường tròn đi qua một điểm.
- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Bài toán 1 : Tiếp tuyến đường tròn đi qua một điểm.
Phương pháp chung :
Để lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) (tâm I(a,b) bán kính R) thoả
mãn điều kiện K, ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Dựa trên điều kiện K ta giả sử được đường thẳng (d) có phương trình:
(d): Ax + By + C = 0.
Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C)  d(I, (d)) = R.
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d).
Chú ý: Điều kiện K thường gặp:
1. Tiếp tuyến đi qua điểm M cho trước, khi đó:
a. Nếu M (x0,y0)  (C) (tức là M/(C) = 0), ta có ngay:

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 20 -


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

quaM(x 0 ;y0 )
 vtcpIM(x 0 -a;y0 -b)

(d): 

 (d): (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0
 (d): (x0 – a)(x – a) + (y0 – b)(y – b) = R2 – Phân đôi toạ độ.

b. Nếu M(x0;y0)  (C) (tức là M/(C) # 0), ta giả sử:
(d): A(x – x0) + B(y – y0) = 0  (d): Ax + By – Ax0 – By0 = 0
2. Tiếp tuyến song song với đường thẳng (): Ax + By + C = 0, khi đó:
(d): Ax + By +

= 0.

3. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (): Ax + By + C = 0, khi đó:
(d): Bx – Ay +

= 0.

4. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng k, khi đó:
(d): y = kx +

 (d): kx – y +

= 0.

5. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng () một góc , khi đó ta linh hoạt sử dụng một
trong hai công thức:

a.b
 
cosα=   , với a, b theo thứ tự là véc tơ chỉ phương của (d), ().
a.b

tanα=

k1 -k 2

, với k1, k2 theo thứ tự là hệ số góc của (d), ().
1+k1k 2

Cách 2: Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải.
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Giả sử điểm M(x0,y0) là tiếp điểm, khi đó:
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
x.x0 + y.y0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = 0. (1)
(hoặc (x – a)(x0 – a) + (y – b)(y0 – b) = R2).
Điểm M  (C)
 x02 + y02 – 2ax0 – 2by0 + c = 0 (2)
(hoặc (x0 – a)2 + (y0 – b)2 = R2)
Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 21 -


Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình

Bước 2: Sử dụng điều kiện K của giả thiết, ta thiết lập thêm một phương trình
theo x0, y0 (3)
Bước 3: Giải hệ tạo bởi (2), (3) ta được toạ độ tiếp điểm M(x0,y0), từ đó thay
vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định.
Chú ý:
Một mở rộng trong nhiều trường hợp tỏ ra rất hiệu quả đó là họ tiếp tuyến của
đường tròn dựa trên phương trình tham số của đường tròn, cụ thể:
Cho đường tròn (C) có phương trình (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Tiếp tuyến với (C) tại M(x0,y0)  (C) có dạng:
(x – a)(x0 – a) + (y – b)(y0 – b) = R2
x0 - a

y0 - b
 (x – a)(
) + (y – b)(
) = R.
R
R
Vì M(x0;y0)  (C) nên:
x0 - a 2 y0 - b 2
(x0 – a)2 + (y0 – b)2 = R2 (
) +(
) = 1.
R
R
Do đó có thể đặt:

x0 -a
y0 - b
= sint,
= cost với t[0;2)
R
R

Khi đó mọi tiếp tuyến (dt) của (C) có dạng:
(dt): (x – a)sint + (y – b)cost = R.
Ta gọi các tiếp tuyến (dt) với tham số t là họ tiếp tuyến của (C).
 x  a  R sin t
 y  b  R cos t

Toạ độ tiếp điểm của (C) với (dt) là: 

Ví dụ1: Cho đường tròn (C) có phương trình:
(C): x2 + y2 - 4x + 8y – 5 = 0.
a. Tìm toạ độ tâm và bán kính của (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua A(-1;0).
c. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng
(d): 3x – 4y + 5 = 0.
Giải:
a. Ta có ngay, tâm I(2;-4) và bán kính R = 5.

Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh

- 22 -