Chuyên đề đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ pptx

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
1
Trường THPT Chuyên Tiền Giang
Chuyªn ®Ò
Nhóm thực hiện:
• Dương Minh Thông
• Phạm Hữu Hiệp
• Nguyễn Trung Sơn
• Đặng Hoàng Long
• Huỳnh Tuấn Trường
Năm học: 2010-2011
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Các bạn đọc giả thân mến!
Nhằm giúp các bạn học sinh có điều kiện hiều sâu hơn về chuyên đề
“phương trình đường thẳng”, đồng thời khơi dậy ở các bạn sự yêu thích và
lòng say mê với bộ môn hình học ở trường THPT, nhóm học sinh chúng tôi
đã biên soạn cuốn chuyên đề “phương trình đường thẳng ”. Chúng tôi nhận
thấy bên cạnh sách giáo khoa, các bạn học sinh cần phải nâng cao kiến thức,
kĩ năng toàn diện để chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại
học.
Cuốn chuyên đề sẽ là một tài liệu hữu ích cho các bạn tự củng cố và
bồi dưỡng kiến thức hình học của mình. Các bạn có thể sử dụng cuốn
chuyên đề như một tài liệu ôn tập tốt trong các kì thi tốt nghiệp THPT cũng
như các kì thi học sinh giỏi.
Hy vọng với cuốn sách này, các bạn học sinh sẽ thêm yêu mến bộ
môn hình học, tự tin trong quá trình học tập và nghiên cứu toán sau này.
Mặc dù chúng tôi đã cố gắng hết mình để cuốn chuyên đề được hoàn
hảo nhất nhưng chắc hẳn nó vẫn còn nhiều thiếu sót, xin các bạn hãy lượng
thứ và xin các bạn hãy đóng góp ý kiến cho chúng tôi về địa chỉ :”lớp 10
Toán, trường THPT Chuyên Tiền Giang” để chúng tôi có thật nhiều kinh
nghiệm trong các cuốn chuyên đề sau.

Cuối cùng chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Tấn Đạt đã
tạo điều kiện thuận lợi nhất để chúng em hoàn thành quyển chuyên đề này!
(Nhóm học sinh lớp 10 Toán)
2
Trng THPT Chuyờn Tin Giang Lp 10 Toỏn
Sụ lửụùc ve ủửụứng thaỳng:
Mt ng thng c hiu nh l mt ng di (vụ hn), mng (vụ cựng)
v thng tuyt i. Trong hỡnh hc Euclide, cú mt v ch cú mt ng
thng i qua hai im bt k khỏc nhau. ng thng ny to ra on ni
ngn nht gia hai im ú.
Hai hay ba im nm trờn cựng mt ng thng c gi l cng tuyn.
Trong mt mt phng, hai ng thng khỏc nhau hoc l song song tc
khụng bao gi gp nhau, hoc giao nhau ti mt v ch mt im. Hai mt
phng giao nhau nhiu nht l mt ng thng.
ng thng trong mt phng Descartes cú th c mụ t bng phng
trỡnh tuyn tớnh.
Khỏi nim trc quan v ng thng cú th c hỡnh thc húa bng nhiu
cỏch. Nu hỡnh hc c phỏt trin theo phng phỏp tiờn (nh trong tỏc
phm Cỏc phn t ca Euclid hay trong tỏc phm sau ny C s ca hỡnh
hc ca David Hilbert), thỡ ng thng chng c nh ngha gỡ c, m ch
c c trng bi cỏc tớnh cht ca nú trong h tiờn . "Bt k th gỡ tha
món cỏc tiờn ca ng thng thỡ nú chớnh l ng thng.". Trong khi
Euclide ó tng nh ngha ng thng l cỏi gỡ y "cú chiu di m
khụng cú b dy", thc ra ụng cha bao gi dựng nh ngha m h ny
cỏc chng minh phớa sau trong tỏc phm ca mỡnh.
3
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Trong không gian Euclide R
n
(và cũng như trong mọi không gian vector

khác), chúng ta định nghĩa đường thẳng L là tập con của không gian đang
xét và có dạng:
với a và b là hai vector cho trước trong R
n
, đồng thời b phải khác vector 0.
Vector b xác định hướng của đường thẳng, và a là một điểm nằm trên đường
thẳng. Chọn các vector a và b khác nhau có thể dẫn đến kết quả cùng một
đường thẳng.
Trong không gian hai chiều, chẳng hạn trong một mặt phẳng, hai đường
thẳng khác nhau hoặc là hai đường thẳng song song hoặc phải cắt nhau tại
một điểm. Tuy nhiên, trong không gian nhiều hơn hai chiều, hai đường
thẳng có thể không song song nhau mà cũng chẳng cắt nhau, và hai đường
thẳng như vậy gọi là hai đường thẳng chéo nhau.
Trong R
2
, mọi đường thẳng được biểu diễn bởi một phương trình tuyến tính
có dạng
với a, b và c là các hệ số thực cố định trong đó a và b không đồng thời bằng
0. Các tính chất quan trọng của đường thẳng trong không gian hai chiều là
độ dốc, giao điểm của nó với trục Ox, giao điểm của nó với trục Oy.
Trừu tượng hơn, người ta thường nghĩ về trục số thực như là một nguyên
mẫu điển hình cho một đường thẳng, và giả định rằng mỗi điểm trên đường
thẳng tương ứng một-một với một số thực nào đó trên trục số thực. Thế
nhưng ta hoàn toàn có thể sử dụng cả số “siêu thực” và kể cả đường thẳng
dài trong lý thuyết topo để làm nguyên mẫu cho đường thẳng.
Tính chất “thẳng” của đường thẳng, thường được hiểu là tính chất cho phép
đường thẳng cực tiểu hóa khoảng cách giữa hai điểm, mà về sau có thể được
tổng quát hóa thành khái niệm đường trắc địa trong đa tạp khả vi.
Tuy nhiên, ở đây ta chỉ xét đường thẳng trong mặt phẳng Descartes (Oxy) và
phương trình đường thẳng có thể được mô tả bằng phương trình tuyến tính

(1)
.
(1)
Phương trình tuyến tính (hay còn gọi là phương
trình bậc một hay phương trình bậc nhất) là một
phương trình đại số có dạng:
• b là một hằng số (hay hệ số bậc 0).
• a là hệ số bậc một.
Phương trình bậc một được gọi là phương trình
tuyến tính vì đồ thị của phương trình này (xem
hình bên) là đường thẳng (theo Hán-Việt, tuyến nghĩa là thẳng).
4
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
5
Ch¬ng mét
Trường THPT Chun Tiền Giang Lớp 10 Tốn
Nhắc lại lý thuyết:
I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
1. Phương trình tổng qt của đường thẳng:
a. Khái về phương trình tổng qt của đường thẳng:
6
• Vector
0a ≠
r
được gọi là vetor chỉ phương (VTCP) của đường thẳng (d)
( ) ( )a d hay a d⇔ ⊂
r r
P
. Vector
0n ≠

r
được gọi là vetor pháp tuyến (VTPT) của
đường thẳng
( ) ( )d n d⇔ ⊥
r
.
• Phương trình tổng qt của đường thẳng (d) có dạng: Ax + By + C = 0 với
2 2
0A B+ ≠
có VTPT
( )
;n A B
r
; VTCP
( )
;a B A−
r
hoặc
( )
;a B A−
r
.
Như vậy, phương trình đường thẳng (d) đi qua
( )
0 0
;M x y
và có VTPT
( )
;n A B
r

là
( ) ( ) ( )
0 0
0 2A x x B y y− + − =
.
Chú ý:
 Đường thẳng
( ) ( )
1 2
d dP
⇒
VTCP của
( )
1
d
là VTCP của
( )
2
d
; VTPT của
( )
1
d
là VTPT của
( )
2
d
.
 Đường thẳng
( ) ( )

1 2
d d⊥
⇒
VTCP của
( )
1
d
là VTPT của
( )
2
d
; VTPT của
( )
1
d
là VTCP của
( )
2
d
.
 Nếu
( )
; ;u X Y v u⊥
r r r
thì
( )
;v Y X−
r
.
 Nếu đường thẳng (d) cắt Ox tại A(a; 0) và cắt Oy tại B(0; b) với a, b

0
≠

thì phương trình
( )
: 1
x y
d
a b
+ =
, gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn
chắn AB.
 Nếu đường thẳng (d) có VTPT
( )
;n A B
r
thì phương trình đường thẳng (d)
có dạng Ax + By + m = 0.
 Nếu đường thẳng (d) có VTCP
( )
1 2
;a a a
r
thì phương trình đường thẳng (d)
có dạng
2 1
0a x a y m− + =
 Nếu đường thẳng (d) đi qua
( )
0 0 0

;M x y
thì phương trình đường thẳng (d)
có dạng
( ) ( )
0 0
0x x y y
α β
− + − =
với điều kiện
2 2
0
α β
+ >
Đặc biệt: Nếu
( )
d Ox⊥
thì
0,
β
=
khi đó phương trình đường thẳng
( )
0
:d x x=
.
Nếu
( )
d Oy⊥
thì
0,

α
=
khi đó phương trình đường thẳng
( )
0
:d y y=
.
Sau đó diễn tả thêm một điều kiện khác để xác định tham số m hay
,
α β
.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
b. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc:
c. Sự đối xứng:
7
Định nghĩa: Gọi
α
là góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và đường thẳng (d) (góc xuất
phát từ chiều dương trục Ox quay theo một chiều nhất định đến gặp đường thẳng (d) lần
đầu tiên), ta định nghĩa
tank
α
=
là hệ số góc của đường thẳng (d).
Theo định nghĩa nêu trên: nếu (d)
⊥
thì không tồn tại hệ số góc của đường thẳng (d).
Tính chất:
 Nếu (d) có VTCP
( )

1 2
;a a a
r
thì (d) có hệ số góc
2
1
a
k
a
=
, với
1
0.a ≠
Ngược lại, nếu (d) có hệ số góc k thì (d) có một VTCP là
( )
1;a k
r
 Nếu (d) có VTPT
( )
1 2
;n n n
r
thì (d) có hệ số góc
1
2
2
, 0
n
k n
n

= − ∀ ≠
.
Ngược lại, nếu (d) có hệ số góc k thì (d) có mộy VTPT là
( )
; 1n k −
r
 Nếu
( )
d ∆P
thì
d
k k
∆
=
.
 Nếu
( )
d ⊥ ∆
thì
. 1
d
k k
∆
= −
.
Phương trình đường thẳng qua một điểm và có hệ số góc:
Phương trình đường thẳng đi qua
( )
0 0
;M x y

và có hệ số góc k có dạng:
Đặc biệt: khi
( )
d Ox⊥
thì phương trình (d) có dạng:
0
x x=
.
Chuù yù:
 Khi sử dụng hệ số góc để viết phương trình một đường thẳng ta cần phải xét hai
trường hợp: đường thẳng đó vuông góc với Ox và đường thẳng đó không vuông
góc với Ox.
 Nếu phương trình đường thẳng
( ) ( ) ( )
0 0
: 0d x x y y
α β
− + − =
với
0
β
≠
sẽ trở thành:
( )
0 0
y y x x
α
β
− = − −
thì tỉ số

k
α
β
= −
chính là hệ số góc của đườnh thẳng (d), do đó ta có thể
nói phương trình đường thẳng dạng:
( )
0 0
y y k x x− = −
là trừng hợp đặc biệt của phương trình
đường thẳng dạng:
( ) ( )
0 0
0x x y y
α β
− + − =
.
• Điểm M’ đối xứng của M qua đường thẳng (d):
Cách 1: Viết phương trình đường thẳng (d’) qua M và vuông góc với (d), tìm
giao điểm H của (d) và (d’), do H là trung điểm của MM’, từ đó suy ra toạ độ
của M’.
 Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d’) qua M và vuông góc
với (d), xác định tham số tH của giao điểm H giữa (d) và (d’), do
' 2.MM MH=
uuuuur uuuur

nên tM = 2tH, từ đó suy ra toạ độ M’.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
8

Cách 3: Lấy một điểm H có toạ độ phụ thuộc tham số trên đường (d), diễn
tả điều kiện
. 0
d
MH a =
uuuur uur
, suy ra toạ độ điểm H, từ đó tính toạ độ của điểm M’
Chuù yù:
i. Để tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng (d) ta tìm điểm H trong cách 1.
ii. Cách thứ 2, 3 giúp ta giải quyết được bài toán: Từ một điểm M cho trước kẻ đường
thẳng vuông góc với một đường thẳng (d) cho trước, cắt (d) tại H, kéo dài MH một
đoạn HM’ saocho MM’ = k.MH, xác định toạ độ điểm M’.
• Đường thẳng (d’) đối xứng của đường thẳng (d) qua điểm M:
Cách 1: Lấy hai điểm N, K có toạ độ tùy ý trên đường thẳng (d), tìm toạ độ
hai điểm đối xứng N’ và K’ của chúng qua M, đường thẳng (d’) chính là
đường thẳng đi qua hai điểm N’ và K’.
Cách 2: Lấy điểm N có toạ độ tùy ý trên đường thẳng (d), tìm toạ độ điểm đối
xứng của N qua M, đường thẳng (d’) chính là đường thẳng qua N’ và song
song với (d).
Cách 3: Viết dạng phương trình đường thẳng (d’): ax + by + m = 0 song song
với (d):ax + by + c = 0, sau đó diễn tả điều kiện :
( )
( )
( )
( )
, ' ,d M d d M d=
để
tính m, suy ra kết quả.
• Đường thẳng (d’) đối xứng của đường thẳng (d) qua đường thẳng
( )

∆
:
Cách: Tìm giao điểm I của (d) và
( )
∆
, lấy M có toạ độ tùy ý trên (d) với M
≠
I, tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua
( )
∆
, đường thẳng (d’) chính là
đường thẳng qua hai điểm I và M’.
Đặc biệt: Khi (d) và
( )
∆
song song nhau, thì đường thẳng (d’) là đường thẳng qua M’ và
song song với (d).
Cho hai đường thẳng (d
1
): Ax
1
+ By
1
+ C
1
= 0 và (d
2
): Ax
2
+ By

2
+ C
2
= 0
Vị trí tương đối
của (d
1
) và (d
2
)
Kết luận theo tỉ số Kết luận theo định thức
Cắt nhau
1 1
2 2
A B
A B
≠
1 1
2 2
0
A B
D
A B
= ≠
.Khi đó toạ độ giao
điểm là:
x
y
D
x

D
D
y
D

=




=


với
1 1
2 2
x
B C
D
B C
=

và
1 1
2 2
y
C A
D
C A
=

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
2. Phương trình tham số của đường thẳng:
II. KHOẢNG CÁCH – GÓC:
9
Song song nhau
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
= ≠
D = 0 và
( )
0 0
x y
D hay D
≠ ≠
Vuông góc nhau
1 2 1 2 1 2
. . 0n n A A B B
⊥ ⇔ + =
ur uur
Trùng nhau
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
= =
D = D
x
= D

y
= 0
Đường thẳng (d) đi qua
( )
0 0 0
;M x y
và có các vector chỉ phương
( )
1 2
;a a a
r
có:
 Phương trình tham số:
( )
0 1
0 2
,
x x ta
t
y y ta
= +

∈

= +

¡
 Phương trình chính tắc:
0 0
1 2

x x y y
a a
− −
=
, với
1 2
, 0.a a ≠
• Từ phương trình tham số nếu ta sử dụng phương pháp cộng đại số để khử mất
tham số t thì ta được phương trình tổng quát.
• Ngược lại, từ phương trình tổng quát, ta chọn một điểm trên đường thẳng và chỉ
ra vector chỉ phương thì có thể lập được phương trình tham số của đường
thẳng đó.
• Từ phương trình chính tắc, ta nhân chéo hai vế và rút gọn thì được phương trình
tổng quát.
• Phương trình chính tắc:
{
( )
0 0
2
0 0
1 2 1
hsg k
x x y y
a
y y x x
a a a
− −
= ⇒ − = −
, ( hsg: hệ số góc)
• Có thể sử dụng hệ phương trình theo tham số của hai đường thẳng và tùy theo hệ

này vô nghiệm hay có một nghiệm duy nhất hay có vô số nghiệm mà hai
đường thẳng này song song nhau hay cắt nhau hay trùng nhau.
1. Tính khoảng cách: Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và điểm
( )
;
M M
M x y
.
Ta có:
( )
( )
2 2
;
M M
Ax By C
d M d
A B
+ +
=
+
Chú ý: i/
( )
1
. . ;
2
ABC
S BC d A BC=
ii/ Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và hai điểm
( )
;

M M
M x y
và
( )
;
N N
N x y
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
10
( ) ( )
0
M M N N
Ax By C Ax By C+ + + + < ⇔
M và N nằm hai bên đường thẳng (d).
( ) ( )
0
M M N N
Ax By C Ax By C+ + + + > ⇔
M và N nằm cùng một bên đường thẳng (d).
Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng (d
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 và (d
2

): A
2
x + B
2
y + C
2
= 0. Gọi
( )
∆
là
phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này, ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1 2 2 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
; ; ;
A x B y C A x B y C
M x y d M d d M d
A B A B
+ + + +
∀ ∈ ∆ ⇔ = ⇔ =
+ +
Chia hai trường hợp, sau đó nhân chéo, rút gọn rồi suy ra phương trình hai đường phân
giác
( ) ( )
1 2

,∆ ∆
Chú ý:i) Để phân biệt được phương trình phân giác của góc nhọn và góc tù ta có
nhiều cách thực hiện như:
• Xác định dấu của từng vùng mà hai đường thẳng chia mặt phẳng toạ độ, từ đó biết
dấu của các vùng chứa phân giác góc nhọn và góc tù, suy ra phương trình của chúng.
• Tính góc: Nếu
( )
1 1
2 2
cos ;
2 2
d hay
 
∆ > <
 ÷
 ÷
 
thì
( )
1
∆
là phân giác góc nhọn (hay tù)
của góc tạo bởi (d
1
) và (d
2
).
• Lấy một điểm N có toạ độ đặc biệt trên (d1), tính
( )
( )

1 1
;d d N= ∆
và
( )
( )
2 2
;d d N= ∆
,
khoảng cách nào nhỏ hơn thì đường phân giác tương ứng là đường phân giác của góc
nhọn.
• Tính
1 2
.n n
uruur
với
( )
1 1 1
;n A B
ur
và
( )
2 2 2
;n A B
uur
.
∗ Nếu
1 2
.n n
uruur
< 0 thì phương trình phân giác góc tù là:

1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
= −
+ +
∗ Nếu
1 2
.n n
uruur
> 0 thì phương trình phân giác góc tù là:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
=
+ +
ii) Để viết phương trình phân giác trong hay ngoài của một góc trong một tam
giác ta có thể thực hiện như sau:
• Lập phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh AB và AC.
• Tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này.
• Xét một trong hai kết quả, ví dụ như
( )
1
∆
:f(x;y) = A’x + B’y + C’ = 0. Tính

f(x
B
;y
B
) và f(x
C
;y
C
).
∗Nếu tích f(x
B
;y
B
).f(x
C
;y
C
) < 0 thì B, C nằm hai bên
( )
1
∆
nên
( )
1
∆
là phân giác trong.
∗Nếu tích f(x
B
;y
B

).f(x
C
;y
C
) > 0 thì B, C nằm một bên
( )
1
∆
nên
( )
1
∆
là phân giác ngoài.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
11
iii) Một cách khác để viết phương trình phân giác trong và ngoài của một tam
giác:
Tính toạ độ hai vector
, ,AB AC
uuur uuuur
từ đó tính tọa độ hai vector đơn vị của chúng
AB
AB
a
AB
=
uuur
uuur
uuur
và

AC
AC
a
AC
=
uuur
uuur
uuur
, xác định toạ độ vector tổng
AB AC
a a a= +
r uuur uuur
, đây chính là vector chỉ phương
của đường phân giác trong của góc A. Tương tự
AB AC
b a a= −
r uuur uuur
là vector chỉ phương của
đường phân giác ngoài của góc A.
2. Tính góc: Nếu hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có hai vector pháp tuyến lần lượt là
( )
1
1 1
;n A B
r
và

( )
2
2 2
;n A B
r
thì
( )
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 1
cos ; cos ;
.
A A B B
d d n n
A B A B
+
= =
+ +
ur uur
.
Chú ý:
i) Để tính góc trong
µ
A
của
ABC
∆
ta dùng công thức

µ
( )
cos cos ;A AB AC=
uuur uuur
.
ii) Gọi
ϕ
là góc tạo bởi (d1) và (d2), thì ta có:
1 2
1 2
tan
1 .
d d
d d
k k
k k
ϕ
−
=
+
.
Phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm M và hợp với đường thẳng (d) một góc
α

cho trước:
Kiểm tra đường thẳng: x = x
M
xem có thoả điều kiện bài toán không?

Giả sử
∆
không vuông góc với Ox, khi đó phương trình
( ) ( )
: 0
M M M M
y y k x x kx y kx y∆ − = − ⇔ − − − =
có VTPT
( )
; 1n k
∆
= −
uur
. Tính cosin góc của hai
đường thẳng
( )
∆
và (d), cho nó bằng
cos
α
, giải tìm k. Kết luận.
Chú ý: i) Ta có thể sử dụng phương trình
∆
dạng
( ) ( )
0 0
0x x y y
α β
− + − =
, với điều kiện

2 2
0
α β
+ >
, thực hiện như trên để dẫn đến một phương trình bậc hai theo
,
α β
. Khi đó ta
không cần thực hiện việc kiểm tra trường hợp
Ox∆ ⊥
.
ii) Ta có thể dùng công thức tính góc, theo hàm tan:
tan
1 .
d
d
k k
k k
α
∆
∆
−
=
+
.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
12
Ch¬ng hai
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Giải

Phương trình BC vuông góc đường cao AH, qua B có dạng

4 3 0
4.2 3.( 1) 0
5
x y c
c
c
+ + =
⇔ + − + =
⇔ = −
Vậy BC:
4 3 5 0x y
+ − =
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

4 3 5 0
2 5 0
1
3
x y
x y
x
y
+ − =

•

+ − =


= −

⇔

=

Vậy C(-1;3)
Gọi B’ là đối xứng của B qua phân giác C. BB’ có dạng

2 0
2.2 ( 1) 0
5
x y c
c
c
− + =
⇔ − − + =
⇔ = −
Suy ra BB’:
2 5 0x y
− − =
Toạ độ giao điểm M của BB’ và phân giác tại C là (3;1)
Mà M là trung điểm BB’nên
'
'
2 4
2 3
B M B
B M B
x x x

y y y
= − =


= − =

Vậy B’(4;3)
Vì
'
3
B C
y y= =
nên AC : y = 2
Điểm A là giao điểm cua đường cao AH và AC, nên A(-5;3)
Vậy phương trình đường thẳng AB

3 1 3
5 2 5
4 7 1 0
y
x
x y
− − −
=
+ +
⇔ + − =
13
Phần 1: Các ví dụ
Ví dụ 1: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết nếu B (2;-1),
đường cao và phân giác trong qua hai đỉnh A, C lần lượt là 3x – 4y + 27 = 0 ;

x + 2y – 5 = 0.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Vậy AB:
4 7 1 0x y
+ − =
BC:
4 3 5 0x y
+ − =
AC: y = 2
Giải
Gọi ABC là tam giác đã cho
Giả sử M (-1;1) là trung điểm BC và AB: x + y – 2 = 0
và AC: 2x + 6y + 3 = 0
Suy ra A(
15 7
;
4 4
−
)
M(-1;1) là trung điểm BC nên
2
2
B C
B C
x x
y y
+ = −


+ =


Mà B
∈
AB và C
∈
AC nên B(
1 7
;
4 4
), C(
9 1
;
4 4
−
)
Giải
Gọi B (b;3) và C (c; 0). Ta có
2 2
2 2
2 2
( 1) 4
( 1) 1
( ) 9
AB b
AC c
BC c b

= − +

= − +



= − +

Tam giác ABC đều nên AB = AC = BC hay
2 2 2
AB AC BC
= =
2 2
2 2
( 1) 4 ( 1) 1
( 1) 1 ( ) 9
b c
c c b

− + = − +

⇒

− + = − +


Giải hệ phương trình tao được
1 1
2 2
3 4 3 5 3 3
( ;3); ( ;0)
3 3
3 4 3 5 3 3
( ;3); ( ;0)

3 3
B C
B C
+ +
•
− +
•
14
Ví dụ 2: Trên mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC với một cạnh có trung
điểm là M(-1;1), còn hai cạnh kia có phương trình là x + y – 2 = 0,
2x + 6y + 3 = 0
Ví dụ 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A (1;1). Hãy tìm diểm B trên y = 3
và C trên trục hoành sao cho tam giác ABC đều.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Giải
1. Dễ thấy A, B, C nằm trên
∆
.
Ta có

1
( ; 1)
2
3
( ;3)
2
1
3
CA
CB

CA CB
−
= −
=
−
⇒ =
uuur
uuur
uuur uuur
A, B, C, D là hàng điểm điều hoà khi đó

1
3
1
( )
3
1
( )
3
1
3
( 1; 3)
A D B D
A D B D
D
D
DA DB
x x x x
y y y y
x

y
C
=

− = −


⇔


− = −


= −

⇔

= −

⇔ − −
uuur uuur
2. Goi M(x ; y)
∈

∆
là điểm cần tìm, nên y = 2x + 1

2 2
( 1; 6)
( 3; 4)

(2 2;2 2) (2 2;4 4)
8 5
(2 2) (4 4)
5
EM x y
FM x y
EM FM x y x x
EM FM x x
= − −
= + +
⇒ + = + − = + −
⇒ + = + + − ≥
uuuur
uuuur
uuuur uuuur
uuuur uuuur
15
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tạo độ Oxy cho
∆
: 2x – y – 1 = 0
Và cho 5 điểm A (0;-1), B (2;3); C (
1
2
;0), E (1;6), F (-3;-4)
1. Tìm trên
∆
điểm D sao cho A, B, C, D là hàng điểm điều hoà.
2. Tìm điểm M trên
∆
sao cho

EM FM
+
uuuur uuuur
có độ dài nhỏ nhất nhỏ
nhất.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Dấu “=” xảy ra khi x =
3
5
, y =
1
5
Vậy M (
3
5
;
1
5
)
Giải
a)
1 2
: 2 0; : 2 3 0x y x y∆ + − = ∆ + − =
số giao điểm của
21
∆∆ và
chính là số nghiệm của hệ phương trình:





=−+
=−+
032
02
yx
yx

Giải hệ này chúng ta có một cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1).
Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại 1 điểm tọa độ giao điểm
(x , y) = (1 ; 1).
b)



+=
−=
∆=−+∆
ty
tx
yx
22
41
:01042:
21
Từ phương trình đường thẳng
2
∆
ta có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào
1

∆
ta được
2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0
⇔
10 – 8t + 8t = 0  10 = 0 (vô lí)  hai đường
thẳng này không có điểm chung.
Vậy hai đường thẳng
21
∆∆
và
song song với nhau.
c)



−=
+−=
∆=−+∆
ty
tx
yx
46
56
:012108:
21
Đường thẳng
2
∆
có vtcp là
)4;5( −=u

r
nên
2
∆
có vtpt là
)5;4(
=
n
r
.
2
∆
đi qua
điểm có tọa độ (-6 ; 6) nên
2
∆
có pt tổng quát là : 4(x + 6) + 5(y – 6) = 0
 4x + 5y – 6 = 0.
Số giao điểm của
21
∆∆ và
chính là số nghiệm của hệ phương trình:
16
Ví dụ 5: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao
điểm trong trường hợp cắt nhau:
a)
1 2
: 2 0; : 2 3 0x y x y∆ + − = ∆ + − =
.
b)




+=
−=
∆=−+∆
ty
tx
yx
22
41
:01042:
21
c)



−=
−−=
∆=−+∆
ty
tx
yx
46
56
:012108:
21
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán





=−+
=−+
0654
012108
yx
yx
Hệ này có vố số nghiệm nên
21
∆∆
và
trùng nhau.
Giải
a)
1 2
: 4 2 6 0; : 3 1 0x y x y∆ − + = ∆ − + =
ta có:
( )
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos ,
a a b b
a b a b
+
∆ ∆ =
+ +

với a
1
= 4 ; b
1
= -2 ; a
2
= 1 ; b
2
= -3
Vậy
( )
( )
0
21
2222
21
45;
2
1
20
10
10.20
10
10.20
|10|
)3(1.)2(4
|)3).(2(1.4|
;
=∆∆⇒
====

−+−+
−−+
=∆∆Cos
b)



+=
−=
∆=−+∆
ty
tx
yx
22
41
:01042:
21

Đường thẳng
2
∆
có vtcp là
)2;4(
2
−=
∆
u
r
vì vậy vtpt của
2

∆
là
)4;2(
2
=
∆
n
r
Đường thẳng
1
∆
có vtpt là
)4;2(
1
=
∆
n
r
.
Vậy

( )
( )
0
21
2222
21
0;
1
20

20
20.20
|20|
)4(2.)4(2
|4.42.2|
;
=∆∆⇒
===
++
+
=∆∆
Cos
c) d
1
: x – 2y + 5 = 0 d
2
: 3x – y = 0.
Ta có:
2
1
25
5
19.41
23
.
;
2
2
2
2

2
1
2
1
2121
21
==
++
+
=
++
+
=






baba
bbaa
ddCos
Vậy góc giữa d
1
và d
2
= 45
o
17
Ví dụ 6: Xác định góc giữa hai đường thẳng

a)
1 2
: 4 2 6 0; : 3 1 0x y x y∆ − + = ∆ − + =
b)



+=
−=
∆=−+∆
ty
tx
yx
22
41
:01042:
21
c) d
1
: x – 2y + 5 = 0 d
2
: 3x – y = 0.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Giải
a)



+=
−=

∆=−−∆
ty
tx
yx
22
21
:01022:
21
Đường thẳng
2
∆
có vtcp là
)2;2(
2
−=
∆
u
r
vì vậy vtpt của
2
∆
là
)2;2(
2
=
∆
n
r
Đường thẳng
1

∆
có vtpt là
)2;2(
1
−=
∆
n
r
.
Vì vậy

( )
( )
0
21
2222
21
09;
0
8.8
|0|
)2(2.)2(2
|2).2(2.2|
;
=∆∆⇒
==
+−+
−+
=∆∆
Cos

Vậy hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.
b)
0462:53:
21
=−+∆+=∆
xyxy
Đường thẳng
2
∆
: 2y +6x – 4 = 0  y = -3x + 2.

2
∆
có hệ số góc k
2
= -3
Đường thẳng
1
∆
có hệ số góc k
1
= 3.  k
1
.k
2
= 3.(-3)= 0 
21
∆∆
và
vuông

góc với nhau.
Giải :
a) Ta có:
5
28
916
1)5.(3)3.(4
),(
=
+
++
=∆
Ad

b)
5
4
169
1)2.(4)1.(3
)',(
=
+
+−
=∆
Ad
18
Ví dụ 7: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
a)




+=
−=
∆=−−∆
ty
tx
yx
22
21
:01022:
21
b)
0462:53:
21
=−+∆+=∆
xyxy
Ví dụ 8: Tính khoảng cách từ điểm đến dường thẳng được cho tương ứng
như sau:
a) A(3 ; 5) và
∆
: 4x + 3y + 1 = 0
b) B(1 ; 2) và
'∆
: 3x – 4y + 1 = 0
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Giải
a) A(4 ; -2) và đường thẳng d:




+=
−=
ty
tx
22
21
Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 2) và có vtcp là
)2;2(−=
d
u
r
vì vậy
vtpt của d là
)2;2(=
d
n
r
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2(x – 1) +2(y – 2) = 0  2x
+2y - 6 = 0
Ta có:

2
1
22
2
8
2
44
6)2.(2)4.(2
),(

===
+
−−+
=
dAd
b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’:



=
−=
ty
tx
3
1
Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0) và có vtcp là
)3;1(−=
d
u
r
vì
vậy vtpt của d là
)1;3(
=
d
n
r
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: -1(x – 1) +3(y – 0) = 0
 - x + 3y +1 = 0
Ta có:

10
17
91
1)3.(3)7.(1
),(
=
+
++−−
=
dAd
.
19
Ví dụ 9: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng
như sau:
a) A(4 ; -2) và đường thẳng d:



+=
−=
ty
tx
22
21
b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’:



=

−=
ty
tx
3
1
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Bài 1. Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-2;-1) và C(2;-2).
a) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và AC.
b) Viết phương trình tham số của đường cao CE, trung tuyến BM và đường
trung trực của cạnh BC.
Bài 2. Cho điểm A(-1;1) và đường thẳng d:
a) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua A.
b) Tìm trên d điểm C và trên trục hoành điểm D sao cho A là trung điểm của
CD.
Bài 3. Cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Dựng hình chữ
nhật ABCD sao cho B, C thuộc đường thẳng d, C có hoành độ âm và
. Tìm tọa độ các điểm B, C, D.
Bài 4. Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3), đường phân giác CE: x + 2y = 0
và đường cao BD:

Tìm tọa độ điểm B và C.
Bài 5. Cho điểm M(1;3). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt tia Ox
tại A(a,0) và tia Oy tại B(0,b) (a, b > 0) sao cho OA + OB là nhỏ nhất.
Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (D):xcosa + ysina + 2cosa + 1=
1. Chứng minh rằng khi a thay đổi (D) luôn tiếp xúc với một đường tròn
cố định
2. Cho I(-2;1). Dựng IH vuông góc với (D) ( H nằm trên D ) và kéo dài
IH một đoạn HN = 2IH. Tính toạ độ của N theo a.
20
Phần 2: Bài tập vận dụng

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Bài 7: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm
trong trường hợp cắt nhau:
a)
1 2
:8 10 12 0; : 4 3 16 0x y x y∆ + − = ∆ + − =
.
b)



+=
+=
∆+−∆
ty
tx
yx
23
5
:;10612:
21
c)



+=
+=
∆






+=
=
∆
ty
tx
ty
tx
23
5
:
5
2
10
1
:
21
Bài 8: Xác định góc giữa hai đường thẳng sau
a)
1 2
: 2 5 0; :3 0x y x y∆ − + = ∆ − =
b)
1 2
: 2 4 0; :2 6 0x y x y∆ + + = ∆ − + =
c)
1 2
: 4 2 5 0; : 3 1 0x y x y∆ − + = ∆ − + =
Bài 9: Các cặp đường thẳng sau có vuông góc với nhau không?

a) 2x - y - 3 = 0. và 2x + y - 4 = 0
b)



+=
+=
ty
tx
23
72
và 4x + 6y - 6 = 0
Bài 10
Tính bán kính đường tròn tâm I( 1 ; 5) và tiếp xúc với đường thẳng
d: 4x -3y +1 = 0
Bài 11: Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: A(4 ; 6) ; B(1 ; 4), C(7 ; 2)
Hãy tính khoang cách từ các đỉnh đến các cạnh đối diện tương ứng.
21
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán

22
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Giải
+ =
1
(d ): 3x y 0
;
− =
2
(d ): 3x y 0

.
+
( )
∩ =
1 2
d d 0 0;0
+
( )
−
= =
1 2
3. 3 1
1
cos d ;d
2.2 2
·
⇒ =
0
AOC 60
(∆AOC vuông tại A).
⇒ = = =AC 2R ; AB R ; BC R 3
;
=
2R
OA
3
.
Theo gt:
= ⇒ = ⇔ = ⇒ =
ABC

3 AB.BC 3 2
S R 1 OA
2 2 2
3
Mà
( )
( )
∈ ⇒ −
1
A d A a; 3a
⇒ = ⇔ + = ⇔ =
2 2 2 2
4 4 4
OA a 3a 4a
3 3 3
⇔ =
1
a
3
(a > 0).
+

 
−

 ÷

 

⊥


3
3 1
1
qua A ; 1
(d ):
3
(d ) (d )

⇒ − − =
3
4
(d ):x 3y 0
3
.
+
 
−
∈
 ÷
 ÷
 
3
3t 4
T t; d
3
+
 
−
= + = ⇔ + =

 ÷
 ÷
 
2
2 2 2 2
7 3t 4 7
OT OA AT t
3 3 3
23
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
+ =
1
(d ): 3x y 0
;
− =
2
(d ): 3x y 0
. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại hai điểm
B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam
giác ABC có diện tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương.
Trường THPT Chun Tiền Giang Lớp 10 Tốn
( )


 
−
= ⇒ >

 ÷
 ÷

 
⇔ − − = ⇒

 
− − −

= ⇒
 ÷

 ÷
 

1 2
2
2
5 3 5 3 1
t I ; loại vì d I,d 1
6 6 2
12t 8 3t 5 0
3 3 3
t I ; (nhận)
6 6 2
Vậy

( )
 
 
+ + + =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2
2
3 3
T : x y 1
6 2
Giải
Đặt
d : x y 4 0+ − =

+
A d : x y 0∈∆ ⊥ ⇒ ∆ − =
+ Gọi
( )
H d H 2;2= ∆ ∩ ⇒
+ Gọi I là trung điểm BC
suy ra H là trung điểm IA  I(-2; -2)
+ Đường thẳng (BC) qua I và song song d
 (BC): x + y + 4 = 0.
+
( )


− −

∈ ⇒

− −


B b ; b 4
B,C BC
C(c ; c 4)
+
( )
AB b 6; b 10= − − −
uuur
;
( )
EC c 1; c 1= − − −
uuur
.
Ta có:


=



uuur uuur
AB.EC 0
I là trung điểm BC
( ) ( ) ( ) ( )


− − + + + =

⇔

+ = −


b 6 c 1 b 10 c 1 0
b c 4
  
+ + = = = −
⇔ ⇔ ∨
  
+ = − = − =
  
bc 2c 8 0 c 2 c 4
b c 4 b 6 b 0
( ) ( )
⇒ − −
B 6;2 ;C 2; 6
hay
( ) ( )
− −
B 0; 4 ;C 4;0
.
24
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6);
đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình
x y 4 0+ − =

.
Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C
của tam giác đã cho.
d
H
M
I
B
C
A
E
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng tại A, có đỉnh C(-
4;1), phân giác trong của góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình
đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hồnh độ
dương.
(-4;1)
x + y - 5 = 0
B
A
C
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Giải

Gọi AC là (d).
Nếu (d) vuông góc với Ox.
Thì (d): x = x
c
.
Do đó: x = - 4 (loại)
Nếu (d) không vuông góc với Ox.

(d): y – 1 = k(x+4).
014
=++−⇔
kykx
Ta lại có:
11
2
2
1.2
1.1.1
45cos);cos(
2
2
0
+=−⇔
=
+
−
⇔
=
kk
k
k
dAD
( ) ( )
81144
)1;4(
1:)(0
112
22

22
=−+−−=⇒
⇒
=⇒=⇔
+=+−⇔
AC
A
ydk
kkk
Mặt khác:

6
48.
24
2
1
=⇒
=⇔
==
AB
ABAC
ACABS
ABC
Gọi B(x;y)
Ta có AB
2
= 36
( ) ( )
1928
3614

22
22
=−−+⇔
=−+−⇔
yxyx
yx
Ta lại có: AB vuông góc với AC nên tích vô hướng của hai vectơ AB và AC
bằng 0.
25