Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j đơn điệu trong không gian banch

đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học khoa học

NGUYN MINH HI

HIU CHNH BT NG THC BIN PHN
J-N IU TRONG KHễNG GIAN BANACH

Chuyờn ngnh: TOáN ứng dụng
Mó s: 60 46 01 12

luận văn thạc sĩ toán học

Ngi hng dn khoa hc:
TS. NGUYN TH THU THY

THáI NGUYÊN - 2015


1

Mục lục
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach

1.1

1.2

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

Không gian Banach lồi đều, trơn đều . . . . . .

8

1.1.2

Ánh xạ đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.3

Ánh xạ j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh . . . . . . .

12

1.2.1

Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2

Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.3

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 17

2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu
2.1

2.2

8

21

Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . .

21

2.1.1

Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2

Sự hội tụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.1

28

Phương pháp lặp ẩn . . . . . . . . . . . . . . .


2

2.2.2

Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . .

31

Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36


3

BẢNG KÝ HIỆU

X

không gian Banach thực

X∗

không gian liên hợp của X

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền giá trị của toán tử A

Fix(T )

Tập điểm bất động của toán tử T

H

không gian Hilbert

C

tập con lồi đóng của H

I

ánh xạ đơn vị

PC

Phép chiếu mêtrix H lên tập con lồi đóng C của H

xn → x

dãy {xn } hội tụ mạnh tới x

xn

dãy {xn } hội tụ yếu tới x

x

4

Mở đầu
Cho X là một không gian Banach thực. Ký hiệu X ∗ là không gian
liên hợp của X, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của X, A : X → X
là một ánh xạ phi tuyến. Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu
trong không gian Banach (viết tắt là VI∗ (A, C)) được phát biểu như
sau: Tìm phần tử x∗ ∈ X thỏa mãn:
x∗ ∈ C :

Ax∗ , j(x − x∗ ) ≥ 0 ∀x ∈ C,

(0.1)

∗

ở đây j(x − x∗ ) ∈ J(x − x∗ ), J : X → 2X là ánh xạ đối ngẫu của X.
Nếu X := H là một không gian Hilbert thực thì bất đẳng thức biến
phân VI∗ (A, C) trở thành bài toán tìm phần tử x∗ ∈ H thỏa mãn
x∗ ∈ C :

Ax∗ , x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(0.2)

Bài toán (0.2) ký hiệu là VI(A, C).
Bất đẳng thức biến phân VI(A, C) được đưa ra và nghiên cứu đầu
tiên bởi Stampacchia (xem [8]) vào những năm đầu của thập kỷ 60

trong khi nghiên cứu bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng.
Từ đó phương pháp bất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiên
cứu rộng rãi và trở thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng
các kỹ thuật để giải số nhiều bài toán trong kinh tế và kỹ thuật. Mặc
dù đã có rất nhiều kết quả nghiên cứu về phương pháp giải bất đẳng


5

thức biến phân, nhưng việc cải tiến các phương pháp nhằm gia tăng
hiệu quả của nó luôn là một đề tài thời sự, được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu.
Trong [4] đã chỉ ra rằng bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) trong
không gian Banach lồi đều và trơn đều tương đương với bài toán điểm
bất động:
x∗ = QC (x∗ − µAx∗ ),

(0.3)

ở đây µ > 0 là hằng số tùy ý và QC là một ánh xạ co rút không giãn
theo tia từ X lên C. Do đó, phương pháp chiếu và một số biến thể
của phương pháp có thể được dùng để giải bất đẳng thức biến phân
(0.1). Tuy nhiên, ánh xạ co rút không giãn theo tia không dễ dàng
tính toán khi C là một tập lồi đóng bất kỳ của X. Để giảm hạn chế
này, trong không gian Hilbert, khi ánh xạ co rút không giãn là phép
chiếu mêtric PC chiếu X lên C, Yamada [11] đã giả thiết C là tập
điểm bất động của ánh xạ không giãn T : H → H và đưa ra phương
pháp lai đường dốc nhất (hybrid steepest-descent) giải bất đẳng thức
biến phân VI(A, C). Phương pháp này được phát triển từ không gian
Hilbert sang không gian Banach, từ một ánh xạ lên một họ các ánh

xạ.
Chú ý rằng, bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn, nói
chung, là bài toán đặt không chỉnh. Do đó, bài toán bất đẳng thức
biến phân VI∗ (A, C) hay VI(A, C), nói chung, cũng là những bài toán
đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộc
liên tục vào dữ kiện ban đầu. Để giải bài toán này, chúng ta phải


6

sử dụng những phương pháp giải ổn định. Một trong những phương
pháp được sử dụng rộng rãi và khá hiệu quả là phương pháp hiệu
chỉnh Browder–Tikhonov (xem [3] và các tài liệu trích dẫn).
Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày lại một kết quả nghiên
cứu mới đây trong [9] của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy về hiệu chỉnh
bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập điểm bất động của một
họ đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Banach.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương
1 với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach"
nhằm giới thiệu một số khái niệm và tính chất về không gian Banach
lồi đều, trơn đều; Ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ không
giãn; Bài toán đặt không chỉnh, bài toán điểm bất động và bất đẳng
thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Nội
dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1]-[3].
Chương hai với tiêu đề "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn
điệu" nhằm giới thiệu về bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập
điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn;
trình bày hai phương pháp giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu,
đó là phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov và phương pháp
hiệu chỉnh lặp. Nội dung của chương này được viết từ bài báo [9].

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Tiến sĩ
Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc nhất tới cô.


7

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông
tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các Thầy
Cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều
kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Tác
giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, các bạn đồng
nghiệp tại trường PTDT Nội trú cấp II-III Bắc Quang, Hà Giang đã
quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành khóa
học.
Xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp cao học Toán K7A đã đoàn
kết, đùm bọc và giúp đỡ nhau trong toàn khóa học.
Cuối cùng xin được gửi lời biết ơn sâu sắc đến những người thân
trong gia đình tôi, những người luôn động viên, khuyến khích và giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Thành quả đạt được chính là món
quà mà tôi muốn dành tặng gia đình thân yêu của mình.
Tác giả
Nguyễn Minh Hải


8

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trong
không gian Banach
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và tính
chất về không gian Banach lồi đều, trơn đều; trình bày khái niệm và
một vài tính chất của ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ
không giãn; Trong phần thứ hai của chương, chúng tôi giới thiệu về
bài toán đặt không chỉnh, bài toán điểm bất động và bất đẳng thức
biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Nội dung
của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1]-[3].
1.1
1.1.1

Không gian Banach
Không gian Banach lồi đều, trơn đều

Ký hiệu mặt cầu đơn vị trong không gian Banach X là S1 (0) :=
{x ∈ X : x = 1}. Không gian Banach X được gọi là có chuẩn khả
vi Gâteaux (hoặc không gian trơn) nếu giới hạn sau
lim
t→0

x + ty − x
,
t

(1.1)

9

tồn tại với mọi x, y ∈ S1 (0). Không gian Banach X được gọi là có
chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu mỗi y ∈ S1 (0), giới hạn (1.1) tồn tại
đều với (x, y) ∈ S1 (0) × S1 (0).
Giả sử dim(X) ≥ 2. Modul trơn của X là hàm ρX : [0, ∞) → [0, ∞)
xác định bởi
ρX (τ ) = sup

1
2

x+y + x−y

− 1 : x ≤ 1, y ≤ τ .

Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu:
ρX (τ )
= 0.
τ →0
τ
lim

Với q > 1, một không gian Banach X được gọi là q-trơn đều nếu
tồn tại một hằng số c > 0 sao cho ρX (τ ) ≤ cτ q . Dễ thấy rằng, nếu
X là không gian q-trơn đều thì q ≤ 2 và X là không gian trơn đều.
Không gian Hilbert, không gian Lp (hoặc lp ) với 1 < p < ∞, không
gian Sobolev Wmp với 1 < p < ∞ là các không gian q-trơn đều nếu
1 < p ≤ 2 và là 2-trơn đều nếu p ≥ 2.
Không gian Banach X được gọi là không gian lồi chặt nếu với mỗi

x, y ∈ S1 (0), x = y thì
V ert(1 − λ)x + λy < 1
với mọi λ ∈ (0, 1), và lồi đều nếu với mọi ε, 0 < ε ≤ 2, từ bất đẳng
thức x ≤ 1, y ≤ 1, và x − y ≥ ε suy ra tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao
cho x + y ≤ 2(1 − δ). Chú ý rằng, mọi không gian Banach lồi đều
đều là không gian phản xạ và lồi chặt.


10

1.1.2

Ánh xạ đối ngẫu
∗

Định nghĩa 1.1. Ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq : X → 2X được định
nghĩa bởi
Jq x = {x∗ ∈ X ∗ : x, x∗ = x

q

và x∗ = x

q−1

} ∀x ∈ X,

ở đây q là một số thực với q > 1.
Ánh xạ Jq tồn tại trong mọi không gian Banach X và nói chung
là một ánh xạ đa trị. Chú ý rằng, Jq x = x

q−2

J2 x với x = 0, ở đây

J2 là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach X và thường
viết là J. Ta sẽ ký hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng quát và ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc đơn trị tương ứng là jq và j. Nếu X := H là một không
gian Hilbert thực thì J = I, ở đây I là ánh xạ đơn vị. Ta có một số
tính chất của ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq sau đây (xem [3]):
i) Jq (−x) = −Jq x với mọi x ∈ D(Jq ), ở đây D(Jq ) là miền xác định
của ánh xạ Jq ;
ii) Jq (λx) = λq−1 Jq x với mọi x ∈ D(Jq ) và λ ∈ [0, ∞).
1.1.3

Ánh xạ j -đơn điệu

Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của X và T : C → C là
một ánh xạ phi tuyến. Ký hiệu Fix(T ) là tập điểm bất động của ánh
xạ T , nghĩa là Fix(T ) := {x ∈ C : T x = x}.
Định nghĩa 1.2. Ánh xạ T : C → C được gọi là
i) γ-giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ C tồn tại số γ > 0 và jq (x − y) ∈


11

Jq (x − y) sao cho
T x − T y, jq (x − y) ≤ x − y

q

− γ (I − T )x − (I − T )y q ,

hay tương đương với
(I − T )x − (I − T )y, jq (x − y) ≥ γ (I − T )x − (I − T )y q ,
ở đây, I là ánh xạ đơn vị của không gian X.
ii) L-liên tục Lipschitz nếu với mọi x, y ∈ C, tồn tại một hằng số
L > 0 sao cho T x − T y ≤ L x − y .
Nếu 0 < L < 1 thì T được gọi là ánh xạ co. Nếu L = 1 thì T được
gọi là ánh xạ không giãn.
Theo định nghĩa này ta thấy mọi ánh xạ γ-giả co chặt đều là (1 +
γ)/γ-liên tục Lipschitz (xem [6]).
Định nghĩa 1.3. Ánh xạ A : D(A) ⊆ X → 2X được gọi là
i) j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y)
sao cho
u − v, j(x − y) ≥ 0 ∀u ∈ Ax, ∀v ∈ Ay.

(1.2)

Nếu ánh xạ A đơn trị thì (1.2) có dạng
Ax − Ay, j(x − y) ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A).
ii) j-đơn điệu đều nếu với mọi x, y ∈ D(A) tồn tại j(x−y) ∈ J(x−y)
và một hàm tăng ngặt ψ : R+ := [0, ∞) → R+ , ψ(0) = 0 sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≥ ψ( x − y ).

(1.3)

iii) η-j-đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số η > 0 sao cho (1.3)
thỏa mãn với ψ(t) = ηt2 .

12

Nếu X := H là một không gian Hilbert thì khái niệm ánh xạ j-đơn
điệu, j-đơn điệu mạnh trùng với khái niệm ánh xạ đơn điệu, đơn điệu
mạnh (sẽ đề cập đến ở Chương 2).
1.2
1.2.1

Bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh
Bài toán đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử:
A(x) = f,

(1.4)

trong đó A : X → Y là một ánh xạ từ không gian Banach X vào
không gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y. Sau đây là một định
nghĩa của Hadamard.
Định nghĩa 1.4. Cho A là một ánh xạ từ không gian Banach X vào
không gian Banach Y. Bài toán (1.4) được gọi là bài toán đặt chỉnh
(well-posed) nếu:
1) phương trình (1.4) có nghiệm với mọi f ∈ Y ;
2) nghiệm này là duy nhất; và
3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài
toán (1.4) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed).
Nhận xét 1.1. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian
này nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác.

13

Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.4) thường được cho bởi
đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác f, ta chỉ biết xấp xỉ fδ của
nó thỏa mãn fδ − f ≤ δ. Giả sử xδ là nghiệm của bài toán (1.4) với
f thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f
nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến
x.
Ví dụ 1.1. Xét phương trình (1.4) với A là một ma trận vuông cấp
M = 5 được xác định bởi


2
2
2
2 
2



2 2, 001
2
2
2





A=
2
2, 001
2
2 
2



2

2
2
2,
001
2




2
2
2
2
2, 001
và vế phải
T

f = 10 10, 001 10, 001 10, 001 10, 001

∈ R5 .

Khi đó, phương trình A(x) = f có duy nhất nghiệm
T

x= 1 1 1 1 1
Nếu



A = Ah1

2

2


=
2

2


2

∈ R5 .


2
2

2
2

2, 001
2
2
2


2
2, 001
2
2


2
2
2, 001 2


2
2
2
2


14

và vế phải
T

f = fδ1 = 10 10, 001 10, 001 10, 001 10

∈ R5 .

Trong trường hợp này phương trình A(x) = f có vô số nghiệm.
Nếu



A = Ah1

2

2


=
2

2


2


2
2
2
2


2, 001
2
2
2


2
2, 001
2
2


2
2
2, 001 2


2
2
2
2

và vế phải
T

f = fδ2 = 10 10, 001 10, 001 10, 001 10, 001

∈ R5 ,

thì phương trình A(x) = f vô nghiệm.
Như vậy, chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dữ kiện ban đầu của bài
toán đã dẫn đến thay đổi lớn của nghiệm. Bài toán trong ví dụ trên
là bài toán đặt không chỉnh.
Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán đặt không chỉnh
nên người ta thường có tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta
sẽ sử dụng nghiệm x0 có x∗ -chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm
x0 ∈ S thỏa mãn
A(x0 ) = f,
và
x0 − x∗ = min{ x − x∗ : Ax = f },
trong đó S là tập nghiệm của bài toán (1.4), được giả thiết là khác


15

rỗng. Bằng cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp
xỉ.
1.2.2

Bài toán điểm bất động

Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tập
con lồi của không gian Banach X, T : C → X là một ánh xạ.
Hãy tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho T x∗ = x∗ .

(1.5)

Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.5) tương đương với
việc giải phương trình toán tử

T x − x = 0.

(1.6)

Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của
Banach vào năm 1992. Nó được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệm
của phương trình tích phân. Kể từ đó, vì sự đơn giản và hữu dụng,
Định lý điểm bất động Banach đã trở thành một công cụ rất phổ biến
trong việc giải quyết các vấn đề tồn tại trong nhiều ngành của toán
học giải tích.
Định lý 1.1. (Định lý điểm bất động Banach) Cho (X, d) là không
gian mêtric đầy đủ và T : X → X là một ánh xạ co. Khi đó, T có duy
nhất điểm bất động x¯ trong X và với mỗi x0 ∈ X, dãy lặp {xn } được
định nghĩa bởi xn+1 = T xn , với n ≥ 0 hội tụ tới x¯.
Chứng minh. Đặt xn+1 = T xn với n ≥ 0. Do T : X → X là một ánh
xạ co, nên tồn tại hằng số λ ∈ [0, 1) sao cho
d(T x, T y) ≤ λd(x, y).


16

Ta có
d(xn , xn+1 ) = d(T xn−1 , T xn ) ≤ λd(xn−1 , xn )
≤ λ2 d(xn−2 , xn−1 ) ≤ . . .
≤ λn d(x0 , x1 ).
Lấy m > n, suy ra
d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + . . . + d(xm−1 , xm )
≤ (λn + λn+1 + . . . + λm−1 )d(x0 , x1 )
≤ λn (1 + λ + . . . + λm−n−1 )d(x0 , x1 )
1

≤ λn
d(x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞.
1−λ
Do đó {xn } là dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ X. Suy ra
dãy {xn } hội tụ tới x¯ ∈ X. Với mỗi n ta có:
0 ≤ d(¯
x, T x¯) ≤ d(¯
x, xn ) + d(xn , T x¯)
= d(¯
x, xn ) + d(T xn−1 , T x¯)
≤ d(¯
x, xn ) + λd(xn−1 , x¯).
Vì dãy {xn } hội tụ về x¯ ∈ X nên d(¯
x, xn ) + λd(xn−1 , x¯) → 0 khi
n → ∞. Từ đó 0 ≤ d(¯
x, T x¯) ≤ 0 suy ra d(¯
x, T x¯) = 0 hay T x¯ = x¯. Vậy
x¯ là điểm bất động của ánh xạ T .
Giả sử tồn tại x˜ ∈ X sao cho T x˜ = x˜. Khi đó:
d(¯
x, x˜) = d(T x¯, T x˜) ≤ λd(¯
x, x˜).
Vì λ ∈ [0, 1) nên từ bất đẳng thức trên suy ra d(¯
x, x˜) = 0 do đó
x¯ = x˜.


17

1.2.3

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach

Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian
Banach X và A : X → X là một ánh xạ phi tuyến. Bài toán bất đẳng
thức biến phân j-đơn điệu (kí hiệu là VI∗ (A, C)) là bài toán
Tìm x∗ ∈ C :

Ax∗ , jq (x − x∗ ) ≥ 0 ∀x ∈ C,

(1.7)

ở đây, jq (x − x∗ ) ∈ Jq (x − x∗ ). Nếu X := H là một không gian Hilbert,
thì bài toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) trở thành
Tìm x∗ ∈ C :

Ax∗ , x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.8)

Bài toán bất đẳng thức biến phân (1.8) ký hiệu là VI(A, C).
Một vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm được nghiệm của bài toán
VI∗ (A, C) nếu nó tồn tại. Cho đến nay cũng đã có nhiều công trình
nghiên cứu vấn đề này (xem [10, 11] và các tài liệu trích dẫn). Trong
[4] chỉ ra rằng bài toán VI∗ (A, C) trong không gian Banach thực lồi
đều và trơn đều tương đương với bài toán điểm bất động:
x∗ = QC (x∗ − µAx∗ ),

(1.9)

ở đây µ > 0 là hằng số tùy ý, và QC : X → C là một ánh xạ co
rút không giãn theo tia từ X lên C. Ánh xạ co rút không giãn theo
tia không dễ tính toán vì sự phức tạp của tập lồi đóng bất kỳ C. Để
làm giảm hạn chế này trong không gian Hilbert, khi ánh xạ co rút
là phép chiếu mêtric PC , Yamada [11] giả thiết tập ràng buộc C là
tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn
{Ti }N
i=1 : H → H và đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất (hybrid


18

steepest-descent) giải bài toán VI(A, C). Giả sử A là ánh xạ η-đơn
điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên C. Lấy µ ∈ (0, 2η/L2 ) và dãy
{λn } trong (0, 1) thỏa mãn các điều kiện:
(C1 )

lim λn = 0,

n→∞
∞

λn = ∞,

(C2 )
n=1
∞

|λn − λn+N | < ∞.

(C3 )
n=1

Chọn x0 ∈ H tùy ý, dãy {xn } được xác định bởi
xn+1 = T[n+1] xn − µλn+1 A(T[n+1] xn ),
ở đây T[n] = Tn

mod N

n ≥ 0,

(1.10)

với N ≥ 1. Khi ấy, dãy lặp trên hội tụ mạnh tới

nghiệm duy nhất của bài toán VI(A, C).
Xu và Kim [10] đã nghiên cứu sự hội tụ của dãy lặp (1.10) trong
không gian Hilbert và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp
với việc thay điều kiện (C3 ) bởi
(C4 )

λn − λn+N
= 0.
n→∞
λn+N
lim

Họ đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy {xn } trong (1.10) đến
nghiệm duy nhất của bài toán VI(A, C) với
N

C :=

Fix(Ti ) = Fix(T1 T2 . . . TN )
i=1

= Fix(TN T1 T2 . . . TN −1 )
= · · · = Fix(T2 T3 . . . TN T1 ) = ∅.
∞

Fix(Ti ), ở đây {Ti }∞
i=1 là một họ đếm

Trong trường hợp C :=
i=1


19

được các ánh xạ không giãn trên H, bằng việc sử dụng W -ánh xạ của
Takahashi sinh bởi các ánh xạ Tn , Tn−1 , . . . , T1 và các số thực αn ,
αn−1 , . . . , α1 như sau:
Un,n+1 = I,
Un,n = αn Tn Un,n+1 + (1 − αn )I,
Un,n−1 = αn−1 Tn−1 Un,n + (1 − αn−1 )I,
..
.
(1.11)

Un,k = αk Tk Un,k+1 + (1 − αk )I,

Un,k−1 = αk−1 Tk−1 Un,k + (1 − αk−1 )I,
..
.
Un,2 = α2 T2 Un,3 + (1 − α2 )I,
Wn = Un,1 = α1 T1 Un,2 + (1 − α1 )I,

ở đây αn ∈ (a, b) ⊂ (0, 1), n ≥ 1, Yao và các cộng sự [12] đã chứng
minh kết quả sau: Cho H là không gian Hilbert thực, A : H → H
là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơn điệu mạnh, {Ti }∞
i=1 là một họ
∞

Fix(Ti ) = ∅.

đếm được các ánh xạ không giãn trên H sao cho C =
i=1

Khi đó, dãy {xn } xác định bởi:
xn+1 = (1 − βn )An xn + βn Wn An xn ,

(1.12)

ở đây An = I − λn A, λn ∈ (0, 1) thỏa mãn (C1 )-(C2 ), và βn ∈ [a, 1/2]
với a > 0, hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất x∗ của bài toán VI(A, C).
Ta biết rằng bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn, nói
chung, là bài toán đặt không chỉnh. Do đó, bài toán VI∗ (A, C) hay


20

∞

VI(A, C) với C =

Fix(Ti ) cũng là bài toán đặt không chỉnh. Để giải
i=1

lớp các bài toán đặt không chỉnh chúng ta phải sử dụng các phương
pháp ổn định, một trong những phương pháp này là phương pháp hiệu
chỉnh Browder–Tikhonov (xem [3]).
Trong Chương 2, ta sẽ nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng
thức biến phân j-đơn điệu đặt không chỉnh.
Chú ý rằng, trong [5] Giáo sư Nguyễn Bường và học trò đã nghiên
cứu bài toán VI∗ (A, C) với ánh xạ hiệu chỉnh Fn + αn A, ở đây Fn =
I − Vn và Vn được xác định bởi
Vn = Vn1 , Vni = T i T i+1 . . . T n , T i = (1 − κi )I + κi Ti ,

(1.13)

với mọi i ≤ n và i, n ∈ N. Các tác giả đã chỉ ra rằng V -ánh xạ xác
định bởi (1.13) với
∞

κi ∈ (0, 1) và

κi = κ < ∞,
i=1

có các tính chất như W -ánh xạ.

(1.14)


21

Chương 2

Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến
phân j-đơn điệu
Trong chương này chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh
Browder–Tikhonov và phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bất đẳng thức
biến phân j-đơn điệu. Nội dung của chương này được viết từ bài báo
[9].
2.1
2.1.1

Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu
Mô tả phương pháp

Ta xác định ánh xạ Sn như sau:
n

Sn =

n

(κi /sn )Ti ,
i=1

sn =

κi ,

(2.1)

i=1

ở đây {κi }∞
i=1 thỏa mãn (1.14).
Vì Sn không chứa nhiều các toán tử hợp thành {Ti }∞
i=1 nên đòi hỏi
khối lượng tính toán cần thiết là ít hơn và đơn giản hơn W -ánh xạ hoặc
Vn -ánh xạ (đề cập ở Chương 1). Dựa vào những nội dung vừa phân
tích và dựa trên cơ sở phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov,


22

trong mục này, chúng tôi trình bày một phương pháp hiệu chỉnh mới
giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một
họ đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Banach q-trơn
đều trong [9].
Giả sử X là không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt với một
chuẩn khả vi Gâteaux q-đều với q cố định, 1 < q ≤ 2.
Cho A : X → X là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz
với η và L là các hằng số dương, {Ti }∞
i=1 : X → X là họ đếm được các
∞

Fix(Ti ) = ∅.

ánh xạ không giãn trên X sao cho C :=
i=1

Ta xét phương trình hiệu chỉnh:
(I − Sn )xn + αn Axn = 0,

(2.2)

trong đó Sn được xác định bởi (1.14) và (2.1).
2.1.2

Sự hội tụ

Trước hết, ta trình bày một số bổ đề bổ trợ sau đây (xem tài liệu
trích dẫn trong [9]).
Bổ đề 2.1. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Banach X với một chuẩn khả vi Gâteaux đều. Giả sử {xn } là một
dãy con bị chặn trong X, x∗ là một phần tử của C và µ là giới hạn
Banach. Khi đó,
µ xn − x∗

2

= min µ xn − x

2

x∈C

nếu và chỉ nếu
µ x − x∗ , j(xn − x∗ ) ≤ 0 với mọi x ∈ C.


23

Bổ đề 2.2. Giả sử {un }, {an } và {bn } là các dãy số thực dương thỏa
mãn các điều kiện sau:
(i) un+1 ≤ (1 − an )un + bn , an ≤ 1;
∞
bn
(ii)
an = ∞, lim
= 0.
n→∞ an
n=1
Khi đó, limn→∞ un = 0.
Định lý 2.1. Giả sử q > 1 là một số thực cho trước và X là không
gian Banach thực, trơn. Khi đó, những khẳng định sau tương đương:
(i) X là không gian q-trơn đều.
(ii) Tồn tại hằng số cq > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có bất đẳng
thức:
x+y

q

≤ x

q

+ q y, Jq x + cq y q .

(iii) Tồn tại hằng số c1 > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X bất đẳng thức
sau thỏa mãn:
x − y, Jq x − Jq y ≤ c1 x − y q .
Bổ đề 2.3. Cho C là tập con lồi, đóng của không gian Banach lồi
chặt X. Giả sử {Ti }∞
i=1 là một dãy các ánh xạ không giãn trên C và
∞

Fix(Ti ) khác rỗng. Giả thiết rằng {si }∞
i=1 là một dãy các số thực
i=1

∞

si = 1. Khi đó ánh xạ T trên C xác định bởi

dương với
i=1

∞

si Ti x với x ∈ C,

Tx =
i=1

hoàn toàn xác định và là ánh xạ không giãn, đồng thời ta có
∞

Fix(T ) =

Fix(Ti ).
i=1


24

Bổ đề 2.4. Giả sử X là không gian Banach thực, trơn. Cho F : X →
X là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1. Khi
đó, với mọi λ ∈ (0, 1), I − λF là ánh xạ co rút với hệ số co 1 − λτ , ở
đây τ = 1 −

(1 − η)/γ ∈ (0, 1).

Sau đây là định lý về sự hội tụ của phương pháp.
Định lý 2.2. Với mọi αn > 0, phương trình (2.2) luôn có nghiệm duy
nhất xn . Hơn nữa, nếu αn → 0 khi n → ∞ thì dãy {xn } hội tụ mạnh
tới x∗ là nghiệm của bài toán VI∗ (A, C).
Chứng minh. Bước 1: Chứng minh phương trình (2.2) có nghiệm duy
nhất.
Vì A là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh, L-liên tục Lipschitz và Sn là
ánh xạ không giãn nên ánh xạ (I − Sn ) + αn A với αn > 0 là ánh xạ
(αn η)-j-đơn điệu mạnh và (2 + αn L)-liên tục Lipschitz trên X. Do đó,
nghiệm xn của (2.2) là tồn tại duy nhất.
Bước 2: Chứng minh các dãy {xn }, {Sn xn } và {Axn } bị chặn.
Với mọi x ∈ C ta có Sn x = x nên từ (2.2) ta nhận được
(I − Sn )xn − (I − Sn )x, jq (xn − x)

(2.3)

+ αn Axn , jq (xn − x) = 0.
Vì Sn là ánh xạ không giãn, nên I − Sn là ánh xạ j-đơn điệu. Từ (2.3)
suy ra
Axn , jq (xn − x) ≤ 0,

∀x ∈ C.

Hay
1
Ax, jq (x − xn ) ≥ xn − x 2 ,
η

(2.4)