Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (8)

phßng Gd & §t Thanh oai
TRƯỜNG THCS KIM THƯ
( Đề gồm 01trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
Môn : Toán
Năm học : 2015-2016
Thời gian 150 phút
( không kể thời gian giao đề)

Bài 1(6đ): 1, Cho biểu thức:
A = 1− (

2
5 x
1
x −1
−
−
):
1 + 2 x 4x −1 1 − 2 x 4x + 4 x +1

a/ Rút gọn A
b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên
2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 .
Bài 2: (4đ)
1 1 1
a) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn + + = 1. Chứng minh rằng:
x y z

x + yz + y + zx + z + xy ≥ xyz + x + y + z .

b)Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương
Bài 3 : (4đ)
a , Giải phương trình :
3x 2 + 4 x + 10 = 2 14 x 2 − 7 .
b, Tìm nghiệm của phương trình:
x2+ 2y2 + 2xy + 3y - 4 =0
. Bài 4: (5 đ) Cho đường tròn (O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn, từ một
điểm M di động trên đường thẳng d ⊥ OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với
đường tròn (B,C là tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố
định.
b) Chứng minh H di động trên một đường tròn cố định.
c) Cho biết OA= 2R. Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC
nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5 ( 1.0 đ):T×m a,b lµ c¸c sè nguyªn dư¬ng sao cho: a + b2 chia hÕt cho a2b - 1
----------------Hết---------------( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)


phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
TRƯỜNG THCS KIM THƯ

CÂU

HƯỚNG dÉn chÊm thi häc sinh giái líp9
N¨m häc 2015 - 2016
M«n thi : To¸n

Ý

1a)
(2đ).

a/(2đ)Cho biểu thức


2
5 x
1 
x −1
−
−
:
÷
ĐK: x
÷
 1+ 2 x 4x −1 1 − 2 x  4x + 4 x +1
1
≥ 0; x ≠ ; x ≠ 1
4


2
5 x
1 ÷
x −1

−
+
:

A= 1- 
2
2 x + 1 2 x + 1 (2 x − 1) 2 x − 1 ÷ 2 x + 1



A= 1- 

(

Bài 1
(5đ)

1b)
(1đ)

ĐIỂM

NỘI DUNG CẦN ĐẠT

)

A=1-

4 x − 2 − 5 x + 2 x + 1 (2 x + 1) 2
.
(2 x + 1)(2 x − 1)
x −1

A=1-

x −1 2 x +1
2 x +1
2
.
= 1−
=
2 x −1 x −1
2 x −1 1 − 2 x

(

)

2
∈ Z ⇒ 1 − 2 x ∈ Ư(2)
1− 2 x
Do x ≥ 0; x ≠ 1; x ∈ Z ⇒ x = 0

Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên.
Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b),
2.(2đ) Đặt a= 3 3 + 2 2 , b= 3 3 − 2 2
Ta có
⇒ x= a+b ⇒ x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)
=> x3 = 6 + 3x ⇒ x3- 3x = 6
Suy ra B = 2006

Bài 2
(4đ)

0,5
0,5
0,75

Ta có :
b/(2đ) Tìm x ∈ Z để A nguyên.
A∈ Z ⇒

a)(2đ)

0,25

Bất đẳng thức đã cho tương đương với
a + bc + b + ca + c + ab ≥ 1 + ab + bc + ca ,
1
1
1
với a = , b = , c = , a + b + c = 1.
x
y
z
Tacó : a + bc = a (a + b + c) + bc

0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5

0,75

0,75

= a 2 + a (b + c) + bc ≥ a 2 + 2a bc + bc = a + bc .
Tương tự: b + ca ≥ b + ca ; c + ab ≥ c + ab .
Từ đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 3.

0,5


b)2

A = n 2 + n + 6 la s chớnh phng nờn A cú dng
A = n 2 + n + 6 = k 2 (k N * )

0,5

4n 2 + 4n + 24 = 4k 2 (2k ) 2 (2n + 1) 2 = 23
2k + 2n + 1 = 23
(2k + 2n + 1)(2k 2n 1) = 23
2k 2n 1 = 1

0,5

(Vỡ 23 la s nguyờn t va 2k + 2n + 1> 2k 2n -1)

Bi 3
(4)

a)(2)

2k + 2n + 1 = 23
k = 6


2k 2 n 1 = 1
n = 5

0,5

Vy vi n = 5 thỡ A la s chớnh phng

0,5

a) Gii pt sau: 3x 2 + 4 x + 10 = 2 14 x 2 7

KX:


2
x

1
2
14 x 2 7 0 2 x 2 1 0 x 2
2

2
x

2
2
26
Vỡ 3x 2 + 4 x + 10 = 3( x + ) 2 +
>0
3
3

(

0,25

0,25

0,75

)

Ta cú: (1) 3x 2 + 4 x + 10 2 7 2 x 2 1 = 0

( x 2 + 4 x + 4 ) + 2 x 2 1 2 2 x 2 1. 7 + 7 = 0

( x + 2) +
2

(

2x 1 7
2

)

2

=0

x = 2
x+2=0



x = 2 x = 2
2
2 x 1 7 = 0
x = 2


(TMK)
Vy PT cú nghim la: x = -2

b)(2) b)
Biến đổi phơng trình
x2+2y2 +2xy +3y-4 =0 (x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4=0
(y+4)(y-1) =-(x+y)2 0
- 4 y 1 vì y thuộc Z nên y { 4;3;2;1;0;1}
ĐS sáu cặp (x;y) thỏa mãn phơng trình là
(4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0)

0,75

0,5
0,25

0,5
0,5
0,5
0,5


Bài 4
(5đ)

Vẽ
hình
(0,25)

d
M

B

H
O

K

A

0,25

C

a.
a)(2đ)

∆ HOK ∞ ∆AOM
→ OA.OK = OH.OM
∆ vBOM có OB2 = OH. OM
R2
→ ... → OK =
(Không đổi)
OA
→ K là điểm cố định.

0,5
0,5
0,5
0,5

b.
H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định.

b)(1đ)

1đ

c.
1

S OBMC = 2S OBM = OM . BH = OM . BC

c)
2
(1,75)
Smin ↔ OM nhỏ nhất, BC nhỏ nhất

↔ M ≡ A, BC ⊥ OK ↔ H ≡ K ↔ M ≡ A

S min = ...R 2 3

Bài 5
(1đ)

0,5
0,5
0,5
0,25

Bµi 5: (1®)
x 2 − 2Mxy + 2 ⇒ y ( x 2 − 2)Mxy + 2 ⇒ x( xy + 2) − 2( x + y ) Mxy + 2

⇒ 2( x + y )Mxy + 2

§Æt 2(x+y)=k(xy+2) víi k ∈ Z + k=1

0,25

⇒ 2 x + 2 y = xy + 2 ⇔ ( x − 2)( y − 2) = 2

NêuT×m được x=4 ; y=3
Nếu k ≥ 2 ⇒ 2( x + y) ≥ 2( xy + 2) ⇒ x + y ≥ xy + 2 ⇒ ( x − 1)( y − 1) + 1 ≤ 0 v«

lÝ (lo¹i)
VËy x=4. y=3

0,5
0,25


( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm )