ĐỀ CƯƠNG ÔN THI VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG

Tài liệu ôn tập Lý A1

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

Tài liệu ôn tập: VẬT LÝ A1
Mã môn học: 0002011

BỘ MÔN VẬT LÝ
Chương I: Động Học Chất Điểm
1.1. Thế nào là hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu gắn tại mặt đất có phải là hệ quy chiếu
quán tính không?
Hệ qui chiếu quán tính là hệ qui chiếu đứng yên tuyệt đối. Tất cả những hệ qui chiếu
chuyển động so với hệ qui chiếu quán tính với vận tốc không đổi cũng là các hệ qui chiếu quán
tính.
Hệ qui chiếu gắn liền với mặt đất một cách gần đúng có thể xem là hệ qui chiếu quán
tính. Vì thật ra không thể nào tìm được một hệ qui chiếu đứng yên tuyệt đối. Tuy nhiên nếu xét
trong một vùng không gian nhỏ hẹp, chẳng hạn ta chỉ xem xét thái dương hệ khi đó mặt trời có
thể xem là đứng yên tuỵệt đối hay hệ qui chiếu gắn với mặt trời là hệ đứng yên tuyệt đối. Ngoài
ra nếu xét trong một khoảng thời gian đủ ngắn thì chuyển động của trái đất trên quỹ đạo quanh
mặt trời gần như là chuyển động thẳng và gia tốc thẳng cũng không đáng kể. Vì thế có thể xem
là chuyển động thẳng đều so với mặt trời. Vì lý do đó ta có thể coi hệ qui chiếu gắn với mặt đất
là hệ qui chiếu quán tính được.
1.2: Hãy cho biết ý nghĩa vật lý của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến. Viết các biểu thức
của chúng. Một chất điểm chuyển động chậm dần trên một đường tròn, hãy xác định một cách
định tính phương chiều của các vectơ vận tốc, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến và gia tốc
toàn phần của chất điểm đó (vẽ hình).
Gia tốc tiếp tuyến là đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ thay đổi về độ lớn của vector
vận tốc theo thời gian còn gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho mức độ thay đổi về phương chiều

của vector vận tốc theo thời gian.

G
G
at = dv τ
dt

2 G
G
an − v n
R

G
G
Trong đó τ là vector đơn vị trên phương tiếp tuyến của quỹ đạo và n là là vector pháp tuyến
của quỹ đạo tại điểm đang khảo sát.

Chất điểm chuyển động chậm dần trên đường tròn khi đó phương của vector vận tốc luôn
nằm trên phương tiếp tuyến của quỹ đạo tại điểm đang xét chiều là chiều chuyển động. Phương
của gia tốc tiếp tuyến khi đó cũng nằm trên phương của vector vận tốc, tuy nhiên chiều của nó
ngược chiều với vector vận tốc. Phương của gia tốc pháp tuyến luôn nằm trên phương bán kính
của quỹ đạo và chiều luôn hướng vào tâm của quỹ đạo.
1.3: Từ độ cao h, chất điểm A được thả rơi tự do trong khi đó chất điểm B được ném ngang với
G
vận tốc V . Hãy cho biết độ giảm thế năng và vận tốc của hai chất điểm đó có bằng nhau không
khi đến mặt đất.
Khi đến mặt đất độ giảm thế năng của hai chất điểm là như nhau vì ΔEt = mg Δh . Tuy nhiên
vận tốc của chúng khác nhau khi đến mặt đất vì: nếu bỏ qua sức cản của không khí
G G G G G
Vận tốc của vật rơi tự do

v = v0 + at = 0 + gt
G G G
Vận tốc của vật ném ngang v = gt + V


Tài liệu ôn tập Lý A1

2

1.4: Hai vật A và B có khối lượng lần lượt mA = 2mB ở cùng một độ cao h. A rơi tự do xuống
G
đất và B được ném nằm ngang với vận tốc v0 để rơi xuống đất. Bỏ qua lực cản của không khí. A
hay B chạm đất trước? Giải thích.
Một chuyển động ném ngang có thể phân tích thành hai chuyển động thành phần đồng
thời thành phần thứ nhất là thành phần chuyển động theo phương ngang với vận tốc tương ứng
G G
là vx = v0 và thành phần thứ hai là thành phần chuyển động theo phương thẳng đứng dưới tác
G
G
dụng của gia tốc trọng trường và không có vận tốc đầu v y = gt . Thành phần thứ hai này giống
hệt như chuyển động của vật rơi tự do. Như ta đã biết, vận tốc rơi tự do không phụ thuộc khối
lượng của vật. Vì thế cả hai vật A và B đều chạm đất ở cùng thời điểm.
Bài Tập
⎧ x=t −2
2
⎩ y=t

1.5. Một chất điểm chuyển động với phương trình: ⎨

trong đó x và y là các tọa độ của chất điểm được tính bằng mét và t là thời gian được tính bằng

giây.
a. Viết phương trình quỹ đạo của chất điểm.
b. Xác định vector vận tốc của chất điểm khi t = 1s.
Ta có x = t − 2 ⇒ t = x + 2 hay y = t 2 = x 2 + 4 x + 4 vậy quỹ đạo của chất điểm là một parabol

⎧v = dx = 1
⎪ x dt
vậy tại thời điểm t = 1s ta có
Ngoài ra ta có ⎨
⎪v y = dy = 2t
dt
⎩

⎧⎪vx = 1
⇒ v = vx2 + v y2 = 5 m/s
⎨
v
2
=
⎪⎩ y

1.6. Một vật nhỏ được ném lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu vo = 10m/s có phương hợp với
mặt phẳng nằm ngang một góc α = 30o. Bỏ qua tất cả các ma sát.
a. Viết phương trình chuyển động và phương trình qũy đạo của nó.
b. Tại vị trí nào trong quá trình chuyển động, vật có vận tốc nhỏ nhất. Hãy xác định vận
tốc và độ cao so với mặt đất của vật khi ấy. Cho gia tốc trong trường g = 10 m/s2.

x = v0 cos(α) t
⎪⎧
Phương trình chuyển động: ⎨

1 2
⎪⎩ y = v0 sin(α ) t − 2 gt
Khử t từ hai phương trình trên ta được y = x tg α −

⎪⎧ x = 5 3 t
⇒⎨
2
⎪⎩ y = 5t − 5t

g
2
x − x2
x
=
2v02 cos 2 α
3 15

Ta có v = vx2 + v y2 mà vx = v0 cos α luôn là hằng số theo thời gian. Vậy để v đạt cực tiểu thì

v y = 0 . Mà ta biết ở độ cao cực đại thì v y = 0 . Vậy vận tốc nhỏ nhất khi vật ở độ cao cực đại
tương ứng với thời điểm v y = v0 sin α − gt = 0 ⇔ 10 ⋅ 1 − 10t = 0 ⇒ t = 0, 5 s. Vậy tại vị trí
2
⎧x = 5 3
⎪
2
vật có vận tốc nhỏ nhất. Khi đó vận tốc của vật là v = vx = 5 3 m/s.
⎨
5
⎪y =
4

⎩


Tài liệu ôn tập Lý A1

3

2.1. Phát biểu định luật Newton thứ 3. Giải thích với một chiếc chèo, vì sao người ta có thể làm
cho chiếc thuyền tiến được trên sông.
G
Nếu vật A tác dụng vật B một lực F thì ngay lập tức vật B sẽ tác dụng trở lại vật A một lực là
G
G
F ′ có cùng độ lớn cùng phương và ngược chiều so với F . Với một chiếc chèo người ta có thể
G
làm cho chiếc thuyền tiến được trên sông là vì khi ta dùng mái chèo tác dụng một lực F vào
G
nước hướng về phía sau, ngay lập tức khối nước này sẽ tác dụng trở lại mái chèo một lực F ′ có
G
G
cùng độ lớn, cùng phương và ngược chiều với F . Chính lực F ′ này làm cho thuyền có thể tiến
về phía trước.
2.2 : Dựa vào định luật vạn vật hấp dẫn Newton hãy giải thích tại sao lực hấp dẫn do Trái đất tác
dụng vào các vật khác nhau có độ lớn khác nhau nhưng gia tốc rơi tự do của chúng lại như nhau.
Bỏ qua lực cản của không khí.

Hai vật bất kỳ khối lượng M và m sẽ hút nhau bằng những lực hướng từ chất điểm này đến chất
điểm kia.

Fhd = G

M .m
⇒ P = G M2 m = mg
2
r
r

Trong đó M là khối lượng của nguồn hấp dẫn (khối lượng của trái đất). Như vậy ta thấy gia tốc
trọng trường g chỉ phụ thuộc vào khối lượng của nguồn hấp dẫn chứ không phụ thuộc vào khối
lượng của vật bị hấp dẫn.
G
G
2.3. Thế nào là một trường lực thế. Hãy chứng tỏ trọng trường P = mg là một trường lực thế.
Trường lực thế: Trong trường hợp trường lực có tính chất mà công do lực thực hiện không phụ
thuộc vào dạng đường dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối của đường dịch
chuyển ta gọi trường lực đó là trường lực thế.

Giả sử một chất điểm có khối lượng M tạo ra xung
quanh nó một trường hấp dẫn. Một chất điểm có khối
lượng m chuyển động trong trường này theo một đường
cong (C) từ vị trí 1 đến vị trí 2.
G
Lực hấp dẫn F của trường tác dụng lên chất điểm m là:
G G
G
M G
F = P = − G 2 ⋅ r m = mg
r r
G
trong đó r là vectơ kẻ từ chất điểm M đến chất điểm m.

2

G G
r + dr

G
r

M
1

G
ds α
dr

(C)

Công mà lực hấp dẫn thực hiện được khi đưa chất điểm m
G G
G G
G
dịch chuyển một đoạn ds là: dA = F . ds = − mg ⋅ ds

dA = −G M3 r m ds cos α = −mgds cos α
r
mà ds.cosα = dr là độ biến thiên của khoảng cách r.
Như vậy :

dA = −mgdr

Công mà lực hấp dẫn thực hiện khi dịch chuyển m từ vị trí 1 đến vị trí 2 là:

(2.49)


Tài liệu ôn tập Lý A1

4

A12 =

r2

1

r1

dr
∫ dA = ∫ dA = − ∫ m GM
r
2

12

Kết quả ta được:

2

⎛

⎞
A12 = GMm ⎜ 1 − 1 ⎟
⎝ r2 r1 ⎠

(2.50)

Từ phương trình trên chúng ta thấy rằng công của lực trọng trường (lực hấp dẫn) không
phụ thuộc vào dạng đường cong dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối nên
trường trọng lực (trường hấp dẫn) là một trường thế.
2.4. Với điều kiện nào cơ năng của một chất điểm trong quá trình chuyển động được bảo toàn?
G
Một chất điểm khối lượng M có vận tốc ban đầu v0 trượt trên mặt phẳng ngang một đoạn S thì
dừng lại, hãy tính lực ma sát đã tác dụng lên chất điểm.

Trong quá trình chuyển động nếu tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm chỉ có các lực thế
thì cơ năng của chất điểm sẽ bảo toàn.
G
Khi chất điểm trượt trên mặt phẳng ngang với vận tốc đầu là v0 tổng hợp lực tác dụng
lên chất điểm chỉ gồm lực ma sát ta có v = v0 + at tại lúc vật dừng lại v = 0 vậy ta có
v
v0 + at = 0 ⇒ a = − 0 gia tốc a này chính là do lực ma sát gây ra, nó có chiều ngược với
t
chiều chuyển động và làm cho chất điểm chuyển động chậm dần cho đến khi dừng lại. Khi đó
v
lực ma sát Fms = ma = −m 0 mà ta biết
t
2

mv
v

s = v0t + 1 at 2 = v0t − 1 0 t 2 = 3 v0t ⇒ t = 2 s hay Fms = −3s 0 = −3sEd 0
2
3v0
2
2 t
2
2.5. Phát biểu định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế. Viết biểu thức của định luật trong
trường hợp chất điểm chuyển động trong trọng trường đều (chỉ chịu tác dụng của trọng lực).
Định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế: trong trường lực thế cơ năng của hệ bảo toàn

Theo định luật bảo toàn cơ năng, cơ năng của chất điểm trong trường trọng lực được bảo toàn:
Et =

1
mv2 + mgh = const
2

Ngoài lực trọng trường nếu chất điểm còn chịu tác dụng của các lực khác thì cơ năng của
chất điểm có thể sẽ không bảo toàn.
2.6. Một hành tinh ở cách xa mặt trời với khoảng cách bằng 4 lần so với khoảng cách từ trái đất
đến mặt trời, tìm chu kỳ quay quanh mặt trời của nó biết chu kỳ quanh mặt trời của trái đất là
365 ngày. Giả sử quỹ đạo của hành tinh và trái đất quay quanh mặt trời là những đường tròn.

Giải
Ta biết rằng sở dĩ các hành tinh quay quanh mặt trời trên quỹ đạo của nó mà không rơi vào mặt
trời hay rời khỏi quỹ đạo để rơi vào không gian là vì có sự cân bằng giữa lực hấp dẫn của mặt
trời và lực quán tính ly tâm.
Ta có

Fhd1 = G

Mm1
= Fqt1 = m1ω12 r1
2
r1

(1)


Tài liệu ôn tập Lý A1

5

Fhd2 = G
Ta biết

Mm 2
= Fqt 2 = m 2 ω22 r2
2
r2

(2)

ω = 2π
T

(3)

Lấy phương trình (1) chia cho (2) ta được
r22 ω12 r1

=
r12 ω22 r2

3652 ( 4r1 )
r23 T22
T12 r23
=
⇒
=
=
= 365 × 8 = 2920 ngày
T
2
r13 T12
r13
r13
3

⇒


Tài liệu ôn tập Lý A1

6

3.1. Phát biểu định luật bảo toàn mômen động lượng của hệ chất điểm.

Nếu tổng moment ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không khi đó moment động lượng quỹ đạo của
hệ bảo toàn.
3.2. Trong điều kiện nào mômen động lượng của hệ chất điểm bảo toàn?

Một vật rắn có thể chuyển động quay quanh một trục thẳng đứng trong điều kiện bỏ qua tất cả
các ma sát, mômen động lượng của vật rắn đối với trục quay có bảo toàn không? Hãy giải thích.
Giả thiết rằng trong lúc quay, vật rắn biến dạng do tác dụng của lực ly tâm, vận tốc góc của vật
rắn thay đổi như thế nào?
Nếu tổng moment ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không khi đó moment động lượng quỹ
đạo của hệ bảo toàn.
Trong điều kiện bỏ qua tất cả các masát thì moment động lượng quỹ đạo của vật rắn đối
với trục quay bảo toàn, vì khi đó tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn bằng không dẫn đến tổng
moment quay của ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không. Do đó moment động lượng của nó bảo
toàn. Khi vật rắn biến dạng do tác dụng của lực ly tâm dẫn đến moment quán tính của vật rắn
thay đổi. Mà ta biết moment động lượng quỹ đạo
G
G
L = Iω
Vậy nếu moment quán tính của vật tăng thì vạn tốc của vật giảm và ngược lại, nếu moment quán
tính của vật giảm, vận tốc gốc sẽ tăng.
3.3. Nêu ý nghĩa của mômen quán tính của một vật rắn và viết biểu thức của nó.

Moment quán tính của vật rắn là số đo mức quán tính của vật trong chuyển động quay. Vật có
moment quán tính càng lớn thì tính bảo toàn trạng thái của nó trong chuyển động quay càng lớn.

I = ∫ r 2 dm
V

3.4. Viết biểu thức của định luật bảo toàn mômen động lượng của một hệ chất điểm đối với một
trục cố định và nêu ý nghĩa vật lý của các đại lượng.
N
N
dL

dLz
= ∑ iz = ∑ M iz = 0
dt
dt
i =1
i =1

Trong đó Lz , Liz lần lượt là hình chiếu moment động lượng toàn phần cùa hệ và hình chiếu
moment động lượng của chất điểm thứ i trong hệ trên trục Oz. M iz là hình chiếu moment quay
của ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i trong hệ lên trục Oz.
Với hiệu ứng nhà kính, nhiệt độ khí quyển Trái Đất tăng lên có thể làm băng tại các địa cực tan
hết và nước chảy vào các đại dương. Khi đó, mực nước biển trên toàn thế giới tăng lên khoảng
50m so với hiện nay. Điều này ảnh hưởng như thế nào đối với sự tự quay của Trái Đất và độ dài
một ngày đêm. Giải thích.
Định luật bảo toàn moment động lượng quỹ đạo cho thấy: nếu moment quán tính của vật
tăng thì vận tốc gốc sẽ giảm và ngược lại. Như vậy khi bán kính trái đất tăng dẫn đến moment
G
G
quán tính của nó I = 2 mR 2 tăng mà L = I ω do đó vận tốc góc của trái đất giảm hay trái đất
5
quay chậm lại dẫn đến độ dài một ngày đêm bị kéo dài ra.
3.5. Các nội lực trong một cơ hệ có làm thay đổi động lượng của hệ không? Giải thích tại sao.


Tài liệu ôn tập Lý A1

7

Các nội lực trong một cơ hệ không làm thay đổi động lượng của hệ bởi vì tổng nội lực của cơ hệ
luôn bằng không. Mà ta biết theo định luật bảo toàn động lượng, nếu tổng hợp lực tác dụng lên

hệ bằng không thì động lượng của hệ sẽ bảo toàn
G
dp G G
=F =0
dt
3.6. Mômen nội lực trong một cơ hệ có làm thay đổi mômen động lượng của hệ không? Giải
thích tại sao.

Moment nội lực của cơ hệ không làm thay đổi moment động lượng của hệ vì ta biết tổng
moment của nội lực luôn bằng không. Mà theo định luật bảo toàn moment động lượng ta biết
nếu hệ cô lập (tổng ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không) thì moment động lượng của hệ sẽ bảo
toàn. Điều đó cho thấy nếu tổng ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không moment động lượng của
hệ không đổi. Nói cách khác moment động lượng của hệ không phụ thuộc vào moment nội lực.
3.7. Hãy nêu ý nghĩa vật lý của mômen quán tính. Đối với cùng một vật rắn cho trước và trong
số các trục quay song song nhau, trục quay nào cho mômen quán tính nhỏ nhất, hãy giải thích.

Moment quán tính của một vật rắn là số đó mức quán tính của nó trong chuyển động
quay. Moment quán tính của vật càng lớn, mức độ bảo toàn trạng thái của nó trong chuyển động
quay càng lớn.
Đối với cùng vật rắn cho trước và trong số các trục quay song song nhau thì trục quay đi
qua khối tâm của vật rắn sẽ cho moment quán tính nhỏ nhất vì theo định lý Huygen – Syeiner ta
có I = I G + md 2 trong đó I G là moment quán tính của vật đối với trục quay đi qua khối tâm, m
là khối lượng của vật và d là khoảng cách giữa hai trục quay hai đại lựng này luôn luôn lớn hơn
không. Vì thế ta thấy trong số các trục quay song song nhau, moment quán tính của vật đối trục
quay đi qua khối tâm luôn luôn bé nhất.
3.8. Hãy nêu ý nghĩa vật lý của mômen quán tính. Đối với cùng một vật rắn cho trước, nếu thay
đổi trục quay thì mômen quán tính của nó có thay đổi không và hãy giải thích.

Đối với cùng vật rắn cho trước, một cách tổng quát nếu thay đổi trục quay, moment quán
tính của vật sẽ thay đổi. Vì theo định lý Huygen – Steiner đối với các trục quay song song nhau

ta có

I = I G + md 2
Trong trường hợp vật có hình dạng đối xứng qua khối tâm thì moment quán tính của vật
đối với các trục quay đối xứng nhau so với trục qua khối tâm là hoàn toàn giống nhau.Vì thế nếu
ta hoán đổi vị trí các trục quay này cho nhau thì moment quán tính của vật sẽ không thay đổi.
3.9. Hãy cho biết ý nghĩa của mômen quán tính của một vật rắn chuyển động quay quanh một
trục cố định. Tính mômen quán tính của một thanh thẳng mảnh có chiều dài A, khối lượng M
đồng chất đối với trục quay đi qua khối tâm của thanh.

Moment quán tính của một vật rắn đặc trưng cho mức quán tính của nó trong chuyển
động quay quanh một trục cố định, nếu ta tác dụng cùng một ngoại lực lên hai vật khác nhau, vật
có moment quán tính lớn hơn sẽ gia tốc chậm hơn so với vật có moment quan tính nhỏ.
L /2

I =λ

L /2

x 2 dx = m 1 x 3
= 1 mL2
∫
L
3
12
− L /2
− L /2


Tài liệu ôn tập Lý A1

8

Bài Tập
3.10. Cho bốn vật có khối lượng lần lượt là m1 = 1kg, m2 = 4kg, m3 = 8kg và m4 = 10kg được
đặt tại 4 đỉnh của một hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 30cm và BC = 20cm. Xác định tọa độ
khối tâm của hệ 4 vật đó.
3.11. Cho một cơ hệ như hình vẽ gồm: ròng rọc là đĩa tròn đặc đồng chất có
khối lượng M = 2kg, các vật có khối lượng m1 = 1kg và m2 = 1,5kg. Dây nối
được quấn trên bề mặt ròng rọc xem như không co giãn, khối lượng không
đáng kể. Hệ được thả cho chuyển động từ trạng thái đứng yên.

a. Tính gia tốc chuyển động của các vật m1 và m2.
b. Động năng của cơ hệ sau t = 1s kể từ khi hệ bắt đầu chuyển động. Cho biết
gia tốc trọng trường g =10m/s2.

M

m1
m2

Giải
a) Chọn chiều dương là chiều chuyển động
G
G
P1 + T1 = m1a
Với m1 ta có
G G
G
P2 + T2 = m2 a

Với m2 ta có
G
G G G
Với ròng rọc
R × T1 + T2 = I β

(

)

⇒

T1 − m1 g = m1a

(1)

⇒

m2 g − T2 = m2 a

(2)

⇒

T2 − T1 = 1 Ma
2

(3)

Cộng các phương trình (1), (2) và (3) ta được

)

(

(m2 − m1 ) g = m1 + m2 + 1 M a
2
a=

Hay

g (m2 − m1 )
2
 1, 43 m/s
1
m1 + m2 + M
2

b) Tại thời điểm t = 1s ta có

v = v0 + at = 0 + 1, 43 = 1, 43 m/s

Động năng của hệ
2
Ed = 1 (m1 + m2 ) v 2 + 1 I ω2 = 1 (m1 + m2 ) + 1 MR 2 v 2
2
2
2
4
R

= 1 m1 + m2 + 1 M v 2 = 0,5 × 3,5 ×1.43  2,5 J
2
2

(

)

3.12. Cho một cơ hệ như hình vẽ gồm: ròng rọc A là đĩa tròn đặc đồng chất có
khối lượng M = 2kg, vật B có khối lượng m = 200g. Dây nối với vật B được
quấn trên bề mặt ròng rọc. Coi dây không co giãn, khối lượng không đáng kể.
Cho biết gia tốc trọng trường g = 10m/s2. Hệ được thả cho chuyển động từ trạng
thái đứng yên. Tính gia tốc chuyển động của vật B và động năng của hệ sau
khoảng thời gian 2s kể từ lúc bắt đầu cho hệ chuyển động.

M

Giải
m

Chọn chiều dương là chiều chiển động
Với vậy m ta có

mg − T = ma

(1)

Với ròng rọc ta có

T = 1 Ma

2

(2)


Tài liệu ôn tập Lý A1

9

Từ (1) và (2) ta suy ra a =

mg
= 2  1, 67 m/s2
1
m + M 1, 2
2

Động năng của hệ tại thời điểm t = 2s

)

(

Ed = 1 mv 2 + 1 I ω2 = 1 m + 1 M v 2  0,5 ×1, 2 × 2, 7889 = 1, 673 J
2
2
2
2
3.13. Cho một cơ hệ như hình vẽ. Trong đó các vật m1
và m2 = 1kg được nối với nhau bằng sợi dây không

giãn vắt qua ròng rọc khối lượng M = 2kg được xem
như một đĩa tròn đồng chất. Hệ số ma sát giữa m1 và
mặt phẳng nghiêng là k = 0,1 và góc α = 30o. Cho gia
tốc trong trường g = 10m/s2.

M
m1
m2

a. Tìm điều kiện của khối lượng m1 để hệ có thể
chuyển động theo chiều m1 trượt lên mặt phẳng
nghiêng.

α

b. Hãy tính gia tốc chuyển động của các vật và
các lực căng dây nếu m1 = 1kg.
Giải
Chọn chiều dương là chiều chuyển động
G
G
Với vật m2 ta có
P2 + T2 = m2 a ⇒
Với vật m1
Theo phương OY ta có
Theo phương OX ta có

G
G G
P1 y + N = 0

⇒
G G
G
G
T1 + P1x + Fms = m1a
G
G G G
R × T1′ + T2′ = I β

(

Với ròng rọc ta có

m2 g − T2 = m2 a

(1)

N = m1 g cos α

)

⇒

T1 − m1 g (sin α + k cos α) = m1a (2)

⇒

T2 − T1 = 1 Ma
2

(3)

Cộng các phương trình (1), (2) và (3) ta được

(

)

g [ m2 − m1 (sin α + k cos α) ] = m1 + m2 + 1 M a
2
Hay

a=

g [ m2 − m1 (sin α + k cos α) ]
m1 + m2 + 1 M
2

Để hệ chuyển động theo chiều m1 trượt lên mặt phẳng nghiên thì a > 0
Khi đó m2 − m1 (sin α + k cos α) > 0 hay m1 <

b) Khi m1 = 1 ta có a =

m2
=
(sin α + k cos α)

1
0,5 + 0,1× 3
2

 1, 7kg

g [ m2 − m1 (sin α + k cos α) ] 10[1 − 1(0,5 + 0,1× 3 / 2)]
=
 1,38 m/s2
1
1
1
1
+
+
m1 + m2 + M
2


Tài liệu ôn tập Lý A1

10
T2 = m2 ( g − a ) = 1(10 − 1,38) = 8, 62 N
T1 = T2 − 1 Ma = 8, 62 − 1,38 = 7, 24 N
2

3.13b. Cho cơ hệ như hình vẽ. Ròng rọc và vật m1 là các khối trụ có cùng bán kính R có khối
lượng lần lượt là m1 = 2kg và M = 1kg. Vật m2 = 3kg. Góc α = 300 , hệ số ma sát lăn giữa mặt
phẳng nghiên và m1 là k = 0,05. Lấy g = 10m/s2. Dây nối được giả thiết là không co dãn, khối
lượng không đáng kể và không trượt trên ròng rọc.

a) Tìm gia tốc của các vật m1 và m2.
b) Tìm công của trọng lực tác dụng lên hệ trong khoảng thờii gian 2s kể từ lúc hệ bắt đầu chuyển

động
M
Giải
a) gia tốc của cá vật

G G
G
P2 + T2 = m 2 a
G
G G
Với vật m1 ta có
N + P1y = 0
G G
G
G
T1 + P1x + Fms = m1a
G
G G
R × Fms = I1β1
G
G G G
Với ròng rọc M ta có R × T1′ + T2′ = Iβ

Với m2 ta có

(

)

m1

(1)

m2

(2)
(3)

α

(4)
(5)

Từ các phương trình (1), (2) và (3) ta có thể viết
m 2 g − T2 = m 2 a

(6)

N = m1g cos α
T1 − m1g sin α − Fms = m1a

(7)

Ta biết gia tốc khối tâm của m1 bằng với gia tốc của m2 ( a1 = a 2 = a ). Ngoài ra gia tốc dài của
một điểm bất kỳ trên mép của ròng rọc cũng như trên mép của khối trụ m1 cũng bằng gia tốc của
m2 ( a t = a t1 = a ).Từ các phương trình (4) và (5) ta có thể viết
a
RFms = 1 m1R 2 t1 ⇒ Fms = 1 m1a
2
R

2

(8)

a
R ( T2′ − T1′) = 1 MR 2 t ⇒ T2 − T1 = 1 Ma
2
R
2

(9)

Thay phương trình (8) và (7) và cộng các phương trình (6), (7) và (9) ta được
a=

g ( m 2 − m1 sin α )
m 2 + 3 m1 + 1 M
2
2

b) công của trọng lực tác dụng lên hệ
Ta biết công của ngoại lực tác dụng lên hệ bằng độ biến thiên động năng của hệ.
Ta biết tổng ngoại lực tác dụng lên hệ gồm có trọng lực P của các vật và lực ma sát


Tài liệu ôn tập Lý A1

11

Vậy công của trọng lực P chính bằng hiệu số giữa độ biến thiên động năng và công của lực ma

sát.
Động năng tại thời điểm 2s kể từ lúc hệ bắt đầu chuyển động
v = v0 + a t t = 2a

)

(

(

E d = 1 m 2 v 22 + 1 m1v12 + 1 I1ω12 + 1 Iω2 = 1 3 m1 + m 2 + 1 M v 2 = 2a 2 3 m1 + m 2 + 1 M
2
2
2
2
2 2
2
2
2
s = v 0 t + 1 a t t 2 = 2a
2

Quãng đường hệ đi được sau 2s kể từ lúc bắt đầu chuyển động
Công của lực ma sát

A ms = Fms ⋅ s = km1g cos α ⋅ 2a

Công của trọng lực tác dụng lên hệ

A P = E d − A ms

3.14. Cho một cơ hệ như hình vẽ. Hai vật có khối lượng lần
lượt là m1 = 1kg và m2 = 2kg được nối với nhau bằng một
sợi dây không khối lượng và được vắt qua một ròng rọc. Hệ
số ma sát trượt của m2 với mặt phẳng nằm ngang là k = 0,2.
Ròng rọc là một đĩa tròn đặc có khối lượng M = 1kg. Cho
gia tốc trọng trường g = 10m/s2.

)

m2
M

a.Tính gia tốc chuyển động của hệ và lực căng trên
các đoạn dây.

m1

b. Tác dụng lên m2 một lực theo phương ngang tối thiểu bao nhiêu thì hệ chuyển động
ngược lại.
c. Tính động năng của cơ hệ sau khi m2 đi được đoạn đường s = 1m.
Giải
a. Chọn chiều dương là chiều chuyển động
G G
G
P1 + T1 = m1a
Với vật m1 ta có
G G G
Với vật m2 ta có
P2 + N = 0

G G
G
T2 + Fms = m2 a
G
G G G
Với ròng rọc ta có
R × T1 + T2 = I β

(

)

⇒

m1 g − T1 = m1a

⇒

N = m2 g

⇒

T2 − km2 g = m2 a

(2)

⇒

T1 − T2 = 1 Ma
2

(3)

(1)

Cộng các phương trình (1), (2) và (3) ta được
a=

g[m1 − km2 ]
10[1 − 0, 2 × 2] 12
m/s2
=
=
3,5
7
m1 + m2 + 1 M
2

T1 = m1 ( g − a ) = 10 − 12 = 58 N
7
7
T2 = T1 − 1 Ma = 58 − 6 = 52 N
2
7 7 7

b.Khi tác dụng lên m2 một lực khi đó ta chọn chiều dương ngược lại. Khi đó các phương trình
(1), (2) và (3) phải được viết lại như sau


Tài liệu ôn tập Lý A1

12
T1 − m1 g = m1a
G G G
G
F + T1 + Fms = m2 a

(4)

⇒

F − T2 − km2 g = m2 a

T2 − T1 = 1 Ma
2

(5)
(6)

Cộng các phương trình (4), (5) và (6) ta được
a=

F − g[m1 + km2 ]
m1 + m2 + 1 M
2

Để hệ chuyển động theo chiều ngược lại thì a > 0 hay
F − g[m1 + km2 ] > 0

⇒

F > g[m1 + km2 ] = 14 N

Vậy lực kéo tối thiểu phải lớn hơn 14 N thì hệ sẽ chuyển động theo chiều ngượ lại.
c. Sau khi m2 đi được 1m ta có

s = v0t + 1 at 2 = 1
2

t = 2s = 7 s
a
6

⇒

Tại thời điểm này vật tốc của các vật trong hệ là

v = v0 + at = 12 7 = 12 m/s
7 6
42

)

(

Động năng của hệ Ed = 1 ( m1 + m2 ) v 2 + 1 I ω2 = 1 m1 + m2 + 1 M v 2 = 7 × 144 = 6 J
2
2
2
2

4 42
3.15. Cho hệ cơ học như hình vẽ. Hai vật có khối lượng
lần lượt là m1 và m2 được nối với nhau bằng một sợi dây có
khối lượng không đáng kể và được vắt qua một ròng rọc.
Hệ số ma sát của m1 với mặt phẳng nằm ngang là k = 0,2.
Ròng rọc là một đĩa tròn có bán kính R = 10cm và có khối
lượng là M. Cho biết m1 = 2kg, M = 1kg và gia tốc của cả
hai vật m1 và m2 là a = 2m/s2 theo chiều như hình vẽ.

m1

a. Tính mômen quán tính của ròng rọc đối với trục
quay của nó.

M

m2

b. Tính khối lượng của vật m2.

Giải
a. Moment quán tính của ròng rọc

I = 1 MR 2 = 1 × 1× 0,12 = 0, 005 kgm2
2
2

b. Tương tự bài 3.14 ta tìm được
a=

⇒

g[m1 − km2 ]
= 2 m/s2
m1 + m2 + 1 M
2

g[m1 − km2 ] = 2m1 + 2m2 + M ⇒ m2 =

m1 ( g − 2) − M 2(10 − 2) − 1 85
=
=
kg
2+k
2 + 0, 2
11


Tài liệu ôn tập Lý A1

13

3.16. Cho hệ cơ học như hình vẽ. Hai vật có khối lượng lần lượt
là m1 = 1kg và m2 =2kg được nối với nhau bằng một sợi dây có
khối lượng không đáng kể và được vắt qua một ròng rọc. Hệ số
ma sát của m1 với mặt phẳng nằm ngang là k = 0,1. Ròng rọc là
một đĩa tròn có khối lượng là M = 2kg.

M

m1

a. Xác định gia tốc chuyển động của hệ.

m2

b. Tính các lực căng dây.
Giải
Có gì để giải nữa sao !!!
3.18. Cho một cơ hệ như hình vẽ. Các vật nặng có khối
lượng m1 = 1kg và m 2 = 2kg được nối với nhau bằng
một sợi dây nhẹ, không co giãn và được đặt trên mặt bàn
nằm ngang. Dùng một dây khác cũng rất nhẹ và không co
giãn, vắt qua một ròng rọc, một đầu dây buộc vào vật m2
và đầu còn lại buộc vào vật m 3 = 2kg . Hệ số ma sát giữa
m1, m2 và mặt phẳng nằm ngang là k = 0,1. Tìm gia tốc
các vật và các lực căng dây. Giả thiết ròng rọc không khối
lượng

Với vật m1 ta có :

Với m2 ta có :

Với m3 ta có :

G G G
N1 + P1 = 0
G G
G
T + Fms1 = m1a

G
G G
N 2 + P2 = 0
G G G
G
T2 + T ′ + Fms 2 = m2 a
G G
G
P3 + T3 = m3 a

m1

m2

m3

Giải
⇒

N1 = m1 g

⇒

T − km1 g = m1a

⇒

N 2 = m2 g

⇒

T2 − T ′ − km2 g = m2 a

(2)

⇒

m3 g − T3 = m3 a

(3)

(1)

Vì ròng rọc và dây được giả thiết không khối lượng nên T = T ′ = T2 = T3
Cộng các phương trình (1), (2) và (3) ta được
a=

g[m3 − k (m1 + m2 )]
(m1 + m2 ) + m3

Các lực căng dây T = T3 = m3 ( g − a )
3.17. Cho cơ hệ như hình vẽ gồm vật A có khối lượng m1 = 3kg
đặt trên mặt bàn nằm ngang, ròng rọc B là một khối trụ đặc có
khối lượng M = 2kg và vật C có khối lượng m2 = 1kg. Hai vật A
và C được nối với nhau bằng một sợi dây không co giãn, khối
lượng không đáng kể, được vắt qua mặt ròng rọc. Ban đầu hệ
được giữ đứng yên, vật C cách mặt đất một khoảng h = 0,4m, vật
A cách ròng rọc B một đoạn a = 1m, sau đó thả cho hệ chuyển
động. Cho gia tốc trọng trường g=10m/s2, hệ số ma sát trượt giữa
A và mặt bàn là k = 0,2.

A

a

a. Tính gia tốc chuyển động của vật A trong khoảng thời gian vật C chưa chạm đất.

B

C
h


Tài liệu ôn tập Lý A1

14

b. Tính quãng đường vật A đi được sau 2s từ lúc hệ được thả cho chuyển động.
c. Tính động năng của cơ hệ sau 2s kể từ khi bắt đầu chuyển động.

Giải
a. Tương tự bài 3.14 ta có
a=

g[m1 − km2 ]
10[1 − 0, 2 × 3] 4
=
= m/s2
1
5

5
m1 + m2 + M
2

b. Với gia tốc a = 0,8 m/s2 thì sau một khoảng thời gian bao lâu kể từ lúc hệ bắt đầu
chuyển động vật C sẽ chạm đất? ta có
s1 = v0t + 1 at 2 = 0, 4 ⇒
2

t = 2s = 1 s
a

Vậy sau khoảng thời gian t1 = 1s kể từ lúc hệ bắt đầu chuyển động vật C sẽ chạm đất.
Khi đó vật A ( m1 ) cũng đã đi được một quảng đường là s1 = 0, 4m và m1 sẽ chuyển động chậm
dần dưới tác dụng của lực ma sát. Gia tốc chuyển động chậm dần là
Fms = m1ams

⇒

ams =

Fms
= kg = 2 m/s2
m1

Tại thời điểm vật C chạm đất thì vận tốc của vật A ( m1 ) là v = v0 + at = 0,8 m/s
Dưới tác dụng của ams ta thử tìm hiểu xem với vận tốc ban đầu là v = 0,8 m/s vật sẽ chuyển
động được bao lâu. Ta có
v′ = v + ams t
v0

0,8
=
= 0, 4 s vậy kể từ khi vật C chạm đất
2
ams
thì vật A chỉ chuyển động được thêm một khoảng thời gia là t2 = 0, 4 s .

Tại thời điểm vật dừng lại thì v′ = 0 suy ra t2 =

Quảng đường vật A đi được trong khoảng thời gian này là
s2 = vt2 + 1 ams t22 = 0,8 × 0, 4 + 1 × 2 × (0, 4) 2 = 0, 48m
2
2

Vậy tổng thời gian mà vật A ( m1 ) có thể chuyển động là t = t1 + t2 = 1, 4 s và tổng quảng đường
mà vật A đi được là
s = s1 + s2 = 0,88 m

Vậy sau 2s kể từ lúc hệ bắt đầu chuyển động vật A đi được một quảng đường là s = 0,88 m.
c. sau 2s kể từ lúc hệ bắt đầu chuyển động nếu ta giả thiết rằng ròng rọc ngừng quay khi vật C
chạm đất thì sau 2s kể từ lúc bắt đầu chuyển động, hệ đã ngừng hoạt động hay động năng của hệ
tại thời điểm này bằng 0.
A
3.19. Cho một cơ hệ như hình vẽ gồm: vật A có khối lượng m1 = 200g,
vật B có khối lượng m2 = 100g, ròng rọc C là đĩa tròn đặc đồng chất có
khối lượng M = 200g. Hai vật A và B được nối với nhau bằng một sợi
dây không co giãn, khối lượng không đáng kể, dây được vắt trên mặt
ròng rọc. Hệ số ma sát trượt giữa A và mặt phẳng nghiêng là k = 0,2.
Mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng ngang một góc = 30o. Hệ được

C

B


Tài liệu ôn tập Lý A1

15

thả cho chuyển động từ trạng thái đứng yên. Tính gia tốc chuyển động của vật A và quãng
đường mà vật A thực hiện được sau 2s từ lúc bắt đầu chuyển động.
Giải
Cách giải tương tự bài 3.13
3.20. Cho cơ hệ như hình vẽ gồm vật A có khối lượng m1 = 1kg; ròng rọc B
gồm hai khối trụ ghép đồng trục dính nhau có bán kính R1 = 20cm và R2 =
R1/2, mômen quán tính của nó đối với trục quay là I = 6kg.m2; vật C có khối
lượng m2 = 1kg. Dây nối với hai vật A và C lần lượt được quấn trên bề mặt
các khối trụ của ròng rọc. Các sợi dây đều không co giãn, khối lượng không
đáng kể. Ban đầu hệ được giữ đứng yên và sau đó được thả cho chuyển
động

B

a. Tính gia tốc của vật A và các lực căng dây.
b. Xác định động năng của cơ hệ sau t = 2s từ khi hệ bắt đầu
chuyển động.
G G
G
Vật m1 : ta có P1 + T1 = m1a1

A

C

Giải
→ P1 − T1 = m1a1

(1)

G G
R
G
Vật m2 : ta có P2 + T2 = m2 a2 → T2 − P2 = m2 a2 = m2 a1 2
R1

(2)

G
G
G
Hệ ròng rọc M: M 1 + M 2 = I β

(3)

a1
R1

→ R1T1 − R2T2 = I

Nhân hai vế phương trình (1) với R1 và phương trình (2) với R2 rồi cộng (1),(2) và (3) ta được

a1 =

( m1R1 − m2 R2 ) g
⎛
R
I ⎞
⎜ m1 R1 + m2 R + R ⎟
1
1 ⎠
⎝
2
2

a2 = a1

=

0,981
= 0,325 m/s2
30, 25

R2
= 0,1625 m/s2
R1

T1 = m1 ( g − a1 ) = 9, 485 N
T2 = m2 (a2 + g ) = 9,9725 N
Động năng của hệ sau 2s kể từ lúc bắt đầu chuyển động
v1 = v01 + a1t = 0.65 m/s
v 2 = v02 + a 2 t = 0,325 m/s

ω = ω0 + β t =

2a1
= 3, 25 rad/s
R1

Ek = 1 ( m1v12 + m2 v22 ) + 1 I ω 2  32 J
2
2


Tài liệu ôn tập Lý A1

16

3.21. Hai quả cầu nhỏ có cùng kích thước, khối lượng lần lượt là m1 = 0,2 kg
và m2 = 0,4 kg, được treo vào hai đầu của hai sợi dây nhẹ có cùng chiều dài A
= 1m, hai đầu dây còn lại được buộc vào 2 điểm O1 và O2 sao cho hai dây
thẳng đứng và hai quả cầu vừa chạm nhau (như hình vẽ)

O1 O2

a. Kéo quả cầu có khối lượng m1 về phía bên trái sao cho dây căng theo
phương nằm ngang rồi buông ra. Tại vị trí thấp nhất nó va chạm hoàn
toàn đàn hồi với quả cầu khối lượng m2. Cho g = 9,8 m/s2.
Tính:
b. Vận tốc của các quả cầu ngay sau va chạm.

c. Góc lệch cực đại của dây treo các quả cầu sau va chạm.
m1 m2

Giải

Gọi v10 , v20 lần lượt là vận tốc của m1 , m2 tại thời điểm vừa trước lúc va chạm
và v1 , v2 là vận tốc của chúng vừa sau khi va chạm. Sử dụng định luật bảo toàn động lượng ta có
G
G
G
G
m1v10 + m2 v20 = m1v1 + m2 v2
Vì là va chạm hoàn toàn đàn hồi nên động năng của hệ bảo toàn
1 m v2 + 1 m v2 = 1 m v2 + 1 m v2
(1)
2 1 10 2 2 20 2 1 1 2 2 2
G G G G
Vì là va chạm xuyên tâm, các vector vận tốc v10 , v20 , v1 , v2 cùng phương nên ta có

m1v10 + m2 v20 = m1v1 + m2 v2

(2)

Giải hệ hai phương trình (1) và (2) ta được
v1 =

2m2 v20 − (m2 − m1 )v10
m1 + m2

v2 =

2m1v10 − (m1 − m2 )v20

m1 + m2

Ban đầu m2 đứng yên nên v20 = 0 , áp dụng bảo toàn cơ năng ta có
m1 gh = 1 m1v102 → v10 = 2 gh
2

Suy ra

v1 =

(m1 − m2 ) 2 gh
m1 + m2

v2 =

2m1 2 gh
m1 + m2

Gọi h1 và h2 là các độ cao cực đại mà các vật m1 và m2 có thể đạt được sau khi va chạm khi đó
v12
= l (1 − cos α1 )
ta có h1 =
2g
⎛
v2 ⎞
Suy ra α1 = arccos ⎜1 − 1 ⎟
⎝ 2 gl ⎠

v22
= l (1 − cos α 2 )

h2 =
2g
⎛

α 2 = arccos ⎜1 −
⎝

v22 ⎞
2 gl ⎟⎠

3.22. Một vật có khối lượng m2 = 200g được buộc vào một sợi dây nhẹ,
không co giãn, đầu kia của dây buộc vào giá cố định. Ban đầu vật m2
đứng yên ở vị trí dây treo thẳng đứng. Một vật nhỏ có khối lượng m1 =
100g chuyển động theo phương ngang với vận tốc v = 2m/s đến va chạm
mềm với m2. Tính vận tốc của hai vật sau va chạm. Sau đó cả hai vật lên

m1 vG
•

m2


Tài liệu ôn tập Lý A1

17

đến độ cao cực đại bằng bao nhiêu so với vị trí thấp nhất của chúng? Cho biết gia tốc trọng
trường g = 10m/s2.
Giải
G

G
Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc ban đầu của đạn và vận tốc của hệ (m1 + m2) vừa sau khi va
chạm. Ap dụng định luật bảo toàn động lượng ta có
G
G
m1v1 = (m1 + m2 )v2

→ v2 =

m1v1
m1 + m2

Gọi h là độ cao cực đại mà hệ có thể đạt đượ c sau khi va chạm.
Ap dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có
1 (m + m )v 2 = ( m + m ) gh → v = 2 gh = m1v1
2
2
1
2
2
m1 + m2
2 1

h=

Do đó ta có

m12 v12
2 g (m1 + m2 ) 2

3.23. Một thanh AB thẳng đồng chất khối lượng M = 1kg có chiều dài
l = 1m có thể quay quanh trục nằm ngang đi qua điểm C cách đầu A của
thanh 0,25m và vuông góc với thanh. Ban đầu thanh đứng yên ở vị trí thẳng
đứng. Một vật nhỏ, mềm khối lượng m=100g chuyển động theo phương
ngang với vận tốc vm= 10m/s đến va chạm với thanh tại điểm D cách đầu B
0,25 m và dính vào thanh sau va chạm. Tính vận tốc góc của thanh ngay sau
va chạm.

A
°

C

D

G
v

m

Giải
B
G G
Gọi L1 , L2 là moment động lượng của chất điểm m và của thanh AB vừa
G
trước lúc va chạm, L là moment động lượng của hệ thanh AB và chất điểm m tại thời điểm vừa
sau va chạm
Áp dụng định luật bảo toàn moment động lượng ta có
G G
G

G
L1 + L2 = L = I ω ↔ lCD mvm = I ω

ω=

Hay

Trong đó

Vậy

lmvm
2I

2
2
I = I m + I M = mlCD
+ 1 Ml 2 + MlCG
= 1 ml 2 + 1 Ml 2 + 1 Ml 2
12
4
12
16
= 1 m + 7 M l2
4
48

)

(

ω=

(

2mvm
m+ 7 M l
12

)

3.24. Cho một đường rãnh ABC trong đó AB là ¼
đường tròn bán kính R = 1m, BC là đường nằm
ngang. Một vật có khối lượng m1 = 0,5kg được thả
từ điểm A không ma sát trên cung AB. Tại B, vật
m1 va chạm mềm với với m2 = 1kg đang đứng yên.

A

O
R
B

C


Tài liệu ôn tập Lý A1

18

Tính quảng đường mà hệ hai vật m1 và m2 trượt được trên đoạn BC. Biết hệ số ma sát
giữa hệ và mặt phẳng nằm ngang BC là k = 0,2.

Giải

G
G
Gọi v1 lần lượt là vận tốc của vật m1 vừa trước lúc va chạm và v2 là vận tốc của hệ vừa sau va
chạm. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có
m1 gR = 1 m1v12
2

→ v1 = 2 gR

Áp dụng bảo toàn động lượng ta có
m1v1 = (m1 + m2 )v2

→ v2 =

m1 2 gR
m1 + m2

Sau khi vật m1 va chạm vào m2 khi đó hệ 2 vật sẽ trượt chậm dần với cùng vận tốc ban đầu trên
mặt sàn nằm ngang dưới tác dụng của lực ma sát. Khi đó ta có gia tốc của hệ là
Fms
a=−
= −kg
m1 + m2
Tại lúc hệ dừng lại, vật tốc của chúng bằng không khi đó ta có quảng đường mà chúng đi được
là:

s=

v 2 − v02
v2
v2
=− 2 = 2
2a
2a 2 gk

Ngoài ra có có thể sử dụng định lý động năng để xác định quảng đường. Ta biết công của ngoại
lực (trong trường hợp này là lực masát) tác dụng lên hệ bằng độ giảm thế năng:
A ms

= Fms ⋅ s = ΔE = E 2 − E1 = 0 − 1 (m1 + m 2 )v 22
2

− 1 (m1 + m 2 )v 22
v2
⇒s= 2
= 2
−k(m1 + m 2 )g
2gk


Tài liệu ôn tập Lý A1

19

Chương IV: Nhiệt học

4.1. Hãy chứng tỏ nhiệt lượng được nhận từ nguồn nhiệt có nhiệt độ cao thì khả năng chuyển
hoá thành công của nhiệt lượng tốt hơn. Nguyên lý I nhiệt động học có thể giải thích được hiện
tượng này không?

Nhiệt lượng nhận vào từ nguồn nhiệt có nhiệt độ cao có chất lượng hơn nhiệt lượng nhận vào từ
nguồn nhiệt có nhiệt độ thấp. Đối với động cơ hoạt động theo chu trình Carnot thuận nghịch
T
η = 1 − 2 . Vậy với cùng nhiệt độ của nguồn lạnh, động cơ nào có nhiệt độ của nguồn nóng cao
T1
hơn thì có hiệu suất lớn hơn, nghĩa là phần nhiệt biến thành công A′ lớn hơn. Ngoài ra sự chênh
lệch về nhiệt độ giữa 2 nguồn nhiệt không đổi nhưng nếu nhiệt độ của hai nguồn nhiệt càng cao
thì khả năng sinh công càng lớn, điều này có thể thấy được bằng vài dòng chứng minh đơn giản
sau. Giả sử ta có thể nâng nhiệt độ của cả hai nguồn nhiệt cho cùng một giá trị nào đó ví dụ như
cùng nâng nhiệt độ của nguồn nóng và nguồn lạnh lên một giá trị A khi đó ta có
T2 T1 + T2 − T1
T −T
=
= 1+ 2 1
T1
T1
T1

Ngoài ta ta cũng có

T2 + A T2 + T1 + A − T1
T −T
=
= 1+ 2 1
T1 + A
T1 + A

T1 + A

Ta thấy rằng

T2 − T1 T2 − T1
<
T1 + A
T1

Vì thế

T2 T2 + A
>
T1 T1 + A

hay

η = 1−

T2
T +A
< η′ = 1 − 2
T1
T1 + A

Nguyên lý thứ nhất cho phép ta giải thích được điều này. Từ nguyên lý thứ nhất có thể rút ra
Q′
η = A′ = 1 − 2
Q
Q1

Vì thế nhiệt lượng Q1 nhận được từ nguồn nóng càng lớn thì tỉ số

Q2′
càng bé hay A′ càng lớn.
Q1

4.2. Phát biểu và viết biểu thức nguyên lý I nhiệt động học. Thế nào là động cơ vĩnh cửu loại I
và vì sao không thể chế tạo được động cơ vĩnh cửu loại I.
Nguyên lý I: độ biến thiên nội năng của hệ trong một quá trình bằng tổng công và nhiệt
mà hệ trao đổi với môi trường trong quá trình đó.

Động cơ vĩnh cữu loại một là loại động cơ hoạt động tuần hoàn và có thể sinh công lớn
hơn nhiệt lượng mà nó nhận vào.
Nguyên lý thứ nhất cho thấy công mà hệ sinh ra trong một chu trình bằng nhiệt mà hệ
nhận được trong chu trình đó. Nói cách khác nguyên lý thứ nhất khẳng định rằng không thể chế
tạo được loại động cơ hoạt động tuần hoàn và sinh công lớn hơn nhiệt lượng mà nó nhận vào. Vì
thế không thể chế tạo được động cơ vĩnh cữu loại I
4.3. Hãy nêu các hạn chế của nguyên lý I nhiệt động học. Vì sao ở nguồn nhiệt độ cao thì khả
năng chuyển hóa nhiệt lượng thành công tốt hơn ở nguồn nhiệt độ thấp.


Tài liệu ôn tập Lý A1

20

•

Nguyên lý thứ nhất không chỉ ra chiều diễn biến của quá trình tự nhiên vì quá trình
truyền nhiệt chỉ xảy ra theo một chiều từ vật nóng sang vật lạnh và quá trình truyền

ngược lại không thể xảy ra một cách tự phát.

•

Nguyên lý thứ nhất không chỉ ra sự khác biệt trong quá trình chuyển hóa giữa công và
nhiệt vì nguyên lý thứ nhất khẳng định sự tương đương giữa công và nhiệt trong quá
trình chuyển hóa lẫn nhau. Nhưng thực tế cho thấy rằng công có thể chuyển trực tiếp và
hoàn toàn thành nhiệt, nhưng nhiệt không thể chuyển trực tiếp và hoàn toàn thành công.

Nhiệt lượng nhận vào từ nguồn nhiệt có nhiệt độ cao có chất lượng hơn nhiệt lượng nhận vào từ
nguồn nhiệt có nhiệt độ thấp. Đối với động cơ hoạt động theo chu trình Carnot thuận nghịch
T
η = 1 − 2 . Vậy với cùng nhiệt độ của nguồn lạnh, động cơ nào có nhiệt độ của nguồn nóng cao
T1
hơn thì có hiệu suất lớn hơn, nghĩa là phần nhiệt biến thành công A′ lớn hơn. Ngoài ra sự chênh
lệch về nhiệt độ giữa 2 nguồn nhiệt không đổi nhưng nếu nhiệt độ của hai nguồn nhiệt càng cao
thì khả năng sinh công càng lớn, điều này có thể thấy được bằng vài dóng chứng minh đơn giản
sau. Giả sử ta có thể nâng nhiệt độ của cả hai nguồn nhiệt cho cùng một giá trị nào đó ví dụ như
cùng nâng nhiệt độ của nguồn nóng và nguồn lạnh lên một giá trị A khi đó ta có
T2 T1 + T2 − T1
T −T
=
= 1+ 2 1
T1
T1
T1

Ngoài ta ta cũng có

T2 + A T2 + T1 + A − T1

T −T
=
= 1+ 2 1
T1 + A
T1 + A
T1 + A

Ta thấy rằng

T2 − T1 T2 − T1
<
T1 + A
T1

Vì thế

T2 T2 + A
>
T1 T1 + A

hay

η = 1−

T2
T +A
< η′ = 1 − 2
T1
T1 + A

4.4. Hãy nêu các hạn chế của nguyên lý I Nhiệt động học và từ đó giải thích vì sao không thể
chế tạo được động cơ vĩnh cửu loại 2. (hoàn toàn tương tự 4.5)
4.5. Phát biểu định tính nguyên lý II nhiệt động học. Từ đó giải thích vì sao nhiệt lượng không
thể chuyển hóa toàn bộ thành công.
Nguyên lý II: Một động cơ nhiệt không thể sinh công nếu nó chỉ trao đổi nhiệt với một
nguồn nhiệt duy nhất.
Hay nói cách khác: không thể chế tạo một động cơ hoạt động tuần hoàn biến đổi liên
tục nhiệt thành công nhờ làm lạnh một vật mà môi trường xung quanh không chịu bất kỳ một sự
thay đổi đồng thời nào.

Từ nguyên lý thứ II ta thấy rằng rõ ràng nhiệt lượng mà động cơ nhận vào không thể
chuyển hóa toàn bộ thành công mà một phần của nó phải được trả ra môi trường bên ngoài.
Chính phần nhiệt lượng trả ra môi trường bên ngoài này sẽ làm cho môi trường bên ngoài có sự
biến đổi. Giả sử toàn bộ nhiệt lượng mà động cơ nhận được có thể biến đổi thành công khi đó
không có bất cứ một lượng năng lượng nào được trả ra bên ngoài tồn tại dưới dạng nhiệt để có
thể dẫn đến việc làm biến đổi môi trường ngoài. Nói tóm lại không có một động cơ nào có thể
biến toàn bộ nhiệt lượng Q1 thành công được.


Tài liệu ôn tập Lý A1

21

4.6. Thế nào là động cơ vĩnh cửu loại 2. Phát biểu định tính nguyên lý 2 nhiệt động lực học bằng
cách khảo sát hoạt động của một động cơ nhiệt. Từ đó, chứng tỏ rằng không thể tồn tại động cơ
vĩnh cửu loại 2.

Động cơ hoạt động tuần hoàn sinh ra công bằng cách trao đổi nhiệt với nguồn nhiệt duy
nhất là động cơ vĩnh cữu loại hai. Nói cách khác loại động cơ nhiệt này chỉ cần hoạt động với 1
nguồn nhiệt duy nhất, tác nhân trong động cơ sẽ nhận một nhiệt lượng Q1 từ nguồn nhiệt và biến

đổi toàn bộ thành công A′ mà không hề trả ra môi trường bên ngoài bất kỳ một lượng nhiệt nào.
Phát biểu định tính nguyên lý II bằng cách khảo sát hoạt động của động cơ nhiệt:
Trong mỗi chu trình, tác nhân trong động cơ nhận một nhiệt lượng Q1 từ nguồn nóng T1 chuyển
một phần của nhiệt lượng này thành công A′ . Phần còn lại bị mất đi do truyền một nhiệt lượng
Q2′ cho nguồn lạnh T2 .

Như vậy ta thấy chỉ một phần nhiệt lượng Q1 mà tác nhân nhận được từ nguồn nóng có
thể biến đổi thành công chứ không thể biến đổi toàn bộ Q1 thành công A′ . Vì thế không thể nào
chế tạo được loại động cơ vĩnh cữu loại II.
4.7. Phát biểu định lý Carnot. Vì sao hiệu suất động cơ thuận nghịch lớn hơn hiệu suất động cơ
không thuận nghịch cùng loại?
4.8. Thế nào là một chu trình Carnot thuận nghịch. Hãy chứng tỏ hiệu suất của chu trình Carnot
thuận nghịch không thể lớn hơn hoặc bằng 100%.

Chu trình Carnot thuận nghịch là một chu trình bao gồm 4 quá trình, trong đó có 2 quá
trình đẳng nhiệt và 2 quá trình đoạn nhiệt được thực hiện xen kẻ nhau. Như mô tả trên hình vẽ.
Quá trình 1-2 hệ nhận nhiệt lượng Q1 thực hiện công
A12′ = Q1 đồng thời dãn đẳng nhiệt

p
p1

1

Quá trình 2-3 hệ tiếp tục dãn đoạn nhiệt thực hiện
′ và nhiệt độ khối khí giảm từ T1 → T2
một công A23
Quá trình 3-4 Nhận một công A34 và nén đẳng nhiệt
và trả cho nguồn lạnh một nhiệt lượng Q2′ = A34

p2
p4

Quá trình 4-1 Nhận công A41 tiếp tục nén đoạn nhiệt
và tăng nhiệt độ từ T2 → T1

p3

Hiệu suất của chu trình carnot thuận nghịch

η = 1−

T2
T1

Vì T1 và T2 luôn lớn hơn 0 nên

0

T1

Q=0

2

4

Q=0

T2

V1 V4

3
V2

V3

V

T2
T
> 0 ⇒ η = 1− 2 < 1
T1
T1

4.9. Nêu biểu thức của hiệu suất chu trình Carnot thuận nghịch và chứng tỏ rằng nhiệt lượng
không thể chuyển hóa toàn bộ thành công. Hãy chỉ ra phương hướng nâng cao hiệu suất của chu
trình.
T
Ta có η = A′ = 1 − 2 < 1 vì thế A′ < Q1 hay có thể nói nhiệt lượng mà động cơ nhận
Q1
T1
được từ nguồn nóng không thể chuyển hoá toàn bộ thành công. Từ biểu thức hiệu suất của động
cơ ta thấy: để nâng cao hiệu suất của chu trình người ta có thể nâng nhiệt độ của cả hai nguồn


Tài liệu ôn tập Lý A1

22

nhiệt cho cùng một giá trị nào đó ví dụ như cùng nâng nhiệt độ của nguồn nóng và nguồn lạnh
lên một giá trị A nào đó khi đó ta có
T2 T1 + T2 − T1
T −T
=
= 1+ 2 1
T1
T1
T1

Ngoài ta ta cũng có

T2 + A T2 + T1 + A − T1
T −T
=
= 1+ 2 1
T1 + A
T1 + A
T1 + A

Ta thấy rằng

T2 − T1 T2 − T1
<
T1 + A
T1

Vì thế

T2 T2 + A
>
T1 T1 + A

T2
T +A
< η′ = 1 − 2
T1
T1 + A

η = 1−

hay

4.11. Chứng minh rằng hiệu suất của động cơ nhiệt hoạt động theo chu trình Carnot thuận
T
nghịch với tác nhân là khí lý tưởng là η = 1- 2
T1

Ta biết hiệu suất của động cơ bất kỳ là

Q′
η = A′ = 1 − 2
Q1
Q1

Nhiệt lượng nhận từ nguồn nóng T1 trong quá trình 1-2:

Q1 = Q12 = − A12 = n RT1 ln

Nhiệt lượng trả cho nguồn lạnh T2 trong quá trình 3-4:

′ = A34 = n RT2 ln
Q2′ = Q34

Từ các quá trình đoạn nhiệt 2-3 và 4-1, ta có:
Suy ra:

T1V1

γ −1

= T2V2

γ −1

= T2V3

T1V4

V2
V1

V3
V4

γ −1
γ −1

V3 V2

=
V4 V1

Vậy hiệu suất của động cơ nhiệt hoạt động theo chu trình Carnot thuận là:
Q′
T
η = A′ = 1 − 2 = 1 − 2
T1
Q1
Q1
4.12. Từ biểu thức của hiệu suất chu trình Carnot thuận nghịch, hãy chỉ ra phương cách nâng cao
hiệu suất của một chu trình. Từ đó, xác lập mối quan hệ giữa chất lượng của nhiệt lượng và nhiệt
độ của nguồn nhiệt.

Từ biểu thức hiệu suất của chu trình Carnot ta thấy: để nâng cao hiệu suất của chu trình
người ta có thể nâng nhiệt độ của cả hai nguồn nhiệt cho củng một giá trị nào đó ví dụ như cùng
nâng nhiệt độ của nguồn nóng và nguồn lạnh lên một giá trị nào A đó khi đó ta có
T2 T1 + T2 − T1
T −T
=
= 1+ 2 1
T1
T1
T1

Ngoài ta ta cũng có

T2 + A T2 + T1 + A − T1
T −T
=

= 1+ 2 1
T1 + A
T1 + A
T1 + A


Tài liệu ôn tập Lý A1

23

Ta thấy rằng

T2 − T1 T2 − T1
<
T1 + A
T1

Vì thế

T2 T2 + A
>
T1 T1 + A

hay

η = 1−

T2
T +A
< η′ = 1 − 2

T1
T1 + A

Nhiệt lượng nhận vào từ nguồn nhiệt có nhiệt độ cao có chất lượng hơn nhiệt lượng nhận
vào từ nguồn nhiệt có nhiệt độ thấp.
Q′
Từ nguyên lý thứ nhất có thể rút ra η = A′ = 1 − 2
Q
Q1
Vì thế nhiệt lượng Q1 nhận được từ nguồn nóng càng lớn thì tỉ số

Q2′
càng bé hay A′ càng lớn.
Q1

4.13. Hãy cho biết nguyên tắc hoạt động của động cơ nhiệt

Trong động cơ nhiệt làm việc giữa hai nguồn nhiệt, tác
nhân nhận được trong mỗi chu trình một lượng nhiệt Q1
lấy từ nguồn nóng ở nhiệt độ T1 chuyển một phần thành
công A′ , phần nhiệt lượng còn lại Q2′ nhường cho nguồn
lạnh ở nhiệt độ T2 (T2 < T1 ) .
4.14. Từ biểu thức hiệu suất của chu trình Carnot thuận nghịch, hãy chứng tỏ khi hoạt động, một
động cơ nhiệt cần phải trao đổi nhiệt với hai nguồn nhiệt. Điều kiện của hai nguồn nhiệt này
phải như thế nao để hiệu suất của chu trình Carnot thuận nghịch tăng cao.
T2
< 1 vì thế luôn luôn tồn tại T2 > 0 .
T1
T
nói cách khác động cơ luôn luôn phải tiếp xúc với 2 nguồn nhiệt. Tỉ số về nhiệt độ 2 càng bé

T1
thì hiệu suất của chu trình càng cao. (xem câu 4.12)

Ta biết hiệu suất của chu trình carnot thuận nghịch η = 1 −


Tài liệu ôn tập Lý A1

24

Bài Tập Nhiệt Học
4.15. Một kmol khí lý tưởng đơn nguyên tử ban đầu có thể tích V1 = 10m 3 , nhiệt độ T1 = 300oK,
được nung nóng đẳng tích tới nhiệt độ T2 = 600oK, sau đó giãn đẳng nhiệt tới áp suất bằng áp
suất lúc đầu và cuối cùng nén đẳng áp về trạng thái ban đầu.

a. Áp suất ban đầu của khối khí và vẽ đồ thị biểu diễn chu trình.
b. Tính nhiệt lượng cung cấp cho hệ trong chu trình. Hiệu suất của chu trình.
Biết hằng số khí lý tưởng R = 8,31.103J/kmol.oK và An 2 = 0,693 .
Giải
Lưu ý, ta có [J]=[N.m]

p1 =

a)

nRT1 1 ⋅ 8,31⋅103 ⋅ 300
=
= 249,3 ⋅103 N / m 2
V1
10

2

b) Nhiệt lượng trao đổi trong quá trình đẳng tích 1->2
Q12 = n CV (T2 − T1 ) = n i R (T2 − T1 )
2
3
3
= 8,31⋅10 ⋅ (600 − 300) = 37395 ⋅102 J
2

1

3

Nhiệt lượng trao đổi trong quá trình giãn đẳng nhiệt 2->3 ta có T3 = T2 = 600 K
PV
2 2 = PV
3 3 ⇔ PV
2 1 = PV
1 3 ⇒ V3 =

PV
2 1
P1

P1 P2
T
= ⇒ P2 = 2 P1 = 600 P1 = 2 P1
T1 T2

T2
300

Mà ta có

hay

V3 =

PV
2 1
= 2V1 = 2V2
P1

⎛V ⎞
Q23 = nRT2 ln ⎜ 3 ⎟ = 8,31⋅103 ⋅ 600 ⋅ ln(2) = 3455298 J
⎝ V2 ⎠

Nhiệt lượng trao đổi trong quá trình nén đẳng áp 3->1
Q31 = n CP (T1 − T3 ) = n i + 2 R (T1 − T3 ) = − 5 ⋅ 8,31 ⋅103 ⋅ 300 = −62325 ⋅102 J
2
2

Hiệu suất của chu trình
Q31
Q
1+
η = 1+ 2 = 1+
Q1
Q12 + Q23

= 1−

( i + 2 )(T3 − T1 )

n i + 2 R (T1 − T3 )
2
⎛V ⎞
n i R (T2 − T1 ) + 2 nRT2 ln ⎜ 3 ⎟
2
2
⎝ V2 ⎠

⎛V ⎞
i (T2 − T1 ) + 2T2 ln ⎜ 3 ⎟
⎝ V2 ⎠

 13, 4%

4.16. Một chu trình được thực hiện bởi hai kmol khí lý tưởng đơn nguyên tử, gồm các quá trình
nén đẳng nhiệt, giãn đẳng áp và đẳng tích. Quá trình đẳng nhiệt xảy ra ở nhiệt độ T1 = 600K.
Cho biết tỷ số giữa thể tích cực đại và cực tiểu của chu trình là V1/V2 = 4.

Tính công do khối khí nhận vào trong quá trình đẳng nhiệt và hiệu suất của chu trình.


Tài liệu ôn tập Lý A1

25

Cho biết: Hằng số khí lý tưởng R = 8,31.103J/kmol.oK., 1at = 9,8.104N/m2. và ln2= 0,693.

Giải

a) Công do khối khí nhận trong quá trình nén đẳng nhiệt
⎛V ⎞
A12 = n RT1 ln ⎜ 1 ⎟ = 2 ⋅ 8,31⋅103 ⋅ 600 ⋅ ln 4 = 13821192 J
⎝ V2 ⎠

b) Hiệu suất của chu trình
Nhiệt hệ trao đổi trong quá trình nén đẳng nhiệt
⎛V ⎞
Q12 = − A12 = −nRT1 ln ⎜ 1 ⎟ = −13821192 J
⎝ V2 ⎠
Ta có

T3 =

P
2

3

V3
V
T = 1 T = 4T1 = 4T2 = 2400 K
V2 2 V2 1

Nhiệt trao đổi của hệ trong quá trình giãn đẳng áp
Q23 = n CP (T3 − T2 ) = n ⋅ i + 2 R ⋅ 3 ⋅ 600 = 7499 ⋅104 J
2

1

V

Nhiệt trao đổi của hệ trong quá trình đẳng tích
Q31 = n CV (T1 − T3 ) = − n i R ⋅ 3 ⋅ 600 = −44874 ⋅103 J
2

V
2 n RT1 ln 1 + n i R (T3 − T1 )
Q + Q31
Q
2
V2
2
= 1−
η = 1 + 2 = 1 + 12
Q1
Q23
n i + 2 R (T3 − T2 )
2
1800 4 ln 2 + 3
2T1 ln 4 + i (T3 − T1 )
3
= 1−
= 1−
 21,5%
5 ⋅1800
( i + 2 )(T3 − T2 )

(

)

4.17. Một mol khí lý tưởng phân tử hai nguyên tử ban đầu ở trạng thái có áp suất p1 = 2×105
N/m2 và thể tích V1=20 lít. Khối khí được nung nóng đẳng tích đến nhiệt độ T2 gấp đôi nhiệt độ
ban đầu T1. Sau đó cho khối khí giãn nở đẳng nhiệt về áp suất ban đầu p1, cuối cùng nén đẳng áp
để đưa khối khí về trạng thái ban đầu.
a. Nhiệt độ ban đầu T1 của khối khí.
b. Hiệu suất của chu trình.

Cho biết: Hằng số khí lý tưởng là R=8,31x103 J/kmol.K.
Giải

a) Nhiệt độ ban đầu của khối khí [J]=[N.m]
T1 =

P1 V1 2 ⋅105 ⋅ 2 ⋅10−2
=
 481 K
nR
1 ⋅ 8,31

b) Hiệu suất của chu trình
Nhiệt trao đổi trong quá trình đẳng tích 1->2 P2 =

T2
P = 2 P1
T1 1