Phương pháp dùng chữ thay số trong giải toán ở tiểu học

Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tiểu học là cấp học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành, phát
triển toàn diện nhân cách của con người, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục
phổ thông và toàn bộ hệ thống giáo dục quốc dân của một quốc gia. Ngày nay,
tất cả các quốc gia trên thế giới đều quan tâm đến giáo dục, trong đó có giáo
dục tiểu học. Sự quan tâm đó không phải là ngẫu nhiên mà chính là ở vai trò
của giáo dục đối với sự phát triển kinh tế - xã hội. Cố Tổng Bí thư Đỗ Mười
đã nói “Giáo dục là động lực phát triển kinh tế - xã hội”. Từ việc xác định
vai trò của giáo dục đối với sự phát triển kinh tế - xã hội của đất nước, Đảng
và Nhà nước ta đã không ngừng quan tâm đến giáo dục, đặc biệt là giáo dục
tiểu học.
Trong các môn học ở trường Tiểu học, môn Toán được xem là “môn thể
dục của trí tuệ ”. Mục tiêu chủ yếu của việc dạy Toán là dạy cho trẻ biết cách
tính toán, nắm vững các phương pháp suy nghĩ, suy luận, biết cách giải và
trình bày bài giải. Đặc biệt, trong dạy - học Toán ở trường Tiểu học thì giải
toán chiếm một vị trí quan trọng. Hay nói cách khác, giải toán chính là vấn đề
trọng tâm của chương trình toán ở cấp Tiểu học. Giải toán được xem là mục
tiêu ban đầu của các cấu trúc toán học và là phần không chia tách được của
các hoạt động toán học. Giải toán không phải là một chủ đề riêng biệt mà là
một quá trình. Quá trình đó cho phép chúng ta thực hiện nội dung chương
trình, cung cấp tổng thể các khái niệm và các kĩ năng cho người học. Đồng
thời, giải toán giúp học sinh nâng cao tư duy, rèn luyện những phẩm chất của
người lao động mới: tính kiên trì, bền bỉ, làm việc có kế hoạch, năng động,
sáng tạo…

SV: Vũ Thị Thinh

1

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Trong nội dung dạy - học Toán ở Tiểu học, học sinh được làm quen với
nhiều dạng toán, với nhiều phương pháp giải khác nhau, mỗi phương pháp là
một công cụ thích hợp nhằm giải được các bài toán. Một trong số đó là
phương pháp dùng chữ thay số. Đây là một phương pháp đặc trưng, hay và
khó thường dùng để giải các bài toán về số và chữ số. Tìm hiểu các đề thi học
sinh giỏi Toán hàng năm, thu thập và nghiên cứu các đề thi trong chuyên mục
“Giải toán qua thư ” của Tạp chí Toán tuổi thơ các số, tôi nhận thấy các bài
toán về số và chữ số chiếm một vị trí đáng kể và hầu hết đều dùng đến một
công cụ hữu hiệu là phương pháp dùng chữ thay số để giải quyết. Đồng thời,
với phương pháp này học sinh tiểu học được chuẩn bị cho việc tiếp cận với
“phương pháp đại số ” ở cấp Trung học cơ sở.
Chính vì lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài: “Phương pháp dùng chữ
thay số trong giải toán ở Tiểu học”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
– Tìm hiểu phương pháp dùng chữ thay số.
– Nhận dạng một số bài toán cơ bản ở Tiểu học giải bằng phương pháp
dùng chữ thay số.
3. NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
– Nghiên cứu cơ sở lí luận về phương pháp giải toán ở Tiểu học.
– Nghiên cứu các bài toán về số và chữ số và việc vận dụng phương pháp

dùng chữ thay số để giải.
– Tìm hiểu thực trạng việc vận dụng phương pháp dùng chữ thay số vào
giải các bài toán ở Tiểu học.
4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
– Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán về số và chữ số.
– Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán về số và chữ số nằm trong chương
trình toán Tiểu học.

SV: Vũ Thị Thinh

2

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
– Phương pháp nghiên cứu lí luận.
– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
– Phương pháp điều tra.

SV: Vũ Thị Thinh

3

Lớp: K32B - GDTH

Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học
Chúng ta thấy rằng khuynh hướng nhận thức của trẻ em ngày nay được mở
rộng, năng khiếu, nhu cầu, hứng thú, thị hiếu, thẩm mĩ,… trở nên phong phú
và đa dạng hơn. Bởi trẻ em ngày nay được tiếp nhận những lượng thông tin
nhờ sự tăng dần đáng kể các phương tiện thông tin đại chúng, được khai sáng
bằng cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật và công nghệ. Vì thế, việc giáo dục trẻ
em cũng dễ hơn và cũng khó hơn trước. Dễ vì trẻ em ngày nay tiếp thu nhanh
hơn, có khả năng và điều kiện để vận dụng những điều đã học được. Khó hơn
vì tầm suy nghĩ của trẻ rộng hơn, những vấn đề đặt ra phong phú hơn và phức
tạp hơn. Bởi vậy, muốn giáo dục trẻ thì bản thân chúng ta phải hiểu trẻ, ngược
lại muốn hiểu trẻ thì phải tiến hành giáo dục trẻ.
1.1.1. Về tri giác
Tri giác của học sinh tiểu học mang tính đại thể, ít đi sâu vào chi tiết và
mang tính chủ định. Do đó, các em phân biệt những đối tượng còn chưa chính
xác, dễ mắc sai lầm, có khi còn lẫn lộn. Tri giác trước hết là những sự vật,
những dấu hiệu, những đặc điểm nào trực tiếp gây cho các em những xúc
cảm. Vì thế, cái trực quan, cái rực rỡ, cái sinh động được các em tri giác tốt
hơn, dễ gây ấn tượng tích cực cho các em hơn.
1.1.2. Về chú ý
Ở lứa tuổi học sinh tiểu học, chú ý không chủ định được phát triển.
Những gì mang tính mới mẻ, bất ngờ, rực rỡ, khác thường sẽ dễ dàng lôi cuốn
sự chú ý của các em mà không có sự nỗ lực của ý chí. Ở lứa tuổi này, chú ý có

SV: Vũ Thị Thinh

4

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

chủ định của các em còn yếu, khả năng điều chỉnh chú ý một cách có ý chí
chưa mạnh. Sự chú ý của học sinh đòi hỏi một động cơ gần thúc đẩy.
1.1.3. Trí nhớ
Học sinh tiểu học chủ yếu vẫn là ghi nhớ máy móc. Trí nhớ trực quan
hình ảnh phát triển hơn trí nhớ từ ngữ trừu tượng. Các em nhớ và giữ gìn
chính xác những sự vật, hiện tượng cụ thể nhanh hơn và tốt hơn những định
nghĩa, những lời giải thích dài dòng.
1.1.4. Tưởng tượng
Tưởng tượng của học sinh tiểu học đã phát triển và phong phú hơn so với
trẻ mẫu giáo. Đây là lứa tuổi thơ mộng giúp cho phát triển trí tưởng tượng.
Tuy vậy, tưởng tượng của các em còn tản mạn, ít có tổ chức. Hình ảnh của
tưởng tượng còn đơn giản, chưa được gọt rũa, hay thay đổi, chưa bền vững.
Đến cuối cấp Tiểu học, tính trực quan tưởng tượng của các em giảm dần, các
em có khả năng tưởng tượng sáng tạo. Sở dĩ như vậy là vì các em đã có kinh
nghiệm phong phú, đã lĩnh hội được những tri thức khoa học do nhà trường
đem lại.
1.1.5. Tư duy
Khả năng tư duy của trẻ em mới đến trường là tư duy cụ thể, mang tính

hình thức bằng cách dựa vào những đặc điểm trực quan của những đối tượng
và hình tượng cụ thể. Trong quá trình học tập, tư duy của học sinh tiểu học
thay đổi rất nhiều. Sự phát triển của tư duy dẫn đến sự tổ chức lại một cách
căn bản quá trình nhận thức, chúng được tiến hành một cách có chủ định.
Tóm lại, lứa tuổi học sinh tiểu học nhờ có giáo dục (nhà trường, gia đình,
xã hội), nhờ các em tham gia vào các hoạt động (học tập, giao tiếp, vui chơi,
lao động tự phục vụ…) nên tâm lí của các em phát triển, khả năng nhận thức
từng bước chuyển biến để phát triển ở trình độ cao hơn.

SV: Vũ Thị Thinh

5

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.2. Quy trình chung để giải một bài toán
Lâu nay, giải toán đã trở thành một hoạt động trí tuệ sáng tạo và hấp dẫn
đối với nhiều học sinh, các thầy cô giáo và các bậc phụ huynh. Đối với học
sinh tiểu học, giải toán không chỉ là nhớ mẫu rồi áp dụng mà đòi hỏi học sinh
phải nắm chắc các khái niệm, quan hệ toán học, nắm chắc ý nghĩa các phép
tính, đòi hỏi khả năng độc lập suy luận của học sinh, đòi hỏi học sinh phải biết
làm tính thông thạo. Để giúp học sinh thực hiện hoạt động giải toán một cách
có hiệu quả, cần hướng dẫn cho học sinh nắm được các bước của quy trình
chung để giải một bài toán. Quy trình này gồm 4 bước như sau:
– Tìm hiểu nội dung của đề bài

– Tìm cách giải
– Trình bày lời giải
– Nghiên cứu sâu lời giải
 Bước 1: Tìm hiểu nội dung của đề bài
Giáo viên cần tập trung cho học sinh thói quen tự tìm hiểu đề toán. Trước
hết, học sinh cần đọc thật kĩ đề bài, xác định được đâu là “những cái đã cho”,
đâu là “cái cần tìm”, tìm ra mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm. Giáo
viên cần hướng sự tập trung suy nghĩ của các em vào các từ quan trọng của đề
bài, giải thích thuật ngữ khó hiểu cho học sinh, tách bỏ những đặc điểm bản
chất khỏi những đặc điểm không bản chất, giữ lại những dấu hiệu bản chất
cho đề toán. Tiếp theo, học sinh biểu thị cách hiểu đề bài thông qua việc tóm
tắt bài toán. Có thể tóm tắt bài toán bằng một trong các hình thức tóm tắt sau:
tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng, bằng các hình tượng trưng, bằng lưu đồ, bằng
biểu đồ Ven, bằng ngôn ngữ kí hiệu, bằng bảng kẻ ô, tóm tắt với công thức
bằng lời, tóm tắt bằng công thức chữ.

SV: Vũ Thị Thinh

6

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 Bước 2: Tìm cách giải
Ở bước này, cần suy nghĩ xem bài toán đã cho có thuộc loại toán điển
hình hay không? Có tương tự với bài toán đã giải hay không? Muốn trả lời câu

hỏi của bài toán thì cần phải biết những gì? Cần phải làm những phép tính gì?
Trong những điều ấy cái gì đã biết, cái gì chưa biết? Muốn tìm cái chưa biết
ấy thì lại phải biết những gì, phải làm tính gì?... Cứ như thế ta đi dần đến
những điều đã cho trong đề toán. Từ những suy nghĩ trên, học sinh sẽ tìm ra
con đường tính toán (hoặc suy luận), đi từ những điều đã cho tới đáp số của
bài toán.
 Bước 3: Trình bày lời giải
Dựa vào kết quả phân tích bài toán ở bước 2, ta sắp xếp các bước phải
làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực
hiện theo các bước đó để tìm ra đáp số. Tuy nhiên, ở bước này cần tuân thủ
các quy tắc ở nhà trường Tiểu học. Ta lần lượt thực hiện các phép tính có kèm
theo lời giải để tìm ra đáp số.
 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Cần chú ý thử lại sau khi làm xong từng phép tính, cũng như thử lại xem
đáp số có phù hợp với đề toán hay không. Đồng thời cũng cần soát lại các câu
lời giải cho các phép tính xem đã đủ ý và gãy gọn chưa.
Đối với học sinh khá, giỏi sau khi giải xong bài toán cần suy nghĩ, xem
xét nhằm mục đích:
+ Tìm ra các cách giải khác (nếu có) và so sánh các cách giải đó.
+ Rút ra nhận xét, kinh nghiệm từ bài toán vừa giải.
+ Từ bài toán này có thể đặt ra các bài toán khác và giải chúng.

SV: Vũ Thị Thinh

7

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.3. Phương pháp dùng chữ thay số
1.3.1. Thế nào là dùng chữ thay số ?
Dùng chữ thay số là phương pháp sử dụng để giải nhiều bài toán bằng
cách ta dùng các chữ cái a, b, c,…x, y, z hoặc A, B, C, M, N… để biểu diễn số
có một hoặc nhiều chữ số. Từ cách chọn kí hiệu như trên, theo điều kiện của
đề bài, ta đưa về một phép tính hay dãy các phép tính chứa các chữ ấy. Dựa
vào quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính ta tìm được số cần tìm.
1.3.2. Một vài kí hiệu thường dùng
+

ab để chỉ một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục là a, chữ

số hàng đơn vị là b.
+

abc để chỉ một số tự nhiên có ba chữ số, chữ số hàng trăm là a, chữ

số hàng chục là b, chữ số hàng đơn vị là c.
+ a00 là số tự nhiên có ba chữ số, chữ số hàng trăm là a, chữ số hàng
chục và chữ số hàng đơn vị đều là 0 (chữ số “không”). Hoặc a00 là số tròn
trăm mà chữ số hàng trăm là a.
+ ab0 là số tự nhiên có ba chữ số, chữ số hàng trăm a, chữ số hàng
chục là b, chữ số hàng đơn vị là 0 (chữ số “không”). Hoặc ab0 là số tròn
chục mà chữ số hàng chục là b.
+

a

để chỉ một phân số có tử số bằng a, mẫu số bằng b. (Với a là số tự
b

nhiên, b là số tự nhiên khác 0).
+ a,b để chỉ một số thập phân có hai chữ số, phần nguyên có một chữ
số.
+ ab,cd để chỉ một số thập phân có bốn chữ số, phần nguyên có hai
chữ số a, b; phần thập phân có hai chữ số c, d.

SV: Vũ Thị Thinh

8

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học
+ 0,abc

Trường ĐHSP Hà Nội 2

để chỉ số thập phân có phần nguyên là 0, phần mười là a,

hàng phần trăm là b, hàng phần nghìn là c.
1.3.3. Một số kiến thức cần lưu ý khi giải toán bằng phương pháp dùng
chữ thay số
1.3.3.1.Phân biệt số và chữ số
Chữ số là các kí hiệu (hình vẽ) dùng để biểu thị, để ghi lại các số. Có 10
chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Khi ghép các chữ số theo những cách khác
nhau ta có thể viết được vô số các số.

Chẳng hạn, để ghi số 124 ta dùng ba chữ số là chữ số 1, chữ số 2, chữ số
4. Ở đây, chữ số 1 chỉ 1 trăm, chữ số 2 chỉ 2 chục, chữ số 4 chỉ 4 đơn vị. Nếu
sắp xếp những chữ số này ở các vị trí khác nhau thì được các số có giá trị khác
nhau.
1.3.3.2. Phân tích cấu tạo thập phân của số
ab

= a × 10 + b

abc

= a × 100 + b × 10 + c
= a × 100 + bc
= ab × 10 + c

abcd = a × 1000 + b ×100 + c × 10 + d
= abc × 10 + d
= a × 1000 + bcd
= a000 + b00 + c0 + d
= abc0 + d
= ab00 + cd
= a000 + bcd

SV: Vũ Thị Thinh

9

Lớp: K32B - GDTH

Khoá luận tốt nghiệp Đại học
a,b

Trường ĐHSP Hà Nội 2

= a + 0,b

ab,cd = a0 + b + 0,c + 0,0d
(0 là chữ số không).
1.3.3.3. Vận dụng tính chất của các phép tính, kĩ thuật thực hiện phép
tính và các quy tắc cơ bản
– Vận dụng tính chất của các phép tính:
+ Tính chất giao hoán:
a + b = b + a và a × b = b × a
+ Tính chất kết hợp:
(a + b) + c = a + (b + c) và (a × b) × c = a × (b × c)
+ Nhân một số với một tổng hoặc với một hiệu:
a × (b + c) = a × b + a × c và a × (b - c) = a × b - a × c
– Sử dụng kĩ thuật thực hiện phép tính:
+ Đối với phép cộng, phép trừ, phép nhân thì thực hiện các bước tính từ
phải sang trái (lần lượt từ hàng đơn vị, hàng chục,… cho đến hàng cuối cùng),
mỗi lần như vậy thì tìm được một chữ số tương ứng.
+ Đối với phép chia thì thực hiện các bước tính từ trái sang phải (lần
lượt từ hàng cao nhất đến hàng thấp nhất), mỗi lần như vậy tìm được một chữ
số tương ứng.
+ Trong phép chia có dư thì số dư luôn bé hơn số chia.
+ Trong phép cộng:
• Nếu cộng hai chữ số cùng một hàng thì hoặc không nhớ, hoặc nhớ 1
sang hàng cao liên tiếp.
• Nếu cộng ba chữ số cùng một hàng thì hoặc không nhớ, hoặc nhớ 1,

nhớ 2, sang hàng cao liên tiếp.

SV: Vũ Thị Thinh

10

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

• Nếu cộng n chữ số cùng một hàng thì hoặc không nhớ, hoặc nhớ từ 1
đến n - 1 sang hàng cao liên tiếp.
– Quy tắc:
Trong quá trình biến đổi, ta dựa vào các quy tắc tìm thành phần chưa biết
của phép tính để tìm kết quả. Đó là các quy tắc sau đây:
+ Tìm một số hạng chưa biết của tổng hai số.
+ Tìm số bị trừ chưa biết của hiệu hai số.
+ Tìm số trừ chưa biết của hiệu hai số.
+ Tìm một thừa số chưa biết của tích hai số.
+ Tìm số bị chia chưa biết của thương hai số.
+ Tìm số chia chưa biết của thương hai số.
1.3.3.4. Vận dụng tính chẵn lẻ và tận cùng của số tự nhiên
– Các số có tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 là các số chẵn, ngược lại các số chẵn
có tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
– Số chẵn chia hết cho 2, ngược lại số chia hết cho 2 là số chẵn.
– Các số có tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9 là các số lẻ, ngược lại số lẻ có tận
cùng là 1; 3; 5; 7; 9.

– Số lẻ không chia hết cho 2, ngược lại số không chia hết cho 2 là số lẻ.
– Tổng (hiệu) của hai số chẵn là số chẵn, tổng (hiệu) của hai số lẻ là số
chẵn.
– Tổng (hiệu) của một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ.
– Tích có một thừa số chẵn là một số chẵn.
– Tích của một số nhân với chính nó có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9
(không có tận cùng là 2; 3; 7; 8).
1.3.3.5. Vận dụng dấu hiệu chia hết của một số tự nhiên
– Những số có tận cùng bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2. Những
số chia hết cho 2 thì có tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

SV: Vũ Thị Thinh

11

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

– Những số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5. Những số chia
hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0 hoặc 5.
– Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3. Những
số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
– Những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9. Những
số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
– Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia
hết cho 4. Những số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành số

chia hết cho 4.
– Các số chia hết cho cả 2 và 3 thì chia hết cho 6. Các số có tận cùng là
số chẵn và tổng các chữ số chia hết cho 3 thi chia hết cho 6.
– Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 thì chia hết
cho 8. Các số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia
hết cho 8.
– Nếu A × B × C = D thì D chia hết cho mỗi thừa số A, B, C.
– Nếu A và B cùng chia hết cho N thì A + B hoặc A - B; B - A cũng
chia hết cho N.
– Nếu A + B chia hết cho N, mà A chia hết cho N thì B chia hết cho N.
1.3.3.6. Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số hoặc một
biểu thức chứa chữ.
– Một số có hai chữ số thì tổng các chữ số của nó có giá trị nhỏ nhất là 1
và giá trị lớn nhất là 9 × 2 = 18.
– Một số có n chữ số thì tổng các chữ số của nó có giá trị nhỏ nhất là 1
và giá trị lớn nhất là 9 × n.
– Xét tổng A + B, nếu thêm vào A bao nhiêu đơn vị đồng thời bớt đi ở B
bấy nhiêu đơn vị thì tổng A + B vẫn không thay đổi. Nếu A + B không đổi mà
khi A đạt giá trị lớn nhất thì B đạt giá trị nhỏ nhất.

SV: Vũ Thị Thinh

12

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Đó là một số kiến thức thường sử dụng khi giải toán bằng phương
pháp dùng chữ thay số. Tuy nhiên, để có được một bài giải hay, dễ hiểu, chặt
chẽ thì đòi hỏi mỗi học sinh phải nắm vững những kiến thức trên và biết phối
hợp vận dụng nó một cách linh hoạt vào trong từng bài toán cụ thể.

1.4. Thực trạng việc dạy và học giải toán bằng phương pháp
dùng chữ thay số ở Tiểu học
Việc dạy học sinh giải toán bằng phương pháp dùng chữ thay số đòi hỏi
học sinh phải nắm được những kiến thức cơ bản như đã đưa ra ở phần trên.
Đó là những kiến thức về:
- Phân biệt được số và chữ số.
- Cấu tạo thập phân của số.
- Tính chất của các phép tính, kĩ thuật thực hiện phép tính.
- Tính chẵn, lẻ và tận cùng của số tự nhiên.
- Các dấu hiệu chia hết.
- Cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số hoặc một biểu
thức chứa chữ.
Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, tôi nhận thấy những kiến thức
này đã được giới thiệu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và được đưa
vào chương trình học theo một hệ thống từ lớp 1 đến lớp 5. Cụ thể:
Học sinh được trang bị kiến thức về cấu tạo thập phân của số thông qua
những bài học về các số:
- Học kì I - lớp 1, học sinh được học về các số từ 0 đến 10.
- Học kì II - lớp 1: Vòng các số đến 100.
- Học kì II - lớp 2: Vòng các số đến 1000.
- Học kì II - lớp 3: Vòng các số đến 100 000.
- Học kì I - lớp 4: Vòng các số tự nhiên đến lớp tỉ, lớp triệu.
- Học kì II - lớp 4: Vòng các phân số.

SV: Vũ Thị Thinh

13

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

- Học kì I - lớp 5: Vòng các số thập phân.
Học sinh được giới thiệu về: Tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của
phép cộng và phép nhân; tính chất nhân một số với một tổng (hiệu), một tổng
chia một số, một số chia một tích, một tích chia một số sau khi học về các
phép tính tương ứng. Trong chương trình lớp 4, học sinh được giới thiệu về
dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Ngoài ra, trong chương trình toán Tiểu học
còn có dạng bài “Tìm x”, “Tìm y” qua đó đòi hỏi các em phải biết cách vận
dụng các quy tắc tìm thành phần chưa biết trong phép tính.
Như vậy, việc dạy học sinh giải toán bằng phương pháp dùng chữ thay số
đòi hỏi học sinh phải được trang bị và nắm vững cả một hệ thống kiến thức có
liên quan xuyên suốt toàn bộ chương trình từ lớp 1 đến lớp 5.
Qua trao đổi với giáo viên đứng lớp tại trường Tiểu học Ngô Quyền Vĩnh Yên - Vĩnh Phúc, trường Tiểu học Quất Động - Thường Tín - Hà Nội,
tôi nhận thấy: Việc giải toán bằng phương pháp dùng chữ thay số chưa được
chú ý đúng mức. Ở hầu hết các trường Tiểu học phương pháp này chỉ được áp
dụng đối với những học sinh khá, giỏi. Điều này xuất phát từ các nguyên nhân
sau:
* Về phía giáo viên: Do đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học còn
mang tính trực quan cụ thể, ghi nhớ máy móc. Tư duy của các em còn bị cái
tổng thể chi phối, còn gắn liền với chuẩn mực thực tế, kinh nghiệm. Khả năng

ghi nhớ của các em chủ yếu vẫn là ghi nhớ máy móc, các em nhanh nhớ và
cũng nhanh quên. Trong khi đó các bài toán về số và chữ số rất đa dạng,
phong phú và không kém phần phức tạp. Nó tổng hợp toàn bộ khối lượng
kiến thức số học ở Tiểu học (kiến thức về vòng số, dấu hiệu chia hết, thuật
tính,…). Chính vì lí do đó mà người giáo viên khi đưa ra bài toán và hướng
dẫn học sinh giải đã phải chọn những bài toán có phương pháp giải phù hợp

SV: Vũ Thị Thinh

14

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

với khả năng nhận thức của các em. Điều này đã làm hạn chế việc vận dụng
phương pháp dùng chữ thay số vào trong giải toán ở Tiểu học.
Trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi thì giáo viên đã hướng dẫn học sinh
vận dụng phương pháp này để giải các bài toán về số và chữ số. Qua phản ánh
của các giáo viên trường Tiểu học, đối với học sinh khá giỏi nhận thức của
các em nhanh hơn, tư duy trừu tượng phát triển hơn nên các em hoàn toàn có
thể áp dụng phương pháp này một cách thành thạo. Các em đã biết vận dụng
và xem đó là một công cụ thực sự hữu hiệu khi gặp các bài toán về số và chữ
số, các bài toán khó.
* Về phía học sinh: Qua trao đổi với giáo viên và khảo sát và thực tế
giảng dạy trong đợt thực tập tại trường Tiểu học Ngô Quyền - Vĩnh Yên Vĩnh Phúc, tôi thấy rằng: Đối với học sinh đại trà thì các em chưa được giáo
viên truyền tải nội dung của phương pháp này. Thậm chí, có những em chưa

phân biệt được số và chữ số. Bên cạnh đó, đa phần các em trong lớp đội tuyển
bồi dưỡng học sinh giỏi đều có khả năng vận dụng phương pháp dùng chữ
thay số để giải toán. Tuy nhiên, các em vẫn còn lúng túng không biết cách
diễn tả số cần tìm qua các kí hiệu và mô tả dữ kiện của bài toán qua các đẳng
thức toán. Các em không có thói quen phân tích đề bài, chưa có định hướng rõ
ràng khi giải toán mà chỉ áp dụng một cách máy móc các công thức. Các em
lập luận chưa chặt chẽ, chưa rõ ràng và trình bày bài giải rất dài dòng, rắc rối.
Bên cạnh đó, có những em biết cách làm nhưng lại nhầm lẫn trong quá trình
tính toán. Sau khi làm bài xong, học sinh không có thói quen kiểm tra lại bài
làm của mình. Một số em chưa hiểu khi dùng các chữ cái thay cho các chữ số
cần tìm ta thường viết dấu gạch ngang ở trên đầu số để nhấn mạnh: đó là các
số nên thường hay quên dấu gạch ngang. Chẳng hạn, khi viết số có ba chữ số
a, b, c là abc thì học sinh viết là abc. Tuy nhiên, khi đặt phép tính theo cột
dọc ta không cần viết dấu gạch ngang đó nữa. Ví dụ ta viết:

SV: Vũ Thị Thinh

15

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

+

abc

Trường ĐHSP Hà Nội 2
không viết là:

+

abc

mnp

mnp

428

428

Ngoài ra, sau khi đã diễn tả được số cần tìm qua các kí hiệu thì học sinh
lại hay quên các điều kiện ràng buộc cho các kí hiệu đó. Chẳng hạn, với số có
ba chữ số m, n, p là mnp . Ở đây, chữ số đầu tiên (bên trái) phải khác 0 (m >
0) và các chữ số (đương nhiên) phải bé hơn 10 (m, n, p < 10).
Như vậy, việc vận dụng phương pháp dùng chữ thay số để giải các bài
toán ở Tiểu học còn rất hạn chế đối với đại đa số học sinh tiểu học. Nhưng
trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi thì phương pháp này đã được vận dụng rất
linh hoạt bởi các em học sinh khá, giỏi. Phương pháp này đã góp phần đem lại
hiệu quả trong việc giúp các em phát triển tư duy trừu tượng khả năng linh
hoạt, sáng tạo trong giải toán. Cũng phải nói thêm rằng, việc hướng dẫn học
sinh giải toán bằng phương pháp dùng chữ thay số sẽ tạo điều kiện cho các
em làm quen với phương trình, tạo nền tảng ban đầu cho các em học các
phương trình phức tạp ở các cấp học trên.

SV: Vũ Thị Thinh

16

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

KẾT LUẬN CHƯƠNG
Như vậy ở chương 1, tôi đã trình bày về một số đặc điểm nhận thức của
học sinh tiểu học. Đây chính là cơ sở giúp chúng ta xác định phương pháp và
cách thức dạy học sinh giải toán ở Tiểu học. Tiếp đó, để nâng cao hiệu quả
của hoạt động giải toán tôi cũng đã trình bày quy trình chung để giải một bài
toán. Đồng thời, trong chương này, tôi đã hệ thống hóa được các kiến thức có
liên quan tới phương pháp dùng chữ thay số. Qua tìm hiểu cơ sở thực tiễn, tôi
thấy được thực trạng việc vận dụng phương pháp dùng chữ thay số vào trong
giải toán ở Tiểu học. Mặc dù đây là một phương pháp mà trong hầu hết các đề
thi học sinh giỏi Toán hàng năm đều sử dụng đến làm công cụ hữu hiệu để
giải các bài toán về số và chữ số. Tuy nhiên, không phải học sinh nào cũng
nắm được cách vận dụng phương pháp này vào trong giải toán một cách thành
thạo. Để khắc phục một phần khó khăn đó, đề tài phân loại các bài toán ở
Tiểu học giải bằng phương pháp dùng chữ thay số nhằm giúp học sinh dễ
dàng nhận dạng được dạng toán.

SV: Vũ Thị Thinh

17

Lớp: K32B - GDTH

Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƯƠNG 2: CÁC DẠNG BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC GIẢI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG CHỮ THAY SỐ
2.1. Dạng 1: Các bài toán về số tự nhiên
Khi giải các bài toán về số tự nhiên bằng phương pháp dùng chữ thay số
ta cũng tuân thủ theo 4 bước trong quy trình chung để giải một bài toán như
đã trình bày ở trên. Tuy nhiên, sau khi tìm hiểu nội dung của đề bài, phân tích
bài toán tìm cách giải thì ở bước thứ 3 ta có thể trình bày lời giải theo trình tự
sau:
• Bước 1: Diễn tả số cần tìm qua các kí hiệu kèm theo các điều kiện ràng
buộc của các kí hiệu đó.
• Bước 2: Diễn tả mối quan hệ trong bài toán bằng các đẳng thức toán. Sau
đó, ta có thể thực hiện theo các cách sau:
+ Cách 1: Tiến hành phân tích cấu tạo thập phân của số để biến đổi mối
quan hệ trong bài toán về các đẳng thức đơn giản để giải.
+ Cách 2: Đưa bài toán về các dạng toán điển hình như: Tìm hai số khi
biết tổng và hiệu của hai số đó, tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó,
tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
+ Cách 3: Đưa về bài toán Điền chữ số rồi lập luận để tìm ra chữ số cần
điền.
Tuy nhiên, để giải các bài toán theo phương pháp dùng chữ thay số, ta
cần biến đổi các đẳng thức, vận dụng các tính chất của các phép tính, quy tắc
thực hiện phép tính, vận dụng tính chẵn lẻ và tận cùng của một số tự nhiên,
các dấu hiệu chia hết và cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
một số hoặc một biểu thức chữ… để lập luận tìm ra các giá trị thỏa mãn đề
bài.

• Bước 3: Cuối cùng thử lại để xác định số cần tìm.

SV: Vũ Thị Thinh

18

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2.1.1. Loại 1: Thay đổi vị trí các chữ số của một số tự nhiên
Nhận xét:
Có hai trường hợp xảy ra:
+ Chuyển các chữ số của một số tự nhiên đến vị trí bất kì.
+ Viết số tự nhiên theo thứ tự ngược lại.
Thông thường, với loại toán thay đổi vị trí các chữ số của một số tự nhiên,
sau khi diễn tả số cần tìm qua các kí hiệu và diễn tả mối quan hệ trong bài
toán bằng các đẳng thức toán thì ta thường tiến hành phân tích cấu tạo số hoặc
đưa về bài toán Điền chữ số để tìm ra các chữ số của số cần tìm.
2.1.1.1 Trường hợp 1: Chuyển các chữ số tự nhiên đến vị trí bất kì
Ví dụ 1:
Tìm một số có ba chữ số, biết rằng nếu chuyển chữ số cuối lên đầu ta
được một số lớn hơn 5 lần số đã cho là 25 đơn vị.
Giải
Ta có thể giải bài toán này bằng cách phân tích cấu tạo thập phân của số
như sau:
• Bước 1: Gọi số cần tìm là abc (a > 0, c > 0; a, b, c < 10).

Số mới là: cab
• Bước 2: Theo đề bài ta có:
abc × 5 + 25 = cab
( ab × 10 + c) × 5 + 25 = c ×100 + ab
ab × 10 × 5 + c × 5 + 25 = c × 100 + ab
ab × 50 + c × 5 + 25 = c × 100 + ab
ab × 49 + 25 = c × 95
ab × 49 = c × 95 - 25

SV: Vũ Thị Thinh

19

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vì c ≤ 9 nên c × 95 - 25 ≤ 830
Vậy ab < 20 tức là a = 1
1b × 49 + 25 = c × 95
Vì c × 95 chia hết cho 5; 25 chia hết cho 5 nên 1b × 49 chia hết cho 5.
Vậy b = 0 hoặc b= 5.
+ Nếu b = 0:
10 × 49 + 25 = c × 95
515 = c ×95 (loại vì 515 không chia hết cho 95).
+ Nếu b = 5:
15 × 49 + 25 = c × 95

760 = c × 95
c = 760 : 95
c=8
• Bước 3: Thử lại:
815 - 158 × 5 = 25 (đúng)
Vậy số cần tìm là 158.
Ví dụ 2:
Cho một số tự nhiên N có 6 chữ số. Biết rằng khi chuyển chữ số đầu
tiên của số N đến vị trí sau cùng (giữ nguyên thứ tự của 5 chữ số còn lại), ta
được một số có sáu chữ số gấp 3 lần số N, khi chuyển chữ số sau cùng của số
N đến vị trí đầu tiên (giữ nguyên thứ tự của 5 chữ số còn lại), ta được một số
có 6 chữ số gấp 5 lần số N. Hãy tìm số N.
Giải
Với bài toán này, ta có thể đưa về bài toán Điền chữ số sau đó lập luận
để tìm ra số cần điền như sau:
• Bước 1: Gọi số tự nhiên có 6 chữ số N là abcdeg
(a, b, g > 0; a, b, c, d, g < 10)

SV: Vũ Thị Thinh

20

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chuyển chữ số đầu tiên của số N đến vị trí sau cùng, ta được số:

bcdega
Chuyển chữ số sau cùng của số N đến vị trí đầu tiên, ta được số:
gabcde
• Bước 2: Theo đề bài ta có:
bcdega = abcdeg × 3

(A)

gabcde = abcdeg × 5

(B)

Đặt hai phép tính trên theo cột dọc:
abcdeg
×

abcdeg
×

3

5

bcdega

gabcde

(A)

(B)

- Xét (B): Chữ số a của abcdeg phải bằng 1 (vì a = 2 thì tích abcdeg × 5
sẽ có 7 chữ số).
- Xét (A): Thay a = 1 có: 1bcdeg × 3 = bcdeg1 , vì g × 3 có chữ số tận
cùng là 1 nên g = 7 (để 7 × 3 = 21).
- Xét (B): Thay tiếp g = 7 có: 1bcde7 × 5 = 7abcde vì 7 × 5 = 35 nên
chữ số tận cùng của tích: e = 5.
- Xét (A): Thay tiếp e = 5 có: 1bcd57 × 3 = bcd571 , xét phép nhân ở
hàng trăm: 3 × d nhớ 1 được số có chữ số tận cùng là 5 nên d = 8 (để 8 × 3 =
24; 24 + 1 = 25).
- Xét (B): Thay tiếp d = 8 có: 1bc857 × 5 = 71bc85 , xét phép nhân ở
hàng trăm: 5 × 8 + 2 (nhớ) = 42 nên c = 2.

SV: Vũ Thị Thinh

21

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

- Xét tiếp (A): Thay tiếp c = 2 có: 1b2857 × 3 = b28571 , xét phép nhân
ở hàng chục nghìn: 3 × b được số có chữ số tận cùng là 2 nên b = 4 (để 4 × 3
= 12).
Như vậy, ta tìm được số 142857.
• Bước 3: Thử lại:
142857

×

142857
×

3

5

428571

714285

(A)

(B)

Vậy số tự nhiên N cần tìm là 142857.
2.1.1.2. Trường hợp 2: Viết số tự nhiên theo thứ tự ngược lại
Ví dụ 3:
Tổng của một số có hai chữ số và một số có bốn chữ số là 2750. Tìm hai
số hạng, biết rằng nếu cả hai số này đều viết theo thứ tự ngược lại thì tổng của
chúng bằng 8888.
Giải
Có thể giải bài toán này bằng cách đưa về bài toán Điền chữ số như sau:
• Bước 1: Gọi số có hai chữ số là ab (a > 0, b > 0; a, b < 10)
Số viết theo thứ tự ngược lại là ba
Gọi số có bốn chữ số là cdeg (c > 0, g > 0; c, d, e, g < 10)
Số viết theo thứ tự ngược lại là gedc
• Bước 2: Theo đề bài ta có hai phép tính sau:

+

SV: Vũ Thị Thinh

cdeg

gedc
+

ab

ba

2750

8888

(1)

(2)

22

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nhận xét:
- Hai phép tính trên đều không có nhớ sang hàng nghìn.
- Từ phép tính (1), ta có: c = 2, từ phép tính (2) ta có: g = 8.
- Từ phép tính (1), ta có: g + b = 8 + b có tận cùng là 0 nên b = 2.
- Từ phép tính (2), ta có: c + a = 2 + a = 8 nên a = 6.
- Từ phép tính (1), ta có: e + a + 1 (nhớ) = e + 6 + 1 (nhớ) có tận cùng là
5 nên e = 8.
- Từ phép tính (1), ta có: d + 1 (nhớ) = 7 nên d = 6.
Vậy:

ab = 62
cdeg = 2688

• Bước 3: Thử lại:
+

2688

+

62
2750

8862
26
8888

Vậy hai số cần tìm là: 62 và 2688.
Một số bài tập tham khảo:
Bài tập 1: Tìm số có hai chữ số, biết rằng đổi chỗ hai chữ số của nó cho

nhau ta được một số mới hơn 4 lần số ban đầu là 3 đơn vị.
Bài tập 2: Tìm một số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng chữ số tận cùng
của số đó là 8 và nếu chuyển chữ số 8 này lên đầu thì ta được một số hơn số
đó là 6192 đơn vị.
Bài tập 3: Tìm số có năm chữ số, biết số đó bằng

1
số viết bởi năm chữ số
9

đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại.

SV: Vũ Thị Thinh

23

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Bài tập 4: Số đo cạnh hình vuông theo mét là một số tự nhiên. Số đo diện
tích của nó là một số có hai chữ số mà khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau, ta
được một số mới lớn hơn số cũ 27 đơn vị. Tìm chu vi hình vuông đó.
Bài tập5: Tìm số có ba chữ số, biết rằng nếu viết các chữ số theo thứ tự
ngược lại ta được số mới lớn hơn số phải tìm 792 đơn vị và tổng của ba chữ
số bằng 10.
Bài tập 6: Tìm số có hai chữ số, biết rằng số mới viết theo thứ tự ngược lại

nhân với số phải tìm được 3154, số nhỏ trong hai số đó lớn hơn tổng của hai
chữ số đó là 27.
2.1.2 Loại 2: Viết thêm một số chữ số vào một số tự nhiên
Loại toán này xảy ra ba trường hợp sau:
- Viết thêm chữ số vào bên trái của một số tự nhiên.
- Viết thêm chữ số vào bên phải của một số tự nhiên.
- Viết thêm chữ số vào giữa các chữ số của một số tự nhiên.
2.1.2.1 Trường hợp 1: Viết thêm chữ số vào bên trái của một số tự
nhiên
Nhận xét:
Khi viết thêm chữ số vào bên trái của một số tự nhiên thì số đó tăng thêm
một số đơn vị là: Số mới - Số ban đầu
Với những bài toán viết thêm chữ số vào bên trái của một số tự nhiên, ta
có thể giải bằng cách phân tích cấu tạo thập phân của số hoặc có thể biến đổi
đưa về dạng toán điển hình: Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số
đó.
Ví dụ 1:
Tìm số có ba chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó
thì ta được số mới bằng 17 lần số phải tìm.
Giải

SV: Vũ Thị Thinh

24

Lớp: K32B - GDTH


Khoá luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Với bài toán này, ta có thể giải bằng cách tiến hành phân tích cấu tạo
thập phân của số hoặc cũng có thể biến đổi đưa về dạng toán điển hình: Tìm
hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó như sau:
• Bước 1: Gọi số cần tìm là: abc (a > 0; a, b, c < 10)
Khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái ta được số mới là: 2abc
• Bước 2: Theo đề bài ta có:
2abc = abc × 17
+ Cách 1: Phân tích cấu tạo số:
Ta có: 2abc = 2000 + abc nên:
2000 + abc = abc × 17
abc × 17 - abc = 2000

(*)

abc × (17 - 1) = 2000
abc × 16 = 2000
abc = 2000 : 16
abc = 125
+ Cách 2: Đưa về dạng toán điển hình: Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số
của hai số đó.
Sau khi phân tích đến bước (*) trong cách 1, ta có sơ đồ sau:

abc :

2000

.…

2abc :

17 phần

SV: Vũ Thị Thinh

25

Lớp: K32B - GDTH