TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG CÁC PI – ĐẠI SỐ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Hữu Hòa

TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG
CÁC PI – ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Đại Số và Lý Thuyết Số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THẦY HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010


1

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Phó Giáo Sư
Tiến sỹ Bùi Tường Trí, giảng viên Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí
Minh. Tác giả xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy đã từng bước
hướng dẫn tác giả tìm hiểu các kiến thức cơ bản và các kết quả nghiên cứu mới
cũng như định hướng và hướng dẫn tác giả tự giải quyết các vấn đề được đề ra trong
đề cương luận văn.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Phó Giáo Sư Tiến sỹ Mỵ Vinh
Quang, Tiến sỹ Trần Huyên những người thầy đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác
giả nâng cao chuyên môn và phương pháp làm việc có hiệu quả trong suốt thời gian

của khóa học sau đại học tại Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh.
Tác giả cũng xin trân trọng cám ơn đến quý thầy cô giáo thuộc Khoa Toán –
Tin của Trường Đại Học Sư Phạm Tp. HCM, Phòng KHCN – SĐH của Trường Đại
Học Sư Phạm Tp. HCM đã tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp tác giả trong suốt quá
trình tham gia khóa học tại trường và quá trình hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp và bạn bè cùng
khóa học đã động viên, cổ vũ tinh thần giúp tác giả có thể hoàn thành luận văn này.
Tác giả luận văn


2

MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................... 1
MỤC LỤC .............................................................................................................. 2
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU .................................................................................. 3
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 4
Chương 1: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ
ĐƠN VỊ .................................................................................................................. 6
1.1

Một số kết quả về vành giao hoán có đơn vị............................................... 6

1.2

Một số khái niệm về không gian tôpô ...................................................... 15

1.3

Một số tính chất về phổ nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị ............. 17

Chương 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA PI – VÀNH KHÔNG GIAO
HOÁN .................................................................................................................. 26
2.1

Đại số tự do trên vành giao hoán có có đơn vị K ...................................... 26

2.2

Một số kết quả về PI – đại số nguyên thủy ............................................... 33

2.3

Địa phương hóa theo tâm ......................................................................... 41

2.4

Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thật sự ................................... 46

Chương 3: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG CÁC PI – VÀNH
NGUYÊN TỐ VÀ NỬA NGUYÊN TỐ ............................................................... 51
3.1

Ứng dụng của đồng nhất thức, đa thức tâm đối với PI – vành bất kỳ ........ 51

3.2

Phổ nguyên tố của PI – vành nguyên tố và nữa nguyên tố ........................ 61

3.2.1 Sự so sánh tập các ideals nguyên tố của vành bất kỳ với phổ nguyên tố của
một vành con giao hoán .................................................................................... 61
3.2.2 Hạng của ideal nguyên tố ......................................................................... 64
3.2.3 Phổ nguyên tố bậc n của vành R .............................................................. 66
3.2.4 Ideal tối tiểu đối với g n ( R ) ..................................................................... 72
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 74


3

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ

: Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực,
số phức (theo thứ tự)

S

: ideal sinh bởi tập con S của vành R.

a

: ideal chính sinh bởi một phần tử a của vành R.

rad ( R )

: nilradical của vành R

Jac ( R )

: căn Jacobson của vành R

r (α)

: radial của ideal α

Spec(R)

: phổ nguyên tố của vành R

Spec A ( R )

: tập hợp các ideal nguyên tố của vành R mà chứa tập A

Spec n ( R )

: phổ nguyên tố bậc n của vành R

Z(R )

: tâm của vành R

V (E)

: tập tất cả các ideal nguyên tố p của vành R mà p chứa
E, với E là một tập con của R

deg x i f

: bậc của biến x i của đa thức f ( x1 ,..., x i ,..., x m )

deg f

: bậc của đa thức f ( x1 ,..., x i ,..., x m )

htf

: chiều cao của đa thức f

[n]

: phần nguyên của số thực n

RS

: địa phương hóa vành R tại tập con đóng nhân S nằm
trong tâm của R

Sn ( x1 , x 2 ,..., x n )

: đa thức chuẩn tắc bậc n

Cn ( x1 , x 2 ,..., x n )

: đa thức Capelli bậc n

rank ( P )

: hạng của ideal nguyên tố P


4

MỞ ĐẦU

Vấn đề trọng tâm của đại số giao hoán là nghiên cứu về các ideal nguyên tố.
Khái niệm ideal nguyên tố là sự tổng quát hóa của khái niệm số nguyên tố trong số
học và khái niệm tập hợp các điểm trong hình học. Vấn đề được tập trung chú ý của
hình học là khái niệm “lân cận của một điểm” còn đối với đại số là quá trình địa
phương hóa của một vành tại một ideal nguyên tố.
Việc nghiên cứu phổ nguyên tố của lớp các vành giao hoán có đơn vị xem
như đã hoàn chỉnh. Ta cố gắng nghiên cứu tập các ideals nguyên tố của một vài lớp
PI – vành (tức là vành không giao hoán) và mô tả một số tính chất của tập các ideals
nguyên tố trong các lớp PI – vành này.
Vì lẽ đó, chúng tôi chọn đề tài “Tập các ideals nguyên tố trong các PI – đại
số” làm chủ đề cho luận văn và bước đầu tìm hiểu việc nghiên cứu, phát triển và
hoàn chỉnh một số kết quả về mối liên hệ giữa tập hợp các ideals nguyên tố của
vành R bất kỳ với tập các ideals nguyên tố của một vành con R1 giao hoán của R và
đặc biệt hơn khi R1 là tâm của vành R.

Hướng nghiên cứu mà chúng tôi tiếp cận là dựa trên một kết quả nghiên
cứu của Rowen (giao của một ideal khác không với tâm của PI – vành nguyên tố
luôn luôn khác không), từ đó ta có thể nghiên cứu tập hợp các ideals nguyên tố của
một PI – vành nguyên tố bất kỳ thông qua việc nghiên cứu các ideals nguyên tố của
tâm của nó tức là một vành giao hoán có đơn vị.
Trong luận văn này chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu về tập các ideals
nguyên tố của các PI – vành nguyên tố và nửa nguyên tố.
NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Luận văn được chia thành 3 chương
CHƯƠNG I: Giới thiệu về vành giao hoán và các kết quả chính về phổ nguyên tố

trong một vành giao hoán có đơn vị.


5

CHƯƠNG II: Giới thiệu các PI – vành không giao hoán và các kết quả cơ bản của

các PI – vành không giao hoán.
CHƯƠNG III: Tìm hiểu về tập hợp các ideals nguyên tố trong các PI – vành

nguyên tố và nửa nguyên tố.


6

Chương 1:
TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
1.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
Định nghĩa 1.1.1: Một vành giao hoán có đơn vị là một tập hợp R khác rỗng cùng

với hai phép toán hai ngôi, một viết theo lối cộng và một viết theo lối nhân, thỏa
mãn các điều kiện sau:
i) R cùng với phép cộng là một nhóm abel.
ii) R cùng với phép nhân là một nửa nhóm.
iii) Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng, nghĩa là:
Với mọi x, y, z ∈ R ta có:

x ( y + z ) = xy + xz

( y + z ) x = yx + zx
iv) Với mọi x, y ∈ A thì xy = yx .
v) Tồn tại phần tử 1 ∈ R sao cho x1 = 1x = x với mọi x ∈ R .
Trong chương này chúng tôi chỉ đề cập đến vành giao hoán có đơn vị do đó nếu
không nói gì thêm thì vành R thường được hiểu là một vành giao hoán có đơn vị,
tức là một vành thỏa mãn 5 tính chất trên.
Định nghĩa 1.1.2: Cho R là một vành bất kỳ. Vành con α của R gọi là ideal của A

nếu xa ∈ α với mọi x ∈ α,a ∈ R .
Nhận xét:
-

Giao của một họ không rỗng các ideal của vành R là một ideal của R.

-

Cho S là một tập con của vành R. Khi đó có ít nhất một ideal của vành R
chứa S (chẳng hạn R). Bởi vậy giao của tất cả các ideal của R chứa S là một
ideal của R chứa S. Ideal này được gọi là ideal sinh bởi tập S, kí hiệu: S .
Hiển nhiên đây là ideal bé nhất (theo quan hệ bao hàm) trong lớp các ideal
của R chứa S.


7

Định nghĩa 1.1.3: Ideal sinh bởi tập gồm một phần tử {a} gọi là ideal chính sinh

bởi a, kí hiệu: a .
Định nghĩa 1.1.4:

-

Một ideal p của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu p ≠ 1 và nếu

xy ∈ p thì x ∈ p hoặc y ∈ p .
-

Một ideal m của vành R được gọi là ideal tối đại nếu m ≠ 1 và không có
ideal α sao cho: m ⊂ α ⊂ 1 (bao hàm nghiêm ngặt).

Mệnh đề 1.1.5:

p là ideal nguyên tố của vành R khi và chỉ khi A

m là ideal tối đại của vành R khi và chỉ khi A

m

p

là miền nguyên.

là trường.

Hệ quả 1.1.6: Mọi ideal tối đại đều là ideal nguyên tố.
Mệnh đề 1.1.7:

Cho R là một vành. Giả sử p là một ideal nguyên tố và α, β là các ideal của
R. Khi đó nếu αβ ⊂ p thì α ⊂ p hoặc β ⊂ p .
Chứng minh:
Giả sử α ⊄ p và β ⊄ p . Khi đó tồn tại x ∈ α; y ∈β sao cho x ∉ p; y ∉ p ⇒ xy ∉ p
(vì p là ideal nguyên tố).
Mặt khác xy ∈ αβ ⊂ p ⇒ xy ∈ p (vô lý).
Vậy α ⊂ p hoặc β ⊂ p .
Mệnh đề 1.1.8:

Giả sử p là một ideal nguyên tố và α1 , α 2 ,..., α n là những ideal của R. Khi
đó:
n

-

Nếu

∩α

i

⊂ p thì tồn tại i sao cho: αi ⊂ p .

i

= p thì tồn tại i sao cho: αi = p .

i =1
n

-

Nếu

∩α
i =1

Chứng minh:


8

Bằng phản chứng giả sử αi ⊂ p; ∀i = 1, n ⇒ ∃f i ∈ α i nhưng f i ∉ p với mọi i.
Suy ra:

n

∏ f ∉ p (vì p là ideal nguyên tố).
i

i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

Mặt khác do fi ∈ αi , ∀i = 1, n ⇒ ∏ fi ∈ ∏ αi ⊂ ∩ αi .
n

n

∩ αi ⊂ p nên ta có:

Theo giả thiết:

i =1

∏ fi ∈ p (mâu thuẫn với
i =1

n

∏f ∉ p )
i

i =1

Vậy tồn tại i sao cho: αi ⊆ p .
n

Đặc biệt nếu:

∩α

i

= p ⇒ p ⊂ α i ; ∀i = 1, n . Mặt khác do kết quả trên thì tồn tại i 0

i =1

sao cho: αi0 ⊆ p . Vậy tồn tại i 0 sao cho: α i0 = p .
Bổ đề Zorn: Cho S là tập không rỗng được sắp thứ tự bởi ≤ . Nếu mọi tập con T

của S, được sắp toàn phần bởi ≤ , đều có cận trên thì S có phần tử tối đại.
Định lý 1.1.9: Mọi vành R khác 0 có đều ít nhất một ideal tối đại.
Hệ quả 1.1.10:

Nếu α ≠ 1 là ideal của vành R thì α được chứa trong một ideal tối đại của R.
Mọi phần tử không khả nghịch của vành R đều được chứa trong một ideal tối đại
của R.
Định nghĩa 1.1.11: Một phần tử x ∈ R được gọi là lũy linh nếu có số nguyên

dương n sao cho: x n = 0 . Hiển nhiên, nếu x ≠ 0 , x lũy linh thì x là ước của 0.

Tập hợp gồm các phần tử lũy linh của vành R là một ideal của R và được gọi là
nilradical của R, kí hiệu: rad ( R ) . Khi đó: R

rad ( R )

không có phần tử lũy linh

khác 0.

Mệnh đề 1.1.12: Nilradical của vành R là giao của các ideal nguyên tố của vành R.

Chứng minh:
Gọi ℜ là giao của tất cả các ideal nguyên tố của R.


9

Giả sử f ∈ R là phần tử lũy linh và p là ideal nguyên tố. Khi đó tồn tại số nguyên
dương n sao cho: f n = 0 ∈ p ⇒ f ∈ p (vì p là ideal nguyên tố). Do đó: rad ( R ) ⊂ ℜ .
Ngược lại: giả sử f là một phần tử không lũy linh, tức là ∀n ∈ ℕ* : f n > 0 . Xét Σ là
tập hợp gồm các ideal α thỏa mãn tính chất: ∀n ∈ ℕ* : f n ∉ α . Hiển nhiên Σ ≠ ∅
(vì 0 ∈ Σ ). Σ được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm.
Lấy T = {αi }i∈I là một tập con của Σ được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ bao
hàm. Đặt β = ∪ αi . Khi đó β là ideal của A, vì: ∀f ,g ∈β, ∀h ∈ A , do T được sắp
i∈I

thứ tự toàn phần bởi quan hệ bao hàm nên tồn tại αi ∈ T sao cho

f ,g ∈ α i ⊂ β ⇒ f − g ∈ αi ⊂ β;hf ∈ αi ⊂ β . Vậy β là ideal của A.
Vì αi ∈ Σ, ∀i ∈ I ⇒ f n ∉ αi , ∀i ∈ I, ∀n > 0 ⇒ f n ∉β, ∀n > 0 .
Vậy β là cận trên của Σ . Theo bổ đề Zorn, tập Σ có phần tử tối đại p. Ta chứng
minh p là ideal nguyên tố.
Giả sử x, y ∉ p khi đó p + x ⊃ p,p + y ⊃ p (bao hàm nghiêm ngặt) và do đó
không thuộc Σ . Vậy tồn tại m, n sao cho: f m ∈ p + x ,f n ∈ p + y . Suy ra:
f m + n ∈ p + xy , nên p + xy ∉ Σ ⇒ xy ∉ p . Vậy p là ideal nguyên tố. Do đó có
ideal nguyên tố p sao cho f ∉ p ⇒ f ∉ℜ .

⇒ ℜ ⊂ rad ( R ) .
Vậy rad ( R ) = ℜ .

Định nghĩa 1.1.13: Cho α là một ideal bất kỳ của vành R. Tập tất cả các phần tử
x ∈ R sao cho có n > 0 : x n ∈ α , gọi là radical của ideal α , kí hiệu: r ( α ) .

Mệnh đề 1.1.14: r ( α ) là một ideal của R.
Mệnh đề 1.1.15: Radical của ideal α là giao của tất cả các ideal nguyên tố mà chứa

α.
Chứng minh:


10

Giả sử α là một ideal của R. Gọi A là giao của tất cả các ideal nguyên tố chứa α .
Ta chứng minh: r ( α ) = A .

•

r (α) ⊂ A

∀f ∈ R,f ∈ r ( α ) ⇒ ∃n ∈ ℕ, n > 0 : f n ∈ α
Do đó với mọi idal nguyên tố p, p chứa α , ta có: f n ∈ p ⇒ f ∈ p ⇒ f ∈ A
Vậy r ( α ) ⊂ A

•

r (α) ⊃ A

∀f ∈ R,f ∈ A . Bằng phản chứng, giả sử f ∉ r ( α ) .
Gọi S là tập hợp tất cả các ideal β của R sao cho β ⊃ α và f n ∉β, ∀n ∈ ℕ* .

Ta thấy S ≠ ∅ vì α ∈ S , do đó S có phần tử tối đại. Gọi p là phần tử tối đại của S
với p là ideal nguyên tố chứa α . Vậy f ∉ p ⇒ f ∉ A (mâu thuẫn f ∈ A ).
Vậy r ( α ) ⊃ A .
Vậy r ( α ) = A .

Định nghĩa 1.1.16: Một vành R có đơn vị 1 được gọi là vành Boole nếu:
f 2 = f , ∀f ∈ R .

Mệnh đề 1.1.17: Vành Boole là vành giao hoán.
Chứng minh:
Giả sử R là vành Boole.
Với mọi f ,g ∈ R ta có:
2

f + g = ( f + g ) = f 2 + fg + gf + g 2 = f + fg + gf + g
2

2

⇒ fg + gf = 0 ⇒ fg = −gf = ( −gf ) = ( gf ) = gf
Vậy R là vành giao hoán.

Mệnh đề 1.1.18: Mọi ideal nguyên tố trong vành Boole là ideal tối đại.
Chứng minh:
Giả sử p là ideal nguyên tố của vành Boole R.
Giả sử tồn tại ideal α của R sao cho: p ⊂ α ⇒ ∃f ∈ α : f ∉ p


11

Vì R là vành Boole nên: f ( f − 1) = f 2 − f = 0 ∈ p
Suy ra f − 1 ∈ p (vì f ∉ p )
Suy ra f − 1 ∈ α ⇒ f − ( f − 1) ∈ α ⇒ 1 ∈ α ⇒ α = R .
Vậy p là ideal tối đại của vành Boole R.

Mệnh đề 1.1.19: Mọi ideal hữu hạn sinh trong vành Boole là ideal chính.
Chứng minh:
Giả sử R là vành Boole, α là ideal hữu hạn sinh của R.
Nếu α = f thì α là ideal chính.
Nếu α = f ,g .

Đặt h = f + g − fg . Ta chứng minh: f ,g = h
Ta có h ∈ α ⇒ h ⊂ α
Mặt khác:

fh = f 2 + fg − f 2 g = f ⇒ f ∈ h 
 ⇒ α = f ,g ⊂ h
gh = gf + g 2 − fg 2 = g ⇒ g ∈ h 
Vậy f ,g = h do đó α là ideal chính.
Bằng quy nạp ta có thể chứng minh được mọi ideal hữu hạn sinh trong vành Boole
là ideal chính.
Mệnh đề 1.1.20: Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương:

i)

Mọi ideal trong R là hữu hạn sinh.

ii) Mọi dãy tăng các ideal trong R, tức là: α1 ⊂ α 2 ⊂ α 3 ⊂ ... với αi ≠ α i +1
đều hữu hạn, nghĩa là tồn tại số nguyên dương n sao cho:

α n = α n +1 = α n + 2 = ...
iii) Mọi tập không rỗng S gồm các ideal của R đều có phần tử tối đại (theo
quan hệ bao hàm).
Chứng minh:

i) ⇒ ii)
Giả sử có một chuỗi tăng các ideal của R: α1 ⊂ α 2 ⊂ α 3 ⊂ ... với αi ≠ α i +1 .


12

∞

Đặt: α = ∪ αi
i =1

Khi đó ta có α là một ideal hữu hạn sinh của R, giả sử α = f1 ,f 2 ,...,f k với fi ∈ αi
nào đó. Do đó ∃n ∈ ℕ, n > 0 : f1 ,f 2 ,...,f k ∈ α n
Khi đó: f1 ,f 2 ,...,f k ⊂ α n ⊂ α = f1 ,f 2 ,...,f k ⇒ α n = α
Vậy ∃n ∈ ℕ, n > 0 : α n = α n +1 = α n + 2 = ...

ii) ⇒ iii)
Giả sử S là tập không rỗng các ideal của R, vậy ∃α1 ∈ S . Nếu α1 không phải là
phần tử tối đại của S ⇒ ∃α 2 ∈ S : α1 ⊂ α 2 . Tương tự như vậy nếu α 2 không phải là
phần tử tối đại của S ⇒ ∃α3 ∈ S : α 2 ⊂ α3 … tiếp tục như vậy ta được một chuỗi
tăng các ideal của R: α1 ⊂ α 2 ⊂ α3 ⊂ ...
Theo giả thiết chuỗi tăng các ideal này hữu hạn, vậy S có phần tử tối đại.
iii) ⇒ i)
Giả sử α là một ideal bất kỳ trong R. Lấy f1 ∈ α .
Nếu f1 = α thì α là hữu hạn sinh.

Nếu f1 ≠ α ⇒ ∃f 2 ∈ α : f 2 ∉ f1 ⇒ f1 ⊂ f1 ,f 2
Nếu f1 ,f 2 = α thì α là hữu hạn sinh.
Nếu f1 ,f 2 ≠ α ⇒ ∃f3 ∈ α : f3 ∉ f1 ,f 2 ⇒ f1 ,f 2 ⊂ f1 ,f 2 ,f3
Tiếp tục như vậy ta được một chuỗi tăng các ideal hữu hạn sinh của R.
Gọi S là tập các ideal hữu hạn sinh, khi đó S ≠ ∅ và S có phần tử tối đại. Giả sử

f1 ,f 2 ,...,f n là phần tử tối đại của S. Ta chứng minh: f1 ,f 2 ,...,f n = α .
Thật vậy giả sử f1 ,f 2 ,...,f n ≠ α ⇒ ∃f n +1 ∈ α : f1 ,f 2 ,...,f n ⊂ f1 ,f 2 ,...,f n ,f n +1

⇒ f1 ,f 2 ,...,f n ,f n +1 ∈ S (mâu thuẫn tính tối đại của f1 ,f 2 ,...,f n trong S)
Vậy f1 ,f 2 ,...,f n = α do đó α là hữu hạn sinh.
Vậy mọi ideal của R là hữu hạn sinh.


13

Định nghĩa 1.1.21: Một vành R được gọi là vành Nether nếu thỏa mãn một trong ba
điều kiện tương đương của mệnh đề 1.1.20.
Mệnh đề 1.1.22: Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương:

i) Mọi dãy giảm các ideal trong R, tức là: α1 ⊃ α 2 ⊃ α 3 ⊃ ... với αi ≠ α i +1
đều hữu hạn, nghĩa là tồn tại số nguyên dương n sao cho:

α n = α n +1 = α n + 2 = ...
ii) Mọi tập không rỗng S các ideal của R đều có phần tử tối tiểu (theo quan
hệ bao hàm).
Chứng minh:
i) ⇒ ii)
Giả sử S ≠ ∅ là một tập bất kỳ các ideal của R. Lấy α1 ∈ S nếu α1 là phần tử tối
tiểu của S thì mệnh đề chứng minh xong, nếu α1 không phải là phần tử tối tiểu của

S ⇒ ∃α 2 ∈ S : α1 ⊃ α 2 . Tương tự như vậy nếu α 2 không phải là phần tử tối đại của
S ⇒ ∃α3 ∈ S : α 2 ⊃ α 3 … tiếp tục như vậy ta được một chuỗi giảm các ideal của A:

α1 ⊃ α 2 ⊃ α 3 ⊃ ... Theo giả thiết chuỗi này hữu hạn, nên S có phần tử tối tiểu.

ii) ⇒ i)
Xét một chuỗi giảm bất kỳ các ideal của R: α1 ⊃ α 2 ⊃ α 3 ⊃ ...
Gọi tập hợp S = {αi }i≥1 . Theo giả thiết S có phần tử tối tiểu, giả sử α n là phần tử tối
tiểu của S. Vậy chuỗi ideal α1 ⊃ α 2 ⊃ α3 ⊃ ... là hữu hạn.
Định nghĩa 1.1.23: Một vành R được gọi là vành Artin nếu thỏa mãn 1 trong 2 điều

kiện tương đương của mệnh đề 1.1.22.
Mệnh đề 1.1.24: Cho R là vành Artin, α là ideal của R. Khi đó vành thương R

cũng là vành Artin.
Chứng minh:
Xét toàn cấu chính tắc: ϕ : R 
→R .
α

α


14

Giả sử α1 ⊃ α 2 ⊃ α 3 ⊃ ... là một chuỗi giảm bất kỳ các ideal của R . Khi đó :
α

( )

α1 ⊃ α 2 ⊃ α 3 ⊃ ... là một chuỗi giảm bất kỳ các ideal của R, với αi = ϕ−1 αi . Do
R là vành Artin nên ∃n ∈ ℕ* : α n = α n +1 = α n + 2 = ... , mà αi = ϕ ( αi ) với i = 1, 2,3...
do đó ∃n ∈ ℕ* : α n = α n +1 = α n + 2 = ...
Vậy α1 ⊃ α 2 ⊃ α 3 ⊃ ... là chuỗi hữu hạn các ideal của R , do đó R là vành
α
α
Artin.
Mệnh đề 1.1.25: Mọi ideal nguyên tố trong vành Artin R là ideal tối đại.

Chứng minh:
Giả sử p là ideal nguyên tố của vành Artin R. Khi đó R

p

là miền nguyên.

Mặt khác ∀f ∈ R ,f ≠ 0 ta có: f ⊃ f 2 ⊃ f 3 ⊃ ... là chuỗi giảm các ideal của
p
R , theo mệnh đề trên ta có R là vành Artin nên ∃n ∈ ℕ* : f n = f n +1 = ...
p
p
Suy ra: ∃g ∈ R : f n = f n +1.g ⇒ 1 = f .g
p
Vậy f khả nghịch trong R , do đó R là trường.
p
p
Suy ra p là ideal tối đại trong R.
Mệnh đề 1.1.26: Trong vành Artin R chỉ có hữu hạn các ideal tối đại.

Chứng minh:

Xét tập hợp S gồm tất cả các giao hữu hạn: m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m k trong đó m i là các
ideal tối đại của A.
Hiển nhiên, S ≠ ∅ và m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m k là ideal của A, vậy S có phần tử tối tiểu,
giả sử m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n là phần tử tối tiểu của S.
Khi đó với mọi m là ideal tối đại của R, ta có:

m ∩ m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n ⊂ m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n , do m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n là phần tử tối
tiểu

của

S,

nên

m ∩ m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n = m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n ,

do

đó:


15

m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n ⊂ m . Mặt khác do m là ideal tối đại của R, nên
∃i 0 ∈ {1,..., n} : m ⊃ mi0 . Suy ra m = mi0 (vì mi0 là ideal tối đại của R).

Vậy trong R chỉ có hữu hạn các ideal tối đại.
1.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN TÔPÔ
Định nghĩa 1.2.1: Cho một tập hợp X. Một họ τ gọi là một tôpô trên X nếu tỏa

mãn các điều kiện:

( τ1 ) X và ∅
( τ2 )

thuộc τ ;

Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ;

( τ3 ) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ .
Định nghĩa 1.2.2: Cho một tập hợp X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian
tôpô.
Định nghĩa 1.2.3: Với mọi tập vô hạn X, họ bao gồm tập ∅ và tất cả các tập con G

của X có X \ G hữu hạn, là một tôpô trên X và tôpô này được gọi là tôpô Zariski.
Định nghĩa 1.2.4: Cho τ là một tôpô trên X. Một họ con β của τ gọi là cơ sở của
τ nếu mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β . Nói cách khác, họ

con β của τ là cơ sở của τ nếu mọi G ∈ τ mọi x ∈ G tồn tại V ∈β sao cho
x∈V ⊂ G.

Định nghĩa 1.2.5: Cho X là một không gian tôpô.
• Không gian tôpô X gọi là T0 − không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất
kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y
không chứa x.
• Không gian tôpô X gọi là T1 − không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất
kỳ của X đều có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không
chứa x.
• Không gian tôpô X gọi là T2 − không gian (hay không gian Hausdorff) nếu

hai điểm x, y khác nhau bất kỳ của X, tồn tại lân cận U của x và lân cận V
của y sao cho U ∩ V = ∅ .


16

• Không gian tôpô X gọi là T3 − không gian (hay không gian chính quy) nếu X
là T1 − không gian và với mọi x ∈ X , mọi tập con đóng F của X không chứa
x, tồn tại các tập con mở U và V sao cho x ∈ U, F ⊂ V và U ∩ V = ∅ .
• Không gian tôpô X gọi là T 1 − không gian (hay không gian hoàn toàn chính
3

2

quy) nếu X là T1 − không gian và với mọi x ∈ X , mọi tập con đóng F của X
không chứa x, tồn tại tồn tại một hàm liên tục f : X → [ 0;1] sao cho f ( x ) = 0
và f ( y ) = 1 với mọi y ∈ F .
• Không gian hoàn toàn chính quy còn gọi là không gian Tikhonov.
• Không gian tôpô X gọi là T4 − không gian (hay không gian chuẩn tắc) nếu X
là T1 − không gian và hai tập con đóng A, B bất kì không giao nhau trong X,
tồn tại các tập mở U và V sao cho A ⊂ U, B ⊂ V và U ∩ V = ∅ .

Mệnh đề 1.2.6: Cho X là không gian tôpô. Khi đó X là T1 − không gian khi và chỉ
khi với mọi x ∈ X , tập {x} là tập đóng.

Hệ quả 1.2.7: Không gian chuẩn tắc là không gian chính quy. Không gian chính
quy là không gian Hausdorff.
Hiển nhiên theo định nghĩa ta có không gian Hausdorff là T1 − không gian và

T1 − không gian là T0 − không gian.

Định nghĩa 1.2.8: Cho X là một không gian mêtric.
• Một họ {Vα }( α∈I) các tập con của không gian X được gọi là một phủ của của

tập con A của X nếu A ⊂ ∪ Vα . Nếu mọi Vα đều là tập mở thì phủ gọi là
α∈I

phủ mở.
• Cho {Vα }( α∈I) là một phủ của A. Nếu J ⊂ I mà {Vα }( α∈J ) cũng là một phủ của

A thì {Vα }( α∈J ) gọi là một phủ con của {Vα }( α∈I) . Nếu J là tập hữu hạn thì

{V }(
α

α∈J )

gọi là một phủ con hữu hạn của phủ {Vα }( α∈I) .

Định nghĩa 1.2.9: Cho X là không gian tôpô.


17

• Tập con A của X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A trong X

đều có một phủ con hữu hạn.
• Không gian X gọi là không gian compact nếu X là tập compact của X.
• Tập con A của X được gọi là tập compact tương đối nếu bao đóng A là

compact trong X.

Mệnh đề 1.2.10:

a) Tập con đóng của không gian compact là tập compact.
b) Tập con compact của một không gian Hausdorff là tập đóng.
c) Không gian compact, Hausdorff là không gian chuẩn tắc.
Định nghĩa 1.2.11:
• Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu X không biểu diễn được dưới

dạng hợp của hai tập mở khác rỗng và rời nhau, tức là không tồn tại hai tập
mỡ, khác rỗng U và V sao cho U ∪ V = X và U ∩ V = ∅ .
• Tập con A của không gian X gọi là tập liên thông của X nếu A với tôpô cảm

sinh là không gian liên thông.
Mệnh đề 1.2.12: Không gian tôpô X là không gian liên thông khi và chỉ khi thỏa

mãn một trong hai điều kiện sau:
a) X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập đóng khác rỗng, rời nhau.
b) X không có tập con thực sự khác rỗng vừa đóng vừa mở.
1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH GIAO
HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
Định nghĩa 1.3.1: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, với mỗi tập con E của R ta

kí hiệu V(E) là tập tất cả các ideal nguyên tố p của R mà p chứa E.
Mệnh đề 1.3.2: Cho R là vành, E là tập con của R. Nếu α là ideal của R sinh bởi E

thì: V ( E ) = V ( α ) = V ( r ( α ) )
Chứng minh:

V ( E) = V (α)
Với mọi ideal nguyên tố p của R ta có:

18

p ∈ V (E) ⇔ p ⊃ E

(theo định nghĩa V(E))
(do α = E )

⇔p⊃α
⇔ p ∈ V (α)
Từ đó V ( E ) = V ( α ) .
V (α ) = V ( r ( α ))

Do r ( α ) là giao của mọi ideal nguyên tố của R chứa α nên r ( α ) là ideal chứa α .
Vì vậy với mọi ideal nguyên tố p của R ta có:

p ∈ V (α) ⇔ p ⊃ α
⇔ p ⊃ r (α)
⇔ p ∈ V ( r ( α ))

Từ đó V ( α ) = V ( r ( α ) ) .
Mệnh đề 1.3.3: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, đặt X là tập gồm tất cả các

ideal nguyên tố của R. Khi đó ta có: V ( 0 ) = X; V (1) = ∅ .
Chứng minh:
Do mọi ideal nguyên tố của R đều chứa 0 và không chứa 1 nên ta có: V ( 0 ) = X và

V (1) = ∅ .
Mệnh đề 1.3.4: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, nếu {E i }i∈I là một họ các tập

con của R thì:





∩ V ( E ) = V  ∪ E  .
i

i∈I

i

i∈I

Chứng minh:
Với mọi ideal nguyên tố p của vành R, ta có:

p ∈ ∩ V ( E i ) ⇔ p ∈ V ( E i ) ; ∀i ∈ I
i∈I

⇔ p ⊃ Ei ;
⇔ p ⊃ ∪ Ei
i∈I

∀i ∈ I


19



⇔ p ∈ V  ∪ Ei 
 i∈I 
Vậy





∩ V ( E ) = V  ∪ E  .
i

i

i∈I

i∈I

Mệnh đề 1.3.5: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, α, β là các ideal của R. Khi
đó: V ( α ) ∪ V ( β ) = V ( αβ ) = V ( α ∩ β ) .

Chứng minh:

V ( αβ ) = V ( α ∩ β )
Theo định nghĩa tích hai ideal ta có:

αβ ⊂ α 
 ⇒ αβ ⊂ α ∩ β ⇒ V ( αβ ) ⊃ V ( α ∩ β )

αβ ⊂ β 
Ngược lại, với mọi ideal nguyên tố p của R, ta có:

p ∈ V ( αβ ) ⇔ p ⊃ αβ
p ⊃ α
⇒
p ⊃ β
⇒ p ⊃ α ∩β
⇒ p ∈ V ( α ∩ β)
Suy ra: V ( αβ ) ⊂ V ( α ∩ β )
Vậy: V ( αβ ) = V ( α ∩ β )

V ( α ) ∪ V ( β ) = V ( αβ )
Với mọi ideal nguyên tố p của vành R, ta có:

p ∈ V ( α )
p ∈ V ( α ) ∪ V (β ) ⇔ 
 p ∈ V ( β )
p ⊃ α
⇔
p ⊃ β
⇔ p ⊃ αβ
⇔ p ∈ V ( αβ )


20

Vậy V ( α ) ∪ V ( β ) = V ( αβ ) .
Vậy V ( α ) ∪ V ( β ) = V ( αβ ) = V ( α ∩ β )
Hệ quả 1.3.6: Nếu E1 và E 2 là hai tập con của vành R giao hoán có đơn vị 1 và

α = E1 ; β = E 2 thì: V ( E1 ) ∪ V ( E 2 ) = V ( αβ ) = V ( α ∩ β ) .
Ta kí hiệu X là tập hợp tất cả các ideal nguyên tố của vành R và D = {V ( E )}E⊂ A là
một họ tập con của X. Khi đó ta có D thỏa mãn các tính chất sau:
i) ∅ ∈ D, X ∈ D
ii) V ( E1 ) , V ( E 2 ) ∈ D ⇒ V ( E1 ) ∪ V ( E 2 ) ∈ D
iii) V ( E i ) ∈ D; ∀i ∈ I ⇒ ∩ V ( E i ) ∈ D
i∈I

Vậy τ = {X ( E ) = X \ V ( E )}E⊂A là một tôpô trên X. Tôpô này được gọi là tôpô
Zariski và ( X, τ ) được gọi là không gian tôpô Zariski. Các tập V ( E ) , E ⊂ R (và

chỉ các tập này thôi) gọi là các tập đóng; các tập X ( E ) , E ⊂ R , là phần bù của V(E)
trong X gọi là các tập mở của không gian tôpô Zariski.
Định nghĩa 1.3.7: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, không gian tôpô Zariski X
được gọi là phổ nguyên tố của vành R. Kí hiệu: Spec(R).

Như vậy ta có thể hiểu phổ của vành R, Spec(R) là tập các ideal nguyên tố của vành
R. Tập con V của Spec(R) được gọi là đóng, nếu như tồn tại ideal α của vành R sao
cho V gồm tất cả các ideal nguyên tố p của R mà chứa α . Khi đó ta kí hiệu:

V = V ( α ) . Phần bù của tập con đóng trong Spec(R) được gọi là tập con mở trong
Spec(R).
Ví dụ phổ nguyên tố của vành số nguyên ℤ .
Ta đã biết các ideal trong ℤ có dạng: nℤ, n ∈ ℤ . Theo định nghĩa của ideal nguyên
tố và số nguyên tố trong ℤ ta thấy các ideal nguyên tố trong ℤ là ideal 0 và ideal
pℤ , trong đó p ∈ P , với P là tập hợp các số nguyên tố của ℤ .
Vậy Spec( ℤ ) = { p , p = 0 hoặc p ∈ P }.

21

Như ta đã biết mỗi điểm x của không gian tôpô Zariski X = Spec(R) là một ideal
nguyên tố mà ta gọi là p x . Ta quy ước là ghi x hay p x nếu như ta nói nó là một
điểm trong Spec(R) hay nói nó là một ideal nguyên tố của R.

Với mỗi f ∈ R ta kí hiệu X f là phần bù của V(f) trong X = Spec(R). Hiển nhiên

X f là một tập mở và với mọi x ∈ X = Spec ( R ) , x ∈ Xf ⇔ f ∉ p x .
Mệnh đề 1.3.8: Cho R là vành giao hoán có đơn vị, họ B = {X f }f ∈A là cơ sở của

không gian tôpô Zariski.
Chứng minh:
Với mọi tập mở X(E) trong X = Spec(R), E ⊂ R ta có:



X ( E ) = X \ V ( E ) = X \ V  ∪ {f } 
 f ∈E

= X \ ∩ V ( f ) = ∪ X \ V ( f ) = ∪ Xf
f ∈E

f ∈E

f ∈E

Hiển nhiên: X f ∈ B, ∀f ∈ E ⊂ R
Vậy B là cơ sở của tôpô Zariski.
Mệnh đề 1.3.9: Cho R là vành giao hoán có đơn vị và f ∈ R , ta có:

1) X f = ∅ ⇔ f là lũy linh trong R.
2) X f = X ⇔ f là khả nghịch trong R.
Chứng minh:
1) X f = ∅ ⇔ f là lũy linh trong R.
Thật vậy:

Xf = ∅ ⇔ X \ V ( f ) = ∅
⇔

X

= V (f )

⇔

f

∈p

⇔

f

∈ rad ( R )

∀p laø ideal nguyeân toá trong R

⇔ f laø luõy linh trong R
2) X f = X ⇔ f là khả nghịch trong R.

22

Giả sử f không khả nghịch, suy ra f thuộc một ideal tối đại nào đó mà mọi ideal tối
đại cũng là ideal nguyên tố nên V ( f ) ≠ ∅ , do đó X \ V ( f ) ≠ X ⇒ X f ≠ X (trái với

giả thiết).
Ngược lại, giả sử f là khả nghịch trong R.

⇔ f = 1
⇒ V ( f ) = V (1)
⇒ V (f ) = ∅
⇒ Xf = X
Vậy X f = X ⇔ f là khả nghịch trong R.
Đặc biệt: ∅ = X 0 ; X = X1
Mệnh đề 1.3.10: Cho R là vành giao hoán có đơn vị, khi đó ∀f ,g ∈ R ta có:

X f ∩ X g = X fg
Chứng minh:

∀x ∈ X = Spec ( R ) , ta có:
x ∈ Xf
f ∉ p x
x ∈ Xf ∩ Xg ⇔ 
⇔
g ∉ p x
x ∈ Xg

⇔ fg ∉ p x

( do p x

laø ideal nguyeân toá )

⇔ x ∈ X fg
Vậy X f ∩ X g = X fg .
Mệnh đề 1.3.11: Cho vành R giao hoán có đơn vị, khi đó với mọi f ,g ∈ R ta có:

Xf = Xg ⇔ r ( f

) = r( g )

Chứng minh:
Hiển nhiên: X f = X g ⇔ V ( f ) = V ( g ) ; ∀f ,g ∈ R
Do đó ta chỉ cần chứng minh V ( f ) = V ( g ) ⇔ r ( f
Vì r ( f

) = r ( g ) ; ∀f ,g ∈ R

) là giao của mọi ideal nguyên tố trong R chứa

f . Do đó:


23

V (f ) = V (g) ⇒ V ( f

) = V( g ) ⇒ r( f ) = r( g )

Ngược lại:

∀x ∈ X, x ∈ V ( f ) ⇔ p x ⊃ f
⇔ px ⊃ r ( f

)

⇔ px ⊃ r ( g

)

⇔ px ⊃ g
⇔ x ∈ V (g)
⇒ V (f ) = V (g)
Vậy: X f = X g ⇔ r ( f

) = r( g )

Mệnh đề 1.3.12: Cho R là vành giao hoán có đơn vị, X = Spec(R). Khi đó với mọi

x thuộc X thì: {x} = V ( p x ) , trong đó {x} là bao đóng của {x}.
Chứng minh:

∀x ∈ X : p x = p x ⇒ x ∈ V ( p x )
Mặt khác theo định nghĩa của bao đóng, {x} là tập đóng nhỏ nhất chứa {x} nên ta
có: {x} ⊂ V ( p x ) .
Ngược lại, ∀y ∈ X : y ∈ V ( p x ) ⇒ p y ⊃ p x .
Ta chứng minh: y ∈ {x} , nghĩa là chứng minh y thuộc mọi tập đóng chứa x.
Thật vậy, giả sử: V ( α ) là một tập đóng bất kỳ chứa x, với α là ideal của R.

Vì x ∈ V ( α ) ⇒ p x ⊃ α ⇒ p y ⊃ α ⇒ y ∈ V ( α ) .
Vậy y ∈ {x} ⇒ V ( p x ) ⊂ {x} .
Từ đó ta có: {x} = V ( p x ) .
Hệ quả 1.3.13: Cho R là vành, X = Spec(R). Khi đó ∀x, y ∈ X thì

y ∈ {x} ⇔ p x ⊂ p y .


24

Chứng minh:
Theo mệnh đề 1.3.12 ta có: ∀x, y ∈ X, y ∈ {x} ⇔ y ∈ V ( p x ) ⇔ p x ⊂ p y .
Mệnh đề 1.3.14: Cho R là vành giao hoán có đơn vị, khi đó X = Spec(R) là T0 –

không gian.
Chứng minh:
Giả sử x và y là hai điểm bất kỳ, x ≠ y trong X = Spec(R).

p x ⊄ p y
Vì x ≠ y nên p x ≠ p y ⇒ 
 p y ⊄ p x
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng: p x ⊄ p y
Suy ra: y ∉ {x} do đó tồn tại một lân cận U y của y sao cho: U y ∩ {x} = ∅ . Hiển
nhiên x ∉ U y do đó ∀x, y ∈ Spec ( R ) , x ≠ y , luôn tồn tại một lân cận của y mà
không chứa x hoặc ngược lại tồn tại một lân cận của x mà không chứa y.
Vậy X = Spec(R) là T0 – không gian.
Như vậy phổ nguyên tố Spec(R) của một vành R luôn thỏa mãn tiên đề tách T0.
Mệnh đề 1.3.15: Cho R là vành giao hoán có đơn vị, khi đó X = Spec(R) là không

gian compact.

Chứng minh:

{ }

Giả sử X fi

i∈I

là một phủ mở của X = Spec(R), nghĩa là:

X = ∪ X fi ⇔ X \ V (1) = ∪ ( X \ V ( fi ) )
i∈I

i∈I





⇔ X \ V (1) = X \  ∩ V ( fi )  ⇔ V (1) = V  ∪{fi } 
 i∈I

 i∈I



⇔ V( 1 ) = V


∪{f }

i

i∈I



