Vectơ trong không gian và các bài toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (438.08 KB, 49 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
----------
NGÔ THỊ HỒNG THOA
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
VÀ CÁC BÀI TOÁN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
QUỸ TÍCH ĐIỂM
BẤT ĐẲNG THỨC
CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
HÀ NỘI – 2012
LỜI CẢM ƠN
Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em
không khỏi bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn. Để có được khoá luận hoàn thiện
em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán cùng các thầy
cô trong trường ĐHSPHN2 và đặc biệt là sự tân tình chỉ bảo và đóng góp
những ý kiến quý báu của thầy Bùi Văn Bình trong thời gian qua.
Do điều kiện thời gian cùng với vốn kiến thức chắc chắn sẽ không
tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của
thầy cô và các bạn sinh viên để tìm được những ý tưởng tốt hơn bổ sung cho
khóa luận được hoàn thiện hơn nữa và sẽ là tài liệu tham khảo thật sự bổ ích
cho tất cả những độc giả có niềm đam mê môn Toán.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình
học, các thầy cô trong khoa và đặc biệt là thầy Bùi Văn Bình đã hướng dẫn
em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Ngô Thị Hồng Thoa
LỜI CAM ĐOAN
Do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng sự giúp đỡ,
hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình trong quá trình hoàn thành khóa
luận tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả nào
khác. Nếu trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận được
hoàn thiện hơn.
Sinh viên
Ngô Thị Hồng Thoa
MỤC LỤC
MỤC LỤC ........................................................................................................................ 1
LỜI MỞ ĐẦU................................................................................................................... 1
NỘI DUNG....................................................................................................................... 4
CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ.......................................... 4
I. VECTƠ .................................................................................................................. 4
II. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ.................................................................................. 6
III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ............................................................. 10
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN ............................................. 14
I. CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC.................................................................. 14
II. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH.
................................................................................................................................ 25
III. TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM. .................................................................................... 28
IV. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC................................................................. 33
V. CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN .......................................................................... 36
KẾT LUẬN..................................................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 45
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, hình học luôn là môn học khó đối với học
sinh. Vì hình học là môn học đòi hỏi tính chặt chẽ, tính logic và trừu tượng
cao hơn môn học khác của toán học.
Trong chương trình toán học phổ thông, để giải một bài toán hình học
ta có rất nhiều phương pháp, trong đó phương pháp vectơ là phương pháp rất
hiệu quả. Nó cho chúng ta lời giải một cách chính xác, tránh được yếu tố trực
quan, các suy diễn phức tạp của phương pháp tổng hợp và là công cụ hiệu quả
để giải các bài toán hình học. Không những thế phương pháp vectơ cón là một
công cụ rất mạnh để giải các bài toán đại số.
Do đó việc nắm vững phương pháp sẽ cung cấp cho học sinh một
phương pháp giải toán hữu hiệu. Đồng thời còn để cho học sinh suy nghĩ về
bài toán theo một phương pháp khác với các phương pháp quen thuộc mà học
sinh đã biết từ trước tới nay.
Xuất phát từ những lý do trên cùng với mong muốn của bản thân có
một hệ thống cụ thể về phương pháp vectơ trong toán học sơ cấp và sự động
viên khích lệ của thầy Bùi Văn Bình mà em đã chọn đề tài:” Vectơ trong
không gian và các bài toán: Quan hệ vuông góc, điểm cố định của đường
thẳng và mặt phẳng, quỹ tích điểm, bất đẳng thức hình học, các bài toán
tính toán”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là ứng dụng phương pháp vectơ vào giải các bài
toán trong không gian để đơn giản hoá lời giải giúp các bài toán có các cách
-1-
giải ngắn gọn và giúp học sinh có thêm một phương pháp để giải các bài toán
hình học trong không gian.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là ứng dụng phương pháp vectơ vào giải các bài
toán trong không gian để giảm bớt quá trình tính toán.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm cách chuyển ngôn ngữ của bài toán sang ngôn ngữ vectơ. Sau đó
sử dụng các kiến thức tổng hợp về vectơ để giải toán. Sau khi giải xong ta lại
chuyển ngược lại từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ bài toán cần giải.
5. Phạm vi nghiên cứu
Do khuôn khổ thời gian có hạn nên đề tài này chỉ đề cập đến vấn đề sử
dụng công cụ vectơ để giải các bài toán hình học trong không gian.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài đã cho ta thấy được những ưu điểm nổi bật của phương pháp
vectơ so với các phương pháp khác và những ứng dụng rộng rãi trong toán
học của vectơ.
Đề tài còn cung cấp cho chúng ta một phương pháp giải các bài toán
hình học trong không gian một cách hữu hiệu mà ngắn gọn, dễ hiểu.
7. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích tài liệu
Tổng kết lại thành từng dạng toán
8. Cấu trúc khoá luận
Nội dung khoá luận gồm 2 phần cơ bản:
Chương I: Những kiến thức liên quan
Phần này trình bày tóm tắt về một số kiến thức cơ bản về vectơ.
Chươnh II: Ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán
-2-
Phần này đưa ra các ứng dụng cụ thể của phương pháp vectơ để giải
các bài toán hình học trong không gian. Đồng thời trình bày hệ thống các ví
dụ và bài tập cụ thể.
-3-
NỘI DUNG
CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ
I. VECTƠ
I.1. Định nghĩa vectơ
Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta quy định điểm A là điểm đầu (điểm gốc) và
điểm B là điểm cuối (điểm ngọn) thì ta bảo rằng đoạn thẳng AB đã được định
hướng hay gọi là vectơ AB.
Kí hiệu: AB
A
B
Chú ý:
- Cho hai điểm A, B phân biệt thì ta có hai vectơ AB và BA là khác nhau.
- Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau: A B ,… như AA, BB ,..
gọi vectơ- không.
I.2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng.
* Hai vectơ AB và CD được gọi là cùng phương nếu chúng lần lượt nằm
trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Khi đó:
+ Vectơ-không được xem là cùng phương với mọi vectơ.
+ Hai vectơ a và b cùng phương với một vectơ khác vectơ-không thì
hai vectơ đó cùng phương với nhau.
* Hai vectơ cùng phương AB và CD gọi là cùng hướng nếu chiều từ A
đến B trùng với chiều từ C và D.
Kí hiệu: AB CD .
* Hai vectơ cùng phương AB và CD gọi là ngược hướng nếu chiều từ A
đến B ngược với chiều từ C đến D.
Kí hiệu: AB CD .
-4-
Chú ý:
+ Vectơ- không được xem là cùng hướng hoặc ngược hướng với mọi
vectơ.
+ Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ-không thì hai vectơ đó
cùng hướng với nhau.
+ Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi đã
có hai vectơ đó cùng phương.
I.3. Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ AB là độ dài của đoạn thẳng AB.
Kí hiệu là: AB . Khi đó: AB AB BA
Từ đó ta có: độ dài của vectơ- không bằng 0.
I.4. Hai vectơ bằng nhau
Định nghĩa:
Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và
cùng độ dài.
Kí hiệu: AB = CD .
Chú ý:
+ Quan hệ bằng nhau của các vectơ là quan hệ tương đương. Mỗi vectơ đại
diện được kí hiệu là a, b, x, y ,…
+ Nếu đã cho vectơ a và một điểm O thì có một điểm A duy nhất sao cho:
OA a .
+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau. Kí hiệu là: 0
-5-
I.5. Góc giữa hai vectơ
Định nghĩa :
a
b
O
a
A
b B
Cho hai vectơ a và b khác 0 .
Từ một điểm O nào đó ta vẽ các vectơ OA a, OB b . Khi đó số đo góc
AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ a và b .
Kí hiệu : ( a , b )
Nhận xét:
+ ( a , b ) 0o ,180o .
+ ( a , b )=0o a và b cùng hướng.
+ ( a , b )=180o a và b ngược hướng.
+ ( a , b )=90o ta nói hai vectơ a và b vuông góc với nhau.
Kí hiệu: a b .
Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng 0 thì ta có thể xem
( a , b ) có giá trị tùy ý trong đoạn 0o ,180o
II. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
II.1. Phép cộng vectơ
II.1.1. Định nghĩa
Tổng của hai vectơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm
B và C sao cho : AB a, BC b . Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai
vectơ a và b .
-6-
Kí hiệu : AC = a + b
a
a
B
b
A
b
C
Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ.
Chú ý :
+ Nếu có a + b = 0 thì vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a và kí hiệu
là: - a .
+ Vectơ - a luôn ngược hướng với vectơ - a và a a . Mỗi vectơ có
một vectơ đối duy nhất.
Từ định nghĩa ta có các quy tắc sau :
Quy tắc ba điểm :
A
B
C
Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có đẳng thức : AB BC AC .
Quy tắc hình bình hành :
A
D
B
C
Nếu ABCD là hình bình hành thì ta luôn có : AB AD AC .
-7-
Quy tắc hình hộp :
Nếu ABCDA1B1C1D1 là hình hộp thì ta luôn có :
AB AD AA1 AC1 .
D
C
A
B
D1
C1
A1
B1
Tổng quát : Cho n điểm A1, A2,.. , An ta luôn có:
A1 A2 A2 A3 ... A n 1A n A1 An .
II.1.2. Tính chất
Với mọi vectơ a , b và c ta có:
1.
2.
3.
Tính chất của vectơ-không : a 0 0 a a ;
Tính chất giao hoán : a b b a
Tính chất kết hợp : a b c a b c
II.2. Phép trừ vectơ
Định nghĩa :
Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b .
Kí hiệu : a b
-8-
Khi đó ta có : a b a b
Phép tìm hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ hai vectơ.
* Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ :
Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có : AB AC CB .
II.3. Phép nhân vectơ với một số
II.3.1. Định nghĩa
Tích của vectơ a với một số thực k là một vectơ, kí hiệu là k. a được xác
định như sau:
1. Nếu k 0 thì vectơ k a cùng hướng với vectơ
Nếu k<0 thì vectơ k a ngược hướng với vectơ
2. Độ dài vectơ k a bằng k . a
a.
a.
Phép lấy tích của một vectơ với một số được gọi là phép nhân vectơ với một
số thực.
II.3.2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số
Với hai vectơ a , b bất kì và mọi số thực k, l ta có:
1. k(l a )=(k.l) a ;
2. (k+l) a =k a +l a ;
3. k( a + b )=k a +k b ;
4. 1 a = a ;
k a = 0 k=0 hoặc a = 0 ;
-9-
III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
III.1. Định nghĩa
Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là: a . b được xác
định bởi công thức:
a.b a . b .cos a, b
Lưu ý:
a.b
+ Công thức tính góc giữa hai vectơ: cos a, b ;
a.b
+ Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ còn được viết dưới dạng sau:
1 2 2 2
- Dạng độ dài: a.b a b a b ;
2
1 2 2
hay a.b a b a b
4
- Dạng tọa độ:
Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai vectơ a x1 , y1 , z1 và
b x2 , y2 , z2 . Khi đó: a.b x1 x2 y1 y2 z1 z2 ;
- Dạng hình chiếu: a.b a.b ' trong đó b ' là hình chiếu của b trên đường
thẳng chứa vectơ a .
III.2. Các tính chất cơ bản của tích vô hướng
Với mọi vectơ a, b, c bất kì và mọi số thực k ta có:
1. a.b b.a ;
2. a.b 0 a b ;
ka .b a. kb k a.b ;
3.
4.
a. b c a.b a.c .
- 10 -
III.3. Ba vectơ đồng phẳng
Định nghĩa:
Cho ba vectơ a, b, c . Từ điểm O trong không gian dựng vectơ khác 0 :
OA a, OB b, OC c .
Nếu 4 điểm O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng thì ta nói 3 vectơ
a, b, c đồng phẳng.
Nếu 4 điểm O, A, B, C không cùng nằm trên một mặt phẳng thì ta nói 3
vectơ a, b, c không đồng phẳng.
Từ định nghĩa ta có:
- Nếu một trong 3 vectơ a, b, c là 0 thì 3 vectơ đó đồng phẳng.
- Nếu hai trong ba vectơ a, b, c cùng phương với nhau thì ba vectơ đó đồng
phẳng.
- a, b, c đồng phẳng (trong đó b, c không cùng phương)
duy nhất k , l : a kb lc
- a, b, c không đồng phẳng k a lb mc 0 k l m 0 .
- Cho a, b, c không đồng phẳng khi đó với mọi d luôn tồn tại duy nhất ba số
thực x, y, z sao cho : d xa yb zc .
IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
Bài toán 1 :
1.
2.
I là trung điểm của AB IA IB 0 .
I là trung điểm của đoạn AB MA MB 2 MI với M là điểm tùy ý.
Chứng minh:
1.Điều kiện cần:
- 11 -
I là trung điiểm của đoạn AB nên ta có: AI=IB, AI và IB cùng hướng.
Do đó ta có: AI = IB IA IB IA AI II 0 .
Điều kiện đủ:
Do IA IB 0 IA IB IA=IB và I, A, B thẳng hàng.
Tức I là trung điểm của AB.
2. Do IA IB 0 MI IA MI IB 2MI ( Với mọi điểm M).
MA MB 2 MI ( Với mọi điểm M). (đpcm)
Bài toán 2: Trong không gian chứng minh rằng:
1. Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD GA GB GC GD 0 ;(*)
2. Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì với mọi điểm O ta luôn có:
OA OB OC OD 4OG .
Chứng minh:
A
L
I
N
G
M
D
B
K
J
C
1.
Gọi I, J, K, L, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC,
AD, BD, AC.
- 12 -
Điều kiện cần:
Giả sử G là trọng tâm của tứ diện ABCD G là trung điểm của IJ
(1)
GI GJ 0
Do I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD GA GB 2GI
GC GD 2GJ (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: GA GB GC GD 2 GI GJ 0
(2)
Điều kiện đủ:
Giả sử G là điểm thỏa mãn đẳng thức (*) ta sẽ chứng minh G là trọng tâm
của tứ diện ABCD.
Thật vậy: Do I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD nên với điểm G ta có:
GA GB 2GI và GC GD 2GJ
Mà GA GB GC GD 0 2 GI GJ 0 GI GJ 0
G là trung điểm của đoạn thẳng IJ.
Chứng minh tương tự ta được G là trung điểm của các đoạn thẳng KL và
MN.
Vậy G là trọng tâm của tứ diện ABCD.
2.
Do G là trọng tâm của tứ diện ABCD GA GB GC GD 0 (*)
Với mọi điểm O, đẳng thức (*) sẽ tương đương với đẳng thức:
GO OA GO OB GO OC GO OD 0
OA OB OC OD 4OG .
- 13 -
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN
I. CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC
I.1. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I.1.1. Phương pháp
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta thường dựa vào
tính chất của tích vô hướng:
Hai vectơ a , b (khác vectơ 0 ) vuông góc với nhau a.b 0
Từ đó nếu a , b lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và b thì
a b a.b 0 .
I.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Hình tứ diện ABCD có AB=BC, AD=DC. Chứng minh rằng
AC BD.
Giải:
A
B
D
C
Đặt BA a, BC b , BD c với a b (theo giả thiết)
Và CD DA c b a c (theo giả thiết)
- 14 -
Ta sẽ chứng minh BD CA 0
BD CA c( a b) c a c b
(1)
Từ c b a c c 2 b 2 2 b c a 2 c 2 2 a c
Mà b a b c a c
(2)
Từ (1) và (2) BD CA 0 BD CA
Nhận xét: Như vậy với việc sử dụng phương pháp vectơ ta chỉ cần chứng
minh tích vô hướng BD CA 0 . Khi đó giải bài toán trở lên đơn giản!
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh a, trên các đường chéo
của mặt bên là BD và AD1 lấy lần lượt 2 điểm M, N sao cho BM 2 MD ,
1
AN ND1 .
2
Chứng minh: MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng BD và
AD1.
Giải:
A1
B1
D1
C1
N
B
A
M
D1
C
- 15 -
Đặt AB a, AD b,AA1 c
Do ABCDA1B1C1D1 là hình lập phương a b c và a b c a
1
Theo giả thiết ta có: BM 2MD, AN ND1 nên :
2
3
BD BM MD 3MD BM
2
3
AD1 AN ND1 ND1 3 AN
2
Để chứng minh MN là đường vuông góc chung của BD và AD1 ta sẽ chứng
minh MN BD và MN AD1 .
tức là ta đi chứng minh MN BD 0; MN AD1 0
Đặt MN a; BD b; AD1 c
2 AD
1
Có MN MB BA AN DB BA
3
3
1
1
= 2 DB BA AD1 BA 2 DA AD1 BA
3
3
1 1
DA DD1 BA = c a b
3
3
Theo quy tắc hình bình hành ta có: BD BA AD b a
AD1 AD DD1 b c
=
1
Vậy MN BD c a b
3
1
MN AD1 c a b
3
2
b a 13 a
2
b c 13 c
2
b 0
2
b 0
Hay MN BD, MN AD1 tức MN là đường vuông góc chung của BD và
AD1.
- 16 -
Nhận xét: Biểu diễn MN , BD, AD1 theo a, b, c sau đó sử dụng tích vô hướng
ta có ngay lời giải bài toán.
Ví dụ 3 : Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau : AB=CD=
c, BC=DA=a, CA=BD=b. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các đường
trọng tuyến AA1 và CC1 vuông góc với nhau là :
a2+c2=3b2.
Giải :
D
C1
A1
A
C
B
1
Ta có : AA1 AB AC AD
3
1 1
CC1 AC1 AC 0 AB AD AC CC1 AB AD AC
3
3
9AA1.CC1 AB AC AD AB AD 3 AC
2
2 2
9AA1.CC1 AB 2 AB. AD 2 AB. AC 2 AC. AD 3 AC AD
c2 2
1 2
1
1
c a 2 b 2 2 c 2 b 2 a 2 2 b 2 a 2 c 2 3b 2 a 2
2
2
2
2 a 2 c 2 3b 2
- 17 -
Do đó điều kiện cần và đủ để AA1 CC1 là a2+c2=3b2
(vì AA1 CC1 AA1.CC1 0 a 2 c 2 3b 2 )
I.1.3. Bài tập:
Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi AH là đường cao của tứ
diện xuất phát từ đỉnh A và O là trung điểm của AH. Chứng minh: OB, OC,
OD vuông góc với nhau từng đôi một.
Hướng dẫn :
Đặt AB b, AC c, AD d với b c d a
a2
o
và b.c c.d b.d a.a.cos60 .
2
Sau đó biểu diễn các vectơ OB, OC , OD theo các vectơ b, c, d rồi xét các tích
OB.OC , OC.OD, OB.OD
Bài tập 2: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng nếu AB CD và
AD BC thì AC BD .
Hướng dẫn :
Đặt BA a, BC c, BD c . Sau đó biểu diễn AC , BD theo a, b, c ta có
ngay kết quả cần chứng minh.
Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD, AC=a, BD=b. Trên đường thẳng AB lấy 2
điểm P, P1; trên đường thẳng CD lấy 2 điểm Q, Q1 sao cho:
AP CQ a
và
PB QD b
AP1 CQ1
a
biết a b .
. Chứng minh rằng PQ PQ
1 1
b
PB
Q1 D
1
Hướng dẫn :
Từ đề bài ta đễ dàng suy ra được 4 điểm A, B, P, P1 lập thành hàng điểm
điều hòa. Tương tự 4 điểm C, D, Q, Q1 lập thành hàng điểm điều hòa.
- 18 -
Gọi O là 1 điểm trong không gian. Do A, B, P thẳng hàng và
AP a
nên
PB b
bOA aOB
bOC aOD
. Tương tự ta được: OQ
OP
ab
ab
Sau đó biểu diễn 2 vectơ PQ, PQ
theo a, b ta sẽ suy ra điều phải chứng minh.
1 1
Bài tập 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AD và BB’. Chứng minh: MN A ' C .
Hướng dẫn :
Đặt AB a, AD b,AA' c .
Sau đó biểu diễn MN , AC ' theo a, b, c rồi xét tích MN . AC ' sẽ suy ra điều
phải chứng minh.
I.2. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT
PHẲNG
I.2.1. Phương pháp
Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thực chất quy về
chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Gọi a ( a 0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng a.
b, c b, c 0 là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P)
Khi đó a P a b a c 0
I.2.2. Ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho hình chóp SABC có SA=SB=SC, đáy là tam giác cân ABC (tại A).
Gọi O là chân đường cao của hình chóp, D là trung điểm của AB, E là trọng
tâm của ADC. Chứng minh CD SOE .
- 19 -
Giải
S
A
O
C
E
I
D
M
B
SO ABC
SO CD
CD ABC
Để chứng minh CD SOE ta đi chứng minh: CD OE CD OE 0
Do SO ABC và SA=SB=SC O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
Mà ABC cân ở A nên O nằm trên đường trung trực AM của cạnh BC.
(*)
OA CB OA CB 0
1
E là trọng tâm của ADC nên: OE OA OB OC
3
(1)
1
D là trung điểm của AB OD OA OB
(2)
2
1
Thay (2) vào (1) ta có: OE 3OA OB 2OC
6
Theo giả thiết ta có:
1 1 1
CD CA CB OA OC OB OC OA OB 2OC
2
2
2
- 20 -
Vậy :
1
OE.CD
3OA OB 2OC OA OB 2OC
12
2
2
12OE.CD 3OA 3OA.OB 6OA.OC OA.OB OB 2OB.OC
2
2OA.OC 2OB.OC 4OC
2 2
2
(**)
12OE.CD 3OA OB 4OC 4OA.OB 4OA.OC
Theo chứng minh trên O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
2 2 2
OA OB OC
Khi đó (**) 12OE.CD 4OA OB OC 3OE.CD OA.CB
Từ (*) và (***) ta được OE.CD 0 OE CD
(***)
Vậy CD SO và CD OE CD SOE .(đpcm)
Ví dụ 2:
Từ một điểm S nằm bên trong mặt cầu cho trước 3 đường thẳng vuông góc
với nhau từng đôi một tại S. Đường thẳng a cắt mặt cầu tại A, A1; đường
thẳng b cắt mặt cầu tại B, B1; đường thẳng c cắt mặt cầu tại C, C1. Gọi G là
trọng tâm của ABC. Chứng minh: SG A1 B1C1 .
B
Giải:
C
G
A
S
A1
H
B1
- 21 -
C1
