Các bài tập quy nạp liên quan đến đại số tuyến tính, không gian, ma trận, hạng, định thức

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

LI CM N

Em xin chõn thnh gi li cm n ti cỏc thy, cụ giỏo trong khoa
Toỏn_Trng i hc S phm H Ni 2, c bit l cỏc thy, cụ giỏo trong
t Hỡnh hcs ó tn tỡnh dy d, ch bo, giỳp em trong sut thi gian em
theo hc ti khoa v thi gian lm khúa lun tt nghip.
c bit em xin gi li cm n sõu sc ti Thy Nguyn Vn Vn,
ngi trc tip hng dn em, luụn ch bo, nh hng cho em em cú th
hon thnh khúa lun ny.
Em cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố v tp
th lp K33 C nhõn Toỏn trng HSP H Ni 2 ó luụn bờn em, ng
viờn, giỳp em trong sut quỏ trỡnh hc tp v thc hin khúa lun ny.
Mc dự ó cú rt nhiu c gng, song thi gian v kinh nghim bn
thõn cũn nhiu hn ch nờn khúa lun ca em khụng th trỏnh khi nhng
thiu xút rt mong c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn
sinh viờn khúa lun ca em c hon thin.
Em xin chõn thnh cm n!

H Ni, thỏng 5 nm 2011
Sinh viờn
m Th Tho

SVTH: Đàm Thị Thảo

3

K33 CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

LI CAM OAN

Khúa lun tt nghip ny l kt qu ca bn thõn em trong quỏ trỡnh hc
tp, nghiờn cu v c ti liu. Bờn cnh ú em cng nhn c s quan tõm,
to iu kin ca cỏc thy cụ giỏo trong khoa Toỏn, c bit l s hng dn
tn tỡnh ca thy Nguyn Vn Vn.
Em xin chõn thnh cm n!
H Ni, thỏng 5 nm 2011
Sinh viờn thc hin
m Th Tho

SVTH: Đàm Thị Thảo

4

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

MC LC
M u6

Chng 1: Mt s kin thc c bn8
1.Quy np toỏn hc 8
2.Quy np....14
3. Quy np khụng hon ton15
Chng 2: Phng Phỏp Tớnh nh Thc Bng Quy Np .16
Đ1. Ma Trn ....16
Đ2. nh thc ......19
Kt lun...39
Ti liu tham kho...40

SVTH: Đàm Thị Thảo

5

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

M U
1. Lý do chn ti
Cú th núi rng i s tuyn tớnh l mt mụn hc khỏ quan trng i
vi mi sinh viờn ngnh Toỏn. Nú c coi l mụn c s cho tt c cỏc mụn
Toỏn m sinh viờn c hc. Trong ú ma trn v cỏc bi toỏn liờn quan n
ma trn v nh thc ca ma trn l phn kin thc c bn nht, gõy c
nhiu hng thỳ nht trong ni dung mụn hc ny. Cú nhiu vn khú liờn
quan n ma trn v nh thc ma trn l mt trong nhng nhng vn nh
th. Vi ham mun tỡm tũi v hc hi nờn em ó i sõu vo tỡm hiu vn

ny. c s hng dn tn tỡnh ca thy giỏo, GVC. Nguyn Vn Vn cựng
vi lũng yờu thớch mụn hc ny em ó nghiờn cu ti: Cỏc bi tp quy
np liờn quan n i s tuyn tớnh, khụng gian, ma trn, hng, nh
thc.
2. Mc ớch nghiờn cu
Nghiờn cu v cỏc bi tp quy np liờn quan n i s tuyn tớnh,
khụng gian, ma trn, hng, nh thc.
3. Nhim v nghiờn cu
Trỡnh by mt s kin thc c bn v quy np toỏn hc
Trỡnh by mt s kin thc c bn v ma trn v nh thc
Phng phỏp tớnh nh thc bng quy np v v cỏc bi tp ỏp dng
ng dng ca nh thc
4. i tng nghiờn cu
Trong ti ny em xõy dng xung quanh cỏc vn v cỏch tớnh nh
thc bng phng phỏp quy np

SVTH: Đàm Thị Thảo

6

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

5. Phng phỏp nghiờn cu
Tỡm v tham kho ti liu, phõn tớch v tng hp bi tp minh ha,
tham kho ý kin ca giỏo viờn hng dn.

6. Cu trỳc lun vn
Chng 1: Mt s kin thc c bn
Chng 2: Phng phỏp tớnh nh thc bng quy np

SVTH: Đàm Thị Thảo

7

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

CHNG 1: MT S KIN THC C BN
1) Quy np toỏn hc
1.1) Nguyờn lý quy np toỏn hc
- Ta ký hiu mt khng nh toỏn hc ph thuc vo s n l p n . õy
n l s t nhiờn. Ngi ta thng a v dng mnh vi mi n ( trong
tp S no ú ) p n . Trong ú S l tp con ca tp cỏc s t nhiờn l tớnh
sp th t.Ta tha nhn tớnh cht sau nh mt tiờn . Trong mi tp hp
khỏc rng cú nhng s t nhiờn cú mt phn t min.
- Cho mi s t nhiờn n ng vi khng nh p n
Vớ d: Cho dóy sau S 1 2 ... n
+ Vi n 1 ta cho tng ng vi khng nh p 1
Tng ca dóy S 1 2 ... n l S 1
+ Vi n 2 ta cho tng ng vi khng nh p 2
Tng ca dóy S 1 2 ... n l S 1 2 3
Tng t vi n 3,4,...

Bng phng phỏp nh vy ta to c dóy khng nh riờng:

P 1 , P 2 ,..., P n ,...
Nguyờn lý quy np cho ta mt phng phỏp kim tra khng nh p n
ỳng hoc sai vi mi n
nh lý 1: Cho no l mt s nguyờn dng v p n l mt mnh cú
ngha vi mi s t nhiờn n n0 nu:
a) P no l khng nh ỳng
b) Nu p k ỳng thỡ p k 1 cng ỳng vi mi s t nhiờn k

SVTH: Đàm Thị Thảo

8

no

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

Chng minh: Ga s mnh khng nh trong nh lý trờn khụng ỳng
vi mt s t nhiờn n no no ú. Ngha l tn ti mt s t nhiờn m no m
p(m) khụng ỳng (iu ny th hin c nh tớnh cht tha nhn nh mt
tiờn trờn)
Theo a) Ta cú m no
lun ra p m ỳng cho m

m 1 no
m 1

p(m 1) ỳng nh khụng th suy

1 .iu ny mõu thun vi gi thit

iu

phi chng minh
Xut phỏt t mnh khng nh vi cỏc trng hp riờng chng hn n
cỏc s n 1, 2,3,... (ta gi l giai on quy np ) hoc ta cú th gi thuyt mnh
ỳng vi mi s t nhiờn. Sau ú ta a ra gi thuyt quy np. chng
minh mnh va a ra ngi ta lý lun theo nguyờn lý quy np toỏn hc.
Phng phỏp nh vy gi l phng phỏp quy np toỏn hc
Theo nh lý trờn phng phỏp ny gm hai bc:
+ Bc c s: Kim tra khng nh ca bi toỏn vi n no
+ Bc quy np: Chng minh rng vi mi k

no , p k tha món tớnh

cht ó bit thỡ suy ra p k 1 cng cú tớnh cht y.
* Kt lun: p n cú tớnh cht ó cho vi

n no

* u im ca phng phỏp ny l: Chng minh theo quy np toỏn hc
trỏnh cho ta phi kim tra vụ hn bc cỏc khng nh ca mnh .
1.2) Giai on quy np v gi thit quy np
minh ha cho giai on quy np v ga thit quy np ta xột mt s vớ

d sau:
Vớ d: Cho s t nhiờn n.Tớnh tng Sn

1

2

3

n

Gii:
+ Giai on quy np: ta tớnh tng Sn t mt vi s t nhiờn:

SVTH: Đàm Thị Thảo

9

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

- Vi n 1 thỡ S1 1
- Vi n 2 thỡ S2 1 2 3
- Vi n 3 thỡ S3 1 2 3 6
- Vi n 4 thỡ S4 1 2 3 4 10
- Vi n 5 thỡ S5 1 2 3 4 5 15

- Vi n 6 thỡ S6 1 2 3 4 5 6 21
Nh s khộo lộo trong quan sỏt, s nhy cm trong d oỏn v kim tra
ca mỡnh.T ú cú th tỡm ra mt quy lut chung.
Ta phõn tớch cỏc tng thnh tớch cỏc thnh phn nh sau:
+S1 = 1 =

S2

11 1
2

1.2
2

2 2 1
2

2.3
2

3

3.4
2

3 3 1
2

S3

6

S4

10

4.5
2

4 4 1
2

S5

15

5.6
2

5 5 1
2

S6

21

6.7
2

6 6 1

2

T ú ta a ra gi thuyt quy np nh sau:

Sn

1

2

3

n

n n 1
2

(1)

Mt gi thuyt c lm nh trờn c gi l gi thuyt quy np.
Nhng vn t ra l liu gi thuyt ú cú ỳng vi hay khụng ?
Ta i chng minh (1) bng phng phỏp quy np toỏn hc:
SVTH: Đàm Thị Thảo

10

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

11 1
2

Vi n 1 thỡ 1 :1

1 ( luụn ỳng )

Gi s ng thc luụn ỳng vi n k 1 tc l:

1 2 3 ... k

k 1 k
2

2

Ta phi chng minh 1 ỳng vi n k 1
Taphi bin i:

1 2 3 ... k

k 1

k k 1
2

k 1 k

2

k 1

2

Hay ng thc 1 ỳng vi n k 1
Theo nguyờn lý quy np toỏn hc thỡ cụng thc 1 ỳng vi mi

n 1,2,...
Vớ d 2: Tớnh tng ca n s t nhiờn l u tiờn

Sn 1 3 5 ...

2n 1

Gii:
+ Giai on quy np
Ta tớnh tng Sn t mt vi s t nhiờn u tiờn
-Vi n 1: S1 1
-Vi n 2 : S2 1 3 4
-Vi n 3: S3 1 3 5 9
-Vi n 4: S4 1 3 5 7 16
-Vi n 5: S4 1 3 5 7 9 25
D dng nhn thy:

S1 1 12
S2
SVTH: Đàm Thị Thảo

4 22

9 32

S3
S4 16 42
11

S5

25 52

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

T õy ta a ra gi thuyt quy np nh sau:
1 3 5 ...

n2 2

2n 1

Ta i chng minh ng thc 2 :
Vi n 1 thỡ 2 luụn ỳng
Gi s 2 ỳng vi n k 1 tc l:
1 3 5 ...

k2

2k 1

Ta phi chng minh 2 ỳng vi n k 1

1 3 5 ...

2k 1

1 3 5 ...
k 1

2 k 1

2k 1

1

k 1

2

Vy ỳng 2 vi mi s t nhiờn n
iu phi chng minh
1.3) Bc quy np xõy dng trờn p( k )
Vớ d: Chng minh: 2n

1

an

bn

a b

n

1

õy a b 0, a b
Gii:
Vi n 2 thỡ 1 : 2 a 2 b 2
2

Do a b v : a b
a b

2

a b

2

0
0

Cng theo hai v ca bt ng thc ta cú : 2 a 2 b 2

a b

2

+ Gi s 1 ỳng vi n k no ú ta cú:
2k

1

ak

SVTH: Đàm Thị Thảo

bk

a b

k

12

(2)

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

chng minh 1 ỳng vi n k 1. Ta nhõn hai v ca 2 vi

a b
Vỡ a b 0 ta nhn c bt ng thc ỳng:
2k

1

ak

bk

a b

a b

k 1

Nh vy chng minh 1 ỳng vi n k 1ta cn chng minh:

2k a k

1

bk

1

ak

1

bk

1

ak

2k

1

ak

bk a b

(3)

a k b bk a

bk a b

(4)

0

Nu a b v t a b 0

a

b . Vỡ vy a k

bk

4 luụn ỳng

Nu a b v t a b 0

b

a . Vỡ vy a k

bk

4 luụn ỳng

Túm li 4 ỳng vi n k 1 v a b 0
iu phi chng minh
1.4) Bc quy np xõy dng trờn p( k + 1 )
Trong bc quy np xõy dng mc 1.3 ca nguyờn lý quy np toỏn
hc cn khng nh p k 1 t p k . Nhng nhiu khi vic biu din t

p k sang p k 1 gp rt nhiu khú khn hoc khụng cú hng chớnh xỏc.
Khi ú, ta lm ngc li tc l bin i t p k 1 sang p k . Cỏch lm nh
vy t ra thun li hn.
Vớ d: Chng minh rng s Zn

32n 1 40n 67 chia ht cho 64 vi

mi s t nhiờn.

Gii:
Vi n 1 ta cú Z1 33

40 67 0 chia ht cho 64 ( luụn ỳng )

Gi s Z n chia ht cho 64. Khi ú:
SVTH: Đàm Thị Thảo

13

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

Zn 1 32n

3

9 32 n

40n 27
1

40n 67

320n 576
chia ht cho 64

9Z n 64 5n 9
Bi toỏn luụn ỳng vi mi n

T cỏc bc xõy dng nguyờn lý quy np toỏn hc trờn ta suy ra c
nh ngha sau:
Bc 1: Kim tra mnh ỳng vi n = 1
Bc 2: Ga thit mnh ỳng vi mt s t nhiờn bt k n = k
( gi l gi thit quy np ). Chng minh rng nú ỳng vi n = k + 1

1
õy l

phng phỏp quy np toỏn hc hay cũn gi l quy np toỏn hc
2) Quy np
Suy din hay cũn gi l phộp suy din l i t cỏi chung n cỏi riờng, t
tng quỏt n c th
Quy np hay cũn gi l phộp quy np l i t cỏi riờng n cỏi chung , t
c th n tng quỏt.
3) Quy np khụng hon ton
Vớ d: So sỏnh A n

10n

1

vi B n

2004 n , trong ú n N * .

Bng phộp th vi n = 1 , 2 , 3 , 4.
Ta cú : A 1

B1

A 2

B 2

A 3

B 3

A 4

B 4

T y ta kt lun: 10n 1

2004 n vi

n 4

(1)

Rừ rng kt lun ny l ỳng
Tuy nhiờn cng t kt qu ca phộp th trờn nu vi kt lun:
SVTH: Đàm Thị Thảo

14

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

10n 1 2004 n vi

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

n N*

Thỡ li sai lm vi n 5 , ta cú: 104

(2)

2004 5

Tng t vi n 6,7,8,...
n õy nu kt lun tip: 10n 1

2004 n vi

n N * (3). Sau ú

vi phộp th cho dự cú nhn c kt qu ỳng vi n bng bao nhiờu chng
na thỡ vn khụng th coi l ó chng minh c mnh (3)
Mnh (3) s c chng minh nu c dựng phng phỏp quy np toỏn
hc
Cỏc mnh (2), (3) cú c l kt qu ca phộp quy np khụng hon

ton trong ú (2) l sai, (3) l ỳng.
Do phộp th ch cú tớnh d oỏn, nờn kt qu ca phộp quy np khụng
hon ton ch l gi thuyt v vic phi lm tip theo l chng minh hay bỏc
b.
Quy lun khụng hon ton l phộp suy lun quy np m kt lun
chung ch da vo mt s trng hp c th xột n
Kt lun ca phộp quy np khụng hon ton ch cú tớnh c oỏn vỡ vy
gi l gi thuyt
+ S ca phộp quy np khụng hon ton:

A1, A2 ,..., An cú tớnh cht B
A1, A2 ,..., An l nhng phn t ca A
Kt lun: mi phn t ca A cú tớnh cht B
+ Chỳ ý: Trong s Ai , i 1, n ch l cỏc phn t thuc A, khụng phi
l tt c.Vỡ tớnh c oỏn ca kt lun c rỳt ra nờn toỏn hc khụng tha
nhn kt lun ca phộp suy lun ny, cng vỡ th phộp suy lun ny cú tờn l
phộp suy lun khụng tha nhn c.

SVTH: Đàm Thị Thảo

15

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

CHNG 2. PHNG PHP TNH NH THC

BNG QUY NP

Đ1. MA TRN
1) nh ngha
Cho K l mt trng tu ý. Mt bng gm m.n phn t aij

trng K

cú dng:

a11 a12
a21 a22

... a1n
...
...

...
...

... ...
am1 am 2 ... amn

1

c gi l mt ma trn kiu (m,n). Mi aij c gi l mt thnh phn
ca ma trn vộc t dũng ai1ai 2 ...ain
c gi l dũng th i ca ma trn. Vộc t ct:

a1 j

a2 j
...
amj
c gi l ct th j ca ma trn
Ta thng ký hiu ma trn bi cỏc ch A, B,Ma trn (1) cú th c
ký hiu n gin bi A = aij

m.n

Khi m = n thỡ ma trn A =

. Ta cng núi A l ma trn cú m dũng n ct.
aij

v c ký hiu n gin l: A = aij

SVTH: Đàm Thị Thảo

n.n

c gi l mt ma trn vuụng cp n

n

16

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

Tp hp tt c cỏc ma trn kiu ( m, n ) vi cỏc phn t thuc trng K
c ký hiu l mat ( m.n, K )
2) Cỏc phộp toỏn ca ma trn
a) Cng hai ma trn
Cho A

aij

m.n

; B

bij

m.n

.Khi ú C

cij

m.n

aij bij gi l

; cij

tng ca hai ma trn A v B

Ký hiu: C = A + B
b) Tớch ca mt s v mt ma trn
Cho s

0, A

aij

m.n

.Khi ú

.A C c gi l tớch ca mt s

v mt ma trn
c) Tớch ca hai ma trn
Cho A

dij

aij

aip .bpj

m.n

, B

bij

n.k

.Khi ú A.B = D = dij

m.k

ai1b1 j ... ainbnj ; i 1, m; j 1, k ; p 1, n

L tớch ca hai ma trn A v B
3) Cỏc dng ca ma trn
3.1) Ma trn chuyn
Ta gi At l ma trn chuyn ca ma trn A nu s dũng ca ma trn A l s
ct ca ma trn B.
Vớ d:
A=

At

SVTH: Đàm Thị Thảo

1 1
2 1

1
1
1
1

1 1
0 1

2
1
0
1
17

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

3.2) Ma trn chia khi
+ Cho A l ma trn vuụng (n.n, K ) vi mi i > j ta cú Aij

0 thỡ A c

gi l ma trn tam giỏc trờn
+ Cho A l ma trn vuụng (n.n, K ) vi mi i < j ta cú Aij

0 thỡ A c

gi l ma trn tam giỏc di
Mat tam giỏc

l ma trn tam giỏc trờn v ma trn tam giỏc di

3.3) Ma trn tam giỏc ng dng

Cho hai ma trn A v B vuụng

n.n, K . Ta cú A v B l hai ma trn

ng dng nu tn tai mt ma trn C kh nghch, C
ma trn thu c bng tớch: B = C-1AC

n.n, K sao cho B l

A ng dng vi B.

3.4) Ma trn i xng
Cho A l mt ma trn vuụng: A
nu At

aij

n

c gi l ma trn i xng

A.

Ma trn i xng lnh: cho A l mt ma trn vuụng ,m A l mt ma
trn cú dng : At

A

A l ma trn i xng lnh khi ng chộo chớnh =

0
Mt ma trn vuụng bao gi cng phõn tớch thnh tng ca mt ma trn
i xng v ma trn i xng lnh.
3.5) Ma trn chia khi
Ta ly mt ma trn A bt k v chia nú ra thnh mt h thng ( nhiu
phn ) bng mt h thng cỏc ng ngang dc. Cỏc phn c to ra l cỏc
ma trn con gi l nhng khi ca ma trn A. Ma trn A nh vy c gi l
ma trn chia khi
3.6) Ma trn ng chộo

SVTH: Đàm Thị Thảo

18

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

Cho A l mt ma trn vuụng, A c gi l ma trn ng chộo nu

aij = 0, i

j

Đ2. NH THC
1) nh ngha
Cho A

aij

m.n

. Ta gi l nh thc ca ma trn A mt phn t thuc

trng K.
Kớ hiu: detA.
Khi ú:

sgn

DetA =

a

a

11

22

...a

n n

Sn

Khi ú, detA cng c gi l mt nh thc cp n v cũn c kớ hiu

: A
Hay:

a11 a12
a21 a22
... ...
an1 an 2

... a1n
... a2 n
... ...
... ann

Vớ d:
a) nh thc cp 1: det(a) = a
b) nh thc cp 2: det

c) nh thc cp 3: det

SVTH: Đàm Thị Thảo

a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21 a22
a31 a32

a11 a12
= a11a22 a 21 a12
a21 a22

a13
a23
a33

19

a11 a12
a21 a22
a31 a32

a13
a23
a33

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

=

sgn

a

.a

11

22

.a

33

S3 s

1 2 3
1 2 3

1

1 2 3
2 3 1

2

+

5

1 2 3
3 1 2

3

D thy: +

4

,

2,

,

5

1

4

3

6

6

1 2 3
3 2 1
1 2 3
2 1 3
1 2 3
1 3 2

l nhng phộp th chn
l nhng phộp th l

Ta cú:
a11 a12
a21 a22
a31 a32

a11a22a33 a21a32 a13

a13
a23
a33

a31a12 a23 a31a22 a13

a21a12 a33

a11a32 a23

2) Cỏc tớnh cht
a) Tớnh cht 1:

Nu D

a11 a12
a21 a22
... ...
an1 an 2

thỡ ta cú D D/

D/

a11 a12
a21 a22
... ...
an1 an 2

SVTH: Đàm Thị Thảo

... a1/ j a1//j
... a2/ j a2//j
...
...
/
... anj anj//

... a1n
... a2 n
... ...
... ann

D// trong ú:
... a1/ j
... a2/ j
... ...
... anj/

... a1n
... a2 n
... ...
... ann

20

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

... a1//j
... a2//j
... ...
... anj//

a11 a12
a
a
D // = 21 22
... ...
an1 an 2

... a1n
... a2 n
... ...
... ann

b)Tớnh cht 2:
Nu cỏc thnh phn ca ct cú tha s chung k thỡ cú th a k ra ngoi
du ca nh thc:

a11 a12
a21 a22
... ...
an1 an 2

... ka1 j
... ka2 j
... ...
... kanj

Chng minh: ta cú

... a1n
a11 a12
... a2 n
a21 a22
=k
... ...
... ...
... ann
an1 an 2

sgn

.a

.a

11

22

...ka

j j

... a1 j
... a2 j
... ...
... anj
...a

... a1n
... a2 n
... ...
... ann

n n

Sn

=k

sgn

.a

.a

11

22

...a

j j

...a

n n

Sn

iu phi chng minh
c) Tớnh cht 3:
Nu nh thc cú hai ct ging nhau thỡ bng khụng
Chng minh: Ga s nh thc D cú ct i v ct j ging nhau vi i < j

akj vi k 1, 2,..., n

ngha l aki

Theo nh ngha:

sgn

D=

.a

11

.a

22

...a

ii

...a

j j

...a

n n

Sn

Ghộp cỏc s hng trong tng trờn thnh tng cp:
sgn

Vi sgn

.a
/

.a

11

.a

/

SVTH: Đàm Thị Thảo

11

22

.a

...a
/

22

i i

...a

...a

/

ii

j j

...a

...a

21

/

j j

n n

...a

/

nn

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trong ú

sgn

/

/

/

vi J l phộp chuyn trớ i ch

J

i v

j thỡ

v:

sgn
a

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

11

.a

a

/

22

.a

11

...a
22

/

i i

...a

...a

ii

/

j j

...a

...a

j j

/

n n

...a

nn

Nh th D l mt tng gm nhng cp s hng i nhau.
iu phi chng minh.

Vy D = 0
d) Tớnh cht 4

nh thc ca ma trn n v bng 1

1
0
det En =
...
0

0
1
...
0

...
...
...
...

0
0

1
...
1

Chng minh : kớ hiu En

eij

eij

n.n

ta thy:

1 (i=j)
0 (i j )

sgn

Ta cú det En

.e

11

...e

n n

Sn

Tng ny cú ỳng mt s hng khỏc 0 ng vi

l phộp th ng

nht m du ca nú bng 1 nờn

det En 1.1...1
iu phi chng minh
3) Khỏi nim nh thc con v phn bự i s
Cho A = aij

Mat n.n, K . Nu chn k dũng k ct ca A 1 k

n

thỡ nh thc M ca ma trn vuụng cp k gm cỏc thnh phn nm k dũng k
ct ny c goi l nh thc con cp k ca ma trn A
SVTH: Đàm Thị Thảo

22

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

nh thc M / ca ma trn vuụng cp n k nhn c sau khi xoỏ i k

dũng v k ct ú c gi l mt nh thc con bự ca nh thc con M
Nu k dũng ó chn l i1,..., ik v k ct ó chn l j1,..., jk thỡ ta gi:
k

i
q 1 q

1

jq

.M / l phn bự i s ca nh thc con M

4) Cỏc phng phỏp tớnh nh thc
nh thc ca ma trn vuụng A = aij

A

sign

a1

M n, k l tng ca:
1

...an

n

sgn

Trong ú Sn l tp tt c cỏc hoỏn v ca tp n s t nhiờn u tiờn

1,2,..., n . Tuy nhiờn vic tớnh nh thc theo nh ngha rt khú khn vỡ s
hoỏn v bng n! l mt s khng l khi n tng. Trờn thc t nú ch c ỏp
dng tớnh khi n = 2, hoc khi ma trn A cú dng rt c bit. Sau õy l
mt vi phng phỏp thong dng:
4.1) Khai trin theo dũng hoc ct
C s ca phng phỏp ny l nh lý khai trin Laplace. Cho

1 k

n . Xột hai b ch s 1 i1 ... ik

n v 1

j1 ...

gm cỏc phn t nm trờn giao cỏc dũng 1 i1 ... ik

1

j1 ...

jk

jk

n . Ma trn

n v cỏc ct

n ca ma trn A c gi l mt ma trn con cp k v c

kớ hiu: A i1,..., ik ; j1,..., jk , cũn nh thc ca nú c gi l nh thc con
hay milnor. Ma trn con nm trờn giao cỏc dũng v ct cũn c gi l ma
)
trn con bự ca A i1,..., ik ; j1,..., jk v c kớ hiu l A i1,..., ik ; j1,..., jk .
)
nh thc A i1 ,.., ik ; j1,..., jk

SVTH: Đàm Thị Thảo

23

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

Gi l nh thc con bự ca

1

A i1,..., ik ; j1,..., jk

trong A cũn

à i ,.., i ; j ,..., j c gi l phn bự i s ca A i ,..., i ; j ,..., j ,
A
1
k
1
k
1
k 1
k

s I ,J

trong ú s( I , J )

i1 ... ik

j1 ...

jk

+) nh lý ( khai trin Laplace)
Ga s ó chn ra k dũng ( tng ng ct ) trong mt nh thc cp n

1 k

n . Khi ú nh thc ó cho bng tớch ca tt c cỏc nh thc con

cp k ly ra t k dũng ( tng ng ct ) ú vi phn bự i s ca chỳng tc
l:

A =

1

A i1,..., ik ; j1,..., jk

s I ,J

à i ,.., i ; j ,..., j
A
1
k
1
k

1 j1 ... jk n

=

1

A i1,..., ik ; j1,..., jk

s I ,J

à i ,.., i ; j ,..., j
A
1
k
1

k

1 i1 ... ik n

Trờn thc t khai trin Laplace hay c vn dng cho mt dũng hay
mt ct cha nhiu 0
+ Khai trin Laplace theo dũng th i hay ct th j

A

1
1

i 1

ài1
ai1 A

1

j 1

àj1
a j1 A

1

i 2

ài 2

ai 2 A

j 2

...

àj 2
a j2 A

...

1

i n

1

àin
ain A

j n

àjn
a jn A

Vớ d: Tớnh nh thc ca ma trn tam giỏc trờn ( tng ng di ) ta
ch vic thc hin liờn tip khai trin Laplace theo ct hoc (dũng) th nht:

a11 a12
0 a22

0
0
... ...
0
0

a13
a23
a33
...
0

SVTH: Đàm Thị Thảo

...
...
...
...
...

a1n
a2 n
a3n
...
ann

a22
0
a11
...

0

24

a23
a33
...
0

... a2 n
... a3n
... ...
... ann

... a11a22 ...ann

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

a11 0
a21 a22
a31 a32
... ...
an1 an 2

0
0
a33

...
an3

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

... 0
... 0
... 0
... ...
... ann

a22
a
a11 32
...
an 2

0
a33
...
an 3

... 0
... 0
... ...
... ann

... a11a22 ...ann

4.2) Phng phỏp Gauss

0 , ri i ch dũng th nht v dũng

+ Chon mt ch s i sao cho ai1

th i cho nhau, ng thi i du nh thc ( thụng thng ta chn i sao cho

ai1 gn mt nht, hoc chn i u tiờn ( tho món tớnh cht ):
- Nu ch s nh vy khụng tn ti thỡ nh thc = 0
2 i tớch ca dũng th nht ( ca ma trn

- Ln lt tr t dũng th j
mi ) vi ai1 / a11
+ Ti bc th k , 2 k

n lp li bc u i vi ma trn con cp n

k + 1 gúc phi bờn di cựng
+ Ti a sau n 1 bc ta s c mt ma trn tam giỏc trờn . nh
thc ca nú bng tớch cỏc phn t trờn ng chộo
Vớ d :
2 1 4
5 19 1
1 4 3

1 4 3
5 19 1
2 1 4

1

0
0

4
1
7

3
14
2

1
0
0

4
1
0

3
14
96

96

vit cho gn cú th phi hp hai phng phỏp trờn: sau bc th
nht ta nhn c ct u ch cú phn t u tiờn khỏc khụng. S dng khai
trin Laplace i vi ct ny, ta a v tớnh nh thc cp thp hn. Lm nh
th ny ta khụng phi vit li dũng u v ct u trong bc tip theo, m
cũn cú th s dng cỏc tớnh cht n gin hoỏ ma trn c nhn t bc

th hai tr i, trc khi s dng thut toỏn trờn.

SVTH: Đàm Thị Thảo

25

K33 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

Vớ d: Tớnh nh thc Vandermonde

Dn

1
x1
x12
...
x1n 1

1
x2
x22
...
x2n 1

... 1

... xn
... xn2
... ...
... xnn 1

Ly dũng th n 1 nhõn vi - x1 ri cng vo dũng th n ,sau ú ly
dũng th n 2 nhõn vi

x1 ri cng vo dũng th n 1 ,, cho n khi

bin i xong dũng th hai, ta c:

Dn

=

1
1
0
x2 x1
0 x2 x2 x1
...
...
0 x2n 2 x2 x1

...
1
...
xn x1
... xn xn x1

...
...
... xnn 2 xn x1

x2

1
x2
x22
...
x2n 2

i j

x1 ... xn

xi

x1

1
x3
x32
...
x3n 2

x2 x1
x2 x2 x1
...
n 2

x2 x2 x1

...
xn x1
... xn xn x1
...
...
n 2
... xn xn x1

... 1
... xn
... xn2
... ...
... xnn 2

xj

Ti dũng th hai trờn ta ỏp dng khai trin Laplace theo ct th nht ,
ti dũng th hai ta ỏp dng cỏc nhõn t chung ca cỏc dũng ra ngoi du ca
nh thc, cũn dũng cui cựng ta ỏp dng cụng thc truy hi.
4.3) Rỳt ra cỏc nhõn t tuyn tớnh
Nu mi phn t ca ma trn vuụng A cp n l mt a thc bc nht
i vi bin x no ú, thỡ nh thc A l mt a thc ca cỏc bin ú vi
bc ( tng th ) khụng quỏ n. Nu bng cỏch no ú ta tỡm c n a thc bc
SVTH: Đàm Thị Thảo

26

K33 CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

nht f1,..., f n c lp tuyn tớnh vi nhau sao cho mi f i l c ca A , thỡ ta
cú kt lun A v tớch f1... f n sai khỏc nhau mt nhõn t hng s.
Vớ d: Tớnh nh thc

1
2
3
1 x 1 3
1
2
x 1
... ...
...
1
2
3

...
n
...
n
...
n
... ...

... x 1

L mt a thc bc ti a n 1, vỡ mi s hng trong nh ngha ca a
thc l tớch a1

1

a2

2

...an

u cú tha s th nht l mt hng s. Thc ra

n

ta thy ch cú mt tớch cú bc ỳng bng n: nú tng ng vi tớch ca cỏc
phn t trờn ng chộo, tc khi

l hoỏn v ng nht

Do ú bc a thc ỳng bng n 1 v h s u l 1.
Mt khỏc ln lt cho x 1,2,..., n 1 ,ta nhn c nh thc cú hai dũng
bng nhau nờn chỳng u bng khụng.
Tc D 1

D 2

... D n 1

Do ú D x chia ht cho x 1, ..., x n 1

D x

x 1 x 2 ... x n 1

4.4) Phng phỏp truy hi
Tỡm mt h thc gia nh thc cp n v cỏc nh thc cp thp hn
c nh ngha tng ng ta cú:

Dn

pDn 1 qDn

+ Nu q = 0 thỡ Dn
+ Nu q

0, ta gi

SVTH: Đàm Thị Thảo

2

p n 1D1
v

l hai nghim ca tam thc bc hai:
27

K33 CN Toán