Cực và đối cực phương tích đường tròn và ứng dụng

Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

LI CM N

Trong thi gian hon thnh khóa lun, bên cnh s l lc mit mi
nghiên cu ca bn thân em l nhng óng góp quý báu ca bn bè, thy cô
trong t Hình học, khoa Toán, Trng i hc S phm H Ni 2, c bit l
thy Đinh Văn Thủy - ngi ã trc tip hng dn tn tình, chu áo em
có th hon thnh khóa lun ny.
Em xin gi li cm n chân thnh nht ti thy Đinh Văn Thủy, quý
thy cô, bn bè ã c v, ng viên em trong sut thi gian hc tp v hon
thnh khoá lun.
Hà Nội, tháng 5 năm 1011
Sinh viên

Phan Thị Quyên

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Cực và đối cực, ph-ơng tích đ-ờng tròn là những vấn đề lý thú trong
Hình học. Với cực và đối cực ta có thể đ-a ra cách nhìn khá nhất quán với một
số dạng toán đặc tr-ng (quan hệ vuông góc, thẳng hàng, đồng quy, ...). Kiến
thức về ph-ơng tích đ-ờng tròn cũng rất thú vị, chúng có nhiều ứng dụng đối
với các bài toán tính yếu tố độ dài, chứng minh hệ thức hình học, tập hợp điểm
Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn

Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

cùng thuộc một đ-ờng tròn, điểm cố định, đ-ờng cố định, các bài toán về sự
thẳng hàng, đồng quy, ... Sử dụng cực và đối cực, ph-ơng tích đ-ờng tròn
th-ờng đem lại lời giải khá hay và thú vị.
Vì vậy em chọn đề tài: Cực và đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn và
ứng dụng với hi vọng sẽ khám phá đ-ợc nhiều ứng dụng của cực và đối cựcph-ơng tích đ-ờng tròn.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về cực và đối cực - ph-ơng tích đ-ờng
tròn.
Thấy đ-ợc hiệu quả của việc giải toán bằng ph-ơng pháp cực và đối cực,
ph-ơng tích đ-ờng tròn.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống các kiến thức về cực và đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn.
Xây dựng hệ thống các bài toán có thể giải đ-ợc bằng ph-ơng pháp sử dụng
cực và đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn. Thể hiện đ-ợc ứng dụng của cực và
đối cực đối với các bài toán: về quan hệ vuông góc và song song giữa 2 đ-ờng
thẳng, chứng minh tính thẳng hàng và đồng quy, chứng minh đ-ờng thẳng đi
qua điểm cố định, liên quan tới bài toán quỹ tích. Thể hiện ứng dụng của
ph-ơng tích đối với các dạng toán: Chứng minh một số hệ thức hình học, tính
các đại l-ợng hình học, chứng minh tập hợp điểm cùng thuộc một đ-ờng tròn,
chứng minh điểm cố định, đ-ờng cố định, chứng minh tính thẳng hàng, đồng
quy.

4. Đối t-ợng, phạm vi nghiên cứu
- Đối t-ợng nghiên cứu : Cực và đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn.

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

- Phạm vi nghiên cứu : Các bài toán có thể giải đ-ợc bằng ph-ơng pháp
dùng cực và đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn.

5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Phong phú, đa dạng hóa các cách giải khác nhau đối với một số dạng
toán.
- Đơn giản hóa các yếu tố phức tạp trong lời giải một số dạng toán, giúp
cho lời giải của bài toán trở nên lôgic và ngắn gọn hơn.

Ch-ơng 1: Các kiến thức cơ bản
1.1. Cực và đối cực đối với một đ-ờng tròn
1.1.1. Định nghĩa và định lý:
Định nghĩa 1:
Hai điểm M, N gọi là liên hợp với nhau đối với đ-ờng tròn (C) nếu
đ-ờng tròn đ-ờng kính MN trực giao với đ-ờng tròn (C).
Định lý 1:

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn

Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

Quỹ tích những điểm liên hợp của một điểm cố định M đối với đ-ờng
tròn (C) tâm O là đ-ờng thẳng vuông góc với đ-ờng thẳng MO.
Định nghĩa 2:
Đ-ờng thẳng nói trong định lý 1 gọi là đ-ờng đối cực của điểm M đối
với đ-ờng tròn (C).
Định lý 2:
Nếu đ-ờng đối cực của A đi qua B thì đ-ờng đối cực của B đi qua A.
Định lý 3:
Đ-ờng đối cực của các điểm thẳng hàng thì đồng quy, cực của các đ-ờng
thẳng đồng quy thì thẳng hàng.
1.1.2. Một số cách xác định đ-ờng đối cực thông dụng
Tr-ờng hợp 1:
Khi cực S ở ngoài đ-ờng tròn (O).
Ta có hai cách dựng sau:
* Cách 1:
Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là hai tiếp điểm). Khi đó
đ-ờng đối cực của S đối với (O) là AB.

F

A
B
A
S

E

O
C

O
D
B

* Cách 2:
Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

Từ S kẻ tới (O) hai cát tuyến SAB, SCD. Giả sử AD cắt BC ở E, AC cắt
BD ở F. Khi đó đ-ờng đối cực của S đối với (O) là EF .
F

B
A
E

S

O

C

D

Tr-ờng hợp 2:
Khi cực S nằm trong đ-ờng tròn (O).
* Cách 1:
Qua S dựng đ-ờng thẳng vuông góc với OS, đ-ờng này cắt (O) tại A, B.
Tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau tại P. Khi đó đ-ờng đối cực của S đối với
(O) là đ-ờng thẳng qua P và vuông góc với OS .
P
A
A
S
O

O
B

B

* Cách 2:

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn

Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

Qua S dựng hai dây cung AB, CD. Giả sử AD cắt BC ở E, AC cắt BD ở
F. Khi đó đ-ờng đối cực của S đối với (O) là EF .
F
D

A
E

S
O

C

O
B
S

Tr-ờng hợp 3:
B

Khi S nằm trên (O).

A

Khi đó tiếp tuyến của S đối với (O) chính là đ-ờng đối cực của S đối với
(O).

M

F
D

A

O

C

D

E

N
O

C

O
B
S

1.2. Ph-ơng tích của một điểm đối với đ-ờng tròn
1.2.1. Định nghĩa và định lý
Định lý 1:
Cho đ-ờng tròn (O; R) và một điểm M trên mặt phẳng cách O một
khoảng bằng d. Từ M kẻ cát tuyến MAB tới (O).

Khi đó MA . MB = d 2 - R2

Phan Th Quyờn K33B

(*)

Khoa Toỏn

O


C
B

Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn
S Thy

B
A
M
O

C

D
N

Hình 1

Định nghĩa:
Ta gọi đại l-ợng d2 - R2 là ph-ơng tích của điểm M đối với (O), kí hiệu
là PM / (O) = d2 - R2 .

* Nhận xét:
Nếu PM / (O)

PM / (O)

0 thì M nằm ngoài (O).
0 thì M nằm trên biên (O).

PM / (O) 0 thì M nằm trong (O).
Trong nhiều bài toán, ta th-ờng sử dụng độ dài đoạn thẳng dạng hình
học và viết (*) d-ới dạng MA . MB = d2 - R2 .

Định lý 2:
Cho đ-ờng tròn (O) và một điểm M trên mặt phẳng. Từ M kẻ 2 cát tuyến
MAB, MCD thì MA . MB = MC . MD (Hình 1).
Định lý 3:

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

Cho (O) và một điểm M nằm ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến MN, cát tuyến
2

MAB. Ta có : MA . MB = MN (Hình 1).
Định lý 4:
Cho hai đ-ờng thẳng AB, CD cắt nhau tại M (khác A, B, C, D).
Nếu MA . MB = MC . MD thì 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một
đ-ờng tròn.
Định lý 5:
2

Cho hai đ-ờng thẳng AB, MN cắt nhau tại M. Nếu MA . MB = MN thì
đ-ờng tròn ngoại tiếp

ABN tiếp xúc với MN tại N.

1.2.2. Trục đẳng ph-ơng của hai đ-ờng tròn - tâm đẳng ph-ơng.
Định lý 1:
Tập hợp các điểm M có cùng ph-ơng tích đối với hai đ-ờng tròn không
đồng tâm (O1,R1), (O2,R2) là một đ-ờng thẳng vuông góc với đ-ờng thẳng nối
hai tâm O1, O2.
Nếu gọi O là trung điểm O1O2, H là hình chiếu của M trên O1O2 thì

R12 - R22
OH =
.
2O1O2
Định nghĩa 1:
Đ-ờng thẳng MH đ-ợc gọi là trục đẳng ph-ơng của hai đ-ờng tròn.

Cách dựng trục đẳng ph-ơng:
Tr-ờng hợp 1:
(O1) giao (O2) tại 2 điểm phân biệt A, B.
Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


D

Trng i hc s phm H Ni 2

O

GVHD: inh Vn Thy

O

B

Đ-ờngSthẳng qua A, B chính là trục đẳng ph-ơng của (O1) và (O2).
A
B
A

O1

O2

O

C

B
D
N

Tr-ờng hợp 2:
(O1) và (O2) chỉ có một điểm chung X.
Tiếp tuyến chung tại X của hai đ-ờng tròn là trục đẳng ph-ơng của (O 1)
và (O2).

O1

x

O2
F

B
A
E

S

Tr-ờng hợp 3:

C

O

(O1) và (O2) không có điểm chung.
Dựng đ-ờng tròn (O3) có hai điểm chung với (O1) và (O2). Dễ dàng vẽ
đ-ợc trục đẳng ph-ơng của (O1) và (O3), (O3) và (O2). Hai đ-ờng thẳng này
giao nhau tại M. Từ M kẻ MH

O1O2 .

MH chính là trục đẳng ph-ơng của (O1) và (O2).

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn

D


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

M

O2

O1
H

O3

Cách dựng này dựa trên định lý sau:
Định lý 2:
Cho ba đ-ờng tròn (O1), (O2),(O3), l1, l2, l3 theo thứ tự là trục đẳng
ph-ơng của các cặp hai đ-ờng tròn (O1) và (O2), (O2) và (O3), (O1) và (O3).
- Nếu O1, O2, O3 không thẳng hàng thì l1, l2, l3 đồng quy.
- Nếu O1, O2, O3 thẳng hàng thì l1, l2, l3 đôi một song song hoặc trùng
nhau.
Định nghĩa 2:
Điểm đồng quy của các đ-ờng thẳng l1, l2, l3 đ-ợc gọi là tâm đẳng
ph-ơng của các đ-ờng tròn O1, O2, O3.

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

Ch-ơng 2 :
Cực và đối cực đối với đ-ờng tròn
2.1. Bài toán về quan hệ vuông góc và song song giữa 2 đ-ờng
thẳng
Bài toán 1:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ-ờng tròn (O). Giả sử AC cắt BD ở M, AB
cắt CD ở N, AD cắt BC ở P. Chứng minh rằng O là trực tâm tam giác
MNP.
Lời giải:

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

B

O

C

M

P
D

A

N

Xét cực và đối cực đối với (O).
Ta thấy qua cách xác định đ-ờng đối cực của 1 điểm đối với 1 đ-ờng
tròn thì PN là đ-ờng đối cực của M đối với (O)
MP là đ-ờng đối cực của N
Từ (1) và (2)

O là trực tâm của

NO

MO

MP

NP

(1)
(2)

MNP.

* Nhận xét:
Bài toán đ-ợc chứng minh một cách đơn giản và ngắn gọn dựa trên cực
và đối cực.
Bài toán 2:
Giả sử đ-ờng tròn (O) tâm O, bán kính R. Qua M vẽ 2 dây cung CD
và EF không đi qua tâm O. Hai tiếp tuyến tại C, D của (O) cắt nhau tại A,
hai tiếp tuyến tại E, F của (O) cắt nhau tại B.
Chứng minh rằng OM và AB vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

A

GVHD: inh Vn Thy

D

E
M

O

C
F

B

Ta xét cực và đối cực đối với đ-ờng tròn (O).
Ta thấy đ-ờng đối cực của A là CD đi qua M nên đ-ờng đối cực của M
sẽ đi qua A (1)
T-ơng tự đ-ờng đối cực của M đi qua B

(2)

Từ (1) và (2) suy ra đ-ờng đối cực của M chính là AB.
AB

MO.

Bài toán 3:

Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đ-ờng thẳng d1, d2 bất kì qua A. Các
đ-ờng thẳng qua B, C t-ơng ứng vuông góc với d1, d2 cắt nhau tại D.
Đ-ờng thẳng qua B vuông góc với AB cắt d1 tại E. Đ-ờng thẳng qua C
vuông góc với AC cắt d2 tại F.
Chứng minh rằng AD vuông góc với EF.
Lời giải:

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

d4 d3
A

D

d2
F

B

C

d1

E

Xét cực và đối cực với đ-ờng tròn tâm A bán kính AB ( gọi tắt là (A)).
Ta thêm một số kí hiệu:
d3 là đ-ờng thẳng qua B và vuông góc với d1.
d4 là đ-ờng thẳng qua C và vuông góc với d2.
Ta có BE, CF là các tiếp tuyến của (A) lần l-ợt tại B, C.
Khi đó BE là đ-ờng đối cực của B

Đ-ờng đối cực của E sẽ đi qua B

và vuông góc với AE hay chính là d3.
T-ơng tự đ-ờng đối cực của F là d4.
Nh- vậy cực của EF chính là D

EF

AD.

* Nhận xét:
Trong đề bài bài toán không hề xuất hiện đ-ờng tròn nào cả. Nh-ng lại
xuất hiện một yếu tố đáng quan tâm là AB = AC. Nên xuất hiện đ-ờng tròn
tâm A bán kính AB.
Bài toán 4:
Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

Cho tam giác ABC có đ-ờng tròn nội tiếp là (I). Tiếp điểm của (I) trên
BC, CA, AB lần l-ợt là D, E, F. AD cắt (I) ở M. Đ-ờng thẳng qua M vuông
góc với AD cắt EF ở N. Chứng minh rằng AN // BC.
Lời giải:
A
M
F

N
P
E
J
G
I

B
D

C

Xét cực và đối cực đối với (I).
Gọi P là giao điểm thứ 2 của MN và (I), do

DMP = 900 nên P, I, D

thẳng hàng.
EF cắt IP, IA lần l-ợt ở J, G.

uuuur uuur
uuur uur
AE 2 AG . AI (do
Ta có AM . AD

AEI là tam giác vuông và

EG AI).
M, G, D, I cùng nằm trên một đ-ờng tròn.
Do đó :
(GM, GJ) = (GM, GA) + (GA, GJ) = (DM, DI) -

2

= (DM, DI) - (MD, MP)
= (MP, DI)
= (PM, PJ)
Tứ giác MGJP nội tiếp.
Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

Từ đó :
uur uuuv uuur uuuuv uuur uuuv
NJ . NG = NP . NM = NE . NF

uuur uuv uuur
uuur uuuv uuur uuuv
(NG + GJ).NG = (NG + GE)(NG + GF)
uuuv2 uur uuuv uuuv2 uuuv uuur uuur uuuv uuur uuuv
NG + GJ . NG = NG + NG . GF + NG . GE + GE . GF
uur uuuv
uuur uuuv uuur 2
GJ . GN = - GE . GF = GE
(Vì G là trung điểm của EF).
(NJEF) = -1

N thuộc đ-ờng đối cực của J sẽ đi qua A.

AN là đ-ờng đối cực của J.
Khi đó IJ

AN mà IJ

BC nên AN // BC .

* Nhận xét:
Có thể khái quát ý t-ởng dùng cực và đối cực để chứng minh tính song
song nh- sau : Giả sử có 2 đường thẳng d, d và đường tròn (O). Để chứng
minh d

d ta cần chứng minh tâm O nằm trên đường nối 2 cực của d và d

đối với (O) (Tr-ờng hợp có 1 trong 2 đ-ờng đi qua tâm đ-ờng tròn xét cực và
đối cực thì đơn giản hơn).
2.2 Chứng minh tính thẳng hàng và đồng quy

Bài toán 1: (Định lý Brianchon)
Chứng minh rằng 3 đ-ờng chéo của 1 lục giác ngoại tiếp đồng quy.
Lời giải:

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

A

GVHD: inh Vn Thy

M
B

S
N
F
R

C

E

P
Q
D

Ta ký hiệu ABCDEF là lục giác ngoại tiếp (O). Tiếp điểm của (O) trên
AB, BC, CD, DE, EF, FA lần l-ợt là M, N, P, Q, R, S.
Xét cực và đối cực với (O).
Gọi I, J, K lần l-ợt là giao điểm của các cặp đ-ờng thẳng (SM, PQ),
(MN, QR), (NP, RS).
Nh- vậy lục giác MNPQRS nội tiếp nên theo định lý Pascal ta có I, J, K
thẳng hàng.
Nên ta có các đ-ờng đối cực của I, J, K đồng quy.
Mặt khác ta có A là cực của SM, I

SM.

Đ-ơng đối cực của I đi qua A.
D là cực của PQ, I

PQ.

Đ-ờng đối cực của I đi qua D.
Từ (1) và (2)

(1)
(2)

Đ-ờng đối cực của I là AD.

Hoàn toàn t-ơng tự ta có : BE là đ-ờng đối cực của J.
CF là đ-ờng đối cực của K.
Vậy AD, BE, CF đồng quy.

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

Bài toán 2:
Cho tam giác ABC với (I) là đ-ờng tròn nội tiếp. Tiếp điểm của (I)
trên BC, CA, AB lần l-ợt là D, E, F. Gọi M, N, P lần l-ợt là điểm chung
của các cặp đ-ờng thẳng (EF, BC), (DF, CA), (DE, AB).
Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Lời giải:

P

N

A
E
F
I

C

M

B

D

Xét cực và đối cực đối với (I).
Do đ-ờng đối cực của A là EF đi qua M.
Đ-ờng đối cực của M sẽ đi qua A.
Mà: MD là tiếp tuyến của (I) tại D.
MD là đ-ờng đối cực của D.
Đ-ờng đối cực của M đi qua D.
Suy ra đ-ờng đối cực của M là AD.
Hoàn toàn t-ơng tự ta có: Đ-ờng đối cực của N là BE.
Đ-ờng đối cực của P là CF.
Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

Mặt khác AD, BE, CF đồng quy (vì là 3 đ-ờng phân giác trong của tam
giác ABC).
Suy ra M, N, P thẳng hàng.
* Nhận xét:
Bài toán trên có thể mở rộng nh- sau:
Cho tam giác ABC và 3 điểm D, E, F theo thứ tự thuộc BC, CA, AB
sao cho AD, BE, CF đồng quy và D, E, F khác trung điểm đoạn thẳng. Gọi
M, N, P lần l-ợt là điểm chung của các cặp đ-ờng thẳng (EF, BC), (DF,
CA), (DE, AB). Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.

(Bài toán này có thể giải bằng định lý Menelaus).
Bài toán 3:
Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). Tiếp tuyến của (I) trên BC, CA, AB
lần l-ợt là D, E, F. Trên BC ta lấy điểm M, trên AC lấy điểm N sao cho IM //
EF, IN // DF. Chứng minh rằng AM, BN, IF đồng quy.
Lời giải:
N

A
E
P

S
F
Q

M
B

I
D

C

Xét cực và đối cực đối với đ-ờng tròn (I).
Kẻ DP, EQ lần l-ợt vuông góc với FE, FD.
Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn

Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

Gọi giao điểm của AM và BN là S.
Khi đó: đ-ờng đối cực của M phải đi qua D và vuông góc với IM.
Do IM // EF, DP

EF nên IM

DP

DP là đ-ờng đối cực của M.

P thuộc đ-ờng đối cực của M, mà P thuộc EF là đ-ờng đối cực của A
nên suy ra AM là đ-ờng đối cực của P.

(1)

T-ơng tự nh- vậy BN là đ-ờng đối cực của Q.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra PQ là đ-ờng đối cực của S.
Mặt khác: tứ giác PQDE nội tiếp nên

QDE = FPQ .

Mà AFE = QDE (góc nội tiếp cùng chắn một cung).

Suy ra

AFE = FPQ

Lại có IF

AB

IF

AB // PQ .
PQ, mà SI

PQ

S, F, I thẳng hàng.

Kết luận: AM, BN, IF đồng quy.

Bài toán 4:
Cho tam giác ABC, đ-ờng tròn nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB lần l-ợt
tại D, E, F. Đ-ờng tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF, FD, DE lần
l-ợt tại M, P, N. Chứng minh rằng AM, BP, CN đồng quy.
Lời giải:

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn

Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

B

K

F
A

P
M
I

L

E

O
D

N

C

H

Gọi O, I lần l-ợt là tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC, DEF. Gọi H,
K, L lần l-ợt là giao điểm của các cặp đ-ờng thẳng (NP, EF), (MN, FD), (MP,

DE).
Theo bài toán 2 ta có H, K, L thẳng hàng.

(*)

Xét tứ giác toàn phần EFPN.
Gọi T là giao điểm của EP, FN.
Khi đó tứ giác toàn phần EFPN có H, T là 2 điểm chéo, nối HT cắt FD,
ED lần l-ợt tại K1, K2 .
Khi đó (K1K2HT) = -1

DH, DM, DF, DE là 1 chùm điều hòa.

(MHEF) = -1.
Do đó M thuộc đ-ờng đối cực của H đối với (O).
Mặt khác : A thuộc đ-ờng đối cực của H đối với (O) nên ta có AM là
đ-ờng đối cực của H đối với (O).

Phan Th Quyờn K33B

(1)

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

T-ơng tự ta có: BP là đ-ờng đối cực của K đối với đ-ờng tròn (O).

CN là đ-ờng đối cực của L đối với đ-ờng tròn (O).
Từ (*), (1), (2), (3)

(2)

(3)

AM, BP, CN đồng quy.

Bài toán 5:
Trong tam giác ABC kẻ các đ-ờng cao AA , BB , CC và gọi H là
trực tâm của tam giác. Gọi J là một giao điểm của AA với đ-ờng tròn (I)
đ-ờng kính BC.
Chứng minh rằng BC, B C và tiếp tuyến tại J của (I) đồng quy.
Lời giải:
A

J1

S

B

C

C

H
A

I
B
J

2

Gọi giao điểm của AA với (I) là J1, J2. Thế thì J sẽ là J1 hoặc J2.
Ta sẽ chứng minh BC, B C với tiếp tuyến của (I) tại J1 đồng quy (với J2
t-ơng tự).
Xét cực và đối cực đối với (I).
Gọi giao điểm của BC và B C là S.

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

Ta có AH là đ-ờng đối cực của S, mà AH đi qua J1 nên đ-ờng đối cực
của J1 sẽ đi qua S.
Lại có J1 là tiếp tuyến với (I) tại J1 nên suy ra BC, B C và tiếp tuyến tại
J1 của (I) đồng quy.
T-ơng tự đối với J2.
Vậy BC, B C và tiếp tuyến tại J của (I) đồng quy.
* Nhận xét:
ở bài toán này ta thấy BC không hề có cực nh-ng bài toán vẫn đ-ợc giải
quyết 1 cách đơn giản.

Bài toán có thể hỏi thêm nh- sau: chứng minh rằng AI
Thật vậy: SH là đ-ờng đối cực của A nên AI

SH.

SH.

2.3. Chứng minh đ-ờng thẳng đi qua điểm cố định
Bài toán 1:
Cho đ-ờng tròn (O) và 1 đ-ờng thẳng d nằm ngoài (O). Điểm S chạy
trên (O). Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B là tiếp điểm).
Chứng minh rằng khi S chạy trên d thì AB luôn đi qua 1 điểm cố định.
Lời giải:

A
O

B

d

S

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

GVHD: inh Vn Thy

Xét cực và đối cực đối với đ-ờng tròn (O).
Gọi I là cực của d, vì d cố định nên I cố định.
S lại là điểm thuộc đ-ờng thẳng cố định d nên đ-ờng đối cực của S sẽ đi
qua cực của d hay AB sẽ đi qua I cố định.
Nhận xét: Bài toán trở nên thật đơn giản khi ta dùng cực và đối cực.
Bài toán 2:
Cho góc xOy cố định và điểm A cố định nằm trên tia Ox. Đ-ờng tròn
(I) thay đổi nh-ng luôn tiếp xúc với hai tia Ox, Oy. Gọi tiếp điểm của (I)
trên Ox, Oy lần l-ợt là B, C. Từ A ta kẻ tiếp tuyến AD tới (I) (D là tiếp điểm,
D khác B). OI cắt BD ở E. Gọi d là đ-ờng thẳng đi qua I và vuông góc với
CE.
Chứng minh rằng khi (I) di động (nh-ng vẫn thỏa mãn điều kiện bài
toán) thì d luôn đi qua 1 điểm cố định.
Lời giải:
x
A

B

E
I

D
y

O

C

F
d

Xét cực và đối cực đối với (I).
Gọi giao điểm của d và Oy là F.
Khi đó : đ-ờng đối cực của F là CE.
Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn


Trng i hc s phm H Ni 2

Đ-ờng đối cực của E đi qua F

GVHD: inh Vn Thy

(1)

Đ-ờng đối cực của A là BD qua E.
Đ-ờng đối cực của E đi qua A.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra AF là đ-ờng đối cực của E.
Khi đó AF

EI

Mặt khác : do EI là phân giác trong góc xOy; A cố định.
F cố định.
Nh- vậy d luôn đi qua 1 điểm cố định là F.
2.4. Liên quan tới bài toán quỹ tích
Ph-ơng pháp ở phần này hữu ích với những bài toán quỹ tích có đoạn
thẳng. Ng-ợc lại với phần trên, ta sẽ quy bài toán quỹ tích về bài toán chứng
minh đ-ờng thẳng đi qua điểm cố định.

Bài toán 1:
Cho đ-ờng tròn (O;R) và điểm A cố định nằm trong đ-ờng tròn. Điểm
B di động trên đ-ờng tròn (O). Qua O vẽ đ-ờng thẳng vuông góc với AB cắt
tiếp tuyến tại B của đ-ờng tròn tại C.
Tìm tập hợp điểm C.
Lời giải:

* Phần thuận:

Phan Th Quyờn K33B

Khoa Toỏn