Cực và đối cực

Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện luận văn này ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản
thân tôi còn được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của Thầy Bùi Văn Bình cùng
những đóng góp quý báu của các thầy, các cô trong tổ hình học. Tôi xin được
bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy Bùi Văn Bình và các thầy
cô trong tổ hình học đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, Ngày 10 tháng 5 năm 2011
Người thực hiện

Bùi Thu Hương

-1-


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này hoàn thành là kết quả của quá trình tích lũy kiến thức
của bản thân dưới mái trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và quá trình tìm
tòi, nghiên cứu, cùng với sự chỉ bảo tận tình của Thầy giáo Bùi Văn Bình.
Vì vậy tôi xin cam đoan rằng luận văn này không trùng với bất kì luận
văn nào trước đó.

-2-

Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

MỤC LỤC
Trang
PHẦN I: MỞ ĐẦU..........................................................................................4
PHẦN II: NỘI DUNG ....................................................................................5
Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.................................................5
I: Hệ thức lượng trong đường tròn ..............................................5
II: Định nghĩa và tính chất của cực và đối cực.............................7
Chương II: ỨNG DỤNG CỦA CỰC VÀ ĐỐI CỰC VÀO GIẢI
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC…………......................................................13
§1: Bài toán về quan hệ vuông góc và quan hệ song song giữa
hai đường thẳng…………….………………………………….…………….13
§2: Bài toán chứng minh tính thẳng hàng và đồng quy..............19
§3: Bài toán chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định…...26
§4: Liên quan đến bài toán quỹ tích ...........................................30
§5: Một số bài toán khác.............................................................32

Chương III: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ…………………………..….……36
KẾT LUẬN ...................................................................................................42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................43

-3-


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học phản ánh thực tại thế giới tự nhiên và toàn
bộ đời sống xã hội, Toán học vừa là nền tảng vừa là công cụ thiết yếu giúp ta
nghiên cứu các môn khác.
Hình học là một trong những môn khó trong chương trình toán phổ
thông, đặc biệt là lý thuyết về cực và đối cực, học sinh ít được tiếp xúc và khi
tiếp cận vấn đề này thường bỡ ngỡ và lúng túng. Tuy nhiên, cực và đối cực lại
được áp dụng để giải khá nhiều bài toán hình học phẳng. Nhiều bài toán nếu
không dùng cực và đối cực thì con đường đến lời giải có lẽ sẽ phức tạp hơn
rất nhiều. Ngoài ra, sử dụng cực và đối cực cho những bài toán có dạng nào
cũng là một vấn đề nhiều bạn đọc quan tâm. Do đó tôi chọn đề tài “cực và đối
cực”.
II. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về cực và đối cực.
Xây dựng hệ thống các bài tập ứng dụng cực và đối cực trong việc giải
các bài toán hình học: Bài toán về quan hệ vuông góc và quan hệ song song
giữa hai đường thẳng, bài toán chứng minh tính thẳng hàng và đồng quy, bài
toán chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định, bài toán quỹ tích, một số
bài toán khác.
III. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các giáo trình hình học, tạp chí toán học tuổi trẻ và các tài
liệu có liên quan.

-4-

Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

PHẦN II:NỘI DUNG
CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
I. Hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn
1.1. Phƣơng tích của một điểm đối với một đƣờng tròn
Cho đường tròn (O,R) nằm trong mặt phẳng (P), điểm M thuộc Δ
nằm trong (P), đường thẳng Δ cắt đường tròn (O) tại A và B.

M
A
B
O

Tích MA.MB không đổi khi Δ quay quanh M được gọi là phương tích của
M đối với (O).
Kí hiệu: P M/(O).
Nếu M nằm ngoài (O) thì P M/(O)= MA.MB= MT 2 .
Nếu M nằm trong (O) thì P M/(O)= -MA.MB.
Nếu M nằm trên (O) thì

P M/(O)= 0.

1.2. Trục đẳng phƣơng của hai đƣờng tròn
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) không đồng tâm.
Khi đó, quỹ tích những điểm có cùng phương tích với hai đường tròn đã cho
là đường thẳng Δ được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn;

Δ O1 O 2 .

-5-


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

2. Chùm đƣờng tròn
2.1. Định nghĩa
Tập hợp tất cả các đường tròn nằm trong mặt phẳng thỏa mãn có một
đường thẳng cố định Δ sao cho mọi cặp đường tròn phân biệt của tập hợp
đều nhận Δ làm trục đẳng phương.
2.2. Định lý
Một tập hợp các đường tròn trong mặt phẳng sẽ là bộ phận của chùm
đường tròn nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
i) Tồn tại hai điểm phân biệt mà mỗi điểm có cùng phương tích với mọi
đường tròn của tập hợp.
ii) Tâm của các đường tròn thuộc tập hợp thẳng hàng và có một điểm
có cùng phương tích đối với mọi đường tròn của tập hợp.
3. Hai đƣờng tròn trực giao
3.1. Định nghĩa
Hai đường tròn (O) và (O’) được gọi là vuông góc với nhau nếu chúng
cắt nhau và tiếp tuyến tại điểm chung của chúng vuông góc với nhau.
Kí hiệu: (O)

(O’).
c2
A

R O

R'
B
c1

O'

-6-


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

3.2. Định lý
Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) , khi đó bốn điều sau đây là
tương đương:
i) (O)

(O’)

ii) O’O 2 =R’ 2 +R 2
iii)

P O/(O’)= R 2

hoặc P O’/(O)= R’ 2

iv) Đường kính của đường tròn này bị đường tròn kia chia
điều hòa.
II. Định nghĩa và tính chất của cực và đối cực
1. Đƣờng đối cực của một điểm đối với hai đƣờng thẳng
1.1. Định nghĩa 1
Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với hai đường đồng quy
Ox và Oy nếu chúng liên hợp với nhau đối với các giao điểm A, B của Ox và
Oy với đường thẳng MN.
O

M

A

N

B
y

x

1.2. Định nghĩa 2
Quỹ tích những điểm N gọi là đường đối cực của điểm M đối với hai
đường thẳng đồng quy Ox, Oy.
1.3. Định lí
Quỹ tích những điểm N liên hợp của điểm M cố định với hai đường
thẳng đồng quy Ox và Oy là một đường thẳng đi qua O.

-7-

Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

Chứng minh:
Giả sử N là điểm liên hợp của N đối với A và B. Khi đó, ta có chùm
(OM. ON, OA, OB) là chùm điều hòa vậy nếu vẽ một cát tuyến khác qua M
thì điểm liên hợp của M trên cát tuyến đó sẽ nằm trên đường thẳng ON.
Ngược lại: mọi điểm của đường thẳng ON sẽ là điểm liên hợp của M
(tính chất chùm điều hòa) .
1.4. Dựng đƣờng đối cực của điểm M đối với hai đƣờng thẳng Ox, Oy
*Nếu P và Q là hai điểm liên hợp của M đối với Ox, Oy thì đường
thẳng PQ đi qua O. Mặt khác, P và Q cũng là liên hợp của M đối với hai
đường thẳng AD và BC nên PQ phải đi qua giao điểm Icủa AD và BC.
*Cách dựng:

O

B
P
A
J
M

D
C

Q

x

y

Vẽ hai cát tuyến bất kì MAB và MCD qua M. OJ chính là đường đối cực
của M.
1.5. Tính chất điều hòa của tứ giác toàn phần
Định lý: Mỗi đường chéo của tứ đỉnh toàn phần bị hai đường chéo
còn lại chia điều hòa.
Chứng minh:

-8-


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

K

F

J
D
A

I

E

C

B

Giả sử A, B, C, D, E, F là sáu đỉnh của tứ giác toàn phần với các đường
chéo AB, CD, EF và các điểm chéo I, J, K.
Theo cách dựng đường đối cực đã nêu ở trên thì FI là đường đối cực của E
đối với hai cạnh FAC và FDB.
Vì vậy, F(CBIE) là một chùm điều hòa, từ đó suy ra (ABIJ) = -1 hay
AB bị hai đường chéo còn lại chia điều hòa.
Chứng minh tương tự ta cũng suy ra đươc hai đường chéo CD và EF
cũng bị hai đường chéo còn lại chia điều hòa .
2. Đƣờng đối cực và cực đối với một đƣờng tròn
2.1. Định nghĩa 1
Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau với một đường tròn nếu
chúng liên hợp với hai giao điểm A, B của đường tròn với đường thẳng MN.
2.2. Định nghĩa 2
Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với đường tròn (C) nếu
đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (C).

-9-


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

2.3. Định lí
Quỹ tích những điểm liên hợp của một điểm cố định M đối với đường
tròn (C) tâm O là đường vuông góc với đường thẳng MO.

Chứng minh:
m
c1

N

A H

c2

O

B

M

Nếu N là điểm liên hợp của M đối với đường tròn (c2 ) thì đường tròn
(c1 ) đường kính MN sẽ trực giao với đường tròn (c 2 ) .Đường kính AB của

đường tròn (c2 ) đi qua M sẽ bị đường tròn (c1 ) chia điều hòa tức là bị đường
tròn (c1 ) cắt tại điểm H liên hợp của M đối với A, B.
Ta thấy H cố định vì M, A, B cố định.
·
=1v nên: N nằm trên đường vuông góc với OM tại H
Vì MHN

Ngược lại, nếu N nằm trên đường thẳng m thì đường tròn đường kính
MN phải qua H tức là đường tròn này trực giao với đường tròn (c2 ) .
Vậy M, N liên hợp với nhau với đường tròn (c2 ) .
2.4. Định nghĩa 3

Đường thẳng nói trên gọi là đường đối cực của điểm M đối với đường
tròn (C).

- 10 -


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

2.5. Dựng đƣờng đối cực của một điểm M đối với một đƣờng tròn (C)
* Qua M vẽ hai cát tuyến MAB và MCD. Nếu P, Q là các điểm liên
hợp của M ở trên các cát tuyến đó đối với đường tròn (C) thì chúng cũng là
những điểm liên hợp của M đối với các cặp đường thẳng (AD,BC) và
(AC,BD).
Vì vậy, đường PQ đi qua các giao điểm I của AD và BC, giao điểm J của
AC và BD.
* Cách dựng:

J

A

B
I

M
C

+ Dựng cát tuyến MAB và MCD

+ Dựng I = AD BC
+ Dựng J = AC BD
+ IJ là đường thẳng cần dựng.
2.6. Các định lí cơ bản

- 11 -

O
D


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

2.6.1. Định lí 1
Nếu đường đối cực của A đi qua B thì đường đối cực của B đi qua A.
Chứng minh:
Nếu B nằm trên đường đối cực của A thì A, B là hai điểm liên hợp
nhau đối với đường tròn (C), mà quỹ tích các điểm liên hợp của B là đường
đối cực của B. Vậy A phải nằm trên đường đối cực của B.
2.6.2. Định lí 2
Đường đối cực của các điểm thẳng hàng thì đồng quy, cực của
các đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng.
Chứng minh:
Giả sử các điểm A1 ,A 2 ,...,A n thuộc đường thẳng b và B là cực của b. Vì
đường đối cực b của B qua A1 ,A 2 ,...,A n nên các đường đối cực a1 ,a 2 ,...,a n của
A1 ,A 2 ,...,A n phải đi qua B.

Phần còn lại của định lý: Giả sử có các điểm A1 ,A 2 ,...,A n là các cực

tương ứng của các đường thẳng a1 ,a 2 ,...,a n đồng quy tại O. Khi đó ta có, O
nằm trên đường đối cực a 1 của A1 nên A1 nằm trên đường đối cực của O.
Tương tự ta cũng có A 2 ,...,A n cũng nằm trên đường đối cực của O.
Vậy A1 ,A 2 ,...,A n thẳng hàng .

- 12 -


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

CHƢƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA CỰC VÀ ĐỐI CỰC
§1. BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC
VÀ QUAN HỆ SONG SONG GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG
Bài 1: Cho đường tròn (O,R) và một điểm M nằm trong đường tròn.
Qua M vẽ hai dây cung CD và EF không đi qua tâm O. Hai tiếp tuyến taị C, D
của (O) cắt nhau tại A, hai tiếp tuyến tại E, F của (O) cắt nhau tại B. Chứng
minh rằng OM

AB .

Giải:
B

D

A
E
C

F

M

O

Xét cực và đối cực đối với (O).
Ta có: Đường đối cực của A là CD đi qua M

đường đối cực của M qua A.

Đường đối cực của B là EF đi qua M

đường đối cực của M qua B.

đường đối cực của M là AB
OM AB .
Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . Giả sử AC cắt BD
ở M , AB cắt CD ở N, AD cắt BC ở P. Chứng minh rằng O là trực tâm ∆
MNP.

- 13 -


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

Giải:

P

B
A
N

M

0

D

C

Xét cực và đối cực đối với (O)
Theo giả thiết ta có : PM là đường đối cực của N nên có ON

PM

NM là đường đối cực của P nên có OP MN
O là trực tâm của

MNP .

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường thẳng d1 , d 2 bất kì
qua A. Các đường thẳng qua B,C tương ứng vuông góc với d1 , d 2 cắt nhau tại
D. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt d1 tại E. Đường thẳng qua C
vuông góc với AC cắt d 2 tại F. Chứng minh rằng AD EF.
Giải:

- 14 -


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

A

d2

d1

d4
d3

B

C
D

E

F

Gọi d 3 là đường thẳng qua B và vuông góc với d1 ,
d 4 là đường thẳng qua C và vuông góc với d 2

Xét cực và đối cực đối với đường tròn (A, AB). Kí hiệu là (A).

Ta có BE, CF là các tiếp tuyến của (A),
Đường đối cực của E sẽ đi qua B và vuông góc với AE hay chính là d 3 .
Đường đối cực của F sẽ đi qua C và vuông góc với AF hay chính là d 4
cực của EF chính là D.
Vậy AD EF .
Bài 4: Cho ∆ ABC với các đường cao BB’, CC’. Gọi E,F lần lượt là
trung điểm của AC,AB. EF cắt B’C’ ở K. Chứng minh rằng AK vuông góc
với đường thẳng Euler của ∆ ABC.
Giải:

- 15 -


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

A

E
F
C'

K

I
G

B'
H

C

B

Ta xét cực và đối cực đối với đường tròn Euler của ∆ ABC.
Kí hiệu là (S) với S là tâm.
Gọi

I= FB’ EC’.
G= CF

BE,

H=BB’

CC’

Sử dụng định lí Pappus cho 2 bộ 3 điểm (F, C’, B) và (E, B’, C) ta suy ra H,
G, I thẳng hàng .
Do đó SI chính là đường thẳng Euler của ∆ ABC (1)
Mặt khác, 4 điểm E, F, B’, C’ cùng nằm trên (S) thì suy ra AK chính là đường
đối cực của I,
SI AK (2).

- 16 -


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

Từ (1) và (2) suy ra AK vuông góc với đường thẳng Euler của ∆ ABC .
Bài 5: Cho ∆ ABC có đường tròn nội tiếp là (I). Tiếp điểm của (I) trên
BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. AD cắt lại (I) ở M. Đường thẳng qua M
vuông góc với AD cắt EF ở N. CMR AN//BC.
Giải:
N

A

M

P
E
G

J
I

F

C
D

B

Xét cực và đối cực đối với (I).
Gọi P là giao điểm thứ hai của NM với (I). Ta có: D,P,I thẳng hàng.
Gọi J = EF IP, G = EF

IA.

Ta thấy AM.AD=AE 2 =AG.AI suy ra M, G, I, D nội tiếp.

π
Do đó: (MG, MF) ≡ (GA, GF) – (GA, GM) ≡ - (DI, DM) ≡
2
≡ (MD, MP) - (DI, DM) ≡ (PM, PD) (mod π ).
Tứ giác MGJP nội tiếp.
Từ đó có: NJ.NG=NP.NM=NE.NF
G là trung điểm của EF nên ta suy ra (NJEF) = -1 hay N thuộc đường đối cực
của J (1)
Mặt khác, đường đối cực của A là EF đi qua J
nên đường đối cực của J đi qua A (2)

- 17 -


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

Từ (1) và (2) suy ra đường đối cực của J là AN

IJ

AN.

Mà IJ BC nên AN // BC .

Kết luận :
Để chứng minh tính song song ta làm như sau:
Giả sử có hai đường thẳng d,d’ và đường tròn (O) .
Để chứng minh d//d’ ta cần chứng minh tâm O nằm trên đường nối 2 cực
của d và d’ đối với (O)

- 18 -


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

§2. CHỨNG MINH TÍNH THẲNG HÀNG
VÀ ĐỒNG QUY
Bài 1: (định lí brianchon) Chứng minh rằng ba đường chéo của một lục
giác đồng quy.
Giải:

I

A

M

B

S

N

C

O
F

P
D

R
E

Q

J

Ta kí hiệu ABCDEF là lục giác ngoại tiếp (O).
Tiếp điểm của (O) trên AB, BC, CD, DE, EF, FA lần lượt là M, N, P, Q, R, S.
Xét cực và đối cực đối với (O)
Gọi I = SM PQ,J = MN QR,K = NP

RS.

Dùng định lí Pascal cho lục giác nội tiếp MNPQRS ta có I, J, K thẳng hàng
Các đường đối cực của I, J, K đồng quy.
Mà các đường đối cực của I, J, K lần lượt là AD, BE, CF nên ta có AD,
BE, CF đồng quy .

- 19 -

Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

Bài 2: Cho ∆ ABC, đường tròn nội tiếp ∆ ABC tiếp xúc với BC, CA,
AB lần lượt tại D, E, F. Đường tròn nội tiếp ∆ DEF tiếp xúc với EF, FD, DE
lần lượt tại M, N, P. CMR các đường thẳng AM, BP, CN đồng quy.
Giải:
L

K

A
E
M
F

I O P
N

C
D

B
H

Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC và ∆ DEF
Gọi H= NP EF, K= MP FD, L= MN

DE.

Theo bài 1 ta có H, K, L thẳng hàng (*)
Vì DM, FN, EP đồng quy nên (HMFE) = -1
Do đó M thuộc đường đối cực của H đối với (O)
Mặt khác, A thuộc đường đối cực của H đối với (O) nên ta có AM là đường
đối cực của H đối với (O) (1)
Tương tự , BP là đường đối cực của K đối với (O) (2)
CN là đường đối cực của L đối với (O) (3)
Từ (1)(2)(3)(*) ta có AM, BP, CN đồng quy .

- 20 -


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

Bài toán này có thể mở rộng ra nhƣ sau:
Cho tam giác ABC. D,E,F thuộc AB, CA, AB sao cho AD, BE, CF
đồng quy. M, P, N thuộc EF, FD, DE sao cho DM, EP, FN đồng quy. Chứng
minh rằng AM, BP, CN đồng quy.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). M,N lần lượt là trung điểm của
AB, CD.(ABN) cắt lại CD ở P.(CDM) cắt lại AB ở Q. Chứng minh rằng AC,
PQ, BD đồng quy.
Giải:

B
M

Q
A

I
O
C

N

S
D

P

TH1: AB//CD. Khi đó, ABCD là hình chữ nhật

Q M,P N . Suy ra,

AC, BD, PQ đồng quy tại tâm của hcn ABCD.
TH2: AB

CD = S

Gọi d là đường đối cực của S đối với (O)
Gọi I =AC BD thì I d (1)
Ta có SM.SQ=SC.SD=SA.SB
Vì M là trung điểm của AB nên ta có (SQAB)= -1

- 21 -

Q d (2)


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

Tương tự ta có P d (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra AC,PQ,BD đồng quy .
Bài 4: Trong ∆ ABC kẻ các đường cao AA’, BB’, CC’ và gọi H là trực
tâm của tam giác. Gọi J là một giao điểm của AA’ với đường tròn (O) đường
kính BC . Chứng minh rằng BC, B’C’ và tiếp tuyến tại J của (O) đồng quy.
Giải:
A

J1
C'

B'
H
o

S
C

A'

B

J2

Gọi giao điểm của AH với (O) là J1 ,J 2 . Thế thì J sẽ là J1 hoặc J 2 .
Ta sẽ chứng minh BC, B’C’ và tiếp tuyến tại J1 của (O) đồng quy ( trường
hợp với J 2 thì ta làm tương tự).
Xét cực và đối cực đối với (O)
Gọi S= BC B’C’
Ta có AH là đường đối cực của S mà AH đi qua J nên đường đối cực của J1
sẽ đi qua S hay tiếp tuyến tại J1 đi qua S.
Vậy ta có điều phải chứng minh .

- 22 -


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

Bài 5: Cho ∆ABC ngoại tiếp (I). Tiếp điểm của (I) trên BC, CA, AB
lần lượt là D, E, F. Trên BC lấy M, trên AC lấy N sao cho IM//EF, IN//DF.
Chứng minh rằng AM, BN, IF đồng quy.
Giải:
N

A
E

S

P

F

I
Q

C
D

B
M

Xét cực và đối cực đối với (I)
Kẻ DP, EQ lần lượt vuông góc với EF, FD.
Gọi S=AM BN, khi đó I, F, S thẳng hàng.
Ta thấy đường đối cực của M đi qua D và vuông góc với IM mà IM//EF
nên ta suy ra DP là đường đối cực của M.
P thuộc đường đối cực của M (1)
Mà P thuộc EF là đường đối cực của A (2)
Từ (1) (2) suy ra AM là đường đối cực của P (3)
Tương tự, B là đường đối cực của Q (4)
Từ (3) (4) ta suy ra đường đối cực của S là PQ.
Mặt khác, (PF,PQ) (DE,DQ) (FB,FQ)(modπ)
Suy ra PQ //AB.
Vậy AM, BN, IF đồng quy .

- 23 -


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

Bài 6: Gọi M, N, P tương ứng là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp
∆ABC với các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng trực tâm ∆MNP , tâm

đường tròn nội tiếp ∆ABC, tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC thẳng hàng.
Giải:
V

A
P
D
M

E

H
I

C
O

N
B
S

Gọi (I) (O) lần lượt là các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ∆ ABC.
Gọi H là trực tâm của ∆ MNP
Xét cực và đối cực đối với (I)

Kẻ DN

MP, ME NP.

Trên BC lấy S sao cho SI

ND

Trên AB lấy V sao cho IV EM
VS là đường đối cực của H nên SV IH (1)
Mà SI2 =SB.SC
Do đó : VS

S thuộc trục đẳng phương của (I, O) và (O).

OI (2)

Từ (1)(2) suy ra I,O,H thẳng hàng .

- 24 -


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thu Hương-K33A.Toán

Bài 7: Cho ∆ABC không cân, các điểm I,O lần lượt là tâm đường tròn
nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC. Các phân giác ngoài góc A,B,C cắt các
cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng
và đường thẳng A’B’C’ vuông góc với OI.

Giải:

B

D

O
N
F

P

I

C

G
M

E

A

A'

Tiếp điểm của đường tròn (I) nội tiếp tam giác trên BC, CA, AB lần lượt là
D, E, F.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của EF, FD, DE.
Xét cực và đối cực đối với (I)
Ta có AA’ là đường đối cực của M nên A’ thuộc đường đối cực của M

Mà A' BC là đường đối cực của D nên đường đối cực của A’ là DM (1)
Tương tự, đường đối cực của B’, C’ lần lượt là EN, FP (2)
Mà DM, EN, FP đồng quy tại trọng tâm G của ∆DEF (3)
Từ (1)(2)(3) ta có A’, B’, C’ thẳng hàng và đường thẳng A’B’C’ vuông góc
với IG ( là đường thẳng Euler của ∆DEF)
Kết hợp điều này với kết quả bài toán trên ta có đpcm .

- 25 -