Cung song chính quy định hướng trong e3

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã có những
nhận xét quý báu, động viên giúp đỡ em để em hoàn thành khóa luận này
trong suốt thời gian vừa qua. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành
nhất tới thầy Nguyễn Năng Tâm đã tạo điều kiện thuận lợi và chỉ bảo tận tình
để em có thể hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên

Lê Thị Hảo

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận được hoàn thành với sự chỉ bảo của các thầy cô giáo trong
khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy
giáo Nguyễn Năng Tâm.
Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn. Em xin khẳng định kết quả của đề tài này
không có sự trùng lặp với kết quả của đề tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn
toàn trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
L ê T h ị H ảo

2

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 4
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 6
1. Không gian Euclid ..................................................................................... 6
2. Hàm vectơ .................................................................................................. 7
3. Cung tham số ............................................................................................. 8
4. Ánh xạ khả vi ............................................................................................. 8
5. Trường vectơ dọc một cung tham số ......................................................... 9
6. Đạo hàm của trường vectơ dọc cung tham số ............................................ 9
Chương 2. CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG E3..... 11
§1 Cung trong E3 .......................................................................................... 11
1. Cung trong E3 ........................................................................................ 11
2. Cung chính quy ..................................................................................... 12
3. Cung định hướng .................................................................................. 12
§2 Độ dài cung. Tham số hóa tự nhiên của cung chính quy ........................ 19
1. Độ dài cung ........................................................................................... 19
2. Mặt phẳng mật tiếp của cung tại điểm song chính quy ........................ 22
3. Tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy .................................... 25
§3 Cung song chính quy trong

3

, độ cong và độ xoắn của nó .................. 28

1. Độ cong và độ xoắn .............................................................................. 28
2. Cung song chính quy ............................................................................ 32
Chương 3. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH
HƢỚNG TRONG E3 ..................................................................................... 36

KẾT LUẬN .................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 45

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn học nghiên cứu về các số, cấu trúc không gian và các
phép biến đổi. Nói một cách khác người ta cho rằng đó là môn học về “Hình
và Số”.
Bên cạnh sự phát triển của “Số” thì “Hình” cũng là một bộ phận lớn hết
sức phát triển và đa dạng với nhiều môn học như: Hình xạ ảnh, hình Euclid,
hình học vi phân...Trong đó Hình học vi phân là môn có tính hệ thống cao,
chặt chẽ, tính logic, và trừu tượng cao. Ở đó, các khái niệm về cung, cung
song chính quy , cung định hướng...là những khái niệm hết sức cơ bản.Tuy
nhiên, những vấn đề này còn trình bày một cách sơ lược chưa được phân loại
và hệ thông một cách chi tiết.
Xuất phát từ mong muốn và niềm đam mê tìm hiểu sâu hơn về vấn đề
này em đã quyết định chọn đề tài: “Cung song chính quy định hƣớng trong
E3” làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao các kiến thức của
cung song chính quy định hướng trong E3.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Kiến thức về cung song chính quy định hướng trong E3.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Khái niệm về cung, cung chính quy, cung song chính quy trong E3 và
một số bài toán liên quan.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về cung song chính quy định hướng trong E3.

4


5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng kết các tài liệu.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu, luận văn gồm các
chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Cung song chính quy định hướng trong E3.
Chương 3: Một số bài tập về cung song chính quy định hướng trong E3.

5


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng ta sẽ nói tới một số định nghĩa, kí hiệu, và
một số định lí cơ bản được sử dụng trong khóa luận này.

1. Không gian Euclid
1.1. Định nghĩa (xem [4], tr. 139)
Cho V là một ¡ - không gian vectơ. Khi đó tích vô hướng trên V là
ánh xạ:
<. , .> : V V
r ur
x, y a

thỏa mãn 4 tiên đề sau:
r ur
ur r
i)
x, y
y, x

r ur r
x, y z

r ur
x, y

iii)

r ur
x, y

r ur
x, y

r r
x, x
r r
x, x

r r
x, z

r ur r
x, y , z V
r ur
x, y V ,

¡

r
x V

0
0

r ur
x, y

r ur
x, y V

ii)

iv)

¡

r r
x 0.

uur ur
ur

r
Ta gọi số thực x, y là tích vô hướng của x và y .
r ur
Ngoài ra tích vô hướng còn được kí hiệu bởi x. y .
1.2. Định nghĩa
Không gian vectơ Euclid là một ¡ không gian vectơ nếu trên đó xác
định một tích vô hướng.

6


Không gian Euclid là một không gian afin liên kết với không gian
Euclid hữu hạn chiều.
Không gian Euclid được gọi là n chiều nếu không gian vectơ Euclid
liên kết với nó là n chiều.
Ta thường kí hiệu

n

là không gian Euclid n chiều và

ur n

là không gian

vectơ Euclid n chiều.
ur
ur
ur ur ur n
Với ,

bất kỳ, tích vô hướng của hai vectơ và được kí hiệu
ur ur ur ur
ur ur
.
. .cos , .

2. Hàm vectơ
2.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 6)
Trong n cho U là một tập hợp tùy ý khác rỗng khi đó mỗi ánh xạ
ur
ur n
ur
:U
,u a
(u ) được gọi là hàm vectơ xác định trên U .

2.2. Định lý (xem [2], tr 6)
n
Cho U là một tập hợp tùy ý của
, cho hàm vectơ
ur
ur n
ur
ur uur
uur
:U
,ua
(u ) . Gọi e1, e2 ,...., en là một cơ sở trực chuẩn của n .

Khi đó, tồn tại duy nhất các hàm số: xi : U

r
x(u )

n

¡ , u a xi (u ) sao cho:

ur
xi (u )ei .

i L

* Nhận xét: Trong

n

cho một hàm vectơ tương đương với cho n hàm vectơ

tương ứng và ta gọi các hàm này là các hàm tọa độ.
2.3. Định nghĩa (xem [2], tr. 6)
Cho J là một khoảng trong ¡ .

7


ur
ur n
ur
ur

,t a
(t ) . Khi đó giới hạn của hàm vectơ (t )
Xét hàm vectơ : J
ur
ur
(t
t)
(t )
là lim
nếu tồn tại thì được gọi là đạo hàm của hàm vectơ
t 0
t
ur
này tại t. Ta kí hiệu là (t ) .

3. Cung tham số
3.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 16)
Mỗi ánh xạ

:J

n

¡ vào

từ một khoảng J

tham số (hay một quỹ đạo) trong

n

n

gọi là một cung

.

3.2. Ví dụ
a)

n

:¡

(¡ ) {O} ; ảnh của cung tham số này

là ánh xạ hằng,

là tập chỉ có một điểm O.
ur n
r r
(t ) 0 tn ( n là vectơ ≠ 0 của
); ảnh của
là
r
đường thẳng đi qua O với vectơ chỉ phương n .
ur n
r r
n
, (t ) 0 t 3 n ( n là vectơ ≠ 0 của

), ảnh của nó cũng
:¡

b)

n

:¡

,

là đường thẳng nói trên.
4. Ánh xạ khả vi
Định nghĩa: Cho U là một tập mở trong
f :U

vectơ U

m

, V là một tập mở trong

V , p a f ( p) là một ánh xạ thì f khả vi (lớp £ k ) nếu với O

ur n

ur
, p a O f ( p ) là khả vi (lớp £ k ).

8

n

n

,

, hàm


Lấy một hệ tọa độ afin trong

n

f 1 p , f 2 p ,..., f n p .

thì: f p

¡ (i = 1,2,…,n) là một hàm số trên U. Khi đó f khả vi (lớp £ k ) khi

f i :U

và chỉ khi các hàm số f i (i = 1,2,…,n) khả vi lớp £ k trên U. Rõ ràng tích các
:J

ánh xạ khả vi là ánh xạ khả vi. Chẳng hạn nếu
cung tham số (khả vi) trong U thì f o : J

U ,t a

(t ) là một

V là một cung tham số (khả vi)

trong V.
5. Trƣờng vectơ dọc một cung tham số
Định nghĩa: Trường vectơ dọc cung tham số
xạ

n

:J

mà với mọi t

Định nghĩa: Cho : J
trong

n

J , X (t ) T

ur n

,t a

(t ) E

n

:J

ur n

,t a

.

(t ) là một cung tham số (khả vi)

(t ) ( (t ), (t )) là một trường vectơ dọc

thì t a

(t ) là ánh

ký hiệu là

.

6. Đạo hàm của trƣờng vectơ dọc cung tham số
Định nghĩa: Cho cung tham số:
vectơ

dọc

,

xác định hàm vectơ

thể xét trường vectơ dọc
dọc

trong

n

là: t a

:J
ur

:J

(t ) ( (t ),

ur n
ur n

,t a

(t ) và cho trường
ur

, (t ) ( (t ), (t )) thì có

(t )) gọi là đạo hàm của

.

Ký hiệu trường vectơ

dọc

là:

Sau đó, có thể xét trường vectơ

D
dt

dọc

9

, ta ký hiệu là

D2
= 2 .
dt


Trong chương này, chúng ta đã xét một số định nghĩa, tính chất, và một
số định lý mang tính chất chuẩn bị. Sau đây, chúng ta sẽ đi nghiên cứu sâu
hơn về “Cung song chính quy định hướng trong E3”.

10


Chương 2

CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG E3
Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về cung song chính quy
định hướng trong

3

.
§1 CUNG TRONG E3

1. Cung trong E3
1.1. Hai cung tham số tương đương
Định nghĩa (xem [2], tr. 69)
J được gọi là một

Cho I , J là hai khoảng mở trong ¡ . Hàm số f : I
vi phôi nếu f là một song ánh khả vi và f
Hai cung tham số

:J

3

,ta

1

là một hàm khả vi.

(t ) và r : I

3

, u a r (u )

và r khả vi) gọi là tương đương nếu có vi

( I , J là khoảng trong ¡ ,
phôi:

:J

I

ta u

1.2. Cung trong

sao cho r o
(t )

3

Quan hệ xác định như trên là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương
đương theo quan hệ trên được gọi là một cung. Mỗi cung tham số thuộc một
lớp được gọi là tham số hóa của cung.
Hai tham số hóa của một cung sai khác nhau một vi phôi, ta gọi vi phôi
này là đổi tham số.

11

2. Cung chính quy
2.1. Điểm chính quy
trong E3 được thể hiện trong mỗi tham số hóa

Mỗi điểm của cung

của nó bởi một giá trị của tham số, nếu trong các tham số hóa:
ta

(t ); u a r (u ) , nó được thể hiện theo thứ tự t0 và u0 thì: u0

phép biến đổi tham số t a u

là

(t ) .

* Chú ý: Ảnh của các tham số hóa của một cung
được gọi là ảnh của

(t0 ) ,

là trùng nhau và

. Tuy nhiên không thể đồng nhất cung với ảnh của nó,

nhưng để thuận tiện người ta vẫn thường đồng nhất mỗi điểm của
với điểm

bởi chẳng hạn t0 trong tham số hóa t a

(t ) của

gọi tắt đó là điểm t0 hay

xác định bởi t a

(t0 ) của cung

xác định
(t0 )

3

và

(t ) .

2.1.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 70)
Cho cung

xác định bởi
3

:J
ta

Điểm t0 của

mà

(t )

(t0 ) 0 gọi là một điểm chính quy của

(t0 ) 0 thì nó gọi là một điểm kì dị của

còn nếu

.

Một cung mà mọi điểm của nó đều là điểm chính quy được gọi là một
cung chính quy.
* Nhận xét: Các khái niệm trên không phụ thuộc vào tham số hóa của cung.
2.1.2. Ý nghĩa hình học
uuuuuuuuur
ur
r
r r
Ta có (t0 ) (t ) (t t0 )( (t0 ) ) ( → 0 khi t → t0) nên cát tuyến
uuuuuuuuur
(t0 ) (t )
qua (t0 ) = M0 và (t ) =M của cung có một vectơ chỉ phương
dần
t t0

12

tới

ur

điểm

(t0 ) khi t

t0 , do đó có thể nói một cách hình ảnh: tiếp tuyến của

tại

(t0 ) = M0 là “vị trí giới hạn” của các tiếp tuyến M0M khi M dần tới M0

dọc cung.
2.2. Tiếp tuyến, pháp tuyến, pháp diện
2.2.1. Tiếp tuyến (xem [1], tr. 20)

(t0 ) là điểm chính quy của cung

Nếu

(t0 ) có vectơ chỉ phương

thì đường thẳng ( l ) đi qua

(t0 ) gọi là tiếp tuyến của

tại

(t0 ) .

Cho cung tham số:

:J
ta

3

x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t )

Ta có:

uuuur
(t )

( x1) (t ),( x 2 ) (t ),( x3 ) (t )

Phương trình tiếp tuyến:
1

x1 (t )
( x1 ) (t )

2

x2 (t )
( x 2 ) (t )

3

x3 (t )
.
( x3 ) (t )

2.2.2. Pháp tuyến (xem [1], tr. 20)
Mỗi đường thẳng đi qua
một pháp tuyến của

tại

(t0 ) và vuông góc với tiếp tuyến ( l ) gọi là

(t0 ) .

2.2.3. Pháp diện (xem [1], tr. 20)
Siêu phẳng đi qua
diện của

tại

(t0 ) và vuông góc với tiếp tuyến ( l ) gọi là pháp

(t0 ) , khi n = 2 pháp diện là pháp tuyến, khi n = 3 pháp diện

là mặt phẳng vuông góc với ( l ).

13

Cho cung tham số :
3

:J

x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t )

ta
Ta có :

uuuur
(t )

( x1) (t ),( x 2 ) (t ),( x3 ) (t )

Phương trình pháp diện:

X 1 x1 (t ) ( x1 ) (t )

X2

x 2 (t ) ( x 2 ) (t )

X3

x3 (t ) ( x3 ) (t ) 0

2.3. Ví dụ
Trong E3 cho cung đinh ốc tròn:

a cos t , a sin t , bt

(a > 0, b ≠ 0).

là cung chính quy. Viết phương trình tiếp tuyến,

Chứng minh rằng
pháp diện tại điểm

(t )

(t0 ) của

.

Lời giải
Ta có:

Do đó:
Vậy

(t )

a sin t, a cos t, b

(t )

a 2 b2

0

(t ) 0
là cung chính quy.

Tiếp tuyến tại điểm

(t0 ) là:
x acost0
a sin t0

Pháp diện tại

y a sin t0
acost0

z bt0
b

(t0 ) là:

a sin t0 x acost0

acost0 y a sin t0

14

b z bt0

0

3. Cung định hƣớng
3.1. Định nghĩa
3.1.1. Định nghĩa (xem [1], tr. 20)
Định nghĩa: Cho hai cung tham số tương đương
và r : I

3

, u a r (u ) . Giả sử

I là phép đổi tham số từ

:J

đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm (vì
Suy ra: Hoặc

:J

3

,t a

(t )

sang r thì

là vi phôi).

(t ) 0 với mọi t là điểm trong của J hoặc

(t ) 0 với

mọi t là điểm trong của J .
Nếu

là phép đổi tham số bảo tồn hướng và nói

(t ) 0 ta nói

và

r là tương đương định hướng.
Ta nhận thấy quan hệ trên là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương
đương theo quan hệ trên được gọi là một cung định hướng.
Vậy: Cung định hướng là một tập hợp tất cả các cung tham số tương
đương cùng hướng với một cung tham số

3

:J

. Ta gọi

một đại diện hay một tham số hóa của cung định hướng đó.

3.1.2. Ví dụ
Hai cung tham số sau có tương đương định hướng không:

:J

3

J

0,2

r
r
t a 0 cosi sin j

r:I

E3

u a 0 cos

u
2

15

r
u
i sin

2

r

j

:J

3

là


Hƣớng dẫn tìm

(t ) :

Ta có :
ur

Suy ra:

r
(t ) r ( (t ))

r
r
(t )
cos ti sin t j cos
2

r
j

(t )
2
(t )
sin
2

cos t

cos

sin t
(t )
2
(t )
2
(t )
2

t 2k
t 2k
t 2k

(t ) 2t

4k

Ta có:

2t

Suy ra:

0 2t 4k

Mặt khác:

r
(t )
i sin
2

4k

3
(1)

2

t (0,2 )

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: k = 0.
Suy ra:

(t ) 2t

Do đó ta có:

'(t ) 2 0 .

.

Lời giải:
Hai cung tham số

và r là tương đương định hướng vì sẽ tồn tại vi phôi

: 0,2

,3
ta u

bảo tồn hướng thì :

'(t ) 2 0

( t

16

J ).

(t ) 2t


Ta có:
uuuur
r
r

(t ) cosi sin j

uuuur
r
r
(r o )(t ) r ( (t )) r (2t

Suy ra: r o

) cos

2t

2
r
r
cos ti sin t j

r
2t
i sin

2
t (0,2 )

r
j

.

Vậy hai cung tham số đã cho là tương đương định hướng.
3.2. Đảo hướng của một cung định hướng
3.2.1.Định nghĩa (xem [1], tr. 20)

có vi phôi đảo hướng (

3

:J

Cho hai cung tham số

t

0, t

,ta

J) :J

được gọi là cung đảo hướng của cung

t và r : I

I, t a u

3

, u a r u .Nếu

t thì cung

.

3.2.2.Định nghĩa
là một cung định hướng:

Cho cung

:¡

Xét vi phôi

:¡

2

r
r
t a 0 cos ti sin t j

¡ ,ta u

2

t đảo hướng (vì

Cung tham số:

r

o

1

:¡

2

ua r u

17

1 0, t ¡ ).


r
r u

uur
o
ur

cos

1

1

u

u
ur
2
r
u i sin

2
r
r
sin ui cos u j

u

2

r
u j

3.3.Trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc cung định hướng
là một cung chính quy định hướng xác định bởi

Cho

:J

3

,ta

t thì rõ ràng trường vecto : U

là trường vecto tiếp xúc đơn vị dọc cung

18

.

U, t a

t

P

t
tP


§2 ĐỘ DÀI CUNG. THAM SỐ HÓA TỰ NHIÊN
CỦA CUNG CHÍNH QUY
1. Độ dài cung
1.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 31)
Cho cung tham số
mút) [a,b] và giả sử
Với
m

mỗi

3

: a, b

xác định trên đoạn thẳng (kể cả các

liên tục.
phép

a t0

chia

t1 t2 ... tm

b,

lập

tổng

uuuuuuuuuuur
(ti 1 ) (ti ) . Nếu các tổng đó có cận trên với mọi phép chia như vậy thì

i 1

ta nói cung tham số đó có độ dài cung và độ dài cung đó là cận trên ấy.
1.2. Định lý (xem [2], tr. 31)
Nếu J khả vi lớp £ 1 thì nó có độ dài cung và độ dài cung ấy là:
b

'(t ) dt .
a

* Chú ý: Nếu n = 3:

ur

(t )

x(t ), y(t ), z(t )

(t )

x (t ), y (t ), z (t )

ur
ur

(t )

[x (t )]2 +[y (t )]2 +[z (t )]2

Khi đó:
b

b

[x (t )]2 +[y (t )]2 +[z (t )]2 .

(t ) dt

a

a

19


1.3. Ví dụ
Trong E3 tính độ dài các cung đoạn có biểu thức tọa độ Descartes sau
đây:

t
,
2

a) (t )

a(t sin t ), a(1 cos t ),4acos

b) (t )

cos3 t ,sin 3 t ,cos 2t ,

(0 t

c) (t )

acht , asht , at ,

a 0,0 t t0

d) ( x)

x3 a 2
x, 2 ,
,
3a 2 x

a 0,0 t 2
2 )

a 0, a

Lời giải
a)

(t )

a(t sin t ), a(1 cos t ),4acos

(t )

a(1 cos t ), a sin t , 2a sin

(t )

2 2a sin

t
2

2 2a sin

t
2

t
2

t
2

(0 t

Do đó:
2

l(

0,2

)
0

2

t
(2 2a sin )dt
2

t t
4 2a sin d
2 2
0

2

4 2a cos
b)

(t )

t
20

8 2a

cos3t ,sin 3 t , cos2t

'(t )

3cos2 t sin t ,3sin 2 t cos t, 2sin 2t

'(t )

5
sin 2t
2

20

.

2 )

x 3x


Xét dấu:

t

0

sin 2t

0

π/2
+

π

0

-

3π/2

0

+

2π

0

-

0

Do đó:

l

5
2

0,2

2

sin 2t dt
0

5
4

sin 2t.d 2t
0

c)

sin 2t d 2t
0

5
4

sin 2t d 2t

sin 2t d 2t

5
2

5
2

(t )

5
cos2t
2

2

5
cos2t
4

2

2

5
cos2t
4
3

acht ,asht ,at

a 0

asht , acht , a

' t

a sh2t ch 2t 1 a 2ch 2t

a 2cht dt

0,t0

a 2sht

0

x

2

5
10 .
2

' t

Vậy: l

5
sin 2t d 2t
43
2

3

t0

d)

2

2

2

2
5
cos2t

4
0

5
2

2

3

2

5
4

5
4

x,

x3 a 2
,
3a 2 2 x

' x

x2 a2
1, 2 , 2
a 2x

' x

x4
1 4
a

t0
0

a 2cht

a 2sht0 .

a 0

2 x4

a4
4 x4

a4

4a 4 x 4

21

2

2x4 a4
2a 2 x 2

3a

Do đó: l

a ,3a

a

2x 4 a 4
dx
2a 2 x 2

3a

a

x2
a2

a2
dx 9a .
2x2

2. Mặt phẳng mật tiếp của cung tại điểm song chính quy
2.1. Điểm song chính quy
Cho cung

3

trong

t .

có tham số hóa t a

Điểm của

ứng với t trong tham số hóa t a
t của nó gọi là điểm
uur
uur
song chính quy (của ) nếu hệ hai vectỏ
t độc lập tuyến tính.
t và

2.2. Mặt phẳng mật tiếp
2.2.1. Định nghĩa (xem [1], tr. 26)
Mặt phẳng

đi qua điểm

là mặt phẳng mật tiếp của
Điểm

tại điểm song chính quy

t ,

của cung

với

.

t0 nên tồn tại một pháp

chứa tiếp tuyến tại

t mà

được gọi

t

t .

t gọi là tiếp điểm của mặt phẳng mật tiếp

Mặt phẳng mật tiếp
tuyến

t có phương là

. Ta gọi pháp tuyến

này là pháp

tuyến chính.

r
r
Để tìm
ta xác định một vectơ chỉ phương v (khác 0 ) của
uur
r
r uur
r uur
( ).Vectơ v có dạng v = a t + b t và . t = 0.
Do đó: b 0 và ta có thể xem như b=1.
Khi đó:
0=

Suy ra :

a

r uur

uuur
t =a t
uur uur
t
t
uuuuur 2
t

22

2

+

uur

t

uur

t


Ta có thể thay

ur uur 2 r
bằng w =
t . .

r

Vậy một vectơ chỉ phương của pháp tuyến chính có dạng:
uuuuur 2 uur
uur uuuuur uur
ur
t
t
t
t
t

w=

2.2.2. Định lí ( điều kiện tương đương) (xem [2], tr. 92)
Mặt phẳng
quy

gọi là mặt phẳng mật tiếp của

t0 khi và chỉ khi lim
t

d

t0

t ,
t t0

2

tại điểm song chính

= 0.

Chứng minh
Gọi: h= d
.
t ,
r
n là vectơ pháp tuyến đơn vị

.

Ta có:
uuuuur uuuur
r uuuuur uuuur
uur uuuuur uuuur
t = Pn P. P t0
t P. Pcos P= P t0
t P.sin =h
n . t0
=d
Trong đó :

và

t ,

.

được xác định như hình vẽ:

23


Công thức khai triển Taylor tại điểm t0 :
uur
uur
t0
t0

2
2
t t0 +
t t0 + 0 t t0
t = t0 +
1!
2!
r
r
r uur
n uuuuur
2
t0 t t0 + n.0 t t0 .
Suy ra: d
= n . t0 t t0 +
t ,
2
Điều kiện cần
Giả sử

là mặt phẳng mật tiếp.
r ur
n. '(t0 ) 0
r ur
n. ''(t0 ) 0

Suy ra:

Do đó:

d

lim

t

t ,

t0

t t0

r
n

= lim

2

t

t0

t t0

2

0 t t0 = 0

Điều kiện đủ

Giả sử:

lim

t

Suy ra :

t ,

t0

t

Suy ra :
Từ (*) suy ra:

2

t t0

lim

Khi đó ta có:

Suy ra:

d

d

t ,
t t0

t0

t t0 = 0

= lim
t

t0

d

(*)

t ,
t t0

2

t t0 = 0

r
r uur
r
n uur
lim | n
t0 +

t0 t t0 + n 0 t t0 | = 0.
t t0
2
r uuuuur
(1)
n . t0 = 0
r
r
uu
r
n
n
2
t0 +
lim |
0 t t0 |= 0
t t0 2
t t0
r uur
(2)
t0 = 0
n.

Từ (1) và (2) suy ra

là mặt phẳng mật tiếp của

24

tại điểm

t0 .


3. Tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy
3.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 8)
3

Một tham số hóa r: I

, s a r s của một cung chính quy

được gọi

là một tham số hóa tự nhiên của nó nếu P r P= 1.
* Nhận xét: Mọi cung chính quy (kể cả cung chính quy định hướng)
đều có tham số hóa tự nhiên.

3.2. Tính chất
3

a) Nếu r : I
chính quy thì l r s

1, s2

b) Nếu r1 : I1

, s a r s là một tham số hóa tự nhiên của một cung

= S1 S2 .
3

3

, s a r1 s và r2 : I 2

hóa tự nhiên của cùng một cung chính quy thì: u=
c) Nếu

: I

3

, ta

, u a r2 u là hai tham số
s+C (C là một hằng số).

t là một tham số hóa bất kì của một cung

chính quy thì ta có thể đổi tham số t sang tham số s theo công thức:
t

s= P

t Pdt

( t0

J)

t0

để s là tham số hóa tự nhiên của cung.
3.3.Định lí (xem [2], tr. 85)
Mọi cung chính quy (kể cả cung chính quy định hướng) đều có tham số
hóa tự nhiên.
Chứng minh
Giả sử cung chính quy

t

0, t

có tham số hóa

J.

25

: J

3

, ta

t nên