Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ lipschitz

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận
tình của thầy giáo, Thạc sỹ Phùng Đức Thắng khóa luận của em đến nay đã
được hoàn thành.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Phùng
Đức Thắng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo cho em nhiều kinh nghiệm
quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này. Em cũng xin chân thành
cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện tốt nhất
cho em trong thời gian em làm khóa luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa
do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố
gắng song bản khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và của các bạn sinh viên để
khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Sinh viên

Lê Mai Oanh

SVTH: Lê Mai Oanh

1

K33C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp của em với đề tài “Điểm bất động của nửa nhóm
ánh xạ Lipschitz” hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, Thạc sỹ
Phùng Đức Thắng cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên
cứu em có sử dụng tài liệu của một số tác giả trong nước cũng như nước ngoài
(đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên
cứu của bản thân không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Sinh viên

Lê Mai Oanh

SVTH: Lê Mai Oanh

2

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu ..................................................................................................... 4
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị ........................................................ 7
1.1. Không gian metric ................................................................................... 7
1.2. Không gian định chuẩn, không gian Banach ......................................... 10
1.3. Không gian Hilbert, không gian phản xạ ............................................... 11
1.4. Tập hợp lồi ............................................................................................ 12
1.5. Nửa nhóm .............................................................................................. 13
1.6. Ánh xạ Lipschitz và một số khái niệm khác .......................................... 14
1.7. Nguyên lý ánh xạ co Banach.................................................................. 15
Chương 2. Không gian lồi đều. Định lý Browder-Gohde ......................... 17
2.1. Không gian lồi đều. Môđun lồi .............................................................. 17
2.2. Cấu trúc chuẩn và cấu trúc chuẩn đều ................................................... 22
2.3. Ánh xạ không giãn, ánh xạ Lipschitz đều .............................................. 26
Chương 3. Mở rộng định lý Goebel-Kirk và định lý Lipschitz ra
nửa nhóm ..................................................................................................... 30
3.1. Định nghĩa và kí hiệu ............................................................................. 30
3.2. Các định lí điểm bất động và cận trên

............................................... 31

3.3. Mở rộng định lí Lipschitz ra nửa nhóm ................................................ 48
Kết luận ......................................................................................................... 52
Tài liệu tham khảo ......................................................................................... 53

SVTH: Lê Mai Oanh

3

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong khi giải quyết các bài toán của Toán học, khoa học kỹ thuật đã
dẫn đến việc nghiên cứu bài toán sau:
Cho X là một không gian nào đó và T : X
A

X vào chính nó. Xét phương trình phi tuyến Tx

X là ánh xạ từ tập hợp
x. Dưới điều kiện cụ

thể hãy khẳng định sự tồn tại nghiệm của phương trình này. Điểm x
thỏa mãn phương trình Tx

A

x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên

tập hợp A . Để giải quyết bài toán đó đã dẫn tới sự ra đời của một lý thuyết
mới - lý thuyết điểm bất động của ánh xạ.
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của

giải tích hàm phi tuyến. Ngay từ đầu thế kỷ XX các nhà Toán học trên thế
giới đã quan tâm đến vấn đề này và có thể khẳng định cho đến nay lý thuyết
điểm bất động đã phát triển hết sức sâu, rộng và trở thành công cụ quan
trọng để giải quyết nhiều bài toán do thực tế đặt ra. Sự phát triển của lý
thuyết điểm bất động đã gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà Toán học trên
thế giới như: Banach, Browder, Lipschitz, Goebel, Kirk, Lim-Xu…
Những kết quả kinh điển đồng thời cũng là kết quả đầu tiên của lý
thuyết điểm bất động như: nguyên lý ánh xạ co Banach, nguyên lý điểm bất
động của Brouwer đã được áp dụng vào các lĩnh vực toán học hiện đại như:
Phương trình vi phân, Phương trình tích phân, Giải tích hàm, Giải tích số…
Trên cơ sở các nguyên lý cơ bản trên đây, lý thuyết điểm bất động đã
được phát triển theo hai hướng chính:
- Hướng thứ nhất: nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ co trong
không gian metric.

SVTH: Lê Mai Oanh

4

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

- Hướng thứ hai: nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ compact trong
không gian vectơ Tôpô.
Vào những năm 60 của thế kỷ trước, một hướng có thể được xem là
hướng trung gian của hai hướng trên đã xuất hiện trong lý thuyết điểm bất

động. Đó là nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không
gian Banach. Một câu hỏi đặt ra là: “Cần đặt điều kiện gì trên tập hợp A và
không gian X để đảm bảo sự tồn tại điểm bất động của một ánh xạ không
giãn T : A

A ?”. Vì mọi ánh xạ co đều không giãn và mọi ánh xạ không

giãn đều liên tục nên các điều kiện này phải mạnh hơn các điều kiện trong
nguyên lý ánh xạ co Banach đồng thời phải yếu hơn nguyên lý điểm bất
động của Brouwer.
Câu trả lời chính xác phải đợi đến năm 1965 mới được Browder và
Gohde độc lập tìm ra. Để giải quyết được bài toán này, hai nhà toán học
trên đã phải sử dụng kĩ thuật độc đáo đưa vào những thành tựu của một
hướng nghiên cứu mới có tên là “Hình học các không gian Banach” do
Clarkson khởi xướng năm 1936.
Tiếp tục xu hướng trên, trong một vài thập niên gần đây người ta chú
ý nhiều đến các ánh xạ Lipschitz đều. Có thể kể đến một kết quả tiêu biểu
mang tính chất mở đường đó là kết quả nghiên cứu của Goebel-Kirk.
Chính vì những lí do trên em đã chọn đề tài “Điểm bất động của nửa
nhóm ánh xạ Lipschitz”.
2. Mục đích nghiên cứu
Giúp sinh viên bước đầu làm quen với lý thuyết điểm bất động. Là cơ
sở để nghiên cứu các môn chuyên ngành giải tích và vận dụng được các định
lí điểm bất động vào giải phương trình tích phân và phương trình vi phân…

SVTH: Lê Mai Oanh

5

K33C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: Sinh viên đại học và sinh viên sau đại học.
+ Phạm vi nghiên cứu: Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ Lipschitz.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhắc lại các kiến thức cơ bản về không gian Banach, không gian Hilbert,
Giúp sinh viên nắm chắc định lí điểm bất động của ánh xạ Lipschitz.
Nội dung của khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm cơ bản, tính chất cơ bản của một số
không gian, tập hợp là công cụ cho nội dung nghiên cứu của những chương
sau như: không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach,
không gian Hilbert, không gian phản xạ, tập hợp lồi, nửa nhóm, ánh xạ
Lipschitz và nguyên lý ánh xạ co Banach.
Chương 2: Trình bày một số khái niệm về cấu trúc hình học của không gian
Banach và những khái niệm về ánh xạ không giãn, Lipschitz, Lipschitz đều.
Chương 3: Giới thiệu và mở rộng kết quả của Goebel-Kirk và trình bày chi
tiết định lí Goebel-Kirk và Thele cho nửa nhóm ánh xạ. Ngoài ra còn đưa ra
một cách chứng minh trực tiếp định lí trên cho nửa nhóm ánh xạ Lipschitz.
Tiếp theo giới thiệu định lí Lipschitz (1975) và một số kết quả mở rộng định lí
này ra nửa nhóm của Đỗ Hồng Tân (2000).

SVTH: Lê Mai Oanh

6

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian metric
A. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1.
Cho tập hợp X khác rỗng. Trên X xác định một ánh xạ:

d:X

¡ thỏa mãn các điều kiện:

X

i)

d ( x, y )
d ( x, y )
ii) d ( x, y )
iii) d ( x, y )

0
0

x
d ( y, x)
d ( x, z ) d ( z , y )

x, y

X,

y;
x, y X ;
x, y , z X .

Ánh xạ d như vậy được gọi là một mêtric trên X . Khi đó ( X , d ) được
gọi là một không gian mêtric (ta có thể gọi là không gian mêtric X ).
Ví dụ 1.1.1.
Xét tập C a, b

{ x (t ) là ánh xạ liên tục trên [a,b]} và ánh xạ:

d : C[a, b] C[a, b]
( x, y )

¡

a d ( x, y ) max x(t )
t [ a ,b ]

y (t )

Ta dễ thấy:

i)

x

x(t ), y

y (t ) C[a, b]

d ( x, y ) max x(t )
t [ a ,b ]

y (t )

0;

d ( x, y ) 0
x(t ) y (t )
ii) x x(t ), y y (t ) C[a, b]
d ( x, y ) d ( y, x).

SVTH: Lê Mai Oanh

x

7

y.

K33C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

iii)

x

x(t ),

x(t )

y

y (t ),

y (t )

Trường ĐHSP Hà Nội 2

z

z (t ) C[a, b]

x(t ) z (t ) z (t )

y (t )

max x( ) z ( )

max z ( )

[ a ,b ]

x(t ) z (t )

z (t )

y (t )

y( )

[ a ,b ]

d ( x, z ) d ( z , y )
d ( x, y ) max x(t )
t [ a ,b ]

y (t )

d ( x, z ) d ( z, y ).

d thỏa mãn các điều kiện của mêtric. Vậy (C[a, b], d ) là một không gian
mêtric, gọi tắt là mêtric C[a, b] .
Ví dụ 1.1.2.
Trên ¡
y

n

xác định ánh xạ d : ¡

y1 , y2 ..., yn

¡

n

¡

¡ với mọi x

n

x1, x2 ..., xn ,

n

2

n

d ( x, y )

xi

yi

1
2

.

i 1

Dễ dàng kiểm tra d là một mêtric. Do đó ¡ n , d là không gian mêtric.

B. Tập hợp mở, tập hợp đóng, tập hợp bị chặn và tập hợp compact
Định nghĩa 1.1.2.
Cho không gian mêtric ( X , d ) . Với x

X , r 0 ta gọi là:

a, Hình cầu mở tâm x, bán kính r trong X , kí hiệu là B ( x, r ) là tập hợp
xác định như sau:

B( x, r )

y

X : d ( x, y) r .

b, Hình cầu đóng tâm x, bán kính r trong X , kí hiệu là B[ x, r ] là tập hợp
được xác định như sau:

B[ x, r ]

SVTH: Lê Mai Oanh

y

X : d ( x, y) r .

8

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định nghĩa 1.1.3.
Giả sử A là một tập con của không gian metric X , d . Điểm x0 của
X gọi là điểm trong của tập hợp họp A nếu tồn tại hình cầu mở B x0 , r

A.

Định nghĩa 1.1.4.
Tập hợp G gọi là mở nếu mỗi điểm của G đều là điểm trong của nó.
Quy ước

là tập hợp mở.

Định nghĩa 1.1.5.
Cho A là một tập con trong không gian mêtric X , d . Điểm x X
được gọi là điểm dính của tập hợp A nếu mọi hình cầu mở tâm x , bán kính

r 0 giao với A đều khác rỗng.
Nghĩa là :

r 0 thì B( x, r )

A

.

Định nghĩa 1.1.6.
Cho X là không gian mêtric, A là tập con của X . Tập hợp A được
gọi là một tập hợp đóng trong X nếu phần bù của A trong X là tập hợp mở.
Định lí 1.1.1.
Trong không gian mêtric hình cầu đóng là một tập hợp đóng.
Định lí 1.1.2.
Trong không gian mêtric:
a, Giao của một họ tùy ý những tập hợp đóng là một tập hợp đóng.
b, Hợp của một họ hữu hạn các tập hợp đóng là một tập hợp đóng.
Định nghĩa 1.1.7.
Giả sử A là một tập hợp tùy ý trong không gian mêtric X . Ta gọi
( A)

sup d ( x, y )
x, y A

là đường kính của tập hợp A , nó có thể là một giá trị hữu hạn hay vô hạn.
Từ định nghĩa trên ta suy ra các điều kiện sau:
a, Để tập hợp A là bị chặn điều kiện cần và đủ là tồn tại một hình cầu chứa A .

SVTH: Lê Mai Oanh

9

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

b, Hợp của một họ hữu hạn những tập hợp bị chặn là một tập hợp bị chặn.
Định nghĩa 1.1.8.
Không gian metric X , d được gọi là đóng và bị chặn nếu X là tập
hợp đóng và bị chặn.
Định nghĩa 1.1.9.
Tập hợp K trong không gian metric X gọi là compact nếu mọi dãy
điểm xn trong K đều có một dãy con xnk hội tụ đến một điểm thuộc K .
1.2. Không gian định chuẩn. Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.1.
Cho X là không gian tuyến tính trên K , ánh xạ

:X

¡ thỏa mãn

các điều kiện sau:

i)

x

0

x

0

ii)

x

iii) x
Ánh xạ

X,

x

X,

x 0;
.x

y

x

x

y

x, y

K;
X.

được gọi là một chuẩn trên X . Khi đó X ,

được gọi là một

không gian định chuẩn.
Chú ý: Với mỗi chuẩn

có thể được xem là sinh bởi mêtric d hay ngược lại,

với sự xác định d ( x, y)

x

y

x, y

X.

Như vậy một không gian định chuẩn X ,

X , d với mêtric d sinh bởi chuẩn

là một không gian mêtric

. Do đó một số khái niệm: dãy hội tụ,

dãy cơ bản được định nghĩa bởi mêtric có thể chuyển qua định nghĩa theo
chuẩn dựa vào công thức d ( x, y)

SVTH: Lê Mai Oanh

x y .

10

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định nghĩa 1.2.2.
Không gian định chuẩn

được gọi là không gian Banach nếu

X,

mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ đến phần tử thuộc X .
Ví dụ 1.2.1.
Không gian vectơ l p với 1 p

tất cả các dãy số thực (hoặc phức)

p

x

n

sao cho

, là không gian Banach với chuẩn

n
n 1

p

x

p

1
p

.

n
n 1

Ví dụ 1.2.2.
Không gian vectơ k chiều

Ek

x ( x1, x2 ,..., xk ) : x j

¡ hoặc x j

£

là không gian Banach với chuẩn xác định bởi
k

x

2

xj .
j 1

1.3. Không gian Hilbert. Không gian phản xạ.
Định nghĩa 1.3.1.
Ta gọi là tích vô hướng trong không gian tuyến tính trên trường K
£ ) với mọi ánh xạ từ tích Descartes X

(K = ¡

X và trường K thường

viết dưới dạng thỏa mãn các điều kiện:

i)

x, y

ii) x
iii)

y, x
y, z

x, y

iv) x, x

0

SVTH: Lê Mai Oanh

x, y
x, z

y, z

x, y

x, y

x

X;

X ; x, x

x, y , z
X,
0

11

X;
K;
x 0.

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Các phần tử x, y, z được gọi là các nhân tử của tích vô hướng.
Định nghĩa 1.3.2.
Ta gọi một tập hợp H

gồm các phần tử x, y, z … nào đó là không

gian Hilbert nếu:
i) H là một không gian tuyến tính trên trường K ;
ii) H được trang bị một tích vô hướng x, y với x, y H ;
iii) H đủ với chuẩn x

x, x với x H .

Định nghĩa 1.3.3.
Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ
nếu phép nhúng chuẩn tắc H từ không gian X vào không gian liên hợp thứ
hai X ** của nó là một toàn ánh.
Như vậy không gian tuyến tính định chuẩn X là một không gian phản
xạ khi và chỉ khi với một phần tử bất kỳ x**
sao cho x** ( x* )

x* ( x)

x*

X ** tồn tại một phần tử x X

X*.

1.4. Tập hợp lồi
Định nghĩa 1.4.1.
Giả sử X là một không gian tuyến tính, ¡ là tập các số thực. Tập
A

X được gọi là lồi nếu

x1, x2

A,

¡ : 0

1

x1 (1

) x2

A.

Mệnh đề 1.4.1.
Giả sử A
Khi đó A

X(

A cũng lồi.

Thật vậy, lấy x1, x2
Với

I ) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ.

A . Khi đó x1, x2

A

I.

I và do A lồi nên:

SVTH: Lê Mai Oanh

12

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

x1 (1

) x2

A

x1 (1

) x2

A.

[0,1]

Vậy A cũng là tập lồi.
Mệnh đề 1.4.2.
Giả sử Ai

X lồi,

i

¡ (i 1, 2... m) . Khi đó
A

1 1

2

A2 ...

m

Am

là tập lồi.
Mệnh đề 1.4.3.
Giả sử X ,Y là các không gian tuyến tính, T : X

Y là toán tử tuyến

tính. Khi đó:
a, A

X lồi

T ( A) lồi;

b, B

Y lồi

Nghịch ảnh T 1 ( B) của ảnh B là tập lồi.

1.5. Nửa nhóm
Định nghĩa 1.5.1.
Cho A là tập hợp khác rỗng,
đó A, . là một nửa nhóm nếu
Nghĩa là : a.b .c a. b.c

là một phép toán hai ngôi trên A . Khi

có tính chất kết hợp.

a.b.c

a, b, c A .

Định nghĩa 1.5.2.
Cho nửa nhóm A, . với

A ) là tập hợp được xác định: A

A , ta gọi iđêal phải sinh bởi
{ . :

(ký hiệu

A} .

Định nghĩa 1.5.3.
Ta nói nửa nhóm A, . là khả nghịch trái nếu giao của hai ideal phải
bất kỳ của A đều khác rỗng.
Nghĩa là:

,

A thì A

SVTH: Lê Mai Oanh

A

.

13

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định nghĩa 1.5.4.
Nửa nhóm A, . được gọi là nửa nhóm giao hoán nếu phép toán
tính chất giao hoán, nghĩa là

có

a, b A thì a.b b.a .

Định lí 1.5.1.
Một nửa nhóm giao hoán là một nửa nhóm khả nghịch trái.
Chứng minh
Thật vậy, giả sử A, . là một nửa nhóm giao hoán

A thì .

,
Mặt khác, ta có:

.

.

.

.

A và
A

.

A

A

A

A

A, . là nửa nhóm khả nghịch trái.

1.6. Ánh xạ Lipschitz và một số khái niệm khác
Định nghĩa 1.6.1.

X được gọi là ánh xạ

Cho không gian mêtric X , d , ánh xạ T : X
k-Lipschitz ( k-Lipschitzian mapping) nếu

k

0 sao cho d Tx,Ty

k.d x, y

x, y

X.

Định nghĩa 1.6.2.

X được gọi là ánh xạ

Cho không gian mêtric X , d , ánh xạ T : X

k-Lipschitz đều ( uniformly k - lipschitzian mapping) nếu

k

0 sao cho d T n x,T n y

k.d x, y

x, y

X,

n 1,2...

Định nghĩa 1.6.3.
Cho không gian mêtric X , d , ánh xạ T : X

X được gọi là ánh xạ

không giãn (nonexpansive mapping) nếu

d Tx,Ty
SVTH: Lê Mai Oanh

d x, y
14

x, y

X.

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định nghĩa 1.6.4.
Ánh xạ T : X

X từ không gian mêtric X , d lên chính nó được gọi

là ánh xạ co nếu
c (0,1) sao cho d Tx,Ty

c.d x, y

x, y

X.

Chú ý: Ta thấy trong định nghĩa 1.6.1 và 1.6.2 nếu k 1 thì các ánh xạ đó trở
thành ánh xạ không giãn.

1.7. Nguyên lý ánh xạ co
Nguyên lý ánh xạ co Banach có thể nói là một định lí quan trọng, mở
đầu cho lĩnh vực điểm bất động của ánh xạ.
Định lí 1.7.1. (Nguyên lý ánh xạ co Banach)
Cho X , d là một không gian mêtric đầy đủ, T : X
co trên X . Khi đó tồn tại duy nhất z

X sao cho Tz

X là một ánh xạ

z (Nghĩa là T có điểm

bất động duy nhất trên X ).
Chứng minh
Vì T là ánh xạ co trên X nên c [0,1) sao cho

d Tx,Ty
Lấy x1

x, y

X ta có

c.d x, y .

X ta xây dựng dãy xn như sau:

Đặt x1

x và xm 1 Txm

m 2,3,4,...

Từ cách xây dựng dãy xn ta có:

d x2 , x3

d Tx1,Tx2

c.d x1, x2

d x3 , x4

d Tx2 ,Tx3

c.d x2 , x3

…………………………………….

d xm , xm

1

d Txm 1 , Txm

c.d xm 1 , xm

c 2d xm 2 , xm 1

... c m 1d x1 , x2 .

SVTH: Lê Mai Oanh

15

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vì 0 c 1

cm

Trường ĐHSP Hà Nội 2

.

0 khi m

Ta có:

d xn p , xn

d xn p , xn
cn

p 2

c n 1.

p 1

d xn
cn

d x1 , x2

p 3

1 cp
d x1 , x2
1 c

p 1

, xn

... d xn 1, xn

p 2

d x1 , x2

... c n 1d x1 , x2

cn 1
d x1 , x2
1 c

0.

Suy ra xn là dãy cơ bản.
Theo giả thiết X là không gian đủ, suy ra tồn tại lim xn .
Đặt z lim xn

d Txn0 .Tz
d Tz , z

0, n0 ¥ * sao cho
2
d Tz ,T 2 xn0

d T 2 xn0 , z
d T 2 xn0 , z

c.d z, Txn0
Suy ra d Tz, z

0

Tz

(c 1) .
2

z.

* Ta chứng minh z là duy nhất
Giả sử z

X sao cho Tz

z . Khi đó, ta có

d Tz,Tz
mà

Tz

z, Tz

z

d Tz,Tz
Vậy z

d Tz,Tz
c.d z, z

c.d z, z .
d z, z

d z , z (Mâu thuẫn).

z nghĩa là điểm bất động z là duy nhất.

Định lí hoàn toàn được chứng minh.

SVTH: Lê Mai Oanh

16

K33C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 2

KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU.
ĐỊNH LÍ BROWDER-GOHDE
2.1. Không gian lồi đều, mô đun lồi
Trong giáo trình giải tích hàm, ta đã biết: không gian Hilbert là trường
hợp riêng của không gian Banach với hai tính chất quan trọng:
- Mọi không gian Hilbert đều phản xạ.
- Mọi tập hợp lồi đóng trong không gian Hilbert đều chứa một điểm gần
nhất đối với một điểm bất kỳ của không gian.
Trong số các không gian Banach, có một lớp đặc biệt chứa lớp các
không gian Hilbert mà vẫn giữ được hai tính chất trên đó là không gian
Banach lồi đều do Clarkson đề xướng năm 1936.
Đinh nghĩa 2.1.1.
Không gian Banach X ,

được gọi là lồi đều nếu với mọi

tại ( ) 0 sao cho với mọi x, y

X: x
x

y
2

1, y
1

1 và x

y

( ).

0 , tồn

ta đều có
(1)

Nói cách khác, với hai điểm khác nhau bất kỳ x, y thuộc hình cầu đơn
vị, điểm

x

y
2

phải có khoảng cách dương đến biên của hình cầu đó. Khoảng

cách này chỉ phụ thuộc vào khoảng cách của x và y chứ không phụ thuộc
vào vị trí của chúng (tính đều). Tính lồi đều thường được kí hiệu là UC
(uniformly convex).
Chú ý : Điều kiện (1) có thể thay bởi x

SVTH: Lê Mai Oanh

17

d, y

d và x

y

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

x

Trường ĐHSP Hà Nội 2

y

d 1

2

với d

d

0 tùy ý.

Ví dụ 2.1.1.
Không gian ¡

2

Không gian ¡

với chuẩn x

2

2

với chuẩn x 1

không gian lồi đều (ở đây x

x12

x22 là lồi đều.

x1

x2 hoặc x

max x1 , x2

là

x1, x2 ).

Ví dụ 2.1.2.
Mọi không gian Hilbert là lồi đều.
Thật vậy, cho x
hành ta có x

2

y

1 và x

1, y
2

2 x

x

2 y

2

x

y

. Từ đẳng thức hình bình

y
2

4

2

, suy ra

2

y

1

2

2

1

4

1

1

4

.

2

1

0 , ta có

Do vậy với mọi

1

4

.

Tổng quát hơn, không gian l p và Lp [a, b] với 1 p

là lồi đều

là không lồi đều.

còn với p 1, p
Đinh nghĩa 2.1.2.

Môđun lồi của không gian Banach X là hàm

X

:[0,2]

[0,1] định

nghĩa bởi:
X

( ) inf 1

x, y
x

y
2

SVTH: Lê Mai Oanh

X: x
1

x

y
2

1, y
X

: x

1, y

1, x

y

1, x

y

( ).

18

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nhận xét:
là hàm không giảm;

X

Không gian X lồi đều khi và chỉ khi

0 với mọi

X

Trong không gian X lồi đều nếu xn , yn

lim xn

1
lim xn
2n

lim yn

n

n

yn

0;

X thỏa mãn

1 thì lim xn

0.

yn

n

Thật vậy, do

1
xn
2
nên nếu limsup xn
Vậy limsup xn

n

Với mọi x, y, p

1
x
2

p

yn

yn

yn

1

X

( ) 1 (vô lý).

0.

X , R 0 và r [0,2R] thỏa mãn

x
thì

xn

n

0 hay lim xn

yn

n

1

> 0 thì lim inf xn

yn

n

yn

y

p

R, y

r
R

1

p

R, x

y

r

R.

Định nghĩa 2.1.3.
Đặc trưng lồi (hay hệ số) của không gian Banach X là số
định nghĩa bởi
0

0

( X ) sup

0:

X

0

0

(X )

( ) 0 .

là độ dài đoạn thẳng lớn nhất nằm trên mặt cầu đơn vị.

Mệnh đề 2.1.1.
Cho X là không gian Banach và môđun lồi

, khi đó

là hàm liên

tục trên [0, 2).
Chứng minh
Với u, v
u ,v

( ) inf 1

X: u
x

y
2

SVTH: Lê Mai Oanh

v
: x

1, ta định nghĩa
1, y

1, x y

19

,x y

u, x

y

v, ,

0 .

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khi đó

X

( ) inf

u ,v

Trường ĐHSP Hà Nội 2

( ) : u, v

X, u

Thật vậy, rõ ràng với u, v

inf

u ,v

( ) : u, v

X, u

Mặt khác, với x, y

u

x
x

y
,v
y

x
x

v

X, x
y
y

X

1, y

1.

1, ta có

v

u ,v

( )

X

( ) nên

( ).

1, x

y

y ta chọn

,x

suy ra:

X

Thật vậy, xét

X: u

1

x

1

Ta chứng minh hàm

v

u ,v

2

( ) inf

u ,v

( ) : u, v

( )

X, u

1 .

v

là hàm lồi.

u ,v

1

y

,

(0,1) . Khi đó với mọi

0,

2

0 tồn tại

X sao cho

x1, y1, x2 , y2

xi , yi

1, xi

yi

i

u, xi

yi

i

v,

i

i

,

0, i 1,2

i

và thỏa mãn:

1

x1

1

x2

y1
u ,v

2

( 1)

;

( 2)

.

y2
u ,v

2

Suy ra

1

x1

y1
2

1

1
u ,v

(Vì

x1 (1

) x2

SVTH: Lê Mai Oanh

x2

1

1

y2
u ,v

2
1
2
(1

y1 (1

2

)

2

) y2
20

1

1

u ,v

2

u ,v

1

1

u ,v

2

u ,v

1

1

u ,v

2

1

((1

)

2

1

((1

) 2 ).

K33C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

0+:

Cho

1

(1

Với a (0,2) :

1

u ,v

( 2)

u ,v

,

)
2

Vậy

X

X

( 2)

X

2

u ,v

1

(0, a),(

1

2

( 1)

u ,v

u ,v

2

kéo theo 0

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1

u ,v

( 2)

u ,v

X

( 2)

X

2

1

( 1)

1

u ,v

2

1

2 a
2

( 1)

.

) theo tính chất của hàm lồi ta có:

(2) u ,v (a)
2 a

( 1)

2

1
2 a

,

1

2 a

.

2 a

là hàm liên tục trên [0, 2).

Tuy nhiên môđun lồi không bất biến với các chuẩn tương đương do đó

đặc trưng lồi cũng không bất biến với các chuẩn tương đương. Ví dụ sau cho
thấy tính chất đó.
Ví dụ 2.1.3.
Xét không gian Hilbert H l 2 ,

, theo ví dụ 2.1.2 ta có

2
H( ) 1

Với

1 ta đặt, X

Khi đó tất cả

1

, ở đó x

l 2,

là tương đương với
1

Tuy nhiên, với

nên

4

x

0

(H ) 0 .
max x ,

1

x .

, hơn nữa:

x

x.

1, X với chuẩn này là không lồi đều, Routin đã chỉ ra

rằng
0

SVTH: Lê Mai Oanh

X

2(

2

1)1/2

2

21

víi

2

víi

2.

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ví dụ 2.1.4.
Clarkson (1936) đã chỉ ra rằng tất cả các lớp không gian Lp
với 1 p

Lp (d )

là lồi đều bằng cách chỉ ra hai bất đẳng thức sau:

Với x, y Lp , p 2 thì
x

y

p

x

y

p

2 p 1( x

p

p

y ) .

Với x, y Lp ,1 p 2 thì
x

y

q

x

y

q

2( x

p

p

y )1/ p , ở đây

1
p

1
1.
q

Hanner (1956) đã chỉ ra cận dưới của môđun lồi trong Lp , p 2
p 1/ p
p

( ) 1

1

2

.

Bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức nếu thay Lp bởi l p .
2.2. Cấu trúc chuẩn và cấu trúc chuẩn đều
Cho không gian Banach X ,

, D là tập con bị chặn của X , ký hiệu:

rx ( D) sup{ x

y : y D};

r ( D) inf{rx ( D) : x D};
diam( D)

( D) sup{ x

y : x, y D} sup{rx ( D) : x D}.

Định nghĩa 2.2.1.
Một tập con lồi D của không gian Banach X được gọi là có cấu trúc
chuẩn nếu mọi tập con lồi, đóng, bị chặn D1 của D với

r ( D1 )

( D1 ) 0 thì

( D1 ).
Một không gian Banach X được gọi là có cấu trúc chuẩn nếu

r ( D)

( D) , với mọi D

SVTH: Lê Mai Oanh

X lồi, đóng, bị chặn và ( D) 0.

22

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định nghĩa 2.2.2.
Một tập con lồi, đóng, bị chặn khác rỗng D

X được gọi là có cấu

trúc chuẩn đều nếu tồn tại hằng số k (0,1) sao cho r ( D1 ) k ( D1 ) với mọi
tập con lồi, đóng D1 của D .
Một không gian Banach X được gọi là có cấu trúc chuẩn đều nếu tồn
tại hằng số k

0,1 sao cho r ( D) k. ( D), với mọi tập con lồi, đóng, bị

chặn D.
Định nghĩa 2.2.3.

Hệ số chuẩn tắc của không gian Banach X là số xác định bởi

¶ (X ) sup r ( K ) : K
N
(K )

X låi, bÞ chÆn vµ ( K ) 0 .

¶ (X ) là số nhỏ nhất sao cho r ( K ) N
¶ (X ). ( K ) với mọi tập con
Nhận xét: N
K lồi, bị chặn của X .

¶ (X ) 1 nếu và chỉ nếu X có cấu trúc chuẩn đều.
- N
- Các khái niệm trên vẫn còn đúng khi X là không gian mêtric nếu ta
thay d ( x, y)

x y và các tập K

F là một cấu trúc lồi trên X .

Định lí 2.2.1.
Nếu môđun lồi

X

của không gian Banach X thỏa mãn

¶ (X ) 1

X có cấu trúc chuẩn đều và N

X

(1) 0 thì

X

(1) .

Chứng minh
Lấy K là tập con lồi, bị chặn của X với ( K ) d
suy ra

0

( X ) 1, nên ta chọn

0 sao cho d

0

u v
2

K , khi đó với mọi x K : x u

SVTH: Lê Mai Oanh

23

X

(1) 0

( X )d .

Theo định nghĩa ( K ) , tồn tại u, v K sao cho u v
Đặt z

0. Vì

d, x v

d

.

d.

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Theo tính chất môđun lồi ta có

x z

r ( K ) rz ( K )
0 :

Cho

r(K )

1

d

1

X

d

1
X

d

d

X

(1) .d

d.

d
1

X

(1)

( K ).

¶ (X ) 1
Do với mọi tập K lồi, bị chặn của X nên N

X

(1).

Bổ đề 2.2.1.
Với mỗi tập con bị chặn C

X thì hàm rx (C ) là hàm lồi liên tục.

Chứng minh
Ký hiệu r ( x) rx (C ), x
Với x, y

X.

X,

(0,1) ta có

x (1

)y u

x u

(1

) y u

u C.

Suy ra

sup

x (1

)y u

sup x u

u C

(1

u C

r

x (1

)y

)sup y u
u C

r ( x) (1

)r ( y ).

Vậy rx (C ) là hàm lồi.
Mặt khác, với x, y

X , u C ta có

x u
r ( x)
suy ra r ( x) r ( y)

x

x

y

x

y

y u
r ( y)

y.

Đổi vai trò x, y ta nhận được

r ( x) r ( y )

x

y .

(1)

Từ (1) kéo theo tính liên tục của hàm r ( x) rx (C) .

SVTH: Lê Mai Oanh

24

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định lí 2.2.2.
Nếu X là không gian Banach có cấu trúc chuẩn đều thì X là phản xạ.
Chứng minh
Giả sử X có cấu trúc chuẩn đều và K n0 là một dãy giảm các tập lồi,
đóng, bị chặn, khác rỗng của X . Theo định lí Smulian để chứng minh X
phản xạ ta cần chứng minh

I

K no

.

¶ (X )
sao cho N

Thật vậy, chọn

1.

Với mỗi tập con C lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng và (C ) 0, ta đặt

A(C )

x C : rx (C )

(C ) .

Do hàm rx (C ) là lồi và liên tục nên A(C ) lồi, đóng. Hơn nữa A(C )

C và

µ( X ) nên A(C ) bị chặn, khác rỗng.
N
Với n ¥ * đặt K n1

Conv

U A( K

0
i

) . Khi đó K n1 là dãy giảm các

i n

tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng và K n1
Mặt khác K n1 có tính chất
Thật vậy, x, y

UA

Kno với mọi n 1 .

Kn1

K io thì tồn tại n

K n0 , n 1.

p q sao cho

i n

x
Từ A Kqo

A Kqo .

K po và định nghĩa A K po ta có

Kqo
x

A K po , y

y

K p0

Kn0 do đó

K n1

Bằng các tương tự như vậy ta xây dựng được dãy K ni

SVTH: Lê Mai Oanh

25

K n0 .
n ,i

sao cho:

K33C - Toán