Một cách chứng minh mới cho định lý schauder

Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc
nghiên cứu khoa học. Trước sự bỡ ngỡ và khó khăn khi mới làm quen với
công tác nghiên cứu khoa học em đã nhận được sự giúp đỡ động viên của các
thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa. Em xin chân thành cảm ơn sự
giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong
khoa Toán, các thầy cô giáo trong trường ĐHSP Hà Nội 2.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí,
người đã giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành được bài Khóa luận
tốt nghiệp của mình.
Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều
kiện cho em hoàn thành được bài Khóa luận.
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Nguyễn Thị Huyền Trang

1
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí cùng với sự cố gắng nỗ lực
của bản thân, em đã hoàn thành bài Khóa luận của mình. Trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện Khóa luận tốt nghiệp, em có tham khảo tài liệu của
một số tác giả đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan những kết quả trong Khóa luận là kết quả nghiên cứu
của em, không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Nguyễn Thị Huyền Trang

2
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................. 5
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ .................................................. 7
1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, THUẬT NGỮ SỬ DỤNG ........................... 7
1.2. KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ............................................................. 8
1.3. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN .......................................................... 10
1.4. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN ................................................. 11

1.5. ĐỊNH LÝ HALN – BANACH ............................................................ 12
1.5.1. Không gian Banach ....................................................................... 12
1.5.2. Định lý Haln – Banach cho không gian tuyến tính ....................... 12
1.5.3. Định lý Haln – Banach cho không gian định chuẩn ..................... 13
Chương 2: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ SCHAUDER
CỦA S.KAKUTANI ...................................................................................... 14
2.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 14
2.1.1. Hàm bị chặn toàn phần.................................................................. 14
2.1.2. Định lý Arzela – Ascoli ................................................................ 15
2.1.3. Cặp định chuẩn .............................................................................. 16
2.2. ĐỊNH LÝ SCHAUDER ....................................................................... 19

3
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Chương 3: MỘT CÁCH CHỨNG MINH MỚI CHO ĐỊNH LÝ
SCHAUDER CỦA V.RUNDE ..................................................................... 21
3.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 21
3.2. ĐỊNH LÝ SCHAUDER ....................................................................... 24
KẾT LUẬN .................................................................................................... 26
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 27

4

Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

LỜI NÓI ĐẦU

Ra đời từ đầu thế kỷ XX, giải tích hàm đã nhanh chóng phát triển mạnh
mẽ, có sức hút lớn và tìm được những ứng dụng rộng rãi không chỉ trong các
ngành toán học lý thuyết và ứng dụng mà còn nhiều trong các ngành khoa học
kỹ thuật khác. Sự phát triển của giải tích hàm gắn với Nguyên lý ánh xạ mở,
Nguyên lý bị chặn đều, Định lý Haln – Banach, Định lý điểm bất động
Brouwer và một trong số đó là:
Định lý Schauder
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn các định lý trên
và bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài
“Một cách chứng minh mới cho định lý Schauder”.
Mục đích đặt ra của khóa luận này là trên cơ sở nắm được các kiến thức
cơ bản về không gian định chuẩn, không gian Banach, …. sẽ trình bày một
cách chứng minh mới cho định lý Schauder được đề xuất bởi Volker Runde
trong chương III.
Nội dung của khóa luận gồm 3 chương:
Chương I: Một số kiến thức cơ sở.
Nội dung của chương là nhắc lại một số khái niệm cơ bản, tính chất cơ
bản của một số không gian, tập hợp,… là công cụ cho những nội dung nghiên
cứu các chương sau như không gian tô pô, không gian định chuẩn, không

gian Banach, ánh xạ thương, toán tử tuyến tính bị chặn,….
Chương II: Chứng minh định lý Schauder của S.Kakutani
Nội dung của chương là trình bày cách chứng minh định lý Schauder đã
được biết đến của tác giả S.Kakutani.

5
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Chương III: Một cách chứng minh mới cho định lý Schauder của
V.Runde
Nội dung của chương là trình bày một cách chứng minh mới cho định
lý Schauder của tác giả Volker Runde.
Khóa luận này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo – tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến thầy, đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong quá trình hoàn
thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán, cùng các thầy cô
giáo trong trường đã giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập tại trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2.
Mặc dù em đã hết sức cố gắng, song do khả năng và kiến thức còn hạn
chế nên bản khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn.

Xuân Hòa, ngày….. tháng 05 năm 2011
Sinh viên
Nguyễn Thị Huyền Trang

6
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
Mục đích của chương này là trình bày một số kí hiệu, kiến thức cơ bản
của giải tích hàm để chuẩn bị cho nội dung các chương sau.
1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, THUẬT NGỮ SỬ DỤNG
1.1.1. Cho M là một tập con mở của không gian tuyến tính X trên

. Khi đó:

SpanM = không gian tuyến tính nhỏ nhất chứa M.
1.1.2. Cho M là tập con của không gian định chuẩn X thì:
Số dis(u, M ) = inf u v là khoảng cách từ điểm u đến tập M.
v M

1.1.3. Ánh xạ thương
a. Định nghĩa 1:
Cho X là một tập hợp tùy ý.

Ta gọi là tô pô trên X một lớp các tập hợp con τ của X thỏa mãn các
tiên đề:
(i)

∅, X ∈ τ;

(ii)

Nếu G ∈ τ, ∀α ∈ ⋀ thì

(iii)

Nếu G j ∈ τ (j = 1, n ) thì

UG

;

n

I

Gj

.

j 1

Ta gọi là không gian tô pô một cặp X ,

, trong đó X là một tập hợp,

τ là một tô pô trên X. Mỗi phần tử x ∈ X được gọi là một điểm, mỗi tập hợp G
∈ τ được gọi là một tập hợp mở.
Bằng ngôn ngữ tập hợp mở, ta có thể phát biểu lại các tiên đề tô pô như
sau:
(i’)

∅ và X là các tập hợp mở.

(ii’)

Hợp một họ tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở.

(iii’) Giao hữu hạn các tập hợp mở là một tập hợp mở.
7
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

b. Định nghĩa 2:
là một không gian tô pô, R là một quan hệ tương đương

Cho X ,

x%
:x

trên X. Gọi X / R

X là tập hợp các lớp tương đương của X theo

R và

i: X

X /R

x ⟼ x%

là ánh xạ thương.
1.2. KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH
1.2.1. Định nghĩa 3:
là một trường số thực ℝ hoặc số phức ℂ. Tập hợp khác rỗng X

Cho

được gọi là không gian tuyến tính trên trường
(I) Một ánh xạ của tích X

nếu X xác định:

X vào X gọi là phép cộng, đặt tương ứng

với mỗi cặp phần tử u, v ∈ X một phần tử của X gọi là tổng của u và v ,

ký hiệu là u v sao cho:
.

u v

.
.

với mọi u, v

u v =v u
w=u

với mọi u, v,w

v w

X;
X;

Tồn tại phần tử θ ∈ X , gọi là phần tử không, sao cho θ + u = u ,

với mọi u ∈ X ;
.

Với mọi u ∈ X , tồn tại phần tử u ∈ X gọi là phần tử đối của

u sao cho u

u = θ.

(II) Một ánh xạ của tích
X với vô hướng của

X vào X gọi là phép nhân phần tử cuả

, đặt tương ứng với mỗi phần tử

,u ∈

X một

phần tử của X gọi là tích của α với u , kí hiệu là α u , sao cho:
.

với mọi u ∈ X , 1 là đơn vị của

1u = u

;
8
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
.

Chuyên ngành: Giải tích

u =

.

u

u= u+ u
u v = u

.

v

với mọi u ∈ X , mọi α, β ∈

;

với mọi u ∈ X , mọi α, β ∈

;

với mọi u , v ∈ X , mọi α ∈

.

Nhận xét:
1. Các phần tử θ và u trong (I)c và (I)d, là duy nhất.

1u .u và θ = 0.u (0 ∈ ).

2. Phần tử đối của u bằng

3. Ta định nghĩa phép trừ bằng cách gọi hiệu của u và v là phần tử

u v=u

v .

Do đó có thể suy ra các tính chất sau:
.

u v w⟺ w u v

.

u= u

u

với mọi α, β ∈ , mọi u ∈ X ;

.

u v = u

v

với mọi α ∈ , mọi u , v ∈ X ;

.

Nếu α ≠ 0 thì u =

v⟺u

.

Nếu α ≠ β thì

v ⟺ v = θ.

v=

với mọi u , v , w ∈ X ;

v;

4. Trong định nghĩa 1:
- Nếu

= ℝ thì ta được không gian tuyến tính thực.

- Nếu

= ℂ thì ta được không gian tuyến tính phức.
Từ nay về sau ta chỉ xét hai trường hợp trên, do đó phần tử của

gọi là

số. Phần tử θ ∈ X giống như số 0, do đó ta viết 0 thay cho θ.
Ví dụ 1:
Cho C a, b là tập hợp các hàm số liên tục u : a, b ⟶ ℝ, ở đây - ∞ <
a < b < ∞. Với mọi u , v ∈ C a, b và mọi α ∈

, u v và

u là các hàm số

xác định bởi:

u v x =u x

với ∀ x ∈ [a, b].

v x

u x = u x

với ∀ x ∈ [a, b], mọi α ∈ ℝ.
9

Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Dễ dàng kiểm tra u v ,

u ∈ C a, b và C a, b là không gian tuyến

tính thực với phần tử không và phần tử đơn vị tương ứng là các ánh xạ hằng
bằng 0 và 1.
1.2.2. Định nghĩa 4:
Cho X là không gian tuyến tính trên

. Tập M gọi là không gian tuyến

tính con của X nếu mỗi u , v ∈ M, suy ra:

v ∈ M với ∀ α, β ∈ .

u

1.2.3. Định nghĩa 5:
Cho một không gian tuyến tính X . Một hàm số f x xác định trên X
và lấy giá trị là số (thực hay phức tùy theo X là không gian thực hay phức)
gọi là một phiếm hàm trên X . Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:
.

f x1

.

f

x2 = f x1

x =

f x2 với mọi x1 , x2 ∈ X .
với mọi x ∈ X và mọi số α.

f x

Như vậy, một phiếm hàm tuyến tính trên X thực chất là một toán tử
tuyến tính từ X vào

.

1.3. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
1.3.1. Định nghĩa 6:
Cho không gian tuyến tính X xác định trên trường

= ℝ hoặc

(

=

ℂ). Ta gọi X là không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định
, kí hiệu là . , đọc là chuẩn, thỏa mãn

chuẩn) nếu có một ánh xạ từ X vào
các điều kiện:
(i)

với mọi u ∈ X ;

0

u

⟺

u =0

(ii)
(iii)

u =
u v

.u
u + v

u = θ.

với mọi u ∈ X , mọi α ∈

.

với ∀ u , v ∈ X (bất đẳng thức tam giác).
10

Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Số u được gọi là chuẩn của phần tử u trong X . Không gian định
chuẩn X với chuẩn . , kí hiệu là X , . . Nếu chỉ xét một chuẩn trên X thì
ta chỉ cần kí hiệu là X .
1.3.2. Ví dụ 2:
Không gian tuyến tính C a, b

là không gian tuyến tính định chuẩn,

với chuẩn xác định bởi:
. : C a, b ⟶ ℝ

u x

ax u( x) .
⟼ u ( x) = m
a x b

1.4. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN
1.4.1. Định nghĩa 7:
Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P (P là trường số
thực ℝ hoặc trường số phức ℂ). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian
Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:

(i)

(∀ x , x ' ∈ X ) A x x ' = Ax + Ax ' ;

(ii)

(∀ x ∈ X ) (∀α ∈ P)

A x=

Ax

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A
chỉ thỏa mãn điều kiện (i) thì A gọi là cộng tính, còn khi toán tử A chỉ thỏa
mãn điều kiện (ii) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử cộng
tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
1.4.2. Định nghĩa 8:
Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A từ không
gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C > 0, sao cho:
Ax

C x

∀x ∈ X

(*).

11
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

1.4.3. Định nghĩa 9:
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y , hằng số C > 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (*) gọi là
chuản của toán tử A và kí hiệu là A .
Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:
1.

(∀ x ∈ X )

2.

(∀ε > 0) ( x

Ax

A. x ;

X)

( A - ε). x < A .

1.5. ĐỊNH LÝ HALN – BANACH

1.5.1. Không gian Banach
a. Định nghĩa 10:
Không gian định chuẩn X trên

được gọi là một không gian Banach

nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ.
b. Ví dụ 3:
Không gian định chuẩn C a, b là không gian Banach thực, với chuẩn:
u

max u( x)
a x b

với u ∈ C a, b

Sự hội tụ un ⟶ u khi n ⟶ ∞ trong X tương đương với
un u

max un ( x) u ( x) ⟶ 0 khi n ⟶ ∞
a x b

Nghĩa là, dãy un , n = 1, 2, … các hàm số liên tục un : a, b ⟶ ℝ
hội tụ đều trên a, b đến hàm số liên tục u : a, b ⟶ ℝ, n = 1, 2, ….
1.5.2. Định lý Haln – Banach cho không gian tuyến tính
Giả sử rằng:
(i)

L là không gian tuyến tính con của không gian tuyến tính thực

X.

12
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
(ii)

Chuyên ngành: Giải tích

p: X ⟶ ℝ là phiếm hàm dưới tuyến tính xác định trong X ,

nghĩa là với mọi u , v ∈ X và mọi α ≥ 0, ta có:
p(u v) ≤ p(u ) + p v

(iii)

và p

u =

p u .

f : L ⟶ ℝ là phiếm hàm tuyến tính, sao cho:

f u ≤ p(u ) với mọi u ∈ L.
Khi đó f có thể thác triển thành một phiếm hàm tuyến tính F : X ⟶

ℝ có tính chất F u ≤ p u

với mọi u ∈ X .

1.5.3. Định lý Haln – Banach cho không gian định chuẩn
Giả sử rằng:
(i)

L là không gian tuyến tính con của không gian định chuẩn X

trên ℝ.
(ii)

f : L ⟶ ℝ là phiếm hàm tuyến tính, sao cho:
f (u )

u

với mọi u ∈ L và với α ≥ 0 cố định.

Khi đó, f có thể thác triển thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục
F : X ⟶ ℝ thỏa mãn tính chất F (u )

u

với mọi u ∈ X .

13
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Chương 2: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ SCHAUDER
CỦA S. KAKUTANI
Những kết quả dưới đây được tham khảo trong [ 3 ].
2.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
2.1.1. Hàm bị chặn toàn phần.
Cho hai tập hợp X = x , Y = y . Cho f ( x, y ) là một hàm lấy giá trị
thực bị chặn xác định với mọi x ∈ X và với mọi y ∈ Y .
Bổ đề 1
Ba điều kiện sau là tương đương:
(i)

Với mỗi ε > 0 đều tồn tại một phân tích X =

m

của X trong

UA

i

i 1

một số hữu hạn các tập con Ai ; i = 1, m , sao cho:

f ( x1, y)

(1)
(ii)

với ∀ x1 , x2 ∈ Ai ; i = 1, m ; ∀ y ∈ Y .

f ( x2 , y)

Với mỗi ε > 0 đều tồn tại một phân tích Y =

n

UB

j

của Y trong

j 1

một số hữu hạn các tập con B j ; j = 1, n , sao cho:

f ( x, y1 )

(2)
(iii)

f ( x, y2 )

với ∀ x ∈ X ; ∀ y1 , y2 ∈ B j ; j = 1, n .

Với mỗi ε >0 đều tồn tại một phân tích X =

n

m

U Ai ; Y =
i 1

UB

j

của

j 1

X và Y trong một số hữu hạn các tập con Ai , B j ; i = 1, m ; j = 1, n , sao cho:

(3)

f ( x1, y1 )

f ( x2 , y2 )

với ∀ x1 , x2 ∈ Ai ; ∀ y1 , y2 ∈ B j .

Dễ dàng để chứng minh bổ đề này, khi đó ta nói f ( x, y ) là hoàn toàn bị
chặn trên X và Y .

14
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

2.1.2. Định lý Arzela – Ascoli.
Định lý 1:
Một họ bị chặn đều, liên tục đồng bậc F =

f ( x, y) của hàm lấy giá

trị thực liên tục f ( x, y ) được xác định trên một không gian metric X được
giới hạn hoàn toàn bởi metric:
(4)

d ( f1, f 2 ) = sup f1 ( x)

f 2 ( x) .

x X

Đặc biệt:
Cho hai tập hợp X = x , Y = y và f ( x, y ) là một hàm lấy giá trị
thực chặn xác định với mọi x ∈ X và với mọi y ∈ Y .
Với mọi x1 , x2 ∈ X , ta đặt:
(5)

d (1) ( x1, x2 ; f ) = sup f ( x1, y)

f ( x2 , y)

y Y

khi đó d (1) ( x1, x2 ; f ) là một tựa metric được xác định trên X (nghĩa là

d (1) ( x1, x2 ; f ) thỏa mãn tất cả các tiên đề của metric ngoại trừ việc có thể là
tiên đề tách: d (1) ( x1, x2 ; f ) > 0 nếu x1

x2 ).

X được gọi là hoàn toàn bị chặn đối với d (1) ( x1, x2 ; f ) nếu với mọi ε > 0
m

thì tồn tại một phân tích X =

U A của
i

X trong một số hữu hạn các tập con

i 1

Ai ; i = 1, m , sao cho:
d (1) ( x1, x2 ; f ) < ε với ∀ x1 , x2 ∈ Ai ; i = 1, m
Tương tự như vậy nếu ta đặt cho bất kỳ y1 , y2 ∈ Y
(6)

d (2) ( y1, y2 ; f ) = sup f ( x, y1 )

f ( x, y 2 ) .

x X

Khi đó d (2) ( y1, y2 ; f ) là một tựa metric trên Y . Tính bị chặn của Y đối
với tựa metric d (2) ( y1, y2 ; f ) thì được xác định hoàn toàn tương tự.
15
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Định lý 2:
X hoàn toàn bị chặn đối với d (1) ( x1, x2 ; f ) nếu và chỉ nếu Y hoàn toàn
bị chặn đối với d (2) ( y1, y2 ; f ) .
Chứng minh
Định lý 2 được suy ra trực tiếp từ bổ đề 1 vì thấy rằng tính bị chặn của
X đối với d (1) ( x1, x2 ; f ) thì tương đương với điều kiện (i) của bổ đề 1; tính bị

chặn của Y đối với d (2) ( y1, y2 ; f ) thì tương đương với điều kiện (ii) của bổ đề
1
Chú ý:
Trong định lý 2 thì X và Y là đối xứng. Do đó phần “nếu” và “chỉ
nếu” của định lý 2 chủ yếu là các mệnh đề tương tự. Hơn nữa, thật dễ dàng
để thấy rằng mệnh đề này là hệ quả của định lý Arzela – Ascoli.
Trong thực tế, nếu đặt f y ( x) = f ( x, y ) , khi đó F =

f y ( x, y) / y Y

bị chặn đều, họ liên tục đồng bậc của hàm liên tục f y ( x) được xác định trên
tập X với một tựa metric d (1) ( x1, x2 ; f ) và ta có:
(7)

d ( f y1 , f y2 ) = sup f y1 ( x)
x X

f y2 ( x )

= sup f ( x, y1 )

f ( x, y 2 )

x X

= d (2) ( y1, y2 ; f ) .
2.1.3. Cặp định chuẩn.
Cho X = x , Y = y là không gian tuyến tính định chuẩn với x 1 ,
y 2 là các chuẩn. Giả sử rằng có một hàm song tuyến tính lấy giá trị thực

( x, y ) xác định với ∀ x ∈ X , ∀ y ∈ Y sao cho:

(8)

x 1 = sup ( x, y) ;
y

2

1

16
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
(9)

y

Chuyên ngành: Giải tích

2

= sup ( x, y) ;
x1 1

với mọi x ∈ X và với mọi y ∈ Y .
X và Y được gọi là một cặp định chuẩn đối với tích trong ( x, y ) .

Cho X , Y là một cặp định chuẩn đối với tích trong ( x, y ) . Cho T ; T *
là hai toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên X , Y . T và T * được gọi là một
cặp liên hợp nếu:
với mọi x ∈ X , y ∈ Y .

Tx , y = x, T * y

(10)
Dễ dàng thấy rằng:
(11)

T 1 = sup Tx
x1 1

1

= sup sup (Tx , y)
x1 1 y

2

1

= sup sup ( x,T * y )
y

2

1 x1 1

= sup T * y
y

2

= T*

1

2

2

.

Một ví dụ về một cặp định chuẩn được cho bởi không gian Banach X
và không gian liên hợp X * của nó nếu ta xác định tích trong x, x* là giá trị
của một phiếm hàm tuyến tính bị chặn x * tại điểm x .
Tương tự như vậy, không gian liên hợp X * của X và không gian liên
hợp thứ hai X ** của X (tức là không gian liên hợp của X * ) tạo thành một
cặp định chuẩn.
Cũng dễ dàng thấy rằng, nếu xét đến X như là một không gian tuyến
tính con của X ** và nếu Y là một không gian tuyến tính con của X ** trong

17
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

đó có X , khi đó X * và Y tạo thành một cặp định chuẩn. Hơn nữa, toán tử
tuyến tính bị chặn T (được xác định trên X ) và toán tử liên hợp T * (được
xác định trên X * ) tạo thành một cặp liên hợp.
Tương tự như vậy, toán tử liên hợp T * của T và toán tử liên hợp thứ
hai T ** của T (xác định trên X ** ) tạo thành một cặp liên hợp.
Từ định lý 2 ta có ngay:
Bổ đề 2:
Cho X , Y là một cặp định chuẩn đối với tích trong ( x , y ) và cho A ,
B tương ứng là hai tập con bị chặn của X và Y . Khi đó ba điều kiện sau là

tương đương:
(i)

A thì hoàn toàn bị chặn đối với tựa metric:

d (1) ( x1, x2 ; B) = sup ( x1, y) ( x2 , y) ;

(12)

y B

(ii)

B hoàn toàn bị chặn đối với tựa metric:

d (2) ( y1, y2 ; A) = sup ( x, y1 ) ( x, y2 ) .

(13)

x A

Nếu ta xét đến trường hợp đặc biệt khi B là hình cầu đơn vị SY của Y
khi đó ta có:
Bổ đề 3:
Cho X và Y là một cặp định chuẩn đối với tích trong (x, y) và cho A
là một tập con bị chặn của X . Khi đó ba điều kiện sau là tương đương:
(i)

A thì hoàn toàn bị chặn đối với metric:

d (1) ( x1, x2 ) = x1
(ii)

x2 1 ;

Hình cầu đơn vị SY của Y thì hoàn toàn bị chặn đối với tựa

metric d (2) ( y1, y2 ; A) (hay tương tự, từ bất kỳ dãy

yn / n 1,2,3.... của

18
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

những phần tử SY có thể tìm được một dãy con ynk / k 1,2,3,... mà tích
trong x, ynk hội tụ đều trên A ).
(iii)

Tích trong x, y thì hoàn toàn bị chặn trên A và SY .

Và bây giờ ta đi chứng minh định lý Schauder.
2.2. ĐỊNH LÝ SCHAUDER.
Một toán tử tuyến tính bị chặn T được xác định trên một không gian
tuyến tính định chuẩn X thì được gọi là hoàn toàn liên tục trên X nếu ảnh

T (S X ) của hình cầu đơn vị S X của X bởi T là hoàn toàn bị chặn đối với
metric d (1) ( x1, x2 ) = x1

x2 1 .

Định lý:
Cho X , Y là một cặp định chuẩn và cho T , T * là một cặp liên hợp
của toán tử tuyến tính bị chặn tương ứng xác định trên X , Y . Khi đó T là
hoàn toàn liên tục trên X nếu và chỉ nếu T * là hoàn toàn liên tục trên Y .
Chứng minh
Cho S X , SY tương ứng là hình cầu đơn vị của X , Y và xét hàm:

f ( x, y ) = Tx , y = x, T * y

(14)

xác định với mọi x ∈ S X , y ∈ SY .
Thật vậy từ bổ đề 3 có thể suy ra trực tiếp định lý Schauder vì thấy rằng
5 điều kiện sau là tương đương:
(i)

T (S X ) hoàn toàn bị chặn đối với metric:

d (1) ( x1, x2 ) = x1

x2 1 .

(ii)

Tích trong ( x, y ) hoàn toàn bị chặn trên T (S X ) và SY .

(iii)

Hàm f ( x, y ) hoàn toàn bị chặn trên S X và SY .

(iv)

Tích trong ( x, y ) hoàn toàn bị chặn trên S X và T * ( SY ) .

19
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
(v)

Chuyên ngành: Giải tích

T * ( SY ) hoàn toàn bị chặn đối với metric:
d

2

y1 , y2 = y1

y2 .

20
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Chương 3: MỘT CÁCH CHỨNG MINH MỚI CHO
ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA V.RUNDE
Những kết quả dưới đây được tham khảo trong [ 4 ].

3.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Mục đích của phần này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải
tích hàm để chứng minh định lý Schauder, đặc biệt chúng ta không sử dụng
định lý Arzela – Ascoli (và bất kỳ loại đối số đường chéo liên quan).
Và trong suốt quá trình, chúng ta viết Ball(E) thay cho hình cầu đơn vị
đóng của không gian Banach E.
Cho E , F là không gian Banach và cho T : E ⟶ F là compact. Vậy
thì T(Ball(E)) hoàn toàn được giới hạn, mà với mỗi ε > 0 sao cho x1 , x2 ,… xn
∈ Ball(E), với mỗi x ∈ Ball(E) có j ∈ {1, 2, …, n} sao cho Tx Tx j

.

, trong đó QY : F ⟶

Cho Y : = span Tx1 , Tx2 ,...., Txn . Khi đó QY T

F / Y là ánh xạ thương.
Ngược lại, giả sử T : E ⟶ F bị chặn và với mỗi ε > 0, có một không
gian con hữu hạn chiều Y của F sao cho QY T
K : = y Y : dis( y, T ( Ball ( E )))
3

Khi đó K bị chặn và do đó, dimY

. Cho:

3

.

hoàn toàn bị chặn, nghĩa là có

3

y1 , y2 ,…, ym ∈ K , sao cho, với mỗi y ∈ K , có j ∈ {1, 2, …, m} sao cho
y

yj

3

.

21
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Do định nghĩa của K , ta có với mỗi j = 1, m , một phần tử x j ∈ Ball(E)
với y j Tx j

3

.

Cho x ∈ Ball(E) tùy ý. Từ QY
3

y

yj

3

3

. Cho j ∈ {1, 2, …, m} sao cho

. Sau đó ta có:

Tx Tx j ≤ Tx

y j + y j Tx j <

y + y

3

+ + = ε.
3 3

Do đó, T (Ball(E)) hoàn toàn bị chặn và T là compact.
Do đó ta có:
Bổ đề 1:
Cho E , F là không gian Banach và cho T : E ⟶ F bị chặn, khi đó

T là compact nếu và chỉ nếu, với mỗi ε > 0, có một không gian con hữu hạn

chiều Y của F sao cho:
;

QY T

trong đó QY : F ⟶ F / Y là ánh xạ thương.
Bổ đề tiếp theo dưới đây có sử dụng định lý Haln – Banach.
Bổ đề 2:
Cho E , F là không gian Banach , cho T : E ⟶ F bị chặn, cho ε > 0 và
cho X là không gian con đóng của E với số đổi chiều hữu hạn (finite
codimension) sao cho T / X

3

. Khi đó có một không gian hữu hạn X o của

E , sao cho:

QTX o T

;

trong đó QTX o : F ⟶ F / TX o là ánh xạ thương.

22
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Chứng minh
Áp dụng định lý Haln – Banach, ta dung phép nhúng đẳng cự vào trong
ℓ∞( ) cho phù hợp với chỉ số thiết lập ( = Ball(E*)).
Do đó chúng ta có thể giả sử mà không làm mất tính tổng quát:
F = ℓ ∞( )

Áp dụng định lý Haln – Banach, ta có một toán tử
T° : E ⟶ ℓ∞( ) sao cho
T° / X = T / X và T°

T /X

3

.

Cho S : = T T° , khi đó S triệt tiêu trên X và từ khi X là số đổi chiều
hữu hạn và do đó compact. Do đó, có x1 , x2 , …, xn ∈ Ball(E), sao cho, với
mỗi x ∈ Ball(E), có j ∈ {1, 2, …, n} với S x

Sxj

Cho x cố định, x ∈ Ball(E), cho
Sx

Sxj

3

Tx Tx j

3

.

j ∈ {1, 2, …, n}, sao cho

và chú ý rằng:
Sx

Sx j

T° x T° x j

3

2.

3

.

Không gian X o = span{ x1 , x2 ,… xn } do đó có tính chất mong muốn.
Hệ quả:

Cho E , F là không gian Banach và cho T : E ⟶ F bị chặn với tính
chất sau: với mỗi ε > 0, có một không gian con đóng X của E với số đổi
chiều hữu hạn sao cho:

T /X

.

Khi đó T là compact.
Bây giờ ta đi chứng minh định lý Schauder.

23
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

3.2. ĐỊNH LÝ SCHAUDER
Định lý:
Cho E , F là không gian Banach và cho T : E ⟶ F là một toán tử
tuyến tính bị chặn. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i)

T là compact.

(ii)

Cho mỗi ε > 0, có một không gian con hữu hạn chiều của Y của

Y sao cho:

;

QY T

trong đó QY : F ⟶ F / Y là ánh xạ thương.
(iii)

Cho mỗi ε > 0 có một không gian con đóng X của E với số đổi

chiều hữu hạn sao cho:

T /X
(iv)

T * : F * ⟶ E * là compact.

Chứng minh:
Từ bổ đề 1 ta chứng minh được (i) ⟺ (ii).
Từ bổ đề 2 ta chứng minh được (iii) ⟹ (ii).
Để chứng minh (ii) ⟹ (iv): cho ε > 0 và cho Y là một không gian con
hữu hạn chiều của F sao cho:

QY T

.

Cho X là annihilator (triệt tiêu) của Y trong F * , vì vậy X có số đổi
chiều hữu hạn trong F * và
*

T * / X = QY T ;
và do đó

T* /X

.

24
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Cho ε > 0 bất ký, các hệ quả áp dụng cho T * thì thỏa mãn (iv).
Để chứng minh (iv) ⟹ (iii), giả sử ε > 0. Áp dụng bổ đề ε cho T * và
lập luận như trong phần chứng minh (ii) ⟹ (iv), ta có một không gian đóng

X của E ** với số đổi chiều hữu hạn sao cho T ** / X
Do đó T / X

E

.

. Từ ε > 0 tùy ý thì hệ quả kéo theo (i).

25
Nguyễn Thị Huyền Trang

K33 – SP Toán