Phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ cong

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận
được sự quan tâm, động viên khích lệ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ giải
tích nói riêng và khoa Toán trường ĐHSPHN2 nói chung cùng với sự hỗ trợ
giúp đỡ của các bạn sinh viên.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo – Tiến sĩ Bùi Kiên
Cường người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn
thành được khoá luận này.
Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà
em trình bày trong khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính
mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo,
các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày…tháng 05 năm 2011
Sinh viên
Phí Thị Thanh

Phí Thị Thanh

-1-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo –
Tiến sĩ Bùi Kiên Cường cùng với sự cố gắng của bản thân em. Trong quá
trình thực hiện khoá luận em có tham khảo một số tài liệu (như đã nêu trong
mục tài liệu tham khảo )
Em xin cam đoan những nội dung trình bày trong khoá luận là kết quả
của quá trình tìm hiểu, tham khảo và học tập của bản thân, không trùng lặp
với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày…tháng 05 năm 2011
Sinh viên
Phí Thị Thanh

Phí Thị Thanh

-2-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
Trang
PHẦN 1. MỞ ĐẦU ............................................................................................. 4
1. Lí do chọn đề tài ................................................................................... 4
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 4

4. Phương pháp nghiên cứu....................................................................... 5
5. Cấu trúc của khoá luận .......................................................................... 5
PHẦN 2. NỘI DUNG CHÍNH .......................................................................... 6
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị ............................................................. 6
1. Bài toán vật lí dẫn tới phương trình truyền nhiệt .......................... 6
2. Hệ toạ độ cong, hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu ............................. 8
3. Biểu thức toạ độ của toán tử Laplace trong hệ toạ độ trụ
và hệ toạ độ cầu ............................................................................. 15
Chương 2. Truyền nhiệt trong hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu ........................ 23
1. Truyền nhiệt trong hệ toạ độ trụ ................................................... 23
2. Truyền nhiệt trong hệ toạ độ cầu .................................................. 31
3. Một số ví dụ .................................................................................. 35
Kết luận ............................................................................................................... 48
Tài liệu tham khảo ............................................................................................. 49

Phí Thị Thanh

-3-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là một ngành khoa học không những phục vụ cho chính nó, mà
nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa

học khác, trong đó có vật lý.
Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất
phong phú và đa dạng. Nó bao gồm khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành
như: Hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích
phân…Các kiến thức toán học này không những cần thiết cho các bạn sinh
viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác
trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của
họ sau khi ra trường.
Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng
dụng của nó trong vật lý. Đề tài “PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CONG” cũng là một trong số những công cụ toán có
nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúp chúng ta giải quyết các bài
toán vật lý một cách đơn giản hơn. Vì vậy khi chọn đề tài này em muốn đi sâu
vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán học dùng trong vật lý.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong
nghiên cứu vật lý cho bản thân.
- Tìm hiểu phương trình truyền nhiệt trong hệ toạ độ cong, đặc biệt là hai
hệ toạ độ thường gặp trong vật lý đó là : Hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu bài toán vật lý dẫn tới phương trình truyền nhiệt.
- Xây dựng phương trình truyền nhiệt trong hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu.
Phí Thị Thanh

-4-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp giải tích toán học.
- Đọc tài liệu và tra cứu.
5. CẤU TRÚC CỦA KHOÁ LUẬN
Ngoài phần mở đầu và kết luận, phần nội dung chính của khoá luận gồm
hai chương :
Chương I : Một số kiến thức chuẩn bị
Chương II : Truyền nhiệt trong hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu

Phí Thị Thanh

-5-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG I
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. BÀI TOÁN VẬT LÝ DẪN TỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
Xét một môi trường truyền nhiệt đẳng hướng, u(x,y,z,t) là nhiệt độ của
nó tại điểm p(x,y,z) ở thời điểm t. Sự truyền nhiệt tuân theo định luật Fourier:
Nhiệt lượng

Q đi qua một mảnh mặt kín bất kì S theo phương pháp tuyến

r
n trong thời gian

t tỉ lệ với
Q

S, t và đạo hàm pháp tuyến
k x, y, z

u
:
n

u
n

t S

(1)

Trong đó k là hệ số truyền nhiệt trong, không phụ thuộc vào hướng của
r

pháp tuyến vì môi trường là đẳng hướng và ta thường coi là hằng số, n là
vectơ pháp tuyến của

S hướng theo chiều giảm của nhiệt độ.

Bây giờ ta xét một thể tuỳ ý V giới hạn bởi một mặt kín trơn S và xét
sự biến thiên nhiệt lượng trong thể tích đó từ thời gian t1 đến t 2 . Từ (1) ta suy
ra nhiệt lượng truyền vào trong mặt S từ thời điểm t1 đến t 2 là:

Q
1

t
2

dt Ñk x, y, z
t S
1

u
dS
n

r

Trong đó n là vectơ pháp tuyến hướng vào bên trong của mặt S. Áp
dụng định lí Ôtxtrôgraxki để chuyển từ tích phân mặt sang tích phân ba lớp và
coi k là hắng số, ta có:

t
2

Q k dt divgradu dV
1 t V
1

Vì ta có:

divgradu

Phí Thị Thanh

u

2u
x2

2u
y2
-6-

2u
z2
K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

t
1

Nên:

Q k dt dV

1 t V
2
Giả sử trong vùng V có nguồn nhiệt có mật độ là g(x,y,z,t) (nghĩa là

nhiệt lượng sinh ra hoặc mất đi trong một đơn vị thể tích sau một đơn vị thời
gian), thì từ thời điểm t1 đến t 2 , trong thể tích V xuất hiện một nhiệt lượng là:

t
2

Q
2

dt gdV
t V
1

Mặt khác nhiệt lượng cần cho thể tích V thay đổi từ u x, y, z, t đến
1
u x, y, z, t

2

là:

Q
u x, y, z, t
3 V
2

u x, y, z, t c x, y, z
1

Trong đó c là nhiệt dung,

là mật độ của môi trường.

Tính chính xác đến các đại lượng nhỏ so với

u x, y, z, t
2

x, y, z dV

u x, y, z, t
1

V, ta có:

t
2 u
dt
t t
1

Vậy:

Q
3

t
2

dt c
t V
1

u
dV
t

Nhiệt lượng này phải bằng Q Q vậy:
1 2
Q Q Q 0
3 1 2

t
2

Hay:

dt c
t V
1

u
k u g dxdydz 0
t

Vì khoảng thời gian là bất kì nên:

Phí Thị Thanh

-7-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

V

Khóa luận tốt nghiệp

c ut k u g dxdydz 0

Đồng thời vùng V cũng là tuỳ ý nên ở một thời điểm bất kì của môi
trường, ta phải có đẳng thức:

c ut k u g 0
ut a2 u xx u yy u zz

Hay:

a2

Trong đó:

1
g x, y, z, t
c

(2)

k
c

Phương trình (2) được gọi là phương trình truyền nhiệt, nghiệm
u u x, y, z, t của phương trình này mô tả sự phân bố nhiệt độ trong môi

trường truyền nhiệt.
Nếu g 0 , ta có phương trình truyền nhiệt thuần nhất. Ngược lại,
phương trình là không thuần nhất.
2. HỆ TỌA ĐỘ CONG, HỆ TỌA ĐỘ TRỤ VÀ HỆ TỌA ĐỘ CẦU
2.1. HỆ TỌA ĐỘ CONG

Vị trí của một điểm M trong không gian được xác định bằng bán kính
vectơ r . Trong hệ tọa độ Descartes Oxyz
r

r

r

ur

ur

xi y j zk .

Trong nhiều bài toán, để xác định vị trí của điểm M, thay cho bộ ba số

x, y, z người ta dùng bộ ba số khác q1, q2, q3 phù hợp và thuận tiện hơn với
bài toán đang xét. Ngược lại, ta giả thiết bộ ba số q 1, q2, q3 ứng với một bán
r
kính vectơ r , do đó ứng với một điểm M nào đó của không gian.
Các đại lượng q1, q2, q3 được gọi là tọa độ cong của điểm M.
Vì mỗi điểm M ứng với ba tọa độ q1, q2, q3 do đó mỗi một tọa độ này là
r
một hàm cuả bán kính vectơ r
Phí Thị Thanh

-8-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

q
1
q
2
q
3

r
r
r
r
r
r

Khóa luận tốt nghiệp

q x, y, z
1
q x, y, z
2
q x, y, z
3

Ngược lại, bán kính vectơ của mỗi điểm trong không gian được xác
r
định hoàn toàn khi cho ba số q1, q2 , q3. Nghĩa là ba thành phần x, y, z của r
là hàm số của q1, q2, q3

x x q ,q ,q
1 2 3
y

y q ,q ,q
1 2 3

z

z q ,q ,q
1 2 3

Các mặt mức qi = C ( i = 1, 2, 3) tạo thành một họ mặt nào đó. Mỗi họ
mặt mức có một mặt đi qua điểm M nào đó của không gian. Ta gọi các mặt
này là các mặt tọa độ. Giao tuyến của hai mặt tọa độ gọi là đường tọa độ.

Chẳng hạn, giao tuyến của hai mặt q2 = C và q1 = C cho ta đường tọa độ q3.
Dọc theo đường tọa độ này, chỉ có tọa độ q3 biến thiên, còn hai tọa độ q1, q2
giữ nguyên giá trị.
2.2. HỆ TOẠ ĐỘ CONG TRỰC GIAO

Hệ toạ độ cong q , q , q mà các đường toạ độ vuông góc với nhau
1 2 3
từng đôi một tại mỗi điểm được gọi là hệ toạ độ cong trực giao.
Hệ toạ độ Descartes là hệ tọa độ cong trực giao, đặc biệt hệ toạ độ trụ, hệ tọa
độ cầu là các hệ toạ độ cong trực giao.
Ta nhận thấy rằng trong hệ toạ độ Descartes hướng của các vectơ ei
không phụ thuộc vào vị trí của M, còn trong hệ toạ độ cong, ba vectơ đơn vị
trực giao e , e , e phụ thuộc vào vị trí của M.
1 2 3

Phí Thị Thanh

-9-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Gọi vectơ đơn vị có phương pháp tuyến với mặt toạ độ qi Ci và
hướng theo chiều tăng của qi là ei
Trong hệ toạ độ cong trực giao thì ei

ei

2.2.1.Hệ tọa độ trụ
Trong không gian R3 với hệ tọa độ Descartes Oxyz ta xét hệ ba số r, φ, z
Trong đó r ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π và cho tương ứng ba số này với một điểm M
có cao độ z và hình chiếu của nó lên mặt phẳng Oxyz có tọa độ r và φ. Rõ
ràng rằng mỗi bộ ba số tương ứng với một điểm M và ngược lại mỗi điểm M.
Tương ứng với bộ ba số r, φ, z, trong đó r ≥ 0, 0 ≤ φ ≤2π, −∞ < z < +∞ (Trừ
trường hợp khi điểm M nằm trên trục Oz, r và z được xác định đơn trị còn góc
φ có thể nhận giá trị tùy ý).
Những số r, φ, z được gọi là tọa độ trụ của điểm M, q1 = r, q2 = φ, q3 = z
Ta có thể dễ dàng thiết lập sự liên hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ
Descartes:
x = r cosφ, y = r sinφ, z = z
và

z=

x2

y2 ,

arctagy/x , z = z

Các mặt tọa độ: Mặt tọa độ r = const là mặt trụ có trục là Oz, mặt tọa
độ φ = const là nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục Oz, mặt z = const là mặt
phẳng song song với mặt Oxy.
Các đường tọa độ: Đường z là đường thẳng song song với trục Oz,
đường φ là đường tròn có tâm nằm trên trục Oz trong mặt phẳng vuông góc
với trục Oz, đường r là nửa đường thẳng xuất phát từ trục Oz và song song

với mặt Oxy.
2.2.2.Hệ tọa độ cầu
Cho ba số ρ, θ, φ đặc trưng cho điểm M như sau: ρ là khoảng cách từ
gốc tọa độ đến diểm M, θ là góc giữa chiều dương của trục bán kính vectơ M,
Phí Thị Thanh

-10-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

φ là góc giữa chiều dương của trục Ox và hình chiếu của bán kính vectơ lên
mặt phẳng Oxy.
Rõ ràng rằng mỗi điểm trong không gian tương ứng với bộ ba số ρ, θ, φ
ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π và ngược lại ba số này tương ứng với một điểm
xác định trong không gian.
Sự liên hệ giữa tọa độ cầu và tọa độ Descartes:
x = ρ sinθcosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ
x2

và

y2 z2 ,

arccos

z
x2 y 2 z 2

,

arctagy/x

Các mặt tọa độ: Mặt ρ = const là mặt cầu với tâm dặt tại gốc tọa độ,
mặt φ = const là nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục Oz, mặt θ = const là nửa mặt
nón có đỉnh là O, trục là Oz.
Các đường tọa độ: Đường ρ là nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O,
đường φ là đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu, đường θ là đường kinh tuyến
trên mặt cầu.
Trong không gian cho một điểm M nào đó, gọi ei , i 1,2,3 là các vectơ
đơn vị tiếp xúc tại điểm này với các đường toạ độ qi và hướng theo chiều
tăng của các toạ độ qi .
2.3. HỆ SỐ LAME

Trong
M q
1 1

không

gian

R3

ta

xét

điểm

M q ,q ,q
1 2 3

và

q , q , q . Cả hai điểm này nằm trên cùng một đường toạ độ q .
1
1 2 3

Ta kí hiệu độ dài của cung MM là s và xét tỉ số
1
1

s
1 . Nếu khi
q
1

q
1

0 tỉ

số này có giới hạn (hữu hạn) thì giới hạn này được kí hiệu là h và được gọi
1
là hệ số Lame đối với toạ độ q tại điểm M.

1
Phí Thị Thanh

-11-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

h q ,q ,q
1 1 2 3

s
1
lim
q 0 q1
1

Rõ ràng rằng hệ số Lame, nói chung, phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Cũng như vậy ta có định nghĩa hệ số Lame đối với toạ độ hệ thứ hai tại điểm M.

h q ,q ,q
2 1 2 3
Trong đó M q , q , q , M q , q
1 2 3
2 1 2

s
2
lim
q 0 q2
2
q , q và
2 3

s là độ dài cung
2

MM . Tương tự ta có hệ số Lame đối với toạ độ thứ ba.
2

Chú ý: Khi biết hệ số Lame, ta có thể tính gần đúng độ dài cung của
các đường toạ độ như sau:
Nếu như q , q , q khá bé, từ định nghĩa hệ số Lame ta có thể viết:
1 2 3

h :
1
Từ đây ta suy ra:

s
s
s
1 ,h ~ 2 ,h ~ 3
q 2
q 3
q

1
2
3
s ~h q , s ~h q , s ~h q
1 1 1 2 2 2 3 3 3

Hệ số Lame h , h , h trong hệ toạ độ Descartes: Cho x một số gia
1 2 3

x thì độ dài đoạn thẳng nối diểm M x, y, z và

M x
1

x, y, z bằng x

vì thế:

hx
Tương tự:

s
1
lim
x
x 0

x
lim x 1
x 0

hy 1, hz 1

Hệ số Lame hr , h , hz trong hệ toạ độ trụ:

Phí Thị Thanh

-12-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

s
1
lim
r 0 r
s
2
lim
0
s
3
lim
z
z 0

hr
h
hz

r
lim r 1 ,
r 0
r
r,
lim
0
z
lim z 1 .
z 0

Hệ số Lame h , h , h trong hệ toạ độ cầu:

h
Do s
3

sin sin

lim

s
3.
0

nên:

h

lim

sin

sin .

0

Tương tự:

h
h

lim
s 0
lim

s
1

1

lim
s 0

s
2

0

lim

0

2.4. ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ HỆ TOẠ ĐỘ LÀ TRỰC GIAO

Trong không gian R3 với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz ta xét
hệ toạ độ cong q , q , q . Xét điểm M có bán kính vectơ r q , q , q trên
1 2 3
1 2 3
đường toạ độ q và điểm M có bán kính vectơ r q
1
1
1 1

q , q , q cũng trên
1 2 3

đường q và lập tỉ số:
1
r
q
1

Phí Thị Thanh

r q
1 1

q ,q ,q
r q ,q ,q
1 2 3
1 2 3
q
1

-13-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp
r
tiến đến vectơ cùng phương,
q
1

Ta thấy khi M tiến đến M vectơ
1

r
cùng chiều với vectơ đơn vị e tại M. Ta gọi vectơ đó là vectơ đạo hàm
1
q
1
mặt khác ta có:

r
1 h
lim
q 0 q1 1
1

r
lim
q 0 q1
1

r
Như vậy h chỉ độ lớn của vectơ
và ta có thể kí hiệu như sau:
1
q
1
r
he .
11
q
1

Hơn nữa do r

xi

yj

z nên:
k

r
q
1

x
i
q
1

y
j
q
1

z
k.
q
1

Do đó ta có:

h
1

2

2

2

x
q
1

y
q
1

2
z
q
1

Tương tự:

r
q2

h2e2 ,

r
q3

h3e3

Trong đó:

hi

2

x
qi

2

y
qi

2

z
qi

2
.

Theo định nghĩa hệ toạ độ cong trực giao ta có:

Phí Thị Thanh

-14-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

ei , e

Khóa luận tốt nghiệp

ji

1 khi i

j

0 khi i

j.

Mặt khác ta lại có:

r
r
,
qi q j

hi h j ei , e j .

r
r
,
qi q j

0 , với i

Từ đó suy ra:
j

Hay:

r
r
,
qi q j

x x
qi q j

y y
qi q j

z z
qi q j

0 , với i

j

Bây giờ ta xét vectơ grad qi :
qi
i
x

grad qi

qi
j
y

qi
k
z

Ta thấy grad qi có phương vuông góc với mặt toạ độ qi Ci và theo
chiều tăng của qi , nên grad qi cùng phương và cùng chiều với vectơ đơn vị
pháp tuyến ei , ta có thể viết grad qi

grad qi .ei

Xét tích vô hướng:

r
.grad qi
qi

hi .ei . grad qi .ei

Trong hệ toạ độ cong trực giao ei

hi

Phí Thị Thanh

hi grad qi .eiei 1

ei nên ta có mối liên hệ sau:

1
grad qi

-15-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Hay
hi

1
qi
x

2

qi
y

2

qi

z

2

Hơn nữa trong hệ toạ độ cong trực giao
ei , e j

0 , với i

grad qi , grad q j

Suy ra:

j
0 , với i

j

0 với i

j.

Hay

qi q j
x x

qi q j
y y

qi q j
z z

Công thức trên chính là điều kiện cần và đủ để một hệ toạ độ cong là
trực giao.
3. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE TRONG HỆ TOẠ
ĐỘ TRỤ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ CẦU
3.1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG

Trong không gian ta cho hệ tọa độ q , q , q và trường vô hướng
1 2 3
u

f q ,q ,q
1 2 3

Hãy tính gradien của trường này tại điểm bất kỳ M q , q , q . Trước
1 2 3
hết xét hình chiếu của gradient lên vectơ e . Như ta đã biết, hình chiếu của
1
gradien của hàm f lên một hướng nào đó bằng đạo hàm của hàm f theo hướng
này.

hce gradf
1

Phí Thị Thanh

-16-

f
.
e
1

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Mặt khác đạo hàm theo hướng e bằng đạo hàm theo cung l của
1
đường tọa độ q
1

f
e
1

hce gradf
1

f
l

Nhưng đạo hàm theo cung theo định nghĩa bằng:
f
l

lim
M M
1
doc theo l

f M
1

f M
s
1

Từ đây:

f
l

lim
q 0
1

lim
q 0
1

f q
1

q ,q ,q

1 2 3
s
1

f q ,q ,q
1 2 3

f q
1

q ,q ,q
f q ,q ,q
1 2 3
1 2 3 . q1
q
s
1
1

f 1
. .
q h
1 1

Tương tự:

hce gradf
2

1 f

.
,
h q
2 2

hce gradf
3

1 f
.
.
h q
3 3

Và

Nếu trường được cho trong hệ tọa độ trụ u

f
1 f
er
e
r
r

gradu

f r , , z thì:

f

e
z z

Nếu trường được cho trong hệ tọa độ cầu thì:

gradu
Phí Thị Thanh

f

e

1 f

e

-17-

1
sin

f

e

.

K33A Toán

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

3.2. DIVE TRONG HỆ ĐỘ CONG

Xét trường vectơ
A A q ,q ,q e A q ,q ,q e A q ,q ,q e .
1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 3

Theo định nghĩa, div của trường
A

tại

điểm

M

bằng:

A, n dS
divA
V

lim
M

S
V

Trong đó M V và V là miền
được giới hạn bởi bề mặt S
Xét một hình hộp chữ nhật cong
có đỉnh tại M đang xét, các mặt bên
trùng với các mặt tọa độ, các mặt đối
diện với các mặt tọa độ đi qua điểm
N.Trong hệ tọa độ cong trực giao:
V

hh h q q q
12 3 1 2 3

Mặt MM N M có diện tích là h h q q . Thành phần của vectơ A
2 1 3
2 3 2 3
trên pháp tuyến của mặt này là
qua mặt này là

A , do đó thông lượng tương ứng của A đi
1

Ah h q q .
12 3 2 3

Xét mặt M N NN trên mặt này q có giá trị q
1 3 2
1
1

q do đó thông
1

lượng qua mặt này là:

Ah h
123

A h h dq
q 123 1
1

q q .
2 3

Do đó thông lượng qua hai mặt MM N M và M N NN bằng
2 1 3
1 3 2

Phí Thị Thanh

-18-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

A h h dq q q q .
q 12 3 1 1 2 3
1
Tương tự thông lượng qua hai mặt MM N M và M N NN bằng
1 2 3
2 3 1

q
2

A h h dq q q .
213 2 1 3

Thông lượng qua hai mặt NN M N và MM N M bằng
1 3 2
1 3 2

q
3

A h h dq q q
312 3 1 2

Cộng cả ba biểu thức trên ta được thông lượng toàn phần qua mặt S
A, n dS ,
S

Chia cho thể tích hình hộp và qua giới hạn ta được:

1

divA
hh h
12 3

Ah h
12 3
q
1

A hh
2 31
q
2

A hh
312
q
3

3.3. ROTA TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG

Ta xét trường vectơ :
A A q ,q ,q e A q ,q ,q e A q ,q ,q e .
1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 3

Để tìm rota của trường này, ta tính hình chiếu của rota lên các trục
e , e , e ví dụ, ta tìm hình chiếu của rota theo một hướng nào đó bằng mật độ
1 2 3

lưu thông trung bình của trường A theo hướng này. Mật độ lưu thông trung

bình theo hướng e bằng tỉ số lưu thông theo một chu tuyến bất kỳ bao quanh
1
M và diện tích S được giới hạn bởi chu tuyến này hướng dọc theo vectơ e .
1
Ta có định nghĩa:
ÑAd l
rote A
lim
1
S M S

Phí Thị Thanh

-19-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Dùng làm bề mặt này, để thuận tiện, ta chọn mặt tọa độ q const đi
1
qua điểm M và miền S là miền MM N M được giới hạn bởi các đường tọa
2 1 3
độ.
Diện tích của yếu tố vi phân mặt được giới hạn bởi chu tuyến đó là:
S

h h q q .
2 3 2 3

Trên cung MM ta có:
2
Adl
MM

A S
2 2

A h q .
2 2 2

2

Trên cung M N giá trị của tọa độ thứ ba là q
3
3 1

Ad l

A h
2 2

M N
3 1

q
3

q . Do đó:
3

A h dq
2 2 3

q
2

A h dq
33 2

q .
3

Tương tự ta có:

Ad l
MM

Ah q ,
33 3

3
Ad l

M N
2 1

Ah
33

q
2

Vậy:
Ad l
MM N M
2 1 3

MM

2

M N M N MM
2 1 1 1
3

q
2

Ah
33

q
3

A h
2 2

q q .
2 3

Chia biểu thức này cho S và qua giới hạn ta được:

1
rot A
1
h h
23

q
2

Ah
33

q
3

Ah .
2 2

Bằng cách tương tự ta nhận được:

Phí Thị Thanh

-20-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

1
rot A
2
hh
31

q
3

1
rot A
3
hh
12

q
1

Ah
11

q
1

Ah
33

Và

Ah
2 2

q
2

Ah .
11

Trong hệ tọa độ trụ, đối với trường
A Ar er

A e

Az ez

Rota được tính theo công thức:

rotA

A r

Az

1
r

Ar
z

er

z

Az
e
r

A r

1
r

Ar
ez

r

Trong hệ tọa độ cầu:
A A e

1

A

1
2 sin

rotA
A

A

A e

A e

e

1
sin

A

sin

( A sin )

e

e

3.4. TOÁN TỬ “nabla”

Kí hiệu

là toán tử “ nabla ” hay toán tử Hamilton. Trong hệ toạ độ

Descartes vuông góc, nó có dạng:

i
Dùng kí hiệu toán tử nabla
grad

Nếu tác dụng toán tử

j

x

y

k

z

ta có:

, divA

A, rotA

A

lên chúng một lần nữ ta được toán tử vi phân

cấp hai. Ta có các lược đồ sau:
Phí Thị Thanh

-21-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

divgrad

grad

rotgrad

divA

A

divddiv A

A

divrot A

A

rot A

A

A

rotrot A

A

Ta dễ dàng suy ra các hệ thức sau:
a) rotgrad

0
0 vì tích vô hướng của hai vectơ cộng

Thật vậy
tuyến bằng không.
A

b) divrotA =
Vì vectơ

0

A vuông góc với

, và tích vô hướng của hai vectơ đặt

vuông góc với nhau bằng không.
Đặt B = rotA, ta có divB = 0, nghĩa là B là trường hình ống.
c) rotrotA =
d) divgrad

A

A

A = graddivA -

2A

2

3.5.TOÁN TỬ LAPLACE

Trong vật lý toán nguời ta gọi toán tử cấp hai divgradu là toán tử
Laplace và kí hiệu bởi

. Từ hệ thức divgradu

2 ta có:

2

Phí Thị Thanh

-22-

K33A Toán


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

3.5.1. Trong hệ toạ độ trụ
Xét hệ tọa độ cong x r , x
1
2

,x
3

z liên hệ với hệ tọa độ Descartes

bởi các hệ thức x r cos , y r sin , z

z , các bề mặt của hệ tọa độ cong

này khi r const là mặt trụ, khi

const là mặt phẳng, khi z const là mặt

phẳng, vì thế còn được gọi là hệ tọa độ trụ. Hệ số Lame h 1, h r , h 1 .
1
2
3

Do đó các toán tử grad và toán tử Laplace trong hệ tọa độ trụ được viết:

gradu

u
1 u
er
e
r
r

u
e
z z

Ta có toán tử Laplace

u

h h
23
r h
r
1

1
hh h
123

u

1
r

u
u
r
r
r

hh
31
h
2

hh
12
z h
z
3

2u
1 2u
r
r 2
z2

3.5.2. Trong hệ toạ độ cầu
Xét hệ tọa độ cong x r , x
1

2

liên hệ với hệ tọa độ

,x
3

Descartes bởi các hệ thức x r sin cos , y r sin sin , z r cos , các bề
mặt của hệ tọa độ cong này khi r const là mặt cầu, khi

const là mặt

phẳng, khi z const là mặt nón, vì thế còn được gọi là hệ tọa độ cầu. Hệ số
Lame h 1, h r , h r sin , do đó các toán tử grad và toán tử Laplace
1
2
3
trong hệ tọa độ trụ được viết:

gradu

u

Phí Thị Thanh

1
2 sin

sin

u
1 u
er
e
r
r

u 2

-23-

1
r sin

u

u

sin

ez

1
sin

2u
2

K33A Toán

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG II
TRUYỀN NHIỆT TRONG HỆ TOẠ ĐỘ TRỤ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ CẦU
1. TRUYỀN NHIỆT TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ
1.1. TỌA ĐỘ TRỤ XUYÊN TÂM

Xét quá trình truyền nhiệt trong một thanh trụ dài với thiết diện hình tròn,
giả sử nhiệt độ của thanh có dạng u u r , t là hàm của bán kính r và thời
gian t:

u
t

2u 1 u
r2 r r

a2

u r ,t
0
u r ,0

0

,0 r r
0

(1.1)

f r

Giả sử rằng nghiệm có dạng:
u u r, t

R r T t

(1.2)

Thay vào phương trình đã cho ta có:

R r T t

a2 R r T t

R r T t
0

0

Từ điều kiện biên, ta suy ra R r
0

1
R r T t
r

0 . Chia cả hai vế của phương trình

trên cho a2 R r T t ta thu được:
T t
a2T t

Trong đó

1

R r

1
R r
r
R r

1

(1.3)

là hằng số tách biến.

Từ (1.3) ta đưa ra hai phương trình vi phân:
Phí Thị Thanh

-24-

K33A Toán

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

R r

T t

a2T t
1

1
R r
r

R r
1

Khóa luận tốt nghiệp
(1.4)

0
0,0 r r , R r
0
0

0

(1.5)

Phương trình (1.5) là bài toán Sturm-Liouville đơn giản, trong đó với

1

0,

2 nghiệm không tồn tại. Khi

1

2 ta có phương trình Bessel

1

cấp không . Nghiêm tổng quát của phương trình này có dạng:

R R r

CJ
1 0

r

C Y
2 0

r ,0 r r , C , C const
0 1 2

Để xác định nghiệm trên biên, vì tính chất hữu hạn của nghiệm, đặt
C 0 , chọn C 1 , nghiệm xác định trong khoảng 0 r r có dạng:

2
1
0

R R r
Giá trị
R r
0

J

0

r

được chọn sao cho thoả mãn điều kiện biên
J

0

r
0

Trong đó i

0

J

0

0
0

0

i

i

i , i 1,2,3,...
r
0

(1.6)

là các không điểm của hàm Bessel loại 1 . Với mỗi giá

trị riêng có một hàm riêng.

0
R Ri r

J

0

ir

J

0

i r , i 1,2,3,...
r
0

(1.7)

Các hàm riêng này trực giao nhau trong khoảng từ 0 đến r0 với hàm
trọng là r.
Giải phương trình (1.4) theo biến t ta có:

T Ti t

e

2 2
i a t , i 1,2,3,...

Do đó nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng (1.1) có dạng:

Phí Thị Thanh

-25-

K33A Toán