Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu về tinh thể phi tuyến

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG

MỘT SỐ LÝ THUYẾT THỐNG KÊ NGHIÊN CỨU VỀ
TINH THỂ PHI TUYẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI. 2012
1


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu, với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ
của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp của mình.
Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lí, tới
các bạn sinh viên đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo
T.S Phạm Thị Minh Hạnh - người đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, giúp đỡ
em hoàn thành khóa luận này.
Mặc dù em đã có nhiều cố gắng, nhưng đây là bước đầu làm quen với
công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu
sót. Kính mong sự góp ý,chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn đọc
để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Ánh Hồng.

2


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của bản thân em qua quá trình học
tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, em luôn được sự quan tâm tạo điều kiện của
các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lí, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của
cô giáo T.s Phạm Thị Minh Hạnh.
Em xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.Em cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn
và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Ánh Hồng.

3


MỤC LỤC
Trang
A. MỞ ĐẦU. .................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài .......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 2
3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 2

B. NỘI DUNG ................................................................................................ 3
Chƣơng 1: Cấu trúc tinh thể ........................................................................ 3
1.1.

Các dạng liên kết trong vật rắn ................................................. 3
1.1.1. Lực Van-der-van ....................................................................... 3

1.2.

1.1.2.

Liên kết ion ............................................................................. 4

1.1.3.

Liên kết cộng hóa trị ............................................................... 4

1.1.4.

Liên kết kim loại ..................................................................... 5

1.1.5.

Liên kết hiđro .......................................................................... 5

1.1.6.

So sánh các loại liên kết.......................................................... 5
Mạng tinh thể ............................................................................ 6

1.2.1. Mạng không gian ...................................................................... 6
1.2.2. Các hệ tinh thể .......................................................................... 8
1.2.3. Một số kiểu tinh thể điển hình .................................................. 11
1.2.4. Cấu trúc tinh thể........................................................................ 11
1.2.5. Chỉ số Miller ............................................................................. 12
1.2.6. Mật độ nguyên tử trong mạng tinh thể, hệ số xếp chặt ............ 13
1.3.

Tính đối xứng của tinh thể ....................................................... 14
1.3.1. Tâm đối xứng ............................................................................ 14
1.3.2. Mặt chiếu gương ....................................................................... 14
1.3.3. Trục đối xứng............................................................................ 14
1.3.4. Phép tịnh tiến ............................................................................ 15
4


1.4.

Mạng đảo .................................................................................. 15
1.4.1. Định nghĩa................................................................................. 15
1.4.2. Tính chất của vecto mạng đảo .................................................. 16

1.5.

Sai lệch mạng tinh thể............................................................... 17
1.5.1. Sai lệch điểm ............................................................................. 17
1.5.2. Sai lệch đường lệch ................................................................... 18
1.5.3. Sai lệch mặt ............................................................................... 19
1.5.4. Sai lệch khối.............................................................................. 19
1.5.5. Vai trò của sai lệch đối với tính chất của vật rắn...................... 19

1.6.

Đơn tinh thể và đa tinh thể........................................................ 19
1.6.1. Đơn tinh thể, các đặc tính, ứng dụng ........................................ 19
1.6.2. Đa tinh thể ................................................................................. 20

1.7.

Kết luận chương 1 ..................................................................... 21

Chƣơng 2: Hiệu ứng phi tuyến của tinh thể. Các lý thuyết chủ yếu nghiên
cứu hiệu ứng phi tuyến của tinh thể ............................................................ 22
2.1. Hiệu ứng phi tuyến của tinh thể ............................................................... 22
2.2. Lý thuyết động lực mạng tinh thể ............................................................ 24
2.3. Lý thuyết phonon tự hợp .......................................................................... 28
2.4. Phương pháp hàm phân bố một hạt.......................................................... 32
2.5. Phương pháp Monte – Carlo .................................................................... 38
2.5.1. Sự ra đời của phương pháp Monte – Carlo ................................. 39
2.5.2. Phương pháp Monte – Carlo là gì? ............................................. 39
2.5.3. Phương pháp Monte – Carlo trong các trạng thái vật lí.............. 40
2.5.4. Từ phương pháp Monte – Carlo đến phương pháp động học
Monte – Carlo ................................................................................................. 41
2.6. Kết luận chương 2 .................................................................................... 43
C. KẾT LUẬN ............................................................................................... 44
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 45
5


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.
Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lí chất
rắn đóng vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lí chất rắn đã tạo ra những vật liệu
cho các ngành kĩ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng
nguyên tử v…v… Trong những năm gần đây xuất hiện hàng loạt công trình
về siêu dẫn nhiệt độ cao làm cho vị trí ngành vật lí chất rắn càng thêm nổi bật.
Phần lớn các vật rắn có cấu trúc tinh thể, nghĩa là các hạt tạo nên chúng
được sắp xếp một cách có trật tự. Chính vì vậy, tinh thể vật rắn có tính tuần
hoàn theo không gian và tạo thành mạng tinh thể có cấu trúc đối xứng. Các
hạt ở nút mạng tinh thể dao động xung quanh vị trí cân bằng với biên độ nhỏ.
Trong trường hợp này có thể xem tinh thể như hệ các dao tử điều hòa độc lập.
Điều đó có thể cho phép giải thích được một số tính chất nhiệt động như nhiệt
dung của tinh thể ở nhiệt độ thấp. Tuy nhiên, trên cơ sở này không giải thích
được các tính chất nhiệt động khác như hệ số dãn nở nhiệt, nhiệt dung ở nhiệt
độ cao, hằng số mạng…..
Ở nhiệt độ cao, dao động của các hạt ở nút mạng là mạnh. Dao động
của các hạt bây giờ không phải là điều hòa mà là phi điều hòa. Từ đó chúng ta
giải thích được nhiều tính chất nhiệt động của tinh thể, nhất là ở nhiệt độ cao.
Dao động của các hạt ứng với trường hợp phi điều hòa được goi là dao động
phi tuyến. Các hiệu ứng tương ứng trong tinh thể được gọi là hiệu ứng phi
tuyến. Khi tính tới hiệu ứng phi tuyến này chúng ta có thể giải thích được sự
phù hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm của nhiều đại lượng vĩ mô như hệ số
dãn nở nhiệt, hệ số nén, nhiệt dung ở nhiệt độ cao.v...v…. Vì vậy em đã chọn
đề tài nghiên cứu: “Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu về tinh thể phi
tuyến”.
6


2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu một số lý thuyết thống kê nghiên cứu về tinh thể phi tuyến.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu là vật rắn.
- Phạm vi nghiên cứu: vật rắn có cấu trúc tinh thể phi tuyến.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Tìm hiểu vật rắn có cấu trúc tinh thể phi tuyến, các hiệu ứng phi tuyến,
giới thiệu một số phương pháp lý thuyết chủ yếu nghiên cứu hiệu ứng phi
tuyến của tinh thể.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
- Tra cứu, tìm kiếm và nghiên cứu tài liệu.
- Thống kê, lập luận, diễn giải.

7


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ

1.1. Các dạng liên kết trong vật rắn. [1]
1.1.1. Lực Van-der-van.
- Đây là loại liên kết thường gặp nhất xuất hiện giữa hai nguyên tử và
phân tử bất kì.
- Phương trình Van-der-van:
a 

 P  2  V  b   R T .
V 


(1.1)

- Đây là loại lực xuất hiện giữa các phần tử có liên kết hóa học bão hòa
và các phần tử khí trơ.
- Trong trường hợp tổng quát, lực liên kết Van-der-van gồm ba loại liên
kết chính: tương tác tán xạ, tương tác định hướng, tương tác cảm ứng.
 Tương tác tán xạ.
Năng lượng tương tác tán xạ được tính theo biểu thức:
U tx  

3  2J
,
4 r6

(1.2)

trong đó: α: độ phân cực,
J: năng lượng kích thích,
r: khoảng cách.
 Tương tác định hướng.
Năng lượng tương tác định hướng được tính theo biểu thức:
M2
.
+ Ở nhiệt độ thấp: U dh  
2 0 r 2

+ Ở nhiệt độ cao: U dh  

M4

1
.

24  0 k BT r 6
2

2

8

(1.3)
(1.4)


Trong đó: M: mômen lưỡng cực: M =αε (ε: cường độ điện trường),
 0 : hằng số điện môi,
k B : hằng số Boltzmann,

T: nhiệt độ tuyệt đối.
 Tương tác cảm ứng:
Năng lượng tương tác cảm ứng được tính theo biểu thức:
M 2 1
U cu  
.
8 0 2 r 6

(1.5)

Trong trường hợp tổng quát, khi hai nguyên tử lại gần nhau thì xuất
hiện đồng thời ba loại liên kết nên U  U tx  U dh  U cu .
U cu  U tx ; U dh .

1.1.2. Liên kết ion.

- Đây là loại liên kết xuất hiện ở kim loại điển hình kết hợp với nhóm
halogen.
- Bản chất của liên kết ion là lực hút tĩnh điện giữa hai ion trái dấu.
- Đặc điểm: Sự phân bố điện tích trong các ion có tính đối xứng cầu.
- Năng lượng tương tác:
B
q2
U n 
,
r
4 0 r

(1.6)

trong đó: q: điện tích ion,
B, n: hằng số,
r: khoảng cách.
1.1.3. Liên kết cộng hóa trị.
- Liên kết cộng hóa trị được tạo thành bởi các cặp electron có spin đối
song, đây là loại liên kết mạnh mặc dù nó là liên kết giữa các nguyên tử trung
hòa. Ví dụ liên kết trong kim cương, Silic, GaAs, GaP, AlP, ….

9


- Đặc điểm: Liên kết cộng hóa trị có tính bão hòa, tính định hướng.
 Tính bão hòa: Mỗi nguyên tử chỉ có khả năng tạo thành liên kết cộng
hóa trị với một số nhất định nguyên tử lân cận.
 Tính định hướng: Theo hướng đó sự phân bố lớp mây điện tử là lớn
nhất, phù hợp với các điện tử hóa trị.

1.1.4. Liên kết kim loại.
Đây là liên kết xuất hiện trong kim loại. Trong kim loại, liên kết xuất
hiện giữa ion dương và khí điện tử. Lực hút giữa các điện tử nằm giữa các ion
và ion này cân bằng với lực đẩy giữa các ion dương với nhau. Khi giảm
khoảng cách giữa các ion, mật độ khí điện tử tăng lên. Mặt khác, lúc này lực
đẩy giữa các ion cũng tăng đẩy chúng ra xa nhau, đến khoảng cách nào đó lực
hút cân bằng với lực đẩy, mạng ở trạng thái ổn định.
1.1.5. Liên kết hiđrô.
Liên kết hiđrô xuất hiện khi nguyên tử H liên kết với những nguyên tử
có tính âm điện lớn như nguyên tử O, nguyên tử F, nguyên tử Cl. Khi đó các
nguyên tử này nhận một điện tử liên kết và mang điện tích âm, nguyên tử H
mất một điện tử và mang điện tích dương.
1.1.6. So sánh các loại liên kết.
 Liên kết thường gặp nhất là liên kết Van-der-van, có năng lượng thấp
nhất, xuất hiện trong mọi trường hợp, năng lượng liên kết cỡ khoảng
104 J/mol, là loại liên kết yếu nhất.

- Liên kết này xuất hiện giữa nguyên tử, phân tử trung hòa có lớp vỏ
bên trong đầy. Lực Van- der - van xuất hiện ở trạng thái rắn, lỏng, khí của
chất hữu cơ và nhiều chất vô cơ.
- Điểm nóng chảy của các cấu trúc có liên kết này thấp.
 Liên kết ion là liên kết hóa học điển hình thường gặp trong hợp chất vô
cơ, trong các hợp chất kim loại với halogen, oxit kim loại, sunfua và các hợp
chất phân cực khác, năng lượng liên kết cỡ khoảng 106 J/mol.

10


Vật rắn có liên kết này thường có nhiệt dung, điểm nóng chảy cao.
 Liên kết cộng hóa trị: Ít có mặt trong hợp chất hữu cơ, hay gặp trong

hợp chất vô cơ, một số ít kim loại và rất nhiều hợp chất của kim loại chuyển
tiếp, năng lượng liên kết cỡ khoảng 106 J/mol.
Vật rắn có liên kết này thường có nhiệt dung, điểm nóng chảy cao.
 Liên kết hiđrô: Đây là loại liên kết yếu.
Trong vật rắn rất ít khi gặp một loại liên kết mà thường gặp hai hoặc
nhiều hơn hai loại liên kết. Loại liên kết nào chiếm ưu thế thì quy định cấu
trúc của vật rắn đó.
1.2. Mạng tinh thể. [1]
Mạng tinh thể được dùng để mô tả cấu trúc bên trong của tinh thể.
1.2.1. Mạng không gian.
Trong vật rắn, nguyên tử và phân tử được sắp xếp đều đặn tuần hoàn
trong không gian tạo thành mạng tinh thể.
Tinh thể lí tưởng là tinh thể trong đó:
- Sự sắp xếp nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn.
- Tinh thể lí tưởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là ở mọi nơi nó đều
chứa những nguyên tử, phân tử phân bố như nhau.
- Kích thước trải rộng vô hạn.
VD: Hình 1.1 diễn tả mạng tinh thể nhận được bằng cách tịnh tiến các
hạt dọc theo ba trục.
Theo Ox những đoạn a1 , 2a1 , 3a1 , ...., n1a1 .
Theo Oy những đoạn a2 , 2a2 , 3a2 , ..., n2 a2 .
Theo Oz những đoạn a3 , 2a3 , 3a3 , ...., n3a3 .

11


Hình 1.1
Khi đó vị trí của một hạt bất kì của mạng được xác định nhờ





vecto: r  n1a1  n2 a2  n3a3 ,
(1.7)
trong đó: n1 , n2 , n3 là các số nguyên,
  
a1 , a2 , a3 là ba vecto cơ sở.


Khi đó tập hợp các giá trị khác nhau của các điểm có bán kính r được
xác định theo (1.7) với giá trị khác nhau của n1 , n2 , n3 tạo thành mạng không
gian, và các điểm đó được gọi là nút của mạng không gian hay nút mạng.
 



Hình hộp được tạo thành từ ba vecto cơ sở a1 , a2 , a3 là ô cơ sở
hay ô sơ cấp.
Tất cả các ô cơ sở tạo thành mạng có cùng kích thước và hình dạng.
Về mặt nguyên tắc, để mô tả một ô cơ sở cần 6 đại lượng: a1 , a2 , a3 và




 ,  ,  (hình 1.2), trong đó  là góc hợp bởi hai vecto a2 và a3 ,


 là góc hợp bởi hai vecto a1 và a3 ,



 là góc hợp bởi hai vecto a1 và a2 .

12


a3




O

a2



a1
Hình 1.2
+ Ô cơ sở hay ô nguyên thủy là loại ô chỉ chứa các hạt tại các đỉnh và ô
này chỉ chứa một hạt trên một ô cơ sở.
+ Ô phức tạp là ô cơ sở ngoài chứa hạt ở đỉnh còn có hạt ở đỉnh khác.
1.2.2. Các hệ tinh thể.
Căn cứ vào tính chất đối xứng của mạng không gian mà người ta chia
chúng thành bảy hệ ứng với bảy ô sơ cấp khác nhau, mỗi hệ đặc trưng bởi
quan hệ giữa các vecto.
(1). Hệ tam tà.

 a  b  c.

     .

(2). Hệ đơn tà.
 a1  a2  a3 .

     90. Có hai loại đơn tà và đơn tà tâm đáy (có hạt ở hai đáy).
   90.

13


Đơn tà

Đơn tà tâm đáy

(3). Hệ thoi: Ô sơ cấp là hình hộp chữ nhật.

 a  b  c.

      90.
Thoi đơn giản Thoi tâm đáy Thoi tâm khối Thoi tâm mặt

(4). Hệ tứ giác.

 a  b  c.

      90.
Ô sơ cấp có dạng lăng trụ, đáy mỏng. Hai phương a , b là tương đương,
phương c khác. Có hai loại: Tứ giác và tứ giác tâm khối.

14

Tứ giác

Tứ giác tâm khối

(5). Hệ tam giác:

a  b  c.

      120  90.
(6). Hệ lục giác.

a  b  c.

    90.
  120.

Ô sơ cấp có dạng lăng trụ đứng, đáy hình thoi, góc =90  .
(7). Hệ lập phương.

 a  b  c.

      90.
Có ba loại, lập phương, lập phương tâm mặt và lập phương tâm khối.

15


LP đơn giản

LP tâm khối

LP tâm mặt

1.2.3. Một số kiểu tinh thể điển hình. [2]
1.2.3.1. Mạng kim cương.
Kim cương là một trong những dạng thù hình của các bon có liên kết
trao đổi. Ô cơ sở của mạng (hình 1.3) có thể xem như được tạo thành trên cơ
sở ô mạng lập phương tâm mặt. Mỗi nguyên tử trong mạng đều được bao
quanh bởi bốn nguyên tử cách đều.
1.2.3.2. Mạng NaCl.
Mạng được tạo thành trên cơ sở mạng lập phương tâm diện của các ion
Na  và các ion Cl  chiếm các lỗ hổng khối tám mặt (hình 1.4). Mỗi ion Na 

được bao quanh bởi sáu ion Cl  và ngược lại.

H 1.3: Ô cơ sở của mạng kim cương.

H 1.4: Mạng NaCl.

1.2.4. Cấu trúc tinh thể. [1]
Chuyển từ mạng không gian là mô hình toán học sang cấu trúc tinh thể
nếu ta có được cấu trúc thực của tinh thể nếu đặt nguyên tử hoặc nhóm
nguyên tử ở nút mạng hay gần nút mạng.
16


Chẳng hạn, đặt nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử ở trạng thái cân bằng,
hạt nhân của chúng ở nút mạng. Ví Dụ: Tinh thể H (trạng thái rắn) mỗi nút

mạng là một nguyên tử H nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử gọi là gốc.
Ta coi cấu trúc tinh thể = mạng không gian + gốc.
Hoặc cấu trúc tinh thể = mạng không gian + ô cơ sở.
1.2.5. Chỉ số Miller. [1]
- Vị trí của các nút, các hướng và các mặt phẳng trong tinh thể được
xác định bằng chỉ số Miller.
- Đường thẳng mạng là đường thẳng đi qua hai nút mạng.
- Mặt phẳng mạng là mặt phẳng chứa ba nút mạng.
  

Giả sử có ba vecto cơ sở a1 , a2 , a3 và có hệ trục tọa độ Oxyz có các trục
dựa trên ba vecto cơ sở như hình 1.5, gốc O trùng với một nút mạng.

Hình 1.5
Giả sử có một mặt phẳng mạng cắt ba trục Oxyz tại các nút A, B, C và
có các tọa độ là: n1 , n2 , n3 .
Khi đó lấy nghịch đảo của n1 , n2 , n3 ta được:

1 1 1
; ; .
n1 n2 n3

Quy đồng mẫu số chung. Giả sử mẫu số chung nhỏ nhất là D.

17




Các số nguyên h 

D
D
D
; k ; l
chính là chỉ số của mặt phẳng
n1
n2
n3

này và viết là (h k l ) . Khi đó, bộ ba số (h k l ) gọi là chỉ số Miller của mặt
phẳng mạng.

h:k :l 

1 1 1
: :
n1 n2 n3

Chú ý:
(1), Các mặt phẳng mạng song song với nhau có cùng chỉ số Miller. Vì
vậy, chỉ số Miller (h k l) có thể kí hiệu một mặt phẳng hoặc một họ mặt phẳng
song song với nhau.
(2), Nếu mặt phẳng mạng song song với trục tọa độ thì coi như nó cắt
trục đó ở vô cực và chỉ số Miller coi bằng 0.
(3), Nếu mặt phẳng mạng cắt trục tọa độ ở điểm có tọa độ âm thì chỉ số
Miller tương ứng có dấu âm và được kí hiệu là h  .
1.2.6. Mật độ nguyên tử trong mạng tinh thể, hệ số xếp chặt. [4]
1.2.6.1. Mật độ xếp.
Mật độ xếp theo một phương, trên một mặt hoặc trong một mạng tinh

thể đặc trưng cho khả năng chiếm chỗ của nguyên tử trong không gian mạng,
lần lượt xác định được biểu thức:
Ml 

l
s
v
, Ms  , Mv  ,
L
S
V

trong đó: M l , M s , M v : Mật độ xếp theo phương, mặt, thể tích (mạng),
l , s, v : Chiều dài, diện tích, thể tích bị chiếm bởi nguyên tử,

L, S, V: Tổng chiều dài, diện tích, thể tích đang xét trong tinh thể.
1.2.6.2. Cách sắp xếp nguyên tử trong mạng tinh thể, sự xếp chặt.
Mật độ xếp đặc trưng khả năng xếp chặt của các nguyên tử. Giả sử các
nguyên tử là các quả cầu rắn cùng kích thước được xếp chặt sao cho mỗi

18


nguyên tử tiếp xúc với sáu nguyên tử xung quanh, chúng sẽ tạo ra một lớp
nguyên tử xếp chặt (mặt xếp chặt). Sự phá vỡ trật tự xếp gọi là khuyết tật xếp.
1.3 Tính đối xứng của tinh thể. [3]
Đối xứng là một trong những tính chất quan trọng của tinh thể, nó thể
hiện ở hình dạng bên ngoài, cấu trúc bên trong cũng như các tính chất khác.
Tính chất đối xứng của tinh thể được đặc trưng bởi các yếu tố đối xứng,
mỗi yếu tố đối xứng tương ứng với một thao tác đối xứng, tức là một phép

biến đổi hình học xác định để một hệ thống điểm, đường thẳng, phân tử…tự
trùng lặp với chính mình trong không gian.
Những yếu tố quan trọng là:
1.3.1. Tâm đối xứng (Tâm nghịch đảo, kí hiệu C hoặc i).
Các điểm a1 , a2 , a3 , ... gọi là đối xứng qua tâm với b1 , b2 , b3 ,... tương ứng
nếu chúng trùng lặp nhau từng cặp một bằng phương pháp nghịch đảo tâm C
(hình 1.6.a).
1.3.2. Mặt chiếu gương (Kí hiệu P hoặc m).
Các điểm a1 , a2 , a3 ,... được gọi là đối xứng gương với b1 , b2 , b3 , ... tương
ứng nếu chúng trùng lặp nhau từng cặp một bằng phép chiếu gương qua mặt
phẳng P (hình 1.6.b).
1.3.3. Trục đối xứng (Kí hiệu L hoặc n).
Các điểm ai có thể trùng lặp nhau bằng phép quay quanh trục L một
góc  , khi đó chúng được gọi là đối xứng nhau qua trục L. Số nguyên n 

2



gọi là bậc của trục đối xứng. Ta có các trục đối xứng n = 1, 2, 3, 4, 6. Không
tồn tại trục đối xứng bậc 5 và bậc cao hơn 6 (hình 1.6.c).

19


Hình 1.6: Các yếu tố đối xứng.
1.3.4. Phép tịnh tiến (kí hiệu t).
Phép tịnh tiến là một trong những yếu tố đối xứng quan trọng của cấu
trúc mạng tinh thể, ứng với thao tác tịnh tiến mạng tinh thể theo một hướng
nào đó trong không gian đi một số nguyên lần trên độ dài xác định để tinh thể

tự trùng lặp chính nó. Sự trùng lặp ở đây cần hiểu là trùng lặp các yếu tố hình
học giới hạn tinh thể và các tính chất khác. Độ dài đơn vị tịnh tiến (a) được
gọi là chu kì tuần hoàn của mạng tinh thể theo hướng không gian đã cho.
Ngoài những yếu tố đối xứng đơn, còn tồn tại những yếu tố đối xứng
phức hợp gồm hai hay nhiều yếu tố đối xứng đơn.
1.4. Mạng đảo. [1]
1.4.1. Định nghĩa.
- Mạng thuận là mạng không gian được xác định từ ba vecto cơ sở
  
a1 , a2 , a3 .
- Vị trí của mỗi nút mạng được xác định nhờ vecto:




r  n1 a1  n2 a2  n3 a3 ,

trong đó: n1 , n2 , n3 là các số nguyên.
- Mạng đảo là mạng không gian được xác định từ ba vecto cơ sở

  
b1 , b2 , b3 .

20


 

a2  a3 


b1  2    .
 a1  a2   a3

 

a3  a1 

b2  2    .
 a1  a2   a3

 

a1  a2 

b3  2    .
 a1  a2   a3
Tổng quát:

 

ak  ai 

b j  2    .
 ai  a j   ak

- Khi đó, vị trí của mỗi nút mạng được xác định nhờ vecto:





G  m1b1  m2b2  m3b3 , ( m1 , m2 , m3 là các số nguyên).
1.4.2. Tính chất của vecto mạng đảo.
 

(1). b1  a2 và a3 .
 

b2  a1 và a3 .
 

b3  a2 và a1 .
(2). Độ lớn của vecto mạng đảo có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài.
  
(3). Hình hộp chữ nhật dựng lên từ ba vecto b1 , b2 , b3 gọi là ô sơ cấp của mạng
3
  
2 





đảo và có thể tích V  b1  b2  b3  và dễ dàng chứng minh được V 
,
V







với V  a1   a2  a3  là thể tích ô cơ sở mạng thuận.


 Định lí 1: Vecto mạng đảo G vuông góc với mặt phẳng (h k l) của
mạng thuận.
 Định lí 2: Khoảng cách d(h k l) giữa hai mặt phẳng mạng liên tiếp
thuộc họ mặt phẳng (h k l): d  

2

G  hkl 

.

21


1.5. Sai lệch mạng tinh thể. [3]
Cấu trúc tinh thể được trình bày ở trên là cấu trúc tinh thể lí tưởng vì
khi xét đã bỏ qua dao động nhiệt và các sai hỏng trong trật tự sắp xếp của các
nguyên tử, những sai hỏng đó được gọi là sai lệch mạng tinh thể hay khuyết
tật mạng.
Phụ thuộc vào kích thước theo ba chiều trong không gian, sai lệch
mạng chia thành: Sai lệch điểm, đường, mặt và khối.
1.5.1. Sai lệch điểm.
Đó là sai lệch có kích thước rất nhỏ theo ba chiều không gian, Một sai
lệch điển hình là nút trống, nguyên tử xen kẽ, nguyên tử tạp chất.
1.5.1.1. Nút trống và nguyên tử xen kẽ

Trong tinh thể, nguyên tử luôn dao động nhiệt quanh vị trí cân bằng của
nút mạng. Khi một số nguyên tử nào đó có năng lượng cao, với biên độ dao
động lớn chúng có khả năng bứt khỏi nút mạng, để lại nút không có nguyên tử
gọi là nút trống.
Sau khi rời khỏi nút mạng, nguyên tử có thể sang vị trí giữa các nút (cơ
chế tạo nút trống Frenkel) tạo ra sai lệch điểm dạng nguyên tử xen kẽ. Cơ chế
thứ hai gọi là cơ chế tạo nút trống của Schottky, khi nguyên tử rời vị trí cân
bằng ra bề mặt tinh thể.
1.5.1.2. Nguyên tử tạp chất.
Trong thực tế, hầu như không có vật liệu hoặc kim loại sạch tuyệt đối.
Các công nghệ nấu, luyện hiện đại nhất trong phòng thí nghiệm cũng chỉ cho
phép đạt độ sạch nhất là 99,999 % hoặc cao hơn một chút phụ thuộc vào kích
thước các nguyên tử tạp chất thay thế ở nút mạng hoặc xen kẽ giữa các nút.
Đây cũng là sai lệch điểm.

22


Hình 1.7: Các dạng sai lệch điểm: nút trống và nguyên tử tự xen kẽ (a)
và các nguyên tử tạp chất (b).
Mật độ nút trống phụ thuộc vào nhiệt độ theo hàm số mũ, nên tăng rất
nhanh theo nhiệt độ và có giá trị lớn nhất khi sắp chảy lỏng. Nút trống có ảnh
hưởng lớn đến cơ chế và tốc độ khuyếch tán của kim loại và hợp kim ở chế độ
trạng thái rắn.
1.5.2. Sai lệch đường lệch.
Các sai lệch điểm như nút trống, nguyên tử xen kẽ .… nếu chúng nằm
liền nhau trên một đường, chúng tạo sai lệch đường. Chúng có những dạng
hình học nhất định và tính ổn định cao. Người ta phân biệt những loại sai lệch
đường sau đây: lệch thẳng (lệch biên), lệch xoắn và lệch hỗn hợp.

Hình 1.8: Sai lệch đường: lệch xoắn.

23


Hình 1.9: Sai lệch đường: lệch biên.
1.5.3. Sai lệch mặt.
Là loại sai lệch có kích thước lớn theo hai chiều và nhỏ theo chiều thứ
ba. Trong tinh thể sai lệch mặt chủ yếu là biên giới hạt, biên giới siêu hạt, sai
lệch xếp, mặt đối tinh thể và mặt ngoài tinh thể.
1.5.4. Sai lệch khối.
Những sai lệch có kích thước lớn theo ba chiều trong mạng tinh thể gọi
là sai lệch khối. Sai lệch khối vi mô là những sai hỏng sinh ra khi nấu, đúc
hợp kim tập trung tạp chất xỉ trong vật đúc.
1.5.5. Vai trò của sai lệch đối với tính chất của vật rắn.
Sự có mặt của sai lệch mạng tinh thể và tương tác giữa chúng ảnh
hưởng đến tính chất của vật liệu.
Để giải thích tính chất cơ học (tính dẻo, độ bền, độ cứng, ….) cần phải
dựa vào lý thuyết độ bền, trong đó các mô hình cấu trúc vi mô được áp dụng
để lí giải kết quả thực tế.
1.6. Đơn tinh thể và đa tinh thể.
1.6.1. Đơn tinh thể, các đặc tính, ứng dụng.
Nếu vật tinh thể có mạng thống nhất và phương không đổi trong toàn
bộ thể tích thì gọi là đơn tinh thể.

24


Tính chất tiêu biểu của đơn tinh thể là tính dị hướng vì theo các hướng
độ xếp chặt nguyên tử khác nhau.

Đơn tinh thể chủ yếu được sử dụng trong công nghệ bán dẫn và vật liệu
kĩ thuật điện.
1.6.2. Đa tinh thể.
Đa tinh thể gồm rất nhiều tinh thể nhỏ gọi là hạt tinh thể có cùng cấu
trúc mạng nhưng định hướng khác nhau mang tính ngẫu nhiên, liên kết bằng
biên giới hạt. Trong thực tế, phần lớn vật rắn tinh thể được sử dụng ở dạng đa
tinh thể. Tính chất tiêu biểu của đa tinh thể là tính đẳng hướng.
Cấu trúc của đa tinh thể gồm hai phần chính:
- Các tinh thể nhỏ gọi là hạt, có định hướng khác nhau.
- Biên giới hạt, cấu trúc không trật tự, liên kết hạt với nhau được coi là
một dạng của sai lệch mặt.
Do đặc điểm tạo thành các hạt tinh thể không bao giờ có kích thước
như nhau.

Hình 1.10: Mô hình đơn tinh thể (a); đa tinh thể (b); tổ chức tế vi kim
loại đa tinh thể: đường tối là biên hạt (c).

25