Phân loại và giải một số bài toán về phương trình truyền nhiệt

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

PHẠM VĂN LUYỆN

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2012


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

PHẠM VĂN LUYỆN

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và Vật lí Toán
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TH.S LÊ KHẮC QUYNH

HÀ NỘI, 2012


Lời cảm ơn

Lời đầu tiên của khóa luận tốt nghiệp em xin chân thành cảm ơn các
thầy, cô giáo trong khoa Vật Lí đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ trong suốt
thời gian qua.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo-ThS. Lê Khắc Quynh,
người đã hướng dẫn, tạo điều kiện tốt nhất và đóng góp ý kiến để em hoàn
thành để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn đến gia đình, cũng như bạn bè đã tạo
điều kiện và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.
Tuy nhiên do thời gian và trình độ của bản thân còn hạn chế nên trong
quá trình thực hiện đề tài em chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Em rất
mong được sự đóng góp ý kiến của thầy, cô và các bạn để đề tài được hoàn
thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 11 tháng 5 năm 2012.
Sinh viên thực hiện

Phạm Văn Luyện


Lời cam đoan
Em xin cam đoan những vấn đề em trình bày trong khóa luận là kết quả
nghiên của riêng bản thân em dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo- Th.S
Lê Khắc Quynh, không trùng với kết quả nghiên cứu của tác giả khác. Nếu sai
em hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 11 tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Phạm Văn Luyện

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ……………………………………………… ................... ………..1
1. Lí do chọn đề tài……………………………………………………….........1
2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………… …....2
3. Giả thuyết khoa học……………………………………….... ……………..2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu………………………………… ……….2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………… …………2
6. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………… ………..2
7. Cấu trúc khóa luận……………………………………………… ………….2
NỘI DUNG………………………………………………………… ………...3
Chương 1: Tổng quan về phương trình truyền nhiệt……………… ………….3
1.1. Thành lập phương trình…………………………………………… ……..3
1.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu…………………………………….. .6
Chương 2: Phân loại và giải một số bài toán về pt truyền nhiệt………………7
2.1. Bài toán truyền nhiệt tự do không có nguồn…………………………… ..7
2.2. Bài toán truyền nhiệt có nguồn………………… .............. ……………..15
2.2.1. Bài toán truyền nhiệt có nguồn, nguồn chỉ phụ thuộc vào tọa độ x
(bài toán dừng)…………………………… ......... ………………………… ..15


2.2.2. Bài toán truyền nhiệt có nguồn, nguồn phụ thuộc cả vào tọa độ x
và thời gian t ................................................................................. …………...24
2.3. Bài toán truyền nhiệt với biên tổng quát……………………............. ….34
KẾT LUẬN………………………………………… ............. ……………..40
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………… .................... ……41


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.

Trong vật lí học hiện đại, những phương pháp toán học được sử dụng rất
đa dạng và phong phú. Chúng bao gồm một khối lượng lớn các kiến thức
thuộc các ngành như: Hàm thực, Hàm biến phức, các phương trình vi phân,
các phép biến đổi toán học, đại số tuyến tính…
Phương pháp toán lí là một trong những bộ môn sử dụng công thức Toán
và các hàm toán để giải quyết các bài toán vật lí diễn tả các hiện tượng của
thiên nhiên như: Phương trình dao động của sợi dây, phương trình dao động
của màng, phương trình khuếch tán, phương trình truyền nhiệt… Đây là môn
học được giảng dạy sinh viên năm thứ 2 khoa Vật lí và nó cũng là một môn
thi (môn cơ sở) đầu vào các ngành sau đại học của Vật lí.
Trong quá trình học tập môn phương pháp toán lí tôi rất hứng thú với
phương trình truyền nhiệt và nhận thấy nó diễn tả hiện tượng rất tổng quát
của thiên nhiên: “Trong các vật rắn truyền nhiệt, nếu tại các điểm khác nhau
thì nhiệt sẽ truyền từ điểm nóng hơn tới điếm nguội hơn”. Vì vậy, phương
trình truyền nhiệt có ứng dụng rất lớn trong đời sống và kĩ thuật.
Để tìm hiểu sâu sắc bất kì một lí thuyết vật lí nào thì việc giải quyết các
bài toán mà lí thuyết ấy đặt ra là tất yếu. Khi tìm hiểu về phương trình truyền
nhiệt tôi thấy các bài toán về nó rất đa dạng và phong phú, đôi khi làm cho
các sinh viên lúng túng trong việc giải quyết các bài toán đó. Do vậy, việc
phân loại và đưa ra những phương pháp giải cho từng loại bài toán truyền
nhiệt là hết sức cần thiết.
Chính vì những lí do nêu trên nên tôi đã chọn đề tài: “Phân loại và giải
một số bài toán về phương trình truyền nhiệt” để làm đề tài cho khóa luận tốt
nghiệp của mình.

1


2. Mục đích nghiên cứu.
Phân loại và tìm hiểu cách giải các bài toán về phương trình truyền nhiệt.

3.

Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.
Các phương trình truyền nhiệt một chiều đã học trong chương trình đại học.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Để đạt được mục đích nghiên cứu cần thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Xây dựng lí thuyết về phương trình truyền nhiệt.
- Phân loại các bài toán phương trình truyền nhiệt.
- Vận dụng được các hàm, chuỗi toán học; các cách giải phương trình
vi phân để giả bài toán truyền nhiệt.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
- Phương pháp đọc sách và nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức.
6. Cấu trúc khóa luận.
Khóa luận gồm 3 phần:
- Phần mở đầu.
- Phần nội dung.
- Phần kết luận.

2


NỘI DUNG
Chƣơng 1
TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

1.1.

Thành lập phƣơng trình.
Như ta đã biết, nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ

thấp theo ba cách : quá trình dẫn nhiệt, quá trình bức xạ và quá trình đối lưu.
Quá trình dẫn nhiệt bên trong vật là do sự chuyển động của các phân tử bên
trong vật. Trong vật rắn, dòng nhiệt chuyển từ nơi có nhiệt độ cao (là nơi có
số lớn phân tử chuyển động có vận tốc lớn hay động năng lớn) sang nơi có
nhiệt độ thấp hơn (là nơi có vận tốc và động năng các phân tử nhỏ hơn). Quá
trình bức xạ nhiệt giữa hai vật xảy ra khi nhiệt truyền qua không gian từ vật
nóng hơn sang vật lạnh hơn (không tính đến nhiệt độ không gian giữa hai
vật), đó chính là chuyển động nhiệt dưới dạng sóng. Một ví dụ là sự truyền
nhiệt độ của Mặt Trời cho Trái Đất. Nhiệt truyền do đối lưu xảy ra khi một số
loại chuyển động nhiệt di chuyển từ nơi này sang nơi khác. Tất cả các quá
trình truyền nhiệt này được nghiên cứu trong các môn học đại cương và
chuyên đề về nhiệt. Trong khóa luận này, tôi chủ yếu tìm hiểu quá trình
truyền nhiệt của vật dẫn.
Xét môi trường truyền nhiệt đẳng hướng, u (x,y,z,t) là nhiệt độ của nó
tại điểm P(x,y,z) ở thời điểm t.
Sự truyền nhiệt tuân theo định luật Furie: Nhiệt lượng ΔQ đi qua một mảnh


mặt kín bất kì ΔS theo phương pháp tuyến n trong thời gian Δt, tỉ lệ với ΔS,
Δt và đạo hàm pháp tuyến
Q   k ( x, y, z )t S

u
:
n

u
.
n

(1)

3


Trong đó k là hệ số truyền nhiệt trong, không phụ thuộc vào hướng của


n
pháp tuyến vì môi trường là đẳng hướng và ta thường coi là hằng số,
là
vecto pháp tuyến của ΔS hướng theo chiều giảm của nhiệt độ.

Bây giờ ta xét một vật thể tùy ý V giới hạn bởi một mặt kín trơn, và xét sự
biến thiên nhiệt lượng trong thể tích đó từ thời gian t1 đến thời gian t2. Từ (1)
ta suy ra nhiệt lượng truyền vào trong mặt S từ thời điểm t1 đến thời điểm t2
là:
t2

Q1    dt 
 k ( x, y , z )
Trong đó


n

t1

S

u
dS .
n

là vecto pháp tuyến hướng vào bên trong của mặt S. Áp dụng

định lí Ôtxtrôgratxki để chuyển từ tích phân mặt sang tích phân ba lớp và coi
k là hằng số, ta có :
t2

Q1   k  dt  divgrad u dV .
t1

Vì ta có :

V

 2u  2u  2u
divgrad u  u  2  2  2 .
x y z
t2

Nên :

Q1   dt   u dV .
t1

V

Giả sử trong vùng V có nguồn nhiệt có mật độ là g(x,y,z,t) (nghĩa là nhiệt
lượng sinh ra hoặc mất đi trong một đơn vị thể tích sau một đơn vị thời gian),
thì từ thời điểm t1 đến thời điểm t2, trong thể tích V xuất hiện một nhiệt lượng
là :
t2

Q2   dt  g dV .
t1

V

4


Mặt khác nhiệt lượng cần cho thể tích V thay đổi từ u(x,y,z,t1) đến u(x,y,z,t2) là
:

Q3   u ( x, y, z , t2 )  u  x, y, z , t1   c( x, y, z )   x, y, z  dV .
V

Trong đó c là nhiệt dung, ρ là mật độ môi trường.
Tính chính xác đến đại lượng nhỏ so với ΔV, ta có :

u
dt.

t
t1

t2

u ( x, y, z, t2 )  u  x, y, z, t1   
Vậy :
t2

Q3   dt  c
t1

V

u
dV .
t

Nhiệt lượng này phải bằng Q1+Q2 vậy :
Q3-Q1-Q2 = 0.
t2

Hay

u





 dt  c t  k u  g  dxdydz  0.
t1

V

Vì khoảng thời gian là bất kì nên :

 u

c


k

u

g

 dxdydz  0.
V  t

Đồng thời vùng V cũng là tùy ý nên ở một thời điểm bất kì của môi trường,
ta phải có đẳng thức :

c

u
 k u  g  0.
t

Hay

ut'  a 2  u"xx  u"yy  u"zz  

Trong đó a2 = k/cρ

5

1
g  x, y , z , t  .
c

(2)


Phương trình (2) gọi là phương trình truyền nhiệt, nghiệm u = u(x,y,z,t) của
phương trình này mô tả sự phân bố nhiệt độ trong môi trường truyền nhiệt.
Nếu g =0, ta có phương trình truyền nhiệt thuần nhất. Ngược lại, phương
trình là không thuần nhất.
1.2.

Điều kiện biên và điều kiện ban đầu.

Trong vật lí ta biết rằng muốn xác định được nhiệt độ tại mọi điểm trong
vật ở mọi thời điểm, ngoài phương trình (2) ta cần phải biết phân bố nhiệt độ
trong vật tại thời điểm ban đầu (điều kiện ban đầu) và chế độ nhiệt độ của
biên S của vật (điều kiện biên). Điều kiện biên có thể cho bằng nhiều cách :
1. Cho biết nhiệt độ tại mỗi điểm P của biên:

u |S   1   , t  .

(3)

2. Tại mọi điểm biên của S biết dòng nhiệt:

q  k

u
y
| S   2   , t .
và
n
n

Trong đó  2   , t   

(4)

q  ,t 
là một hàm cho trước.
k

3. Trên biên của vật có sự trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh
mà nhiệt độ của nó là U0. Theo định luật Niuton dòng nhiệt trao đổi
với môi trường xung quanh và tỉ lệ với hiệu của nhiệt độ của biên S
và của môi trường xung quanh.
Vậy : q    u  u0  |S trong đó  là một hệ số trao đổi nhiệt. Ta giả thiết rằng

 là hằng số mặt khác dòng nhiệt : q  k



Khi n là pháp tuyến ngoài của mặt S, vậy:

  u  u0  |S  k
Nếu đặt

h

U
|S .
n

 ta được:
k
6

U
|S .
n


 u

 n  h  u  u0   |S  0.

(5)

Nếu biên S cách nhiệt thì   0 , do đó h=0, điều kiện (5) trở thành :
u
|S  0. Như vậy bài toán truyền nhiệt trong một vật rắn đồng nhất truyền
n

đẳng hướng đặt ra như sau:

Tìm nghiệm của phương trình (2) thoả mãn điều kiện ban đầu:

U |t 0    x, y, z  .
Và một trong các điều kiện biên (3); (4) hoặc (5).
Chƣơng 2
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƢƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT

2.1. Bài toán truyền nhiệt tự do không nguồn.
Bài toán truyền nhiệt tự do không nguồn là bài toán đi tìm nghiệm u(x,t) của
phương trình :
2
u
 0  x 1
2  u
D

a

0.

trên miền
t
x 2
0  t  .

Với điều kiện ban đầu

u |t 0  f  x  .
Và các điều kiện biên khác nhau.

Ta đi xét một số bài toán cụ thể sau:
Bài toán 1.
Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

7


2
 0 xl
u
2  u
D

a

0.
trên
miền

t
x 2
0  t   .

Với điều kiện ban đầu

u |t 0  f  x 

 u | x 0  0
Và điều kiện ban đầu D  
u |xl  0.

Trong đó a là hằng số, f(x) là hàm giải tích trên D.
Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ trong thanh đồng chất
hữu hạn có chiều dài l, hai đầu mút luôn giữ ở nhiệt độ bằng 0. Trong thanh
không có nguồn nhiệt.

u |t 0  f  x 

Nhiệt độ phân bố lúc đầu trong thanh có dạng

.
Giải

Ta sẽ tìm nghiệm của bài toán dưới dạng:
u(x,t)=X(x).T(t) .

(1.1)

2
u
2  u
a
 0. ta được:
Thay (1.1) vào phương trình
t
x 2

X '' T ''
XT  a X T  0   2 .
X aT

'

2

"

(1.2)

Từ đẳng thức (1.2) ta thấy rằng : vế trái của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào biến
x, vế phải của đẳng thức luôn phụ thuộc vào biến t. Nên để đẳng thức xảy ra
thì:
 X ''  cX  0
X '' T ''

 const  c   ' 2
X a 2T
T  a cT  0.

(1.3)
(1.4)

Biện luận nghiệm của phương trình (1.3) theo c bằng cách đặt X(x)=erx rồi
thay vào (1.3) ta thu được phương trình đặc trưng:

r 2  c  0  r 2  c.
Nếu c >0 thì r   c nên phương trình (1.3) cho nghiệm X(x) dạng:
8


X  x   a1e

cx

 a2e 

cx

(1.5)

(trong đó a1,a2 là các hằng số tích phân)
Sử dụng điều kiện biên:

a1  a2  0
u |x0  0  X |x0  0 
 a1  0






 l. c

(1.6)
l . c
 0 a2  0.
 u |xl  0  X |xl  0 
a1e  a2e
Thay (1.6) vào (1.5) thì:

u |t 0  f  x 

X  x   0  u  x, t   0.

Nếu c=0 thì r=0 nên phương trình (1.3) cho nghiệm có dạng:

X  x   b1x  b2 .

(1.7)

( trong đó b1,b2 là các hằng số tích phân)
Sử dung điều kiện biên:

 b 0
u |x0  0  X |x0  0 
b  0

 2
 1

b1.l  b2  0 b2  0.
 u |xl  0  X |xl  0 

(1.8)

Thay (1.8) vào (1.7) thì:
X  x   0  u  x, t   0.

Nếu c<0, đặt c   2  0  r  i nên phương trình (1.3) cho nghiệm X(x)
dạng:

X  x   c1 sin  x  c2cos x.

(1.9)

(Trong đó c1,c2 là các hằng số)
Sử dụng điều kiện biên:

c2  0
u |x0  0  X |x0  0 
 c2  0







u |xl  0  X |xl  0 c1.sin l  c2cosl  0 c1 sin l  0.
Để hệ phương trình có nghiệm không thuần nhất thì:

9


sin l  0  l  k (k  N  )   

k
.
l

(1.10)

Thay c2=0 và (1.10) vào (1.9) thì ứng với mỗi giá trị của k ta thu được
nghiệm riêng Xk(x) của phương trình (1.3) dưới dạng:

X k  x   c1 sin

k x
.
l

(1.11)

Thay (1.10) vào (1.4) (chú ý c   2 ) thì ứng với mỗi giá trị của k ta thu được
1 phương trình vi phân tương ứng Tk(t) dạng:

a 2k 2 2
T 
T

0

T

N
e
k
k
k
l2

'
k

a 2k 2 2
t
l2

.

(1.12)

Thay (1.11)và (1.12) vào (1.1) thì ứng với mỗi giá trị của k ta thu được
nghiệm riêng uk (x,t) tương ứng dạng:

u k  x, t   N k e



a 2k 2 2
l2

c1 sin

k x
.
l

(1.13)

Đặt Mk=Nk.c1 thì (1.13) có dạng: uk  x, t   M k e



a 2k 2 2
l2

sin

k x
.
l

(1.14)

Nghiệm u(x,t) là chồng chập của các nghiệm riêng uk(x,t) nên:




u ( x, t )   uk  x, t    M k e
k 1



a 2k 2 2
l2

sin

k 1

k x
.
l

Sử dụng điều kiện ban đầu:


u |t 0  f  x    M k sin
k 1

k x
 f  x
l

(1.16)
Chú ý:
1

 sin
0

m x
n x 1/ 2
sin

l
l
 0

khi m  n  0
khi m  n.

10

(*)

(1.15)


Sử dụng (1.16) ta tìm được dạng của Mk :
1

Mk 

 f  x  sin
0

1

 sin
0

2

k x
dx
l

k x

dx
l

2
k x
 M k   f  x  sin
dx.
l 0
l
1

(1.17)

Thay (1.17) vào (1.15) thì nghiệm của phương trình cần tìm códạng:
a k  .t
2 1
k x   l 2
k x
u( x, t )     f  x  sin
dx  e
sin
.
l
l
l
k 1  0

2 2 2



Bài toán 2.
Tìm nghiệm của phương trình
2
u
 0  x 1
2  u
D

.
a

0.

trên
miền
t
x 2
0  t  

Với điều kiện ban đầu

u |t 0  f  x  .

u |  A
D   x 0
|xl 0,Bf(x)
. là hàm giải tích trên D.
Trong đó a; A; B là hằng sốukhác
Và điều kiện biên

(Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t >0 trong
thanh đồng chất có đầu mút x=0 luôn giữ ở nhiệt độ A, đầu mút x=l luôn giữ
ở nhiệt độ B. Ở thời điểm ban đầu t=0 phân bố nhiệt trong thanh là một hàm
tùy ý f(x) )
Giải
Ta sẽ tìm nghiệm của bài toán dưới dạng :
u(x,t)=v(x,t)+w1(x,t)+w2(x,t).

(2.1)

2
u
2  u

a
 0 ta được:
Thay (1.1) vào phương trình
t
x 2

11


2
v 2  2v w1 2  2 w1 w 2
2  w2
a 2 
a


a
 0.
t
t
t
x 2
t
x 2

Giả sử v(x,t); w1(x,t); w2(x,t) thỏa mãn các điều kiện:
Hàm v(x,t) là nghiệm của phương trình:
2
v
2  v
a
 0.
t
x 2
.

(2.2)

Với điều kiện ban đầu :

v |t 0  f ( x)  w1 |t 0  w 2 |t 0  F ( x).

(2.3)

Và điều kiện biên:

 v | x 0  0

 v | x l  0 .

(2.4)

Hàm w1(x,t) là nghiệm của phương trình:
w1
 2 w1
 a2
0
t
x 2
.

(2.5)

Thỏa mãn điều kiện biên:

 v | x 0  A

 v | x l  0 .

(2.6)

Hàm w2(x,t) là nghiệm của phương trình:
2
w 2
2  w2
a

0
t
x 2
.

(2.7)

Thỏa mãn điều kiện biên:

 v | x 0  0

 v | x l  B .

(2.8)

Nghiệm của w1(x,t) của (2.5) được tìm dưới dạng:
12


w1(x,t)=A.X(x) .

(2.9)

Thay (2.9) vào (2.5) ta được:

a 2AX"  0  X "  0  X  x   a1x  a2

.

(2.10)

(trong đó a1,a2 là các hằng số tích phân)
Thay (2.10) vào (2.9) thì nghiệm w1(x,t) có dạng:
w1(x,t)=A(a1x+a2) .

(2.11)

Sử sụng điều kiện biên (2.6) ta được :

v |x0  A  Aa 2  A
 a 1

 2

a1  1/ l
 v |xl  0
 A  a1l  a2   0

(2.12)

Thay (2.12) vào(2.11) thì nghiệm w2(x,t) là tường minh dưới dạng:
w1(x,t) =A(-x/l+1) .

(2.13)

Nghiệm w2(x,t) của (2.7) được tìm dưới dạng :
w2(x,t)=BX(x)

(2.14)

Thay (2.14) vào (2.7) ta được :

a 2 BX"  0  X "  0  X  x   b1x  b2

.

(2.15)

(trong đó b1,b2 là các hằng số tích phân)
Thay (2.15) vào (2.14) thì nghiệm của w2(x,t) có dạng:
w2(x,t)=B(b1x+b2) .

(2.16)

Sử dụng điều kiện biên (2.8) ta có :

 v |x0  0  Bb 2  0
 b2  0





v |xl  B  B  b1l  b2   0 b1  1/ l.

(2.17)

Thay (2.17) vào (2.16) thì nghiệm w2(x,t) là tường minh dưới dạng :
w2(x,t)= Bx/l .

(2.18)

Nghiệm của (2.2) được tìm dưới dạng chồng chập của các sóng đứng :
13




v( x, t )   Tk  t  sin
k 1

k x
l .

(2.19)

Thay (2.19) vào (2.2) ta được:
k x  a 2k 2 2
k x
T k  t  sin

Tk  t  sin
 0.

2
l
l
l
k 1
k 1



'

 '

a 2 k 2 2
k x
  Tk  t  
Tk  t   sin
 0.
2
l
l
k 1 




a 2k 2 2
 Tk'  t  
T
t

0

T
t

M

e




k
k
k
l2

a 2k 2 2
t
l2

.

(2.20)

Thay (2.20) vào (2.19) thì w(x,t) có dạng:


v( x, t )   M k e



a 2k 2 2
t
l2

sin

k 1

k x
 0.
l

(2.21)

Thay (2.13) vào (2.18) vào (2.3) ta được:
k x
 x  Bx 
v |t 0  f  x   A    1 
  M k sin
l .
 l
 l
k 1

Sử dụng chú ý (*) ta có
2 
k x
 x  Bx 
M k    f  x   A   1 
sin
dx

l 0
l
l

 l 
1

.

2
k x
2 A B
k x
2A
k x
 M k   f  x  sin
dx  
x sin
dx 
sin
dx.

l 0
l
l 0 l
l
l 0
l
1

1

1

Đặt:

xu
dx  du




 1
k x
 k x
sin
dx  dv 
cos
v

l
l

 k
.

14

.


1
1
2

k x
2(A-B)  1
k x 1
1
k x 
M k   f  x  sin
dx 

xc
os
|

c
os
dx 

0
0 k
l 0
l
l 2  k
n
l




2A 1
k x 1
. cos

|0 .
l k
l

2
k x
2(A-B)
 M k   f  x  sin
dx 
cos k
l 0
l
k
1

2(A-B) l 2
k x 1 2A

.
sin
|0 
(cos k  1)
l2
k 2 2
n
k
2
k x
2B
2A

 M k   f  x  sin
dx 
cos k 
l 0
l
k
k
1

.

(2.22)

Thay (2.22) vào (2.21) vì v(x,t) là tường minh dưới dạng:

 x  Bx
u ( x, t )  A    1  
 l
 l
a k 
2 1
k x
2B
2A   l 2 t
k x
    f  x  sin
dx 
cos k 
sin
.

e
l
k
k 
l
k 1  l 0
2 2 2



2.2. Bài toán truyền nhiệt có nguồn.
2.2.1. Bài toán truyền nhiệt có nguồn, nguồn chỉ phụ thuộc vào tọa độ x
(bài toán dừng).
Bài toán được cho dưới dạng : tìm nghiệm u(x,t) của phương trình:

 0 xl
u
 2u
2
a
 f ( x) trên miền D = 
t
0  t   .
x 2
với điều kiện ban đầu

u

t 0

 g ( x)

.

và các điều kiện biên cụ thể khác nhau. Ta cũng đi xét một số bài toán cụ thể :

15


Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

 0  x 1
u
 2u
 a 2 2  f ( x) trên miền D = 
t
x
0  t   .
với điều kiện ban đầu u

t 0

 g ( x)

.

 u x 0  A

m
i2

t
và điều kiện biên u 
 xl  Bi e
i 1

.
trong đó A; B và αi là các hằng số tích phân khác 0, các hàm f(x) và g(x) giải
tích trên D.
(Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ ở trong thanh đồng chất có
đầu mút x=0 luôn giữ ở nhiệt độ A, đầu mút x=l có nhiệt độ thay đổi tuân
theo qui luật:
m

u

x l

  Bi e



i2 t

i 1

Trong thanh có nguồn nhiệt có dạng hàm f(x), còn nhiệt độ ban đầu cho bởi
hàm tùy ý g(x))
Giải
Ta sẽ tìm nghiệm u(x,t) dưới dạng:
m

u  x, t   v( x, t )  v0 ( x)  w 0 ( x)   w i ( x, t )
i 1

.

(1.1)

2
u
2  u
a
 f ( x) ta được:
Thay (2.1) vào phương trình
t
x 2

2
2
2
2
m
 w i
v
2  v
2 d v0
2 d w0
2  wi 
a
a

a
 
a
  f ( x)
t
x 2
dx 2
dx 2
x 2 
i 0  t

16

.

(1.2)


Từ phương trình (1.2) và các điều kiện của nghiệm u(x,t), ta sẽ tìm các hàm
x(x,t); v0(x); w0(x) và wi(x,t) khi chúng thỏa mãn các điều kiện sau :
Hàm v(x,t) là nghiệm của phương trình:

v 2  2v
a
0
t
x 2
.

(1.3)

với điều kiện biên :


u


u

0
xl  0

x 0

.

(1.4)

Và điều kiện ban đầu :
m

v |t 0  g ( x)  w 0 ( x)   w i |t 0  v0 ( x)
i 0

.

(1.5)

Đặt :
m

G ( x)  g ( x)  w 0 ( x)   w i |
i 0

t 0

 v0 ( x)

(1.6)
.

Thay (1.6) vào(1.5) thì điều kiện (1.5) bây giờ có dạng :
v |t 0  G ( x)

(1.7)

.

Hàm w0(x) là nghiệm của phương trình :

d 2w 0
a
0
dx 2
2

.

(1.8)

với điều kiện biên :

u x0  A



 u x l  0

.

(1.9)

Các hàm wi(x,t) là nghiệm của phương trình dạng :

17


2
w i
2  wi
a
0
t
x 2
.

(1.10)

với điều kiện biên :




u


u

x 0

0

m

x l

  Bi e

i2 t



i 1

(1.11)

.

Hàm v0(x) là nghiệm của phương trình có dạng :

d 2v0
a
 f  x
dx 2
.
2

(1.12)

với điều kiện biên :

v0

 v0

0
x l  0

x 0

.

(1.13)

Xét phương trình vi phân (1.8):
d 2w 0
d 2w 0
dw 0
a
0

0
 a1  w 0 ( x)  a1x  a2
2
2
dx
dx
dx
.
2

(1.14)

Trong đó a1; a2 là các hằng số tích phân
Sử dụng điều kiện biên (1.9) :


a A

u x0  A  a2  A
 2


A

u

0
a
l


a

0
a1  

2
 xl
 1

l



.

(1.15)

Thay (1.15) vào (1.14) thì:
w0  x  

Ax

 A  w 0  A 1 
l


x

l

.

Xét phương trình vi phân (1.12) :

18

(1.16)


a 2

f  x
d 2v0
d 2v0

f
x

 2


2
2
dx
dx
a

f  x
dv0
   2 dx  b1

dx
a
 f  x 
 v0  x       2 dx dx  b1x  b2 .
 a



(1.17)

Đặt : Q( x)    f  x dx dx  b rồi thay vào (1.17) thì v0(x) có dạng:
1
   a 2 
v0(x)=Q(x)+b1x+b2
.
(1.18)
Trong đó b1; b2 là các hằng số tích phân
Sử dụng điều kiện biên (1.13):

v0 |x0  0  Q  0   b2  0


v
|

0
Q  l   b1l  b2  0
 0 xl
 b2  Q  0 



Q l   Q  0
b

 2
l


(1.19)
.

Thay (1.19) vào (1.18) thì v0 (x) tường minh dưới dạng :
v0 ( x)  Q( x) 

Q(l )  Q(0)
 Q(0)
l
.

(1.20)

Nghiệm wi(x,t) của phương trình (1.10) được tìm dưới dạng :

w i ( x, t )  X i ( x).Bi .i i t  0
2

.

(1.21)

Thay (1.20) vào (1.10) ta được :

19