Tìm hiểu cấu trúc của các chất rắn có dạng tinh thể

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
--------------

ĐÀO VĂN THÀNH

TÌM HIỂU CẤU TRÚC CỦA CÁC CHẤT RẮN
CÓ DẠNG TINH THỂ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2012

1


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, TS Trần Thái Hoa, ngƣời đã
hƣớng dẫn, động viên em trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý Trƣờng
Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất và đóng góp ý kiến để em
hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Tuy nhiên do thời gian và khuôn khổ cho phép của đề tài còn hạn chế
nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong đƣợc sự đóng góp ý kiến
của thầy cô và các bạn để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Đào Văn Thành

2

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận
này là trung thực. Nội dung tôi đã trình bày trong khóa luận này là kết quả của
quá trình tìm hiểu của bản thân dƣới sự hƣớng dẫn của thầy giáo, TS Trần
Thái Hoa cùng các thầy cô trong khoa Vật lý.
Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Đào Văn Thành

3


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1
3. Đối tƣợng nghiên cứu ................................................................................. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 1
5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................. 2
6. Cấu trúc khóa luận ...................................................................................... 2
NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. MẠNG TINH THỂ
1.1 Mạng Bravais .............................................................................................. 3
1.1.1 Nhóm tịnh tiến của tinh thể ................................................................ 3
1.1.2 Định nghĩa mạng Bravais................................................................... 4
1.1.3 Cấu trúc tinh thể ................................................................................. 7
1.1.4 Phân loại các mạng Bravais ............................................................... 8
1.2. Mạng đảo. ................................................................................................ 10

1.2.1 Định nghĩa ........................................................................................ 10
1.2.2 Mặt phẳng mạng.............................................................................. 13
1.2.3 Chỉ số Miller .................................................................................... 14
1.3. Nhiễu xạ tia X bởi tinh thể ....................................................................... 15
1.3.1 Phản xạ Bragg .................................................................................. 15
1.3.2 Phƣơng trình nhiễu xạ von Laue ...................................................... 16
Kết luận chƣơng 1 ......................................................................................... 18
CHƢƠNG 2. DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ CHẤT RẮN.
2.1 Lý thuyết cổ điển..................................................................................... 19
2.1.1. Dao động và sóng trong mạng một chiều đơn giản ........................ 19
2.1.2. Dao động của mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử ................. 23
2.2. Lƣợng tử hóa dao động mạng ................................................................. 26
2.3. Nhiệt dung của vật rắn ............................................................................ 27
2.3.1 Nhiệt dung của vật rắn theo lý thuyết cổ điển.Định luật DuylongPetit.................................................................................................................. 27
2.3.2 Nhiệt dung vật rắn theo mô hình Einstein ...................................... 28
2.3.3 Nhiệt dung theo mô hình Debye ..................................................... 30
Kết luận chƣơng 2 ......................................................................................... 34
4


CHƢƠNG 3. KHÍ ĐIỆN TỬ TRONG TINH THỂ.
3.1. Khí Fermi tự do ........................................................................................ 35
3.2 Đóng góp của điện tử vào nhiệt dung của kim loại .................................. 38
3.3 Kích thích tập thể của khí điện tử trong tinh thể: Plasmon ....................... 40
Kết luận chƣơng 3 ......................................................................................... 48
KẾT LUẬN CHUNG .................................................................................... 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 50

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.

Vật lý chất rắn là một lĩnh vực rộng lớn gồm nhiều bộ môn nhƣ: Vật lý
các chất sắt điện và sắt từ, vật lý kim loại và hợp kim, vật lý bán dẫn, vật lý
các chất điện môi… Mỗi bộ môn đều có những lý thuyết chiếm đƣợc sự cuốn
hút của ngƣời đọc và có những ứng dụng hết sức đa dạng vào sự phát triển
chung của thế giới, nâng cao đời sống con ngƣời.
Tinh thể là một dạng của chất rắn trong tự nhiên. Nó tồn tại xung quanh
chúng ta dƣới dạng mạng tinh thể (ví dụ: tinh thể thạch anh, tinh thể kim
cƣơng…) và có ứng dụng rộng rãi trong đời sống hàng ngày cũng nhƣ khoa
học công nghệ (công nghệ bán dẫn, siêu dẫn…).
Trong quá trình học tập em đã đƣợc học những môn về vật lý hiện đại
nhƣ: Cơ học lƣợng tử, Vật lý thống kê, Vật lý chất rắn, em rất quan tâm đến
cấu trúc tinh thể của vật rắn, là một hệ gồm rất nhiều hạt đƣợc sắp xếp có tính
quy luật tuần hoàn trong không gian và có cấu trúc nhất định nên việc nghiên
cứu cấu trúc mạng tinh thể của các chất rắn có thể chỉ ra một số tính chất vật
lý của chất rắn. Đồng thời việc nghiên cứu mạng tinh thể là điều kiện, là cơ sở
để giải thích các kết quả thực nghiệm, từ đó rút ra các thông số cần thiết cho

5


khoa học kỹ thuật. Nghiên cứu cấu trúc mạng tinh thể của vật rắn là cơ sở
quan trọng cho các nghiên cứu tiếp theo về vật rắn.
2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu cấu trúc mạng tinh thể của các chất rắn chỉ ra một số tính
chất vật lý của chất rắn.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tƣợng nghiên cứu là vật rắn.
- Phạm vi nghiên cứu là vật rắn có cấu trúc tinh thể.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.

- Đọc và nghiên cứu tài liệu.
- Sử dụng phƣơng pháp vật lý toán.
6. Cấu trúc khóa luận.
CHƢƠNG 1. MẠNG TINH THỂ
CHƢƠNG 2. DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ CHẤT RẮN.
CHƢƠNG 3. KHÍ ĐIỆN TỬ TRONG TINH THỂ.

6


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. MẠNG TINH THỂ
1.1

Mạng Bravais

1.1.1 Nhóm tịnh tiến của tinh thể
Ta bắt đầu từ việc nghiên cứu tính đối xứng (bất biến) của tinh thể đối
với nhóm tịnh tiến. Phép chuyển động của vật rắn mà trong đó điểm r bất kì
chuyển thành điểm r + R gọi là phép tịnh tiến vật rắn một đoạn R, kí hiệu là
T ( R) . Ta viết tắt
T ( R) : r  r  R với mọi r

Ta nói rằng một tinh thể có tính đối xứng (hay bất biến) đối với phép
tịnh tiến một đoạn e theo hƣớng trục o , nghĩa là đối với T  e  , nếu trong
phép tịnh tiến này mỗi nguyên tử dời chỗ đến vị trí của một nguyên tử khác
cùng loại, còn tinh thể (vô hạn) thì chuyển sang một vị trí khít với vị trí cũ.
Hình 1 diễn tả một thí dụ về sự sắp xếp các nguyên tử cùng một loại trong
một mạng tinh thể hai chiều và một vài thí dụ về vectơ e . Ta còn nói tinh thể
có tính tuần hoàn theo hƣớng o .

7


Mọi tinh thể trong không gian ba chiều đều có tính bất biến (đối xứng)
đối với các phép tịnh tiến T  e  , T  e  , T  e  theo ba hƣớng nào đó o , o ,

o , nghĩa là có tính tuần hoàn theo các hƣớng này. Trong mỗi tinh thể có thể
chọn 3 hƣớng này bằng nhiều cách khác nhau (xem thí dụ trên hình 2 với tinh
thể 2 chiều).

Vì tinh thể là gián đoạn cho nên trong số tất cả các vectơ (o , o , o )
theo mỗi hƣớng tuần hoàn của tinh thể có một vectơ ngắn nhất (1 ,  2 ,  3 ) và
e  n11 , e  n2 2 , e  n33 , e  n2 2
n1 , n2 , n3 là các số nguyên. Tinh thể có tính đối xứng (bất biến) đối với tất cả

các phép tịnh tiến T(R) mà
R  n11  n2 2  n33

(1.1)

Các phép tịnh tiến này tạo thành một nhóm, gọi là nhóm tịnh tiến, với
quy tắc nhân sau đây:
T ( R1 )T ( R2 )  T ( R1  R2 ) .

1.1.2 Định nghĩa mạng Bravais
Tập hợp tất cả các điểm có vectơ bán kính R xác định bởi công thức
(1.1) tạo thành một mạng trong không gian gọi là mạng Bravais. Mỗi điểm
đó đƣợc gọi là một nút của mạng. Các vectơ 1 ,  2 ,  3 gọi là các vectơ cơ sở
của mạng Bravais. Với một cách chọn các vectơ cơ sở thích hợp nhất, chiều

dài của các vectơ cơ sở gọi là các hằng số của mạng.
8




Ví dụ về mạng Bravais

+ Mạng lập phƣơng đơn (Hình 3). Các nút nằm ở đỉnh của các hình lập
phƣơng. Các vectơ cơ sở có thể chọn nhƣ sau:
1  ai ,  2  aj ,  3  ak .

(1.2)

+ Mạng lập phƣơng tâm thể (Hình 4a). Các nút nằm ở đỉnh và ở tâm
của các hình lập phƣơng. Có thể chọn vectơ cơ sở nhƣ trên hình 4b
a
1  ai ,  2  aj ,  3  (i  j  k ) ,
2

hoặc nhƣ trên hình 4c
a
2

a
2

a
2

1  ( j  k  i) ,  2  (k  i  j ) , 3  (i  j  k ) .

(1.3)

+ Mạng lập phƣơng tâm diện (Hình 5a). Các nút nằm ở đỉnh và tâm các
mặt bên của hình lập phƣơng. Các vectơ cơ sở có thể chọn nhƣ trên hình 5b
a
2

a
2

a
2

1  ( j  k ) ,  2  (k  i) , 3  (i  j ) .

9

(1.4)




Số phối hợp

Những nút trên mạng Bravais nằm gần nhất một nút đã cho gọi là
những nút lân cận gần nhất. Do tính tuần hoàn của mạng Bravais cho nên mỗi
nút đều có cùng một số nút lân cận gần nhất, gọi là số phối hợp của mạng. Số
phối hợp của mạng lập phƣơng đơn là 6, của mạng lập phƣơng tâm thể là 8,

của mạng lập phƣơng tâm diện là 12


Ô cơ sở

Ô cơ sở là một thể tích không gian có tính chất:
+ Khi thực hiện tất cả các phép tịnh tiến tạo thành mạng Bravais, nghĩa
là tất cả các phép tịnh tiến có dạng (1.1), thì
tập hợp tất cả các ô thu đƣợc từ ô ban đầu
sẽ lấp đầy toàn bộ không gian, không để lại
toàn bộ khoảng trống nào.
+ Hai ô khác nhau chỉ có thể có các
điểm chung nằm trên mặt phân cách của
chúng
+ Có rất nhiều cách chọn ô cơ sở
của một mạng đã cho (Hình 6a). Nếu các
nút của mạng Bravais không nằm trên mặt
của ô cơ sở thì mỗi ô chỉ chứa một nút.

10


Bao giờ cũng có thể chọn ô cơ sở thế nào để nó có đầy đủ tính chất đối
xứng của mạng Bravais. Cách chọn nổi tiếng là chọn ô Wigner – Seitz, đƣợc
hình thành nhƣ sau. Lấy một nút O xác định trên mạng Bravais, tìm các nút
lân cận theo tất cả các phƣơng, vẽ mặt phẳng trực giao với các đoạn thẳng nối
O với các nút lân cận đó tại trung điểm của các đoạn này. Khoảng không gian
giới hạn bởi các mặt đó là ô Wigner – Seitz. Tất cả các điểm trong ô Wigner –
Seitz tâm O đều gần nút O hơn các nút khác của mạng Bravais. Các thí dụ về
các ô Wigner – Seitz của hai mạng hai chiều đƣợc trình bày trên các hình 6a

và 6b. Ô Wigner – Seitz của mạng lập phƣơng tâm thể đƣợc trình bày trên
hình 7a, còn trên hình 7b là ô Wigner – Seitz của mạng lập phƣơng tâm diện.

1.1.3 Cấu trúc tinh thể
Trong một tinh thể vật lý mỗi ô cơ sở của mạng Bravais đều có thể
chứa nhiều nguyên tử cùng loại hoặc khác loại nằm ở các điểm có vectơ bán
kính xác định. Mạng Bravais cùng với tập hợp các vectơ bán kính của tất cả
các nguyên tử trong ô cơ sở tạo thành một cấu trúc tinh thể.
Ta thƣờng gặp các cấu trúc tinh thể sau đây:
+ Cấu trúc loại kim cƣơng, hai mạng Bravais lập phƣơng tâm lồng vào
nhau, nút của một mạng này trên đƣờng chéo không gian của mạng kia và xê
dịch đi một đoạn bằng 1/4 đƣờng chéo đó (Hình 8). Ô cơ sở chứa hai nguyên
tử cùng loại nằm ở các điểm có toạ độ là 0 và

11

a
(i  j  k )
4


+ Cấu trúc loại kẽm pha, gồm hai loại nguyên tử khác nhau với số
lƣợng bằng nhau nằm trên hai mạng lập phƣơng tâm diện lồng vào nhau
giống nhƣ mạng kim cƣơng, thành thử với mỗi nguyên tử có 4 nguyên tử loại
khác nằm ở 4 nút lân cận gần nhất.
+ Cấu trúc loại muối ăn, bao gồm các nguyên tử hai loại khác nhau (Na
và Cl chẳng hạn) có số lƣợng bằng nhau nằm xen kẽ trên các nút của mạng
lập phƣơng đơn (Hình 9), thành thử với mỗi nguyên tử có 6 nguyên tử loại
khác nằm ở các nút lân cận gần nhất.

1.1.4 Phân loại các mạng Bravais
Có tất cả 14 mạng Bravais, đƣợc chia thành 7 hệ căn cứ vào tính chất
đối xứng của các mạng này.
Hệ lập phƣơng (cubic). Gồm những mạng Bravais có nhóm điểm là
nhóm đối xứng của hình lập phƣơng, gọi là nhóm lập phƣơng (Hình 13a). Hệ
này có 3 mạng: mạng đơn, mạng tâm thể và mạng tâm diện.

12


Hình 13a
Hệ tứ giác (tetragonal). Gồm những mạng Bravais có nhóm điểm là
nhóm đối xứng của hình trụ thẳng đứng đáy vuông, gọi là nhóm tứ giác (Hình
13b). Hình thụ này thu đƣợc từ hình lập phƣơng bằng cách kéo dài theo một
cạnh. Vì mạng tâm diện và mạng tâm thể không khác nhau cho nên hệ này có
2 mạng: mạng đơn và mạng tâm thể.

Hình 13b
Hệ trực giao (orthorhombic). Bao gồm những mạng Bravais mà nhóm
điểm trùng với nhóm đối xứng của hình hộp chữ nhật ba cạnh khác nhau
(Hình 13c). Có 4 mạng: mạng đơn, mạng tâm đáy (có nút ở tâm hai mặt đáy),
mạng tâm thể và mạng tâm diện.

Hình 13c
Hệ đơn tà (monoclinic). Bao gồm những mạng Bravais mà nhóm điểm
là nhóm đối xứng của hình trụ đáy bình hành thu đƣợc từ hình hộp chữ nhật
bằng cách biến hai đáy chữ nhật thành hai đáy bình hành (Hình 13d). Hệ này
có 2 mạng: mạng đơn và mạng tâm thể.

13

Hình 13d
Hệ tam tà (triclinic). Xuất phát từ mạng đơn tà rồi làm xiên các cạnh
thẳng đứng của các hình trụ bđáy bình hành, ta đƣợc mạng tam tà (Hình 13e).
Đó là mạng có ít tính đối xứng nhất. Hệ này chỉ có một mạng đơn. Ba vectơ
cơ sở của mạng là ba vectơ không nằm trong cùng một mặt phẳng và không
có liên quan gì khác.

Hình 13e
Hệ tam giác (trigonal). Nhóm điểm của mạng thuộc hệ này là nhóm đối
xứng của một hình thu đƣợc từ hình lập phƣơng bằng cách kéo dãn ra theo
một đƣờng chéo không gian (Hình 13f). Hệ này chỉ có một mạng đơn. Ba
vectơ cơ sở của mạng có chiều dài bằng nhau và từng đôi một tạo thành
những góc bằng nhau.

Hình 13f
Hệ lục giác (hexagonal). Nhóm điểm của hệ lục giác là nhóm đối xứng
của hình trụ thẳng đứng có đáy là hình lục giác đều (Hình 13g). Hệ này chỉ có
một mạng đơn.

Hình 13g
1.2. Mạng đảo
1.2.1 Định nghĩa.
Cho mạng Bravais với các vectơ cơ sở a1 , a2 , a3 ,
14


R  n1a1  n2 a2  n3a3 ,

n1 , n2 , n3 là các số nguyên. Xét các vectơ K trong không gian xung lƣợng mà
eiKR  1

(1.5)

với mọi R xác định nhƣ ở trên. Điểm cuối của các vectơ K thỏa màn điều
kiện (1.5) tạo thành một mạng trong không gian xung lƣợng, gọi là mạng đảo.


Mệnh đề 1. Mạng đảo là một mạng Bravais.

Chứng minh. Trong không gian xung lƣợng ta chọn ba vectơ không
nằm trong một mặt phẳng q b1 , b2 , b3 định nghĩa nhƣ sau:
b1  2

 a2  a3  ,
a1. a2  a3 

b2  2
b3  2

 a3  a1  ,
a2 . a3  a1 

(1.6)

 a1  a2  .
a3 . a1  a2 

Ta có:

bj ai  2ij .

(1.7)

Vectơ K tùy ý trong không gian xung lƣợng có dạng
K  k1b1  k2b2  k3b3

(1.8)

với các hệ số k1 , k 2 , k3 nào đó. Muốn thỏa mãn điều kiện (1.5) ta phải có
K .R  2  số nguyên.

(1.9)

Mặt khác, theo (1.7),
K .R  2  k1n1  k2 n2  k3 n3  .

(1.10)

Vậy với mọi R , nghĩa là với mọi số nguyên n1 , n2 , n3 các hệ số k1 , k 2 ,
k 3 phải thỏa mãn điều kiện
k1n1  k2 n2  k3n3  số nguyên.

15

(1.11)


Từ đó suy ra rằng k1 , k 2 , k3 phải là các số nguyên. Các vectơ K xác
định bởi công thức (1.8) với các hệ số nguyên tùy ý k1 , k 2 , k3 sẽ cho ta một

mạng Bravais. Đó là điều phải chứng minh.
 Mệnh đề 2. Mạng đảo của mạng đảo của một mạng Bravais là chính
mạng Bravais đã cho.
Chứng minh. Kí hiệu các vectơ cơ sở của mạng Bravais đã cho là a1 , a2 ,
a3 . Các vectơ của mạng đảo đƣợc xác định bởi công thức (1.8) với các vectơ

cơ sở b1 , b2 , b3 xác định bởi các công thức (1.6). Kí hiệu G là vectơ bất kì của
mạng đảo của mạng đảo. Nó phải thỏa mãn điều kiện:
G.K  2  số nguyên.

(1.12)

G  g1a1  g 2 a2  g3a3 .

(1.13)

Ta khai triển

Thay (1.8) và (1.13) vào (1.12) và dùng (1.7), ta suy ra điều kiện
g1k1  g 2 k2  g3k3  số nguyên

(1.14)

với mọi số nguyên k1 , k 2 , k3 . Vậy g1 , g 2 , g3 phải là các số nguyên. Các vectơ
G xác định bởi công thức (1.13) với các số nguyên tùy ý g1 , g 2 , g 3 chính là

các vectơ R xác định bởi công thức (1.1), nghĩa là các vectơ tạo thành mạng
Bravais đã cho ban đầu. Mệnh đề 2 đã đƣợc chứng minh. Ta cũng có thể dùng
phƣơng pháp khác nhƣ sau. Mạng đảo của mạng đảo có các vectơ cơ sở sau
đây

c1  2

b2  b3  ,
b1.b2  b3 

c2  2

b3  b1  ,
b2 .b3  b1 

c3  2

b1  b2  .
b3 .b1  b2 

16

(1.15)


Thay các biểu thức (1.6) của b1 , b2 , b3 vào đây ta thu đƣợc ci  ai , i  1,
2, 3. Đó là điều phải chứng minh.
 Ví dụ về mạng đảo của các mạng Bravais
Mạng Bravais là mạng lập phƣơng đơn với các vectơ cơ sở (1.2), mạng
đảo cũng là mạng lập phƣơng đơn với các vectơ cơ sở
b1 

2
2
2

i , b2 
j , b3 
k.
a
a
a

(1.2’)

Có thể thử lại ngay công thức (1.7).
Mạng Bravais là mạng lập phƣơng tâm thể với các vector cơ sở (1.3),
mạng đảo có các vector cơ sở sau đây
b1 

2
2
2
 j  k  , b2   k  i  , b3  i  j  .
a
a
a

(1.3’)

Dễ thử lại ngay công thức (1.7). So sánh (1.3’) với (1.4) ta thấy rằng
mạng đảo của mạng lập phƣơng tâm thể là mạng lập phƣơng tâm diện.
Tƣơng tự, nếu mạng Bravais là mạng lập phƣơng tâm diện với các
vectơ cơ sở (1.4), thì mạng đảo là mạng lập phƣơng tâm thể với các vectơ cơ
sở
b1 

2
2
2
 j  k  i  , b2   k  i  j  , b3   i  j  k 
a
a
a

(1.4’)

1.2.2 Mặt phẳng mạng
Cho một mạng Bravais. Mặt phẳng mạng là một mặt phẳng chứa ít nhất
ba nút không thẳng hàng của mạng Bravais này. Trƣớc hết ta chú ý rằng mặt
phẳng mạng chứa vô số nút mạng của mạng Bravais. Thực vậy, 3 điểm đã cho
A, B, C xác định hai vectơ e và e . Mặt phẳng mạng chứa hai vectơ này sẽ
chứa vô số các nút của mạng với bàn kính vectơ n1e  n2e .
 Mệnh đề 3. Mỗi mặt phẳng mạng đều trực giao với vectơ nào đó của
mạng đảo.

17


Chứng minh. Xét mặt phẳng mạng chứa hai vectơ e và e của mạng
Bravais. Ký hiệu các vectơ cơ sở của mạng Bravais là a1 , a2 , a3 . Các vectơ
tƣơng ứng của mạng đảo b1, b2, b3 đƣợc xác định bởi công thức (1.6). Ta có
e  l1a1  l2 a2  l3 a3 ,
e  m1a1  m2 a2  m3 a3

với các số nguyên l1 , l2 , l3 và m1 , m2 , m3 . Vector

e  e    l1m2  l2 m1  1   2    l2 m3  l3m2   2   3    l3m1  l1m3  3  1 

là một vectơ trực giao với mặt phẳng mạng chứa e và e . Đặt
k

2
e  e  .
a1. a2  a3  

Theo công thức (1.6) ta có
k   l2 m3  l3m2  b1   l3m1  l1m3  b2   l1m2  l2 m1  b3 .

Rõ ràng rằng k là một vectơ của mạng đảo trực giao với mặt phẳng
mạng đã cho. Đó là điều phải chứng minh.
1.2.3 Chỉ số Miller
Trong số những vectơ của mạng đảo trực giao với một mặt phẳng đã
cho ta hãy chọn vectơ K ngắn nhất. Vectơ K này có dạng
K  hb1  kb2  lb3 .

Ba số nguyên h, k, l hoàn toàn xác định mặt phẳng mạng trực giao với
K và đƣợc gọi là các chỉ số Miller của mặt phẳng mạng đã cho. Mặt phẳng
mạng có ba chỉ số h, k, l đƣợc kí hiệu là (h, k, l). Nếu trong các chỉ số Miller
có chỉ số âm, thí dụ (h,k,-l) với l>0, thì thay chỉ số âm bằng giá trị tuyệt đối
của nó và viết thêm dấu gạch ngang ở trên, thí dụ nhƣ ta viết (h, k , l ) thay cho

h, k ,l  với h≥0, k≥0, l>0. Một số thí dụ về các chỉ số Miller của các mặt
phẳng mạng trong mạng lập phƣơng đƣợc trình bày ở trên hình 14.

18

 Vùng Brillouin
Ô cơ sở Wigner – Seitz của mạng đảo đƣợc gọi là vùng Brillouin, hoặc
đƣợc gọi là vùng Brillouin thứ nhất. Chú ý rằng đó là một thể tích trong
không gian xung lƣợng. Các ô khác trong không gian xung lƣợng thu đƣợc từ
vùng Brillouin thứ nhất bằng phép tịnh tiến các đoạn bằng các vector K của
mạng đảo đƣợc gọi là các vùng Brillouin bậc cao.
Từ các công thức (1.6) liên hệ giữa các vector cơ sở của mạng Bravais
ban đầu và các vector cơ sở của mạng đảo suy ra rằng giữa thể tích v của ô cơ
sở trong mạng Bravais ban đầu và thể tích Ω của vùng Brillouin có hệ thức
sau đây:


2 3 .


1.3. Nhiễu xạ tia X bởi tinh thể
Tia X có bƣớc sóng vào cỡ khoảng cách các nút lân cận trong mạng
Bravais. Do đó khi chiếu tia X vào mạng tinh thể sẽ có hiện tƣợng nhiễu xạ.
Phân tích các ảnh nhiễu xạ ta có thể thu đƣợc thông tin về cấu trúc của mạng
tinh thể.
1.3.1 Phản xạ Bragg
Xét sự phản xạ của một chùm tia X trên hai mặt phẳng mạng song song
và gần nhau nhất, có khoảng cách d (hình 15). Gọi góc tới (và góc phản xạ) là
19


θ. Hai chùm tia phản xạ trên hai mặt có hiệu số đƣờng đi là 2dsinθ. Do sự
giao thoa của hai chùm phản xạ này nên cƣờng độ ánh sáng phản xạ sẽ đạt giá
trị cực đại nếu hiệu số đƣờng đi nói trên là một bội số nguyên của bƣớc sóng,

nghĩa là nếu góc  thỏa mãn điều kiện phản xạ Bragg
2d sin   n .

(1.17)

Thay đổi góc tới  và quan sát các giá trị ứng với các cực đại của
cƣờng độ sóng phản xạ, ta suy ra khoảng cách d giữa hai mặt phẳng mạng gần
nhau nhất. Một tinh thể có nhiều hệ mặt phẳng mạng song song, mỗi hệ đều
cho các cực đại của cƣờng độ sóng phản xạ. Phân tích các kết quả nghiên cứu
phản xạ Bragg ta có thể xác định các hệ mặt phẳng này và khoảng cách giữa
hai mặt gần nhất trong mỗi hệ.
1.3.2 Phương trình nhiễu xạ von Laue
Thay cho việc nghiên cứu sự phản xạ trên hai mặt phẳng mạng song
song ta hãy xét sự tán xạ trên hai nút gần nhau. Gọi d là vectơ bán kính nối
hai nút đó k và k’ là vectơ sóng của tia tới và tia tán xạ, n và n’ là các vectơ
đơn vị dọc theo k và k’,  là bƣớc sóng,
k  2

n



, k '  2

n'

(1.18)



Hai tia tán xạ trên hai nút gần nhau có hiệu số đƣờng đi là



d cos   d cos  '  d n  n'

20



(1.19)


(Xem hình 16). Để sóng tán xạ có cƣờng độ cực đại hiệu số đƣờng đi
này phải bằng bội số nguyên của bƣớc sóng





(1.20)





(1.21)

d n  n'  m .

Do đó
d . k  k '  2 m ,

m là một số nguyên.
Xét sự tán xạ trên tất cả các nút của mạng Bravais. Sự giao thoa của
sóng tán xạ trên tất cả các nút sẽ cho chùm tán xạ cƣờng độ cực đại nếu k thỏa
mãn điều kiện





R. k  k '  2  số nguyên.

(1.22)

So với công thức (1.9) định nghĩa các vectỏ của mạng đảo, ta suy ra
rằng phải có một vector K của mạng đảo mà
k  k'  K .

(1.23)

Đó là phương trình nhiễu xạ von Laue.
Vì hai vectơ sóng k và k’ có cùng một độ dài cho nên từ công thức
(1.23) ta có
k 2  k '2   k  K   k 2  K 2  2kK ,
2

do đó
k

K 1
 K.
K 2

(1.24)

Chú ý rằng vế trái công thức (1.24) là hình chiếu của vectơ k trên
hƣớng vectơ K. Vậy sóng tán xạ có cƣờng độ cực đại nếu hình chiếu vectơ
sóng k của sóng tới trên hƣớng vectơ K của mạng đảo bằng nửa chiều dài của
vectơ này. Điểm cuối của các vectơ sóng đó phải nằm trên mặt phẳng trực
giao với vectơ K của mạng đảo đi qua điểm

K
(Hình 17). Các mặt phẳng đó
2

trong không gian xung lƣợng gọi là các mặt phẳng Bragg.

21


Đó là cơ sở lý thuyết của các phƣơng pháp nghiên cứu cấu trúc mạng
tinh thể bằng nhiễu xạ tia X

Kết luận chƣơng 1
Trong chƣơng 1, bƣớc đầu chúng ta đã hình dung ra đƣợc cấu trúc
mạng tinh thể của một số vật rắn, phân loại một số mạng tinh thể theo cấu trúc
của chúng.
Chỉ ra đƣợc một số tính chất của mạng tinh thể, từ đó dẫn ra đƣợc

phƣơng pháp nghiên cứu về mạng tinh thể của vật rắn bằng cách phân tích các
ảnh nhiễu xạ khi chiếu tia X vào mạng tinh thể.

22


CHƢƠNG II. DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ CHẤT RẮN.
2.1

Lý thuyết cổ điển

2.1.1 Dao động và sóng trong mạng một chiều đơn giản
Xét tinh thể cấu tạo từ những nguyên tử giống nhau, đặt cách đều nhau
trên trục Ox, mỗi nguyên tử chuyển động quanh vị trí cân bằng của nó.
Ký hiệu khoảng cách giữa hai nguyên tử cạnh nhau là a, a đƣợc gọi là
hằng số mạng tinh thể.

Khi đó vị trí của nguyên tử thứ n đƣợc xác định bằng tọa độ
xn  x0 n  U n

(2.1)

Trong đó x0n : tọa độ nguyên tử thứ n ở vị trí cân bằng.
U n : Độ dời khỏi vị trí cân bằng của nguyên tử thứ n. ( U n « a)

Gọi khối lƣợng mỗi nguyên tử là M, ký hiệu thế năng tƣơng tác của n
nguyên tử nằm trên đƣờng thẳng là Φ
→   0 

1

  nmU nU m  ...
2 n,m

Φ là hàm của các tọa độ
( x01  U1 , x02  U 2 ,....., xon  U n )

Vì U n rất nhỏ → có thể khai triển Taylor thế năng Φ theo độ U n
  
1   2 
  0   
U

 n
 U nU m  ....

2 n,m  xn xm 0
n  xn 0

Tại vị trí cân bằng thế năng cực tiểu →
Ký hiệu


0
xn

  2    2 

 
   nm   mn
 xn xm 0  xm xn 0

→   0 

1
  nmU nU m  ...
2 n,m

23

(2.2)

(2.3)


Nếu chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng Φ 0 và dừng lại ở gần đúng
bậc 2


Ta có:

1
  nmU nU m
2 n ,m

Vì Un nhỏ → bỏ qua khi nhiệt độ thấp→ dao động là dao động tuần
hoàn.
Khi nhiệt độ lớn → Un lớn → dao động phi điều hòa → không bỏ qua.
Xét nguyên tử thứ n, gọi Fn là lực tác dụng lên nguyên tử thứ n, ta có:
Fn   grad  →

Fn  




   nmU m
xn
U n
m

(2.4)

d 2U n
dt 2

Gia tốc của nguyên tử n là: Un 

Phƣơng trình định luật II Newton viết cho nguyên tử thứ n là:
MUn  Fn

Từ (2.4)

→ MUn   nmU m

(2.5)

m

Đây là phƣơng trình dao động của nguyên tử n trong mạng tinh thể một
chiều đơn giản.



Tính chất Φnm

Φnm đƣợc gọi là hằng lực, đặc trƣng cho tƣơng tác lực giữa hai nguyên
tử n và m.
Giá trị Φnm chỉ phụ thuộc khoảng cách giữa hai nguyên tử n, m ở vị trí
cân bằng.

xon  xom  n  m .a

→  nm    xon  xom     n  m .a 

(2.6)

→ Φnm = Φmn
Nếu cho mọi nguyên tử dịch chuyển một khoảng nhƣ nhau
U1  U 2  ....  U n  U 0

→ Fn  0 →


m

24

nm

0

(2.7)


-

Nếu chỉ xét tƣơng tác giữa hai nguyên tử gần nguyên tử n nhất

→ Từ (2.7) ta có



nm

(2.7’)

  n1,n   n,n   n 1,n  0

m

Vì Φnm chỉ phụ thuộc vào n  m .a
→ n1,n  n1,n
Từ (2.7’) ta có: n,n  2n1,n  0
Nếu đặt

(2.8)

n,n  2 → n1,n  n1,n  

→ Lực tác dụng lên nguyên tử n trong gần đúng tƣơng tác cặp gần nhất
Fn    nmU m    n 1,nU n 1   n ,nU n   n 1,nU n 1

m

↔ Fn   2U n  U n1  U n1
↔ Fn   U n  U n1   U n  U n1

(2.9)

Trong đó
 U n  U n1 là lực do nguyên tử n-1 tác dụng lên nguyên tử n.
 U n  U n1 là lực do nguyên tử n+1 tác dụng lên nguyên tử n.

→ Phƣơng trình dao động của nguyên tử n:
MUn   2U n  U n 1  U n 1

↔ MUn   U n  U n1   U n  U n1

(2.10)

Đây là phƣơng trình dao động của nguyên tử n trong tƣơng tác với hai
nguyên tử gần nhất.
Đây là phƣơng trình vi phân bậc 2, nghiệm của phƣơng trình (2.10)
đƣợc tìm dƣới dạng sóng:


U n  A.ei ( qna t )

A là biên độ dao động.

q là vector sóng.

Thay (2.11) vào (2.10) ta đƣợc:

25

(2.11)