Áp dụng phương pháp tách biến fourier để giải các phương trình vật lí toán

Khoá luận tốt nghiệp

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, các bộ môn khoa học không thể tồn tại, phát triển
và vững mạnh nếu không dựa trên sự phát triển của các môn khoa học khác.
Thực tế đã chứng minh điều này một cách rõ ràng. Một chuyên ngành vật lý
mới Vật lý lí thuyết ra đời đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và
toán học. Toán học là công cụ đắc lực để cho Vật lý nói chung và vật lý lí
thuyết nói riêng phát triển.
Khi mới bước chân vào cổng giảng đường đại học, các bạn tân sinh viên
thắc mắc một điều: Tại sao khoa Vật lý lại học nhiều môn toán như vậy. Toán
cao cấp A1, A2, Đại số tuyến tính hàm biến phức... Câu trả lời dần được hé mở
khi các bạn nghiên cứu sâu về Vật lý. Bộ môn phương pháp Toán Lý là một
ví dụ sớm nhất. Chúng ta phải dùng đến rất nhiều các công cụ toán học,
phương trình toán để giải bài tập Vật lý. Nhưng phương pháp toán học dùng
trong vật lý học hiện đại rất phong phú đa dạng bao gồm một khối lượng rất
lớn các kiến thức thuộc các ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi
phân, phép biến đổi tích phân, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến
đổi tích phân, đại số tuyến tính. Trong quá trình tìm nghiệm của các phương
trình vi phân đạo hàm riêng sẽ có nhiều cách khác nhau: Phương pháp đổi
biến, phương pháp tách biến, phương pháp xấp xỉ... Các phương trình mô tả sự
biến thiến của trường theo thời gian, thường là các phương trình vi phân đạo
hàm riêng trong đó chứa hàm biến, các đạo hàm riêng của nó và các số biến
số độc lập. Từ cơ sở là các phương trình vật lý toán cơ bản ứng với từng loại
phương trình chúng ta xác định được các phương trình dao động của dây,
màng và phương trình truyền nhiệt. Để tìm nghiệm của các phương trình này
không đơn thuần chỉ là nắm được khái niệm của nó mà phải kết hợp phù hợp
và nhuần nhuyễn các công cụ toán học, vận dụng nó một cách linh hoạt.
Chính vì lí do đó việc triển khai đề tài áp dụng phương pháp tách biến
Fourier để giải các phương trình Vật lý Toán là rất cần thiết.

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp
Mỗi dạng bài nêu được.
- Lý thuyết và phương pháp giải từng dạng
- Bài tập đặc trưng, lời giải và đáp số cụ thể của các bài tập đó.
Đề tài này giúp cho em hiểu sâu hơn về bộ môn phương pháp toán lý
nói chung và cách giải các phương trình dao động, phương trình truyền nhiệt
nói riêng. Bước đầu tạo cho em thói quen cũng như khả năng giải bài tập sử
dụng phương pháp tách biến Fourier. Từ đó các có cái nhìn hệ thống về lý
thuyết cũng như bài tập môn phương pháp toán lý.
Qua đó có cái nhìn khái quát đơn về bức tranh vật lý muôn màu.
2. Mục đích nghiên cứu
Xác định phương pháp giải các phương trình Vật lý toán và hệ thống
bài tập áp dụng phương pháp tách biến Fourier
3. Giả thiết khoa học
Sử dụng hợp lý phương pháp giải và hệ thống bài tập pháp biến.
Về phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể là phương trình dao động của
dây, màng và phương trình truyền nhiệt không những rèn luyện kỹ năng giải
bài tập mà còn có tác dụng góp thêm một phương pháp nữa trong việc tìm
nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc 2.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình dao động của
dây, màng và phương trình truyền nhiệt.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Thiết lập một số phương trình Vật lý Toán.

- áp dụng, phương pháp tách biến Fourier để giải một số bài toán.
- Hệ thống các bài tập sử dụng phương pháp này.
6. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải
các phương trình Vật lý Toán nhằm rèn luyện kĩ năng giải phương trình
dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt.

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Chương 1
Phương trình dao động của dây

1. Thiết lập phương trình dao động của dây
Xét một sợi dây rất mảnh, có độ dài , căng, gắn chặt ở hai nút. Giả sử
sợi dây rất dẻo, do đó lực căng T tại mỗi điểm của sợi dây đều hướng theo
đường tiếp tuyến với sợi dây tại điểm ấy. Tại mỗi điểm T = Const.
Tại trạng thái cân bằng sợi dây nằm

T2

dọc theo trục ox. Trong quá trình dao y
động sợi dây dao động theo phương


T

vuông góc với trục Ox. Vị trí sợi dây

1

Q2


p

tại mọi thời điểm như nhau. Lập
phương trình cho hàm U(x,t)

x1

x2




Xét đoạn dây từ x1 đến x2, xác định các lực tác dụng T1 , T2 ( T1 = T2),
ngoại lực (ví dụ trọng lực của sợi dây)
áp dụng phương trình định luật II Newton có

T1 + T2 + P = ma

(6)

Chiều phương trình (6) lên phương chuyển động
x2

- T1sin (x1) + T2sin (x2)=

g( x, t )dx dx

(7)

x1

Coi sợi dây đồng chất thì const
x2

là khối lượng của một đơn vị độ dài của sợi dây đo (7) =


x1

2u
dx
t 2

- T1 sin (x1) + T2sin (x2)= T[sin (x2)-sin (x1)]

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp
u

u
x


1 tg 2
2 u x
1 2
x
tg

Trong đó

sin =

Do đó

T [sin (x2)-sin (x1)] = T

x2

2u
dx
t 2

x1
x2

U

Thay vào (7) có

''
tt

TUtt'' g( x , t ) dx 0

x1

Vì với x1, x2 bất kì nên utt'' TU xx'' g( x, t ) 0
Utt''



T



U xx'' g( x, t )

Utt,, a2U xx,, g( x, t ) (8) là phương trình dao động của sợi dây.

Với a2

T



a

T

thứ nguyên [a] =

m
là vận tốc truyền sóng.
s

* Nếu g = 0 thì (8) là phương trình dao động tự do của sợi dây không có
ngoại lực.
* Nếu g 0 thì (8) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây.
2. Dao động tự do của sợi dây
2.1. Phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn.
Xét một sợi dây có chiều dài , khi ở trạng thái cân bằng thì 0 x
dọc theo trục ox. Hai đầu nút gắn chặt trong quá trình dao động.
Phương trình dao động

U(x,t)

Utt'' a2U xx'' 0 (9)

Điều kiện ban đầu tại thời điểm t = 0
U/t=0 = f(x) ; Ut/t=0 = F(x)

(10)

0 x
Trong đó hàm U = U(x,t)
Điều kiện biến Ux=0 = Ux = = 0 (11)

Nguyễn Thị Dịu

O

x


t 0

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp
Bài toán này chứa cả điều kiện biên lẫn điều kiện ban đầu nên gọi là bài
toán hỗn hợp đối với phương trình dao động của sợi dây.
Giải bài toán này bằng phương pháp tách biến Fourier
Đầu tiên tìm nghiệm của phương trình (9) chỉ thoả mãn điều kiện với
một hàm chỉ phụ thuộc t.
U(x,t) = X(x) T(t)

(12)

Utt'' = XT; U xx'' = XT

Ta có

Thay vào (9) ta có XT a2XT = 0

T( ''t ) a2 X '' ( x )

T( t )
X (x)

T( ''t )
X '' ( x )
Do
không phụ thuộc vào x và
không phụ thuộc vào t nên
X (x)
T( t )
''
1 T( t ) X '' ( x )
=
= Const = C
X (x)
a2 T( t )

Đặt

C ta có

X '' ( x )
= - X(x) + X(x) = 0
X (x)
''
1 T( t )
= - T(t) + a2 T(t) = 0
2

a T( t )

(13)
(14)

* Giải phương trình (13) X + X = 0
Tuỳ theo dấu của , xét các trường hợp sau :
+ = -C2 < 0 nghiệm tổng quát của (13) là :
X(x) = C1 ecx + C2 e-cx ; C1, C2 vì hằng số tuỳ ý.
Từ điều kiện biên (11) ta có
C1 C2 0
cl
cl
C1e C2e 0

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp
Hệ này có nghiệm là C1 = C2 = 0. Trường hợp này bài toán chỉ có
nghiệm không

= 0. Nghiệm tổng quát của (13) là

+

X (x) = C1+ C2x
Từ điều kiện biên (11) ta có

C1= 0
C1 + C2 = 0
Hệ này có nghiệm C1= C2= 0 và X(x) = 0
= C2 > 0 nghiệm tổng quát của (13) là

+

X(x) = C1con Cx + C2 sin Cx
Từ điều kiện biên (11) ta có
Ux=0 Xx= 0 = 0 C1 = 0 = X(0)
U x = 0 Xx = = 0 C2 sin Cl = 0
C2 0 X ( x ) 0 loại

SinCl 0

Khi đó

Cl = k C =

Do đó mà

k 2 2
= 2
l

k
l

( k = l 2..)

Vậy nghiệm của (13) là Xk(x) = C2 sin
hay

Xk(x) = Ak sin

k x
l

k x
l

Các nghiệm này lập thành họ trực giao trong khoảng [0,l] nghĩa là
l

X

k

( x ) X j ( x )dx 0 nếu k j

o

* Giải phương trình (14) T + a2 T = 0


Nguyễn Thị Dịu

T + a2 c2 T = 0 Đặt a2c2= 2

K31A Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp
Nghiệm tổng quát của phương trình (14) có dạng
Tk(t) = Bkcos

k at
k at
+ Pk sin
l
l

Từ nghiệm của hai phương trình trên ta có nghiệm riêng của 2 phương
trình là :
Uk(x,t) = (ak cos
Với

k at
k at
k x
+ bk sin
) sin
l
l
l

ak = Ak Bk ; bk = Ak Dk

( k = 1,2,3...)

ý nghĩa của nghiệm riêng
* U (x,t) là nghiệm riêng và mô tả sóng đứng ( sóng dừng). Mỗi điểm x
của sợi dây thực hiện các dao động điều hoà với tần số k =
độ

k a
và với biên
l

ak2 bk2 sin k . x

U(x,t) = sin

k ax ak
k at
bk
k at 2 2
cos

sin

ak bk
l ak2 bk2
l
l
ak2 bk2

Tất cả các điểm của sợi dây đồng thời đạt được độ lệch cực đại của
mình về phía này hay phía khác.
sin

k x
k 1
= 0 x =
.l
l
k

Những điểm cố định dao động trên với biên độ cực đại là bụng sóng
sin

k x
k a
. k = l là tần số âm cơ bản k 1 ứng với
1 tần số k =
l
l

các hoạ âm.
* Nghiệm tổng quát của phương trình


U(x,t) =

k 1

Nguyễn Thị Dịu

Uk ( x, t ) sin
k 1

k x
k at
k at
a
cos

b
sin
k
k
l
l
l

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp
Với điều kiện chuỗi hội tụ và tồn tại Utt'' , U xx'' và hàm U(x,t) thoả mãn
điều kiện biên như mỗi một Ux với các giá trị bất kì của ak và bk .
áp dụng điều kiện ban đầu để tìm các hằng số


Ut=0 = 0 ak sin
k 1

k x

f ( x)
l

ak là hệ số khai triển Fourier của hàm f(x) theo Sin trong [0,l]

2l
k
ak = f ( )sin d
lc
l

Và

Ut=0 = F(x)





ak k

k 1



tương tự có bk =

k x
F( x )
l

k x ak k a
k at k abk
k at
sin

cos

l l
l
l
l

F(x) = sin
2

l

sin

l

F( )sin
k a
0

k
( )d ( )
l

2.2. Một số bài toán minh hoạ
2.2.1. Bài toán 1
Xác định dao động của một dây có chiều dài L thoả mãn phương trình:
U tt'' a 2U tt'' 0 (a = const)

Thoả mãn điều kiện ban đầu
U t 0 x; U t',t 0 L

và điều kiện biên U x 0 0 ;U x1 0
Cách giải
Giả sử nghiệm riêng của phương trình có dạng U ( x ,t ) X ( x )T ( t )


XT a2 XT = 0

1 T '' X ''
= C = const

a2 T
X

Vì hai vế là hàm của 2 biến số khác nhau nên chúng chỉ bằng nhau khi
cùng bằng 1 hằng số

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

T '' a 2CT 0

X '' C X 0



(15)
(16)

Trường hợp 1: C = 2 0
Phương trình (16) X - 2 X = 0

(17)

Nghiệm của phương trình (17) có dạng X = A1 e x A2e x
Từ điều kiện biên có
A1 A2 0
l
l
A1e A2e 0

A1 = A2 = 0 X = U = 0

Trường hợp 2: C = 0
Phương trình (16) X = 0 X = A1 X = A1x + A2
Từ điều kiện biên suy ra
A2 0
A1 = A2 = 0 X = U = 0

A

L

A

0
1
2

Trường hợp 3: C = - 2 < 0
Phương trình (16) X + 2 X = 0 có nghiệm dạng
X = A1 cos x + A2 sin x
A1 0 X (0)
Từ điều kiện biên
A1 cos L A2 sin L 0 X ( L )



A2 sin L = 0 sin L = 0 L = k



=



Xk = Ak sin

k
( k 1, 2 ,)
L

k
x
L

Phương trình (15) T + 2 a2T = 0 có nghiệm dạng
T = C cos at + Dsin at Tk = Ck sos

k at
k at
Dk sin
L
L

Nghiệm tổng quát của phương trình là Uk = Xk. Tk

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Uk = ( ak cos

k at
k at
k x
bk sin
)sin

L
L
L

Trong đó ak = CkAk; bk = Dk Ak


Nghiệm của phương trình U U k
k 1


k at
k at k x

bk sin
U t 0 ak cos
sin
L
L
L
k 1


Từ điều kiện ban đầu có U t 0 ak sin
k 1



U 't 0 bk cos
k 1

k a
k x
sin
F ( x) L
L
L

L



k x
f ( x) x
L

L

2
k x
2
k x
ak f ( x)sin
dx x sin
dx
L0
L
L0
L
L

L

k x
2
k x
bk
F
(
x
)sin
dx

L
sin
dx
k a 0
L
k a 0
L
2

L
2 L
k x 2
k x
xd
(cos
)
ta có akL

x cos

L k 0
L
kL
L





Vậy U
k 1

2
L
k x
( L(1) k
sin
kL
k
L

L
0

L
0

cos

0

k x
dx
L


2
) (1) k
k



2


2 (1) k cos k x a 1 ( ) k sin k at )sin k x

2
k
L
L
L
L




k

2.2.2. Bài toán 2
Xác định dao động của một sợi dây có chiều dài thoả mãn phương
trình

U tt'' a 2U xx'' 0 (a = const)
Điều kiện ban đầu Ut=0 = x;

Nguyễn Thị Dịu

Ut=0 =

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp
Điều kiện biên Ux=0 = 0;

Ux= = 0

Bài giải
Giả sử nghiệm có dạng: U / ( x ,t ) = X ( x )T(t )


XT a2 XT = 0

1 T '' X ''
.
C const

a2 T
X

Vì hai vế là hàm của hai biến khác nhau chúng chỉ bằng nhau khi là
hằng số
X '' CX 0 (18)

2
T '' Ca T 0 (19)

Suy ra
Xét trường hợp sau

Trường hợp 1: C = 2 > 0
Phương trình (18) X - 2 X = 0 có nghiệm dạng
X = A1 e x + A2 e x
Từ điều kiện biên U 'x , x0 = X 'Tx 0 0 X 'x0 0

X ' x 0 A1 A2 0 A1 A2 A
X x A1e A2e A(e e ) 0



A = 0 X = U = 0

Trường hợp 2: C = 0
Phương trình (18) X= 0 X = A1x + A2
Từ điều kiện biên X ' x 0 A1 0 A1 A2 0
X x A1 A2 0 X = U = 0

Trường hợp 3: C = 2 < 0 X + 2 X = 0 có nghiệm dạng
X = A1cos x + A2sin x
Từ điều kiện biên: U ' x0 X 'Tx0 0 X ' x0 0

X ' x 0 A2 0 X A2 cos x

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp


X ' x A1 cos 0 cos 0 k
2




2k 1 X k A1 cos
2

(2k 1) x
2

Phương trình (19) T '' 2 a 2T 0 có nghiệm dạng


T = B1 cos at +B2 sin at

Tk = B1cos

(2k 1) at
(2k 1) at
k
B1 sin

2
2
1

Nghiệm của phương trình có dạng U k X k Tk
Nghiệm tổng quát


(2k 1) x
(2k 1) at
sin(2k 1) at

U U k M k cos
Nk
cos
2
2
2

k 0

k 0



Điều kiện ban đầu có U t 0 M k cos
k 0



U 't 0 M k
k 0

(2k 1) x
f ( x) x
2

(2k 1) a
(2k 1) x
cos
F ( x)
2
2



Mk



2

(2k 1) x
2
(2k 1) x
f
(
x
)cos
dx

x
cos
dx
0
2
0
2


=

2
2
(2k 1) x
x
d
sin

(2k 1) 0
2

4
(2k 1) x
=
x sin
(2k 1)
2

=



Nguyễn Thị Dịu

4
(2k 1)

4
(2k 1)





sin
0
0

(2k 1) x
dx
2



2
(2k 1) x
k
( 1) (2k 1) cos
2



0






(2)
k
(

1)


(2k 1)

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp


Nk=

2.2
(2k 1) x
2.2
2

cos
dx


.
(2k 1) a 0
2
(2k 1) a (2k 1)

(2k 1) x
sin
2

8 2 ( 1) k
=
0

a 2 (2k 1) 2


Vậy

4
U
k 0 (2k 1)

sin



2
(2k 1) at
8 2 ( 1)2
k
(

1)

cos


(2k 1)
2
4 2 (2k 1) 2


(2k 1) at

(2k 1) x
cos
2
2


2.3. Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn
2.3.1. Xét phương trình dao động không thuần nhất của sợi dây
Utt'' - a2 U xx'' = - g(x,t) (2)

Utt= 0 = F (x)

Với điều kiện ban đầu Ut= 0 = f(x) ;
Điều kiện biên : Ux = 0 = 0 ; Ux=l = 0

k x
l

Chọn các sóng đứng là Uk = Tk(t) sin
Phương pháp giải


Nghiệm của phương trình là U =

T (t )sin
k

k 1

Đặt

k x
l

Uk (x,t) = Tk(t) Xk(x)

Thay nghiệm tổng quát vào phương trình (21) ta có
k 2 2 a 2
''
k x
T
(
t
)

T
(
t
)
g( x, t )

(k)
sin
k
l2
l
k 1

Giả sử với t thì hàm g(x,t) phân tích thành


g(x,t) =


k 1

Nguyễn Thị Dịu

k

(t )sin

k x
l

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

nên

k 2 2 a 2
k x
''
k x
T
(

t
)

T
(
t
)
k (t )sin

(k)
sin
k
2
l
l
l
k 1
k 1




k 2 2 a 2
''
Tk (t ) k (t )

T( k ) (t )
l2
k 1

(22)

Phương trình này lên được vô số nghiệm điều này là vô lý.

k (t )

Tính

2
k x
g( x, t )sin
dx

0


Từ điều kiện ban đầu cho hàm U(x,t) có

k x

U

f
(
x
)

T
(0)sin

t

0
k

l
k 1


U ' F ( x ) T ' (0)sin k x
k
t 0
l
k 1

2l
k x

Tk (0) l 0 f ( x )sin l dx ak

l
T ' (0) 2 F( x )sin k x dx b

k
k
l0

l

(23)

Bây giờ hàm Tk(t) có thể hoàn toàn xác định từ phương trình (22) và các
điều kiện (23)


Thay kết quả vào phương trình U =

T (t )sin
k

k 1

k x
ta sẽ nhận được
l

nghiệm của bài toán.
3. Một số bài toán minh hoạ
3.1. Bài toán 1
Tìm nghiệm của phương trình

2u 2u

Mx
t 2 x 2

Thoả mãn các điều kiện ban đầu bằng 0

U(x,0) = 0 ; U(x,0)= 0
U ( o,t ) 0
và các điều kiệnbiên
U ( ,t ) 0

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp
Bài làm
Phương trình đã cho được viết dưới dạng U tt'' U xx'' M x

U tt'' U xx'' M ( x )

(24)

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

U U ( x ,t ) V( x ) S( x ,t )
Trong đó V(x) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây
S(x,t) là phương trình của dao động tự do của sợi dây
U tt'' Stt'
''
''
''
U xx Vxx S xx

Suy ra

Stt'' Stt'' Vxx'' M x

Vxx'' M x
(25)
''
''
Stt S xx 0 (26)

Từ điều kiện ban đầu và điều kiện của (24) suy ra điều kiện ban đầu và
điều kiện của (25) như sau
Vx 0 0 ; Vx 0 điều kiện biên

Điều kiện ban đầu Vt 0 V( x ) ; Vt 0 0
Từ (25) suy ra

Vxx'' M x Vx'



Vx

M 2
x C1
2

M 3
x C1 x C2

6

+ Xét điều kiện biên, U x 0 Vx 0 S x 0 0
Vx0 0

S x 0 0



Vx 0 0

Vx 0

Vx 0
U x Vx S x 0
S x 0

S 0
x 0
S k 0

+ Xét điều kiện ban đầu
U t 0 Vt 0 St 0 0 Vt 0 St 0 Vt 0 V ( x)

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Vt 0 Vx
U 't 0 Vt ' 0 St'0 0 St'0 0 '
Vt 0 0

Giải phương trình (25)

Vx

S Vx
; t'0
St 0 0

M 3
x C1 x C2
6

Vx 0 C2 0

Điều kiện biên

Vx l

M 3 M 2
x l x
M 3
M 2 Vx
6
6

l C1l 0 C1 l

6
6

Giải phương trình (26): Stt'' S xx'' 0 phương trình có nghiệm dạng
S ( x, t ) X ( x)T (t )

XT '' X ''T 0

X '' CX 0

T CT 0

X '' T ''

C =const
X
T

(27)
(28)

Xét 3 trường hợp sau
Trường hợp 1:

C = 2 >0 X U 0

Trường hợp 2:

C =0 U X 0

Trường hợp3:

C 2 <0 Nghiệm dạng

X A1 cos x A2 sin x
T B1 cos t B2 sin t

*) Từ điều kiện biên
X x 0 A1 0

X x A2 sin 0 k
X k A2 sin

k


(k= 1; 2,...)

k x



Nghiệm tổng quát của (2b) dạng Sk \ Xx.Tk




S sK (ak cos
k 1

k 1

k t
k t
k t
bk sin
) sin




+ Từ điều kiện ban đầu

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp


S / t 0 ak sin
k 1



S '/ t 0 bk sin
k 1

k

k t
sin
0 F( x ) bk 0





ak

k t
X ( x ) f ( x)




2
k x
2 M
M
k t
V( x ) sin
dx ( x3 2 x) sin
dx

0

0 6
6

2 M 3 2
k x
ak
( x x ) d cos

k 0 6





M
k x
k x 2 2
( x3 2 x cos
/ 0 cos
(ex )dx
3k


0


M
sin k x 1

(x3 2 )d (

3k k 0

k





M 1
3 ( k ) 2

6 2 M
3k 2 3

3 2
k x
( x ) sin



k x

k
(1) k sin

sin
0
0

k x
dx


2
k
2 M (1)

0
k 3 3




2 M 3 (1) k
k x
k x
cos
sin
S =

3 3
k


k 1

Vậy U(x,t) = V(x)+ S(x,t



2M 3
M 3 M 2
k t
k x
x
x
(1) k cos
sin

3
6
6


k 1 ( k )

3.2. Bài toán 2
Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0 còn mút kia
chuyển động theo quy luật U(l,t) = Asin t và các điều kiện ban đầu bằng 0.
Bài làm
Bài toán dẫn tới việc giải phương trình:
- a2 U xx'' = 0 thoả mãn điều kiện biên Ux = 0 = 0; Ux=l = Asin t
và điều kiện ban đầu Ut=0=0 ; Ut=0 = 0.

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp
Giả sử nghiệm của phương trình có dạng
U = U(x,t) = V(x,t) + S(x,t)
V(x,t) là phương trình dao động cưỡng bức ở biên của dây; S(x,t) là
phương trình dao động tự do của dây
Utt'' Vtt'' Stt'' Vtt'' Stt'' a 2 ( Vxx'' Sxx'' ) 0
''
''
''
Vxx Vxx Sxx
Vtt'' a 2 Vxx'' 0 (23)
''
2 ''
Stt a Sxx 0 (24)

Xác các điều kiện biên, điều kiện ban đầu của V, S
+ Điều kiện biên
Vx 0 0
Ux=0= Vx=0 + S x=0= 0
Sx 0 0
U x Vx S x A sin t

Vx l A sin t
Vx 0 0
Sx 0 0

;

S x l 0
Vx l A sin t Sx l 0

+ Điều kiện ban đầu
Ut=0= Vt=0 + St=0= 0 Vt=0= -St=0 = V(x)
Vt 0 Vx

St 0 Vx

Ut=0= Vt=0 + St=0= 0 Vt=0= -St=0 = V(x)
V ' x l V ' x
Vt 0 Vx
St 0 Vx

;
'

'
'
'
'
'
V t 0 V x S t 0 V x
S t 0 V x

Giải phương trình (29) Vtt a2 Vxx = 0
Giả sử nghiệm của phương trình có dạng: V = X(x). T(t)
Đặt Tt = sin t V = Xx sin t

Nguyễn Thị Dịu

Vtt'' X k 2 sin t
Vxx'' X '' sin t

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp
X x 2 sin t a2 X sin t = 0
X +

2
a2



X = A1cos


X=0

2

x + A2 sin

a

V = ( A1cos

vì



x+A2 sin

a

a2


a


a

>0

x
x) sin t

+ Điều kiện biên
Vx = 0 = A1sin t = 0 A1= 0
Vx=l = A2 sin

l
d

A sin

sin t = Asin t A2 =

A
sin

l
a



x
a
Vx,t =
sin t
l
sin
a



Giải phương trình (24) S ''tt - a2S ''xx = 0
Với điều kiện ban đầu St=0= -Vxt=0= 0
A sin

S


t=0

=-V


x,t=0

Điều kiện



x

a cos .0. =
=
l
sin
a

A sin



a
l
sin
a

x

Sx=0= 0 ; Sx=l = 0

Giải sử nghiệm có dạng S = S(x,t) = XxTt


X '' CX 0
T '' X ''

C const
2
2
a T
X
T '' Ca T 0

(*) Trường hợp l:

(32)

C = 2 > 0 X- 2 x = 0

Nghiệm của phương trình dạng

Nguyễn Thị Dịu

(31)

X = A1 e x +A2 e- x

K31A Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp
Từ điều kiện biên:

Sx=0 = XTx=0 = 0 Xx=0 = A1+ A2 = 0
Sx=l = XT x=l = 0 Xx=l = 0 = A1 e x +A2 e- x

A1 = A2 = 0 X = S = 0

(*) Trường hợp 2: L = 0 X = 0 C1x + C2
X x 0 C2 0

X x l C1l 0 C1 0

Điều kiện biên

X=S=0

(*)Trường hợp 3: C = - 2 X + 2 X = 0
Nghiệm phương trình dạng X = A1cos x + A2 sin x
Từ điều kiện biên Xx=0 = A1 = 0
Xx=l = A2 sin = 0 = 0 =

k
k x
Xk = A2 sin
l
l

Ta có
T + 2 a2 T= 0 có nghiệm dạng T = B1 cos at + B2 sin at

Tk = B1 cos

k at
k at
+ B2 sin
l
l

k at
k at k x

Nk sin
Sk = Xk Tk = Mk cos
sin
l
l
l



k at
k at
k x

S S k M k cos
N k sin
sin

k 1
k 1



Điều biện ban đầu St=0=

M
k 1

St=0 =



N

k

k 1

sin

k

sin

k x
f ( x ) 0 Mk 0
l

k a
k x
A

sin
F( x )
sin x
l
l
l
a
sin
a

k x
1 l A
x k x
F( x )sin
dx
sin
sin
dx
Nk =


k a 0
l
k a 0 sin l
a
a

a
2

Nguyễn Thị Dịu

l

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp
2 A

=

k a sin

l



1

cos

l 2 a
0

k
l


k
x cos
l

a


x dx


a



A
1
k
=

sin
l k a l
k a sin

a a
l

1

k
x

sin


x
k a
l




l
a


0




A
1
1
l

=

sin k
sin k x
l k a
k a

k a sin





a a
l
l
a

l
l
l
l

ta có sin k sin cos k cos sin k (1)k sin
a
a
a
a

l
l
l
l

sin k sin cos k cos sin k ( 1)k sin
a
a
a
a

k


2 l
2 A a2 l 2 (1)k

l
k
(

1)
sin
Nk =

2 2
2 2 2
l 2 k 2 2

a
la

l

k
a

k a sin
2
2
a a
l

A

=-

2 A al(1)k
2 A al( 1)k

2 l 2 k 2 2 a2 k 2 2 a2 2 l 2



S=

2 A al
k at
k

(1)k sin
sin
x
2 2
2 2
a l
l
l

k
2

k 1

U = V +S =

A
sin

l

sin

x
a

2 A al( 1)k
k at
k ax
sin

sin
2 2 2
2
l
l
k 1 k a l


sin t

a

3.3. Bài toán 3
Hãy xét dao động tự do của một sợi dây gắn chặt ở các mút x = 0, x= l
trong một môi trường có sức cản tỉ lệ với vận tốc. Cho biết các điều kiện ban
đầu.

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

U(x,0) = f(x) ;

U
t

t 0

F( x )

Lời giải
Lực cản tác dụng lên sợi dây g(x,t) = - hUt
Trong đó h là hệ số tỉ lệ. Ut/t=0 = F(x) : vận tốc ban đầu bài toán dần
đến giải phương trình Utt'' - a2 U xx'' = - h Ut

(33)

U / t 0 f ( x )
Với điều kiện ban đầu '
Ut / t 0 F( x )

Và điều kiện biên

U / x 0 0

U / x l 0

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng U(x,t) = X(x) T(t)
Ut = XT ..., Utt'' = XT; U xx'' = XT
XT a2 XT = - h XT




(T + hT) X = a2 X T
1 T '' hT ' X ''
const C

a2
T
X

X '' CX 0

2
T '' hT ' Ca T 0

(34)
(35)

Xét trường hợp sau
* Trường hợp 1: C = 2 > 0 : X = T = 0
* Trường hợp 2: C = 0 ; X = T = 0
* Trường hợp 3 : C = - 2 < 0 X + 2 X = 0
Có nghiệm dạng X = A1Cos x +A2 sin x
U / x 0 A1 0

Điều kiện biên
k
U / x l A2 sin l 0 l

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp
k x
l

Xk = A2 sin

Giải phương trình (35): T+ hT + 2 a2 T = 0
Phương trình đặc trưng r2 + hr + 2 a2 = 0
4k 2 2 a 2
= h - 4 a = h l2
2

2

2

2

Và a rất lớn; k từ 1 < 0
= - 2 r =
Tk C1e

h i
t
2

i t

Ta có e 2 = cos

C2 e

t
2

i sin

ht

t



Tk= e 2 (C1 cos



Tk = e 2 ( B1 cos



h i
t
2

2

ht

e

t
2

h i
2

ht
( C1e
2

;e



iC1 sin

t
2

i t
2

i t
2

i t
2

= cos

t
2

B2 sin

C2 e

t
2

)

t

i sin

2

C2 con

t
2

t
2

C2i sin

t

2

)

) với B1 = C1 + C2

B2 = (C1 C2)t


Uk = Xk Tk


U=





ht

Uk e 2 ( Mk cos
k 1

k 1

t
2

Nk sin

t
2

)sin

k x
l

Từ điều kiện ban đầu


Ut=0 =

M
k 1

U


t=0

( Mk

Nguyễn Thị Dịu

k

sin

k x

f ( x)
l

ht

t
t
h ht2
= e ( Mk cos Nk sin ) e 2
k 1
2
2
2



t

t k x
sin Nk cos sin
/ t 0
2
2
2
2
l

K31A Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp
k x
h
Mk Nk sin
F( x )
k 1 2
2
l




Ut= 0 =



2
k x
f ( x) sin
dx

l 0
l

Mk =

(36)

Ta có -

h

2
k x
M k N k F ( x) sin
dx
2
2
l 0
l




2

l

Nk

Nk =

h
2
k x
M k F ( x) sin
dx
2

l 0
l

h 2

22 l

l



f ( x) sin

0

l
k x
2
k x
dx F ( x) sin
dx
l
l 0
l


l

2 2 hf ( x)
k x

=
F ( x) sin
dx


l 0 2
l

l

=

4 hf ( x)
k x

F ( x) sin
dx


l 0 2
l


(37)

Thay (36) (37) vào U(x,t) ta có


U(x,t) =

e
k 1



ht
2

t
t k x

M k cos N k sin sin
2
2
l


4. Tổng kết chương I
Trong chương I về dao động của sợi dây, tôi đã trình bày việc thiết lập
phương trình dao động của sợi dây và xét dao động tự do của dây. Trong đó
phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn và dao động cưỡng bức của
sợi dây hữu hạn được trình bày chi tiết và có lời giải. Mỗi dạng phương trình
đó có các ví dụ minh hoạ điển hình, phù hợp.
Nội dung chương I đã nêu bật được cách giải của từng phương trình dao động
của dây. qua đó giúp bạn đọc có cách nhìn hệ thống và hướng giải các dạng
phương trình khác tương tự.

Nguyễn Thị Dịu

K31A Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp
Chương 2:
Phương trình dao động của màng
1. Thiết lập phương trình dao động của màng
Giả sử, ta có một màng được kéo bằng lực căng T, đàn hồi, dao động
nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng trong quá trình dao động có thể bỏ
qua. Khi đó mật độ phân bố lực căng T là như nhau trong tất cả các tiết diện
của màng.
Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng x,y còn dao động xảy ra
sao cho mỗi điểm của màng đều lệch theo phương vuông góc với mặt phẳng
này kí hiệu độ lệch này là U, U là hàm của các toạ độ x,y và thời gian t
z

U = U (x,y,t)


n
s

+ Phương trình dao động của màng

s

là phương trình sóng hai chiều

[s x n]

Utt a2 (Uxx + Uyy) = -g(x,t)

y

0
Trong đó:

a2 =

T



co nst

L

x
ds

T: Mật độ phân bố của mặt căng
a : Vận tốc truyền sóng
s: Mật độ khối lượng mặt
(Khối lượng của một đơn vị diện tích)
* Nếu g(x,t) = 0: dao động tự do không có lực ngoài

* Nếu g(x,t) 0: dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực
+ Điều kiện ban đầu
Ut=0 = f(x,y): độ lệch ban đầu của điểm (x,y) trên màng
Ut,t=0=F(x,y): vận tốc ban đầu

+ Điều kiện biên (có biên gắn chặt)
UL = 0

Nguyễn Thị Dịu

UL là giá trị hàm u ở các điểm của chu tuyến L

K31A Vật lý