Các phân bố thống kê và nhiệt dung vật rắn

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết tính chất cơ bản của Vật lý học là tính thực
nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của Vật lý học
một cách chính xác, ta phải dùng phương pháp toán học. Phương pháp toán
học đã được áp dụng từ lâu trong Vật lý học, nhưng từ thế kỷ XIX nó được
phát triển mạnh mẽ về bề rộng và bề sâu, hiệu lực nghiên cứu của nó lớn đến
mức làm phát sinh một ngành mới, là Vật lý lý thuyết. Vật lý lý thuyết có hai
nhiệm vụ:
a) Diễn tả các quy luật vật lý dưới dạng các hệ thức định lượng và
thành lập mối liên hệ nội tại giữa các sự kiên quan sát được trong thực
nghiệm, xây dựng thuyết bao gồm và giải thích được một phạm vi rộng rãi
nhiều hiện tượng vật lý.
b)Dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới giữa các
hiện tượng vật lý mà thực nghiệm chưa quan sát được .
Như vậy, vật lý lý thuyết có nội dung Vật lý và phương pháp toán học.
Nó tìm ra được những quy luật tổng hợp nhất, phản ánh được bản chất Vật lý
của nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát .
Điện động lực học là một môn của Vật lý lý thuyết, nên cũng có những
nhiệm vụ và đặc điểm nói trên. Trong đó nó đưa ra các đại lượng trung gian
đặc trưng cho điện từ trường : đó là thế véc tơ và thế vô hướng. Đồng thời
cũng xây dựng được các phương trình của thế véctơ và thế vô hướng. Từ đó
có thể xác định được điện từ trường của các hệ vật lý một cách dễ dàng.
Để thực hiện được nhiệm vụ này, điện động lực học đã sử dụng những
phương trình tổng quát nhất, được coi là cơ sở điện động lực học đó là các
phương trình Macxoen. Đặc biệt là từ hệ phương trình này, Macxoen đã tiên

1

Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

đoán được sự tồn tại của điện từ trường tự do trong không gian dưới dạng
sóng điện từ.
Trên đây là tất cả những lý do khiến tôi lựa chọn và nghiên cứu đề tài:
“Thế véc tơ và thế vô hướng của trường điện từ”
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
- Tìm hiểu từ trường thông qua thế véc tơ và thế vô hướng .
- Giải một số bài tập thuộc phương trình Poatxong, thông qua đó tìm
hiểu thêm những kiến thức cơ bản của điện từ trường và những công cụ toán
học để tiếp cận với những bài toán đã đề ra .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Từ hệ phương trình Macxoen đưa ra các đại lượng thế vectơ và thế vô
hướng.
- Lập các phương trình vi phân của thế vectơ và thế vô hướng.
- Giải các bài tập về thế vectơ và thế vô hướng .
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng : thế vectơ và thế vô hướng của trường điện từ .
- Phạm vi : điện động lực học vĩ mô.
5. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp nêu của vật lý lý thuyết .

2

Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG 1
TĨNH ĐIỆN TRƯỜNG
1.1. Hệ các phương trình Macxoen tổng quát
Điện từ trường được đặc trưng bằng bốn vectơ : vectơ cường độ điện







trường E , vectơ cảm ứng điện D ,vectơ cường độ từ trường H , véc tơ cảm

ứng điện trường B . Bốn vectơ trên không độc lập với nhau. Đối với môi
trường đẳng hướng, chúng liên hệ với nhau bằng những hệ thức:



D E



B  H

Trong đó :

 gọi là hằng số điện môi.

 gọi là độ từ thẩm.
Từ những sự kiện thực nghiệm trong điện từ học , ta rút ra được phương
trình Macxoen :



B
rotE  
t

  D
rotH  j 
t

divD  

divB  0

Các phương trình trên đã diễn tả mối quan hệ giữa điện trường và từ
trường: từ trường biến thiên sinh ra điện trường xoáy, và ngược lại điện
trường biến thiên sinh ra từ trường xoáy.

3

Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Điện từ trường có năng lượng được phân bố liên tục trong không gian
mà mật độ bằng w 

1  
ED  HB năng lượng tuân theo định luật bảo toàn
2





năng lượng.Với một hệ cô lập chỉ có điện tích và điện từ trường tương tác với
nhau, thì xung lượng của điện tích và điện từ trường là một lượng không đổi.
Trường tĩnh là những trường thỏa mãn điều kiện:
- Các đại lượng đặc trưng không biến đổi theo thời gian .
- Các điện tích không chuyển động .
Khi áp dụng các phương trình Macxoen cho các trường tĩnh, ta phải cho
các đạo hàm theo thời gian của các đại lượng đặc trưng cho trường tĩnh bằng

0 và cho j  0 . Đối với trường tĩnh thì từ trường và điện trường là độc lập với
nhau nên có thể khảo sát riêng rẽ .
Từ đây ta có nhóm các phương trình của trường tĩnh điện là:


rotE  0

divD  0

(*)
(**)

Vậy trường tĩnh điện là điện trường của các điện tích đứng yên.
Trong môi trường đồng chất, các phương trình (*), (**) của tĩnh điện
trường có thể viết thành :


rotE  0

(***)

 
divE 

(****)



1.2. Tĩnh điện trường trong môi trường đồng chất -thế vô hướng

Từ phương trình (***) rotE  0 , ta thấy rằng tĩnh điện trường là một
trường thế. Dạng tích phân của (***) là:

 
E
 dl  0 (1.2.1)

4

Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Xét hai điểm bất kỳ A, B

C1

B

trong tĩnh điện trường, và C1 và C2
là hai đường đi bất kỳ từ A đên B,
tạo thành một chu trình khép kín C.
( hình vẽ)
C2
A

Ta có :
Hay :



 
E
dl

E

 dl 

C

C1



 
 
Edl   Edl

C1



 
Ed l 

C2



C1

 
 
Ed l   E d l  0
C2

(1.2.2)

C2

 
Vì Edl là công của điện trường để di chuyển một điện tích dương bằng
đơn vị (e= +1C) trên nguyên tố đường d, nên vế trái và vế phải (I.2.2)biểu
diễn công của tĩnh điện trường để di chuyển điên tích e= +1C từ A đến B theo
các đường C1 và C2.
Vậy : trong tĩnh điện trường công để di chuyển một điện tích từ điểm này
đến điểm khác không phụ thuộc vào đường đi, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và
điểm cuối. Đó là tính chất của trường thế.
Từ phương trình Macxoen :

rotE  0
Và :

rotgrad            0


E   grad
(1.2.3)

Trong đó    (r ) là một hàm vô hướng của tọa độ. Hàm  luôn thỏa

Nên đặt :

mãn phương trình :

rot   grad   0
tức là thỏa mãn phương trình (***):

5

Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


rotE  0
Hàm  được định nghĩa bằng (1.2.3) gọi là thế vô hướng của tĩnh điện
trường( thế tĩnh điện hay điện thế) .
Vì:

dφ 


φ
φ
φ
dx 
dy 

dz  gradφ. dl
x
y
z

Ta luôn luôn có:
B


A

B

B






 
Edl   gradφ.dl   dφ  φ( A) φ(B) (1.2.4)
A

A



Theo định nghĩa nếu biết thế  , có thể xác định được trường E một


cách đơn giá. Nhưng ngược lại nếu, nếu biết trường E , ta không xác định
được thế  một cách đơn giá .
Nếu C là một hằng số tùy ý, ta luôn có :
grad   C   grad




Như vậy, nếu  xác định trường E thì   C cũng xác định trường E
đó. Chính vì vậy ta cần định cỡ điện thế  . Sau khi định cỡ, điện thế ở mọi
điểm được xác định một cách đơn giá .
Để thuận tiện cho các phép tính toán, tùy từng trường hợp cụ thể, ta có
thể quy ước cho  tại mỗi điểm nào đó một giá trị xác định nào đó. Cách làm
đó gọi là phép định cỡ điện thế. Sau khi đã định cỡ, điện thế tại mỗi điểm
được xác định một cách đơn giá .
Trong vật lý lý thuyết, ta thường cho  ở vô cực bằng 0.
Nếu cho     0 , ta có :


 

  A     A         Edl

(1.2.5)

A

6

Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tức là : điện thế tại một điểm bất kỳ bằng công của điện trường để di
chuyển một điện tích dương bằng đơn vị từ điểm đó đến vô cực (cũng bằng
công mà ta phải cung cấp để di chuyển một điện tích dương bằng đơn vị từ vô
cực đến điểm đó ) .
1.3. Điện thế của một hệ điện tích
Xét một điện tích điểm .
Điện thế của nó có tính chất đối xứng cầu. Tại một điểm cách nó một
khoảng bằng r , điện trường có giá trị bằng :





1 e r
1 e o
E

r
4 r 2 r 4 r 2

(1.3.1)

trong đó r là bán kính vectơ của điểm quan sát khi lấy gốc tọa độ tại

o

điện tích e,và r là bán kính vectơ đơn vị .
Áp dụng phương trình (1.2.5) :


 

  A    A        Edl
A

và chọn đường đi theo phương bán kính vectơ , ta có:

   
  r    Edl   Edr


r

r

e



dr
1 e
 r 


4 r r 2 4 r

(1.3.2)

Đối với hệ hai điện tích điểm, ta có :

E1   grad1

E2   grad2
Theo nguyên lý chồng chất trường ,điện trường của hệ bằng :
  
E  E1  E2   grad1  grad2
  
E  E1  E2   grad 1  2 

7

Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2



vì theo định nghĩa : E   grad
Nên :

  1   2

(1.3.3)

Điện thế của hệ bằng tổng các điện thế của từng điện tích .
Mở rộng ra cho một hệ gồm n điện tích điểm , ta có :
n

   i 
i 1

Trong đó :

n

1

ei

r
4
i 1

(1.3.4)

i

 i là điện tích thứ i

ri là khoảng cách từ điểm quan sát đến điện tích e i .
Để thuận tiện hơn cho

ei

các phép tính ta quy ước
chọn một điểm O bất kỳ làm

r'i


gốc, và R gọi là bán kính

ri



vectơ của điểm quan sát, r 
là bán kính vectơ của điện

tích ei , r i là bán kính vectơ

P

O
R

của điểm quan sát khi lấy
làm gốc (hình vẽ ).

Ta có :

  
ri  R  ri

Công thức (1.3.4) viết lại thành :


  R 

1

n

ei

 R  r
4
i 1

(1.3.4a)

i

- Nếu điện tích được phân bố liên tục trong một thể tích V bất kỳ, ta xét
một nguyên tố thể tích dV có mật độ điện tích khối bằng  dV .

8

Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

dV

1



4 

(1.3.5)

r

V

trong đó r là khoảng cách từ điểm quan sát đến nguyên tố thể tích dV .

S

- Đối với một hệ điện tích phân bố liên tục trên mặt

với mật độ điện

tích mặt bằng  , ta có :



1
4



dS

(1.3.6)

r

S

trong đó r là khoảng cách từ điểm quan sát đến nguyên tố mặt dS .
- Nếu hệ điện tích gồm cả điện tích khối và điện tích mặt phân bố liên
tục, ta có :

1



4

dV



r

V



1
4


S

dS
(1.3.7)

r

Chọn một điểm O bất kỳ


và R gọi là bán kính vectơ của
V

dV



điểm quan sát, ri là bán kính
của nguyên tố thể tích dV hoặc

r'

nguyên tố mặt dS ( hình vẽ ) .

r

Ta có :

  
r  R  r
O

P
R

Các công thức (1.3.5), (1.3.6), (1.3.7) trở thành :



  R 

 dV

1

 
4  R  r 

(1.3.5a)

V

9

Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2



 R 

 dS

1

 
4  R  r 

(1.3.6a)

S



  R 

1
 dV
 

4 V R  r 



1

4 
S

 dS
 
R  r

(1.3.7a)

-Một hệ điện tích đặc biệt mà ta thường hay gặp là lưỡng cực điện.
Lưỡng cực điện đơn giản nhất là gồm hai điện tích bằng nhau và khác dấu .

Nếu gọi là l bán kính
A
vectơ từ điện tích –e đến điện
tích +e ( hình vẽ 3) ta định
nghĩa được mô men lưỡng cực

r1

 
p
điện là :  el .

r

Điện thế ở điểm quan sát

r2

-e

A bằng tổng các điện thế do

+e
l

hai điện tích gây ra tại A:



e 1 1
e  r2  r1 
   

 (1.3.8)
4  r2 r1  4  r2 r1 

Nếu A ở cách xa lưỡng cực :

  
r1  r2  r
l  r1 , r2 , r3
Do đó :

r1  r2
r12  r2 2
r12  r22


r1r2
r1r2  r1  r2 
2r 3

(1.3.9)

Mặt khác :

   

r12  r12   r1  r2  r1  r2   2rl

(1.3.10)

10 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

và viết lại thành:




e rl
1 pr


4 r 3 4 r 3

(1.3.11)

Biết mô men lưỡng cực điện của hệ, ta tính điện trường của hệ :
  

1  3  pr  r p 
E   grad 
 3

4  r 5
r 
1.4. Các phương trình vi phân của thế vô hướng

 
Trong phương trình Macxoen: divE 



divgrad  

Vì :



, ta thay E bằng  grad :




divgrad   2

Ta có :
 2  




Đó là phương trình Poatxong của thế vô hướng .
Đối với một điểm không chứa điện tích thì phương trình Poatxong trở
thành phương trình Laplaxơ:
 2  0

Nghiệm của phương trình Poatxong cần thỏa mãn các điều kiện : là một
hàm hữu hạn, liên tục và có tọa độ theo tọa độ hữu hạn để cho các phương
trình có ý nghĩa vật lý .
1.5. Bài tập chương 1
Tính điện thế và điện trường do một bản song song vô tận tích điện đều.
Bề dày của bản bằng 2a, mật độ điện tích trong bản là   const . Hằng số
điện môi trong bản và ngoài bản đều bằng  .
Bản vô tận chia không gian thành ba miền ( hình vẽ ).

11 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Bài giải
Vì điện tích được phân bố

z

đối xứng với mặt trung bình của
3

bản, nên điện thế và điện trường

+a

cũng đối xứng với mặt đó. Bản
là vô tận nên vectơ điện trường

O

2

có phương song song với trục

-a
1

Oz .Chọn mặt trung bình là xOy.

Điện thế chỉ phụ thuộc một tọa
độ z.

Viết các phương trình Laplaxơ và phương trình Poatxong cho ba miền
không gian :
Đối với miền 1 (z <-a):
d 2 1
0
dz 2

(1)

d 2 2



hay
2


dz

(2)

 21  0 hay

Đối với miền 2 (-a 2 2  

Đối với miền 3 (z> +a):

d 2 3
0
  3  0 hay
dz 22
2

(3)

Nghiệm của ba phương trình đó là :

1  A1 z  B1

2  

(1a)

 2
z  A2 z  B2
2

(2a)

12 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 3  A3 z  B3

(3a)

Chúng ta phải xác định sáu hằng số tích phân A1 , B1 , A2 , B2 , A3 , B3 .
Đặt  2  0 khi z =0 ( điều kiện định cỡ). Từ phương trình (2a) ta rút ra :

B2  0
Do sự phân bố đối xứng của điện tích, điện trường tại mặt z=0 phải bằng
0. Do đó :

d2
dz

z 0

0

Lấy đạo hàm của phương trình (2a) theo z và cho z=0, ta rút ra :

A2  0
Điều kiện về sự liên tục của thế  :
Khi z =-a thì :

1 (a)   2 (a)
Vì không có điện tích mặt nên E1  E 2 , tức là :

d1
dz

z  a



d 2
dz

z  a

Từ phương trình (1a) và (2a) ta rút ra :


a

 2
B1 
a
2
A1 

Tương tự như trên , khi z = +a thì  2 ( a)   3 ( a) và :

d 2
dz

z  a



d 3

dz

z  a

Từ các phương trình (2a) và (3a), ta rút ra :

13 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


a

 2
B3 
a
2
A3  

Đưa giá trị các hằng số tích phân vào (1a), (2a), (3a), ta rút ra:

1 


 2
az 
a


2

(4)

2  

 2
a
2

(5)

3  


 2
az 
a

2

(6)



Áp dụng E   grad , ở đây là E  

E1  


a



E2  z


E3  a


d
, ta tính ra :
dz

E1  



 
ak


 
E2  zk

 
E3  ak


1.6. Kết luận chương 1
Trong chương 1, em đã đi nghiên cứu về hiện tượng tĩnh điện và các
hiện tượng từ của dòng điện không đổi. Áp dụng các phuơng pháp toán học và
dựa trên nền tảng là các phương trình Macxoen, em đã tìm hiểu về thế vô
hướng và sử dụng các phương trình Poatxong và Laplaxơ để tìm hiểu thế của
trường một cách tổng quát. Từ đó dẫn đến việc tính được điện trường tại một
điểm bất kỳ. Sau khi đã hệ thống lại các kết quả này, em đã vận dụng vào giải
bài tập một cách đơn giản và dễ hiểu khi làm những bài tập có liên quan đến
tĩnh điện trường.

14 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƯƠNG 2
TỪ TRƯỜNG DỪNG
2.1. Các phương trình của từ trường dừng
Từ trường dừng là từ trường do các dòng dừng gây ra, các dòng dừng là
các dòng điện không biến đổi theo thời gian.
Vì vậy các phương trình của từ trường dừng có dạng:

 
rotH  j

divB  0
Theo các phương trình trên ta thấy rằng từ trường dừng không phải là
trường thế, mà là một trường xoáy do có vectơ đường khép kín.

2.2.Từ trường dừng trong môi trường đồng chất -thế véctơ- định luật
Biô-Xava



Từ phương trình divB  0 ta có thể đặt:



B  rotA


 

trong đó : A  A(r )

(2.2.1)


là một hàm véctơ của tọa độ. Hàm A luôn thỏa mãn

phương trình:


divrotA  0
Vì :


divrotA  .   A  0





(2.2.2)



Hàm véc tơ A được định nghĩa bằng (2.2.1) gọi là thế véctơ của từ
trường dừng.
Xét phương trình:
 
rotH  j
Ta đưa thế véc tơ vào phương trình trên:



rotH  rotrotA   j

(2.2.3)

15 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Mặt khác ta lại có:




rotrotA  graddivA  2 A

Ta chọn điều kiện định cỡ cho thế vectơ A :


div A =0

(2.2.4)

Phương trình (2.2.3) viết lại thành:


2 A   j

(2.2.5)

(2.2.5) là phương trình Poatxong của thế vectơ viết cho những miền có dòng

điện khối ( j  0) .

- Ở những miền không có dòng điện khối ( j  0) thế véc tơ thỏa mãn
phương trình Laplaxơ:

2 A  0

(2.2.6)

- Để tìm được nghiệm của phương trình(2.2.5) ta đi đối chiếu nó với
phương trình của thế vô hướng:

 2  





1
Ta thấy A và j giữ vị trí của  và  còn giữ  vị trí của .



Do đó đối chiếu với nghiệm của thế vô hướng, ta suy ra nghiệm của
phương trình là:


j
 r dV

 
j
A
  dV

4 R  r 
 
A
4

(2.2.7)

(2.2.8)


i
Trong trường hợp dòng điện mặt là dòng điện có mật độ là thì nghiệm
của phương trình có thể viết dưới dạng :

16 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 
i
A
dS

4  R  r



j
r
dV

r



Các véc tơ R và r  được đối
P chiếu chỉ rõ trên hình vẽ .

Xét phương trình :



B  rotA

 

j
 B  rotA 
rot  dV
4
r

'

R

(2.2.9)
O




Vì A là thế véc tơ của điểm quan sát, là hàm của nên rotA phải lấy theo

tọa độ R .



Tích phân ở vế phải lấy theo nguyên tố dV , là hàm của r . Do đó phép
lấy rot và phép lấy tích phân ở đây phải độc lập với nhau nên ta có:

 
j
B
rot
dV
4 
r
Áp dụng:


 
1
rot (uA)  urotA   Agradu 
r

Ta biến đổi được:

j 1  
1
rot  rotj   jgradu 
r r

r





Vì rot lấy theo R và j là hàm của r  , nên rotj  0 . Suy ra:


j
1

rot    jgradu 
r
r


17 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Mặt khác:

 

   r    j , r 
1


  jgradu     j   3   
r
r3

  r 
 

j  j , i 
rot  3
r
r

Nên:
Vậy:

 
B
4

 
 j , r 
 r 3 dV

(2.2.10)

Hay:


1

H
4



j , r dV

(2.2.10a)

r3

là dạng tích phân của định luật Biô-xava
2.3. Thế véctơ và từ trường dòng nguyên tố
Dòng nguyên tố là một dòng khép kín chảy trong miền có kich thước rất
nhỏ so với khoảng cách từ dòng đến điểm quan sát. Như vậy bất kỳ một dòng
khép kín nào cũng có thể được gọi là dòng nguyên tố .
P

Đối với dòng nguyên tố, thế
véc tơ tại điểm quan sát sẽ có dạng:

 
dl
A
I 
4  R  r

r
R

(2.3.1)
Chọn gốc O thuộc miền chứa

dl
r'

O

dòng nguyên tố.


 
Các véc tơ r, R và r  được
xác định trên hình vẽ với r   R .

18 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2




Khi đó dl là hàm của r và dl  dr (hình vẽ ) .
Do đó, ta có :

 
dr 

A
I  
4  R  r 

(2.3.1a)

Khai triển Taylor:

1 
1
1 
1 1 r R
     r    .....   r .grad   3
R
R
R R R
Rr R
1

(2.3.2)

Và:

  I
A
4 R

  I
 dr  4 R3



 
  Rrdr

(2.3.3)

Tích phân thứ nhất là tích phân theo đường kín của vi phân toàn phần
một véctơ. Do đó nó bằng 0.
Mặt khác:
  1
Rr  dr  
2

 


 
  
1
Rr  dr   Rdr  r  
2

 


 
 
Rr  dr    Rr   r 

   







 Rr dr  2 d R r  r  2  rdr R 
1

1

(2.3.4)

Suy ra:

I 1
A
4 R 3 2

d
L





 Rr r  4RI 12  r, dr R 
3

L

Số hạng đầu là vi phân toàn phần của một véctơ, tích phân theo đường
kín của nó bằng 0. Do đó :


A


4 R3



1   
  1   
 rdr R  
 4 R3  2   r, dr R (2.3.5)
2

Đặt :

19 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 I

M
2





  r , dr 

(2.3.6)

Khi đó:

A

 

M
  , R 
4 R3 R3

Vì điểm quan sát ở xa lưỡng cực và gốc O được chọn trong miền chứa


dòng nguyên tố nên ta có thể thay R bằng r :

A

 


 M , r 
3 

4 r

(2.3.7)

Vậy :

 
M , r 
 

B  rotA 
rot  3 
4
r
 



   3  Mr  r M 
 3
B 
4  r 5
r 


(2.3.8)



2.4. Bài tập chương 2
Tính thế véctơ và từ trường ở trong và ngoài hình trụ vô tận bán kính R.
Dòng điện chạy trong hình trụ có cường độ dòng điện I.
Bài giải :
Xét trong hệ tọa độ trụ:
Thế vectơ : Ar ,  , z   Ar 


Áp dụng phương trình Poat xông cho thế véctơ A .
+0  r  R


 2 A1    j

(1)

+Rr 

 2 A2  0

(2)

Trong hệ tọa độ trụ :

20 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1    A  1  2 A
2 A
 A   r  
r 2 
r  r  r  r  2
z 
2

Vì :

 
A  Ar 
1    A  1 d  dA 
 2 A1    r 1   . . r 1 
r  r  r  r dr  dr 
1    A  1 d  dA 
 2 A2    r 2   . . r 2 
r  r  r  r dr  dr 

1 d  dA1 
. r
   j
r dr  dr 

(1)  .

 dA 

 d  r 1    jrdr
 dr 
dA1
r2
r
  j  C1
dr
2
C 
 j
dA1    r  1 dr
r 
 2

1
A1   jr 2  C1 ln r  C2
4
1 d  dA 
(2)  . . r 2   0
r dr  dr 
 dA 
  r 2   C3
 dr 

 dA2 

C3
dr
r

 A2  C 3 ln r  C 4
Khi r  0 thì ln r   thì C1  0

21 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

A1

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 0  C2  0

r 0

0  r  R 

1
 A1    jr 2
4

Điều kiện về tính liên tục:
A1

r R

 A2

r R

1
   jR 2  C3 ln R  C4
4

Ta có :



A 
B  rotA   e
r
Áp dụng :

A  1
I 
 1
B1   1 e   jre   r
e
r
2
2  R2

 1
I 
B1   2 e
2

 H1 

(vì hình trụ vô tận nên I  jR 2 ).

R

Ir
2R 2

Tương tự :


A 
B2   2 e  0
r
2.5.Kết luận chương 2
Dù từ trường dừng là một trường xoáy, tính chất của trường này phức
tạp hơn so với trường tĩnh điện nhưng trong quá trình nghiên cứu em đã hệ
thống tổng quát lại về các thế của trường. Đó chính là thế véctơ, thế vô hướng
và các phương trình thế. Các kết quả này đã giúp em tính điện trường tại một
điểm bất kỳ thật nhanh chóng. Việc vận dụng để giải các bài tập đã được tiến
hành một cách chặt chẽ và hiệu quả .

22 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƯƠNG 3
TRƯỜNG CHUẨN DỪNG

3.1. Điều kiện chuẩn dừng
Trường chuẩn dừng là những trường biến thiên chậm theo thời gian,
tức là thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
- Điều kiện thứ nhất: dòng điện dịch rất nhỏ có thể bỏ qua được so với
dòng điện dẫn:



D
 j
max
t max
- Điều kiện thứ hai: trong miền quan sát, có thể bỏ qua được các hiệu
ứng trễ phụ thuộc vào vận tốc truyền hữu hạn của sóng điện từ.
3.2. Các phương trình của trường chuẩn dừng
Nếu bỏ qua dòng điện dịch so với dòng điện dẫn các phương trình
Macxoen của trường chuẩn dừng có dạng:


B
rotE  
t
 
rotH  j

divD  


divB  0

(3.2.1)
(3.2.2)
(3.2.3)
(3.2.4)

Như vậy điện trường và từ trường có quan hệ với nhau không thể tách
rời. Nhưng mối quan hệ đó ở đây mới thể hiện một mặt, do hiện tượng cảm
ứng điện từ Faradây .
Từ phương trình:


divB  0

rút ra được định nghĩa thế véc tơ A , giống như đối với từ trường dừng:



B  rotA

(3.2.5)

23 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp



Trường ĐHSP Hà Nội 2

 

ở đây : A  A  r , t  hàm của cả tọa độ lẫn thời gian và được gọi là thế véctơ
của điện từ trường.



Điều kiện định cỡ cho thế véctơ A :

divA  0

(3.2.6)

Từ phương trình :



B
rotE  
t
rút ra:



 B

  A 
A
rotE 
 rotE  rot

 rot  E    0
t
t
t 


Ở đây :


  A 
 E   mới là véctơ thế .
t 


Ta đặt:

 A
E
  grad
t


A
E   grad 
t

(3.2.7)


Hàm vô hướng    (r , t ) định nghĩa bằng (3.2.7) là hàm của cả tọa độ

lẫn thời gian, và được gọi là thế vô hướng của điện từ trường
Sau khi đã định nghĩa được thế vô hướng và thế véc tơ ta cũng thành
lập được phương trình của thế tương đương với các phương trình Macxoen .
Đưa phương trình:


A
E   grad 
t

vào phương trình:


divD  

24 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

và chú ý rằng:



D E
ta được :

 


A 

div   grad    2  divA 
t 
t





Đối chiếu với điều kiện định cỡ divA  0 , ta có:

2  




(3.2.8)

(3.2.8) là phương trình Poatxong của thế vô hướng
Đưa phương trình :



B  rotA
vào phương trình :
 
rotH  j

và chú ý :


B  H

Ta được:



rotB   j


 rotrotA   j


 graddivA  2 A   j

Đối chiếu với điều kiện định cỡ : divA  0
Vậy:



2 A    j

(3.2.9)

(3.2.9) là phương trình Poatxong của thế véctơ.
Các phương trình trên giống như phương trình của trường tĩnh và trường
dừng là vì ta đã bỏ qua hiệu ứng trễ của sự truyền sóng điện từ .

25 Nguyễn Thị Phương K31D – Vật lý