Trạng thái kết hợp của các dao động tử boson biến dạng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ


NGUYỄN THỊ TÂM

TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG
TỬ BOSON BIẾN DẠNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2012

1


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự nỗ lực của bản thân và sự
giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa
luận của mình.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Vật lý trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới cô giáo:
PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh, người đã tận tụy hướng dẫn, chỉ bảo
tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Mặc dù cũng có nhiều cố gắng, nhưng đây là bước đầu làm quen với
công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót.
Kính mong sự góp ý, chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn đọc đề
tài để đề tài của em được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày tháng năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Tâm

2


MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài ……………………………………………………………. 3
2. Mục đích nghiên cứu

……………………………………………………….4

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………………………………………..4
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ……………………………..4
5. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………...4
6. Những đóng góp của đề tài………………………………………………..5
7. Bố cục luận văn……………………………………………………………5

PHẦN 2: NỘI DUNG
Chƣơng 1: Hình thức luận dao động tử điều hòa
1.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính………………….6
1.2 Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy hạt Boson………………..14
Kết luận chƣơng 1…………………………………….. 18
Chƣơng 2: Thống kê lƣợng tử biến dạng.
2.1.

Xây

dựng

thống

kê

Bose

-

Einstein

bằng

phương

pháp

GIBBS……………………………………………………………………. 19
2.1.1. Phương pháp GIBBS ………………………………………………..19
2.1.2. Phân bố Bose – Einstein…………………………………………….20
2.2. Xây dựng thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp lý thuyết trường
lượng tử……………………………………………………………………..22
2.3. Thống kê Bose - Einstein biến dạng q…………………………………24
2.3.1. Lý thuyết q - số………………………………………………………24
2.3.2. Dao động tử điều hòa biến dạng q…………………………………..26
2.3.3. Thống kê Bose - Einstein biến dạng q……………………………….29

3

Kết luận chƣơng 2……………………………………..32
Chƣơng III: Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng.
3.1. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson………………………..33
3.2. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng……………..35
Kết luận chƣơng 3……………………………………….38
PHẦN 3: KẾT LUẬN CHUNG……………………………………………...39
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….40

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Cùng với sự phát triển của lịch sử loài người, Vật lý học cũng đã trải
qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng: Từ thế
kỷ XVIII cơ học cổ điển của Niutơn đã trở thành môn khoa học cơ bản, đến
thế kỷ XIX lý thuyết điện từ trường của Maxwell và Faraday đã ra đời.
Ngày nay, Vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào
cấu trúc vi mô của vật chất người ta nhận thấy rằng ngoài các quy luật tìm
thấy trong vật lý cổ điển ở đây xuất hiện các quy luật mới là quy luật thống
kê.
Vật lý thống kê là một bộ môn của Vật lý hiện đại, nó nghiên cứu các
hệ nhiều hạt bằng phương pháp thống kê. Để tìm các định luật phân bố thống
kê lượng tử có rất nhiều phương pháp trong đó có phương pháp lý thuyết
trường lượng tử. Phương pháp này đã tạo nên cơ sở của thế giới quan Vật lý
để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của nó.
Từ đó lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá
trình Vật lý xảy ra trong thế giới vi mô, thế giới của các phân tử, nguyên tử,
hạt nhân và các hạt cơ bản.

Khi xây dựng xong thống kê Bose - Einstein cho hệ các hạt đồng nhất
Boson, Eintein đã tiên đoán về một trạng thái đặc biệt của vật chất đó là trạng
thái ngưng tụ Bose - Einstein. Ngày nay sự ngưng tụ Bose - Einstein đã đóng
vai trò quan trọng trong khoa học và kĩ thuật như nguồn sáng định hướng
laser, hiện tượng siêu dẫn, hiện tượng siêu chảy của vật chất…
Về mặt lý thuyết, trạng thái kết hợp mô tả trạng thái ngưng tụ Bose Einstein của vật chất, vì vậy hình thức luận các trạng thái kết hợp đóng vai trò
đặc biệt quan trọng trong Quang học lượng tử, trong Vật lý chất rắn,Vật lý

5


đông đặc, cũng như trong Vật lý hạt cơ bản và trong lý thuyết trường lượng
tử… Theo dòng nghiên cứu đó, các nhà vật lý lượng tử đã mở rộng hình thức
luận trong trạng thái kết hợp cho các dao động tử có thống kê khác với thống
kê Bose - Einstein và Fermi - Dirac.
Sau 4 năm học tập, em đã nhận thức được vai trò quan trọng của Vật
Lý Lượng Tử và để mở rộng thêm vốn hiểu biết của mình, em chọn đề tài:
“Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng” với mong muốn
việc làm khóa luận sẽ giúp cho em hiểu biết rõ hơn về phương pháp nghiên
cứu Vật lý, có một cách nhìn tổng quan về bức tranh Vật lý, để từ đó làm tốt
công tác dạy học Vật lý và nghiên cứu Vật lý của em sau khi ra trường.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Nghiên cứu các dao động tử Boson biến dạng.
- Xây dựng trạng thái kết hợp cho các dao động tử Boson biến dạng thu
được các biểu thức về phương sai của tọa độ và xung lượng.
- Tính số hạt trung bình, xác suất để trạng thái kết hợp của các Boson
trong trạng thái n hạt.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Tìm phân bố thống kê lượng tử và trạng thái kết hợp của các dao động
tử Boson biến dạng.

4. Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.
- Nghiên cứu các trạng thái kết hợp của các dao động tử lượng tử.
- Nghiên cứu hệ các dao động tử Boson biến dạng .
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
- Các phương pháp giải tích toán học.

6


- Sử dụng hình thức luận các dao động tử điều hòa và hình thức luận
các trạng thái kết hợp cho các hạt hệ vi mô.
6. Những đóng góp của đề tài.
- Xây dựng trạng thái kết hợp cho hệ dao động tử Boson biến dạng.
- Đưa ra hệ thức độ biến thiên về tọa độ và xung lượng, tính được số
hạt trung bình của hệ trong trạng thái kết hợp và xác suất để trạng thái kết hợp
có n hạt.
- Ứng dụng trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng
nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein và giải thích một số hiện
tượng vật lý.
7. Bố cục luận văn
Luận văn gồm:
Chương I: Hình thức luận dao động tử điều hòa.
Chương II: Thống kê lượng tử biến dạng.
Chương III: Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng.

NỘI DUNG

CHƢƠNG I

HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

7


1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính.
Mô hình: Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối
lượng m, chuyển động dọc theo một đường thẳng nào đó dưới tác dụng của
lực chuẩn đàn hồi Fhd  kx

(k là hệ số đàn hồi).

Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một
chiều [1], [6]:
pˆ 2 m 2 2
Hˆ  x 
xˆ
2m
2

(1.1)

Trong đó: xˆ  qˆ  x là toán tử tọa độ
pˆ x  pˆ  i

d
là toán tử xung lượng
dx

Hệ thức giao hoán giữa pˆ và qˆ

 pˆ , qˆ   pˆ qˆ  qˆpˆ  i d

x  x i 

d
d
d

 i x  ix
dx
dx
dx
dx    pˆ , qˆ   i

d
d

 pˆ , qˆ   i x   ix   i

dx
dx

(1.2)

Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian (1.1) theo pˆ và qˆ như
sau:
pˆ 2 m 2 2
Hˆ 


qˆ
2m
2

Ta đặt:

pˆ  i

với k  m
m 
(aˆ  aˆ )
2

(1.3)
qˆ 

và


(aˆ   aˆ )
2m

Khi đó ta biểu diễn Hˆ theo aˆ và aˆ  như sau:
pˆ 2 m 2 2
1 2 m
Hˆ 

qˆ 
.i .
. aˆ  aˆ 

2m
2
2m
2





8

2



m 2 
.
aˆ  aˆ 
2 2m





2


1 
 .
2 2

1 

2 2
1 
 .
2 2

aˆ  aˆ   aˆ  aˆ  
 2

 2

aˆ  aˆ aˆ  aˆ  aˆ  aˆ aˆ  aˆ 





2aˆaˆ





 2aˆ  aˆ


aˆaˆ   aˆ  aˆ
2











(1.4)

Ta biểu diễn các toán tử aˆ và aˆ  ngược lại qua pˆ và qˆ :
pˆ  i

m 
aˆ  aˆ  aˆ   aˆ 
2







pˆ
2
 ipˆ
m
m

i
2




aˆ   aˆ  aˆ   aˆ 
2m

qˆ 

 
m 
pˆ 
 qˆ  i 
aˆ 
2 
m


aˆ  m  qˆ  i pˆ 



2 
m


qˆ
2m

 qˆ


2m








(1.5)

Dễ dàng chứng minh được các toán tử aˆ và aˆ  thỏa mãn hệ thức giao
hoán.

aˆ, aˆ   1


(1.6)

Thật vậy:

aˆ, aˆ   aˆaˆ




 aˆ  aˆ

(1.7)

Thay (1.5) vào biểu thức (1.7) ta được:
1
ˆ ˆ
ˆˆ
ˆˆ i ˆˆ ˆˆ
a,a  
2i pq  2i qp   pq  qp  1

2


Vậy ta thu được toán tử Hamiltonian có dạng:
1

Hˆ   aˆ  aˆ  
2


(1.8)

9


Để nghiên cứu phổ năng lượng dao động tử điều hòa ta quy về bài toán
tìm vecto riêng của Hˆ . Phương trình (1.8) trong đó aˆ  , aˆ thỏa mãn hệ thức
(1. 7).
Để làm điều đó ta định nghĩa một toán tử mới: Nˆ  aˆ  aˆ

(1.9)

Sử dụng hệ thức giao hoán (1.7) kết hợp với định nghĩa (1.8) ta được
Hệ thức giao hoán giữa toán tử Nˆ và các toán tử aˆ và aˆ  là:

Nˆ , aˆ Nˆaˆ  aˆNˆ  aˆ aˆaˆ  aˆaˆ aˆ  aˆ aˆ  aˆaˆ aˆ  1.aˆ  aˆ
Hay: Nˆ aˆ  aˆ Nˆ 1
Nˆ , aˆ   Nˆaˆ  aˆ Nˆ  aˆ aˆaˆ  aˆ aˆ aˆ  aˆ aˆaˆ  aˆ aˆ   aˆ
Hay: Nˆ aˆ  aˆ Nˆ  1






























(1.10)





(1.11)

Ta kí hiệu n là véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n.
Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử Nˆ như sau:
Nˆ n  n n

(1.12)

n Nˆ n
n aˆ  aˆ n
 n Nˆ n  n n n  n n n  n 

0
nn

nn

(1.13)

n0

Vì:
 2 
n n    n r  dr  0
 2 
n aˆ  aˆ n   aˆ n r  dr  0

Kết luận 1:
Các trị riêng n của toán tử Nˆ là các số nguyên không âm’
Chứng minh aˆ n là vector riêng của toán tử Nˆ ứng với trạng thái

n  1. .

10


Xét các véctơ trạng thái thu được aˆ n bằng cách tác dụng toán tử aˆ lên
véc tơ trạng thái n được aˆ n . Tác dụng lên véctơ trạng thái aˆ n toán tử
Nˆ và sử dụng công thức (1.10) ta có:

Nˆ , aˆ  aˆNˆ 1
 Nˆ aˆ n  aˆ Nˆ  1 n  aˆNˆ n  aˆ n
 aˆ n  1 n  n  1aˆ n

(1.14)

Hệ thức trên có nghĩa là:
Véctơ trạng thái aˆ n cũng là véctơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ ứng
với trị riêng n  1.
Tương tự như vậy aˆ 2 n ; aˆ 3 n ... cũng là véc tơ trạng thái của toán tử Nˆ
ứng với trị riêng n  2n  3...
Tiếp theo ta xét vecto trạng thái thu được bằng cách tác động toán tử aˆ 
lên n . Đó là vector trạng thái aˆ  n tác động lên vector trạng thái này toán tử
Nˆ và sử dụng công thức (1.11) ta có:









Nˆ aˆ   aˆ  Nˆ  1  Nˆ aˆ  n  aˆ  Nˆ  1 n  aˆ  Nˆ n  aˆ  n
 aˆ  n  1 n  n  1aˆ  n

(1.15)

Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véctơ trạng thái aˆ  n cũng là véc tơ trạng
thái riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n  1
Tương tự như vậy aˆ 2 n ; aˆ 3 n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán
tử Nˆ ứng với trị riêng n  2n  3
Kết luận 2:
Nếu n là một véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n thì aˆ p n
cũng là một véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n  p , p  1,2,3... ,

11


aˆ

p

Nˆ ứng với trị riêng n  p nếu

n cũng là một vector riêng của toán tử

chúng khác không.
Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử
Nˆ thì chuỗi các số không âm n  1, n  2, n  3... cũng là trị riêng của toán tử
Nˆ . Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin ta

có:
aˆ nmin  0

(1.16)

Thật vậy: Vì nếu aˆ nmin  0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng
nmin  1  nmin trái với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất.

Từ (1.16) ta có: aˆ  aˆ n  Nˆ nmin  0

(1.17)

Mặt khác theo định nghĩa nmin :

Nˆ nmin  nmin nmin  0

(1.18)

So sánh hai phương trình (1.17) và (1.18) ta đi đến kết luận như sau:
Kết luận 3:
Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là nmin  0 . Véc tơ trạng thái ứng với
trị riêng nhỏ nhất của Nˆ được kí hiệu 0 . Véc tơ trạng thái này thỏa mãn
điều kiện aˆ 0  0.
Khi đó: aˆ  0 tỉ lệ với véc tơ riêng 1 của Nˆ ứng với trị riêng n  1
Thật vậy ta có:

Nˆ 1  1 1

(*)

Mà aˆ  0 là một véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng 0  1  1
Nˆ aˆ  0  1aˆ  0 .

tức là

(**)

Từ (*) và (**) ta thấy:
1

là véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng là 1.

aˆ  0

là véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng là 1.

12


Vì vậy aˆ  0 phải tỉ lệ với véc tơ riêng 1 của toán tử Nˆ ứng với trị
riêng n  1
+ Tương tự aˆ  0 tỉ lệ với véc tơ riêng 2 của toán tử Nˆ ứng với trị
riêng n  2..., aˆ  n 0 tỉ lệ với véc tơ riêng n của toán tử Nˆ ứng với trị riêng
1
1



Hˆ   aˆ  aˆ     Nˆ    Nˆ 
2
2
2



0.
( Vì Nˆ 0  0 0  0 )
n. Từ biểu thức:  Hˆ 0  Nˆ 0 
2

 Hˆ 0 
0  E0 0
2

1
Nên: 0 là là véc tơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng E0  
2

 1
1 là là véc tơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng E0  1   …………
 2
 1
n là là véc tơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng En  1  
 2

Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng  .
1
5

En   2    
2
2

3
 1
E  1    
2
 2
 E12  E2  E1  

Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E 0
Trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng E0   có thể được xem như là

kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 .
Trạng thái tiếp theo 2 ứng với năng lượng E1    E0  2 có thể
được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào

13


trạng thái 1 cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng
thái 0 .
Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E 0 , thì có thể coi trạng thái 0 là
trạng thái không chứa lượng tử nào.
Vì vậy:
0 được gọi là trạng thái chân không.
1

là trạng thái chứa một lượng tử.

2 là trạng thái chứa hai lượng tử……

n là trạng thái chứa n lượng tử.

Toán tử Nˆ có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được
đoán nhận là toán tử số năng lượng. Toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một
trạng thái tỉ lệ với n  1 và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử
năng lượng.Toán tử aˆ  khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1
do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng.
Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử Nˆ
sẽ là toán tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy hạt, aˆ  sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó
trạng thái n với năng lượng En   sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu
diễn số hạt của dao động tử điều hòa.

Trong cơ học lượng tử, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa
có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  . Khái
niệm hạt ở đây chỉ là dùng cho tiện, thực chất đây là các giả hạt. Một khái
niệm quan trọng và hữu hiệu khi nghiên cứu các trạng thái khác trong vật lí
các môi trường đông đặc.

14


Như ta đã lập luân ở trên khi toán tử aˆ tác dụng lên n cho một trạng
thái tỉ lệ với n  1 và toán tử aˆ  khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ
với n  1
Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ  n,  n ,  n trong các hệ thức:
aˆ n   n n  1
aˆ  n   n n  1
n   n aˆ n 0

Để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa thì:
1
m, n   m,n  
0

khi m  n
khi m  n

 Tìm  n : Từ (1.13) và (1.16) và sử dụng điều kiện trực giao chuẩn
hóa vừa viết.
Chúng ta có: n 

n Nˆ n

n Nˆ n

nn
 m ,n

Vì: m  n nên  m,n  1
 n  n Nˆ n  n aˆ  aˆ n

Mặt khác: n aˆ    n n  1
Do đó: n   n* n  1  n n  1   n2 n  1 n  1   n2
Coi  n là thực nên  n  n
 Tìm  n :
Vì aˆ , aˆ    aˆaˆ   aˆ  aˆ  1
Nên ta có: n  n Nˆ n  n aˆ  aˆ n  n aˆaˆ   1 n
Mặt khác: n aˆ   n n  1
Do đó: n  n Nˆ n  n aˆ  aˆ n  n aˆaˆ   1 n
  n n  1  n n  1  1   n2  1

15


Coi  n là số thực nên  n2  n  1   n  n  1
 Tìm  n :

 

n   n aˆ n 0   n aˆ 

 

 n   n aˆ 

n 1

n 1

aˆ  0

 0 1   n  0 aˆ   aˆ  1   n  0 aˆ   1 2
n2

 

 n   n  0 1 aˆ 

n2

n2

2 ....

Ta có:  n      ... n
n 0 1 2
n 1
 n   n 1.2.3...n n   n n! n
 n 

1
n!

Vậy ta thiết lập được các công thức sau: Như vậy ta có:
Nˆ n  n n

với aˆ 0  0

aˆ n  n n  1

với n  0

(1.19)

aˆ  n  n  1 n  1

với n  0

(1.20)

n 

1 n
aˆ 0
n!

(1.21)

Vậy trong biểu diễn số hạt, trạng thái dừng của một dao động tử điều
hòa có thể coi là một tập hợp nhiều “hạt’’ mỗi hạt có năng lượng bằng 
còn gọi là chuẩn hạt.
1.2. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson
Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyên thì nó

có tuân
theo các hệ thức giao hoán hay không?
Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai
trạng thái khác nhau  và  :
  aˆ aˆ  0
  aˆ  aˆ 0

(1.22)
(1.23)

16


Trong đó 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào.
Vì véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất Boson có tính chất đối
xứng với
phép hoán vị hai hạt nên   
Suy ra: aˆ aˆ   aˆ  aˆ
Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc
tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa với toán tử số dao động tử Nˆ .
1 n
aˆ 0
n!

n 

Tác dụng toán tử aˆ , aˆ  lên các véc tơ trạng thái n ta được:
aˆ n  n n  1
aˆ  n  n  1 n  1

với n  0
với n  0

Với toán tử số hạt Nˆ được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt và hủy
hạt:
Nˆ  aˆ  aˆ

Kết luận 4:
Các toán tử sinh hạt, hủy hạt Boson phải tuân theo hệ thức giao hoán:

aˆ , aˆ   
aˆ , aˆ   aˆ , aˆ   0




















Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson aˆ  , hủy Boson
aˆ và toán tử số hạt Nˆ :

Bằng cách áp dụng liên tiếp (1.19) và (1.20) ta có các đẳng thức sau:
aˆaˆ  n  n  1 n
aˆ  aˆ n  n n

17


Như vậy các trị riêng của các tích những toán tử aˆ  và aˆ lần lượt bằng

n  1 và n . Do đó ma trận của những toán tử này trong biểu diễn riêng của
chúng là những ma trận chéo.

aˆaˆ 


mn

 n  1 mn

aˆ aˆ 


và

mn

 n mn

Giả sử biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson aˆ  , hủy Boson aˆ
là:

 a00

ˆ  a10
a
a
 20
 ....


a01 a02 .... 

a11 a12 .... 
a21 a22 .... 

.... .... .... 



 a00
a01

 a a
aˆ    10 11



 a20 a21
 .... ....


(1.24)


a02
....


a12
....


a22
....
.... .... 

Ta có: n aˆ  n  n n  1 n  1  n  1 n n  1  n  1. n,n1
1 khi
0 khi

Mà:  n,n1  
Do đó:

n  n  1
n  n  1

 n 1
n  1 n n  1  
0

khi n  n  1
khi n  n  1

Tương tự ta cũng có:
n aˆ n  n n n  1  n n n  1  n. n,n1
1
0

Mà:  n,n1  
Do đó:

khi
khi

n  n  1
n  n  1

 n
n n n  1  
0

khi n  n  1
khi n  n  1

18

Vậy biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson aˆ  , hủy Boson aˆ và
toán tử số hạt N có dạng:

0

ˆ 0
a 
0
 ....


.... 

0
2 .... 

0
0 3 
.... .... .... 
1

0

0 0

ˆ  1 0
a 
2
0

 .... ....


0

0
ˆ ˆ ˆ  0
N  a a
0

 ....

0 0
1 0
0 2
.... ....

(1.25)

.... 

0 .... 

0 .... 
.... .... 

....
....
....
....








19


Kết luận chƣơng 1
Trong chương 1 tôi đã trình bày một cách lôgic, đầy đủ về hình thức
luận dao động tử điều hòa:
- Chứng minh được các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy
Boson toán tử số hạt.
- Biểu diễn Hamiltonian của dao động tử điều hòa theo các toán tử
aˆ  , aˆ . Tìm được phổ năng lượng của hệ dao động tử điều hòa.

- Tìm được biểu diễn ma trận của các toán tử sinh hủy Boson, toán tử
số hạt.
Những kết quả trên sẽ là cơ sở tính toán ở các chương sau.

20


CHƢƠNG 2
THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ BIẾN DẠNG
2.1. Xây dựng thống kê Bose – Einstein bằng phƣơng pháp GIBBS
2.1.1. Phƣơng pháp GIBBS

Cơ sở của phương pháp Gibbs là thay việc khảo sát sự biến đổi vi mô
của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự
với hệ đã cho, gọi là tập hợp thống kê. Tập hợp thống kê là một tập hợp các
hệ tương tự với nhau có số lượng và loại hạt như nhau, ở trong các điều kiện
vĩ mô giống nhau và ở trạng thái vi mô khả hữu khác nhau. Đồng thời phải
đảm bảo rằng mỗi một hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi
giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác. Như vậy, tập hợp thống kê
cũng có thể coi như là tập hợp các trạng thái vi mô khả dĩ tương ứng với cùng
một trạng thái vĩ mô đang xét của hệ.
Phương háp Gibbs thừa nhận giả thuyết chuẩn Ecgodic như sau: Trị
trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp
thống kê.
Như vậy, theo phương pháp này, một vấn đề đặt ra là làm sao tìm được
trị trung bình theo tập hợp thống kê, muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác
suất pha hay hàm phân bố thống kê của hệ.
Áp dụng phương pháp Gibbs đối với các hệ lượng tử, chú ý đến các đặc
tính của hạt vi mô và của hệ lượng tử, phân bố chính tắc lượng tử đối với hệ
đẳng nhiệt cho chúng ta xác suất để hệ nằm ở trạng thái có năng lượng Ek là:
  Ek 
Wk  exp 

  

(2.1)

21


Trong đó  và  có ý nghĩa của năng lượng tự do và nhiệt độ thống
kê.

Khi có sự suy biến, nghĩa là cùng một mức năng lượng ứng với g hàm
sóng khác nhau hay là g trạng thái vật lý khác nhau thì:
  Ek 
Wk  g Ek exp 

  

Trong đó g Ek  gọi là bậc suy biến.
2.1.2. Phân bố Bose – Einstein
Nói chung số hạt trong hệ là thay đổi nên chúng ta phải xuất phát từ
phân bố chính tắc lớn lượng tử:
W n0 , n1... 

1
exp  N  Ek .g E k 
N!

(2.2)

Với  là thế nhiệt động lớn,  là thế hóa học.
Gk n0 , n1... 

Kí hiệu:

g E k 
N!

(2.3)







n1    1 



k 0
W n0 , n1...  exp 
.Gn0 , n1...






Vậy:

(2.4)

Công thức: (2.4) cho ta biết xác suất để cho hệ có n0 hạt nằm trên mức
 0 , m1 hạt nằm trên mức  1 …. Như vậy đó là công thức về xác suất các số

chứa đầy. Nhờ công thức (2.4) ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên
một mức năng lượng:
nk  ...nkW n0 , n1...
n0

(2.5)

n1

Điều kiện chuẩn hóa là:
 

 ....W n , n ...  exp   .Z  1
0

n0

( 2.6)

1

n1

Trong đó Z là tổng trạng thái của hệ:

22


  n1 1   1 


Z  ....exp  l 0
.Gk n0 , n1...  1

n0 n1






(2.7)

Nghĩa là:    ln Z

(2.8)

Dựa vào các hệ thức (2.7), (2.8) ta được:
nk  


 k



(2.9)

k

Trong (2.3) đại lượng Gk n0 , n1... 

g E k 
xuất hiện là vì ta kể đến khả
N!

năng xuất hiện các trạng thái vật lý mới khi hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối
với hệ các hạt đồng nhất Bose và Fermion tức là hệ được mô tả bằng hàm

sóng đối xứng và phản đối xứng thì các phép hoán vị đều không đưa đến một
trạng thái vật lý mới nào, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi
dấu hoặc đổi dấu, nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử, do đó đối với
hệ các hạt đồng nhất Bose và Fermion ta có g Ek   N!
Suy ra:

Gk n0 , n1...  1

(2.10)

Đối với hệ hạt Bose, số hạt trên các mức năng lượng có thể có trị số bất
kỳ:


  n1 1   1  
1
Z   ....exp  l 0


n0 n1

 l 0 1  exp   l   l 


  

(2.11)

Từ đó, ta có:


  

   ln Z    ln 1  exp 1 1 
 

l 0

(2.12)

Theo (2.9) ta được phân bố của các số chứa đầy hay thống kê Bose –
Einstein là:

23


nk 

1
   
exp 
 1
 kT 

(2.13)

2.2. Xây dựng thống kê Bose – Einstein bằng phƣơng pháp lý
thuyết trƣờng lƣợng tử.
Để xây dựng thống kê Bose - Einstein ta xuất phát từ biểu thức tính giá
trị trung bình của đại lượng vật lý F là [1], [2], [5]:



Tr e   H  N Fˆ
F
Z
ˆ

ˆ



(2.14)

Trong đó Z là hàm phân bố, xác định tính chất nhiệt động của hệ và có
dạng:







Z  Tr e   H  N    n e   H  N  n

Với  

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(2.15)

n0

1
, k : là hằng số Boltzman,
KT

T : là nhiệt độ của hệ,

Haminltonian của hệ.
Ở trên ta đã chọn gốc tính năng lượng E0 
H n  ..n


thì:
2

hay Hˆ     Nˆ  Nˆ

với

 : là năng lượng của một dao động tử và:

Mặt khác ta lại có: N n  n n , và điều kiện trực chuẩn:
m n   m, n



Sử dụng biểu thức trên ta được: Z   n e    N n
n 0



  n e   n n
n 0


  e   n n n

vì n n  1

n 0

24

ˆ

  

Hˆ là




1
1  e  



 e 

Ta thấy



n

là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội là

n 0

e    và số hạng đầu tiên ứng với n  0 có giá trị bằng 1.

Vậy:

Z

1
e 

1  e  e   1

Thay toán tử Fˆ bằng toán tử số dao động tử Nˆ vào công thức ta có:



Tr e  H .Nˆ

Nˆ  aˆ  .aˆ 
Z



Có TR e

 H





(2.17)





n0

n0





n 0

n 0

ˆ
.Nˆ   n e H .Nˆ n   n e  N .Nˆ n

  n e  n .n n   e   n .n n n


  n.e   .n
n 0

 0  e   2e .2  ...  n.e .n
Đặt x        
Ta có:

I   enn    en.x  n  0  ex  2.e2x  3.e3x  ...  nenx




n 0

n 0



 e x  2.e2 x  3.e3 x  ...  nenx  e x  e2 x  e3 x  ...  enx

 e x 1  e x  e2 x  ...  en 1x 

 





Mà 1  e x  e2 x  ...  en 1x  

1
1  ex


 e x  e x 1  e x  e x .e x
ex


I 


x 2
x 2
1  e x 
1

e
1

e

Do đó
e  

ˆ
ˆ
 Tr e   H  N Nˆ 
2
1  e  
(2.18)



















25

