Phương pháp động lực học để giải quyết bài toán cơ hệ

Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Mục lục
Trang
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Đối tượng nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
Nội dung
Phần1: Cơ sở lý thuyết
Chương1: Các định luật động lực học
1.1 Hệ quy chiếu
1.1.1 Hệ quy chiếu quán tính
1.1.2 Hệ quy chiếu phi quán tính
1.2 Các định luật của Niutơn
1.2.1 Định luật thứ nhất của Niutơn
1.2.2 Định luật thứ hai của Niutơn
1.2.3 Định luật thứ ba của Niutơn
Chương2: Các lực cơ học
2.1 Lực đàn hồi
2.2 Lực ma sát
2.3 Lực hấp dẫn
Phần2: Phương pháp động lực học
Phần3: Phân loại bài tập và ứng dụng
3.1 Phân loại bài tập
3.2 Bài tập ứng dụng
3.2.1 Loại1: Vật chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang

3.2.2 Loại2: Vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng
3.2.3 Loại3: Chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu phi
quán tính
3.2.4 Loại4: Chuyển động của hệ vật (không liên kết chặt hoặc nối
với nhau bởi sợi dây không giãn trên mặt phẳng ngang, thẳng
đứng lên trên, vắt qua ròng rọc theo các quỹ đạo khác nhau)
3.2.5 Loại5: Chuyển động của vật dưới tác dụng của lực có độ lớn
biến đổi phụ thuộc vào thời gian hoặc toạ độ hoặc vận tốc
3.2.5.1 Phụ thuộc vào thời gian
3.2.5.2 Phụ thuộc vào toạ độ
3.2.5.3 Phụ thuộc vào vận tốc
Kết luận
1

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Tài liệu tham khảo

Mở Đầu.
1. Lý do chọn đề tài:
Vật lý học là một trong những môn khoa học có nhiều ứng dụng trong
thực tế. Nó nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất của tự nhiên. Khi đi sâu
vào tìm hiểu và nghiên cứu một số hiện tượng trong thế giới tự nhiên ta thấy

chúng tuân theo những quy luật khách quan. Vậy những quy luật ấy như thế
nào và nó có ứng dụng thế nào trong thực tiễn thì nhiệm vụ của chúng tacần
đi nghiên cứu và khám phá những quy luật đó.
Cơ học chất điểm là một bộ phận của vật lý học, nó nghiên cứu sự dịch
chuyển của chất điểm và sự biến dạng của chúng dưới tác dụng của lực. Còn
động lực học thì lại là một bộ phận hay một phần của cơ học. Nó xét đến
những tương tác diễn ra giữa các vật đang dịch chuyển hoặc biến dạng mà cơ
sở nền tảng của nó chính là các định luật Niutơn. Qua thực tiễn nghiên cứu
các nhà khoa học đã khẳng định được vai trò và tầm quan trọng của cơ học
Niutơn. Có thể nói rằng cơ học Niutơn là nền tảng cơ bản của vật lý cổ điển
nhưng nó lại là cơ sở để phát triển lên vật lý hiện đại. Vì vậy mà có thể nói cơ
học Niutơn đã xuyên suốt trong quá trình tìm hiểu và nghiên cứu về vật lý. Nó
ngoài cung cấp cho chúng ta một lượng kiến thức phong phú về vật lý nói
riêng và về tự nhiên nói chung còn có ứng dụng rất quan trọng trong việc giải
bài toán về động lực học.
Đối với một bài tập cơ học thì có 2 phương pháp cơ bản là: Phương
pháp động lực học và phương pháp năng lượng. Mặc dù phương pháp năng
lượng là một trong những phương pháp phổ biến và tổng quát nhưng không
phải trong bất cứ bài toán nào cũng áp dụng được bởi vì đôi lúc nó làm cho
bài toán trở lên phức tạp và rắc rối hơn. Khi xét về sự dịch chuyển và biến
dạng của chất điểm mà biết rõ các lực tác dụng thì phương pháp động lực học
lại có hiệu quả và thuận tiện hơn.
Với những lý do trên em đã quyết định lựa chọn và nghiên cứu đề tài:
“Phương pháp động lực học để giải quyết bài toán cơ hệ”
2. Mục đích nghiên cứu:
Nắm được phương pháp giải bài toán ĐLH chất điểm bằng phương
pháp động lực học.
Phân loại bài tập và đưa ra một số bài tập đặc trưng cho từng loại và
đưa ra lời giải.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của ĐLH chất điểm (3 định luật của Niutơn
và các lực cơ học).
Vận dụng những kiến thức đã học vào giải quyết các bài tập liên quan.
2

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

4. Đối tượng nghiên cứu: Động lực học chất điểm.
Hệ thống bài tập phần động lực học chất điểm.
5. Phương pháp nghiên cứu:
Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, phân tích và tổng hợp.

3

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Nội dung
Phần1: Cơ sở lý thuyết
Chương1: Các định luật động lực học
Các định luật động lực học (ĐLĐLH) gồm 3 định luật Niutơn và định
luật vạn vật hấp dẫn là cơ sở của cơ học cổ điển. Về thực chất thì các định
luật Niutơn là những tiên đề, những khẳng định tổng quát nhất không thể
chứng minh được, không thể suy ra được từ những khẳng định khác. Khi thừa
nhận những tiên đề này người ta đã xây dựng được cơ học cổ điển với những
định luật áp dụng đúng được trong thực tiễn không những trên trái đất mà còn
cả trong miền vũ trụ lân cận với trái đất nữa.
1.1 Hệ quy chiếu:
Muốn mô tả chuyển động của một chất điểm ta gắn vào vật quy chiếu
một hệ toạ độ để xác định vị trí của chất điểm trong không gian và một đồng
hồ để đo thời gian. Một hệ như vậy được gọi là hệ quy chiếu. Cùng một
chuyển động sẽ được mô tả khác nhau trong những hệ quy chiếu khác nhau vì
vậy tuỳ theo từng bài toán cụ thể mà ta chọn hệ quy chiếu thích hợp.
1.1.1 Hệ quy chiếu quán tính:

Trước kia người ta cho rằng định luật quán tính được nghiệm đúng
trong một hệ quy chiếu đứng yên tuyệt đối trong không gian vũ trụ nhưng
không đưa ra được một tiêu chuẩn nào để xác định một hệ như vậy.
Niutơn chọn một hệ quy chiếu lấy gốc ở tâm mặt trời và có ba trục toạ
độ đi qua 3 ngôi sao bất động trên bầu trời. Coi hệ quy chiếu này là đứng yên
thì đình luật quán tính được nghiệm đúng không có mâu thuẫn trong toàn bộ
hệ mặt trời người ta gọi hệ quy chiếu này là một hệ quy chiếu quán tính hay
hệ quy chiếu Côpecnic để phân biệt với các hệ quy chiếu khác.

4

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Trong trường hợp không đòi hỏi độ chính xác cao thì ta có thể lấy hệ
quy chiếu quán tính là một hệ gắn với tâm của trái đất hoặc gắn với một điểm
trên mặt đất làm hệ quy chiếu.
Mặt trời đang chuyển động xung quanh tâm của thiên hà và chịu tác
dụng của một gia tốc hướng tâm bằng 3.1010 m 2 . Gia tốc này vô cùng nhỏ có
s

thể bỏ qua được. Trái đất đang chuyển động quanh mặt trời và chịu một gia
tốc hướng tâm bằng 0,006 m 2 .Trái đất đang tự quay và một điểm trên xích
s

đạo trái đất chịu một gia tốc hướng tâm bằng 0.034 m 2 . Nhưng gia tốc này
s

không phải lúc nào cũng bỏ qua được, điều này chứng tỏ rằng định luật quán
tính là một sự lý tưởng hoá không thể chứng minh chặt chẽ được. Nhữmg hệ
quy chiếu gắn với tâm mặt trời là hoàn toàn thích hợp để định luật quán tính
được nghiệm đúng với độ chính xác cao khi ta nghiên cứu các hiện tượng cơ
học trong toàn bộ hệ mặt trời.
1.1.2 Hệ quy chiếu phi quán tính:

Hệ quy chiếu phi quán tính là hệ quy chiếu trong đó các định luật

Niutơn không nghiệm đúng. Các hệ quy chiếu phi quán tính đơn giản nhất là
hệ chuyển động thẳng có gia tốc đối với hệ quy chiếu quán tính và hệ quy
chiếu chuyển động quay đều.
Xét chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính (k) và hệ
quy chiếu phi quán tính (k’).
r  x.nx  y.n y  z.nz (1)

Ta có:  r '  x'.nx '  y '.ny '  z '.nz ' (2)

 ro '  xo ' .nx  yo ' .n y  zo ' .nz (3)

Mặt khác ta có: r  ro '  r '

(4)

Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:
5

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

( x  xo' ).nx  ( y  yo' ).ny  ( z  zo' ).nz  x'.nx '  y'.ny '  z '.nz '
 n  a .n  a .n  a .n
·' x x

·' y y
·' z z
 x '
Mặt khác ta có: ny '  a y ' x .nx  a y ' y .ny  a y ' z .nz

 nz '  az ' x .nx  az ' y .n y  az ' z .nz

(5)

(6)

Thay (6) vào (5) và đồng nhất thức 2 vế ta được:
 x'  a x ' x ( x  xo ' )  a x ' y ( y  yo ' )  a x ' z ( z  zo ' )

 y '  a y ' x ( x  xo ' )  a y ' y ( y  yo ' )  a y ' z ( z  zo ' )
 z'  a ( x  x )  a ( y  y )  a ( z  z )
z 'x
o'
z'y
o'
z 'z
o'


(7)

Vì hệ (k) cố định nên các véctơ đơn vị nx ; ny ; nz là không đổi theo thời
gian, còn hệ (k’) là di chuyển nên các véctơ đơn vị nx ' ; ny ' ; nz ' thay đổi theo thời
gian.
Lấy vi phân hệ thức (7) theo thời gian ta được:

.

.

.

r  ro '  r '

hay:
Trong đó: v 

dr
dt

d r d ro ' d r '


dt
dt
dt

(8)
(9)

là vận tốc của chất điểm đối với hệ quy chiếu quán

tính (k)
vo ' 

d ro '

là vận tốc của gốc hệ (k’) đối với hệ (k)
dt

Ta có: r '  x'.nx '  y'.ny '  z '.nz '
.

.

.

.
.
.
d r'

 x'.nx '  y'.ny  z '.nz '  x'.nx '  y'.ny '  z '.nz '
dt



d ny '
d r'
dn
dn
dx'
dy '
dz '
 x'. x '  y '.
 z '. z ' 
.nx ' 

.ny ' 
.nz '
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt

(10)

6

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

2

Ta có nx '  1  2nx ' .
Đặt

d nx '
dn

 0  x '  nx '
dt
dt

d nx '
 a12 n y '  a13 nz '
dt

Tương tự:

d n y'
dt

(10.1)

 a 21 n x '  a 23 n z '

(10.2)

d nz '
 a31 nx '  a32 n y '
dt

Mặt khác: n x ' .n y '  0  n x ' .

(10.3)

d n y'
dt

 n y' .

d nx'
dt

(10.4)

Thay (10.1); (10.2) vào (10.4) ta được: a12  a21   z
Tương tự ta có: a23  a32   x
a31  a13   y

Đặt    x n x   y n y   z n z 
 d n  [d  .n ]
x'
x'

Ta có: d ny '  [d .ny ' ]

 d nz '  [d  .nz ' ]

d
dt

(11)

(12)

Thay (12) vào (10) và chú ý đến (11) ta được:
d r'
dx'

dy '
dz '
 [ ( x'.nx '  y '.ny '  z '.nz ' )] 
.nx ' 
.ny '  .nz '
dt
dt
dt
dt


d r'
d ' r'
 [.r '] 
 [.r ']  v'
dt
dt

(13)

Thay (13) vào (9) ta được:
v  vo '  [.r ']  v'

Đặt vkt  vo'  [.r ']

(14)

gọi là vận tốc kéo theo của chất điểm
 v  vkt  v'

(15)

7

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Lấy vi phân biểu thức (14) theo thời gian ta được:
d v d vo '  d    d r '  d v'


.r '  .  
dt
dt  dt   dt  dt
d  d '
Ta có:


dt
dt

(16)

.

(17)
.

Chứng minh tương tự (13) ta được:

d v'
d ' v'
 [.v'] 
 [.v']  v'
dt
dt

(18)

Thay (13); (17); (18) vào (16) ta được:
.

.

d v d vo '

 [ .r ']  [.[.r ']]  [.v']  [.v']  v'
dt
dt
.

 a  ao '  [ .r ']  [.[.r ']]  2[.v']  a'

(19)

.

Đặt akt  ao'  [ .r ']  [[.r ']]

gọi là gia tốc kéo theo.

ac  2.[.v'] gọi là gia tốc côriôlít hay gia tốc quay.

 a  akt  ac  a '

(20)

Xét trong hệ quy chiếu quán tính thì phương trình định luật 2 của
Niutơn có dạng: F  m.a

(21)

Thay (20) vào (21) ta được:
F  m(akt  ac  a')
 m.a'  F  m.akt  m.ac  m.a'  F  Fkt  Fc

(22)

.



Trong đó: Fkt  m.akt  mao'  [ .r ']  [[.r ']]






Fc  m.ac  2.m.[.v']

Kết luận: Trong hệ quy chiếu phi quán tính thì chất điểm chuyển động
với gia tốc a' thoả mãn phương trình:
8

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

m.a'  F  Fkt  Fc

Theo các định luật của Niutơn thì nguyên nhân duy nhất làm cho vật
chuyển động có gia tốc là do vật khác tác dụng lên nó một lực nào đó. Nhưng
ngược lại đối với hệ quy chiếu phi quán tính các vật có thể nhận được một gia
tốc mà không chịu tác dụng của một vật nào khác. Chính vì vậy mà trong các
hệ quy chiếu phi quán tính thì định luật thứ nhất và thứ ba của Niutơn không
còn được nghiệm đúng còn định luật thứ 2 của Niutơn có dạng:
m.a'  F  Fkt  Fc

Hay: F  Fqt  m.a'

(23)

Đối với hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến có gia tốc thì lực quán tính
có dạng: Fqt  m.a0
Trong đó a 0 là gia tốc kéo theo hay gia tốc của hệ quy chiếu phi quán
tính đối với hệ quy chiếu quán tính.
Đối với hệ quy chiếu chuyển động quay thì lực quán tính có dạng:

Fqt  m(a'a)  m 2 R  2m.V '

(5)

Trong đó: V ' là vận tốc của vật đối với hệ quy chiếu quay.
 là vận tốc góc của hệ quy chiếu quay.

Nghĩa là đối với hệ quy chiếu chuyển động quay thì lực quán tính gồm
2 lực: Lực quán tính li tâm ( Flt  m R ) và lực quán tính Côriôlit
( Fc  2m[v'  ] ).
Lực quán tính li tâm có hướng ngược với hướng của lực hướng tâm và
xuất hiện khi vật đứng yên trong hệ quy chiếu quay, còn lực quán tính côriôlit
xuất hiện khi vật chuyển động trong hệ quy chiếu quay, nó phụ thuộc vào vận

9

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng

Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

tốc góc  của hệ quy chiếu quay và vận tốc góc V ' của vật đối với hệ quy
chiếu quay và luôn luôn vuông góc với véctơ vận tốc đó.
1.2 Các định luật của Niutơn:
1.2.1 Định luật thứ nhất của Niutơn:

“Nếu một vật không chịu tác dụng tác của lực nào hoặc chịu tác dụng
của các lực bằng không thì vật đang đứng yên sẽ tiếp tục đứng yên, đang
chuyển động sẽ tiếp tục chuyển động thẳng đều”
Định luật này chưa bao giờ được nghiệm đúng hoàn toàn vì trong thực
tế không thể nào tạo ra được tình trạng một vật hoàn toàn không chịu tác dụng
của một lực nào.
Theo định luật này thì đứng yên hay chuyển động thẳng đều là cùng
một trạng thái cơ học như nhau là trạng thái chuyển động với vận tốc không
đổi, trong đó đứng yên là chuyển động với vận tốc không đổi bằng không.
Chuyển động với vận tốc giữ nguyên không đổi gọi là chuyển động theo quán
tính vì vậy định luật thứ nhất của Niutơn còn gọi là định luật quán tính.
“Quán tính là tính chất của mọi vật có xu hướng bảo toàn vận tốc cả về
hướng và độ lớn”
1.2.2 Định luật thứ 2 của Niutơn:

Theo định luật thứ nhất của Niutơn thì nếu một vật không chịu tác dụng
của một lực nào hoặc các lực tác dụng lên vật cân bằng nhau thì vật đang
đứng yên sẽ đứng yên, đang chuyển động sẽ tiếp tục chuyển động thẳng đều.
Vậy khi có ngoại lực tác dụng vào vật thì nó làm biến đổi chuyển động của
vật.
Định luật thứ 2 của Niutơn là định luật cơ bản nhất của động lực học vì

nhờ nó ta có thể xác định được chuyển động của vật nếu biết thêm điều kiện
toạ độ và vận tốc ban đầu.
10

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Định luật thứ 2 của Niutơn được phát biểu như sau: “Gia tốc của một
vật cùng hướng với lực tác dụng lên vật, độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ
lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật”
a

F
m

hay F  ma

(6)

Hay: “Tích của khối lượng một vật với gia tốc của nó bằng lực tác dụng
vào vật”
Định luật thứ 2 của Niutơn được nghiệm đúng trong hệ quy chiếu quán
tính
Lưu ý: Với cách phát biểu như trên thì chỉ đúng trong trường hợp

m=const vì vậy khi áp dụng định luật gặp phải nhiều hạn chế khi nghiên cứu
chuyển động của các vật có vận tốc lớn vào cỡ vận tốc ánh sáng hay các vật
có khối lượng biến đổi trong quá trình chuyển động. Để phát biểu định luật
thứ 2 của Niutơn dưới dạng tổng quát ta đưa vào khái niệm động lượng hay
xung lượng.
“Động lượng của một vật có khối lượng m và chuyển động với vận tốc
v được xác định bằng biểu thức: P  m..v ”

d p d (mv)

dt
dt

Lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian ta được:
Nếu m=const thì

d p md v

 ma  F
dt
dt

(7)

(8)

Định luật thứ 2 của Niutơn được phát biểu dưới dạng tổng quát như
sau: “Độ biến thiên động lượng của một vật theo thời gian bằng lực tác dụng
vào vật và có cùng hướng với lực”
Từ biểu thức của định luật thứ 2 của Niutơn ta thấy:

Nếu xét về mặt toán học thì khi F  0 , m =const  a  0

(9) thì

v  const nên định luật thứ nhất của Niutơn thì quán tính là bản chất của vật

11

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

chất, các lực ngoài tác dụng vào vật chỉ làm thay đổi chuyển động quán tính
sẵn có chứ không làm nảy sinh chuyển động đó còn theo định luật thứ 2 của
Niutơn thì lực ngoài làm cho chuyển động của vật thay đổi.
1.2.3 Định luật thứ 3 của Niutơn:

Ta thấy định luật thứ nhất của Niutơn và định luật thứ 2 của Niutơn
mới chỉ nghiên cứu tác dụng một chiều của các vật khác lên vật mà ta xét mà
chưa nói đến tác dụng ngược lại của vật ta xét lên các vật khác.
Định luật thứ 3 của Niutơn xác định đặc tính của sự tương tác giữa các
vật và được phát biểu như sau: “Trong mọi trường hợp khi vật A tác dụng lên
vật B một lực F AB , thì vật B cũng tác dụng trở lại vật A một lực F BA . Hai lực
này là hai lực trực đối. Nghĩa là cùng giá, cùng độ lớn nhưng ngược chiều”.
F BA   F AB

(10).

Lưu ý: Một trong 2 lực tương tác giữa 2 vật gọi là lực tác dụng còn lực
kia gọi là phản lực.
Đặc điểm của lực và phản lực:
- Lực và phản lực luôn luôn xuất hiện hoặc mất đi đồng thời.
- Lực và phản lực có cùng giá, cùng độ lớn nhưng ngược chiều.
- Lực và phản lực không cân bằng nhau vì chúng đặt vào 2 vật khác
nhau.
Kết luận: Định luật thứ 3 của Niutơn không phải bao giờ cũng đúng nó
chỉ được nghiệm đúng hoàn toàn nghiêm ngặt trong trường hợp các lực tương
tác tiếp xúc tức là các tương tác quan sát khi các vật tiếp xúc trực tiếp cũng
như tương tác của các vật đứng yên nằm cách nhau một khoảng nào đó.

12

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Chương 2: Các lực cơ học
Trong tự nhiên có rất nhiều loại lực khác nhau chúng có nguồn gốc
khác nhau và tuân theo quy luật khác nhau. Nếu đi sâu vào bản chất thì trong
tự nhiên có 4 loại lực: Lực hấp dẫn, lực điện từ, lực hạt nhân và lực tương tác

yếu. Nhưng trong phần cơ học cổ điển ta chỉ xét 2 loại lực đó là lực hấp dẫn
và lực điện từ còn lực hạt nhân và lực tương tác yếu có bán kính tác dụng vi
mô nên không xuất hiện trong cơ học cổ điển. Các lực điện tử thể hiện ra dưới
nhiều dạng. Đối với vật vĩ mô thì có 2 dạng đó là lực đàn hồi và lực ma sát.
Như vậy trong phạm vi của cơ học cổ điển ta sẽ đi nghiên cứu 3 loại
lực là: lực đàn hồi, lực ma sát và lực hấp dẫn.
2.1 Lực đàn hồi:
Một vật chịu tác dụng của lực ngoài có thể bị biến dạng hoặc bị đứt,
gẫy. Nếu vật đó bị biến dạng và sau khi lực ngoài ngừng tác dụng nó lại trở về
hình dạng và kích thước như ban đầu ta nói rằng nó có tính biến dạng đàn hồi.
Một số vật làm bằng thép, cao su…có tính chất như vậy nếu lực ngoài không
vượt qúa một giới hạn nào đó gọi là giới hạn đàn hồi. Nếu quá giới hạn đó vật
có thể bị gẫy, đứt hoặc không trở lại được hình dạng và kích thước như ban
đầu.
Vậy lực đàn hồi là lực xuất hiện khi một vật bị biến dạng đàn hồi và có
xu hướng chống lại nguyên nhân gây ra biến dạng.

13

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Theo định luật Húc thì nếu độ biến dạng là nhỏ (trong phạm vi biến
dạng đàn hồi) thì lực đàn hồi tỉ lệ với độ biến dạng và hướng theo chiều chống

lại biến dạng đó: Fdh  k l (11)
Trong đó: k là hệ số đàn hồi đối với lò xo nó được gọi là hệ số cứng
của lò xo. Hệ số k phụ thuộc bản chất, kích thước và hình dạng của vật biến
dạng. Thí nghiệm cho thấy hệ số đàn hồi càng lớn khi tiết diện ngang của vật
đàn hồi càng lớn và khi chiều dài ban đầu của vật đàn hồi càng nhỏ.
k  E.

s
(12)
l0

Trong đó E là hệ số đặc trưng cho tính chất đàn hồi của chất làm vật
đàn hồi và được gọi là suất đàn hồi hay suất Iâng có đơn vị là paxcan (pa)
Lực đàn hồi cùng phương và chiều với lực F .
Nếu Fdh  F thì lò xo tiếp tục biến dạng l tăng và lực đàn hồi cũng tăng.
Khi Fdh  F thì lò xo ngừng biến dạng. Nếu lực ngoài F ngừng tác
dụng thì lực đàn hồi kéo vật trở về trạng thái cũ. Trong quá trình đó l giảm
dần và lực đàn hồi cũng giảm dần. Khi lò xo đã trở lại hình dạng và kích
thước ban đầu thì l  0 và lực đàn hồi bị triệt tiêu.
 Lực đàn hồi là một lực biến thiên trong quá trình biến dạng. Nó chỉ là

không đổi khi vật đàn hồi đã đạt tới một trạng thái ổn định.
2.2 Lực ma sát:
Khi một vật rắn chuyển động ở mặt tiếp xúc giữa nó và các vật khác
hoặc giữa nó với môi trường lỏng bao quanh nó xuất hiện những lực ngăn cản
chuyển động gọi là lực ma sát.
Lực ma sát giữa vật rắn chuyển động và môi trường lỏng xung quanh
gọi là lực nhớt.

14

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Đối với các chất lưu thực thì bao giờ cũng có lực nhớt hay lực nội ma
sát khi có sự dịch chuyển tương đối giữa lớp này với lớp khác hay với thành
bình, lực cản này có phương tiếp tuyến với mặt tiếp xúc.
Đối với chất lỏng thì lực nhớt xuất hiện chủ yếu do lực hút giữa các
phân tử, còn đối với chất khí chủ yếu là do sự khuếch tán các phân tử giữa các
lớp tiếp xúc.
Xét 2 lớp nước có diện tích như nhau chuyển động tương đối song song
với nhau và cách nhau một khoảng z . Sự biến thiên vận tốc từ lớp này đến
lớp khác diễn ra theo định luật tuyến tính.
Thực nghiệm chứng tỏ rằng mỗi lớp chịu tác dụng bởi một lực nhớt tỉ
lệ với diện tích S và với gradien vận tốc
Fnh  s.

dv
dz

dv
dv
hay Fnh  .s.
(12)

dt
dt

Trong đó:  là hệ số tỉ lệ phụ thuộc vào hệ số đơn vị đo và tính chất
của chất lưu gọi là hệ số nội ma sát hay hệ số nhớt hay độ nhớt.
Ta có: 

F
(13) có thứ nguyên [ ]  [ F ].[s]1[v]1[ z ]  L1.M .T 1
dv
S.
dt

Đơn vị: N .s

m2

Lực ma sát giữa 2 vật rắn tiếp xúc với nhau gọi là lực ma sát khô. Có 3
loại lực ma sát khô là: Ma sát nghỉ, ma sát trượt và ma sát lăn.
Lực ma sát nghỉ chỉ xuất hiện khi có ngoại lực tác dụng lên vật, ngoại
lực này có xu hướng làm cho vật chuyển động nhưng chưa đủ để thắng lực
ma sát.
Lực ma sát nghỉ luôn nằm trong mặt tiếp xúc giữa 2 vật và ngược chiều
với ngoại lực.
15

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng

Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Lực ma sát nghỉ cân bằng với ngoại lực F nhưng khi F tăng dần thì lực
ma sát nghỉ tăng theo đến một giá trị FM nhất định thì vật bắt đầu trượt. FM là
giá trị lớn nhất của lực ma sát nghỉ: Fm sn  FM
Thí nghiệm cho thấy: FM  n .N (14)
Trong đó:  n là hệ số ma sát nghỉ. Nó phụ thuộc vào từng cặp vật liệu
tiếp xúc.
N là áp lực do vật nén lên vật khác hay phản lực pháp tuyến
Lực ma sát trượt xuất hiện ở mặt tiếp xúc khi 2 vật trượt trên bề mặt
của nhau.
Lực ma sát trượt tác dụng lên một vật luôn cùng phương và ngược
chiều với vận tốc tương đối của vật ấy đối với vật kia và độ lớn:
Fm st  t .N (15)

Trong đó: + N là áp lực tác dụng lên mặt tiếp xúc.
+  t là hệ số ma sát trượt. Nó hầu như không phụ thuộc vào
diện tích mặt tiếp xúc mà phụ thuộc vào tính chất của các mặt
tiếp xúc có nhẵn hay không, làm bằng vật liệu gì?
Lưu ý: Trong một số trường hợp có thể coi

n  t

Lực ma sát lăn xuất hiện ở chỗ tiếp xúc giữa vật với trục quay và có tác
dụng cản trở sự lăn đó.
Lực ma sát lăn cũng tỉ lệ với áp lực N giống như ma sát trượt nhưng có
hệ số lăn nhỏ hơn hệ số ma sát trượt hàng chục lần.

Fl =

f .N
r

(16)

Trong đó: f là hệ số ma sát lăn
N là áp lực lên phương vuông góc
r là bán kính vật lăn
16

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

2.3 Lực hấp dẫn:
Định luật vạn vật hấp dẫn: “Giữa hai chất điểm bất kì có khối lượng
m 1 , m 2 đặt cách nhau một khoảng r có những lực hấp dẫn lẫn nhau F12 , F21
hướng từ chất điểm này đến chất điểm kia. Cường độ của lực tỉ lệ thuận với
tích khối lượng 2 chất điểm và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa
chúng” : F12  F21  F  G.

m1.m2
r2

(17)

Trong đó: G là hằng số hấp dẫn được xác định từ thực nghiệm.
G = 6.67.10 11 N.m 2 / kg 2
Theo định luật thứ 3 của Niutơn ta có: F21   F12 nên định luật vạn vật
hấp dẫn được viết dưới dạng vectơ: F12  G.

m1.m2
.r12 (18)
3
r12

Trong đó : F12 là lực tác dụng của m 2 lên m 1
r12 là bán kính vectơ của m 1

Suy ra với cách phát biểu như trên thì định luật vạn vật hấp dẫn chỉ
được áp dụng cho các vật có kích thước bé so với khoảng cách giữa chúng và
cũng áp dụng cho các vật hình cầu đồng chất.
Đối với hệ nhiều vật ta có thể coi như hệ chất điểm thì ta dùng nguyên
lý chồng chất lực để xác định lực tổng hợp.
Giả sử hệ gồm n chất điểm có khối lượng lần lượt là m 1 , m 2 ….. m n .
Lực hấp dẫn Fi tác dụng lên chất điểm m i là tổng hợp của các lực hấp dẫn F ji
(i  j ) của các chất điểm khác tác dụng lên chất điểm m i .
n

n

mi .m j

j i

rij3

Fi   Fij  G
j i

.rij

(19)

17

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Đối với các vật có kích thước lớn không thể bỏ qua so với khoảng cách
giữa chúng thì ta chia các vật thành những khối nhỏ và sử dụng nguyên lý
chồng chất lực.
Xét 2 vật có khối lượng M 1 , M 2 được chia thành những khối nhỏ m i
n1

và m j sao cho

 mi  M1 và
i

n2

m

 M2

j

j

Lực hấp dẫn mà vật M 2 tác dụng lên một khối nhỏ m i là:
n1

mi .m j

i

rij3

F12  G 

.rij

(20)

và lực hấp dẫn mà vật M1 tác dụng lên vật M 2 sẽ là:
n1

n2

mi .m j

i

j

rij3

F12  G 

.rij

(21)

Phân biệt giữa trọng lực và trọng lượng:
- Trọng lực theo nghĩa gần đúng là lực hút của trái đất và vật.
- Trọng lực theo nghĩa chính xác là lực mà trái đất hút vật khi có kể
đến sự tự quay của trái đất.
-Trọng lượng của vật là lực mà vật tác dụng lên giá đỡ hoặc dây
treo do hệ quả của lực hút trái đất.
Suy ra trọng lực là lực cách bức đặt tại trọng tâm vật còn trọng lượng là
lực tiếp xúc đặt tại giá đỡ hoặc dây treo.
Nếu xét tại một nơi thì trọng lực có phương,chiều và độ lớn thay đổi
tuỳ thuộc vào gia tốc hệ quy chiếu mà vật đang đứng yên trong đó.
Theo sách cải cách giáo dục thì trọng lượng của vật là hợp lực của
trọng lực và lực quán tính tác dụng lên vật. P  FG  Fqt

(22)

Trong hệ quy chiếu quán tính thì trọng lực và trọng lượng là một, còn
trong hệ quy chiếu phi quán tính thì chúng khác nhau.
18

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Theo sách chuyên ban thì: “ Trọng lượng của một vật là lực tác dụng
vào vật và cân bằng với phản lực của dây treo hoặc giá đỡ”.

Phần 2: Phương pháp động lực học.
Để giải một bài tập về động lực học chất điểm bằng phương pháp động
lực học thông thường gồm các bước sau:
Bước1: Chọn hệ quy chiếu gắn với vật đang đứng yên hay chuyển động
thẳng đều đối với vật cần nghiên cứu sao cho việc giải bài toán đơn giản nhất.
Bước 2. Xác định các lực tác dụng lên vật, biểu diễn các lực ấy trên
hình vẽ.
Bước 3. Viết phương trình định luật 2 của Niutơn dưới dạng vectơ đối
với vật.
Bước 4. Chiếu phương trình vectơ đã viết lên hệ trục toạ độ đã chọn.
Bước 5. Tìm trong phương trình hình chiếu xem có đại lượng nào chưa
biết, nếu là lực cần dựa vào định luật 2 của Niutơn và biểu thức của lực ấy.

Còn nếu là gia tốc cần dựa vào phương trình động học.
Bước 6. Giải phương trình và tìm ẩn số.
Bước 7. Nhận xét và biện kết quả (nếu cần).
19

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Phần 3: Phân loại bài tập và ứng dụng.
3.1 Phân loại bài tập.
1. Vật chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang.
2. Vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng.
3. Chuyển động của vật trong hệ quy chiếu phi quán tính.
4. Chuyển động của hệ vật (không liên kết chặt hoặc nối với nhau bởi sợi
dây không giãn trên mặt phẳng ngang, thẳng đứng lên trên, vắt qua ròng rọc
theo các quỹ đạo khác nhau).
5. Chuyển động của vật dưới tác dụng của lực có độ lớn biến đổi phụ thuộc
vào thời gian hoặc vào vận tốc hoặc vào toạ độ.
3.2 Bài tập ứng dụng.
3.2.1 Loại 1: Vật chuyển động trên mặt phẳng ngang.
Bài tập 1:

20

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Một vật có khối lượng m=5kg được kéo chuyển động ngang bởi một
lực F có độ lớn F = 10N và có phương hợp với chiều chuyển động của vật
một góc 30 0 .
1) Tìm hệ số ma sát trượt giữa vật và sàn. Biết rằng sau khi bắt đầu
chuyển động được 2s vật đi được quãng đường là 1,66 m.
2) Nếu với lực F nói trên vật chuyển động thẳng đều thì hệ số ma sát
trượt bằng bao nhiêu?
Tóm tắt:
m = 5kg
F = 10N
  30 0
g  10 m s 2

1) K =? nếu t = 2s; S = 1,66
m
2) K =? Nếu a= 0
(H1)

Lời giải.
Chọn hệ trục toạ độ oxy như hình vẽ, chiều dương là chiều chuyển
động của vật.

Các lực tác dụng lên vật gồm: Trọng lực P  m.g ; phản lực N ; lực kéo
F và lực ma sát Fm s  K .N

Phương trình định luật 2 của Niutơn viết cho vật m.
P  F  N  Fm s  m.a

(1)

Chiếu (1) lên ox ta được: F . cos   Fm s  m.a

(2)

Chiếu (1) lên oy ta được: N  F .sin   P

(3)

Mà: Fm s  K .N  K ( P  F sin  )
Từ (2) và (4)  a 

(4)

F cos   K ( P  F sin  )
m

(5)

21

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

1) Theo giả thiết sau 2s vật đi được quãng đường là 1,66 m.
a.t 2
2.S
áp dụng công thức động học ta có: S 
a 2
2
t

a

2.1,66
 0,83(m s 2 )
2
2

Từ (2)  Fms  F cos   ma  10 cos 300  5.0,83  4,51( N )
Mà: Fm s  K .N  K 

Fm s
Fm s
4,51



 0,1
N
mg  F sin  5.10  10 sin 30 0

2) Nếu với lực F nói trên vật chuyển động thẳng đều thì gia tốc a = 0
Từ (2)  Fm s  F cos 
Từ (4)  Fm s  K ( P  F sin  )
 K ( P  F sin  )  F cos   K 

Thay số vào ta được: K 

F cos 
mg  F sin 

10. cos 30 0
 0,19
5.10  10. sin 30 0

Bài tập 2:
Một thanh kim loại AB đồng chất, tiết diện đều, chiều dài l bị kéo ở 2
đầu bởi 2 lực F1; F2 ngược chiều nhau với độ lớn không đổi ( F1 F2 ) . Tính lực
đàn hồi tại tiết diện cách đầu A một đoạn x.
Lời giải:
A

B

X
(+)

(H2)

Chọn trục toạ độ nằm ngang.

22

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Theo giả thiết F1 F2 nên thanh kim loại có xu hướng dịch chuyển về
phía bên trái.
Chọn chiều dương là chiều dịch chuyển của thanh kim loại (chiều từ B
đến A)
Giả sử lực đàn hồi tại tiết diện ngang cách đầu A một khoảng x là F
Gọi m là khối lượng của thanh kim loại AB.
m1 là khối lượng của phần thanh kim loại phía bên trái tiết diện

m2 là khối lượng của phần thanh kim loại phía bên phải tiết diện

Ta có:

m1 x
x
  m1  .m

m l
l

Tương tự:

(1)

m2 l  x
lx

 m2 
.m
m
l
l

(2)

Phương trình định luật 2 của Niutơn đối với 2 phần có khối lượng lần
lượt m1;m2 là:

 F1  F  m1.a1


F2  F  m2 .a2

(3)
 F1  F  m1.a1
F  F2  m2 .a2

Chiếu (3) lên chiều dương ta được: 

(4)

Mặt khác cả 2 phần của thanh đều chuyển động với cùng gia tốc
a1  a2  a

(5)

Thay (5) vào (4) ta được: a 
x
l

Từ (4)  F  F1  m1.a  F1  .m.

F1  F2
F  F2
 1
m1  m2
m

(6)

( F1  F2 )
x
(l  x) F1  x.F2
 F1  .(F1  F2 ) 
m
l
l

Vậy lực đàn hồi tại tiết diện cách đầu A một đoạn x là:
F

(l  x).F1  x.F2
l

3.2.2 Loại 2: Vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng
23

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Bài tập 3:
Một vật đang chuyển động trên đường nằm ngang với vận tốc 20 m s
thì trượt lên một cái dốc dài 100m, cao 10m.
1) Tìm gia tốc của vật khi lên dốc. Vật có lên hết dốc không ? nếu có
tìm vận tốc của vật ở đỉnh dốc và thời gian lên dốc.
2) Nếu trước khi trượt lên dốc vận tốc của vật chỉ là 15 m s thì đoạn lên
dốc của vật là bao nhiêu? Tính vận tốc của vật khi trở lại chân dốc và thời
gian kể từ khi vật bắt đầu trượt lên dốc cho tới khi nó trở lại chân dốc.
Cho biết hệ số ma sát giữa vật và dốc là K=0,1; g = 10 m s 2
Lời giải:
V0  20 m s

l = 100 m;h = 10 m
K = 0,1; g = 10 m s 2
-------------------------1) a =?; S =?; Vc  ?; t  ?
2) Nếu

y
C

x
h

α
A

P

Fms

B

V0  15 m s  S  ?;Vb  ?; t  ?

(H3)

1) Chọn hệ trục toạ độ oxy như hình vẽ, chiều dương là chiều chuyển động
của vật, gốc toạ độ ở chân dốc và gốc thời gian là lúc vật bắt đầu trượt trên
mặt phẳng nghiêng.
Các lực tác dụng lên vật gồm: Trọng lực P  m g ; phản lực N và lực ma
sát Fm s

Phương trình định luật 2 Niutơn viết cho vật m:
P  N  Fm s  ma

(1)

Chiếu (1) lên ox ta được:  Fm s  P sin   ma

(2)

Chiếu (1) lên oy ta được: N  P cos   0

(3)

Từ (3)  N  mg cos 
24

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng


Khoá luận tốt nghiệp

SVTH: Lê Thị Hạnh K29B

Mà Fm s  K .N  Kmg cos 
Từ (2)  a 

 Fm s  P sin 
  g ( K cos   sin  )

m

Mặt khác từ hình vẽ ta có: sin  
 cos   1  sin  2  1 
 a  10(0,1.

(4)

h 10
1


l 100 10

1 3. 11

10
10

3. 11 1
 )  1,995(m s 2 )
10
10

Gọi S là quãng đường mà vật trượt được trên mặt phẳng nghiêng cho
đến lúc dừng lại.
Theo công thức động lực học ta có: V 2  V0 2  2.a.s
V 2  V0
0 2  20 2
S


 100,25(m)
2.a
2.(1,995)
2

Ta thấy: S l  100(m)  Vật đi hết dốc
Vận tốc của vật ở đỉnh dốc là: Vc 2  V0 2  2.a.l
 Vc  20 2  2.(1,995).100  1(m s)

Thời gian để vật đi hết dốc là:
Vc  V0  at  t 

Vc  V0
1  20

 9,52( s)
a
 1,995

2) Nếu trước khi trượt lên dốc vận tốc của vật chỉ là 15 m/s thì vật sẽ đi
được quãng đường S1 thì dừng lại.
V 2  V0
0 2  15 2

 56,4(m)
2.a
2.(1,995)
2

Ta có: S1 

Vận tốc của vật khi trở lại chân dốc là:
VB  V 2  2.a1 .S1  VB  V 2  2.a1 .S1
2

2

25

Trường ĐHSPHN2

GVHD: Hà Thanh Hïng