các vành frobenius, tựa frobenius và tính xạ ảnh, nội xạ của các module trên chúng

i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

PHẠM HỮU DANH

CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS
VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC
MODULE TRÊN CHÚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012


i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

PHẠM HỮU DANH

CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS
VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC
MODULE TRÊN CHÚNG
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012


ii

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin gởi đến PGS.TS. Bùi Tường Trí lời cám ơn sâu sắc về
sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt khóa học, đặc biệt trong quá trình
làm luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn
đã dành thời gian quý báu để đọc và cho những ý kiến bổ ích.
Tôi xin được cảm ơn tất cả các thầy cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm
Thành Phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học.
Xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các vị lãnh đạo và chuyên viên Phòng
Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí
Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học.
Tôi cũng xin được cảm ơn các bạn học viên Cao học khóa 19 đã hỗ trợ, động
viên tôi trong suốt thời gian học.
Cuối cùng, vì kiến thức còn hạn chế nên dù rất cố gắng nhưng chắc chắn
luận văn còn nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đóng
góp ý kiến để luận văn có thể hoàn chỉnh hơn.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012
PHẠM HỮU DANH


iii

MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................................... ii
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ............................................................................................. iv
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ ...................................................................................... v
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 1
CHƯƠNG I........................................................................................................................... 3
1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN ............................................................................ 3
1.1.1. Các định nghĩa về vành ........................................................................................ 3
1.1.2. Các định nghĩa về module ................................................................................... 4
1.2. CÁC TÍNH CHẤT TRÊN VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN ....................................... 6
1.2.1 Căn Jacobson ........................................................................................................ 6
1.2.2. Vành địa phương.................................................................................................. 8
1.2.3. Vành nửa địa phương........................................................................................... 9
1.2.4. Lũy đẳng .............................................................................................................. 9
1.2.5. Vành nửa hoàn thiện .......................................................................................... 11
1.2.6. Vành tự nội xạ.................................................................................................... 12
1.3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRÊN MODULE VÀ VÀNH ............................................ 12
1.3.1. Vành Dedekin .................................................................................................... 12
1.3.2. Mở rộng cốt yếu ................................................................................................. 12
1.3.3. Định lý Bass, Papp ............................................................................................. 13
1.3.4. Module đều ........................................................................................................ 14
1.3.5. Module con kì dị ................................................................................................ 14
1.3.6. Vành Kasch ........................................................................................................ 15
1.3.7. Module không xoắn ........................................................................................... 15
1.3.8. Một số định lý khác ........................................................................................... 16
CHƯƠNG II ....................................................................................................................... 18
2.1. VÀNH TỰA FROBENIUS ...................................................................................... 18
2.1.1. Các định nghĩa cơ bản........................................................................................ 18

2.1.2. Tính xạ ảnh và nội xạ......................................................................................... 23
2.1.3. Tính đối ngẫu ..................................................................................................... 25
2.1.4. Vành tựa Frobenius giao hoán ........................................................................... 28
2.1.5. Ví dụ .................................................................................................................. 29
2.2. VÀNH FROBENIUS................................................................................................ 31
2.2.1. Hoán vị Nakayama............................................................................................. 31
2.2.2. Định nghĩa của vành Frobenius ......................................................................... 37
2.2.3. Ví dụ .................................................................................................................. 39
KẾT LUẬN......................................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 44


iv

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
J ( R ) , rad ( R )

Căn Jacobson của R

annr ( X )

Linh hóa tử phải của tập X

hom R ( A, B )

Tập hợp các R-đồng cấu từ module A vào B

End ( M )

Tập hợp các tự đồng cấu của module M

soc ( M )

Nền của module M

⊕i∈I M i

Tổng trực tiếp của họ các module M i

∏M

Tích trực tiếp của họ các module M i

i∈I

i

Z (M )

Module con kì dị của M

E (M )

Bao nội xạ của module M

u.dim M

Chiều đều của M

length ( M )

Chiều dài của chuỗi hợp thành trong M

R( J )

Tổng trực tiếp các bản sao của module M với lực lượng bằng J

MR ( R M)

Phạm trù các R-module phải (trái)

M Rfg ( Rfg M )

Phạm trù các module phải (trái) hữu hạn sinh


v

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ
CÁC TỪ VIẾT TẮT
QF (quasi-Frobenius)

Tựa Frobenius

ACC (ascending chain condition)

Điều kiện dây chuyền tăng

DCC (descending chain condition)

Điều kiện dây chuyền giảm

CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ VÀNH
Idempotent

Lũy đẳng

Annihilator

Linh hóa tử

Division ring

Vành chia (thể)

Local ring

Vành địa phương

Semilocal ring

Vành nửa địa phương

Perfect ring

Vành hoàn thiện

Semiperfect ring

Vành nửa hoàn thiện

Regular ring

Vành chính quy

Singular ring

Vành kì dị

Nonsingular ring

Vành không kì dị

Self-injective ring

Vành tự nội xạ

Primitive ring

Vành nguyên thủy

Simple ring

Vành đơn

Semisimple ring

Vành nửa đơn

Semiprimary ring

Vành nửa nguyên sơ

Von Neumann regular ring

Vành chính quy von Neumann

Primitive idempotent

Lũy đẳng nguyên thủy

Local idempotent

Lũy đẳng địa phương

Irriducible idempotent

Lũy đẳng bất khả quy

Isomorphic idempotent

Lũy đẳng đẳng cấu


vi

CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ MODULE
Simple module

Module đơn

Free module

Module tự do

Projective module

Module xạ ảnh

Injective module

Module nội xạ

Self-injective module

Module tự nội xạ

Composition series

Chuỗi hợp thành

Right regular module

Module chính quy phải

Indecomposable module

Module không phân tích được

Strongly indecomposable module

Module không phân tích được mạnh

Essential extension

Mở rộng cốt yếu

Essential submodule

Module con cốt yếu

Injective hull

Bao nội xạ

Uniform module

Module đều

Uniform dimension

Chiều đều

Singular submodule

Module con kì dị

Singular module

Module kì dị

Nonsingular module

Module không kì dị

Torsionless module

Module không xoắn


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong Đại số không giao hoán nói chung và Lý thuyết vành nói riêng, có một
lớp vành đóng vai trò hết sức quan trọng là vành tự nội xạ.
Một vành R được gọi là tự nội xạ (phải) nếu R-module (phải) RR là nội xạ.
Vành tự nội xạ trong các điều kiện khác nhau sẽ có nhiều tính chất phong phú và đa
dạng.
Rất khó để nghiên cứu tất cả các cấu trúc của lớp vành tự nội xạ phải. Trong
luận văn này, chúng tôi tập trung vào một lớp vành đặc biệt, vành tựa Frobenius, và
tập con của chúng, vành Frobenius.
Vành tựa Frobenius là vành nơte phải và tự nội xạ phải. Không cần thiết sử
dụng thuật ngữ “tựa Frobenius phải” bởi vì định nghĩa trên đối xứng trái-phải. Hơn
nữa vành tựa Frobenius là atin (hai phía). Có những tính chất vô cùng đẹp mắt, thú
vị về các module trên chúng như tính xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh…
Nhằm mục đích tiếp cận và tìm hiểu một số khái niệm cơ bản, nghiên cứu
các tính chất đặc trưng của lớp vành tựa Frobenius, chúng tôi chọn đề tài “CÁC
VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA
CÁC MODULE TRÊN CHÚNG”.

2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm liên quan đến vành tựa Frobenius, Frobenius cùng
tính chất xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh của các module trên chúng.
Tìm hiểu một số ví dụ để mô tả lớp vành tựa Frobenius, Frobenius.

3. Mục đích nghiên cứu


2

Mô tả các định nghĩa về vành tựa Frobenius cùng các cấu trúc bên trong.
Qua đó tìm hiểu tính chất của các module trên lớp vành này.
Tìm hiểu định nghĩa vành Frobenius thông qua vành tựa Frobenius. Phân tích
một số ví dụ mô tả khái niệm này.

4. Phương pháp nghiên cứu
Xây dựng định nghĩa các vành tựa Frobenius, Frobenius thông qua các mệnh
đề tương đương.
Chỉ ra những tính chất đặc trưng của các module trên lớp vành tựa
Frobenius. Chứng minh một số định lý quan trọng thông qua các kiến thức cơ bản
về vành không giao hoán.
Đưa ra những ví dụ cho mỗi khái niệm.

5. Nội dung
Luận văn bao gồm hai chương. Trong đó chương II là phần chính.
Chương I: Những kiến thức chuẩn bị.
Trình bày một số khái niệm cũng như định lý cơ bản, cần thiết về vành và
module để phục vụ cho phần sau.
Chương II: Các vành tựa Frobenius và Frobenius

Trình bày định nghĩa về vành tựa Frobenius cùng các cấu trúc bên trong. Qua
đó tìm hiểu tính chất của các module trên lớp vành này.
Đưa ra định nghĩa vành Frobenius thông qua vành tựa Frobenius. Phân tích
một số ví dụ mô tả.


3

CHƯƠNG I
NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong luận văn này, ta quy ước khi nói tới vành R ≠ 0 thì luôn được hiểu là
vành có đơn vị.

1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN
1.1.1. Các định nghĩa về vành
1.1.1.1. Vành nơte:
Một vành R được gọi là vành nơte phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải
đều có một phần tử tối đại.
1.1.1.2. Vành atin:
Vành R được gọi là vành atin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của
R đều có phần tử tối tiểu.
Định lý:
Nếu R là vành atin thì J(R) là ideal lũy linh.
1.1.1.3. Vành nguyên thủy:
Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có module bất khả quy và trung
thành.
1.1.1.4. Vành đơn, vành nửa đơn:
Vành R được gọi là nửa đơn nếu rad ( R ) = ( 0 ) .
Vành R được gọi là đơn nếu R 2 ≠ ( 0 ) và trong R không ideal thực sự nào.
Định lý:

(1) R / radR là vành nửa đơn.


4

(2) Nếu R vừa là vành đơn vừa là vành atin thì R nửa đơn.
(3) Nếu R là vành nguyên thủy thì R nửa đơn.
(4) Nếu R là vành atin, đơn thì R là vành nguyên thủy.
1.1.1.5. Định lý Wedderburn-Artin:
Giả sử R là vành atin đơn thì R đẳng cấu với D n là tập tất cả các ma trận
vuông cấp n trên thể (vành chia) D. n là duy nhất và D sai khác một phép đẳng cấu.
Ngược lại nếu D là thể tùy ý thì D n là vành atin đơn.

1.1.2. Các định nghĩa về module
1.1.2.1. Module đơn:
M được gọi là R-module đơn nếu M ≠ ( 0 ) và M không có module con thực
sự nào.
Bổ đề Schur:
Nếu M là R-module đơn thì End ( M R ) là vành chia.
1.1.2.2. Module xạ ảnh:
Một R-module phải P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu của các Rmodule phải g : B → C và mọi R-đồng cấu h : P → C , tồn tại R-đồng cấu

h ' : P → B sao cho h = g  h ' .
Ta nói h có thể được nâng lên tới h’.
Tính chất:
(1) Tổng trực tiếp của các R-module phải là xạ ảnh nếu và chỉ nếu các số hạng là xạ
ảnh.
(2) Một module PR là xạ ảnh nếu và chỉ nếu nó là hạng tử trực tiếp của một module
tự do.
1.1.2.3. Module nội xạ:

5

Một R-module phải I được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu g : A → B với
A, B là các R-module phải và R-đồng cấu h : A → I đều tồn tại một R-đồng cấu

h ' : B → I sao cho h = h ' g .
Ta nói h có thể được mở rộng tới h’.
Tính chất:
(1) Tích trực tiếp của các R-module phải là nội xạ nếu và chỉ nếu các thừa số là nội
xạ.
(2) Tiêu chuẩn Baer: Một R-module phải I là nội xạ nếu và chỉ nếu: với bất kì
ideal phải A của R, mọi R-đồng cấu f : A → I có thể được mở rộng tới f ' : R → I .
1.1.2.4. Module nơte:
R-module M được gọi là nơte nếu M thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng
(ACC) trên họ các module con của M, nghĩa là với mọi dãy tăng các module

A1 ⊆ A2 ⊆ ... ⊆ An ⊆ ... , tồn tại n ∈  sao cho A
=
An +i ; ∀i ∈ N .
n

1.1.2.5. Module atin:
R-module M được gọi là atin nếu M thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm
(DCC) trên họ các module con của M, nghĩa là với mọi dãy giảm các module

D1 ⊇ D2 ⊇ ... ⊇ Dn ⊇ ... , tồn tại n ∈  sao cho D
=
Dn +i ; ∀i ∈ N .

n
1.1.2.6. Module không phân tích được:
Module M gọi là không phân tích được nếu M= A ⊕ B thì A=0 hoặc B=0.
1.1.2.7. Chuỗi hợp thành:
Một dãy các module con của M

0 = M 0 ⊆ M 1 ⊆ M 2 ⊆ ... ⊆ M n = M
gọi là chuỗi hợp thành nếu các module M i +1 / M i đơn. Khi đó n gọi là độ dài chuỗi
hợp thành.


6

1.1.2.8. Nền của module:
Nền của module M, kí hiệu soc ( M ) , là tổng tất cả các module con đơn của
M. (Nếu M không có module con đơn, ta viết soc ( M ) = 0 ).
Định lý:

soc ( ⊕i∈I M i ) =
⊕i∈I soc ( M i ) .

1.2. CÁC TÍNH CHẤT TRÊN VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN
1.2.1 Căn Jacobson
1.2.1.1. Nhắc lại định nghĩa căn Jacobson:
Căn Jacobson (phải) của vành R, kí hiệu rad(R) hay J(R), là giao của tất cả
các ideal (phải) tối đại của R.
1.2.1.2. Định lý:

radR = ann ( M ) , ở đây M chạy khắp các R-module phải đơn.
Đặc biệt, radR là một ideal của R.

1.2.1.3. Định lý:
Cho R là một vành atin trái. Khi đó radR là ideal trái lũy linh lớn nhất, và nó
cũng là ideal phải lũy linh lớn nhất.
1.2.1.4. Vành chính quy von Neumann:
Cho vành R. Các điều sau tương đương:
(1) Với mọi a ∈ R , tồn tại x ∈ R sao cho a = axa.
(2) Mọi ideal trái chính được sinh bởi một phần tử lũy đẳng.
(3) Mỗi ideal trái chính là một hạng tử trực tiếp của R R.
(4) Mọi ideal trái hữu hạn sinh được sinh bởi một phần tử lũy đẳng.


7

(5) Mỗi ideal trái hữu hạn sinh là một hạng tử trực tiếp của R R.
Vành R thỏa mãn một trong các điều kiện trên gọi là chính quy von
Neumann.
Hệ quả:
Mọi vành nửa đơn là chính quy von Neumann.
1.2.1.5. Định lý Hopkins-Levitzki:
Cho R là một vành với radR lũy linh và R = R / radR nửa đơn. (Vành R như
vậy được gọi là nửa nguyên sơ). Khi đó với mọi R-module R M , các mệnh đề sau
tương đương:
(1) M nơte.
(2) M atin.
(3) M có một chuỗi hợp thành.
Đặc biệt:
a) Một vành là atin trái nếu và chỉ nếu nó nơte trái nửa nguyên sơ.
b) Mọi module trái hữu hạn sinh trên một vành atin có một chuỗi hợp thành.
1.2.1.6. Định lý:
Cho vành atin trái R với căn Jacobson J. Ta có

soc ( R R ) =∈
0} , soc ( RR ) =∈
0}.
{r R : Jr =
{r R : rJ =
1.2.1.7. Bổ đề Nakayama:
Với bất kì ideal trái J ⊆ R , các mệnh đề sau tương đương:
(1) J ⊂ radR.
(2) Với mọi R-module trái hữu hạn sinh M, J .M = M ⇒ M = 0.
1.2.1.8. Định lý:


8

Vành nửa đơn tương đương với vành nơte trái (hoặc phải) chính quy von
Neumann.

1.2.2. Vành địa phương
1.2.2.1. Định nghĩa vành địa phương:
Với vành R khác không, các điều sau tương đương:
(1) R có một ideal trái tối đại duy nhất.
(2) R có một ideal phải tối đại duy nhất.
(3) R / radR là một vành chia.
Nếu R thỏa một trong các điều kiện trên, ta nói R là vành địa phương.
1.2.2.2. Module không phân tích được mạnh:
Một R-module phải M khác không được gọi là không phân tích được mạnh
nếu End ( M R ) là vành địa phương.
1.2.2.3. Định lý:
Mọi module đơn M R đều không phân tích được mạnh.

(Vì theo bổ đề Schur, End ( M R ) là vành chia).
1.2.2.4. Định lý:
Cho M R là R-module không phân tích được với độ dài chuỗi hợp thành

n < ∞ . Khi đó E = End ( M R ) là vành địa phương và ideal tối đại duy nhất của nó

m = radE thỏa m n = 0. Đặc biệt M là module không phân tích được mạnh.
1.2.2.5. Định lý:
Một vành atin khác không là vành địa phương nếu và chỉ nếu R không có
phần tử lũy đẳng không tầm thường.


9

1.2.3. Vành nửa địa phương
1.2.3.1. Định nghĩa vành nửa địa phương:
Một vành R được gọi là nửa địa phương nếu R / radR là vành atin trái, hoặc
tương đương, R / radR là vành nửa đơn.
1.2.3.2. Định lý:
Mọi vành địa phương là nửa địa phương.
Mọi vành atin trái (hoặc phải) là nửa địa phương.
1.2.3.3. Định lý Bass:
Cho R là vành nửa địa phương, a ∈ R , B là ideal trái của R. Nếu
R.a + B =
R thì lớp a+B chứa một đơn vị của R.

1.2.4. Lũy đẳng
1.2.4.1. Định nghĩa lũy đẳng trong một vành:
Cho vành R. Phần tử e ∈ R gọi là lũy đẳng nếu e 2 = e.
Nếu e lũy đẳng thì f = 1 − e cũng lũy đẳng và gọi là lũy đẳng bù của e.

Định lý:
(1) R = R ⋅ e ⊕ R ⋅ f .
(2) R = e ⋅ R ⊕ f ⋅ R.

r=
re} , fRf =
r=
rf }.
(3) eRe =
{r ∈ R : er =
{r ∈ R : fr =
1.2.4.2. Lũy đẳng nguyên thủy:
Mệnh đề:
Cho lũy đẳng khác không e ∈ R , các điều sau tương đương:
(1) eR không phân tích được như là R-module phải.
(2) Re không phân tích được như là R-module trái.
(3) Vành eRe không có lũy đẳng không tầm thường.


10

(4) e không có phân tích dạng α + β trong đó α , β là các lũy đẳng trực giao khác
không trong R.
Nếu lũy đẳng e ≠ 0 thỏa mãn một trong các điều kiện trên, ta nói e là lũy
đẳng nguyên thủy của R.
1.2.4.3. Lũy đẳng địa phương:
Mệnh đề:
Cho tùy ý lũy đẳng e ∈ R , các điều sau tương đương:
(1) eR không phân tích được mạnh như là R-module phải.
(2) Re không phân tích được mạnh như là R-module trái.

(3) eRe là vành địa phương.
Nếu lũy đẳng e thỏa mãn một trong các điều kiện trên, ta nói e là lũy đẳng
địa phương. (Rõ ràng, một lũy đẳng địa phương là lũy đẳng nguyên thủy).
Hệ quả:
Cho e ≠ 0 là lũy đẳng tùy ý của R. Nếu R là nửa đơn (đơn, nơte trái, atin
trái) thì eRe cũng nửa đơn (đơn, nơte trái, atin trái).
1.2.4.4. Lũy đẳng bất khả quy:
Định nghĩa:
Lũy đẳng e ≠ 0 gọi là bất khả quy phải (trái) nếu eR (Re) là ideal phải (trái)
tối tiểu của R.
Tính chất:
Nếu e là bất khả quy phải thì eRe là vành chia.
Hệ quả:
(1) Lũy đẳng bất khả quy phải là lũy đẳng địa phương.
(2) Nếu R nửa đơn, khi đó một lũy đẳng là bất khả quy phải nếu và chỉ nếu nó địa
phương, nếu và chỉ nếu nó nguyên thủy.
1.2.4.5. Định lý:


11

Cho e là một phần tử lũy đẳng trong R, kí hiệu
=
=
J radR
, R R / J . Các điều
sau tương đương:
(1) e lũy đẳng địa phương trong R.
(2) e lũy đẳng bất khả quy phải trong R .
(3) e lũy đẳng bất khả quy trái trong R .

(4) eR/eJ là R-module phải đơn.
(5) eJ là module con tối đại duy nhất của eR.
1.2.4.6. Lũy đẳng đẳng cấu :
Cho e, f là lũy đẳng trong vành R. Các điều sau tương đương:
(1) eR ≅ fR đẳng cấu R-module phải.
(2) Re ≅ Rf đẳng cấu R-module trái.
(3) Tồn tại a ∈ eRf , b ∈ fRe sao cho
=
e ab
=
, f ba.
(4) Tồn tại a, b ∈ R sao cho
=
e ab
=
, f ba.
Nếu e và f thỏa các điều kiện trên, ta nói chúng là lũy đẳng đẳng cấu, kí hiệu

e≅ f .
1.2.4.7. Định lý:
Cho e ∈ R là một lũy đẳng và I ⊆ radR là một ideal của R. Nếu e nguyên
thủy trong R = R / I thì e nguyên thủy trong R. Chiều ngược lại đúng nếu lũy đẳng
của R có thể được nâng lên R. (Nghĩa là: nếu e ∈ R lũy đẳng thì tồn tại f ∈ R lũy
đẳng sao cho f = e )

1.2.5. Vành nửa hoàn thiện
1.2.5.1. Định nghĩa vành nửa hoàn thiện:
Vành R được gọi là nửa hoàn thiện nếu R nửa địa phương và lũy đẳng trong

R / radR có thể được nâng lên R.

12

1.2.5.2. Định lý:

eR ≅ eR / eJ là module phải đơn trên R (và do đó trên R), eJ là module con
tối đại duy nhất của eR, do dó rad ( eR ) = eJ .

1.2.6. Vành tự nội xạ
Vành R được gọi là tự nội xạ phải nếu module RR nội xạ.
Định lý:
Giả sử R = ∏ Aj với Aj là vành. Khi đó R tự nội xạ phải nếu và chỉ nếu Aj
j

tự nội xạ phải với mọi i.

1.3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRÊN MODULE VÀ VÀNH
1.3.1. Vành Dedekin
Vành Dedekin (hay miền Dedekin) là một vành giao hoán trong đó mọi ideal
khác không đều khả nghịch.
Định lý:
Nếu S là vành Dedekin và Β ⊂ S là ideal khác không, khi đó R
= S / Β là
vành tự nội xạ.

1.3.2. Mở rộng cốt yếu
1.3.2.1. Định nghĩa:
R-module phải E ⊇ M R được gọi là mở rộng cốt yếu của M nếu mọi module
con khác không của E giao với M đều không tầm thường. Ta cũng nói M là module

con cốt yếu của E.
Mở rộng cốt yếu E ⊇ M R được gọi là tối đại nếu không có module con thực
sự nào chứa E có thể là mở rộng cốt yếu của M.


13

1.3.2.2. Bổ đề:
(1) Một module M R nội xạ nếu và chỉ nếu nó không có mở rộng cốt yếu thực sự
nào.
(2) Mọi module M R đều có một mở rộng cốt yếu tối đại.
1.3.2.3. Bao nội xạ:
Cho module M ⊆ I , các mệnh đề sau tương đương:
(1) I là mở rộng cốt yếu tối đại trên M.
(2) I nội xạ và cốt yếu trên M.
(3) I nội xạ tối tiểu trên M.
Nếu module M ⊆ I thỏa mãn các tính chất (1), (2), (3) ở trên thì ta nói I là
một bao nội xạ của M.
1.3.2.4. Tính chất:
Bất kì module M nào cũng có một bao nội xạ.

1.3.3. Định lý Bass, Papp
Với vành R, các mệnh đề sau tương đương:
(1) Tổng trực tiếp các R-module phải nội xạ thì nội xạ.
(2) Tổng trực tiếp đếm được các R-module phải nội xạ thì nội xạ.
(3) R là vành nơte phải.
Hệ quả:
Cho vành R, các mệnh đề sau tương đương:
(1) R là vành nơte phải.
(2) Mọi module nội xạ M R là tổng trực tiếp của các module con không phân tích

được.


14

1.3.4. Module đều
1.3.4.1. Định nghĩa:
Một module khác không M R được gọi là đều nếu với bất kì hai module con
khác không của M giao nhau không tầm thường.
1.3.4.2. Các định nghĩa tương đương:
M là module đều nếu mọi module con khác không của M không phân tích
được.
M là module đều nếu mọi module con khác không của của M là cốt yếu
trong M.
1.3.4.3. Định lý:
Mọi module đơn là đều. Mọi module đều thì không phân tích được.
1.3.4.4. Chiều đều:
Ta nói R-module M R có chiều đều n, kí hiệu u.dim M = n , nếu có một
module con cốt yếu V ⊆ M là tổng trực tiếp của n module con đều. Nếu không tồn
tại số tự nhiên n như vậy, ta viết u.dim = ∞.

1.3.5. Module con kì dị
1.3.5.1. Định nghĩa:
Cho M là module phải trên vành R. Phần tử m ∈ M được gọi là kì dị nếu
ideal phải ann ( m ) cốt yếu trong RR .
Tập hợp Z ( M ) các phần tử kì dị của M là một module con, gọi là module
con kì dị của M.
Module M được gọi là module kì dị nếu Z ( M ) = M và gọi là không kì dị
nếu Z ( M ) = 0 .

15

1.3.5.2. Định lý:
Cho R là vành tự nội xạ phải. Khi đó:
(1) radR = Z ( RR ) .
(2) R/radR là vành chính quy von Neumann.
(3) R/radR là vành tự nội xạ phải.

1.3.6. Vành Kasch
1.3.6.1. Định nghĩa:
Vành R được gọi là Kasch phải nếu mỗi R-module phải đơn V có thể được
nhúng trong RR . Vành Kasch trái được định nghĩa tương tự.
1.3.6.2. Mệnh đề:
Với bất kì ideal phải tối đại m ⊂ R , các điều sau tương đương:
(1) R / m nhúng trong RR .
(2) m annr ( x ) ; x ∈ R.
=
(3) annl ( m ) ≠ 0.
(4) m = annr ( annl ( m ) ) .

1.3.7. Module không xoắn
1.3.7.1. Định nghĩa:
Module BR gọi là không xoắn nếu và chỉ nếu: với bất kì b ≠ 0 trong B, tồn
tại f ∈ hom R ( B, R ) sao cho f ( b ) ≠ 0.
1.3.7.2. Định lý:
(1) B không xoắn nếu và chỉ nếu ánh xạ tự nhiên i : B → B** là đơn ánh. Nếu i là
đẳng cấu thì module B gọi là phản xạ.

16

(2) Mọi module con của module tự do phải thì không xoắn. Vì thế mọi module phải
xạ ảnh cũng như ideal phải thì không xoắn.

1.3.8. Một số định lý khác
1.3.8.4. Định lý:
Cho R là một vành atin giao hoán. Kí hiệu V1 ,...,Vn là các R-module phải
đơn. Đặt Ei = E (Vi ) và M = E1 ⊕ ... ⊕ En . Khi đó:
(1) M là R-module trung thành.
(2) M hữu hạn sinh với lengthR ( M ) = lengthR ( R ) .
(3) Với mọi N là R-module hữu hạn sinh thì E ( N ) cũng hữu hạn sinh.
1.3.8.1. Định lý Mewborn-Winton:
Nếu vành R thỏa điều kiện ACC trên các linh hóa tử phải (tức là các ideal
phải có dạng annr ( X ) với X là tập con của R) thì  ( RR ) là một ideal lũy linh.
1.3.8.2. Định lý:
Cho I R = E ( M R ) với M là R-module và H = End ( R ) . Các mệnh đề sau
tương đương:
(1) u.dim M R < ∞.
(2) u.dim I R < ∞.
(3) I là tổng trực tiếp hữu hạn của các module không phân tích được.
(4) I là tổng trực tiếp hữu hạn của các module không phân tích được mạnh.
(5) H là vành nửa hoàn thiện.
(6) H là vành nửa địa phương.
Hệ quả:
Cho R là vành tự nội xạ phải. Các mệnh đề sau tương đương:
(1) u.dim RR < ∞.


17

(2) RR là tổng trực tiếp hữu hạn các ideal phải không phân tích được.
(3) R nửa hoàn thiện.
(4) R nửa địa phương.
(5) R không có tập hợp các lũy đẳng khác không trực giao vô hạn.
1.3.8.3. Định lý:
Đặt H = End ( I R ) với I là một R-module phải nội xạ và f , h ∈ H . Khi đó

f ∈ H .h nếu và chỉ nếu ker h ⊆ ker f .


18

CHƯƠNG II
CÁC VÀNH TỰA FROBENIUS VÀ FROBENIUS
2.1. VÀNH TỰA FROBENIUS
Trong phần này ta sẽ có hai mục chính. Đầu tiên là định nghĩa vành tựa
Frobenius cùng các cấu trúc bên trong. Sau đó là tính chất của các module trên đó
như tính xạ ảnh, nội xạ, đối ngẫu…

2.1.1. Các định nghĩa cơ bản
Chúng ta đã biết sơ qua về cấu trúc của vành tự nội xạ phải. Với một vành tự
nội xạ phải R, hai điều kiện hữu hạn (chiều đều của R R hữu hạn và không tồn tại tập
hợp các lũy đẳng khác không trực giao vô hạn) là tương đương. Điều này dẫn tới sự
kiện R là nửa địa phương (thậm chí nửa hoàn thiện). Tuy nhiên điều này vẫn khác
xa so với R là nơte phải.
Để thu được những định lý cấu trúc mạnh hơn trên vành tự nội xạ phải,
chúng ta tận dụng điều kiện chuỗi tăng trên các ideal phải. Dẫn đến một trong
những lớp vành quan trọng nhất, vành tựa Frobenius.
2.1.1.1. Định nghĩa vành tựa Frobenius:

Vành tựa Frobenius (QF) là vành nơte phải và tự nội xạ phải.
Vành tựa Frobenius có các định nghĩa tương đương, điều này thể hiện qua
định lý dưới đây.
2.1.1.2. Định lý:
Cho R là vành bất kì, các mệnh đều sau là tương đương:
(1) R là vành nơte phải và tự nội xạ phải.