dạy học khái niệm hàm số với phần mềm cabri ii plus, nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng khái niệm hàm số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Ngọc Sương

DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ VỚI PHẦN
MỀM CABRI II PLUS: NGHIÊN CỨU SỰ ĐỒNG
BIẾN THIÊN NHƯ GIAI ĐOẠN ĐẦU TIÊN CỦA
VIỆC XÂY DỰNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Ngọc Sương

DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ VỚI PHẦN
MỀM CABRI II PLUS: NGHIÊN CỨU SỰ ĐỒNG
BIẾN THIÊN NHƯ GIAI ĐOẠN ĐẦU TIÊN CỦA
VIỆC XÂY DỰNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu độc lập,những trích dẫn
nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.

1


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Thị Nga, người đã nhiệt
tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Sau, tơi xin gửi lời cảm ơn đến: Phó Giáo sư – Tiến sĩ Lê Văn Tiến, Phó Giáo sư –
Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu, Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh, Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên
Trung và Tiến sĩ Vũ Như Thư Hương vì những bài giảng về didactic Tốn sinh động, cụ
thể và đầy ý nghĩa.
Tơi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi.
Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến:
Ban Giám hiệu, các thầy cô và các em học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Huân –
Tp.HCM đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.
Các bạn và các anh chị cùng khóa học cao học 22 chuyên ngành Lý luận và Phương
pháp dạy học Tốn vì những sẻ chia trong học tập.
Gia đình tơi vì những lời động viên và những điều kiện cho tơi hồn thành tốt khóa
học.

Nguyễn Thị Ngọc Sương

2


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 2
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ............................................................................ 5
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 6
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát ......................................................................... 6
2. Câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................................... 10
3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu ................................................... 10
4. Cấu trúc của luận văn .................................................................................................. 11

CHƯƠNG 1: SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG TRONG LỊCH
SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM HÀM SỐ ........................... 13
1.1. Sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số....................................................... 13
1.2. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng – quan niệm động của khái niệm hàm ..... 16
số. 16
1.2.1. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong các giai đoạn phát triển khái niệm
hàm số ............................................................................................................................. 16
1.2.2. Quan niệm động và quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số.................................. 17
1.3. Các hệ thống biểu đạt của hàm số và đặc trưng đồng biến thiên của hai đại
lượng. ................................................................................................................................. 18

CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI
ĐẠI LƯỢNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK PHỔ THÔNG .................. 21
2.1. Ở Việt Nam ................................................................................................................. 21

2.1.1. Giai đoạn trước năm lớp 7 .................................................................................... 21
2.1.2. Lớp 7..................................................................................................................... 23
2.1.3. Lớp 9..................................................................................................................... 31
2.1.4. Lớp 10................................................................................................................... 37
2.1.5. Kết luận ................................................................................................................ 40
2.2. Ở Mỹ ........................................................................................................................... 41
2.2.1. Phần lý thuyết ....................................................................................................... 41
2.2.2. Phần bài tập .......................................................................................................... 47
2.3. So sánh cách đưa vào khái niệm hàm số ở Việt Nam và Mỹ ................................. 50
2.3.1. Giống nhau ........................................................................................................... 50
2.3.2. Khác nhau ............................................................................................................. 50

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................... 53
3


3.1. Các lựa chọn của đồ án dạy học ............................................................................... 53
3.1.1. Sự đồng biến thiên là giai đoạn đầu tiên của việc hình thành khái niệm hàm số 53
3.1.2. Sử dụng phần mềm hình học động Cabri ............................................................. 53
3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................... 54
3.2.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm ................................................................ 54
3.2.2. Dàn dựng kịch bản................................................................................................ 54
3.3. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................................ 55
3.3.1. Biến và các giá trị của chúng................................................................................ 55
3.3.2. Các chiến lược và cái có thể quan sát................................................................... 56
3.4. Phân tích chi tiết kịch bản ........................................................................................ 70
3.4.1. Buổi 1: Khái niệm hàm hình học và sự đồng biến thiên của các điểm. ............... 70
3.4.2. Buổi 2 ................................................................................................................... 71
3.5. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................................ 73
3.5.1. Buổi làm quen với Cabri ...................................................................................... 73

3.5.2. Tình huống 1 ........................................................................................................ 74
3.5.3. Tình huống 2 ........................................................................................................ 78
3.5.4. Tình huống 3 ........................................................................................................ 83
3.5.5. Kết luận ................................................................................................................ 86

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 88
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 91
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 93

4


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

GTLN

:

Giá trị lớn nhất

GTNN

:

Giá trị nhỏ nhất

GV

:

Giáo viên

HS

:

Học sinh

SGK

:

Sách giáo khoa

SGK9-1

:

Sách giáo khoa Toán 9, tập một

SGK9-2

:

Sách giáo khoa Toán 9, tập hai

SBT

:

Sách bài tập

SGV

:

Sách giáo viên

Tp.HCM

:

Thành phố Hồ Chí Minh

tr.

:

trang

CNTT

:

cơng nghệ thơng tin

5


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Ghi nhận 1: Khái niệm hàm số từ lâu đã là đối tượng của một số lượng lớn các nghiên
cứu. Điều này khơng có gì là ngạc nhiên bởi hàm số là một khái niệm quan trọng và giữ vị
trí trung tâm trong chương trình tốn phổ thơng. Nó được khẳng định dựa trên nội dung
trình bày trong các sách giáo khoa (SGK) trải dài từ lớp 7 đến lớp 12 và sự cần thiết của
hàm số trong việc giải quyết những bài toán thực tế. Tuy nhiên khi được hỏi khái niệm hàm
số là gì, thì liệu rằng có bao nhiêu HS trả lời được đúng bản chất của khái niệm này hay HS
chỉ biết đến hàm số thơng qua những biểu thức giải tích của nó?
Có rất nhiều luận văn nói về vấn đề hàm số. Cụ thể:
 Luận văn thạc sĩ của Đặng Minh Hải (2009) về “Các tính chất của hàm số
và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học tốn phổ thơng” .
Chỉ ra một số tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu – liên tục, đơn điệu – khả vi,
khả vi – liên tục ở cấp độ tri thức khoa học.
Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về mối liên hệ đơn điệu – liên tục, mối liên hệ giữa tính
đơn điệu của một hàm khả vi trên khoảng với dấu của đạo hàm. Chỉ ra những ràng buộc của
thể chế đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến mối quan hệ cá nhân của HS:
+ Hầu hết HS cho rằng “hàm số đơn điệu trên K thì liên tục trên K”.
+ Phần lớn HS có quan niệm “hàm số đơn điệu trên một khoảng thì có đạo hàm và đạo
hàm khơng âm (khơng dương) trên khoảng đó”.
 Luận văn thạc sĩ của Đinh Quốc Khánh về “Hàm số và đồ thị trong dạy học
tốn ở trường phổ thơng”
Nghiên cứu q trình chuyển từ đồ thị sang hàm số đồng thời ở cấp độ tri thức khoa học
và cấp độ tri thức cần giảng dạy để thấy rõ mục đích và kỹ thuật của việc chuyển đổi nói
trên.
Chỉ ra được các ràng buộc của thể chế dạy học ở trường phổ thông với vấn đề chuyển từ
đồ thị sang biểu thức đặt ra trên hai đối tượng hàm số bậc nhất và bậc hai.
Trong thể chế dạy học toán ở Việt Nam, vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm
số và vấn đề mơ hình hóa trong tốn có xuất hiện. Nhưng xét về “mức độ quan tâm” thì đây
không phải là các vấn đề được thể chế coi là trọng tâm nhất.

6


Kết quả của việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc tồn tại giả thuyết nghiên
cứu: “Kỹ năng chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số chưa thực sự được hình thành ở
HS”.
Làm rõ quan hệ của HS với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức và vấn đề mơ hình
hóa nhằm hợp thức giả thuyết nghiên cứu được trình bày ở trên.
 Luận văn thạc sĩ của Đỗ Thị Thúy Vân (2010) về “Casyopée và việc dạy học
khái niệm hàm số trong mơi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số”
Luận văn đã chỉ ra được đồ thị là một phương tiện biểu diễn thể hiện rõ 3 đặc trưng cơ
bản của hàm số (phụ thuộc, tương ứng, biến thiên), tính chất của đồ thị được suy ra từ tính
chất của hàm số và ngược lại.
Làm rõ tiến trình và cách tổ chức đưa vào khái niệm hàm số gắn với các cách biểu diễn
hàm số (bằng bảng, đồ thị, biểu thức giải tích), mối quan hệ cá nhân giữa HS và khái niệm
hàm số dựa trên cách biểu diễn hàm số bằng biểu thức giải tích: “Thể chế khơng tạo điều
kiện cho việc dạy học khái niệm hàm số trong mơi trường tích hợp nhiều cách biểu
diễn hàm số, cũng như khơng trình bày tường minh cách biểu diễn hàm số bằng đồ thị.”
Sử dụng môi trường giấy bút và mơi trường máy tính để củng cố lại kiến thức về khái
niệm hàm số thông qua việc giải một bài tốn cụ thể, trong đó với mơi trường máy tính thì
có thể đơn giản hóa các kĩ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ trong bài toán, đồng thời để
thấy rõ khái niệm hàm số bằng hình ảnh trực quan thể hiện đủ ba đặc trưng của hàm số.
Hạn chế và hướng mở của luận văn:
+ Hạn chế: Thực nghiệm được đưa ra nhằm mục đích tận dụng tối đa các tính năng của
phần mềm Casyopee, nhưng chưa đáp ứng hoàn toàn cho việc dạy học khái niệm hàm số
trong mơi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số.
+ Hướng mở của luận văn: Trên cơ sở của những kết quả đạt được, có thể tiếp
tục nghiên cứu theo hướng xây dựng một hệ thống tình huống dạy học khái niệm hàm số
nhằm giúp HS nhận rõ các đặc trưng hàm số trên mơ hình động (mơi trường máy tính).
 Luận văn thạc sĩ “Bài tốn diện tích và phần mềm Cabri 2D”

Luận văn chỉ rõ mối quan hệ thể chế của đối tượng hàm số và bài toán diện tích, từ đó đã
cho thấy được tầm quan trọng của việc dạy học mơ hình hóa đặc biệt mơ hình hóa hàm số
bằng bài tốn diện tích chiếm số lượng khá lớn.

7


Luận văn đã xây dựng một tình huống mơ hình hóa bằng bài tốn diện tích trong mơi
trường Cabri, từ đó giúp chúng ta có cách nhìn mới trong việc kết hợp giữa hình học động
và giải tích. Đây là điều mà “bảng đen, phấn trắng” khó có thể thực hiện được.
Như vậy, một loạt các luận văn về hàm số đã được cơng bố trong đó vấn đề chính được
quan tâm là tính chất của hàm số và việc sử dụng hàm số trong quá trình giải quyết các bài
toán.
Ghi nhận 2: Khái niệm hàm số gắn liền với hai quan niệm cơ bản:
+ Quan niệm động của khái niệm hàm số: hoàn toàn dựa trên sự đồng biến thiên của hai
đại lượng.
+ Quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số: hoàn toàn dựa trên sự tương ứng. “Một hàm số
liên kết một số duy nhất với một số cho trước.”
Trong đó, sự đồng biến thiên của hai đại lượng là mối liên hệ động, không đối xứng giữa
hai biến nhận giá trị thay đổi trong hai tập hợp nào đó và biến này phụ thuộc vào biến kia.
Trong chương trình hiện nay thì việc dạy học khái niệm hàm số hồn tồn dựa trên quan
điểm tĩnh, chính vì vậy mà nó đã làm mờ đi nghĩa của khái niệm biến và khái niệm hàm số.
Do đó việc quan tâm đến dạy học khái niệm hàm số theo quan điểm động là thực sự cần
thiết để HS nắm được bản chất của khái niệm hàm số.
“Sự mơ hình hóa một tình huống đồng biến thiên của hai đại lượng có thể cho phép
mang lại nghĩa cho khái niệm biến và khái niệm hàm số.”
[Annie Bessot & Nguyễn Thị Nga, 2011]
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu xây dựng các tình huống đưa vào khái niệm
hàm số trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng là giai đoạn đầu tiên của sự hình thành
khái niệm hàm số. Nghiên cứu này dựa trên kết luận của Krysinska và các cộng sự (2009):

“Tình huống về sự đồng biến thiên của các đại lượng có thể được xem xét như một tình
huống cơ bản đối với khái niệm hàm số”
Ghi nhận 3: Ngày nay CNTT đã và đang thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực. Nó ngày
càng trở nên quan trọng, không thể thiếu trong lĩnh vực Giáo dục đào tạo nói chung và
ngành Tốn học nói riêng. Việc dạy học với các phần mềm ngày càng có sự ứng dụng rộng
rãi. Hiện nay, ở các trường phổ thông, GV đã dần quan tâm đến việc sử dụng phần mềm dạy
học để hỗ trợ trong việc giảng dạy của mình mặc dầu SGK phổ thơng lại khơng có hoạt
động nào dùng tới phần mềm dạy học. Tuy nhiên đa phần GV khi sử dụng phần mềm dạy
học đều có dụng ý là minh họa hay kiểm chứng những gì mà khái niệm hay định lý đã nêu.
8


Trong luận văn này, chúng tôi tiến hành sử dụng phần mềm hình học động để hình thành
nên khái niệm đồng biến thiên cho HS. Và HS sẽ trực tiếp thao tác với phần mềm để giải
quyết các bài toán tốn học và thực tế, qua đó khám phá và lĩnh hội tri thức mới. Chúng tôi
dựa vào giả thuyết sau:
“Mơi trường hình học động có khả năng thực hiện giai đoạn đầu tiên của q trình mơ
hình hóa bằng việc xây dựng một mơ hình trung gian của tình huống đồng biến thiên của
các đại lượng.”

[Annie Bessot & Nguyễn Thị Nga, 2011]

Chúng tôi chọn phần mềm Cabri II Plus để thực hiện nghiên cứu vì nó có các
đặc tính sau đây:
“Cabri II Plus là một trong những phần mềm hiện đại nhất trong việc dạy và học tốn.
Ngồi việc sở hữu một giao diện thân thiện, dễ sử dụng, Cabri II Plus cịn cho phép HS có
thể khám phá được những tính chất tổng quát của một loạt các hình được dựng. Trong mơi
trường Cabri, HS có thể tạo ra hình vẽ và đồ thị trực quan hơn các hình vẽ theo cách thơng
thường qua mơi trường truyền thống - mơi trường giấy bút - cho nên sẽ có nhiều tính chất
mới được khám phá từ đấy.

Cabri có chức năng tạo vết (công cụ “Vết”) của một đối tượng khi nó chuyển
động. Với chức năng này, Cabri hỗ trợ cho việc tạo ra hình ảnh liên tục của đối tượng khi
di chuyển.
Cái nổi bật hơn hẳn so với các phần mềm khác đó là hầu như tất cả các đối
tượng tốn học đều đã được mơ phỏng trên máy tính một cách "động" theo nghĩa người
dùng có thể can thiệp, tương tác trực tiếp với các đối tượng toán học trên màn hình.
Cabri hỗ trợ cho GV trong việc giải quyết những bài toán liên quan đến thực tế đời sống
mà trong mơi trường giấy bút GV rất khó để HS hiểu được vấn đề. Như vậy, có thể nói phần
mềm Cabri II Plus ln gắn liền với q trình mơ hình hóa và đóng một vai trị quan trọng
khơng thể thiếu.”

[Nguyễn Chí Thành, 2008]

Đặc biệt, nhờ tính chất di chuyển điểm mà phần mềm Cabri hỗ trợ rất tốt cho việc hình
thành khái niệm đồng biến thiên – tiền đề của khái niệm hàm số.
Việc sử dụng môi trường hình học động Cabri mang lại nhiều lợi ích:
“Trong mơi trường hình học động Cabri, sự mơ hình hóa các đại lượng biến thiên được
thực hiện bởi việc tạo ra các điểm chuyển động. Một điểm di động có thể mơ hình hóa các
đại lượng biến thiên khác nhau (khoảng cách, diện tích, thời gian). Vì thế, việc thiết lập mơ
hình trung gian nhờ vào hình học động cho phép cụ thể hóa các đại lượng biến thiên bằng
9


việc chuyển giao cho HS trách nhiệm lựa chọn các đại lượng thích đáng trong tình huống
được nghiên cứu. Chúng ta có thể đưa vào khái niệm điểm điều khiển một điểm khác – tiền
đề của các khái niệm biến độc lập và biến phụ thuộc…”

[Annie

Bessot

& Nguyễn Thị Nga, 2011]
Với những ghi nhận trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học khái niệm
hàm số với phần mềm Cabri II Plus: Nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn đầu tiên
của việc xây dựng khái niệm hàm số.”

2. Câu hỏi nghiên cứu
Chúng tôi đặt ra những câu hỏi ban đầu để định hướng cho nghiên cứu như sau:
Q1: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng hiện diện và tiến triển như thế nào trong lịch sử
hình thành và phát triển khái niệm hàm số?
Q2: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng được đề cập như thế nào trong SGK
Việt Nam? Có những tổ chức tốn học nào trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng
được nhấn mạnh? Có sự khác biệt nào so với SGK Mỹ?
Q3: Liệu có thể xây dựng tiểu đồ án didactic cho HS tiếp cận với khái niệm hàm số,
trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng là bước đầu tiên của quá trình này?

3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu
3.1 Nghiên cứu khoa học luận
Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời cho câu hỏi Q1.
Như chúng ta biết, nghiên cứu khoa học luận về khái niệm hàm số đã có trong các
cơng trình khác. Ở đây, chúng tơi tiến hành tóm tắt và đặc biệt bổ sung sự hiện diện của sự
đồng biến thiên của hai đại lượng trong khái niệm hàm số.
3.2 Nghiên cứu thể chế
Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời câu hỏi Q2.
Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào lý thuyết nhân chủng học. Lý thuyết này nghiên
cứu và chỉ ra tầm quan trọng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức, đưa vào khái
niệm tổ chức toán học để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức đã
chọn.

10

Phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm hàm số và các tổ chức toán học liên
quan giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức này và lý do của các
lựa chọn của thể chế.
Như vậy chúng tôi tiến hành phân tích SGK Việt Nam và Mỹ, từ đó nghiên cứu so sánh 2
thể chế để thấy rõ đặc trưng của mỗi thể chế. Cụ thể, chúng tôi xem xét sự đồng biến thiên
của 2 đại lượng xuất hiện như thế nào trong khái niệm hàm số và những bài tập liên quan
trong mỗi thể chế.
3.3 Đồ án dạy học
Dựa vào khái niệm đồ án dạy học, chúng tôi sẽ xây dựng các tình huống hình thành nên
khái niệm hàm số trong đó sự đồng biến thiên là giai đoạn đầu của q trình này. Đồ án đó
chúng tơi tiến hành xây dựng trong mơi trường hình học động Cabri – mơi trường tích hợp
nhiều yếu tố hình thành nên sự đồng biến thiên của hai
đại lượng.
Mặt khác, những tình huống mà chúng tơi đưa ra đều là những tình huống mơ hình hóa –
tức là những bài tốn đều xuất phát từ thực tế cuộc sống. Điều này nhằm kích thích nhu cầu
giải quyết bài tốn và khám phá tri thức mới của HS.

4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chương sau:
Chương 1: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong lịch sử hình thành và phát triển khái
niệm hàm số.
1.1 Sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số
1.2 Sự đồng biến thiên của hai đại lượng – quan niệm động của khái niệm hàm
số.
1.3 Các hệ thống biểu đạt của hàm số và đặc trưng đồng biến thiên của hai đại
lượng.
Chương 2: Khái niệm hàm số và sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong chương trình
và SGK phổ thơng

2.1 Ở Việt Nam
2.1.1

Giai đoạn trước năm lớp 7

2.1.2

Lớp 7

2.1.3

Lớp 9
11


2.1.4

Lớp 10

2.1.5 Kết luận
2.2 Ở Mỹ
2.3 So sánh cách đưa vào khái niệm hàm số ở Việt Nam và Mỹ
Chương 3: Thực nghiệm (Tiểu đồ án dạy học)
3.1 Các lựa chọn của đồ án
3.2 Nội dung thực nghiệm
3.3 Phân tích tiên nghiệm
3.4 Phân tích hậu nghiệm
3.5 Kết luận

12

CHƯƠNG 1: SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG
TRONG LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM
HÀM SỐ
Mục tiêu của chương này là tìm các câu trả lời cho câu hỏi Q1 sau: Sự đồng biến thiên
của hai đại lượng hiện diện và tiến triển như thế nào trong lịch sử hình thành khái niệm hàm
số?
Để đạt được mục tiêu ở trên, chúng tơi sẽ tiến hành tóm tắt lại phần lịch sử hình thành
khái niệm hàm số thơng qua một số cơng trình nghiên cứu đã có, rồi từ đó chúng tơi sẽ đi
sâu vào phân tích phần trọng tâm mà luận văn đang hướng đến.

1.1. Sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số
Trong lịch sử, thuật ngữ “hàm số” ra đời từ việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến đo
đạc, vận tốc, thời gian,…Lý thuyết hàm số thực sự được hình thành và phát triển trong
khoảng 4 thế kỉ, trong đó mầm móng của lý thuyết hàm số đã có từ những năm 2000 trước
cơng ngun với những bài tốn vật lý. Chúng tôi sẽ tổng kết lại những giai đoạn chủ yếu
của sự hình thành và phát triển lý thuyết hàm số thơng qua cơng trình nghiên cứu của
Nguyễn Thị Nga (2003) về “Dạy học hàm số ở trường phổ thông”.
Bảng 1.1 Tóm tắt sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số qua các thời kì.
GIAI
ĐOẠN

SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM HÀM SỐ
Từ nhu cầu thực tế cuộc sống là nhằm giải quyết những bài toán
liên quan đến đo đạc hình học, nghiên cứu các đường cong…, tốn
học Babylon và Hy Lạp đã hình thành nên các bảng số mà bản thân

Cổ đại

nó đã ẩn chứa những quan niệm về hàm số: bảng bình phương của
các số tự nhiên, bảng căn bậc hai, bảng lập phương hay bảng căn bậc
ba trong hệ thập lục phân, bảng liên hệ giữa dây và cung của đường
tròn (tiền thân của bảng sin ngày nay). Tuy nhiên thuật ngữ hàm số
chưa một lần xuất hiện trong thời kì này.
Các nhà tốn học quan tâm đến sự phụ thuộc giữa hai đại lượng

Trung đại khơng những trên các bảng số mà cịn thể hiện ở các hình hình học,
chủ yếu là trong lĩnh vực vật lí. Họ được xem như là đã đến gần với
13


khái niệm hàm số thế nhưng thuật ngữ hàm số vẫn chưa xuất hiện.
Một trong số đó là Oresme. Trong lý thuyết của ông, một số ý tưởng
chung về khái niệm biến độc lập và phụ thuộc dường như có mặt.
“Ông đã biểu diễn cường độ của chất điểm chuyển động (vận
tốc) theo thời gian bằng một hình hình học mà ta có thể mơ tả như
sau:

Vận tốc

……
Thời gian

[Nguyễn Thị Nga, 2003]
Tiếp sau Oresme ở giai đoạn trung đại là Galileo Galilei (15641642) với các cơng trình nghiên cứu các đại lượng bên vật lí như vận
tốc, gia tốc và khoảng cách.
Sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên chính thức
Thế kỉ

được xuất hiện: “Bằng cách lấy lần lượt và vô hạn các đại lượng

16 - 17

khác nhau đối với đường y (line y) ta cũng có vô hạn các đại lượng
khác nhau đối với đường x, và như vậy ta có vơ hạn các điểm khác
nhau, như là điểm được đánh dấu C, nhờ vào đó ta mô tả được
đường cong mong muốn.”

[René Descartes (1596-1650)]

Đây là giai đoạn mà hàm số xuất hiện dưới dạng biểu thức giải
tích và lần đầu tiên xuất hiện ngầm ẩn trong định nghĩa của
J.Bernoulli công bố năm 1718: “Ta gọi hàm số của một đại lượng
Thế kỉ 18

biến, một đại lượng tạo thành một cách nào đó từ đại lượng biến
này và từ các hằng số”.
Khái niệm hàm số được hồn thiện dần thơng qua các cơng trình
nghiên cứu khác như D’Alembert, Condorcer (1743-1794),
Lagrange (1736-1813).
14


Mãi đến cuối thế kỉ 18 thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng
mới được nhấn mạnh và nó xuất hiện tường minh trong định nghĩa
của Euler (1755) khi đề cập đến hàm nhiều biến: “Khi một đại lượng
phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại
lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại
lượng thứ nhất gọi là hàm số của các đại lượng thứ hai”

Đến đầu thế kỉ 19, các nhà toán học bắt đầu định nghĩa lại khái
niệm hàm số bằng sự tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên. Tư
tưởng đó xuất hiện lần đầu tiên trong định nghĩa của Dirichlet
(1805-1859): “y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương
ứng với một giá trị hồn tồn xác định của y cịn sự tương ứng đó
được thiết lập bằng cách nào thì điều này hồn tồn khơng quan
Nửa đầu
thế kỉ 19

trọng”.
Tuy nhiên, sự biến thiên của hai đại lượng vẫn xuất hiện ngầm
ẩn trong các mô tả khác. Cụ thể, theo Lobachevsky (1792-1856):
“…hàm số của x là một số được cho với mỗi x và biến thiên dần dần
cùng với x. Giá trị của hàm số có thể được cho bằng một biểu thức
giải tích, hoặc bằng một điều kiện làm phương tiện để thử tất cả các
số và chọn một trong chúng, hoặc cuối cùng, sự phụ thuộc có thể tồn
tại nhưng cịn chưa được biết.”
Định nghĩa hàm số ở thời kì này cũng tương tự như nửa đầu thế
kỉ 19, tuy nhiên có một sự khác biệt rõ ràng đó là sự ra đời của Lý
thuyết tập hợp của Cantor (1845-1918). Các nhà toán học đã bổ sung

Cuối thế
kỉ 19 – thế
kỉ 20

và hoàn thiện dần định nghĩa khái niệm hàm số. Đồng thời mở rộng
thêm tập xác định của hàm số:
“Tập xác định của hàm số được mở rộng từ một tập hợp con của R
thành một tập hợp con của Cn. Giải tích phức và giải tích lồi cịn xét
hàm số đa trị. Laurent Schwartz (1915-2002) tổng quát hóa hai khái

niệm hàm số và độ đo thành khái niệm phân phối (còn gọi là hàm số
suy rộng).” [Trần Lương Công Khanh 2013, Bài giảng lịch sử toán]

15


1.2. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng – quan niệm động của khái niệm hàm
số.
1.2.1. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong các giai đoạn phát triển khái
niệm hàm số
1.2.1.1 Thời cổ đại
Quan niệm về hàm số bước đầu được hình thành và phát triển thơng qua các bảng số.
Những đặc tính đầu tiên về sự đồng biến thiên của hai đại lượng dần dần được thể hiện
thông qua sự phụ thuộc lẫn nhau của hai đại lượng lấy giá trị trong các tập hợp hữu hạn và
rời rạc. Dựa vào các bảng số, có thể nhận ra được sự thay đổi của một phần tử trong tập hợp
số dẫn đến sự thay đổi của những phần tử trong tập hợp khác, đó là những hình ảnh về sự
đồng biến thiên của hai đại lượng. Tuy nhiên tất cả những điều đó đều xuất hiện ngầm ẩn,
chứ khơng được trình bày một cách tường minh.
1.2.1.2 Thời trung đại
Các nhà toán học quan tâm đến sự phụ thuộc giữa hai đại lượng không những trên các
bảng số mà cịn thể hiện ở các hình hình học. Có thể nói, hình hình học đã mơ tả được chiều
biến thiên hay nói một cách khác chúng thể hiện rõ nét về sự đồng biến thiên của hai đại
lượng: khi đại lượng này thay đổi (tăng hoặc giảm) sẽ dẫn đến sự thay đổi của đại lượng
khác.
1.2.1.3 Thế kỉ 16 - 17
Nếu như ở thời cổ đại và trung đại, sự đồng biến thiên của hai đại lượng đều xuất hiện
ngầm ẩn thơng qua các bảng số và các hình hình học thì ở thời kì này nó được chính thức
xuất hiện dưới dạng sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên. Hình ảnh về biến
độc lập và biến phụ thuộc được xuất hiện lần đầu tiên với các
“đường x”, “đường y” trong nhận xét của Descartes.

Như vậy, ở thời kì này sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng cũng như từ “hàm số” chính
thức được xuất hiện. Hơn thế nữa khi mà đặc trưng biến thiên của hàm số càng được nhấn
mạnh thì sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng ngày càng thể hiện rõ nét.
1.2.1.4 Thế kỉ 18
Nhiều nhà tốn học thời kì này đã đồng nhất hàm số với một biểu thức giải tích. Với cách
định nghĩa như vậy thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng hồn tồn vắng bóng, tức là tính

16


động của khái niệm hàm số bị che mờ. Tuy nhiên, vào cuối thời kì, Euler đã đưa ra khái
niệm thể hiện tính động của hàm số, thể hiện rất rõ sự thay đổi giữa các đại lượng.
1.2.1.5 Nửa đầu thế kỉ 19
Khái niệm hàm số được định nghĩa bằng sự tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên trong
đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng không được nhấn mạnh.
1.2.1.6 Cuối thế kỉ 19 và thế kỉ 20
Định nghĩa khái niệm hàm số từ đầu thế kỉ 19 đến nay hoàn toàn dựa trên sự tương ứng.
Sự đồng biến thiên của hai đại lượng chỉ hiện diện ngầm ẩn.
Qua sự phát triển khái niệm hàm số, chúng tôi nhận thấy rằng hàm số thực của một biến
số thực có thể biểu đạt bằng các ngơn ngữ có liên quan đến sự đồng biến thiên thuận lợi hơn
hàm thực nhiều biến, hàm phức, hàm đa trị và phân phối. Vì vậy mà chúng tơi giới hạn
nghiên cứu của mình ở hàm số thực một biến số thực để thấy rõ được sự đồng biến thiên của
hai đại lượng xuất hiện trong định nghĩa này.
1.2.2. Quan niệm động và quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số
Xem xét lịch sử xuất hiện khái niệm hàm số, chúng ta thấy rằng có hai quan niệm
cơ bản gắn với khái niệm hàm số tiếp nối nhau trong lịch sử:
- Quan niệm động:
Quan niệm này dựa trên sự đồng biến thiên của hai đại lượng, cần thiết việc mơ hình hóa
theo những thuật ngữ biến phụ thuộc và/hoặc biến độc lập. Euler đã viết năm 1755 như sau:
“Nếu một số đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho nếu các đại lượng khác

thay đổi, các đại lượng này cũng thay đổi theo, lúc đó chúng ta gọi các đại lượng này là
hàm số của các đại lượng khác”.
- Quan niệm tĩnh:
Quan niệm này nhấn mạnh trên sự tương ứng: một hàm số liên kết một số duy nhất với
một số cho trước. Hankel (1870) định nghĩa hàm số như sau:
“Ta nói y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thuộc một khoảng nào đó tương ứng
một giá trị xác định của y mà khơng vì thế mà đòi hỏi y xác định với mọi khoảng bởi cùng
một quy luật theo x, cũng không cần thiết y được xác định bởi một biểu thức toán học tường
minh của x. Tôi sẽ gọi định nghĩa này theo tên Dirichlet vì định nghĩa này, định nghĩa đã
loại bỏ tất cả những quan niệm cũ hơn, là cơ bản trong những cơng trình nghiên cứu trên
chuỗi Fourier” [Hankel (1870), tr.49].
17


1.3. Các hệ thống biểu đạt của hàm số và đặc trưng đồng biến thiên của hai đại
lượng.
Chúng tôi tiến hành tổng hợp các hệ thống biểu đạt của hàm số dựa trên cơng trình
nghiên cứu của các luận văn thạc sĩ trước, sau đó phân tích và bổ sung thêm sự đồng biến
thiên của hai đại lượng trong các cách biểu diễn hàm số.
Bảng 1.2 Bảng tóm tắt sự xuất hiện tính đồng biến thiên của hai đại lượng trong các hệ
thống biểu đạt hàm số.
CÁC HỆ THỐNG

LỢI ÍCH

BIỂU ĐẠT HÀM SỐ

SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN
CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG

Hệ thống biểu đạt đại

Với hệ thống biểu đạt này,

số: Trong cách biểu diễn

nghĩa thực chất của khái

này, hàm số thường được + Hỗ trợ nhiều cho quá niệm hàm số và khái niệm
cho bởi một biểu thức trình tính tốn trong biến hoàn toàn bị lu mờ đi.
dạng y = f(x).

chương trình dạy học Như vậy khái niệm hàm số
tốn hiện nay.

mất đi tính động của nó, có

+ Biểu đạt cơ đọng và nghĩa là sự đồng biến thiên
chính xác mối tương của hai đại lượng hình
quan hàm.

thành nên khái niệm hàm
số hồn tồn xuất hiện
ngầm ẩn.

Hệ thống biểu đạt hình + Phản ánh trực quan Dựa vào hệ thống biểu đạt
học: Trong cách biểu dáng điệu định tính của này người ta có thể quan
sát tính động của khái niệm

diễn này hàm số thường hàm số.

được cho bởi đồ thị, biểu + Tìm được giá trị (đúng hàm số, nghĩa là khi trực
đồ.
hay gần đúng) của hàm tiếp nhìn vào đồ thị người
tại một điểm.

ta có thể nhận thấy được sự

+ Tìm nghiệm gần đúng thay đổi của biến và giá trị
của một phương trình, tương ứng, tức là nhận thấy
bất phương trình, hệ được sự đồng biến thiên
phương trình, hệ bất của hai đại lượng.
18


phương trình.
+ Chứng minh dựa trên
đồ thị.
Hệ thống biểu đạt số: + Là một công cụ tiện lợi Tương tự như hệ thống
mỗi trị của đối số được để ghi lại kết quả các biểu đạt hình học, dựa vào
xếp tương ứng với trị của nghiên cứu thực nghiệm, các bảng số, người đọc có
hàm trong một bảng số

hiện tượng biến thiên.

thể nhận ra được sự thay

+ Dựa vào bảng số, ta có đổi của một phần tử trong
thể tìm ngay được giá trị tập hợp số tương ứng với
sự thay đổi của những phần

của hàm.

tử trong tập hợp khác, đó là
những hình ảnh về sự đồng
biến thiên của hai đại
lượng. Tất cả những điều
đó đều xuất hiện ngầm ẩn,
chứ khơng được trình bày
một cách tường minh.
Với hệ thống biểu đạt này,

Hệ thống biểu đạt bằng

lời: Ở đây hàm số được Chỉ rõ đặc trưng của giá sự đồng biến thiên của hai
đại lượng xuất hiện ngầm
mô tả thông qua các đặc trị hàm số.
ẩn và khá mờ nhạt.

trưng của nó.

Kết luận
Qua việc tổng hợp cách cơng trình nghiên cứu trước đó về khái niệm hàm số và
hệ thống biểu đạt của hàm số, chúng tôi nhận thấy rằng:
- Sự đồng biến thiên của hai đại lượng cũng như quan niệm về hàm số xuất hiện
từ những năm 2000 trước Công nguyên. Tuy nhiên, mãi đến thế kỉ 18 mới chính thức xuất
hiện trong một cơng trình của Euler khi đề cập đến hàm nhiều biến. Như vậy trong thời kì
này, các nhà tốn học đã tiếp cận với khái niệm hàm số trên quan niệm động. Từ thế kỉ 19
cho đến nay, khái niệm hàm số được định nghĩa dựa trên lý thuyết tập hợp và gắn liền với
quan niệm tĩnh. Do đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng xuất hiện ngầm ẩn.

19


- Với hai hệ thống biểu đạt bằng bảng và bằng đồ thị thì sự đồng biến thiên xuất
hiện khá rõ nét.
Với những phân tích trên, chúng tơi thắc mắc rằng: “Liệu là chương trình dạy
học hàm số hiện nay có theo đúng tiến trình trong lịch sử khơng? Và sự đồng biến thiên của
hai đại lượng có được nhấn mạnh hay khơng? Thơng qua những tình huống hay những kiểu
nhiệm vụ nào? Để trả lời những câu hỏi trên, chúng tơi sẽ đi sâu nghiên cứu chương trình và
SGK tốn phổ thơng – đó chính là nội dung của chương 2.

20


CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN
CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK PHỔ
THƠNG
Mục tiêu của chương này là tìm các câu trả lời cho câu hỏi Q2: Sự đồng biến thiên của
hai đại lượng được đề cập như thế nào trong SGK Việt Nam? Có những tổ chức tốn học
nào nhấn mạnh sự đồng biến thiên của hai đại lượng? Có sự khác biệt nào so với SGK Mỹ?
Để đạt được mục tiêu trên, chúng tơi tiến hành phân tích SGK hiện hành từ lớp 1 cho đến
lớp 10, chủ yếu là ở các lớp 7, 9, 10. Các kết quả nghiên cứu ở chương 1 sẽ là cơ sở cho
phân tích chương này.

2.1. Ở Việt Nam
2.1.1. Giai đoạn trước năm lớp 7
Trong lịch sử, trước khi xuất hiện khái niệm hàm số thì quan niệm về nó cũng như sự
đồng biến thiên của hai đại lượng đã có mặt từ rất lâu trong nhiều lĩnh vực khác nhau… Vậy
trong chương trình giảng dạy hiện nay thì tiến trình đưa vào khái niệm hàm số như thế nào?
Để trả lời câu hỏi này, chúng tơi tiến hành phân tích các SGK tốn trước năm lớp 7. Ngay từ

chương trình tốn lớp 2, quan niệm về hàm số xuất hiện ngầm ẩn dưới dạng bảng cửu
chương:
2x1=2

3x1=3

…..

2x2=4

3x2=6

…..

2x3=6

3x3=9

…..

2x4=8

3 x 4 = 12

…..

2 x 5 = 10

3 x 5 = 15

…..

2 x 6 = 12

3 x 6 = 18

…..

2 x 7 = 14

3 x 7 = 21

…..

2 x 8 = 16

3 x 8 = 24

…..

2 x 9 = 18

3 x 9 = 27

…..

2 x 10 = 20

3 x 10 = 30

…..

Các thừa số tăng dần từ 1 đến 10 thì tích số tương ứng cũng thay đổi theo. Như vậy mầm
móng về sự đồng biến thiên của hai đại lượng đã xuất hiện từ rất sớm.

21


Sang chương trình lớp 4, SGK có đưa ra cơng thức tính diện tích và chu vi hình chữ nhật,
hình vng, hình thoi và hình bình hành cũng như các hoạt động điền giá trị vào bảng số
nhằm củng cố sự phụ thuộc và sự đồng biến thiên của hai đại lượng.
“Viết giá trị của biểu thức vào ô trống:
m

3

30

23

230

m x 78
[SGK4, tr.70]
Như vậy quan niệm về hàm số xuất hiện trong các SGK toán tiểu học cũng giống như
trong lịch sử: đều xuất phát từ các bảng số, thông qua đó để thấy được sự thay đổi của các
đại lượng.
Đến chương trình lớp 5, quan niệm về hàm số được thể hiện ngày càng rõ nét thơng qua
bài “Ơn tập và bổ sung về giải tốn”:
“Ví dụ: Một người đi bộ trung bình mỗi giờ đi được 4 km. Bảng dưới đây cho biết

quãng đường đi được của người đi bộ trong 1 giờ, 2 giờ, 3 giờ:
Thời gian đi

1 giờ

2 giờ

3 giờ

Quãng đường đi được

4 km

8 km

12 km

[SGK5, tr.18].
“Nhận xét: Khi thời gian gấp lên bao nhiêu lần thì quãng đường đi được cũng gấp
lên bấy nhiêu lần”

[SGK5, tr.18].

Thời điểm này sự đồng biến thiên của hai đại lượng được nhấn mạnh thơng qua nhận xét
trên.
Tóm lại
Những phân tích trên đã chỉ ra rằng, thể chế tiếp cận với các quan niệm về hàm số dựa
trên đặc trưng: sự thay đổi của hai đại lượng. Mầm móng sự đồng biến thiên của hai đại
lượng cũng như quan niệm về hàm số xuất hiện từ rất sớm, rải rác từ lớp 1 đến lớp 6. Tuy
nhiên, một thuật ngữ hay một định nghĩa tường minh về hàm số vẫn hồn tồn vắng bóng.

Có thể nói cách tiếp cận của SGK giống với những gì mà lịch sử đã trải qua.

22


2.1.2. Lớp 7
2.1.2.1 Phần lý thuyết
Khái niệm hàm số chính thức được đưa vào chương trình Tốn 7 khi mà HS được trang
bị những quan niệm về hàm số ở lớp dưới. SGK Tốn 7 dành một chương để nói đến khái
niệm hàm số và những vấn đề liên quan: Chương II - “Hàm số và đồ thị”, bao gồm các nội
dung sau:
§1. Đại lượng tỉ lệ thuận
§2. Một số bài tốn về đại lượng tỉ lệ thuận
§3. Đại lượng tỉ lệ nghịch
§4. Một số bài tốn về đại lượng tỉ lệ nghịch
§5. Hàm số
§6. Mặt phẳng tọa độ
§7. Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥(𝑎 ≠ 0)

Chúng tôi nhận thấy rằng, trước khi dạy bài Hàm số SGK đã dành 7 tiết để dạy về hai đại
lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch. Nội dung của nó nói lên mối tương quan giữa hai đại
lượng: nếu đại lượng này thay đổi thì đại lượng kia cũng thay đổi theo – đó chính là sự đồng
biến thiên của hai đại lượng. Đây là một đặc trưng quan trọng của khái niệm hàm số.
Quan sát mục tiêu của chương:
“Hiểu được công thức đặc trưng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, của hai đại lượng tỉ lệ
nghịch.
Biết vận dụng các cơng thức và tính chất để giải được các bài toán cơ bản về hai
đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Có hiểu biết ban đầu về khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số.
Biết vẽ hệ trục tọa độ, xác định tọa độ của một điểm cho trước và xác định một điểm theo

tọa độ của nó.
Biết vẽ đồ thị của hàm số y = ax.
Biết tìm trên đồ thị giá trị của biến số và hàm số” [SGV7, tr.56]
Chúng tôi nhận thấy rằng mục tiêu hiểu được bản chất của khái niệm hàm số khơng phải
là chính. Vậy mục tiêu chính là gì? Phải chăng đó chính là các kỹ năng tính toán đến những
vấn đề liên quan đến khái niệm hàm số? Để trả lời những câu hỏi này chúng tôi tiến hành
phân tích SGK và SBT Tốn 7.
• Trước khi xuất hiện định nghĩa khái niệm hàm số
23