dạy học bất phương trình bậc nhất và bậc hai ở trung học trong mối quan hệ với phương trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Võ Thanh Phú

DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Ở
TRUNG HỌC TRONG MỐI QUAN HỆ
VỚI PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Võ Thanh Phú

DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Ở
TRUNG HỌC TRONG MỐI QUAN HỆ
VỚI PHƯƠNG TRÌNH
Chuyên ngành: LL&PP dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS.VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


Lời cảm ơn
Đầu tiên, con xin gởi lời tri ân đến Ba, Má đã sinh ra con và nuôi dạy
con khôn lớn, cảm ơn những người thầy, những người cô đã đi qua trong
cuộc đời tôi và truyền thụ cho tôi tri thức để thành người, gởi đến các bạn ở
lớp cao học didactic toán k22 sự quí trọng nhất. Cảm ơn cô Lê Thị Hoài
Châu đã góp ý bản đề cương để tôi có thêm hướng đi trong những ngày đầu
"loe lói" ý tưởng. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn cô Vũ Như Thư Hương,
người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin chúc những người mà tôi đã chịu ơn luôn mạnh khỏe
và hạnh phúc.

VÕ THANH PHÚ


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi làm dưới sự hướng dẫn
của cô Vũ Như Thư Hương, tôi không sao chép lại luận văn của người khác.
Nếu lời cam đoan của tôi không đúng sự thật thì tôi sẽ bị xử lý theo đúng
pháp luật.
Võ Thanh Phú


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................................1
T
4

4T

I. Lý do chọn đề tài .............................................................................................1
T
4

4T

II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu .........................................................................5
T
4

T
4

III. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu ......................................5
T
4

T
4

IV. Cấu trúc luận văn ..........................................................................................6
T
4

4T

Chương 1. QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT

PHƯƠNG TRÌNH .................................................................................7
T
4

T
4

1.1. Một số kết quả về phương trình bậc nhất, bậc hai rút ra từ những nghiên
cứu trước đây ...............................................................................................7
T
4

4T

1.2. Bất phương trình bậc nhất ở lớp 8 .............................................................11
T
4

T
4

1.3. Bất phương trình bậc hai ở lớp 10 .............................................................21
T
4

T
4

Chương 2. THỰC NGHIỆM ..................................................................................50
T

4

T
4

2.1. Giới thiệu thực nghiệm ..............................................................................50
T
4

T
4

2.2. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................50
T
4

T
4

2.2. Phân tích hậu nghiệm.................................................................................58
T
4

T
4

2.4. Kết luận ......................................................................................................66
T
4

4T

PHẦN KẾT LUẬN ...........................................................................................68
T
4

PHỤ LỤC
T
4

4T

4T


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
1

BDT

Bất đẳng thức

2

BPT

Bất phương trình

3

BT

Bài tập

4

BXD

Bảng xét dấu

5

CL

Chiến lược

6

KNV

Kiểu nhiệm vụ

7

KT

Kĩ thuật

8

PT

Phương trình

9

THPT

Trung học phổ thông

10

TXD

Tập xác định

11

VD

Ví dụ

12

VT

Vế trái

13

VP

Vế phải

14

Nxb

Nhà xuất bản


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1: Trích từ tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn
Toán lớp 10 năm 2010.
Bảng 2.1: Bảng tóm tắt kĩ thuật giải phương trình bậc hai.

1
9

Bảng 2.2: Tóm tắt kĩ thuật giải phương trình, bất phương trình bậc nhất ;
phương trình, bất phương trình quy về bậc nhất ở lớp 8.

20

Bảng 2.3: Kết quả giải và biện luận bất phương trình ax + b < 0.

23

Bảng 2.4: Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất.

23

Bảng 2.5: Tam thức bậc hai vô nghiệm (∆ < 0).

25

Bảng 2.6: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x0 = −

b
(∆ = 0) .
2a

25

Bảng 2.7: Tam thức bậc hai có hai nghiệm x 1 và x 2 (x 1 < x 2 ), ∆ > 0.

26

Bảng 2.8: Bảng thống kê bài tập giải BPT bậc hai.

43

R

R

R

R

R

R

R

R

Bảng 2.9: Tập nghiệm của BPT bậc hai trong trường hợp tam thức bậc hai
có nghiệm kép.
Bảng 2.10: Tóm tắt một số kĩ thuật giải giống nhau của phương trình và bất
phương trình

45

48

Bảng 3.1: Kết quả thực nghiệm câu hỏi số 1 - bất phương trình (1.1).

58

Bảng 3.2: Kết quả thực nghiệm câu hỏi số 1 - bất phương trình (1.2).

60

Bảng 3.3: Kết quả thực nghiệm câu hỏi số 1 - bất phương trình (1.3).

64

1

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình môn toán của Việt Nam, cùng với việc mở rộng hệ thống
số là việc giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT) trong từng tập số tương
ứng. Khái niệm PT, BPT được hình thành ngầm ẩn từ cấp tiểu học thông qua các
bài toán “điền vào chỗ trống”, tìm x (trong tập số ℕ).

Bảng 1: Trích từ tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán
lớp 10 năm 2010

Đến cấp trung học cơ sở, trong chương trình lớp 7 có khái niệm về PT ax = b
(trong tập ℚ). Khái niệm PT, BPT được giới thiệu tường minh ở lớp 8 và chúng

được chính xác hóa ở lớp 10. Kể từ khi được giới thiệu tường minh, đối tượng PT,
BPT tiến triển qua các lớp như sau:
Lớp
8
9

10

Kiến thức
•

Khái niệm PT, BPT một ẩn.

•

Giới thiệu PT, BPT bậc nhất một ẩn và cách giải.

•

Phương trình bậc hai một ẩn và cách giải.

•

Chính xác hóa khái niệm PT, BPT.

•

BPT bậc nhất hai ẩn.

•

Giải và biện luận PT ax + b = 0, ax2 + bx + c = 0.
P

P


2

11

12

•

PT lượng giác.

•

PT, BPT đại số tổ hợp.

•

PT, BPT mũ, logarit.

•

Giải PT trong tập số phức.

BPT đóng một vai trò quan trọng trong toán học. Nó là một phần trong nhiều
chủ đề toán học như: đại số, lượng giác, quy hoạch tuyến tính, giải tích
(Chakrabarti&Hamsapriye, 1997; Mahmood & Edwards, 1999). Ví dụ như trong
lĩnh vực giải tích để tìm tập xác định của các hàm số f ( x ) =
g ( x ) = log

x 2 − 2 x + 2 và

x
x
, ta phải tìm tập nghiệm của các BPT x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 và
> 0 . Hơn
x+3
x+3

nữa theo các tài liệu tiêu chuẩn của Mỹ xác định rằng tất cả học sinh từ lớp 9 đến 12

nên học cách trình bày các tình huống có liên quan đến PT, BPT và ma trận
(NCTM 1, 1989). Họ đề xuất thêm rằng học sinh "sẽ hiểu ý nghĩa của các hình thức
0F
P

P

tương đương của các biểu thức, PT, BPT, hệ phương trình và giải chúng một cách
thông thạo" [NCTM, 2000, tr.269]. Với vai trò quan trọng như thế chúng tôi tự hỏi:
PT và BPT được xây dựng và tiến triển ra sao trong việc dạy và học toán ở Việt
Nam theo chương trình hiện hành? Trong mỗi lớp học có những kiểu bài tập nào
gắn liền với khái niệm này?
Một PT là một phát biểu mà duy trì giá trị bằng nhau của hai biểu thức toán
học. Nếu phát biểu này là đúng với tất cả các giá trị của biến thì nó được gọi là một
đồng nhất thức [13]. BPT là một phát biểu sử dụng các ký hiệu < (nhỏ hơn), > (lớn
hơn), ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng), và ≥ (lớn hơn hoặc bằng) thay cho dấu bằng trong hai
biểu thức của PT. Một BPT không cụ thể như một PT, nhưng nó có chứa thông tin
về các biểu thức liên quan. Ngoài ra, BPT còn cung cấp một quan điểm bổ sung cho
PT.

1

National Council of Teachers of Mathematics.


3

Nhìn chung, PT và BPT có vẻ như nhau, chúng giống nhau về nguyên tắc thực
hành chẳng hạn như cộng và trừ bất kỳ một biểu thức, nhân (hoặc chia) các số
nguyên dương. Bên cạnh đó, chúng còn có nhiều điểm khác biệt, chẳng hạn như

trong một PT để chứng minh câu trả lời là đúng, tất cả những gì chúng ta cần làm là
gắn câu trả lời vào sự bằng nhau. Ví dụ (VD) nếu PT là 4x = 8 và câu trả lời là x = 2
thì chúng ta cần chứng minh khi thế số 2 vào để được: 4.2 = 8. Tuy nhiên, trong một
BPT, chúng ta có một loạt các câu trả lời khác nhau. Do đó, để chứng minh câu trả
lời chúng ta cần thế nhiều giá trị. VD nếu BPT x 2 > 9 và câu trả lời là x < -3 hoặc
x > 3 . Để chứng minh điều này chúng ta cần làm nhiều bước. Chẳng hạn như để

kiểm tra số 4 (một số lớn hơn 3): 42 > 9 là câu trả lời đúng, kiểm tra số 1: 12> 9 là
P

P

P

P

câu trả lời sai. Vì vậy, x < -3 hoặc x > 3 là câu trả lời đúng. Từ đây, câu hỏi đặt ra là
trong chương trình toán ở phổ thông của Việt Nam PT và BPT liên hệ với nhau như
thế nào?
Mặt khác, từ thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy khi gặp bài toán giải các
BPT:
1) m2 – 4 > 0
P

P

2) x2 – 2x + 3 > 0
P

P

Một số học sinh làm như sau:
1) m2 – 4 > 0
P

P

Phải chăng đây là do học sinh quan niệm dấu “>” và dấu “=” chỉ khác nhau về
mặt hình thức. Do đó, học sinh vận dụng cách giải PT m2 – 4 = 0 ⇔ m2 = 4 ⇔
P

= ± 2 vào cho BPT trên.

P

P

P

m


4

2) x2 – 2x + 3 > 0
P

P

Chúng tôi tự hỏi liệu sai lầm trên của học sinh có liên quan gì đến bài toán

0 , ∆’ = -2 nên PT vô nghiệm?
x2 − 2x + 3 =
Đâu là nguyên nhân của những sai lầm trên? Ngoài những sai lầm đó học sinh
còn có những sai lầm nào khác liên quan đến bài tập giải BPT?
Trong lịch sử, để giải các BPT thông thường ở các bước đầu tiên (trong
nhiều trường hợp nó là bước chính) là việc giải một PT, ví dụ như để giải BPT a(x)
< b(x) chúng ta phải giải các PT a(x) = b(x). Sau đó, một cách hình thức ta sẽ thay
dấu “=” thành dấu “<” thì ta sẽ thu được kết quả cho BPT đưa ra. Ngoài ra, các
công trình nghiên cứu của P.Tsamir & L.Bazzini (2002) đã chỉ ra học sinh Isreal
gặp phải sai lầm khi giải BPT chứa ẩn ở mẫu, sai lầm cũng được Mehmet Üreyen,
Nevin Mahir, Nezahat Çetin (2005) chỉ ra khi thực hiện nghiên cứu trên học sinh
Thổ Nhĩ Kỳ.
Qua những phân tích trên chúng tôi thấy một nghiên cứu đầy đủ về việc dạy
và học PT, BPT là thật sự cần thiết. Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp nên chúng tôi
chỉ giới hạn đối tượng nghiên cứu của mình là: PT, BPT bậc nhất ở lớp 8 và lớp 10;
PT, BPT bậc hai ở lớp 9 và 10, các đối tượng PT và BPT mà chúng tôi nghiên cứu
chỉ có một ẩn.
Vì những lí do trên nên chúng tôi chọn “dạy học bất phương trình bậc nhất
và bậc hai ở trung học trong mối quan hệ với phương trình” làm tên đề tài nghiên
cứu của mình.


5

II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán. Cụ thể là
thuyết nhân học bởi vì thuyết nhân học cho chúng tôi công cụ để phân tích chương
trình và sách giáo khoa. Từ phân tích đó chúng tôi sẽ chỉ ra những sai lầm có thể tồn
tại nơi học sinh. Trên cơ sở phạm vi lý thuyết lựa chọn, chúng tôi đặt lại câu hỏi

nghiên cứu như sau:
Q1. Mối quan hệ thể chế với đối tượng phương trình và bất phương trình được
xây dựng và tiến triển ra sao ở các lớp 8, 9, 10? Đặc trưng của những tổ chức toán
học gắn liền với các đối tượng này?
Q2. Đối tượng bất phương trình đã được xây dựng như thế nào trong mối quan
hệ với đối tượng phương trình, cụ thể là bất phương trình bậc nhất, bất phương trình
bậc hai trong mối quan hệ với phương trình bậc nhất, bậc hai?
Q3. Có những sai lầm nào về việc giải bất phương trình có thể tìm thấy nơi học
sinh khi chuyển từ đối tượng phương trình sang đối tượng bất phương trình? Có
những quy tắc hành động nào tồn tại nơi học sinh liên quan đến hai đối tượng đó?
III. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
Đi tìm lời giải đáp cho những câu hỏi trên là mục tiêu nghiên cứu của luận văn
này. Để hiện thực hóa mục tiêu đó chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như
sau:
• Phân tích bộ sách 2 Toán 8, 9, đại số 10 (nâng cao và cơ bản) đồng thời tổng
1F
P

P

hợp những kết quả đạt được từ các luận văn nghiên cứu về PT trước đây
cùng các bài báo của các tác giả nước ngoài nghiên cứu về BPT bậc nhất và
bậc hai để tìm cách trả lời cho câu hỏi Q1 và Q2.
• Phân tích sách giáo viên toán 10 và tổng hợp các bài báo chuyên môn để dự
đoán những sai lầm của học sinh gắn liền với đối tượng BPT và cố gắng giải
thích những sai lầm này theo quan điểm của thuyết nhân học. Sau đó tiến

2

Sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập.

6

hành một thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết đưa ra. Thực hiện
những phương pháp này là tìm cách trả lời cho câu hỏi Q3.
IV. Cấu trúc luận văn
Luận văn được chia làm các phần
-

Phần mở đầu.

-

Chương 1: Quan hệ thể chế với đối tượng phương trình, bất phương trình.

-

Chương 2: Thực nghiệm.

-

Phần kết luận.


7

Chương 1. QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Theo chương trình giáo dục trung học môn Toán của Việt Nam. PT, BPT bậc

nhất, bậc hai được giảng dạy qua các lớp như sau:
PT bậc nhất
BPT bậc nhất

Lớp 8, 10

PT bậc hai

Lớp 9, 10

BPT bậc hai

Lớp 10

Để trả lời ba câu hỏi đã đặt ra ở phần mở đầu chúng tôi tiến hành phân tích
chương trình và sách giáo khoa Việt Nam hiện hành qua các lớp 8, 9, 10. Ở lớp 9
học sinh không học BPT mà chỉ học về PT bậc hai nên phần phân tích SGK lớp 9 sẽ
được chúng tôi lồng vào phần phân tích SGK lớp 10. Trước đây đã có một số luận
văn thạc sĩ nghiên cứu về đối tượng PT bậc nhất, bậc hai nên chúng tôi sẽ kế thừa
những kết quả đạt được từ những luận văn này và phần phân tích của chúng tôi chỉ
tập trung vào đối tượng BPT bậc nhất và bậc hai. Đối tượng PT, BPT mà chúng tôi
đề cập trong luận văn này chỉ có một ẩn.

1.1. Một số kết quả về phương trình bậc nhất, bậc hai rút ra từ những
nghiên cứu trước đây
Liên quan đến đối tượng PT bậc nhất, PT bậc hai chúng tôi tìm thấy ba luận
văn thạc sĩ sau đây:
• Phạm Hải Dương (2011), một nghiên cứu didactic về phương trình bậc hai
chứa tham số ở lớp 9, 10, luận văn thạc sĩ, đại học sư phạm Tp.Hồ Chí Minh.
• Lê Thanh Hải (2009), Tiếp cận khái niệm phương trình và phép biến đổi

phương trình bậc nhất một ẩn ở trường phổ thông, luận văn thạc sĩ, đại học sư
phạm Tp.Hồ Chí Minh.
• Nguyễn Thị Thanh Thanh (2007), Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong
dạy học giải phương trình bậc hai, luận văn thạc sĩ, đại học sư phạm Tp. Hồ
Chí Minh.


8

Chúng tôi sẽ kế thừa phần phân tích SGK và những kết quả mà ba luận văn
trên đạt được về đối tượng PT bậc nhất, PT bậc hai làm cơ sở tham chiếu cho phần
phân tích của chúng tôi về đối tượng BPT bậc nhất, bậc hai.
 Lớp 8 (chủ yếu là khái niệm PT và PT bậc nhất)
Tác giả Lê Thanh Hải khi phân tích sách Toán 8 tập hai hiện hành đã đưa ra
một số kết luận sau đây:
• Khái niệm PT không được xây dựng một cách hoàn chỉnh mà chỉ được giới
thiệu thông qua một ví dụ cụ thể. Từ đó PT được mô tả là một sự thiết lập
điều kiện bằng nhau giữa hai biểu thức của cùng một biến và có tên gọi
tường minh, chưa có định nghĩa PT.
• Khái niệm hai PT tương đương đã được định nghĩa và sử dụng kí hiệu " ⇔ "
• Thể chế ưu tiên tuyệt đối kĩ thuật giải PT bậc nhất bằng hai quy tắc: Quy tắc
chuyển vế và quy tắc nhân với một số hoặc công thức nghiệm của PT bậc
nhất: "Nếu PT có dạng ax + =
b 0, ( a ≠ 0 ) thì luôn có môt nghiệm duy nhất

b
x = − ".
a
 Lớp 9 (chủ yếu PT bậc hai)
 Theo tác giả Nguyễn Thị Thanh Thanh thì chương trình lớp 9 hiện hành cung

cấp hầu như trọn vẹn mọi điều về lý thuyết cũng như kĩ thuật giải PT bậc hai một
ẩn. Điều đáng lưu ý là PT bậc hai khuyết b và khuyết c được cung cấp một kĩ
thuật giải.
Các kĩ thuật giải PT bậc hai xuất hiện trong chương trình hiện hành được tóm
tắt thành bảng 2.1


9

Bảng 2.1: Bảng tóm tắt kĩ thuật giải phương trình bậc hai

τ PT 21

Gồm hai giai đoạn liên tiếp: đặt nhân tử chung để đưa PT đã cho về dạng
P(x)×Q(x) = 0, rồi giải PT tích này.

τ PT 2 2

Dựa trên quy tắc: “a² = k ⇔ a =

k hoặc a = – k ” (k là số thực dương).

Gồm hai giai đoạn liên tiếp: thêm một số hạng hay một nhân tử để làm xuất

τ PT 2 3

hiện một hằng đẳng thức mà vẫn bảo toàn đẳng thức, sử dụng hằng đẳng
thức đáng nhớ đưa PT đã cho về dạng P2(x) = k, sau đó giải PT theo quy
P

tắc “a² = k ⇔ a =

τ PT 2 4

P

k hoặc a = – k ” (k là số thực dương).

Sử dụng công thức nghiệm ∆
=
x1

−b − ∆
−b + ∆
.
=
; x2
2a
2a

Gồm hai giai đoạn liên tiếp: kiểm tra và rút gọn biểu thức rồi sử dụng công

τ PT 2 5

thức nghiệm thu gọn ∆'

=
x1

τ PT 2 6 Nhẩm nghiệm.

−b '− ∆ '
−b '+ ∆ '
.
=
; x2
a
a

τ PT 2 7 Sử dụng đồ thị.
τ PT 2 8 Sử dụng máy tính bỏ túi (MTBT).
KT τ PT 2 8 xuất hiện ở bài đọc thêm nên MTBT chỉ là công cụ hỗ trợ tính toán
và chưa phải là kĩ thuật được cho phép chính thức để giải PT chuẩn tắc.
 Tác giả Phạm Hải Dương thì cho rằng: "chương trình chỉ chỉ tập trung cho việc
giải các bài toán phương trình bậc hai với hệ số thuần số không có xuất hiện
dạng chứa tham số, đồng thời cũng không thấy đưa ra cách giải thể hiện sự
tương giao của các đồ thị".


10

Lớp 10



Cơ bản

Nâng cao
Theo tác giả Phạm Hải Dương:

•

Đưa ra phương pháp giải và biện • Mục tiêu chủ yếu là giải và biện luận PT

luận PT dạng ax + b = 0 nhưng không dạng ax + b = 0 và ax 2 + bx + c =
0 , cả hai
cho ví dụ minh họa mà chỉ có một PT này sách giáo khoa đều đưa ra thuật
hoạt động tự giải;
•

toán để giải và biện luận chúng. PT ax + b

Bài tập chỉ đưa ra các PT bậc hai = 0 có một ví dụ minh họa. PT

thuần số, các PT quy về bậc nhất, bậc

ax 2 + bx + c =
0 có hai hoạt động và hai ví

hai giải và biện luận PT dạng dụ: một giải theo thuật toán ; một sử dụng
ax+b=0.
kĩ thuật đồ thị.
Tác giả Nguyễn Thị Thanh Thanh đã chỉ ra:
• Không xuất hiện KNV giải và

biện luận PT bằng đồ thị;
•

Kĩ thuật τ PT 2 8 được cho phép

sử dụng khi giải PT bậc hai;
•

Kĩ thuật τ PT 2 4 được sử dụng

chủ yếu để giải và biện luận PT có
chứa tham số ở dạng đơn giản.

• PT bậc hai xuất hiện chủ yếu với vai

trò công cụ hỗ trợ giải quyết các vấn đề
khác.
• Đối với dạng toán giải và biện luận

PT chứa tham số, ngoài kĩ thuật τ PT 2 4 còn
xuất hiện kĩ thuật τ PT 2 7 . Tuy nhiên, việc
sử dụng kĩ thuật này cũng chỉ dừng ở mức
độ xác định số nghiệm của PT, không cần
cho ra giá trị của nghiệm. Hơn nữa, đối với
dạng toán sử dụng τ PT 2 7 , yêu cầu bài toán
thể hiện kĩ thuật ngay trong đề bài;
• Kĩ thuật τ PT 2 8 được đưa vào trong

bài đọc thêm để giải quyết TPT 2 4 nhưng nó
cũng chỉ dừng lại ở mức độ hỗ trợ cho

τ PT 2 4 .


11

Trong ba luận văn trên, các tác giả đã chỉ ra những kĩ thuật mà thể chế ưu tiên
khi giải quyết các KNV liên quan đến giải PT bậc nhất, PT bậc nhất có tham số, PT
bậc hai. Vậy đối với BPT những kĩ thuật nào sẽ được thể chế mong đợi và những kĩ
thuật đó có gì giống và khác với PT? Những sai lầm nào có thể tìm thấy ở học sinh
khi giải quyết KNV liên quan đến giải BPT?. Chúng tôi sẽ cố gắng trả lời các câu
hỏi này bằng việc phân tích chương trình và SGK hiện hành. Trước khi tiến hành
phân tích, chúng tôi đưa ra một số qui ước sau đây:
M8.2: SGK Toán 8 tập 2
G8.2: Sách giáo viên Toán 8 tập 2
E8.2: Sách bài tập Toán 8 tập 2
M9.2: SGK Toán 9 tập 2
G9.2: Sách giáo viên Toán 9 tập 2
E9.2: Sách bài tập Toán 9 tập 2
M10.1: SGK đại số 10 nâng cao
G10.1: Sách giáo viên đại số 10 nâng cao
E10.1: Sách bài tập đại số 10 nâng cao
M10.2: SGK đại số 10
G10.2: Sách giáo viên đại số 10
E10.2: Sách bài tập đại số 10
M11: Sách giáo khoa môn Toán lớp 11 của Nam Phi

1.2. Bất phương trình bậc nhất ở lớp 8
1.2.1. Phân tích chương trình

Kiến thức về BPT bậc nhất một ẩn được đặt trong chương IV. Bất Phương
Trình Bậc Nhất Một Ẩn
Nội dung chương này bao gồm các bài
§1. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
§2. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

§3. Bất phương trình một ẩn
§4. Bất phương trình bậc nhất một ẩn
§5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối


12
"Chương này có trọng tâm là hình thành kĩ năng giải BPT bậc nhất và các BPT quy về
bậc nhất nhờ hai quy tắc: Quy tắc chuyển vế (chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của
một BPT và đổi dấu hạng tử đó) và quy tắc nhân (nhân cả hai vế của BPT với cùng một số
khác 0 và giữ nguyên chiều BPT nếu số đó dương hoặc đổi chiều BPT nếu số đó âm)"
[G8.2, tr.41].

Trong chương trình Toán lớp 8, phần đại số học kỳ 2 học sinh được học tường
minh về PT, BPT một ẩn; PT, BPT bậc nhất một ẩn. Theo đó với PT thì yêu cầu
được đặt ra là:
"Có kĩ năng giải và trình bày lời giải các PT có dạng quy định trong chương trình
(phương trình bậc nhất, phương trình quy về bậc nhất, phương trình tích, phương trình
chứa ẩn ở mẫu)"
[G8.2, tr.3].

Đối với BPT học sinh được yêu cầu:
"Giải được BPT bậc nhất một ẩn; giải được một số BPT một ẩn dạng khác nhờ vận
dụng đơn giản hai quy tắc biến đổi BPT"
[G8.2, tr.41].

Do có nét tương tự giữa cách trình bày về PT và BPT nên chúng tôi tự hỏi
rằng: khái niệm BPT, BPT bậc nhất trong chương trình lớp 8 được tiếp cận như thế
nào? Các quy tắc để giải BPT bậc nhất và BPT quy về BPT bậc nhất có điểm nào
giống và khác với các quy tắc để giải PT bậc nhất, PT quy về PT bậc nhất? Để làm
sáng tỏ điều này, chúng tôi tiến hành phân tích bộ SGK Toán 8 tập hai hiện hành.

Phần phân tích của chúng tôi sẽ tập trung vào BPT, BPT bậc nhất, BPT quy về bậc
nhất. Tuy nhiên, trong quá trình phân tích chúng tôi sẽ tham chiếu đến phần PT
tương ứng.
1.2.2. Phân tích sách giáo khoa
Phần lý thuyết

 Bất phương trình một ẩn
Học sinh được tiếp cận khái niệm BPT một ẩn thông qua ví dụ mở đầu bằng
một bài toán có nội dung thực tế:


13
"Bạn Nam có 25 000 đồng. Nam muốn mua một cái bút giá 4000 đồng và một quyển
vở loại 2200 đồng một quyển. Tính số quyển vở bạn Nam có thể mua được.
Trong bài toán trên nếu kí hiệu số quyển vở bạn Nam có thể mua là x, thì x phải thỏa
mãn hệ thức 2200x + 4000 ≤ 25 000. Khi đó người ta nói hệ thức
2200x + 4000 ≤ 25 000
là một bất phương trình ẩn x"
[M8.2, tr41].

Cách tiếp cận này được sách giáo viên giải thích:
"Mục đích của SGK giới thiệu BPT một ẩn thông qua phần mở đầu và chỉ mô tả thuật
ngữ chứ không đưa ra định nghĩa. Điều chủ yếu là để học sinh hiểu biết về BPT thông qua
khái niệm về nghiệm và tập nghiệm của BPT"
[G8.2, tr49].

Hơn nữa chúng tôi thấy chỉ có một dạng BPT với dấu “≤” được giới thiệu,
M8.2 hoàn toàn không có giới thiệu gì về các BPT với dấu “<, >, ≥”.

Thông qua bài toán có nội dung thực tế là cơ hội tốt để giúp học sinh hiểu

nghĩa của BPT nhưng SGK lại đưa ra sẵn lời giải, không có một hoạt động nào giúp
cho học sinh hiểu điều đó mà chỉ tập trung vào kết quả.
Với cách trình bày như trên thì học sinh sẽ không thiết lập được bất kỳ sự khác
biệt về nghĩa giữa khái niệm hai khái niệm PT và BPT. Nghĩa là, sự khác biệt chỉ
đơn thuần là kí hiệu được viết giữa các hạng tử của mối quan hệ: kí hiệu “=” trong
một PT, và một trong những kí hiệu “<”, “>”, ”≤” hoặc ”≥”. Các dấu bất đẳng thức
không có giá trị ngữ nghĩa khi chúng được sử dụng, đơn giản chỉ là một mối quan
hệ giữa hai hạng tử của một BPT.
"… người ta nói hệ thức 2200x + 4000 ≤ 25 000 là một BPT với ẩn là x. Trong bất
phương trình này, ta gọi 2200x + 4000 là vế trái và 25 000 là vế phải"
[M8.2, tr.41].

Cũng như PT, khái niệm BPT được tiếp cận theo khía cạnh hình thức, nghĩa là
được giới thiệu và hỏi về các vế của BPT. Các vế ở đây được xem như là các biểu


14

thức 3 của cùng một biến x.
F
2
P

P

 Bất phương trình bậc nhất một ẩn
•

Định nghĩa

Mở đầu M8.2 giới thiệu ngay định nghĩa:
"Bất phương trình dạng ax + b < 0 ( ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 ) trong đó a và b là
hai số đã cho, a ≠ 0 , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn"
[M8.2, tr.43].

Với cách trình bày của M8.2, thêm vào đó G8.2 đề xuất “giáo viên yêu cầu
học sinh thử định nghĩa (giáo viên có thể gợi ý: tương tự định nghĩa PT bậc nhất
một ẩn)” cho thấy một sự “tầm thường” của định nghĩa BPT bậc nhất, nghĩa là BPT
bậc nhất được định nghĩa hoàn toàn tương tự như PT bậc nhất, nó được xác định
qua dấu hiệu có tính hình thức mà ở đó ta chỉ việc thay dấu “=” trong PT bậc nhất
thành dấu “<” (hoặc dấu “>, ≤, ≥) thì ta có định nghĩa BPT bậc nhất.
• Hai quy tắc biến đổi bất phương trình
Tương tự như PT, M8.2 giới thiệu hai quy tắc - chính là công nghệ để giải
thích cho các kĩ thuật giải BPT.
Quy tắc chuyển vế (QT1)
"Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu
hạng tử đó"
[M8.2, tr.44].

3

Những biểu thức mà trong đó ngoài các số, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa,
còn có các chữ (đại diện cho số). Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số [G7.2 tr.25].
Biểu thức toán học (gọi tắt là biểu thức) được hiểu là một cách kí hiệu chỉ rõ các phép toán và thứ tự thực
hiện các phép toán đó trên các số và các chữ thay số (thuộc một trường nào đó) [Bùi Văn Nghị, 2008].


15

Quy tắc nhân với một số (QT2)
"Khi nhân hai vế của bất phương trình với một số khác 0, ta phải:
•

Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương ;

•

Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm"
[M8.2, tr.44].

Hai quy tắc của PT và BPT được lưu ý thông qua bài tập 55
"Hai quy tắc biến đổi tương đương của BPT cũng giống như hai quy tắc biến đổi
tương đương của PT. Điều đó có đúng không?"
[E8.2, tr.47].

Có thể nói quy tắc chuyển vế PT, được chuyển tương tự thành quy tắc chuyển
vế của BPT. Nhưng quy tắc nhân hai vế của PT với cùng một số khác 0 thì không
thể chuyển tương tự thành quy tắc nhân hai vế của BPT với cùng một số khác 0.
Đối với BPT khi nhân ta phải phân biệt là nhân với số âm hay số dương. Ngoài ra,
G8.2 còn nhấn mạnh:
"Giáo viên lưu ý học sinh về sự khác biệt với quy tắc biến đổi PT (nhân với số âm)
và không phát biểu quy tắc chia"
[E8.2, tr.58].

Như vậy các khái niệm BPT, BPT bậc nhất được tiếp cận hoàn toàn tương tự
như khái niệm PT, PT bậc nhất, chỉ có cách trình bày bằng đại số, trong đó chỉ cần
thay dấu “=” trong PT thành dấu “<, >, ≥ hoặc ≤” thì có khái niệm BPT. Như đã
chỉ ra ở chương 1 với cách tiếp cận này học sinh hoàn toàn không nắm được nghĩa

của BPT mặc dù về hình thức nó thuận lợi cho người dạy khi chuyển từ PT sang
BPT nhưng nó sẽ gây trở ngại cho người học lần đầu tiên tiếp cận khái niệm BPT.
Hai quy tắc của PT được phân biệt với hai quy tắc của BPT qua một bài tập. Ngoài
ra, G8.2 còn yêu cầu giáo viên lưu ý học sinh về quy tắc nhân với số âm của BPT.

 Phân tích các tổ chức toán học
Trong phần này chúng tôi sẽ phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối
tượng BPT bậc nhất, BPT quy về BPT bậc nhất. Bên cạnh đó chúng tôi cũng phân
tích các kĩ thuật giải PT bậc nhất, PT quy về PT bậc nhất để làm cơ sở tham chiếu.


16

Trong quá trình phân tích chúng tôi chỉ chọn BPT với dấu “<” làm đại diện, những
BPT với dấu “>, ≤, ≥” nếu chúng tôi không giải thích gì thêm thì xem như thực

hiện tương tự BPT với dấu “<”.

Kiểu nhiệm vụ thứ nhất: T1. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
VD1. Giải bất phương trình 2x – 3 < 0.
Giải
Ta có 2x – 3 < 0
⟺ 2x < 3 (chuyển -3 sang VP và đổi dấu)
⟺ 2x: 2 < 3: 2 (Chia hai vế cho 2)
⟺ x < 1,5.

Vậy tập nghiệm của BPT là {x| x < 1,5}
VD2. Giải bất phương trình 3x + 5 < 5x – 7.
Giải:
Ta có 3x + 5 < 5x – 7.

⟺ 3x – 5x < - 5 – 7
⟺ - 2x < - 12

⟺ - 2x : (-2) > - 12: (-2)
⟺ x > 6.

Vậy nghiệm của BPT là x > 6.
[M8.2, tr.45, 46].

Qua hai ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ
giải thích cho kĩ thuật đó như sau:
KT τ1.1:
- Chuyển tất cả các số hạng có chứa x về vế trái, chuyển các số hạng còn lại sang
vế phải bằng cách sử dụng QT1.
- Rút gọn hệ số của x ở vế trái.
- Tìm x bằng cách chia hai vế cho hệ số của x theo QT2.
Để giải thích cho KT τ1.1 sách giáo viên có nêu:
"Điều chủ yếu của kĩ thuật giải BPT bậc nhất một ẩn là phối hợp hai quy tắc biến
đổi BPT vào việc giải BPT bậc nhất đầy đủ với a ≠ 1 …"
[G8.2, tr53].


17

Như vậy công nghệ để giải thích cho KT τ1.1 là
CN θ1.1: Qui tắc QT1, QT2, quy tắc cộng các số và các biểu thức.
Về PT bậc nhất một ẩn, sách giáo viên có nêu:
"Nói “chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia” cũng có
nghĩa là có thể chuyển các hạng tử chứa ẩn sang vế trái, các hằng số sang vế phải hoặc
ngược lại, tùy theo đặc điểm của PT. Điều này vừa giáo dục tính linh hoạt trong việc vận

dụng kiến thức đã học, vừa tránh nhầm lẫn trong việc giải PT, nhất là BPT sau này"
[G8.2, tr.11].

việc “nhầm lần” mà G8.2 đề cập ở đây mặc dù không được nêu rõ là gì nhưng thông
qua lời giải của ví dụ 6 trong M8.2 tr.46 tác giả đã lộ rõ ý đồ là chuyển các hạng tử
chứa x sang một vế sao cho sau khi rút gọn thì được hệ số của x là số dương, tránh
sai lầm khi chia hai vế của BPT cho số âm mà không đổi chiều BPT. Tuy nhiên,
quan sát lời giải của VD2 chúng tôi thấy "sai lầm" đó không được quan tâm. Nếu
theo những gì mà G8.2 đã nêu khi học phần PT thì VD7 phải được giải như sau:
Ta có 3x + 5 < 5x – 7.
⟺ 5 + 7 < 5x – 3x
⟺12 < 2x
⟺ 6 < x.

Đối với BPT dạng

ax + b cx + d
<
(α hoặc β ≠ 1) chúng tôi thấy trong M8.2 có
α
β

2 bài (gồm có 8 câu nhỏ), trong E8.2 có 6 bài tập (gồm có 14 câu nhỏ) nhưng không
có bài nào được giải mà chỉ đưa ra đáp số. Phải chăng sách giáo khoa đã huy động
kĩ thuật giải PT loại này cho BPT? Để tìm câu trả lời chúng tôi đi tìm hiểu kĩ thuật
giải quyết KNV giải PT dạng

ax + b cx + d
=
được chúng tôi mã hóa là TPT 11.4 .

α
β

TPT 11.4 : Giải các PT mà hai vế của chúng là hai biểu thức hữu tỉ của ẩn,

không chứa ẩn ở mẫu và có thể đưa về dạng ax + b = 0 hoặc ax = - b (dạng
ax + b

α

=

cx + d

β

với α.β ≠ 0, α hoặc β ≠ 1).


18

VD3. Giải phương trình

5x − 2
5x − 3
+ x =1 +
.
3
2

Phương pháp giải:
- Quy đồng mẫu hai vế:

2 (5x − 2) + 6x
6

=

6 + 3 ( 5 − 3x )
6

.

- Nhân hai vế với 6 để khử mẫu: 10x – 4 + 6x = 6 + 15 – 9x.
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia:
10x + 6x + 9x = 6 + 15 + 4.
Thu gọn và giải PT nhận được: 25x = 25 ⇔ x = 1
[M8.2, tr.11].

Đối với KNV này M8.2 trình bày rất chi tiết lời giải thông qua ví dụ trích dẫn
ở trên. Sau đó trong G8.2 còn đưa ra kĩ thuật giải như sau:
"Bước 1: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc 4 hoặc quy đồng để khử mẫu ;
F
3
P

P

Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, còn các hằng số sang vế kia ;
Bước 3: Giải phương trình nhận được”

[G8.2 tr.13].

Ngoài ra G8.2, tr.11 còn đưa ra thêm cách giải cho VD7
5x − 2
5x − 3
5
2
5 3
+ x =1 +
⇔ x − + x =1 + − x
3
2
3
3
2 2
5
3
5 2
⇔ x + x + x =1 + +
3
2
2 3
3
5 2
5
⇔  +1+  x = 1+ +
2
2 3
3

⇔

25
25
25 25
x=
⇔ x=
: ⇔ x = 1.
6
6
6 6

Sách giáo viên bàn luận so với cách giải trước:

4

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “-“ đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu “+”
thành dấu “-“ và dấu “-“ thành dấu “+”.
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì dấu các số hạng có trong ngoặc vẫn giữ nguyên
[M6.1 tr.84].