đường tròn trong dạy học toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thi Thơ

ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thi Thơ

ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những trích
dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thị Nga, Người đã tận
tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Cô luôn luôn động
viên, gợi mở cho tôi những hướng đi đúng đắn và bổ ích.
Qua đây, tôi cũng xin cảm ơn các Thầy Cô chuyên ngành Phương pháp
Toán trường ĐHSP Tp.HCM đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ những tri thức quý
báu cho chúng tôi về didactic Toán sinh động, cụ thể và đầy ý nghĩa.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt
nhất cho chúng tôi.
Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến:
Ban Giám hiệu, các thầy cô và các e m học sinh trường THPT Trần Đại
Nghĩa - Tp.HCM, THPT Vĩnh Bình - Tiền Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ
tôi tiến hành thực nghiệm.
Các bạn và các anh chị cao học khóa 23 chuyên ngành Lý luận và Phương
pháp dạy học Toán vì những động viên và góp ý chân tình.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tôi vì những lời động viên ,
giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt khóa học.
Trần Thi Thơ


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Trang

Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các từ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
Chương 1. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG MỘT SỐ GIÁO TRÌNH
ĐẠI HỌC VÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................ 6
1.1. Siêu cầu trong không gian Ơclit ........................................................................... 6
1.1.1. Khái niệm siêu cầu ......................................................................................... 6
1.1.2. Phương trình siêu cầu trong không gian Ơclit ............................................... 7
1.1.3.Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến siêu cầu ...................................................... 8
1.2. Phương trình biểu diễn của đường tròn trong mặt phẳng ..................................... 9
1.3. Đường tròn theo tiếp cận “góc định hướng”....................................................... 11
1.4. Kết luận chương 1............................................................................................... 13
Chương 2. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở
TRƯỜNG PHỔ THÔNG ........................................................................ 15
2.1. Đường tròn trong SGK Toán lớp 5......................................................................... 15
2.2. Đường tròn trong SGK Toán lớp 6......................................................................... 19
2.3. Đường tròn trong SGK Toán lớp 9......................................................................... 22
2.3.1. Phân tích SGK Toán 9 ..................................................................................... 22
2.3.2. Các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến đường tròn trong SGKToán 9 ..... 27
2.4. Đường tròn trong SGK Hình học lớp 10 ................................................................ 37
2.4.1. Phân tích SGK Hình Học 10 ............................................................................ 37
2.4.2. Các tổ chức toán học liên quan đường tròn trong Hình học 10 ....................... 39
2.5. Đường tròn trong lượng giác lớp 10 và vật lý lớp 10............................................. 44

2.5.1. Đường tròn trong lượng giác lớp 10 ................................................................ 44


2.5.2. Đường tròn trong Vật lý 10. ............................................................................ 47
2.6. Kết luận chương 2 .................................................................................................. 48
Chương 3. THỰC NGHIỆM ...................................................................................... 51
3.1. Mục tiêu của chương .............................................................................................. 51
3.2.Đối tượng thực nghiệm và hình thức thực nghiệm.................................................. 51
3.3.Nội dung thực nghiệm ............................................................................................. 52
3.3.1. Thực nghiệm 1 ............................................................................................. 52
3.3.2. Thực nghiệm 2 ............................................................................................. 62
3.4.Kết luận chương 3 ................................................................................................... 85
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤLỤC


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
HH

:

Hình học

HS

:

Học sinh

KNV

:

Kiểu nhiệm vụ

Nxb

:

Nhà xuất bản

SGK

:

Sách giáo khoa

SGV

:

Sách giáo viên

TH

:

Tiểu học

THCS

:

Trung học cơ sở

THPT

:

Trung học phổ thông

tr

:

trang


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong giáo trình Hình học cao cấp ................... 8
Bảng 2.1. Bảng thống kê các KNV liên quan đến đường tròn trong SGK Toán 9 ...... 35
Bảng 2.2. Bảng thống kê các KNV liên quan đến đường tròn trong lớp10 ................. 44
Bảng 3.1. Thống kê các câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1 ................................. 57
Bảng 3.2. Thống kê các điểm số mà học sinh cho điểm trong câu hỏi 2 ..................... 59
Bảng 3.3. Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 1 ......................... 77
Bảng 3.4. Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 2 ......................... 79
Bảng 3.5. Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 3 ......................... 82

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Đường tròn là một đối tượng quen thuộc, chúng ta có thể nhìn thấy chúng trong các
khối vật chất và đồ dùng hay hình vẽ. Dường như trong cuộc sống, nó được xem như
là hình hoàn mỹ được ưu chuộng trong công việc thiết kế hay xây dựng.
Theo Artigue (1982), gắn liền với khái niệm đường tròn, chúng ta tìm thấy định
nghĩa sau trong hầu hết các SGK:
(1)

Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng
cách O một khoảng R.

Tuy nhiên, có nhiều cách khác để định nghĩa đường tròn, chẳng hạn như các định nghĩa sau:
(2)

Đường tròn là một đường cong khép kín có độ cong không đổi.

(3)

Đường tròn là một đường cong đạt vô hạn trục đối xứng.

(4)

Đường tròn là một đường cong khép kín chứa diện tích lớn nhất đối với mỗi độ
dài cho trước.

(5)

Đường tròn là tập hợp những điểm M sao cho tỷ số AM/BM của các khoảng cách
từ nó đến 2 điểm cố định A, B là không đổi.

(6)

Một đường chuyển động được đặt sao cho 2 điểm A, B của nó cố định, một điểm
C nào đó của đường này mô tả 1 đường tròn.

Định nghĩa (4) và (5) được trích từ (Halbwachs, 81). Định nghĩa (6) là do Leibnitz đề
xuất và định nghĩa đường tròn bằng cách chuyển qua không gian:
“Dây” không giãn ACB quay xung quanh trục AB: khi đó, điểm C mô tả một đường
tròn.

[18, tr.45-46]
Cũng theo Artigue (1982), tất cả các định nghĩa này đều tương đương về mặt
logic: “chúng xác định cùng một đối tượng toán học và chúng ta có thể chứng minh định
nghĩa này có thể kéo theo định nghĩa khác. Tuy nhiên, các định nghĩa này gắn liền với những


2

quan niệm khác nhau về đường tròn: chúng tương ứng với những cách thức khác nhau để xem
xét đường tròn, sử dụng các tính chất của nó và chúng nhấn mạnh trên những yếu tố hình
học, mối liên hệ giữa các yếu tố khác nhau.
Ví dụ, ở định nghĩa (1), (5), (6): đường tròn hiện diện như tập hợp các điểm, ở định nghĩa (2),
(3), (4): nó được đề cập trước tiên như một đường cong. Định nghĩa (6) khác biệt với tất cả
các định nghĩa trước bởi đặc trưng động của nó. Đường tròn xuất hiện gắn với chuyển động.
Trong tất cả các định nghĩa khác, nó xuất hiện như một đối tượng tĩnh ” [18, tr.45-46].

Ở Việt Nam, đường tròn là khái niệm được SGK chọn lọc trình bày từ cấp tiểu

học đến trung học. Ở tiểu học, HS làm quen với chúng thông qua việc nhận dạng, vẽ
hình hay tính toán về chu vi và diện tích nhưng khái niệm hình tròn và đường tròn
chưa được phân biệt rõ. Đến lớp 6, đường tròn được định nghĩa theo cách trực quan
thông qua hình vẽ:
“Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm tất cả các điểm cách O một khoảng
R, kí hiệu (O;R)”.

Như vậy, định nghĩa đầu tiên về đường tròn trong SGK được trình bày theo tiếp
cận “khoảng cách”. Ngoài cách tiếp cận đường tròn như trên liệu còn có những cách
tiếp cận nào trong SGK Việt Nam?
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau trong thể chế dạy học ở
Việt Nam:
C1: Ở bậc đại học, khái niệm đường tròn được hiểu như thế nào? Có những
cách tiếp cận nào đối với khái niệm đường tròn?
C2: Trong chương trình phổ thông, đường tròn được tiếp cận ra sao? Các cách
tiếp cận của đường tròn có mối quan hệ như thế nào với nhau?
C3: Vai trò công cụ của đường tròn có được SGK quan tâm hay không?
Từ các ghi nhận và câu hỏi cần giải đáp, chúng tôi quyết định chọn đề tài:
“Đường tròn trong dạy học toán ở trường phổ thông”.
2. Khung lý thuyết tham chiếu
2.1.Thuyết nhân học
Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào thuyết nhân học.Với lý thuyết này,
chúng tôi sẽ làm rõ sự xuất hiện và phát triển của khái niệm đường tròn trong thể chế


3

dạy học toán ở Việt Nam. Thông qua việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến
đường tròn, chúng tôi muốn làm rõ mối quan hệ thể chế ở bậc phổ thông đối với đối
tượng tri thức này.Từ kết quả phân tích mối quan hệ thể chế, chúng tôi tìm hiểu ảnh

hưởng của mối quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân của học sinh thông qua thực
nghiệm.
2.2. Hợp đồng didactic
Chúng tôi chọn lý thuyết hợp đồng didactic vì lý thuyết này nghiên cứu những
quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của giáo viên và học sinh đối với một tri
thức. Đồng thời, lý thuyết này cho phép chúng tôi giải thích các ứng xử của giáo viên
và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành. Từ đó, chúng tôi có
thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp
học, những quy tắc ngầm ẩn được sử dụng trong quá trình giảng dạy tri thức về đường
tròn.
3. Câu hỏi nghiên cứu
Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, các câu hỏi ban đầu được chúng tôi cụ thể
thành các câu hỏi nghiên cứu sau:
Q1: Ở bậc đại học, khái niệm đường tròn được trình bày như thế nào? Có mấy dạng
phương trình đường tròn trong mặt phẳng? Đường tròn có những cách tiếp cận nào?
Q2: Ở bậc phổ thông, đường tròn được tiếp cận theo các quan điểm nào? Chúng có
mối quan hệ ra sao? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến đường tròn?
Q3: Quan hệ thể chế ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân khi học sinh giải
quyết các bài toán liên quan đến đường tròn?
Q4: Làm thế nào để xây dựng một tình huống dạy học nhằm giúp HS hiểu rõ hơn về
vai trò công cụ của đường tròn trong việc giải quyết các bài toán?
4. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Thông qua việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi muốn làm rõ sự
xuất hiện của khái niệm đường tròn ở bậc đại học và các cách cách tiếp cận đường
tròn. Đồng thời, chúng tôi cũng làm rõ các đặc trưng và ràng buộc của thể chế dạy học
phổ thông đối với đường tròn và phương trình đường tròn.Trên cơ sở đó, chúng tôi xây


4

dựng một tình huống dạy học nhằm làm rõ vai trò công cụ của đường tròn trong việc
giải quyết các bài toán.
Để thực hiện mục đích nghiên cứu của đề tài, chúng tôi xác định các phương
pháp nghiên cứu như sau:

Chúng tôi có thể diễn giải sơ đồ trên như sau:
-

Nghiên cứu tri thức trong các giáo trình đại học và tài liệu tham khảo: chúng tôi
sẽ phân tích các khái niệm liên quan đến đường tròn, các dạng phương trình
đường tròn trong mặt phẳng. Mục đích nhằm tìm hiểu xem đường tròn xuất
hiện như thế nào? Có những cách tiếp cận nào, nhằm so sánh với thể chế dạy
học phổ thông.

-

Thông qua việc nghiên cứu chương trình và SGK, chúng tôi muốn tìm hiểu
cách thức tiếp cận đường tròn, xây dựng phương trình đường tròn và các kiểu
nhiệm vụ liên quan đến nó.

-

Thực nghiệm 1 chủ yếu chúng tôi khảo sát xem HS hiểu như thế nào về đường
tròn, còn có cách hiểu nào khác hay không? HS gặp khó khăn gì khi giải quyết
các bài toán về phương trình đường tròn. Trên cơ sở đó, chúng tôi tiến hành
thực nghiệm 2.

-

Thực nghiệm 2: chúng tôi triển khai một tình huống dạy học với việc giải quyết

các bài toán liên quan về đường tròn. Từ những bài toán đó, chúng tôi muốn
kiểm tra xem HS có biết sử dụng đường tròn như một công cụ để giải quyết các


5

bài toán, qua đó giúp HS hiểu rõ hơn về vai trò công cụ của đường tròn theo
từng cách tiếp cận.
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương.
- Phần mở đầu gồm: Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát; Khung lý thuyết
tham chiếu; Câu hỏi nghiên cứu; Mục đích và phương pháp nghiên cứu và
Cấu trúc của luận văn.
- Chương 1: Khái niệm đường tròn trong trong một số giáo trình đại học và tài
liệu tham khảo.
- Chương 2: Khái niệm đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông.
- Chương 3:Thực nghiệm bao gồm: Thực nghiệm 1 và thực nghiệm 2; phântích
tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm.
- Kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được trong chương 1, 2, 3 và đề cập hướng
nghiên cứu mới mở ra từ luận văn này.


6

Chương 1. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG MỘT SỐ
GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC VÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO
Mục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: Trong các giáo
trình đại học và tài liệu tham khảo, khái niệm đường tròn được trình bày như thế nào?
đường tròn có những cách tiếp cận nào? Có mấy dạng phương trình đường tròn trong
mặt phẳng? Ngoài ra, có thể tiếp cận đường tròn theo những cách nào khác?

Để đạt được mục tiêu ở trên, chúng tôi tiến hành phân tích giáo trình, tài liệu sau:
- Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nxb Giáo dục.
-Jean-Marie Monier (2001), Giáo trình toán, tập7, Nxb Giáo dục.
Chúng tôi chọn các tài liệu trên để phân tích vì các tài liệu này trình bày khá chi tiết
về đường tròn và các khái niệm liên quan đường tròn. Ngoài ra, chúng tôi còn tham
khảo một số tài liệu khác nhằm làm rõ hơn về khái niệm đường tròn như:
-Nguyễn Đăng Phất (2006), Các Phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải
toán hình học, Nxb Giáo dục.
-Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và tuổi trẻ (1997), Nxb Giáo dục.
1. 1. Siêu cầu trong không gian Ơclit
1.1.1. Khái niệm siêu cầu
Trong giáo trình “Hình học cao cấp”, tác giả Nguyễn Mộng Hy định nghĩa siêu
cầu như sau:
“Trong không gian E n , cho một điểm I cố định, tập hợp tất cả những điểm M thuộc

E n sao cho d (I, M) = r với r là số thực r >0 cho trước gọi là siêu cầu tâm I, bán
kính r.
Ta kí hiệu S(I,r)={ M ∈ E n | d(I,M) = r }”

[12, tr.128]
Như vậy, với n=2 thì siêu cầu là một đường tròn và n=3 thì siêu cầu là mặt cầu.
Từ đây, chúng tôi thấy rằng đường tròn được hiểu là quỹ tích tất cả những điểm M
trong mặt phẳng cách đều một điểm I cố định bằng một khoảng r cho trước. Trên cơ sở


7

về siêu cầu, hình học Ơclit còn nghiên cứu về phương trình của chúng, việc thiết lập
phương trình hoàn toàn dựa vào “công cụ” vectơ và công thức “khoảng cách”.
1.1.2. Phương trình siêu cầu trong không gian Ơclit

Tác giả Nguyễn Mộng Hy trình bày phương trình siêu cầu như sau:
Giả sử điểm I có tọa độ trực chuẩn là (a1 , a2 ,..., an ) , khi đó siêu cầu thực tâm I bán
kính r có phương trình :
n

∑ (x − a )
i

2

i

=
r2

i =1

Siêu cầu tổng quát:
Trong En với mục tiêu trực chuẩn cho trước, một siêu cầu nếu phương trình có dạng:
n

n

0 hay
∑ xi 2 + 2∑ ai xi + a0 =
n

∑a

2

i

∑ ( xi + ai )2 =

n

∑a

i

2

− a0 .

=i 1 =i 1

=i 1 =i 1

 Nếu

n

− a0 >0 ta có siêu cầu thực tâm I (−a1 , −a2 ,..., −an ) ,

i =1

bán =
kính r

n

∑a

2

i

i =1

n

 Nếu

∑a

2

− a0 = 0 ta có siêu cầu điểm tâm I (−a1 , −a2 ,..., −an ) , bán kính r = 0 .

2

− a0 < 0 ta có siêu cầu ảo tâm I (−a1 , −a2 ,..., −an )

i

i =1

n

 Nếu

∑a

i

− a0 .

i =1

[12, tr. 129]
Như vậy, phương trình siêu cầu được xây dựng trên khái niệm “siêu cầu” về
khoảng cách. Bằng việc khai triển và sử dụng các phép biến đổi đại số trong phương
n

n

i =1

i =1

r 2 , chúng ta có siêu cầu tổng quát bằng cách đặt a0 = ∑ ai2 − r .
trình ∑ ( xi − ai ) 2 =

Từ đây, chúng tôi nhận thấy rằng siêu cầu còn được tiếp cận theo “phương trình”,
tức siêu cầu là tập hợp tất cả các điểm M ( x1 , x2 ,...., xn ) thỏa mãn phương
n

n

0 . Ngoài ra, siêu cầu được hiểu theo nghĩa rộng hơn tức gồm
trình ∑ xi 2 + 2∑ ai xi + a0 =

=i 1 =i 1

siêu cầu thực, siêu cầu điểm và siêu cầu ảo. Như vậy “điểm” được xem như là một
siêu cầu có bán kính r =0.


8

Các tính chất khác liên quan đến đường tròn như tiếp tuyến với đường tròn, trục
đẳng phương vẫn được tác giả đề cập đến, tuy nhiên chúng có tên gọi khác như siêu
tiếp diện, siêu phẳng đẳng phương.
1.1.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến siêu cầu
Trong giáo trình của tác giả Nguyễn Mộng Hy (2007), chúng tôi tìm thấy số
lượng bài tập liên quan đến siêu cầu rất ít, các bài toán được đặt ra trong không gian E3
và En. Cụ thể, chúng tôi tìm thấy các KNV sau:
Bảng 1.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong giáo trình Hình học cao cấp
Kiểu nhiệm vụ

Số bài tập

T1: Tìm tâm và bán kính của siêu cầu

2

T2: Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm

1

T3: Xét vị trí tương đối của siêu phẳng và siêu cầu

1

T4:Tìm quỹ tích M sao cho d 2 ( M , A) + d 2 ( M , B) = d 2 ( M , C )

1

Nhận xét:
Các bài toán liên quan đến đường tròn (không gian E2) không được tác giả đề cập
đến. Đa số các KNV chỉ xuất hiện một lần và số lượng bài tập còn hạn chế. Từ đây,
chúng tôi nhận thấy rằng, khái niệm siêu cầu gần như không được chú trọng, các dạng
bài tập được đưa ra mang tính chất minh họa và giới thiệu. Kĩ thuật giải quyết các
KNV này đều tập trung vào cách tiếp cận “phương trình” của siêu cầu. Tác giả chỉ
định nghĩa và nêu một vài bài tập liên quan đến siêu cầu, và siêu cầu được nghiên cứu
như là một “đối tượng”. Trong khi đó, vai trò “công cụ” của siêu cầu thì không được
giáo trình đề cập đến mà siêu cầu được giảng dạy như là một trường hợp đặc biệt của
siêu mặt bậc hai.
Kết luận:
Từ những phân tích trên, chúng tôi thấy rằng ở cấp độ đại học đường tròn là
trường hợp đặc biệt của siêu cầu, chúng được tiếp cận theo các quan điểm sau:
+Quan điểm hình học (khoảng cách): siêu cầu là quỹ tích tất cả những điểm M
trong En cách đều một điểm I cố định bằng một khoảng r cho trước.


9

+ Qua điểm tọa độ (phương trình): siêu cầu là tập hợp tất cả các điểm M
n

n

( x1 , x2 ,...., xn ) thỏa phương trình ∑ xi 2 + 2∑ ai xi + a0 =
0.
=i 1 =i 1

Ở cấp độ đại học thì “điểm” vẫn được xem là một siêu cầu điểm. Đối với các
KNV liên quan đến siêu cầu, chúng tôi thấy rằng kĩ thuật giải quyết các bài toán đều
dựa trên tiếp cận “phương trình” vì đây là không gian Ơclit nghiên cứu chủ yếu về
phương trình các phẳng và tọa độ điểm.
Trong giáo trình Hình học cao cấp của tác giả Nguyễn Mộng Hy (2007), chúng
tôi thấy xuất hiện hai dạng phương trình siêu cầu, tuy nhiên chúng không được trình
bày cụ thể đối với đường tròn cũng như các biểu diễn khác của phương trình đường
tròn. Do đó, chúng tôi chọn giáo trình Toán (tập 7) của Jean-Marier Monier (2000) để
làm rõ hơn các dạng phương trình của đường tròn.
1.2. Phương trình biểu diễn của đường tròn trong mặt phẳng
1.2.1. Phương trình Descartes của đường tròn
Theo tác giả Jean-Marier Monier thì :
a. Cho Ω( a, b) ∈ ε 2 ,

đường tròn C (Ω, R) có phương trình Descartes là

( x − a ) 2 + ( y − b) 2 =
R 2 , trong đó Ω(a, b) là tâm và R là bán kính.
b. Cho (α , β , γ ) ∈

, phương trình

x 2 + y 2 + 2α x + 2 β y + γ =

0 biểu diễn

đường tròn tâm Ω (−α ,− β ) và bán kính α 2 + β 2 − γ nếu α 2 + β 2 − γ ≥ 0 và ∅ nếu
trái lại.

[16, tr.76]
Như vậy, hai dạng phương trình Descartes của đường tròn chính là trường hợp
đặc biệt của phương trình siêu cầu và phương trình tổng quát siêu cầu mà chúng ta đã
nghiên cứu ở phần 1.1.2. Từ đây, chúng tôi có thể xem đường tròn là quỹ tích của
những điểm thỏa mãn hai phương trình này. Khác với hình học tổng hợp, hình học tọa
độ nghiên cứu đường tròn theo tiếp cận “phương trình”. Đây là một “công cụ” có thể
giúp giải quyết các bài toán trong hình học phẳng một cách dễ dàng hơn.
1.2.2. Phương trình tham số của đường tròn
Bằng việc trang bị góc lượng giác, giá trị lượng giác, đường tròn được nghiên
cứu với dạng phương trình tham số sau:


10

Cho Ω(a, b) ∈ ε 2 , R ∈ R+ , đường tròn C (Ω, R) có biểu diễn tham số là
 x= a + R cos t
,t ∈ R

 y= b + R sin t

[16, tr.77].
Với hệ trục tọa độ Oxy và tham số t, việc xác định quỹ tích của đường tròn được
làm rõ hơn. Tọa độ M có hoành độ x và tung độ y được biểu diễn cụ thể thông qua hai
đẳng thức x = a + R cos t và y = b + R sin t . Phương trình đường tròn theo dạng tham số
đóng vai trò quan trọng trong các bài toán định lượng như tính diện tích, thể tích và

đặc biệt là các bài toán nghiên cứu sự chuyển động tròn đều trong vật lý.
Cụ thể chúng tôi xét bài toán sau ( 1):

1.2.3. Phương trình tọa độ cực của đường tròn
“Trong mặt phẳng, chọn một điểm O làm gốc gọi là cực, trục Ox gọi là trục cực, lấy
M là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng, gọi ρ = OM

là bán kính cực,



θ = (Ox; OM )là góc cực. Phương trình đường tròn tâm O bán kính a trong hệ tọa


độ cực là p = a , a > 0
: Bài toán trích từ giáo trình Giải tích II của tác giả Bùi Xuân Diệu (2009), trang 80, trường ĐH Bách Khoa Hà
Nội.

1


11

Đồng thời, phương trình cực ρ = λ cos θ + µ sin θ biểu diễn đường tròn có
2
2
phương trình Descartes x + y − λx − µy = 0 , đường tròn này đi qua O.”

[16, tr.78]
Dạng phương trình này thường được sử dụng trong việc tính diện tích hay thể tích

thông qua việc tính tích phân hai lớp hay ba lớp. Do đó, các bài toán tích phân có miền
D là hình tròn, thì chúng được khuyến khích chuyển từ hệ trục tọa độ Descartes vuông
góc sang tọa độ cực để giải quyết.
Khái niệm đường tròn không được trình bày chi tiết trong các giáo trình đại học.
Nó chỉ được giới thiệu như là trường hợp đặc biệt của siêu cầu và được tiếp cận theo
hai quan điểm “khoảng cách” và “phương trình”. Ngoài hai cách tiếp cận này của
đường tròn, chúng tôi còn tìm ra thêm một cách tiếp cận khác về đường tròn, đó là tiếp
cận đường tròn theo “góc định hướng”. Cách tiếp cận này được trình bày trong tài liệu
của tác giả Nguyễn Đăng Phất (2006), Các Phép biến hình trong mặt phẳng và ứng
dụng giải toán hình học.
1.3. Đường tròn theo tiếp cận “góc định hướng”
Đối tượng hình học đầu tiên đề cập đến vấn đề hướng của một đoạn thẳng, đó là
khái niệm vectơ. Bằng việc đưa vào khái niệm trục, đường thẳng được định hướng

thông qua một điểm O gọi là gốc và một vectơ đơn vị e . Theo tác giả Nguyễn Đăng
Phất thì “độ dài đại số của một vectơ trên một trục đó là một số (số đại số) mà nhân


với vectơ đơn vị e của trục cho ta một vectơ bằng vectơ đó ( AB = AB. e , trong đó AB
được gọi là độ dài đại số của AB )”[16, tr.21].
Đối tượng hình học thứ hai được tác giả đề cập đến là góc định hướng, liên quan
đến đối tượng này là phép quay xung quanh một điểm trong mặt phẳng. Theo tác giả
“phép tịnh tiến gắn liền với khái niệm vectơ tịnh tiến là một đối tượng hình học (đoạn
thẳng) có hướng. Còn phép quay phẳng xung quanh một điểm (gọi là tâm quay) thì


12

gắn liền với khái niệm góc lượng giác gọi là góc quay; đó là khái niệm góc định
hướng của hai vectơ có điểm gốc chung là tâm quay” [17, tr.22].

Bằng việc trang bị góc định hướng cũng như là phép quay phẳng, tác giả đưa ra
khái niệm đường tròn và tính chất đường tròn như sau:

[17, tr.27].
Với định nghĩa đường tròn này, chúng tôi nhận thấy đường tròn theo “góc định
hướng” được tiếp cận gắn liền với góc lượng giác. Với hai điểm A, B cố định và một
góc α bất kỳ, chúng ta có thể xác định được một đường tròn đi qua hai điểm A, B và
những điểm trên đường tròn luôn tạo với AB một góc α (mod 1800). Ngoài ra, tác giả
còn đưa điều kiện bốn điểm thuộc cùng trên một đường tròn, nó được xem như là tính
chất tứ giác nội tiếp mà chúng ta biết đến. Như vậy, định lý của Nguyễn Đăng Phất
nêu thực chất có thể xem là một cách định nghĩa khác của đường tròn và định nghĩa
này được tác giả Hoàng Chúng (1997) phát biểu như sau:
“Đường tròn là quỹ tích những điểm M sao cho góc định hướng giữa hai đường
thẳng MA, MB là không đổi.”

Tuy nhiên, điểm mạnh của góc định hướng là có thể giải quyết một số bài toán
hình học phẳng một cách nhanh chóng và ngắn gọn, cụ thể là các bài toán chứng minh
hay quỹ tích.
Ta xét bài toán sau: (trích trangweb: hinh99.wordpress.com/tag/migel 2)
“Cho hai hình vuông ABCD và AEFG cùng hướng, A, B, E không thẳng hàng. Chứng

minh rằng BE, CF, DG đồng quy.

2

Trang web được truy cập vào ngày 22/4/2014


13

Xét phép quay tâm A góc quay (AB, AD)=

π
. Khi đó B biến thành D, E biến thành G.
2

Gọi H là giao điểm của BE và GD.
Khi đó ( BE; GD) = ( AB; AD) = (CB; CD ) = π (mod π ) .
2
Suy ra A, H, B, C, E, D nằm trên một đường tròn suy ra ( HB; HC ) = ( AB; AC ) (mod π ) .
Hơn nữa, ( HG, HE ) = ( AG, AE ) =

π
(mod π ) .
2

Nên A, E, H, G, F nằm trên một đường tròn=> ( HE , HF ) = ( AB, AC ) ( mod π ) .
Ta có

.

Mà H, E, B thẳng hàng nên H, C, F thẳng hàng, hay BE, CF, DG đồng quy.”

Từ bài toán trên, chúng tôi thấy rằng với việc kết hợp các phép dời hình, đường
tròn theo “góc định hướng” đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh tính chất
thẳng hàng, đồng quy hay xác định quỹ tích trong hình học phẳng.
1.4 . Kết luận chương 1
Qua việc phân tích một số giáo trình ở bậc đại học và các tài liệu tham khảo,
chúng tôi có thể kết luận một số kết quả liên quan đến đường tròn sau:
- Theo các định nghĩa mà Artigue đã nêu thì định nghĩa (2), (3), (4), (6) không

xuất hiện, trong khi đó định nghĩa (4) mang tính chất giống như cách tiếp cận của
đường tròn theo “góc định hướng”. Nhưng định nghĩa (4) tập trung trên tỉ số khoảng
cách của hai đoạn thẳng, trong khi đó đường tròn theo “góc định hướng” thì nghiên
cứu trên đối tượng “góc” của hai đoạn thẳng.


14

- Đường tròn là trường hợp đặc biệt của siêu cầu, nó được định nghĩa theo các
tiếp cận sau:
 Tiếp cận “khoảng cách”: Đường tròn là quỹ tích (tập hợp) tất cả những
điểm M trong mặt phẳng cách đều một điểm I cố định bằng một khoảng R
cho trước. Đây là khái niệm được sử sụng rộng rãi và phổ biến nhất vì nó
có liên quan đến hai đặc trưng quan trọng của đường tròn là tâm và bán
kính.
 Tiếp cận “phương trình”: Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm
M(x, y) thỏa mãn phương trình bậc hai x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 . Bằng
việc sử dụng các công cụ đại số, “phương trình” đường tròn có khả năng
giải quyết các bài toán khó khăn mà theo quan điểm “khoảng cách” thì lời
giải quá dài dòng và khó khăn.
 Tiếp cận “góc định hướng”: Đường tròn là quỹ tích những điểm M sao cho
góc định hướng giữa hai đường thẳng MA, MB là không đổi. Với khái niệm
này, đường tròn đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán
chứng minh hay quỹ tích của hình học tổng hợp.
- Phương trình đường tròn trong mặt phẳng có rất nhiều dạng, tùy vào phạm vi
nghiên cứu mà đường tròn được biểu diễn ở một dạng phù hợp cho quá trình tính toán
hay khảo sát. Liên quan đến các kiểu nhiệm vụ trong đường tròn, chúng tôi thấy rằng
mỗi cách tiếp cận của đường tròn có những kiểu nhiệm vụ riêng, tùy theo phạm vi hình
học nghiên cứu của đường tròn theo quan điểm nào mà sẽ có những kỹ thuật giải nhấn
mạnh trên các quan điểm đó. Mặt khác, vấn đề giải quyết các bài toán liên quan thực tế

đến đường tròn không được các giáo trình quan tâm mà chủ yếu là các bài toán toán
học.


15

Chương 2. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC
TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Mục tiêu của chương này là tìm ra câu trả lời cho câu hỏi Q2: Ở bậc phổ thông,
đường tròn được trình bày theo những cách tiếp cận nào? Có những kiểu nhiệm vụ nào
liên quan đến đường tròn?
Để đạt được mục tiêu ở trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các SGK, SGV và
SBT ở các lớp 5, lớp 6, lớp 9 và lớp 10.
2.1. Đường tròn trong SGK Toán lớp 5
Ở tiểu học, HS đã từng biết đến hình tròn thông qua các hoạt động nhận dạng
hình bằng mô hình, hay các phân môn khác liên quan đến hình tròn. Tuy nhiên, đối với
HS, hình tròn chỉ là một hình có tính chất “tròn” và nó xuất hiện nhiều trong cuộc
sống.
Đến lớp 5, “hình tròn” được xem là một đối tượng nghiên cứu trong toán học.
SGK đã trình bày hai thuật ngữ “hình tròn” và “đường tròn” trong chương III với tên
bài “Hình tròn.Đường tròn” và một số tính chất hình tròn trong các bài “Chu vi hình
tròn” và “Diện tích hình tròn”.
SGK Toán 5 đưa ra hai “thuật ngữ” đường tròn và hình tròn thông qua hình vẽ
minh họa sau:


16

[11, tr.96]
Như vậy, SGK chỉ phân biệt hai khái niệm này bằng hình vẽ trực quan và tiếp sau

đó là trình bày các tính chất về tâm, bán kính và đường kính. Thuật ngữ “đường tròn”
chỉ được SGK giới thiệu thông qua hình vẽ, nó được xem như là “đầu chì của compa
vạch trên tờ giấy” hay được hiểu là “nét ngoài” của hình tròn. Đường tròn mặc dù
không được định nghĩa, nhưng thông qua trình bày SGK chúng tôi thấy sự xuất hiện
ngầm ẩn của khái niệm đường tròn theo “khoảng cách” thông qua nhận xét của SGK:
“Tất cả các bán kính của một hình tròn đều bằng nhau: OA=OB=OC”[11, tr.96].

Đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách” được SGK đặc biệt chú trọng ngay từ
khi cho HS tiếp cận về hình tròn. Do đặc trưng vẽ hình bằng compa, nên khái niệm
đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách” là cách trình bày phù hợp thể hiện rõ hai đặc
trưng là tâm và bán kính. Các kiểu nhiệm vụ chỉ đề cập đến “hình tròn”, các bài toán
thì mang tính chất tiếp cận và công cụ “hình tròn” trong giai đoạn này được biết đến là
biểu độ hình quạt. Hình tròn do đặc tính “đầy đủ” của hình, mà nó được chú trọng
trong việc biểu diễn các tỉ lệ % trong thống kê trên tổng số liệu.


17

Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hình tròn:
 Tvehinhtron :Vẽ hình tròn
o Kĩ thuật τ vehinhtron :
-Xác định độ dài bán kính hình tròn.
-Dùng compa, đo độ dài bán kính và vẽ hình tròn.
o Nhận xét:
Với kiểu nhiệm vụ này, HS cần phải sử dụng compa và xác định đúng độ dài bán
kính. Tính chất “đường kính gấp hai lần bán kính” là yếu tố công nghệ để HS làm
được câu b. Đây được xem là KNV “rèn luyện kĩ năng sử dụng compa để vẽ hình tròn
của HS” [10, tr.175].
 Ttinhchuvi :Tính chu vi hình tròn
o Kĩ thuật τ tinhchuvi : áp dụng công thức.

C= d x 3,14 hoặc C =2 x r x 3,14.
o Ví dụ:
“Một bánh xe ô tô có đường kính là 0,75m.Tính chu vi của bánh xe đó” [11, tr.98].

o Nhận xét:
Đây là một KNV kiểm tra khả năng tính toán của HS về công thức tính chu vi
hình tròn. Mặc dù, SGV không đưa ra lời giải cụ thể cho bài toán trên, nhưng từ nhận
xét của SGV chúng tôi có thể nghĩ đến lời giải mong đợi như sau:
Chu vi của bánh xe là
C= 0,75 x 3,14= 2,355m.

Ngoài ra, trong bài toán này có một ý nghĩa thực tế, nó giúp cho HS biết được
bánh xe là “hình tròn” và yêu cầu tính chu vi bánh xe đó.
 Ttinhdientich : Tính diện tích hình tròn
o Kĩ thuật τ tinhdientich :
-Xác định bán kính r.
-Áp dụng công thức S= r x r x 3,14.
o Ví dụ: (bài 1, tr.100, SGK Toán 5)
“Tính diện tích hình tròn có bán kính r: