khái niệm tập hợp ở trung học phổ thông, sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Văn Ngọc Thảo Quyên

KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI
VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Văn Ngọc Thảo Quyên

KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI
VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ
Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập dưới sự
hướng dẫn của giáo viên hướng dẫn, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính
xác và trung thực.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 9 năm 2014
TÁC GIẢ
Văn Ngọc Thảo Quyên


LỜI CẢM ƠN
Người đầu tiên Tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất đó là Thầy
Khanh. Tôi xin phép được gọi Thầy là Thầy Khanh thay vì TS. Trần Lương
Công Khanh nhằm bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc. Thầy là người đã hướng dẫn
tận tình và giúp đỡ tôi rất nhiều, luôn theo sát để Tôi có thể hoàn thành luận
văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê
Văn Tiến, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như
Thư Hương đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức về didactic
toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên
cứu.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu cùng các em học sinh trường
THCS – THPT Lương Thế Vinh, quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi
thực hiện thực nghiệm trong luận văn.
Cuối cùng, Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn
cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa
học.

TP. Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 9 năm 2014
TÁC GIẢ
Văn Ngọc Thảo Quyên


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục bảng
MỞ ĐẦU

............................................................................................................... 1

Chương 1. KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG
VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP ......................................................... 4
1.1. Sự hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp của Cantor.................................... 4
1.1.1. Lực lượng của tập vô hạn ............................................................................. 5
1.1.2. Giả thuyết continuum ................................................................................... 7
1.1.3. Các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor ........................................ 8
1.2. Tiên đề hóa lý thuyết tập hợp: hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von
Neumann-Bernays-Gödel, hệ tiên đề Russell .................................................. 12
1.2.1. Hệ tiên đề và lý thuyết Zermelo-Fraenkel .................................................. 12
1.2.2. Hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel và lý thuyết lớp......................... 13
1.2.3. Lý thuyết kiểu ............................................................................................. 14
1.3. Lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại ......................................................... 15
1.3.1. Lý thuyết tập hợp trong chuyên luận của Bourbaki ................................... 15
1.3.2. Vai trò của lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại ................................ 16

Kết luận chương 1 ..................................................................................................... 17
Chương 2. VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP
TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG .............................................................................................. 18
2.1. Phân tích sách Đại số 10 cơ bản......................................................................... 18
2.1.1. Mục đích đưa khái niệm Tập hợp vào sách giáo khoa ............................... 18
2.1.2. Tập hợp - đối tượng dạy học trong chương trình Toán THPT ................... 19


2.2. Khảo sát chương trình Toán THPT ban cơ bản hiện hành................................. 29
2.2.1. Hàm số và đồ thị ......................................................................................... 30
2.2.2. Phương trình và bất phương trình_hệ phương trình và hệ bất phương
trình ............................................................................................................ 33
2.2.3. Đại số tổ hợp ............................................................................................... 34
2.2.4. Xác suất và thống kê ................................................................................... 36
2.2.5. Hình học...................................................................................................... 39
Kết luận chương 2 ..................................................................................................... 41
Chương 3. ĐỐI CHIẾU VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG ........................ 43
3.1. Độ lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp. ........................... 43
3.1.1. Kết quả chương 1. ....................................................................................... 43
3.1.2. Kết quả chương 2. ....................................................................................... 44
3.1.3. Chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và sự nối khớp giữa
hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp. ............................................ 44
3.2. Nghiên cứu thực nghiệm .................................................................................... 46
3.2.1. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................... 46
3.2.2. Hình thức thực nghiệm ............................................................................... 46
3.2.3. Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các bài toán thực
nghiệm........................................................................................................ 46
Kết luận chương 3 ..................................................................................................... 66
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 69
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
HS

:

Học sinh

GV

:

Giáo viên

SGK

:

Sách giáo khoa

SGV

:

Sách giáo viên

SBT

:

Sách bài tập

THCS :

Trung học cơ sở

THPT :

Trung học phổ thông

KNV

:

Kiểu nhiệm vụ

Tr.

:

Trang

Nxb

:

Nhà xuất bản

PT

:

Phương trình

HPT

:

Hệ phương trình

BPT

:

Bất phương trình

HBPT :

Hệ bất phương trình


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Nhiệm vụ minh họa kiểu nhiệm vụ T1. ................................................... 27
Bảng 2.2. Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T1 và T2 .................................. 28
Bảng 2.3. Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T8 và T9 .................................. 36
Bảng 2.4. Ngôn ngữ biến cố..................................................................................... 37
Bảng 3.1. Bảng chọn các giá trị của các biến ở Bài 1 ............................................. 51

Bảng 3.2. Kết quả về số lượng học sinh chọn chiến lược giải ................................. 52
Bảng 3.3. Bảng lựa chọn các giá trị của các biến dạy học trong bài 2. ................... 54
Bảng 3.4. Số lượng học sinh chọn theo 2 bạn và các giải thích thường gặp ........... 56
Bảng 3.5. Bảng chọn các giá trị của các biến ở Bài 3 ............................................. 60
Bảng 3.6. Thống kê số lượng học sinh chọn các chiến lược giải............................. 62


1

MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận và câu hỏi ban đầu
Tập hợp được đưa vào giảng dạy ở trung học phổ thông ngay từ lớp 10. Hơn
thế nữa, tập hợp lại được giới thiệu ngay ở chương I của sách giáo khoa Đại số 10.
Bên cạnh đó, tập hợp được sử dụng để định nghĩa nhiều khái niệm trong
chương trình như: Đồ thị hàm số; Phương trình tương đương; Tổ hợp, Chỉnh hợp,
Hoán vị; Quỹ tích… Các phép toán tập hợp lại được vận dụng triệt để trong việc
giải bất phương trình, hệ bất phương trình “ Để giải một hệ bất phương trình ta giải
từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm” [5, tr.10].
Từ những ghi nhận trên đã dẫn chúng tôi đến câu hỏi sau:
Sự nối khớp giữa vai trò đối tượng và vai trò công cụ của tập hợp được thể
hiện như thế nào trong sách giáo khoa và thực tế giảng dạy ở trung học phổ thông?
2. Khung lý thuyết tham chiếu
Nghiên cứu của chúng tôi đặt trong phạm vi của Didactic toán, mà cụ thể là
thuyết nhân học và hợp đồng Didactic. Trong đó, thuyết nhân học giúp chúng tôi
hình thành các mối quan hệ của thể chế đối với tri thức tập hợp, các bước chuyển
hóa sư phạm trong việc dạy học tập hợp và các tổ chức toán học (praxéologie) được
trình bày trong chương trình toán trung học phổ thông. Qua phân tích thể chế,
chúng tôi có thể tìm ra những ràng buộc cũng như qui tắc hợp đồng tồn tại trong
chương trình.
3. Mục đích nghiên cứu

Chúng tôi nghiên cứu luận văn này nhằm mục đích là: chỉ ra sự nối khớp giữa
hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa và thực tế giảng
dạy ở bậc trung học phổ thông. Dựa vào khung lý thuyết tham chiếu chúng tôi đặt ra
hai câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học và tri thức cần dạy lệch nhau
như thế nào?
Q2: Đối với các kiểu nhiệm vụ có sự can thiệp của tập hợp, sách giáo khoa đã
cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa?


2

4. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm:
Mở đầu
Chương 1: Khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của
tập hợp.
Chương 2: Vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa
toán THPT.
Chương 3: Đối chiếu và thực nghiệm kiểm chứng.
Kết luận.
5. Phương pháp nghiên cứu
Toàn bộ nghiên cứu của chúng tôi thực hiện theo sơ đồ sau:
Khảo sát
khoa học luận
Trả lời câu hỏi
Phát biểu giả thuyết
Phân tích
thể chế

Thực nghiệm

Giải thích sơ đồ:
Chúng tôi thực hiện khảo sát khoa học luận đối chiếu song song với phân tích
thể chế chương trình toán trung học phổ thông. Từ việc phân tích đối chiếu này giúp
chúng tôi trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra và phát biểu giả thuyết nghiên
cứu. Cuối cùng thực nghiệm giúp chúng tôi bổ sung trả lời các câu hỏi, cũng như
việc khẳng định hay bác bỏ giả thuyết nghiên cứu ban đầu.
6. Phương hướng thực hiện
Dựa vào phương pháp nghiên cứu, chúng tôi định hướng nội dung của từng
chương như sau:
Chương 1: Khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp
- Lịch sử hình thành lý thuyết tập hợp của Cantor và sự xuất hiện và ảnh hưởng


3

của các nghịch lý đến lý thuyết này.
- Việc giải quyết các nghịch lý để hoàn thiện lý thuyết tập hợp.
- Những lĩnh vực toán học có sự hiện diện của lý thuyết tập hợp.
Chương 2: Vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa toán
THPT.
- Mục đích đưa vào khái niệm tập hợp.
- Việc xây dựng khái niệm tập hợp trong sách giáo khoa, những qui ước để
tránh các nghịch lý.
- Những khái niệm được xây dựng nhờ ngôn ngữ tập hợp.
- Những kiểu nhiệm vụ được giải quyết nhờ khái niệm tập hợp.
Chương 3: Đối chiếu và thực nghiệm kiểm chứng.
- Trả lời các câu hỏi:
Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học và tri thức cần dạy lệch nhau

như thế nào?
Q2: Đối với các kiểu nhiệm vụ có sự can thiệp của tập hợp, sách giáo khoa đã
cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa?
- Thực nghiệm.
PHỤ LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO


4

Chương 1. KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRÒ
ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP
Chương này trình bày kết quả khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và
công cụ của tập hợp dựa trên các tài liệu lịch sử toán học và các chuyên luận toán
học. Kết quả thu được trong chương này và chương 2 sẽ được đối chiếu trong
chương 3 để xác định độ lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và
sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp.
Nghiên cứu trong chương này được định hướng bằng hai nhóm câu hỏi dưới
đây:
Lý thuyết tập hợp ra đời nhằm giải quyết vấn đề gì? Quá trình hình thành và
phát triển lý thuyết tập hợp đã gặp những chướng ngại khoa học luận nào? Các nhà
toán học đã giải quyết những chướng ngại đó bằng cách nào?
Ngày nay, lý thuyết tập hợp được sử dụng trong những lĩnh vực toán học nào ?
Vai trò của lý thuyết tập hợp trong mỗi lĩnh vực toán học đó?
Các tài liệu tham chiếu chính của chương này là:
- Bourbaki N. (1970), Éléments de mathématiques, Livre I, Théorie des
ensembles, Éditions Hermann, nouvelle édition, Paris.
- Dahan-Dalmendico A., Peiffer J. (1986), Une histoire des mathématiques,
routes et dédales, Éditions du Seuil.
- Phan Đình Diệu (2006), Logich toán & cơ sở toán học, Nxb Đại học quốc

gia Hà Nội.
- Trần Lương Công Khanh (2013), Lịch sử lý thuyết tập hợp, bài giảng dành
cho học viên cao học Trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, tài liệu lưu
hành nội bộ.
1.1. Sự hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp của Cantor
Theo mục từ Set and set theory của trang web Earliest Known Uses of Some of


5

the Words of Mathematics 1, tên gọi naive set theory ra đời từ những năm 1940 và
được dùng phổ biến trong các nước nói tiếng Anh. Tên gọi tương đương trong tiếng
Pháp (théorie naïve des ensembles) xuất hiện sớm nhất ở lời nói đầu quyển Théorie
axiomatique des ensembles của Jean-Louis Krivine, xuất bản năm 1972.
Một số nhà nghiên cứu xem lý thuyết tập hợp ngây thơ là lý thuyết tập hợp
được xây dựng và phát triển bởi Cantor, không sử dụng các tiên đề tường minh.
Một số khác, chẳng hạn Paul Hamos (1916-2006) trong Naive Set Theory xuất bản
năm 1960, xem lý thuyết tập hợp có trang bị hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel là ngây
thơ.
Trong luận văn này, chúng tôi tránh dùng thuật ngữ lý thuyết tập hợp ngây thơ
vì nội hàm của nó chưa được các nhà toán học thống nhất.
1.1.1. Lực lượng của tập vô hạn: động lực ra đời lý thuyết tập hợp
Trước Cantor, tập hợp là một quan niệm cơ bản, được sử dụng ngầm ẩn từ
thời Aristote (384-322 trước Thiên Chúa 2). Trong Cơ bản, quyển 9, mệnh đề 20,
Euclide từng phát biểu và chứng minh mệnh đề về sự tồn tại vô hạn các số nguyên
tố. Tuy nhiên, nếu các tập hữu hạn được các nhà khoa học cổ đại chấp nhận dễ dàng
thì các tập vô hạn lại là đề tài của nhiều tranh luận triết học.
Mặc dù là thành quả của nhiều thế hệ nhà nghiên cứu, lịch sử toán học xem
Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor 3 (1845-1918) là người đặt nền móng cho lý
thuyết tập hợp từ năm 1874.

Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác vào thập niên 1870 đưa Cantor
đến khái niệm tập dẫn xuất của một tập số.
Cho X là tập các số thực nào đó. Tập dẫn xuất X’ của X là tập có được từ X sau
khi đã loại đi các điểm cô lập. Chẳng hạn, nếu X = {1/n, n ∈ N*} ∪ {0} thì các
điểm 1/n là cô lập trong X nên X’ = {0}. Ta cũng có thể xét tập dẫn xuất của X’ - ký
hiệu X” - và thu được X” = ∅.
Địa chỉ truy cập ngày 31/3/2014.
Chúng tôi dùng trước Thiên Chúa, sau Thiên Chúa mà không dùng trước Công nguyên, sau Công nguyên
vì chúng ta đang sống trong Công nguyên.
3
Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor sinh ngày 3-3-1845 tại Saint-Péterbourg (Nga), mất ngày 6-1-1918
tại Halle (Đức), quốc tịch Đức.
1
2


6

Lặp lại tiến trình này, ta có thể xây dựng một tập X các số thực có thể lấy dẫn
xuất vô hạn lần. Nếu ký hiệu X(n) là tập dẫn xuất cấp n của X thì các X(n) tạo thành
một dãy các tập giảm (theo quan hệ bao hàm). Tập dẫn xuất cấp vô hạn của X - ký
hiệu X(∞) - là giao của tất cả các X(n).
Cantor phát hiện sự tồn tại của các tập số thực X mà X(∞) còn chứa các điểm cô
lập, do đó còn lấy dẫn xuất được. Có những tập có thể lấy dẫn xuất cấp ∞ + 1, ∞ +
2, ..., cấp ∞ + ∞. Dường như tồn tại những phép tính số học trên các vô hạn. Dựa
vào điều này, Cantor xây dựng và phát triển lý thuyết tập hợp.
[…] các bản số vô hạn được ký hiệu bằng chữ cái Hébreu ℵ (alep) có chỉ số.
Bản số vô hạn nhỏ nhất - bản số của tập N các số tự nhiên - được ký hiệu là ℵ 0
(alep không). Bản số nhỏ nhất lớn hơn ℵ 0 được ký hiệu là ℵ 1 . Một cách tổng quát,
một bản số bất kỳ có thể viết dưới dạng ℵ α với α là một số thứ tự.

Năm 1874, Cantor chứng minh được card N = ℵ 0 < 2ℵ = card R [10, tr.2].
0

Việc Cantor chứng minh tập các số thực có “nhiều” phần tử hơn tập các số tự
nhiên cho thấy “số phần tử” (tức bản số) của các tập vô hạn không hoàn toàn giống
nhau. Điều này đưa Cantor đến việc xây dựng khái niệm tương ứng một-một để
định nghĩa tập hữu hạn, tập vô hạn 4. Riêng tập vô hạn lại được ông chia thành tập
đếm được và tập không đếm được 5. Ông còn chứng minh tập các bản số vô hạn là
một tập vô hạn, nghĩa là có vô hạn tập vô hạn.
Kết quả trên giúp chúng tôi rút ra những nhận xét sau:
- Quan niệm về tập hợp, tập hữu hạn, tập vô hạn đã xuất hiện ngầm ẩn từ thời
cổ đại. Khi ấy, tập hợp, tập hữu hạn, tập vô hạn là những đối tượng cận toán học
(objets paramathématiques) vì có tên gọi nhưng chưa có định nghĩa.
- Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác đưa Cantor đến bài toán khảo
sát, so sánh và phân loại lực lượng các tập vô hạn mà lời giải trở thành một phần
quan trọng trong lý thuyết tập hợp của Cantor.
4

Theo Cantor, tập E gọi là hữu hạn nếu tồn tại một số tự nhiên n và một song ánh từ E đến tập các số tự

nhiên nhỏ hơn n. Đặc biệt, khi n = 0, E là tập rỗng. Số n gọi là bản số của E, ký hiệu n = E (ký hiệu của
chính Cantor) hoặc n = |E| hoặc n = card E. Tập không hữu hạn gọi là tập vô hạn.
5
Cantor định nghĩa tập đếm được là tập có cùng lực lượng với N, tập không đếm được là tập vô hạn không
cùng lực lượng với N.


7

- Năm 1821, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) xuất bản Cours d'Analyse

trong đó ông định nghĩa khái niệm giới hạn và dãy Cauchy - hai khái niệm chính
cho phép định nghĩa số thực như giới hạn của dãy các số hữu tỷ. Năm 1872,
Richard Dedekind (1831-1916) công bố bài báo Vorlesungen über Zahlentheorie
(Tính liên tục và các số vô tỷ) liên quan đến việc định nghĩa số vô tỷ bằng nhát cắt.
Năm 1874, Cantor bắt đầu nghiên cứu lực lượng của các tập vô hạn dựa trên các
tính chất của số thực và giới hạn. Như vậy, quá trình xây dựng lý thuyết tập hợp của
Cantor gắn bó mật thiết với những kiến thức về lý thuyết số và giải tích.
1.1.2. Giả thuyết continuum
Cantor đã thu được kết quả card N = ℵ 0 < card R. Vì ℵ 1 là bản số nhỏ nhất
lớn hơn ℵ 0 nên ông có ngay hệ thức ℵ 0 < ℵ 1 ≤ card R. Hệ thức này dần dần đưa
ông đến những suy xét và câu hỏi dưới đây:
- Lực lượng đếm được nhỏ hơn lực lượng continuum.
- Giữa ℵ 0 và ℵ 1 không có bản số nào khác vì ℵ 1 là bản số nhỏ nhất lớn hơn
ℵ0.
- Giữa ℵ 0 và card R có ℵ 1 nhưng vấn đề là ℵ 1 < card R hay ℵ 1 = card R?
Nếu ℵ 1 < card R, ta có ℵ 0 < ℵ 1 < card R, nghĩa là tồn tại lực lượng ở giữa
lực lượng đếm được và lực lượng continuum. Nếu ℵ 1 = card R, ta có ℵ 0 < ℵ 1 =
card R, nghĩa là không có lực lượng nào ở giữa lực lượng đếm được và lực lượng
continuum.
Để trả lời câu hỏi đã đặt, Cantor đưa ra giả thuyết continuum nhưng không
chứng minh hay bác bỏ được.
Giả thuyết continuum khẳng định rằng ℵ 1 = 2ℵ , nghĩa là không có tập hợp
0

nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của tập N và nhỏ hơn lực lượng của tập R. Nói
cách khác, có thể chuyển từ tập rời rạc (tập đếm được) sang tập liên tục chỉ bằng
một bước nhảy. Đây cũng là nguồn gốc của tên gọi continuum.
[...] Trong đại hội toán học quốc tế lần thứ 2 tổ chức tại Paris năm 1900,
Hilbert liệt kê 23 bài toán lớn mà thế kỷ 19 để lại cho thế kỷ 20, trong đó giả thuyết
continuum đứng đầu danh sách.

8

Mãi đến năm 1938, Kurt Gödel 6 (1906-1978) mới chứng minh được rằng giả
thuyết continuum là độc lập đối với hệ tiên đề ZFC 7 nên không thể bác bỏ giả
thuyết continuum trong lý thuyết ZFC. Năm 1963, Paul Joseph Cohen 8 (1934-2007)
sử dụng phương pháp forcing để chứng minh rằng không thể chứng minh giả thuyết
continuum từ hệ tiên đề ZFC [10, tr.3].
Công trình của Gödel và Cohen không chứng minh hay bác bỏ giả thuyết
continuum nên giả thuyết này vẫn là một trong những bài toán lớn cần giải quyết
của thế kỷ 21. Các nhà toán học thế giới đang tiếp tục đi tìm một tiên đề bổ sung
vào hệ tiên đề ZFC hoặc xây dựng một hệ tiên đề mới cho phép khẳng định hoặc
bác bỏ giả thuyết continuum.
1.1.3. Các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor
Theo Từ điển toán học thông dụng do GS Ngô Thúc Lanh chủ biên (2000),
thuật ngữ nghịch lý được dùng để chỉ một kết quả đúng nhưng trái với trực giác
thông thường (nghịch lý loại 1) hoặc một lập luận thoạt nhìn thì đúng nhưng dẫn
đến mâu thuẫn (nghịch lý loại 2). Phần này đề cập đến một số nghịch lý loại 2 tiêu
biểu (gọi tắt là nghịch lý) trong lý thuyết tập hợp của Cantor.
Toán học hiện đại chia các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor thành
hai nhóm lớn: các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa và các
nghịch lý liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập.
1.1.3.1. Các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa
Trong số các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa,

Kurt Gödel là nhà toán học và lôgic học sinh ngày 28-4-1906 tại Áo-Hung, nhập quốc tịch Tiệp Khắc năm
1918, quốc tịch Áo năm 1929, quốc tịch Đức năm 1938 và quốc tịch Mỹ năm 1948, mất ngày 14-1-1978.
Ông thường được xem là người Áo. Ngoài việc xây dựng lý thuyết hàm đệ quy và chứng minh tính đầy đủ
của phép toán vị từ bậc nhất, Gödel còn chứng minh tính chặt chẽ tương đối của giả thuyết continuum, theo

đó ta không thể bác bỏ giả thuyết continuum bằng các tiên đề đã được chấp nhận của lý thuyết tập hợp (giả
định rằng các tiên đề này là chặt chẽ). Công trình nổi tiếng nhất của ông là định lý về tính không đầy đủ, theo
đó bất kì một hệ tiên đề nào đủ mạnh để mô tả số học cũng chứa những mệnh đề về các số nguyên mà chúng
ta không thể phủ định cũng không thể khẳng định nó từ những tiên đề của hệ.
7
Hệ tiên đề ZFC (tức hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel có bổ sung tiên đề chọn) là hệ tiên đề được Ernst Zermelo
(1871-1953) và Abraham Fraenkel (1891-1965) xây dựng vào đầu thế kỷ 20 nhằm tiên đề hóa lý thuyết tập
hợp của Cantor , tránh các nghịch lý đã phát hiện trước đó.
8
Paul Joseph Cohen sinh ngày 2-4-1934 tại Long Branch (Mỹ), mất ngày 23-3-2007 tại Palo Alto (Mỹ), là
nhà toán học Mỹ. Ông nổi tiếng vì đã chứng minh tính độc lập của giả thuyết continuum với hệ tiên đề ZFC
bằng phương pháp forcing. Công trình này đem lại cho ông giải thưởng Field năm 1966.
6


9

chúng tôi chọn ra ba nghịch lý tiêu biểu để phân tích: nghịch lý Cantor, nghịch lý
Richard và nghịch lý Berry.
1.1.3.1.1. Nghịch lý Cantor
Nghịch lý Cantor được chính ông phát hiện năm 1899. Xét S là tập tất cả các
tập hợp và P(S) là tập các tập con của S. Theo định lý Cantor 9, ta có card S <
card P(S). Mặt khác, ánh xạ f : P(S) → S, E  f(E) = E là đơn ánh nên card P(S) ≤
card S. Ta thu được hai bất đẳng thức mâu thuẫn với nhau.
Để giải quyết mâu thuẫn, Cantor phân biệt “số nhiều phù hợp” với “số nhiều
không phù hợp”. “Số nhiều phù hợp” có thể tham gia tạo thành tập hợp trong khi
“số nhiều không phù hợp” (chẳng hạn tập hợp tất cả các tập hợp) là “vô hạn tuyệt
đối” thuộc về thượng đế mà con người không thể hiểu được.
Chúng tôi sẽ đề cập đến việc giải quyết nghịch lý Cantor khi trình bày về lý
thuyết lớp trong mục 2.2 của chương này.

1.1.3.1.2. Nghịch lý Richard
Nghịch lý này được Richard công bố năm 1905. Ông xét các chỉnh hợp lặp
chập 2 của 26 chữ cái tiếng Pháp và sắp thứ tự các chỉnh hợp lặp này theo thứ tự từ
điển. Một cách tương tự, ông tiếp tục xét và sắp thứ tự các chỉnh hợp lặp chập 3, 4,
5… của 26 chữ cái tiếng Pháp.
Với k ≥ 2 cho trước, số chỉnh hợp lặp chập k của 26 là 26k. Tập hợp E các
chỉnh hợp lặp chập k (k = 2, 3, 4…) của 26 chữ cái tiếng Pháp là tập đếm được. Bất
kỳ một diễn đạt nào gồm hữu hạn từ tiếng Pháp đều tương ứng với duy nhất một
phần tử của E. Ví dụ: Je vais à l'école (Tôi đến trường) tương ứng với phần tử
jevaisalecole ∈ E. Đặc biệt, việc xác định một số thực bằng hữu hạn từ tương ứng
với việc thiết lập một chỉnh hợp lặp chập k nào đó của 26 chữ cái tiếng Pháp.
Gọi G là tập những phần tử của E tương ứng với việc xác định một số thực
bằng hữu hạn từ, ta có G đếm được và được sắp thứ tự (với thứ tự của E thu hẹp
trên G). Gọi u i là số thực được xác định từ phần tử thứ i của E. Tập G' = {u i | i

Được chứng minh năm 1891, định lý Cantor phát biểu rằng bản số của một tập bất kỳ luôn nhỏ hơn bản số
của tập các tập con của nó.
9


10

∈ N*} là tập đếm được gồm các số thực được xác định bằng hữu hạn từ.
Ta xây dựng số thực N có cách viết trong hệ thập phân như sau:
- Phần nguyên của N là 0;
- Nếu chữ số thứ n trong phần thập phân của u n là p thì chữ số thứ n trong
phần thập phân của N là p + 1 (khi p ≠ 8 và p ≠ 9) hoặc là 1 (khi p = 8 hoặc p = 9).
Với mọi n ∈ N*, ta có N ≠ u n vì chúng có ít nhất chữ số thập phân thứ n khác
nhau (cách xây dựng N cho phép tránh hai cách biểu diễn thập phân khác nhau của
cùng một số thực, chẳng hạn 0,(9) = 1). Vậy N ∉ G'. Mặt khác, N được xác định

bằng hữu hạn từ nên N ∈ G'. Ta thu được hai kết quả mâu thuẫn.
Ta giải quyết nghịch lý này bằng cách phân biệt hai mức độ ngôn ngữ: ngôn
ngữ bình thường (đôi khi được gọi là ngôn ngữ đối tượng) và ngôn ngữ được sử
dụng để mô tả lý thuyết đang xét (siêu ngôn ngữ và thường chưa được hình thức
hóa). Khi định nghĩa một tập đếm được các số thực có thể định nghĩa bằng một số
hữu hạn từ, ta hiểu rằng các từ này thuộc về một ngôn ngữ cụ thể của một dân tộc
nào đó. Việc mô tả số thực N được thực hiện bằng một số hữu hạn từ trong siêu
ngôn ngữ. Quá trình xây dựng N cho thấy rằng nó không thể mô tả bằng một số hữu
hạn từ trong ngôn ngữ đối tượng. Khi mã hóa siêu ngôn ngữ thành ngôn ngữ đối
tượng, nghịch lý Richard không còn là nghịch lý [10, tr.4].
1.1.3.1.3. Nghịch lý Berry
Nghịch lý Berry là một dạng khác của nghịch lý Richard, được Russel phát
hiện năm 1906 và đặt tên theo tên của Berry (1867-1928) - thủ thư thư viện Bodley
thuộc đại học Oxford.
Xét “Số tự nhiên nhỏ nhất không thể mô tả bằng không quá mười sáu từ” 10. Số
này có thuộc tập các số tự nhiên được mô tả bằng một phát biểu không quá mười
sáu từ hay không?
Gọi E là tập các số tự nhiên được mô tả bằng một phát biểu không quá mười
sáu từ và n là “số tự nhiên nhỏ nhất không thể mô tả bằng không quá mười sáu từ”.
Trong nguyên văn tiếng Pháp, số này được mô tả bằng đúng mười lăm từ là: “Le plus petit entier naturel
non descriptible par une expression de quinze mots ou moins”. Về nguyên tắc, có thể thay số 16 bằng một số
bất kỳ lớn hơn số từ mà ta sử dụng để mô tả số tự nhiên đang xét.
10


11

Ta có n ∈ E (vì định nghĩa của n có đúng 15 từ) và n ∉ E (vì n không thể mô tả
bằng không quá 16 từ). Ta gặp lại một mâu thuẫn tương tự nghịch lý Richard.
1.1.3.2. Các nghịch lý liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập

Liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập, chúng tôi chọn nghịch lý
Russell để phân tích.
Quay lại nghịch lý Cantor, nếu ký hiệu S là tập tất cả các tập hợp, ta có S (với
tư cách là một tập) là một phần tử của S (với tư cách là tập tất cả các tập hợp). Nói
cách khác, S ∈ S hay S là một phần tử của chính nó.
Nếu tránh nói đến tập tất cả các tập hợp, ta vẫn có thể nêu một ví dụ khác về
sự tồn tại của những tập là phần tử của chính nó. Gọi E là tập các tập hợp có hơn
một phần tử, ta có N ∈ E và Z ∈ E nên E ∈ E (vì E có hơn một phần tử).
Điều này khiến Russell xét G là tập các tập hợp không phải là phần tử của
chính nó và đặt câu hỏi G ∈ G hay G ∉ G? Nếu G ∈ G thì G là phần tử của chính
nó nên G ∉ G (theo định nghĩa). Nếu G ∉ G thì G không phải là phần tử của chính
nó nên G ∈ G (theo định nghĩa). Mỗi trường hợp G ∈ G hay G ∉ G đều dẫn đến
mâu thuẫn.
Nghịch lý Russell còn được phát biểu dưới dạng nghịch lý người thợ cạo:
Ở làng Seville có một ông thợ cạo. Tại làng này, tất cả đàn ông đều tự cạo râu
hoặc nhờ thợ cạo. Ông thợ này cho biết: “Tôi chỉ cạo râu cho những người đàn ông
làng Seville không tự cạo râu được”. Hỏi ông thợ cạo có cạo râu cho chính mình
không? Việc khảo sát hai khả năng có hoặc không đều dẫn đến mâu thuẫn.
Nếu thuộc nhóm tự cạo râu (nhóm 1) thì ông thợ cạo không cạo râu cho những
người tự cạo râu, tức là ông không cạo cho ông. Nhưng nếu như vậy thì ông phải
thuộc nhóm không tự cạo râu (nhóm 2). Nếu ở nhóm không tự cạo râu (nhóm 2) thì
ông thợ cạo sẽ cạo râu cho ông vì ông cạo râu cho những người thuộc nhóm 2. Lúc
đó hoá ra ông lại tự cạo râu cho mình, nghĩa là ông thuộc nhóm 1.
Vậy ông thợ cạo thuộc nhóm nào? Điều này sẽ dễ dàng giải quyết nếu người
thợ cạo không sống ở làng Seville hoặc là phụ nữ. Tuy nhiên, câu chuyện đã xác
định rõ người thợ cạo sống ở làng Seville và là đàn ông [10, tr.5].


12

Nghịch lý Russell chỉ ra những mâu thuẫn lô-gic có thể phát sinh khi xác định
một tập hợp bằng cách nêu đặc trưng. Việc giải quyết những mâu thuẫn này đòi hỏi
phải xây dựng những điều kiện về tính hợp thức của tính chất đặc trưng của một tập
mà Cantor chưa thực hiện. Chúng tôi sẽ quay lại nghịch lý Russell khi trình bày về
lý thuyết Zermelo-Fraenkel trong mục 2.1 dưới đây.
1.2. Tiên đề hóa lý thuyết tập hợp: hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von
Neumann-Bernays-Gödel, hệ tiên đề Russell
Cantor chưa giải quyết triệt để các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của mình:
ông không đề xuất giải pháp đối với một số nghịch lý (chẳng hạn nghịch lý Russell)
hoặc giải pháp của ông còn mang tính hình thức (chẳng hạn “số nhiều phù hợp” hay
“vô hạn tuyệt đối”).
Sự tồn tại các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor và những tranh cãi
xung quanh giả thuyết continuum đòi hỏi phải có một định nghĩa chính xác về tập
hợp. Nhiều nhà toán học đã nghĩ đến phương pháp tiên đề mà Hilbert từng sử dụng
vào năm 1899 khi xây dựng cơ sở của hình học Euclide.
Trong số nhiều cố gắng tiên đề hóa lý thuyết tập hợp của Cantor, được sử
dụng nhiều nhất là hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-BernaysGödel và hệ tiên đề Russell. Lý thuyết tập hợp xây dựng trên các hệ tiên đề này
tương ứng gọi là lý thuyết ZF, lý thuyết lớp và lý thuyết kiểu.
1.2.1. Hệ tiên đề và lý thuyết Zermelo-Fraenkel
Hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel (hoặc hệ tiên đề ZF) được xây dựng từ các tiên
đề do Ernst Zermelo (1871-1953) phát biểu năm 1908, cộng thêm tiên đề về thay
thế do Abraham Adolf Halevi Fraenkel (1891-1965) bổ sung. Thoralf Albert
Skolem (1887-1963) là người diễn đạt lại hệ tiên đề ZF dưới dạng thường thấy ngày
nay (xem phụ lục 1).
Mục tiêu chính của hệ tiên đề ZF là loại bỏ những sai lệch liên quan đến các
khái niệm trực giác về tập hợp và liên thuộc trong lý thuyết tập hợp của Cantor.
Đặc biệt, tiên đề 7 của hệ tiên đề ZF quy định điều kiện đối với tính chất đặc
trưng của một tập và cho phép giải quyết nghịch lý người thợ cạo của Russell.

13

Tiên đề 7 (tiên đề về cách hiểu). Với bất kỳ tập hợp E, với bất kỳ tính chất 11
P được diễn đạt bằng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp, tồn tại một tập F chứa các
phần tử của E thỏa mãn tính chất P. Có thể phát biểu một cách hình thức tiên đề này
như sau:
∀E ∀P ∃F ∀x [x ∈ F ⇔ (x ∈ E ∧ P(x) = 1)]
Trở lại nghịch lý người thợ cạo, gọi E là tập gồm đúng một phần tử là ông thợ
cạo làng Seville, P là tính chất “không tự cạo râu cho chính mình”. Ta không tìm
được tập F = {x ∈ E | P(x)}. Vậy tính chất P là không hợp thức trong lý thuyết tập
hợp [10, tr.5].
Hệ tiên đề ZF cũng cho phép chứng minh không tồn tại tập tất cả các tập hợp
và không tồn tại tập hợp là phần tử của chính nó (xem phụ lục 1).
Trở lại nghịch lý Russell (dạng tập hợp) đã trình bày trong mục 1.3.2, ta thấy
mọi tập hợp thỏa hệ tiên đề ZF đều không là phần tử của chính nó. Do đó, “tập” các
tập hợp không là phần tử của chính nó là một cách diễn đạt khác của “tập” tất cả các
tập hợp và cả hai “tập” này đều không tồn tại trong lý thuyết ZF.
1.2.2. Hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel và lý thuyết lớp
Năm 1925, John von Neumann (1903-1957) xây dựng lý thuyết lớp từ khái
niệm hàm số. Năm 1930, Paul Bernays (1888-1977) xây dựng lại và đơn giản hóa lý
thuyết lớp của von Neumann dựa vào khái niệm tập hợp và quan hệ liên thuộc.
Năm 1940, Kurt Gödel (1906-1978) dựa vào công trình của Bernays để trình bày
một phiên bản mới của lý thuyết lớp nhằm phục vụ cho việc chứng minh tính chặt
chẽ tương đối của tiên đề chọn và giả thuyết continuum. Phiên bản sau cùng này
còn gọi là hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel (hoặc hệ tiên đề NBG).
Năm 1955, John Leroy Kelley (1916-1999) xuất bản chuyên luận General
topology (Tôpô đại cương) trong đó ông giới thiệu lý thuyết Morse-Kelley - một lý
thuyết lớp khác mạnh hơn lý thuyết NBG.
Như chúng tôi đã xác định ở trên, phần này chỉ đề cập đến lý thuyết lớp NBG.
Lý thuyết lớp phân biệt hai khái niệm lớp và tập hợp. Tập hợp được xem là

11

Tính chất ở đây được hiểu là một công thức của phép tính vị từ một biến (Chú thích của tài liệu đã dẫn).


14

một lớp đặc biệt và tồn tại lớp chứa tất cả các tập hợp. Một lớp A là một tập hợp nếu
tồn tại một lớp B sao cho A ∈ B. Một lớp không phải là tập hợp được gọi là lớp thật
sự. Một cách hình thức, ta có A là lớp thật sự nếu và chỉ nếu A ∉ B với mọi lớp B.
Chẳng hạn, lớp tất cả các tập hợp lớp hoặc lớp các tập hợp không phải là phần tử
của chính nó là các lớp thật sự.
Lý thuyết lớp gồm 7 tiên đề về lớp đặc biệt và 10 tiên đề về lớp thật sự (xem
phụ lục 2). Có thể xem lý thuyết lớp là một mở rộng của lý thuyết ZF. Do đó, mọi
mệnh đề đúng trong lý thuyết ZF cũng đúng trong lý thuyết lớp. Ngược lại, mọi
mệnh đề đúng chỉ nói về lớp đặc biệt trong lý thuyết lớp cũng đúng trong lý thuyết
ZF.
Trở lại nghịch lý Cantor đã trình bày trong mục 1.3.1.1, ta có lớp tất cả các tập
hợp (ký hiệu S) là một lớp thật sự. Ta suy ra lớp các lớp con của S (ký hiệu P(S))
cũng là một lớp thật sự. Vì ta chỉ định nghĩa ánh xạ giữa hai tập hợp nên tương ứng
f : P(S) → S, E  f(E) = E không là ánh xạ. Do đó, không thể suy ra card P(S) ≤
card S.
1.2.3. Lý thuyết kiểu
Phiên bản đầu tiên của lý thuyết kiểu (còn gọi là lý thuyết phân nhánh) được
Bertrand Russell (1872-1970) trình bày trong The Principles of Mathematics (Các
nguyên lý toán học) xuất bản năm 1903 nhằm giải quyết các nghịch lý lôgic, trong
đó có các nghịch lý của lý thuyết tập hợp 12. Phiên bản này được Frank Ramsey
(1903-1930) đơn giản hóa, được thay thế bằng lý thuyết Zermelo-Frankel năm 1922
và được xem xét lại sau các phát hiện về phép tính lamda và lôgic tổ hợp.

Lý thuyết kiểu là một nhánh của lôgic toán theo đó một đối tượng bất kỳ
(thuật ngữ, tập hợp, hàm số...) là một kiểu và các thực thể chỉ có thể kết hợp với
nhau theo những quy tắc về định kiểu (xem phụ lục 3).
Áp dụng các quy tắc định kiểu vào lý thuyết tập hợp của Cantor, ta tránh được
các nghịch lý đã nêu.

Cần phân biệt tác phẩm này với 3 quyển Principia Mathematica (viết bằng tiếng Anh nhưng có tựa là tiếng
Latin) do Russell viết chung với Alfred North Whitehead (1861-1947) và xuất bản từ 1910 đến 1913.
12


15

1.3. Lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại
Nhu cầu tiên đề hóa lý thuyết tập hợp của Cantor làm nảy sinh nhiều lý thuyết
khác nhau về tập hợp. Cho đến nay, các nhà toán học chưa phát hiện sự mâu thuẫn
giữa các lý thuyết này và công nhận lý thuyết ZF là sự tiên đề hóa phù hợp nhất với
lý thuyết tập hợp của Cantor.
1.3.1. Lý thuyết tập hợp trong chuyên luận của Bourbaki
Năm 1935, một số nhà toán học hàng đầu thế giới họp mặt tại Besse-et-SaintAnastaise (Pháp) để bàn việc viết chung một chuyên luận về giải tích. Sau cùng, với
bút danh Nicolas Bourbaki, họ cho ra đời bộ Éléments de mathématique 13 (Các cơ
sở của toán học) gồm 10 quyển mà Théorie des ensembles (Lý thuyết tập hợp) là
quyển đầu tiên.
Théorie des ensembles nói riêng, Éléments de mathématique nói chung, là tác
phẩm kinh điển của toán học vì những lý do sau đây:
- Mặc dù những người sáng lập tuyên bố Nicolas Bourbaki đã mất,
Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki (Hiệp hội các cộng tác viên của
Nicolas Bourbaki) thành lập năm 1952 vẫn không ngừng kết nạp thành viên mới.
Các thành viên của nhóm Nicolas Bourbaki đều là những nhà toán học hàng đầu thế
giới và đã nhận 5 giải thưởng Fields: Laurent Schwartz (1950), Jean-Pierre Serre

(1954), Alexandre Grothendieck (1966), Alain Connes (1982) và Jean-Christophe
Yoccoz (1994).
- Éléments de mathématique được xây dựng trên cơ sở khái niệm cấu trúc và
được viết bằng một ngôn ngữ hình thức hóa chặt chẽ cho phép nhìn rõ mối liên hệ
giữa các ngành toán học khác nhau.
- Éléments de mathématique có ảnh hưởng lớn đến việc dạy và học toán, đặc
biệt là cuộc cải cách giáo dục do tiểu ban Lichnerowicz đề xướng năm 1969 tại
Pháp.
Phần này giới thiệu tóm tắt nội dung của lý thuyết tập hợp được trình này
trong chuyên luận Théorie des ensembles của Nicolas Bourbaki.
Khác với các quy tắc văn phạm hiện hành, từ mathématique (toán học) trong tựa tác phẩm được viết ở
dạng số ít với mong muốn trình bày tất cả các kiến thức toán học thành một khối duy nhất.

13


16

Chuyên luận này được tác giả viết trong 4 chương:
Chương I: Description de la mathématique formelle (mô tả toán học hình
thức). Nội dung của chương trình bày một cách có hệ thống các thuật ngữ và lý
thuyết về logic, định lượng và tương đương trong toán học.
Chương II: Théorie des ensembles (lý thuyết tập hợp). Chương này gồm 6 bài.
Chủ đề được trình bày trong chương là: Quan hệ tập hợp hóa, cặp thứ tự, tương
ứng, phép hợp và giao của họ tập hợp, tích một họ tập hợp và quan hệ tương tương.
Trong các chủ đề có lồng ghép các tiên đề và các tiên đề chỉ xuất hiện trong chương
này:
Quan hệ tập hợp hóa gồm tiên đề về đẳng thức, tiên đề về bộ đôi, tiên đề về
tập rỗng và sơ đồ chọn. Quan hệ bao hàm và quan hệ tập hợp hóa cũng được trình
bày trong chủ đề này.

Cặp thứ tự trình bày về cặp thứ tự và tích của hai tập hợp.
Tương ứng trình bày các khái niệm về tương ứng và hàm. Phép co và phép cắt
cũng được nhắc đến trong chủ đề này.
Phép hợp và giao của họ tập hợp trình bày định nghĩa và tính chất của hai
phép này, khái niệm phủ, phân hoạch và tổng của một họ các tập.
Tích một họ tập hợp gồm tiên đề về tập các tập con. Chủ đề này trình bày định
nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích họ các tập hợp.
Quan hệ tương tương trình bày về định nghĩa quan hệ tương đương, mở rộng
thêm lớp tương đương và lớp thương.
Chương III: Ensembles ordonnés, cardinaux, nombres entiers (tập thứ tự, lực
lượng, số nguyên). Chương này trình bày các nội dung về tập thứ tự, lực lượng và
số nguyên như tên của chương đã giới thiệu.
Chương IV: Structures (cấu trúc). Chương này trình bày về cấu trúc, cấu xạ,
các ứng dụng và ví dụ của nó.
1.3.2. Vai trò của lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại
Ra đời từ cuối thế kỉ XIX, lý thuyết tập hợp đã nhanh chóng trở thành một
ngành toán học với nội dung phong phú. Trong toán học hiện đại lý thuyết tập hợp
có hai vai trò chính sau:


17

- Cùng với lô-gic toán, lý thuyết tập hợp là một trong hai nền tảng của toán
học hiện đại. Tác giả Hoàng Tụy nhận định: “Có thể nói rằng không có lĩnh vực nào
trong toán học không chịu ảnh hưởng trực tiếp hay gián tiếp của nó”.[15, tr.80]
- Lý thuyết tập hợp là một hệ thống biểu đạt giúp thể hiện các đối tượng cơ
bản (số, hàm số…) và các mệnh đề toán học thuộc nhiều ngành toán học khác nhau
thành một khối nhất quán theo quan điểm cấu trúc.

Kết luận chương 1

Những phân tích trên giúp chúng tôi trả lời hai nhóm câu hỏi đã đặt ở đầu
chương:
- Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác đưa Cantor đến bài toán khảo
sát, so sánh và phân loại lực lượng các tập vô hạn mà lời giải trở thành một phần
quan trọng trong lý thuyết tập hợp của Cantor.
- Vì khái niệm tập hợp không được định nghĩa, quá trình hình thành và phát
triển lý thuyết tập hợp làm nảy sinh hai nhóm nghịch lý: các nghịch lý liên quan đến
ngôn ngữ chưa được hình thức hóa và các nghịch lý liên quan đến tính chất đặc
trưng của một tập.
- Việc giải quyết các nghịch lý khiến các nhà toán học phải tiên đề hóa khái
niệm tập hợp. Trong số các hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von NeumannBernays-Gödel và hệ tiên đề Russell, hệ tiên đề ZF được công nhận là sự tiên đề
hóa phù hợp nhất với lý thuyết tập hợp của Cantor.
- Ngày nay, lý thuyết tập hợp vừa là nền tảng, vừa là ngôn ngữ biểu đạt của
các ngành toán học.