một nghiên cứu didactic về khái niệm bất đẳng thức trong chương trình phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
___________________

Chu Thùy Giang

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ KHÁI NIỆM BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
______________

Chu Thùy Giang

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ KHÁI NIỆM BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến
Tiến sĩ Nguyễn Ái Quốc, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ
tôi rất nhiều trong suốt quá trình nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Hoài Châu, thầy Lê
Văn Tiến, thầy Trần Lương Công Khanh, thầy Lê Thái Bảo Thiên
Trung, những người đã tận tâm, nhiệt tình giảng dạy chúng tôi
trong suốt khóa học.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ
Chí Minh, các anh chị chuyên viên phòng sau đại học đã tạo
thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận
văn.
Cảm ơn tất cả các bạn trong khóa Didactic 21 đã giúp đỡ,
chia sẽ những khó khăn, kinh nghiệm trong thời gian học tập và
làm luận văn.
Cuối cùng, tôi hết lòng cảm ơn gia đình đã quan tâm và
động viên trong suốt quá trình học tập của tôi.
Chu Thùy Giang


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
MỤC LỤC ...................................................................................................................2
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .........................................................................3

MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ........................................................1
2. Khung lý thuyết tham chiếu ....................................................................................2
3. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu .........................................................................................3
Chương 1 NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG BẤT
ĐẲNG THỨC .............................................................................................................4
1.1 Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông ...............................................4
1.2 Bất đẳng thức giai đoạn ngầm ẩn ..........................................................................7
1.3 Bất đẳng thức giai đoạn tường minh ...................................................................24
1.3.1 SGK lớp 8 ................................................................................................24
1.3.2 SGK lớp 9 ................................................................................................33
1.3.3 Bất đẳng thức trong SGK10 .......................................................................36
Chương 2 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ............................................................50
2.1. Mục tiêu của thực nghiệm ..................................................................................50
2.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm .................................................................50
2.3. Phân tích tiên nghiệm (a priori) .........................................................................51
2.3.1 Các bài toán thực nghiệm ...........................................................................51
2.3.2 Phân tích chi tiết các bài toán .....................................................................51
KẾT LUẬN ...............................................................................................................64
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................66


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

SBT

: Sách bài tập

HS

: Học sinh

GV

: Giáo viên

THPT

: Trung học phổ thông

THCS

: Trung học cơ sở


1

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Bất đẳng thức xuất hiện trong chương trình toán phổ thông xuyên suốt từ bậc
tiểu học, trung học cơ sở đến trung học phổ thông, với một vị trí đặc biệt quan
trọng.

Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó trong chương trình
Toán phổ thông. Bất đẳng thức và tính chất bất đẳng thức có vai trò trong giải bất
phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, xét mối liên hệ
giữa các yếu tố trong tam giác...
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường xuyên xuất hiện trong các đề
thi tuyển sinh và đại học.
Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn, sai lầm khi thao
tác trên đối tượng bất đẳng thức. Chẳng hạn:
1) Khi so sánh

5
−3
và
. HS đã trình bày như sau:
a
a

Ta có: 5 > - 3 (*). Nhân 2 vế của (*) với

−3
5
1
ta có: >
(!)
a
a
a

Sai lầm trong lời giải trên là HS nhân 2 vế của (*) với một số mà chưa
biết số đó âm hay dương.

2) Khi chứng minh bất đẳng thức (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8a2b2c2, với
mọi a, b, c. HS đã trình bày như sau:
Với mọi x, y ta có: x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 ≥ 0
⇒ x + y ≥ 2xy. Do đó :
2

2

a2 + b2 ≥ 2ab
b2 + c2 ≥ 2bc
c2 + a2 ≥ 2ca
Suy ra (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8a2b2c2 (!)


2

Sai lầm trong lời giải trên là nhân vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều mà
không kiểm tra điều kiện các vế không âm .
Tại sao học sinh mắc phải những sai lầm này? Còn những sai lầm nào khác gắn liền
với khái niệm này không?
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi chọn chủ đề “Một nghiên cứu didactic về
khái niệm bất đẳng trong chương trình phổ thông” làm đề tài cho luận văn thạc sĩ
của mình. Luận văn này trả lời cho các câu hỏi sau đây:
CH1’. Khái niệm bất đẳng thức được đưa vào chương trình phổ thông như thế
nào? Được định nghĩa ra sao? Gồm những tính chất gì? Các dạng toán nào liên quan
đến bất đẳng thức? Chúng tiến triển ra sao qua các khối lớp, bậc học?
CH2’. Học sinh thường có những sai lầm nào khi giải quyết các bài toán gắn
liền với bất đẳng thức? Những sai lầm này nảy sinh từ đâu?
2. Khung lý thuyết tham chiếu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc

vận dụng các yếu tố lý thuyết sau:
- Lý thuyết nhân chủng học. Cụ thể, chúng tôi sử dụng các khái niệm "quan hệ
thể chế", "quan hệ cá nhân", "tổ chức toán học".
- Lý thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm (a priori) và phân tích hậu
nghiệm (a posteriori).
- Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng khái niệm chướng ngại, sai lầm, quy tắc
hành động, hợp đồng dạy học để phục vụ cho việc nghiên cứu.
3. Mục đích nghiên cứu
Chúng tôi xác định các khái niệm:
- Mối quan hệ thể chế R(I,O), với I là thể chế dạy học phổ thông môn Toán
hiện hành ở Việt Nam, O là đối tượng bất đẳng thức.
- Mối quan hệ cá nhân R(X,O), với X là người học (HS) hoặc người dạy (GV).
Chúng tôi giới hạn lại đề tài với việc chỉ nghiên cứu đối tượng bất đẳng thức
trên phương diện đối tượng trong chương trình toán đại số ở phổ thông. Chúng tôi


3

chỉ nghiên cứu các bất đẳng thức “sơ cấp” (không đề cập đến việc huy động công cụ
giải tích để giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến bất đẳng thức).
Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình
bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời
chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:
CH1. Đối tượng bất đẳng thức được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể
chế dạy học Toán phổ thông hiện hành? Có những tổ chức toán học nào liên quan
đến đối tượng bất đẳng thức? Các tổ chức toán h ọc đó có đặc trưng gì và tiến triển
như thế nào qua các khối lớp?
CH2. Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ
cá nhân HS với đối tượng bất đẳng thức? Khi giải quyết kiểu nhiệm vụ so sánh và
chứng minh bất đẳng thức học sinh mắc phải những sai lầm nào? Những quy tắc

hành động nào, quan niệm nào dẫn đến những sai lầm đó?
4. Phương pháp nghiên cứu
Để tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra, chúng tôi tiến hành nghiên cứu theo
các bước sau:
- Nghiên cứu mối quan hệ thể chế R(I,O) thông qua việc phân tích chương
trình và các SGK Toán phổ thông hiện hành. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ cách xây
dựng đối tượng trên, cũng như chỉ ra được các TCTH cùng với sự tiến triển của
chúng qua các khối lớp. Những kết quả thu được sẽ cho phép trả lời cho câu hỏi
CH1, được trình bày trong chương 1: "Mối quan hệ thể chế với khái niệm bất
đẳng thức ở trường phổ thông".
- Từ những kết quả phân tích trên, chúng tôi hình thành nên những giả thuyết
nghiên cứu. Chúng tôi sẽ kiểm chứng những giả thuyết đó bằng cách xây dựng và
tiến hành thực nghiệm đối với HS bằng các phiếu câu hỏi. Qua đó, thực nghiệm
cũng làm rõ mối quan hệ cá nhân R(X,O). Các kết quả nhận được cũng cho phép
chúng tôi đưa ra câu trả lời cho các câu hỏi CH2 và được trình bày trong chương 2:
“Nghiên cứu thực nghiệm”.


4

Chương 1
NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI
ĐỐI TƯỢNG BẤT ĐẲNG THỨC

Mục tiêu của chương này là tìm các câu trả lời cho câu hỏi sau:
CH1. Đối tượng bất đẳng thức được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể
chế dạy học Toán phổ thông hiện hành? Có những tổ chức toán học nào liên quan
đến đối tượng bất đẳng thức? Các tổ chức toán học đó có đặc trưng gì và tiến triển
như thế nào qua các khối lớp?
Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình toán

phổ thông và sách giáo khoa toán từ lớp 1 đến lớp 10 hiện hành. Hiện nay, chương
trình môn Toán lớp 10 có 2 bộ sách: bộ sách cơ bản và bộ sách nâng cao. Trong
luận văn này, chúng tôi chỉ xem xét đến bộ sách Đại số 10 nâng cao.
Để thuận tiện chúng tôi dùng các kí hiệu sau đây: SGKi, SGVi, SBTi (i =
1,…,10), tương ứng là sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập ở lớp 1,2,...,10.
1.1 Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông
Đối tượng bất đẳng thức gắn liền với dạy học so sánh trên các tập số. Nội
dung dạy học so sánh trên các tập số xuất hiện xuyên suốt chương trình Toán phổ
thông cùng với sự mở rộng của các tập số qua các khối lớp. Nội dung học tập các
tập số ở phổ được quy định trong trong Tài liệu Chương trình giáo dục phổ thông
môn Toán (2006) ([1], tr. 8) như sau:


5

Mạch nội dung

Chủ đề
Số tự nhiên

Số học

Lớp
1

2

3

4

5

6

*

*

*

*

*

*

Số nguyên

7

8

9

10

11

12

*

Số hữu tỉ
- Phân số

+

+

- Số thập phân

*

*

*

*

*

*

- Số hữu tỉ

*

Số thực

*

*

Số phức

*

Bảng 1.1: Nội dung học tập các tập số ở phổ thông
Ghi chú.

+ : Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị.
* : Học chính thức.

Từ bảng 1.1, chúng tôi nhận thấy nội dung dạy học so sánh trên các tập số xuất
hiện liên tục từ lớp 1 đến lớp 7 và hoàn thiện ở lớp 9. Nội dung dạy học so sánh trên
các tập số được quy định trong [1] như sau:
Lớp 1:
- So sánh các số tự nhiên đến 10 (tr. 12);
- So sánh các số tự nhiên đến 100 (tr. 12).
Lớp 2:
- So sánh các số trong phạm vi 1000 (tr.13).
Lớp 4:
- So sánh các số tự nhiên đến lớp triệu và hệ thống hóa về số tự nhiên và
hệ thập phân (tr. 15);
- So sánh hai phân số (tr. 16).
Lớp 5:
- So sánh các số thập phân (tr. 17).
Lớp 6:
- Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên (tr. 18);

- Biểu diễn số nguyên trên trục số; thứ tự trong

(tr. 18).


6

Lớp 7:
- Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số; so sánh các số hữu tỉ (tr. 19);
- Biểu diễn số thực trên trục số và so sánh các số thực (tr. 19).
Đến lớp 8 bất đẳng thức được định nghĩa chính thức trong bài “Liên hệ thứ tự
với phép cộng và phép nhân”. Với yêu cầu mức độ cần đạt:
Về kiến thức:
Nhận biết được bất đẳng thức.
Về kĩ năng:
Biết áp dụng một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức để so sánh hai số hoặc chứng
minh hai bất đẳng thức.
([1], tr.114)

Chương trình Toán 9 giới thiệu tính chất về mối liên hệ giữa quan hệ thứ tự và
phép khai phương trong bài “Căn bậc hai”, với yêu cầu:
Biết được liên hệ của phép khai phương với quan hệ thứ tự và dùng liên hệ này để so
sánh các số.
(SGV9, tr.15)

Chương trình Toán 10 định nghĩa bất đẳng thức theo ngôn ngữ mệnh đề, hệ
thống, bổ sung các tính chất bất đẳng thức, giới thiệu bất đẳng thức Cô – si và bất
đẳng thức giá trị tuyệt đối. Yêu cầu mức độ cần đạt:
Về kiến thức:
- Biết khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức.

- Hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số.
- Biết được một số bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối như:

∀x ∈ R, x ≥ 0; x ≥ x; x ≥ − x;
x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a;
x ≥ a
x ≤a⇔
;
 x ≤ −a
a+b ≤ a + b .

(với a > 0)

Về kĩ năng:
- Vận dụng được tính chất của bất đẳng thức hoặc dùng phép biến đổi tương đương để
chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản.


7

- Biết vận dụng bất đẳng thức giũa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số vào
việc chứng minh một số bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
một biểu thức đơn giản.
- Chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản có chứa giá trị tuyệt đối.
- Biết biểu diễn các điểm trên trục số thỏa mãn các bất đẳng thức

x < a; x > a (a > 0) .
([1], tr.140,141)

Tính chất bất đẳng thức được sử dụng làm công cụ để chứng minh các phép

biến đổi tương đương bất phương trình, giải phương trình đại số, lượng giác, …
Chương trình Toán 12 sử dụng công cụ giải tích để chứng minh bất đẳng thức. Tuy
nhiên trong phạm vi của đề tài chúng tôi không nghiên cứu phần này.
Nhận xét
- Bất đẳng thức xuất hiện từ lớp 1 nhưng chưa được gọi tên.
- Đối tượng bất đẳng thức gắn liền với nội dung dạy học so sánh trên tập số từ
lớp 1 đến lớp 7.
- Bất đẳng thức được định nghĩa chính thức ở lớp 8, được bổ sung tính chất ở
lớp 9 và hoàn thiện ở lớp 10.
- Bất đẳng thức xuất hiện trong chương trình Toán phổ thông được chia làm
hai giai đoạn:
+ Giai đoạn ngầm ẩn: Từ lớp 1 đến lớp 7.
+ Giai đoạn tường minh: Từ lớp 8 đến lớp 10.
1.2 Bất đẳng thức giai đoạn ngầm ẩn
1.2.1 SGK lớp 1
Trong SGK Toán 1, HS bắt đầu được tiếp cận với bài toán so sánh số lượng
của hai nhóm đồ vật trong bài “Nhiều hơn, ít hơn”. Chẳng hạn,

(SGV1, tr. 6)


8

Trong đó, các yêu cầu so sánh số lượng này đều do GV nêu ra cho HS thực
hiện. SGK chỉ thể hiện hình vẽ mà không đưa ra lời yêu cầu. Mục tiêu của bài này
là giúp HS:
- Biết so sánh số lượng của hai nhóm đồ vật.
- Biết sử dụng các từ “nhiều hơn”, “ít hơn” khi so sánh về số lượng.
(SGV1, tr.21)

Ở đây xuất hiện kiểu nhiệm vụ T SS_sopt : “So sánh sự nhiều hơn, ít hơn về số
phần tử của hai tập hợp”. Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là so sánh các nhóm có
không quá 5 đối tượng. Hơn nữa, HS chưa được dùng phép đếm, chưa dùng các từ
chỉ số lượng. Với những đặc trưng trên, SGV1 đưa ra Kĩ thuật τ SS _ Sopt để giải quyết
T SS_sopt :
- Ta nối một … chỉ với một …
- Nhóm nào có đối tượng (chai và nút chai, ấm đun nước, …) bị thừa ra thì nhóm đó
có số lượng nhiều hơn, nhóm kia có số lượng ít hơn.
(SGV1, tr. 22)

Công nghệ θ SS _ Sopt : phép tương ứng 1-1.
Bài toán so sánh đầu tiên gắn liền với hình ảnh thực tế. Việc đưa ra bài toán so
sánh số lượng của hai nhóm đồ vật khi HS chưa được tiếp cận với các số tự nhiên,
chưa biết đếm với mục đích: “Biết lập tương ứng 1 – 1 để so sánh số lượng các
nhóm đối tượng” (SGV1, tr.15). Như vậy, khái niệm “nhiều hơn”, “ít hơn” được
giới thiệu thông qua kiểu nhiệm vụ T SS_Sopt gắn liền với hình ảnh thực tế chứ không
được định nghĩa cụ thể bằng lời. Từ kĩ thuật τ SS _ Sopt hình thành cho HS về ý nghĩa
của từ “nhiều hơn”, “ít hơn”: nhiều hơn là “thừa”, ít hơn là “thiếu”.
Sau khi đề cập các số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5 và thứ tự của chúng, SGK1 đưa ra
từ “bé hơn” (kí hiệu dấu <), “lớn hơn” (kí hiệu dấu >), “bằng nhau” (kí hiệu dấu =)
để so sánh hai số tự nhiên thông qua kiểu nhiệm vụ T Đếm_SS : “Xác định hai số tự
nhiên tương ứng với số phần tử của hai tập hợp và so sánh chúng”.
Ví dụ 1(SGK1, tr.17)


9

Hướng dẫn từ SGV1 để thực hiện hoạt động trên:
HS xem lần lượt từng tranh của bài học hoặc quan sát trên mô hình và trả lời từng câu
hỏi như sau:

+ Đối với tranh thứ nhất: “Bên trái có mấy ô tô?” (Bên trái có 1 ô tô), “Bên phải có
mấy ô tô?” (bên phải có 2 ô tô). “1 ô tô có ít hơn 2 ô tô không?” (1 ô tô ít hơn 2 ô tô).
Cho HS nhìn tranh và nhắc lại: “Một ô tô ít hơn hai ô tô”.
+ Đối với hình vẽ ngay dưới trang ở bên trái: Hỏi tương tự như trên để cuối cùng HS
nhắc lại được: “1 hình vuông ít 2 hai hình vuông”.
+ GV giới thiệu: “1 ô tô ít hơn 2 ô tô”; “1 hình vuông ít hơn 2 hình vuông”. Ta nói:
Một bé hơn hai và viết như sau: 1 < 2 (viết lên bảng 1 < 2 và giới thiệu dấu < đọc là
“bé hơn”)…GV chỉ vào 1 < 2 và gọi HS đọc “Một bé hơn hai”.
[SGV1, tr.35]

Ví dụ 2 (SGK1, tr.22)

Hướng dẫn từ SGV1 để thực hiện hoạt động trên:


10

Hướng dẫn HS nhận biết 3 = 3:
- Hướng dẫn HS quan sát tranh vẽ của bài học, trả lời các câu hỏi của GV (hoặc HS tự
nêu câu hỏi) để biết:
+ Có 3 con hươu, có 3 khóm cây, cứ mỗi con hươu lại có (duy nhất) một khóm cây (và
ngược lại), nên số con hươu (3) bằng số khóm cây (3), ta có 3 bằng 3.
+ Có 3 chấm tròn xanh, có 3 chấm tròn trắng, cứ mỗi chấm tròn xanh lại có (duy nhất)
một chấm tròn trắng (và ngược lại), nên số chấm tròn xanh (3) bằng số chấm tròn trắng
(3), ta có 3 bằng 3.
- GV giới thiệu “Ba bằng ba” viết như sau:
3 = 3 (dấu = đọc là “bằng”).
[SGV1, tr.39]

Từ hai hướng dẫn trên, chúng tôi đưa ra kĩ thuật τ

Đếm_SS

để giải quyết T Đếm_SS

như sau:
- Đếm số tương ứng với từng nhóm đối tượng: số lượng nhóm bên trái (a), số
lượng nhóm bên phải (b).
- So sánh sự nhiều hơn, ít hơn, bằng nhau của hai nhóm đối tượng.
- Kết luận:
+ Nếu số lượng nhóm đối tượng bên trái nhiều hơn số lượng nhóm đối tượng
bên phải thì a lớn hơn b, kí hiệu a > b.
+ Nếu số lượng nhóm đối tượng bên trái ít hơn số lượng nhóm đối tượng bên
phải thì a bé hơn b, kí hiệu a > b.
+ Nếu số lượng nhóm đối tượng bên trái bằng số lượng nhóm đối tượng bên
phải thì a bằng b, kí hiệu a = b.
Như vậy, quan hệ lớn hơn, bé hơn, bằng nhau của hai số tự nhiên không định
nghĩa cụ thể bằng lời. Nhưng thông qua kĩ thuật τ

Đếm_SS

hình thành ngầm ẩn cho

HS khái niệm lớn hơn, bé hơn của hai số tự nhiên:
a > b: Nhóm đối tượng có a phần tử nhiều hơn nhóm đối tượng có b phần tử.
a < b: Nhóm đối tượng có a phần tử ít hơn nhóm đối tượng có b phần tử.
Các tổ chức toán học liên quan đến quan hệ thứ tự của hai số tự nhiên.
Ngoài T SS_Sopt , T Đếm_SS , trong SGK1 còn có các kiểu nhiệm vụ liên quan đến
quan hệ thứ tự của hai số tự nhiên sau đây:

11

 Kiểu nhiệm vụ T SS_So : “So sánh hai số”
Để có thể phân biệt rõ ràng các kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này chúng ta
có thể dựa vào đặc trưng của hai số cần so sánh.
* So sánh hai số tự nhiên trong phạm vi 10.
Ví dụ (SGK1, Bài 2/ tr.42)
>
<

4…5

2…5

8 … 10

7…7

7…5

4…4

10 … 9

7…9

?

=

Đặc trưng là so sánh 2 số tự nhiên trong phạm vi 10.
+ Kỹ thuậtτ SS_So.1 : Dựa vào dãy các số tự nhiên.
- Số nào đứng trước thì bé hơn.
- Số nào đứng sau thì lớn hơn.
- Hai số không có thứ tự trước sau thì bằng nhau.
+ Công nghệ θ SS_So.1 : Thứ tự các số trong dãy số tự nhiên.
+ Kỹ thuật τ SS_So.2 :
- Tạo ra hai tập hợp có số phần tử bằng với hai số tự nhiên đã cho.
- Tiến trình so sánh hai số tự nhiên được quy về so sánh số phần tử của hai tập
hợp.
+ Công nghệ θ SS_So.2 : Định nghĩa số tự nhiên, so sánh số phần tử của hai tập hợp.
* So sánh hai số tự nhiên có hai chữ số.
Ví dụ (SGK1, tr.142)

Hướng dẫn giải trong SGV1:


12

1. Giới thiệu 62 < 65
- GV hướng dẫn HS quan sát các hình vẽ trong bài học (hoặc dùng que tính thực) để
dựa vào trực quan mà nhận ra: 62 có 6 chục và 2 đơn vị; 65 có 6 chục và 5 đơn vị; 62
và 65 có 6 chục, mà 2 < 5 nên 62 < 65 (đọc là 62 < 65).
- GV tập cho HS nhận biết: 62 < 65 nên 65 > 62.
Chẳng han, bằng nhận xét và sử dụng hình vẽ, que tính … để giúp HS tự nhận ra nếu
62 < 65 thì 65 > 62.
(Chưa yêu cầu nêu nhận xét khái quát về tính chất của quan hệ < và >).
2. Giới thiệu 63 > 58
- GV hướng dẫn HS quan sát các hình vẽ trong bài học (hoặc dùng que tính thực) để

dựa vào trực quan mà nhận ra: 63 có 6 chục và 3 đơn vị, 58 có 5 chục và 8 đơn vị; 63
và 58 có số chục khác nhau: 6 chục lớn hơn 5 chục (60 > 50) nên 63 > 58. Có thể cho
HS tự giải thích.
- GV tập cho HS nhận biết: Nếu 63 > 58 thì 58 < 63 (tương tư đối với 62 và 65)
(SGV1, tr.168)

Ngoài kĩ thuật τ SS_So.2 , để giải quyết T SS_So.2 trong trường hợp hai số tự nhiên
đều có 2 chữ số còn có kĩ thuật τ SS_So.3 :
- So sánh chữ số hàng chục: số nào có chữ số hàng chục lớn hơn thì lớn hơn.
- Nếu chữ số hàng chục bằng nhau thì so sánh tiếp chữ số hàng đơn vị. Số nào
có chữ số hàng đơn vị lớn hơn thì lớn hơn.
Đặc biệt trong hướng dẫn trên, chúng tôi nhận thấy SGK1 đã ngầm ẩn đưa ra
một tính chất bất đẳng thức: Nếu a > b thì b < a và ngược lại.
 Kiểu nhiệm vụ T SS_BT : “So sánh giá trị của hai biểu thức”
Ví dụ (SGK1, Bài 3/ tr.163)
>
<

?

30 + 6 … 6 + 30

45 + 2 … 3 + 45

=
+ Kỹ thuậtτ SS_BT :
- Tính giá trị từng biểu thức.
- So sánh hai giá trị đó và kết luận.
+ Công nghệ θ SS_BT : Phép toán, quy tắc so sánh hai số.

55 .. 50 + 4


13

 Kiểu nhiệm vụ T BS_So : “Bổ sung các số vào dãy số”
Ví dụ (SGK1, Bài 3/ tr.16)
Số

1

? 1

2

5

2

4

5

3

5

1

4

3

3

4

2

Có các đặc trưng sau:
- Các dãy số tự nhiên có thể được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.
- Khoảng cách của số trong dãy số đều nhau. Khi hoàn thành kiểu nhiệm vụ
này sẽ được một dãy các số tự nhiên tăng dần hoặc giảm dần.
+ Kỹ thuật τ BS_So :
- Đếm một vài số trước ô số cần điền.
- Dựa vào thứ tự của các số, để xác định số của ô số cần điền.
+ Công nghệ θ BS_So : phép đếm, dãy số tự nhiên.
 Kiểu nhiệm vụ T SoLN_BN : “Tìm số lớn nhất, số bé nhất của một dãy số”.
Ví dụ (SGK1,Bài 5/ tr.37)
Khoanh tròn vào số lớn nhất (theo mẫu)
a)
b)
c)

4
8
6

,
,

,

2
10
3

,
,
,

7
9
5.

+ Kỹ thuật τ SoLN_BN.1 :
- HS ghi lại các dãy 10 số tự nhiên đầu tiên.
- Dựa vào thứ tự của các số đã cho trong dãy số mà xác định số lớn nhất hay
bé nhất.
+ Công nghệ θ SoLN_BN.1 : Thứ tự của các số trong dãy số tự nhiên.
Bên cạnh đó, SGK1 đưa ra một kĩ thuật khác như sau:


14

+ Kỹ thuật τ SoLN_BN.2 :
- So sánh hai số đầu của dãy số, xác định ra số lớn hơn.
- Lấy số lớn hơn ở bước 1 để so sánh với số tiếp theo của dãy, đưa ra số lớn hơn.
- Tiếp tục quá trình trên cho đến số cuối cùng của dãy.
- Số lớn hơn cuối cùng sẽ là số lớn nhất của dãy số.
- Số bé nhất cũng được làm tương tự.

 Kiểu nhiệm vụ T SX : “Sắp xếp các số đã cho theo thứ tự từ lớn đến bé, từ bé
đến lớn”
Ví dụ (SGK1, Bài 4/ tr.41)
Viết các số 6, 1, 3, 7, 10
a) Theo thứ tự từ bé đến lớn.
b) Theo thứ tự từ lớn đến bé.
+ Kĩ thuật τ

SX :

Giả sử dãy số đã cho gồm n số

- Trước tiên tìm ra số bé nhất trong n số.
- Tìm tiếp số bé nhất trong n – 1 số còn lại.
- Tìm tiếp số bé nhất trong n – 2 số còn lại.
- ……………………………………..
- Tìm số bé hơn trong hai số còn lại.
- Kết thúc quá trình trên được dãy số sắp theo thứ tự từ bé đến lớn.
- Các số theo thứ tự từ lớn đến bé được viết ngược lại từ dãy số từ bé đến lớn.
+ Công nghệ θ SX : so sánh các số với nhau, tìm số bé nhất.
1.2.2 SGK lớp 2
SGK2 củng cố khái niệm “nhiều hơn”, “ít hơn” khi so sánh số lượng của hai
nhóm đối tượng. SGK2 đưa ra bài toán sau:
Ví dụ 1


15

(SGK2, tr.24)
Ví dụ 2

(SGK2, tr.30)
Ở đây xuất hiện kiểu nhiệm vụ T TimsoLB : “Tìm số lớn hơn (số bé hơn)”. Kĩ
thuật τ trong SGV2:
Về bài toán nhiều hơn:
- Biết số bé.
- Biết phần “nhiều hơn” của số lớn so với số bé.
- Tìm số lớn: Số lớn = Số bé + phần “nhiều hơn”.
Về bài toán ít hơn:
- Biết số lớn.
- Biết phần “ít hơn” của số bé so với số lớn.
- Tìm số bé: Số bé = số lớn – phần “ít hơn”.
(SGV2, tr.71)

Như vậy, SGK2 đã ngầm ẩn đưa ra khái niệm lớn hơn, bé hơn đối với hai số tự
nhiên: a > b nghĩa là có số c sao cho a = b + c; a < b nghĩa là có số c sao cho a=b- c.
* Các tổ chức toán học:
 Kiểu nhiệm vụ T SS_So : “So sánh hai số”


16

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này trong SGK2 là so sánh các số tự nhiên có 3
chữ số. Do đó, kĩ thuật τ SS_So.1 và τ SS_So.2 không còn tối ưu nên thể chế không ưu
tiên. Ngoài ra SGK2 còn đưa thêm kĩ thuật τ
+ Kĩ thuật τ

SS_So.4 :

SS_So.4 ,

τ

SS_So.5

như sau:

Việc so sánh hai số tự nhiên được quy về phân tích số lớn hơn

thành tổng của số nhỏ và một số tự nhiên khác, sau đó kết luận. Ví dụ, 5 = 3 + 2,
nên 5 > 3.
+Kĩ thuật τ

SS_So.5 :

Dựa vào vị trí các số trên tia số. Mỗi số ứng với một điểm trên tia số:

- Điểm nào đứng trước thì số ứng với điểm đó bé hơn.
- Điểm nào đứng sau thì số ứng với điểm đó lớn hơn.
- Hai điểm cùng vị trí thì hai số ứng với chúng sẽ bằng nhau.
 Kiểu nhiệm vụ T SS_BT : “So sánh giá trị của hai biểu thức”
Đối với kiểu nhiệm vụ T SS_BT , SGK2 xuất hiện bài tập như sau:
>
<

?

19 + 7 … 17 + 9
17 + 9 … 17 + 7

=
(SGK2, Bài 4/ tr.29)
Đặc trưng của T SS_BT trong ví dụ này là điền dấu (>, <, =) vào dấu … trong
dãy có dạng: a + c … a + d.
Hướng dẫn giải trong SGV2:
Yêu cầu nhẩm ra kết quả phép tính rồi ghi dấu thích hợp vào chổ chấm. Khi so sánh
tổng hai số hoặc hiệu hai số, nếu cần giải thích cách làm thì gợi ý:
- Có thể tính rồi so sánh như sau:
Chẳng hạn: Vì 19 + 7 = 26, 17 + 9 = 26 nên 19 + 7 = 17 + 9.
- Có thể nhận xét: 17 + 9 > 17 + 7 vì hai tổng đều có 17 mà 9 > 7 nên 17 + 9 > 17 +7.
(SGV2, tr.69)

Như vậy, ngoài kĩ thuậtτ SS_BT.1 SGV2 đưa ra kĩ thuật τ SS_BT.2 (so sánh biểu thức
dạng a + c với a + d) để giải quyết T SS_BT.2 như sau:
- So sánh c với d.
- Kết luận.


17

Công nghệ ngầm ẩn: Nếu c < d thì c + a < d + a.
1.2.3 SGK lớp 3
SGK3 đưa ra bài toán “So sánh số lớn gấp mấy lần số bé”:

(SGK3, tr.57)
Và bài toán “So sánh số bé bằng một phần mấy số lớn”.

(SGK3, tr.61)
SGK3 củng cố khái niệm “lớn hơn”, “bé hơn” của hai số. Từ lời giải cho bài
toán trên, SGK2 đã ngầm ẩn đưa ra một kĩ thuật để so sánh hai số tự nhiên: Nếu có

số c sao cho a = c.b thì a > b; Nếu có số d sao cho a =

1
b thì a < b.
d

Các kiểu nhiệm vụ T SS_so , T SS_BT , T BS_so , T SoLN_BN , T SapXep tiếp tục xuất hiện
trong SGK3. Tuy nhiên, đặc trưng của các kiểu nhiệm vụ này là làm việc trên tập số
tự nhiên trong phạm vi 100 000. Do đó, đối với T SS_so thì kĩ thuật τ
tiên.
1.2.4 SGK lớp 4
Trong SGK4 xuất hiện bất đẳng thức chứa chữ:
4. Tìm số tự nhiên x, biết:

SS_So.2

được ưu


18

a) x < 5

b) 2 < x < 5.

Chú ý: Có thể giải như sau, chẳng hạn:
a) Các số tự nhiên bé hơn 5 là: 0; 1; 2; 3; 4. Vậy x là : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4.
(SGK4, tr.22)

Từ đoạn trích trên, chúng tôi nhận thấy trong bất đẳng thức chỉ chứa một chữ.

Hơn nữa, chữ ở đây đóng vai trò là ẩn.
Đặc trưng của T SS_so trong SGK4 là so sánh hai số tự nhiên bất kì hoặc so sánh
hai phân số.
Ví dụ (SGK4, Bài 1/ tr.123)
>
<

?

=

9
11
...
14
14

4
4
...
25
23

14
... 1
15

8
24
...

9
27

20
20
...
19
27

1 ...

15
14

+ Kỹ thuật τ SS_So.6 :
- Nếu 2 phân số chưa cùng mẫu: quy đồng đưa về 2 phân số cùng mẫu.
- So sánh tử số với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
+ Công nghệ θ SS_So.6 : Quy tắc so sánh hai phân số cùng mẫu, khác mẫu.
1.2.5 SGK lớp 5
T SS_so trong SGK5 thực hiện trên số thập phân.
Ví dụ (SGK5, Bài 1/ tr.43)
84,2

>
<

… 84,19

47,5 … 47,500

?

Đặc trưng là so sánh hai số thập phân.
+ Kỹ thuật τ SS_So.7 :
- So sánh các phần nguyên của hai số đó như so sánh hai số tự nhiên, số thập
phân nào có phần nguyên lớn hơn thì số đó lớn hơn.
- Nếu phần nguyên của hai số đó bằng nhau thì so sánh phần thập phân, lần
lượt đến hàng phần mười, hàng phần trăm, hàng phần nghìn,…; đến cùng một hàng
nào đó, số thập phân nào có chữ số ở hàng tương ứng lớn hơn thì số đó lớn hơn.


19

- Nếu phần nguyên và phần thập phân của hai số đó bằng nhau thì hai số đó
bằng nhau.
+ Công nghệ θ SS_So.7 : Quy tắc so sánh hai số thập phân.
1.2.6 SGK lớp 6
Trong SGK6 xuất hiện bất đẳng thức chứa chữ khi trình bày thứ tự trên tập số
tự nhiên như sau:
a) Trong hai số tự nhiên khác nhau, có một số nhỏ hơn số kia. Khi số a nhỏ hơn số b, ta
viết a < b hoặc b < a.
Trong hai điểm trên tia số (tia số nằm ngang, chiều mũi tên ở tia số đi từ trái sang
phải), điểm ở bên trái biểu diễn số nhỏ hơn, chẳng hạn điểm 2 ở bên trái điểm 5.
Ngoài ra người ta cũng viết a ≤ b để chỉ a < b hoặc a = b, viết b ≥ a để chỉ b > a hoặc
b = a.
b) Nếu a < b và b < c thì a < c. Ví dụ: Từ a < 10 vào 10 < 12 suy ra a < 12.
(SGK6 – tập 1, tr.7)

Chúng tôi còn tìm thấy bất đẳng thức chứa chữ trong SGK6 khi mô tả tập hợp:
Tìm các số tự nhiên x sao cho:

a) x ∈ B(12) và 20 ≤ x ≤ 50 ;
b) x  15 và 0 < x ≤ 40 .
(SGK6 – tập 1, tr.44)

Hoặc khi viết điều kiện khi trình bày về phép chia có dư:
Chia hai số tự nhiên a và b trong đó b ≠ 0, ta luôn tìm được số tự nhiên q và r duy nhất
sao cho: a = b.q + r trong đó 0 ≤ r < b .
(SGK6 – tập 1, tr.22)

Như vậy, trong SGK6 xuất hiện bất đẳng thức chứa một chữ hoặc hai chữ. Chữ
đóng vai trò là ẩn hoặc vai trò đại diện cho số.
Kí hiệu ≥ , ≤ lần đầu tiên được giới thiệu. Chúng tôi nhận thấy với cách giải thích
như vậy thì kí hiệu ≥ ( ≤ ) là viết gộp của 2 trường hợp > và = (< và =).
* Các tổ chức toán học
Trong SGK6 có các kiểu nhiệm vụ T SS_So , T SX .
 Kiểu nhiệm vụ T SS_So : “So sánh hai số”
* So sánh hai số nguyên


20

Ví dụ 1 (SGK6 – tập 1, Bài 11/ tr.73)
>
<

?

35

-3  -5

4-6

10  -10

+ Kỹ thuật τ SS_So.8 :
- Xem dấu của hai số.
- Nếu 1 số dương và 1 số âm thì số dương lớn hơn số âm.
- Nếu 2 số cùng dương thì dùng so sánh 2 số tự nhiên.
- Nếu 2 số cùng âm số thì số nào có trị tuyệt đối lớn hơn thì nhỏ hơn.
+ Công nghệ θ SS_So.8 : Nhận xét (SGK6 – tập 1, tr.72).
* So sánh hai phân số
Ví dụ 2 (SGK6 – tập 2, ?2/ 23)
So sánh các phân số sau:
a)

−11
17
và
12
−18

b)

−14
−60
và
21
−72

+ Kỹ thuật τ SS_So.9 :
- Đưa 2 phân số về dạng có mẫu dương.
- Nếu 2 phân số chưa cùng mẫu: quy đồng đưa về 2 phân số cùng mẫu.
- So sánh tử số với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
+ Công nghệ θ SS_So.9 : Nhận xét (SGK6 – tập 1, tr.73)
Kiểu nhiệm vụ T SS_BT : “So sánh hai biểu thức”
Ví dụ (SGK6 – tập 1, Bài 85/ tr.92)
So sánh:
a) (-7).(-5) và 0;

b) (-17).5 và (-5).(-2)

c) (+19).(+6) với (-17).(-10)
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ trên là có thể so sánh được từng biểu thức với 0,
trong đó có một biểu thức có giá trị lớn hơn 0 và một biểu thức có giá trị nhỏ hơn 0.
Ngoài kĩ thuật τ SS_BT.1 . Còn có kĩ thuật τ SS_BT.3 như sau:
- So sánh a với 0, b với 0.