một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy toán ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Diệp Văn An Lạc

MỘT NGHIÊN CỨU VỀ CẤP SỐ NHÂN
TRONG DẠY TOÁN
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Diệp Văn An Lạc

MỘT NGHIÊN CỨU VỀ CẤP SỐ NHÂN
TRONG DẠY TOÁN
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Vũ Như Thư Hương,
người đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến,
TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng
dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức về Didactic Toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH, Khoa Toán – Tin trường ĐHSP
TP. HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.
- Ban Giám Hiệu và các thầy cô trong tổ Toán trường THPT Thủ Thiêm đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập tại trường ĐHSP TP.HCM.
Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic Toán khóa 21,
những người đã cùng tôi học tập, chia sẻ vui buồn và những khó khăn trong khóa
học.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong
gia đình tôi, luôn khuyên, động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt.
DIỆP VĂN AN LẠC


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát .................................................................1

II. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu.......................................1
III. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................3
IV. Cấu trúc của luận văn ........................................................................................4
CHƯƠNG 1: CẤP SỐ NHÂN Ở CẤP ĐỘ ĐẠI HỌC ...............................................6
1.1. Khái niệm cấp số nhân .....................................................................................7
1.2. Kết luận ..........................................................................................................12
CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CẤP SỐ NHÂN .....14
2.1. Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 ..................15
2.1.1. Khái niệm cấp số nhân trong M 1 .............................................................15
2.1.2. Các tổ chức toán học ................................................................................23
2.1.3. Kết luận ....................................................................................................30
2.2. Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 hiện hành (từ năm 2007) .......................32


2.2.1. Cấp số nhân trong bộ sách Nâng Cao ......................................................32
2.2.1.1. Khái niệm cấp số nhân trong M 2 ......................................................32
2.2.1.2. Các tổ chức toán học .........................................................................38
2.2.1.3. Kết luận .............................................................................................53
2.2.2. Cấp số nhân trong bộ sách Cơ Bản ..........................................................55
2.2.2.1. Khái niệm cấp số nhân trong M 3 ......................................................56
2.2.2.2. Các tổ chức toán học .........................................................................57
2.2.2.3. Kết luận .............................................................................................64
2.2.3. Kết luận ....................................................................................................66
2.3. So sánh cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí
hợp nhất năm 2000 và trong chương trình toán lớp 11 hiện hành ........................68
CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ......................................................72
3.1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm..............................................................72
3.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) bài toán thực nghiệm ...................................73
3.2.1. Xây dựng bài toán thực nghiệm...............................................................73
3.2.2. Phân tích chi tiết bài toán thực nghiệm ...................................................75

3.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) bài toán thực nghiệm.............................84
3.4. Kết luận ..........................................................................................................90
KẾT LUẬN ...............................................................................................................91
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1: Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng cấp số nhân
trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 .............................. 31
Bảng 2.2: Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng cấp số nhân
trong bộ sách Nâng Cao ........................................................................ 54
Bảng 2.3: Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng cấp số nhân
trong bộ sách Cơ Bản ............................................................................ 65
Bảng 3.1: Thống kê bài làm bài tập 1 của các học sinh ......................................... 84
Bảng 3.2: Thống kê bài làm bài tập 2 của các học sinh .................................... 87-88


1

MỞ ĐẦU

I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Hàm số là một đối tượng chiếm vị trí quan trọng trong chương trình toán ở trung
học cơ sở và trung học phổ thông. Ở bậc trung học phổ thông, chương trình toán lớp
11 hiện hành giới thiệu cho học sinh một loại hàm số mới, đó là dãy số. Thực tế
giảng dạy cho thấy gắn liền với đối tượng dãy số, học sinh luôn được giới thiệu về
đối tượng cấp số nhân. Vậy khái niệm cấp số nhân được định nghĩa như thế nào?
Nó được giới thiệu cho học sinh ra sao?

Những thắc mắc trên đã thúc đẩy chúng tôi chọn chủ đề: “Một nghiên cứu về
cấp số nhân trong dạy Toán ở trung học phổ thông” với những câu hỏi xuất phát
như sau:
- Cấp số nhân được đưa vào chương trình toán trung học phổ thông hiện hành
như thế nào? Có sự tiến triển gì so với cách trình bày cấp số nhân trong chương
trình toán trung học phổ thông chỉnh lí hợp nhất năm 2000?
- Cách trình bày của sách toán lớp 11 hiện hành có ảnh hưởng gì đến học sinh
khi học khái niệm cấp số nhân?
- Các vấn đề liên quan đến khái niệm cấp số nhân ở chương trình toán trung
học phổ thông được trình bày như thế nào ở bậc đại học?
II. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic Toán. Cụ thể, chúng
tôi sẽ vận dụng Hợp đồng didactic và Lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm
như: mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O, mối quan hệ thể chế với đối
tượng tri thức O, tổ chức toán học.


2

 Hợp đồng didactic
Hợp đồng didactic là một sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn
của giáo viên và học sinh đối với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy. Sự
mô hình hóa này do nhà nghiên cứu lập ra.
Ta nói hợp đồng didactic là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách
nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán được giảng dạy.
Hợp đồng didactic là một công cụ nghiên cứu thực tế dạy học và sai lầm của
học sinh.
 Mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O
Kí hiệu R(X,O)
Mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O là tập hợp các tác động qua lại

mà X có thể duy trì đối với O: nghĩ về O, thao tác O, có biểu tượng về O,…
Mối quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O chỉ rõ cách thức mà
X biết O.
 Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O
Kí hiệu R(I,O)
Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O là tập hợp các tác động qua lại
mà I có thể duy trì đối với O: nói về O, mơ về O, thao tác O, mô tả O, sử dụng O,…
Mối quan hệ thể chế với đối tượng O là một ràng buộc (thể chế) đối với mối
quan hệ của một cá nhân với cùng đối tượng O này, khi cá nhân là chủ thể của thể
chế I. Mối quan hệ thể chế đó (với đối tượng O) phụ thuộc vào vị trí p mà cá nhân
chiếm trong thể chế I.
 Tổ chức praxeólogie
Thuyết nhân học của Didactic xem mỗi hoạt động của con người như là việc
thực hiện một nhiệm vụ t thuộc kiểu T nào đó, nhờ vào một kĩ thuật , được giải
thích bởi một công nghệ θ. Đồng thời, công nghệ này cho phép xác định kĩ thuật,


3

thậm chí tạo ra nó, và đến lượt mình, công nghệ lại giải thích được nhờ vào lí thuyết
.
Tổ chức praxeólogie là bộ gồm bốn thành phần [T,,θ,], trong đó khối [T,]
là khối kĩ thuật, khối [θ,] là khối lí thuyết.
Tổ chức praxeólogie được hình thành từ kiểu nhiệm vụ T. Khi T là kiểu nhiệm
vụ của toán học thì praxeólogie gắn liền với nó là praxeólogie toán học (hay tổ chức
toán học)
Các praxeólogie là công cụ nghiên cứu R(I, O), nghiên cứu thực tế dạy học.
Trong khuôn khổ của phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi xin
trình bày lại dưới đây các câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời
chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:

- Q0: Ở cấp độ đại học, khái niệm cấp số nhân được trình bày như thế nào?
- Q1: Trong thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000, mối
quan hệ thể chế với đối tượng cấp số nhân được xây dựng và tiến triển như thế nào?
Những tổ chức toán học nào được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân?
- Q2: Trong thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành, mối quan hệ thể chế với
đối tượng cấp số nhân được xây dựng và tiến triển như thế nào? Những tổ chức toán
học nào được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân? Cách trình bày cấp số nhân
trong chương trình toán lớp 11 hiện hành có sự tiến triển gì so với cách trình bày
cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000?
- Q3: Những ràng buộc của thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành có ảnh
hưởng gì đến mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng cấp số nhân?
III. Phương pháp nghiên cứu
Đầu tiên, chúng tôi sẽ phân tích giáo trình toán ở đại học để tìm hiểu cách trình
bày một số vấn đề liên quan đến khái niệm cấp số nhân ở cấp độ đại học. Kết quả
thu được sẽ giúp chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q0.


4

Dựa vào phân tích trên, chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, sách bài tập Đại số
và Giải tích 11, tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 để
làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 với đối
tượng cấp số nhân. Từ kết quả phân tích được, chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời
câu hỏi Q1. Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo
viên Đại số và Giải tích 11 hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán
lớp 11 hiện hành với đối tượng cấp số nhân. Qua đó chúng tôi tìm yếu tố cho phép
trả lời câu hỏi Q2. Tổng hợp các kết quả thu được, chúng tôi đưa ra giả thuyết
nghiên cứu và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết
đó.
Việc kiểm chứng được tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu sẽ giúp chúng tôi

tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q3.
IV. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm năm phần: phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần
kết luận.
- Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lí do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát,
phạm vi lí thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu
trúc của luận văn.
- Trong chương 1, chúng tôi trình bày một nghiên cứu về cấp số nhân ở cấp độ
đại học.
- Trong chương 2, chúng tôi tiến hành nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với
đối tượng cấp số nhân. Dựa vào kết quả thu được, chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết
nghiên cứu.
- Trong chương 3, chúng tôi trình bày nghiên cứu thực nghiệm trên học sinh
lớp 11 để kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu mà chúng tôi đã đưa
ra.


5

- Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được và nêu hướng
nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn này.


6

CHƯƠNG 1:
CẤP SỐ NHÂN Ở CẤP ĐỘ ĐẠI HỌC

Mục đích của chương là thực hiện một nghiên cứu về đối tượng cấp số nhân ở
cấp độ đại học. Chúng tôi chọn hai giáo trình sau để làm tài liệu nghiên cứu:

- Giáo trình Giải tích 1 (Jean – Marie Monier, 2009, người dịch: Lý Hoàng Tú).
- Giáo trình Giải tích 3 (Jean – Marie Monier, 2002, người dịch: Nguyễn Văn
Thường).
Đây là những giáo trình nằm trong bộ giáo trình Toán gồm bảy tập của tác giả.
Trong hai giáo trình nêu trên thì định nghĩa cấp số nhân được trình bày ở giáo trình
Giải tích 1. Sở dĩ chúng tôi chọn các tài liệu này vì đây là những giáo trình có ý
nghĩa trong việc tra cứu, như lời của Giáo sư H.Durand đã dành cho tài liệu:
[…] Tôi đã nói về vai trò cơ bản mà một cuốn giáo trình, được sử dụng trong một
thời gian dài như một công cụ tra cứu, có thể có trong việc hình thành một trí tuệ
khoa học trẻ trung. Như vậy cấu trúc, cách biên soạn và trình bày một cuốn giáo trình
là những yếu tố cơ bản: ở đây chúng ta chỉ được phép tạo ra một cái gì hoàn hảo. Đó
chính là công việc mà J-M. Monier đã hoàn thành, với một trình độ hiểu biết, một
cách lựa chọn và sự kiên trì tuyệt vời, từ bản thảo đầu tiên tới những công việc sửa
chữa cuối cùng, tới từng chi tiết, trước khi hoàn chỉnh. Các tập sách này đáp ứng
đúng một nhu cầu thực sự hiện có, và tôi tin chắc rằng chúng sẽ được đón chào nồng
nhiệt từ đối tượng của chúng là các sinh viên – và chắc chắn là cả những người khác
nữa – những người sau này sẽ nói rằng: “Tôi đã học được nền tảng Toán học trong
các cuốn Monier!” (trích “Lời tựa” trong giáo trình Giải tích 1)

Do việc tìm kiếm giáo trình đại học có trình bày cấp số nhân gặp nhiều khó khăn
nên chúng tôi không có thêm tài liệu khác để phục vụ cho quá trình nghiên cứu.
Điều này có thể sẽ làm cho nghiên cứu trong chương có hạn chế nhất định.
Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi kí hiệu giáo trình Giải tích 1 là M 01 ,
giáo trình Giải tích 3 là M 03 .


7

1.1. Khái niệm cấp số nhân
Khái niệm cấp số nhân được đưa vào M 01 ở chương 3: “Dãy số”. Cụ thể, khái

niệm cấp số nhân bắt đầu xuất hiện ở mục “3.1.4 Các ví dụ sơ cấp về dãy”. Ghi
nhận này cho thấy việc xuất hiện của cấp số nhân ở M 01 như là một ví dụ đặc biệt
về dãy số.
Định nghĩa dãy số được trình bày ở M 01 như sau:
Một dãy (số) là một ánh xạ từ N vào K (K = R hoặc C); thay cho ký hiệu
u : N → K , ta thường ký hiệu (un ) n∈ N hay (un ) n ≥ 0 hay (un ) n .
n

 u (n)

Một dãy thực (tương ứng: phức) là một dãy (số) sao cho:
∀n ∈ N , un ∈ R (tương ứng: C).

Với mỗi n ∈ N , u n được gọi là số hạng thứ n của dãy.
Mỗi ánh xạ từ {n ∈ N ; n ≥ n0 } vào K, với n0 ∈ K cố định cũng gọi là một dãy (số);
phần lớn các khái niệm được khảo sát chỉ đề cập đến các u n <trở đi>> (M 01 , tr. 49)

Như vậy, dãy (số) là một ánh xạ với tập nguồn là tập các số tự nhiên N hoặc tập

{n ∈ N ; n ≥ n0 }

với n 0 cố định và tập đích K là tập các số thực ( K = R ) hoặc tập

các số phức ( K = C ). Khi các số hạng của dãy đều là số thực thì ta có dãy thực, khi
các số hạng của dãy đều là số phức thì ta có dãy phức. Để thay cho việc sử dụng kí
hiệu u : N → K , M 01 đã đưa ra các kí hiệu: (un ) n∈ N , (un ) n ≥ 0 và (un ) n . Chúng tôi
n  u (n)

nhận thấy những kí hiệu này có thể làm mờ nhạt bản chất ánh xạ của dãy số. Chỉ số

n trong mỗi số hạng u n cho ta biết thứ tự của số hạng này trong dãy, chẳng hạn: u 0
là số hạng thứ 0 của dãy, u 1 là số hạng thứ 1 của dãy,… Trong trường hợp:
Mỗi ánh xạ từ {n ∈ N ; n ≥ n0 } vào K, với n0 ∈ K cố định cũng gọi là một dãy (số)
(M 01 , tr. 49)

thì thứ tự của số hạng trong dãy được hiểu như thế nào? Phải chăng ở trường hợp
này, un0 vẫn được gọi là số hạng thứ n 0 ? (Chẳng hạn nếu n 0 = 5 thì u 5 được gọi là
số hạng thứ 5).


8

Nhận xét: Dựa vào định nghĩa dãy (un ) n∈N , chúng tôi nhận thấy trong định nghĩa
“Mỗi ánh xạ từ {n ∈ N ; n ≥ n0 } vào K, với n0 ∈ K cố định cũng gọi là một dãy
(số)” có chi tiết “với n0 ∈ K cố định” chưa chính xác. Theo chúng tôi, lẽ ra sẽ là
“với n0 ∈ N cố định”. Có thể đây là sự nhầm lẫn trong việc in ấn.
Sau khi đề cập đến các vấn đề liên quan đến sự hội tụ của dãy, M 01 đã đưa ra
năm ví dụ sơ cấp về dãy. Cấp số nhân là một trong các ví dụ đó:
2) Dãy nhân
 Định nghĩa

Một dãy (un ) n∈ N trong K được gọi là dãy nhân (hoặc cấp số nhân)

nếu và chỉ nếu tồn tại r ∈ K sao cho:
∀n ∈ N , un +1 =run .

Phần tử r (được xác định duy nhất), trừ khi ( ∀n ∈ N , un =0 ) được gọi là công bội
của dãy nhân (u n ) n .
Khi đó ta có: ∀n ∈ N , un =u0 r n (M 01 , tr. 60)

Như vậy, cấp số nhân là tên gọi khác của dãy nhân ở cấp độ đại học. Cấp số
nhân là một dãy đặc biệt, được định nghĩa ứng với tập nguồn N (tức là chỉ số n ≥ 0)
và cho cả hai trường hợp của tập đích: K = C hay K = R . Công bội r của cấp số
nhân có thể là số thực không đổi hoặc số phức không đổi. Không có ràng buộc nào
đối với công bội r. Nó thường được xác định duy nhất, chỉ khi cấp số nhân là dãy

(un ) n∈ N

có

un = 0 ,

∀n ∈ N

thì công bội không duy nhất. Hệ thức

∀n ∈ N , un+1 =run biểu thị mối liên hệ giữa hai số hạng liên tiếp và công bội r của
cấp số nhân (un ) n∈ N . Trong khi đó hệ thức ∀n ∈ N , un =u0 r n cho ta mối liên hệ
giữa các đại lượng: số hạng u 0 , số hạng bất kì u n , chỉ số n và công bội r.
Một mệnh đề liên quan đến cấp số nhân (r n ) n∈ N được trình bày ngay sau định
nghĩa cấp số nhân:
 Mệnh đề

Cho r ∈ K ; dãy nhân (r n ) n∈ N hội tụ khi và chỉ khi r < 1 hay r = 1 .

Hơn nữa:  r < 1 ⇒ r n →
0
n∞

9

 r ∈ ]1; +∞[ ⇒ r n →
+ ∞ (M 01 , tr. 60)
n∞

(ghi chú: theo M 01 thì:
r n →
0 tức là 0 = lim r n
n∞
n →+∞

]1; +∞=
[

{ x ∈ R : 1 < x} )

Mệnh đề cho ta kết quả về sự hội tụ, giới hạn của cấp số nhân (r n ) n∈ N ứng với
các trường hợp của r: r < 1 , r = 1 và r > 1 . Theo đó, khi r < 1 thì cấp số nhân
n
(r n ) n∈ N hội tụ đến 0, khi r > 1 thì cấp số nhân (r ) n∈ N tiến tới +∞ .

Sau khi trình bày năm ví dụ sơ cấp về dãy, M 01 đã đưa ra 19 bài tập. Có thể vì
cấp số nhân chỉ là một ví dụ sơ cấp về dãy nên nó hiếm có cơ hội xuất hiện trong
các bài tập. Có hai bài tập có sự xuất hiện của cấp số nhân (r n ) n :
3.1.13 Khảo sát (sự hội tụ, giới hạn nếu có) các dãy xác định bởi:
u1 = 1

b) 
*

1
∀n ∈ N , un +=


un2 +

1 (M 01 , tr. 63, 64)
2n

3.1.15 a) Chứng minh: ∀n ∈ N , ∀z ∈ C ,

∏ (1 + z
n

2k

k =0

1 + z2
(
∏
n∞
n

b) Suy ra, với mọi z ∈ C sao cho z < 1 : lim

k =0

2n +1 −1

) =∑ z

l

l =0

k

1
(M
)=
1− z

01 ,

tr. 64)

Phần chỉ dẫn và trả lời cho bài tập 3.1.13b và 3.1.15b được trình bày như sau:
3.1.13
1
 2
un un2−1 + n −1
=
2

b) 

1
2
u=

u12 +
2

2

⇒ un2 =1 +

1
1
1
+ ... + n −1 =2 − n −1
2
2
2

Trả lời: un →
2 (M 01 , tr. 266)
n∞
3.1.15


10

2n +1 −1

n +1

1− z2
b)=
∑ z 1− z

l =0
l

→
n∞

1
(M 01 , tr. 267)
1− z

Qua phần chỉ dẫn và trả lời trên, công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số
nhân (r n ) n∈N (với r ∈ C , r ≠ 1) đã xuất hiện một cách ngầm ẩn:
n −1

∑ rk =

k =0

1 − rn
1− r

Tuy nhiên, công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân tổng quát

(un ) n∈ N không được đề cập đến.
Tiếp đó, khi đề cập đến “dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi”, M 01 đã
cho thấy sự liên hệ giữa cấp số nhân với dãy này:
3.4.1 Dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi
Đó là các dãy (un ) n∈N trong K sao cho tồn tại (a, b) ∈ K 2 thỏa mãn:
∀n ∈ N , un +=
aun + b

1

Nếu a = 1 , thì đó là dãy cộng (xem 3.1.4 1). Giải sử a ≠ 1 . Cho λ ∈ K (sẽ chọn
sau) và dãy (vn ) n∈ N xác định bởi: ∀n ∈ N , vn= un + λ
Ta có: ∀n ∈ N , vn +=
un +1 + =
λ aun + b + λ
1
= a (vn − λ ) + b + λ= avn + ((1 − a )λ + b)

Khi chọn λ =

b
, ta thấy (vn ) n∈ N là một dãy nhân với công bội a . Vậy:
a −1

∀n ∈ N , vn =a n v0
b 
b

Từ đó: ∀n ∈ N=
(M 01 , tr. 74, 75)
, u n a n  u0 +
−

a −1  a −1


Vậy là xuất phát từ dãy (un ) n∈ N trong đó ∀n ∈ N , un+=
aun + b (với a ≠ 1 ) ta

1
có thể xây dựng được một cấp số nhân. Cụ thể dãy (vn ) n∈ N xác định bởi

∀n ∈ N , vn = un +

b
là một cấp số nhân với công bội a . Hơn nữa, dựa vào cấp
a −1

số nhân (vn ) n∈ N này, ta sẽ xác định được công thức số hạng tổng quát của dãy


11

(un ) n∈ N đã cho. Như vậy, khi “dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi”
không phải là dãy cộng thì bằng cách thông qua cấp số nhân ta sẽ dễ dàng tìm được
công thức số hạng tổng quát của dãy này.
Sau đó, qua tài liệu M 03 , chúng tôi nhận thấy cấp số nhân (r n ) n∈N tạo thành
chuỗi lũy thừa trong K:
1) Chuỗi lũy thừa trong K
 Định nghĩa

∑ rn

Với mọi r thuộc K, chuỗi

được gọi là chuỗi lũy thừa.

n≥0

 Định lý

Cho r ∈ K . Chuỗi lũy thừa

∑ rn

hội tụ khi và chỉ khi r < 1 . Hơn nữa

n≥0

nếu r < 1 thì:
+∞

1

∑ rn = 1− r

(M 03 , tr. 281)

n =0

Trong đó khái niệm chuỗi, chuỗi hội tụ được định nghĩa như sau:
1) Khái niệm chuỗi
 Định nghĩa 1

Chuỗi với số hạng trong E là mọi cặp ((un ) n∈ N , ( S n ) n∈ N ) tạo

nên bởi một dãy (un ) n∈ N có các số hạng thuộc E và dãy ( S n ) n∈ N định nghĩa là:
∀n ∈ N ,

n

S n =∑ uk
k =0

Một chuỗi số (tương ứng: thực; tương ứng: phức) là một chuỗi với các số hạng
thuộc K (tương ứng: R; tương ứng: C).
Phần tử u n gọi là phần tử thứ n (hoặc: số hạng tổng quát) của chuỗi, và S n gọi là
tổng riêng thứ n của chuỗi.
Chuỗi được ký hiệu là

∑ un

n≥0

Đối với một dãy (un ) n ≥ n0 với chỉ số “xuất phát” là n 0 , n0 ∈ N , ta cũng dùng các thuật ngữ
như trên.

 Định nghĩa 2
1) Ta nói rằng chuỗi

∑ un

n≥0

hội tụ khi và chỉ khi dãy ( S n ) n∈ N các tổng riêng hội tụ


12

(trong E), và trong trường hợp này thì giới hạn của dãy ( S n ) n∈ N được gọi là tổng
của chuỗi

∑ un

và được ký hiệu là

+∞

∑ un .

n=0

n≥0

2) Ta nói rằng chuỗi

∑ un

phân kỳ khi và chỉ khi nó không hội tụ (M 03 , tr. 269,

n≥0

270)
(ghi chú: E chỉ một K – kgvđc, với kgvđc là viết tắt của không gian vectơ định chuẩn)

Như vậy, dãy (un ) n∈ N có các số hạng thuộc E sẽ tạo nên chuỗi với các số hạng
trong E. Khi các số hạng của chuỗi đều thuộc tập R thì ta có chuỗi số thực, khi các
số hạng của chuỗi đều thuộc tập C thì ta có chuỗi số phức. Chuỗi sẽ hội tụ khi dãy

( Sn ) n∈ N các tổng riêng hội tụ. Khái niệm tổng của chuỗi
chuỗi

∑ un hội tụ, và được kí hiệu là

n≥0

tổng riêng. Chuỗi lũy thừa

∑ rn

∑ un

chỉ xuất hiện khi

n≥0

+∞

∑ un . Nó chính là giới hạn của dãy các

n=0

là một trường hợp của chuỗi số, do cấp số nhân

n≥0

(r n ) n∈ N (với r thuộc K) tạo nên. Chuỗi này chỉ hội tụ trong trường hợp r < 1 , và
khi đó

+∞

∑ rn =

n=0

n
1
, đây là giới hạn của dãy ( Sn ) n∈N với Sn = ∑ r k .
1− r
k =0

1.2. Kết luận
- Dãy (số) là một ánh xạ từ N vào K hoặc từ {n ∈ N ; n ≥ n0 } vào K (với n0 cố
định), trong đó các số hạng có thể là số thực hoặc số phức. Khi các số hạng của dãy
đều là số thực thì ta có dãy thực, khi các số hạng của dãy đều là số phức thì ta có
dãy phức. Cấp số nhân là một dãy đặc biệt, được định nghĩa ứng với tập nguồn N
(tức là chỉ số n ≥ 0) và cho cả hai trường hợp của tập đích: K = C hay K = R . Cấp
số nhân còn được gọi là dãy nhân. Công bội của cấp số nhân có thể là số thực không
đổi hoặc số phức không đổi, và không bị ràng buộc nào. Công bội của một cấp số
nhân có thể duy nhất hoặc không duy nhất. Đối với cấp số nhân (un ) n∈ N thì: mối


13

liên hệ giữa hai số hạng liên tiếp và công bội r được thể hiện qua hệ thức

∀n ∈ N , un+1 =run ; mối liên hệ giữa số hạng u0 , số hạng bất kì un , chỉ số n và
công bội r được thể hiện qua hệ thức ∀n ∈ N , un =u0 r n . Công thức tính tổng n số
hạng đầu của cấp số nhân (r n ) n∈N (với r ∈ C , r ≠ 1 ) được đưa vào một cách ngầm

ẩn:

n −1

∑r

k =0

k

1 − rn
. Trong khi đó, công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số
=
1− r

nhân tổng quát (un ) n∈ N không được đề cập đến.
- Cấp số nhân có sự liên hệ với dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi.
Sự liên hệ này thể hiện như sau:
Từ dãy (un ) n∈ N có ∀n ∈ N , un+=
aun + b (với a ≠ 1 ), ta xây dựng được
1
cấp số nhân (vn ) n∈ N với ∀n ∈ N , vn = un +

b
. Tiếp đó, cấp số nhân này
a −1

cho phép ta xác định được số hạng tổng quát của dãy (un ) n∈ N ban đầu.
- Khi r < 1 hay r = 1 thì cấp số nhân (r n ) n∈ N hội tụ. Hơn nữa, trong trường
hợp r < 1 thì cấp số nhân (r n ) n∈ N hội tụ đến 0. Khi r > 1 thì cấp số nhân (r n ) n∈ N

có giới hạn + ∞ . Với r ∈ K , cấp số nhân (r n ) n∈ N tạo nên chuỗi lũy thừa
Trong trường hợp r < 1 thì chuỗi này hội tụ và

+∞

∑ rn .

n≥0

1

∑ rn = 1− r .

n=0

Những kết luận trên có thể xem là câu trả lời của chúng tôi dành cho câu hỏi Q0
được đặt ra ở phần mở đầu.


14

CHƯƠNG 2:
MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CẤP SỐ NHÂN

Mục đích của chương là thực hiện một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với
đối tượng cấp số nhân. Thể chế mà chúng tôi quan tâm là thể chế dạy học toán lớp
11 hiện hành và thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Qua đó,
chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi Q1, Q2.
Để thực hiện việc nghiên cứu này, chúng tôi dựa vào các tài liệu sau:
- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Ngô

Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), 2001).
- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Ngô
Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), 2001).
- Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 (Văn Như Cương – Trần Văn Hạo – Ngô
Thúc Lanh, 2001).
- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên),
2007).
- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên),
2009).
- Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên),
2006).
- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên),
2011).
- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Vũ Tuấn (Chủ biên), 2006).
- Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên),
2006).


15

Bên cạnh đó, trong quá trình phân tích, để một vài nội dung được rõ hơn, chúng tôi
đã tham khảo thêm hai tài liệu sau:
- Sách giáo khoa Toán 7, tập một (Phan Đức Chính (Tổng Chủ biên), 2003).
- Sách bài tập Toán 7, tập một (Tôn Thân (Chủ biên), 2011).
Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi dùng các kí hiệu sau:
M1

Đại số và Giải tích 11

E1

Bài tập Đại số và Giải tích 11

TL

Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11

M2

Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao

E2

Bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao

G2

Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao

M3

Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản

E3

Bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản

G3

Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản

M4

Toán 7, tập một

E4

Bài tập Toán 7, tập một

2.1. Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000
Trong phần này, chúng tôi sử dụng các sách M 1 , E 1 , TL để nghiên cứu. Trong
đó E 1 được biên soạn đi kèm với M 1 , dùng để đưa ra đáp số hoặc hướng dẫn cách
giải cho tất cả các bài tập trong M 1 . Ngoài ra E 1 còn đề nghị thêm một vài bài tập
sau mỗi chương.
2.1.1. Khái niệm cấp số nhân trong M1
- Bài “Cấp số nhân” nằm trong chương III: “Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số
nhân”. Chương này gồm các nội dung sau:


16

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học.
Bài 2: Dãy số.
Bài 3: Cấp số cộng.
Bài 4: Cấp số nhân.
Cùng với đối tượng cấp số cộng, đối tượng cấp số nhân được đưa vào M 1 sau
đối tượng dãy số. Vậy khái niệm dãy số được định nghĩa như thế nào? Liệu cấp số
nhân có mối quan hệ với dãy số hay không?
Chúng tôi tìm thấy câu trả lời cho một trong những thắc mắc trên qua định nghĩa
dãy số:

Định nghĩa. Gọi M là tập hợp m số tự nhiên khác không đầu tiên
M = {1; 2; 3;...; m}

 Một hàm số u xác định trên tập hợp M được gọi là một dãy số hữu hạn. Tập giá trị
của dãy số hữu hạn này là {u (1), u (2),..., u (m)} . Người ta thường kí hiệu các giá trị
đó là u (1) = u1 , u (2) = u2 , …, u (m) = um và viết dãy số đã cho dưới dạng sau:
u1 , u2 ,..., um

u 1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)
u 2 được gọi là số hạng thứ hai
…
u m được gọi là số hạng thứ m (hay số hạng cuối) (M 1 , tr. 88)
 Một hàm số u xác định trên tập hợp N* các số tự nhiên khác không được gọi là một
dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số).
Tập giá trị của dãy số u gồm vô số phần tử
u (1) = u1 , u (2) = u2 , …, u (n) = un ,…

Người ta thường viết dãy số u dưới dạng
u1 , u2 ,..., un ,...

Dạng này được gọi là dạng khai triển của dãy số u.
u 1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)
u 2 được gọi là số hạng thứ hai
…


17

u n được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số u
Người ta còn kí hiệu một cách ngắn gọn dãy số u là (u n ) hay nếu không thể nhầm lẫn

thì ta còn kí hiệu dãy số u là u n (M 1 , tr. 89)

Như vậy, dãy số hữu hạn là một hàm số xác định trên tập hợp M gồm hữu hạn
số tự nhiên khác không đầu tiên; dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số) là một hàm số
xác định trên tập hợp N* các số tự nhiên khác không. Thay cho cách gọi u(k) là giá
trị của hàm số u tại k, M 1 đã kí hiệu u (k ) = uk và gọi uk là số hạng thứ k của dãy
số. Điều này cho thấy cách chọn tập hợp M như trong định nghĩa nhằm tạo thuận lợi
cho việc đưa ra cách xác định thứ tự các số hạng của dãy số thông qua chỉ số k của
mỗi số hạng uk . Ngoài việc được viết dưới dạng khai trển u1 , u2 ,..., un ,... dãy số u
còn được kí hiệu là (un ) hay un (nếu không thể nhầm lẫn). Liệu cách kí hiệu dãy số
u là un có gây khó khăn cho học sinh hay không? Bởi vì un được gọi là số hạng
tổng quát của dãy số.
Qua định nghĩa trên, chúng tôi nhận thấy khái niệm dãy số hữu hạn được đưa vào
M 1 , tuy nhiên ở cấp độ đại học nó không được đề cập trong M 01 và M 03 . Dãy số vô
hạn được đưa vào M 1 chính là dãy thực được nêu ở M 01 , trong đó chỉ số n của các
số hạng u n nhận giá trị nhỏ nhất là 1.
Một dãy số được cho như thế nào? Chúng tôi tìm được câu trả lời như sau:
Cách cho dãy số
Người ta thường cho dãy số bằng một trong các cách sau đây:
a) Cho số hạng tổng quát u n của nó bằng công thức
Ví dụ: Cho dãy số (u n ) với un =

(−1) n +1
(M 1 , tr. 90)
n2

b) Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó
Ví dụ: Cho dãy số (u n ) với u n là giá trị gần đúng thiếu của số π với sai số tuyệt đối
10−n (M 1 , tr. 90)
c) Cho bằng phương pháp truy hồi, tức là

1) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)
2) Cho hệ thức truy hồi tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số
hạng) đứng trước nó.


18

u1 = 2
Ví dụ 1: Cho dãy số 
un −1 + 3
un =

(n ≥ 2)

(M 1 , tr. 90)

Trong các ví dụ và bài tập, M 1 thường cho dãy số theo cách 1 và cách 3.
- Sau dãy số, các đối tượng cấp số cộng và cấp số nhân đã lần lượt xuất hiện. Bài
“Cấp số nhân” được mở đầu bằng định nghĩa cấp số nhân:
Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi
số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi gọi là công
bội (M 1 , tr. 100).

Định nghĩa trên cho thấy cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) đặc
biệt, có sự ràng buộc giữa hai số hạng liên tiếp. Gắn liền với ràng buộc này, khái
niệm công bội đã xuất hiện. Công bội của cấp số nhân là số không đổi và không bị
ràng buộc nào hết.
Liên quan đến định nghĩa cấp số nhân, ở TL có nêu:
Có SGK cũ yêu cầu công bội q ≠ 0 , q ≠ 1 , u1 ≠ 0 vì nếu q = 0 thì cấp số nhân trở

thành u1 , 0, 0... , còn nếu q = 1 thì cấp số nhân trở thành u1 , u1 , u1 ,... Đó là những
trường hợp tầm thường. Nếu u1 = 0 thì cấp số trở thành 0, 0, … Nó không có công
bội duy nhất. (Điều này không có tương tự trong cấp số cộng).
Như đã trình bày trong mục trên, đưa thêm các giả thiết đó vào thì sẽ làm phức tạp
hơn phần biện luận khi phải xét đến cấp số nhân (vì phải loại các trường hợp q = 0 và
q = 1 ). Để giảm tải, chúng tôi đã không đặt các giả thiết đó vào định nghĩa của cấp số

nhân. (TL, tr. 49, 50)

Vậy là M 1 không nêu các giả thiết q ≠ 0 , q ≠ 1 , u1 ≠ 0 trong định nghĩa vì mục
đích giảm tải.
Ở cấp độ đại học, M 01 và M 03 không đề cập đến định nghĩa cấp số nhân ứng với
dãy số hữu hạn. Chúng tôi nhận thấy định nghĩa cấp số nhân ứng với dãy số vô hạn
nêu ở M 1 giống với định nghĩa cấp số nhân ứng với dãy thực nêu ở M 01 , chỉ có điều
trong M 1 thì chỉ số n trong các số hạng u n nhận giá trị nhỏ nhất là 1, còn trong M 01
thì chỉ số n trong các số hạng u n nhận giá trị nhỏ nhất là 0. Việc định nghĩa cấp số
nhân ứng với dãy phức không được đề cập ở M 1 .


19

Bằng cách kí hiệu công bội là q, M 1 đã đưa ra công thức biểu diễn mối liên hệ
giữa hai số hạng liên tiếp và công bội của cấp số nhân:
Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có
un +1 = un .q

(n = 1, 2,…) (M 1 , tr.100).

Công thức trên là một hệ thức truy hồi. Như vậy, cấp số nhân có thể xem là dãy
số cho bằng phương pháp truy hồi như sau:

u1 = a

=
(n 1, 2, ...)
n .q
un+1 u=
trong đó a và q là những số cho trước: a là số hạng đầu, q là công bội.
Liệu có điều gì đặc biệt đối với cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 0 ?
Nếu u 1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0,…, 0,… (M 1 , tr.100).

Trong trường hợp này, mọi số hạng của cấp số nhân đều bằng không và công bội
là một số thực bất kì. Ở cấp độ đại học, M 01 đã đề cập trường hợp này.
Để phân biệt cách viết dạng khai triển của cấp số nhân với cách viết dạng khai
triển của dãy số, M 1 đưa vào kí hiệu sau:
Để chỉ rằng dãy số (u n ) là một cấp số nhân đôi khi người ta dùng kí hiệu
..
u1 , u2 ,..., un ,... (M 1 , tr.100).
..

So với cách viết dạng khai triển của dãy số thì cách kí hiệu cấp số nhân có thêm
kí hiệu

..
..
ở đầu. Ở cấp độ đại học, kí hiệu không được đề cập trong M 01 và M 03 .
..
..

Tiếp đó, M 1 đề cập đến vấn đề số hạng tổng quát của cấp số nhân:

Gọi số hạng đầu là u 1 , và công bội là q ≠ 0 . Ta hãy tính số hạng tổng quát u n . Ta có
Định lí. Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:
un = u1.q n −1

( q ≠ 0 ) (M 1 , tr.101).