một số hình ảnh cụ thể của các vành noether không giao hoán

2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quế Thanh

MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ
CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG
GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quế Thanh

MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ
CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG
GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn: Bùi Tường Trí

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

2

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy PSG.TS Bùi Tường
Trí, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học cao học
và làm luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí
Minh và quý thầy cô bộ môn Toán học đã tạo điều kiện học tập và nhiệt tình
giảng dạy tôi trong thời gian học cao học, qua đó tôi đã có được những kiến thức
rất bổ ích để làm đề tài luận văn.
Xin cảm ơn tập thể lớp Đại số khóa 21 đã động viên giúp đỡ tôi trong thời
gian thực hiện luận văn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời tri ân đến gia đình, bạn bè, người thân đã luôn ở
bên cạnh động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Học viên thực hiện
Nguyễn Quế Thanh


3

MỤC LỤC
  
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 2
MỤC LỤC ............................................................................................................. 3
BẢNG KÝ HIỆU .................................................................................................. 4
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 5
Chương 1 : KIẾN THỨC CƠ BẢN ...................................................................... 6
1.1. ĐIỀU KIỆN DÂY CHUYỀN ..................................................................... 6
1.2. CĂN NGUYÊN TỐ .................................................................................. 14

1.3.CĂN JACOBSON ..................................................................................... 17
Chương 2 : MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER
KHÔNG GIAO HOÁN ....................................................................................... 22
2.1. MA TRẬN ................................................................................................ 23
2.2. VÀNH ĐA THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG ............................................... 32
2.3. ĐẠI SỐ WEYL ......................................................................................... 38
2.4. CHUỖI LŨY THỪA KHÔNG ĐỐI XỨNG VÀ ĐA THỨC LAURENT
.......................................................................................................................... 45
2.5. VÀNH NHÓM .......................................................................................... 47
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 54


4

BẢNG KÝ HIỆU

MR

M là R – môđun phải

End(M R )

vành các tự đồng cấu của M R

M n (R)

vành các ma trận n x n trên vành R

N(R)

căn nguyên tố của vành R

Spec(R)

tập tất cả các iđêan nguyên tố của R

J(R)

căn Jacobson của vành R

SMR

M là song môđun, M là S – môđun trái và R – môđun phải

L(R)

tập các môđun con của R

II(A)

vành iđêan hóa của A với A là iđêan phải của R

A n (K)

đại số Weyl thứ n trên K


5

MỞ ĐẦU


Trong học phần Đại số giao hoán của chương trình Cao học chúng ta đã
được làm quen với những hình ảnh và ví dụ về lớp các vành Noether giao hoán.
Như vậy lớp các vành Noether không giao hoán có hình ảnh như thế nào? Trong
luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về một số vành Noether không giao
hoán bắt nguồn trong những hoàn cảnh đặc biệt đồng thời hệ thống hóa các
trường hợp và nêu ra ví dụ về một số hình ảnh cụ thể.
Nội dung luận văn gồm các phần sau:
Chương 1: Kiến thức cơ bản
Trình bày lại các khái niệm, chứng minh lại một số các định lý, bổ đề
dùng trong luận văn.
Chương 2: Một số hình ảnh cụ thể của các vành Noether không giao hoán
Trong chương 2 này chúng ta sẽ xây dựng lớp các vành Noether không
giao hoán dựa trên các vật liệu chính:
1. Ma trận
2. Vành đa thức không đối xứng
3. Đại số Weyl
4. Chuỗi lũy thừa không đối xứng và đa thức Laurent
5. Vành nhóm
Vẫn còn một số trường hợp để xây dựng lớp các vành Noether không giao
hoán, trong luận văn này chúng ta chỉ khai thác một số trường hợp như trên ở
một mức độ cơ bản nhất định.


6

Chương 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Nội dung của chương là nhắc lại một số vấn đề và kết quả cơ bản làm nền
tảng vững chắc cho những phần trong chương sau. Chương này gồm 3 bài: Điều

kiện dây chuyền, Căn nguyên tố và Căn Jacobson.

1.1. ĐIỀU KIỆN DÂY CHUYỀN
1.1.1 Định nghĩa:
Cho R là vành có đơn vị.
 M được gọi là R - môđun đơn (hay còn gọi là R - môđun bất khả quy) nếu
M R ≠ 0 và M có duy nhất hai môđun con là M và 0.
 Môđun là tổng trực tiếp của các môđun đơn được gọi là môđun nửa đơn.
Trong đó, nếu các môđun đơn đẳng cấu từng đôi một với nhau thì môđun đó
được gọi là môđun isotypic.
 Tập sắp thứ tự M được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền giảm (hay còn gọi
là điều kiện cực tiểu) khi các điều kiện tương đương sau thỏa mãn:
i) Mọi tập con khác rỗng bất kỳ của M đều có phần tử tối tiểu.
ii) Bất kỳ một dây chuyền giảm:
M1 > M2 > … > Mn > …
với M i là các phần tử của M (i ∈ {1,2,…,n,…}), đều dừng sau hữu hạn bước.
 Tập sắp thứ tự M được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền tăng (hay còn
gọi là điều kiện cực đại) khi các điều kiện tương đương sau thỏa mãn:
i) Mọi tập con khác rỗng bất kỳ của M đều có phần tử tối đại.
ii) Bất kỳ một dây chuyền tăng:
M1 < M2 < … < Mn < …
với M i là các phần tử của M (i ∈ {1,2,…,n,…}), đều dừng sau hữu hạn bước.


7
 Nếu tập các môđun con của môđun M R với quan hệ thứ tự bao hàm thỏa
mãn điều kiện dây chuyền tăng (giảm) ta nói M R là môđun Noether (Artin).
 Nếu tập các iđêan phải (trái) của vành A với quan hệ thứ tự bao hàm thỏa
mãn điều kiện dây chuyền tăng (giảm) ta nói A là vành Noether (Artin) phải
(trái).

1.1.2 Chú ý:
Nếu N  M thì M là Noether hay Artin khi và chỉ khi cả N và M/N đều là
Noether hay Artin.
Do N  M nên ta có đồng cấu nhúng i : N → M và đồng cấu chiếu
p : M → M / N tạo thành dãy khớp ngắn:
0→ N →M →M /N →0

Suy ra M là Noether (Artin) khi và chỉ khi N và M/N đều là Noether (Artin).
1.1.3 Định lý Jordan – Holder:
a) Môđun M R thỏa hai điều kiện dây chuyền tăng và dây chuyền giảm nếu
và chỉ nếu chiều dài của dãy các môđun con của M giới hạn bởi cận trên n.
b) Nếu (a) thỏa mãn thì mọi dãy các môđun con của M có thể được làm
mịn đến dãy có độ dài n:
M = M0 ⊃ M1 ⊃ … ⊃ Mn = 0

(*)

 Với i = 0,1,…, n – 1, M i+1 là môđun con tầm thường của M i , khi đó
môđun thương M i /M i+1 là đơn.
 Các môđun thương:
M 0 /M 1 , M 1 /M 2 , …, M n-1 /M n
được gọi là môđun thương hợp thành của M và dãy (*) được gọi là dãy hợp
thành của M.
 Cho:
M = H0 ⊃ H1 ⊃ … ⊃ Hs = 0
M = K0 ⊃ K1 ⊃ … ⊃ Kt = 0


8
là hai dãy hợp thành của M thì s = t và các môđun thương hợp thành tương ứng

đẳng cấu với nhau, tức là:
Kj
K j +1

≅

Hi
H i +1

1.1.4 Mệnh đề:
Các điều kiện sau trên môđun nửa đơn M R là tương đương:
i) M R thỏa điều kiện dây chuyền tăng.
ii) M R thỏa điều kiện dây chuyền giảm.
iii) M R có độ dài hữu hạn.
1.1.5 Mệnh đề:
Các điều kiện sau trên môđun M R là tương đương:
i) M R là Noether (Artin).
ii) Mỗi môđun con của M R là hữu hạn sinh.
iii) Mọi tập khác rỗng của các môđun con của M R có phần tử tối đại (tối tiểu).
1.1.6 Định nghĩa:
 Nếu R R là Noether (Artin) thì R là vành Noether (Artin) phải.
 Nếu R R là Noether (Artin) thì R là vành Noether (Artin) trái.
 Nếu R vừa là vành Noether (Artin) phải vừa là vành Noether (Artin) trái
thì R là vành Noether (Artin).
1.1.7 Hệ quả:
Các điều kiện sau trên vành R là tương đương:
i) R là vành Noether phải.
ii) R thỏa điều kiện dây chuyền tăng trên các iđêan phải.
iii) Mỗi iđêan phải của R là hữu hạn sinh.
iv) Mỗi tập khác rỗng của các iđêan phải của R có phần tử tối đại.

Chứng minh:
(i) ⇒ (ii) Do định nghĩa.
(ii) ⇒ (iii) R thỏa điều kiện (ii) suy ra R là vành Noether phải (do định
nghĩa). Do mệnh đề 1.1.5 suy ra mỗi iđêan phải của R là hữu hạn sinh.


9
(iii) ⇒ (iv) Do mệnh đề 1.1.5.
(iv) ⇒ (i) Do mệnh đề 1.1.5.
1.1.8 Định nghĩa:
 Khi mọi iđêan phải (trái) của R là iđêan chính (hay cyclic) thì R được
gọi là vành iđêan chính bên phải (trái) hay còn gọi là pri-ring (pli-ring).
 Khi R vừa là pri-ring vừa là pli-ring thì R được gọi là vành iđêan chính.
1.1.9 Bổ đề Schur:
Nếu M R là đơn thì End(M R ) là một vành chia. (End(M R ): vành các tự đồng
cấu của M R ).
Chứng minh:
Ta cần chứng minh End(M R ) là vành có đơn vị khác 0 và mọi phần tử
khác 0 của End(M R ) đều khả nghịch trong End(M R ).
 Ta có: End(M R ) là vành (do định nghĩa) và có đơn vị Id M ≠ 0 .
R

 ∀ θ ∈ End(M R ).
 Ta chứng minh nhận xét: M R = M R θ thì θ là toàn ánh. Thật vậy:
θ :M → M
a  θ (a ) = aθ

Khi đó: ∀b ∈ M, do M R = M R θ nên ∃b 1 ∈ M: b = b 1 θ = θ(b 1 ) hay θ là toàn ánh.
 Đặt W = M R θ . Do θ ≠ 0 nên W ≠ 0.
Wr M=

∀r ∈ R :=
Rθ r

( M R r )θ ⊂ M=
Rθ

W

Suy ra W là môđun con khác 0 của M R . Do đó W = M R (do M R là môđun đơn).
Vậy M R = M R θ hay θ là toàn ánh.

(1)

 Ker θ là môđun con của M R mà θ ≠ 0 nên Ker θ ≠ M R ⇒ Ker θ = 0 (do
M R là môđun đơn). Suy ra θ là đơn ánh.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra θ là song ánh.
Do θ là tự đồng cấu của M R nên θ là tự đẳng cấu. Suy ra θ -1 ∈ End(M R ).
Vậy mọi phần tử khác 0 của End(M R ) đều khả nghịch trong End(M R ).
Kết luận: End(M R ) là vành chia.


10
1.1.10 Định nghĩa:
 R là vành đơn nếu vành R ≠ (0) và R có duy nhất hai iđêan là 0 và R.
 Điều này tương đương với khẳng định: 0 là iđêan tối đại duy nhất của R.
Nhắc lại:
M là iđêan tối đại của vành X nếu:

i) M ≠ X.
ii) N là iđêan của X và M ⊂≠ N ⊂ X thì N = X.
Chứng minh:
 Sự tồn tại:
Ta có: 0 ≠ R.
Giả sử N là iđêan của R và 0 ⊂ N ⊂ R . Suy ra N = R (do R là vành đơn).
≠
 Sự duy nhất:
Giả sử ∃M là iđêan tối đại của R ⇒ M ≠ R và R là vành đơn ⇒ M = 0
Vậy 0 là iđêan tối đại duy nhất của R.
1.1.11 Định lý:
Các điều kiện sau trên vành R là tương đương:
i) R là vành Artin phải đơn.
ii) R ≅ M n (D) là vành các ma trận n x n trên vành chia D, với n xác định duy
nhất và với vành chia D duy nhất sai khác phép đẳng cấu.
iii) R ≅ End(M S ), với M là một S - môđun isotypic độ dài n trên vành S bất kỳ.
Chứng minh:
(i) ⇒(ii) Định lý Wedderburn – Artin.
(ii) ⇒(iii) Từ (ii) ta được R là vành Artin phải đơn.
Ta có: R ≅ M n (D) với mọi vành chia D.
M là S-môđun isotypic nửa đơn độ dài n trên vành S. Suy ra M là không gian
vectơ hữu hạn chiều. Khi đó ∃n : M n (D) = EndM S .
Vậy R ≅ EndM S .
Định lý cũng đúng với phía bên trái nên R là vành Artin.


11
1.1.12 Định nghĩa:
Với R là vành Artin, iđêan A của vành R được gọi là iđêan lũy linh nếu An = 0,
∀n.

1.1.13 Định lý:
Các điều kiện sau trên R là tương đương:
i) R là tổng trực tiếp hữu hạn các vành Artin đơn.
ii) R R là nửa đơn.
iii) Mọi R môđun phải là nửa đơn.
iv) R là Artin phải và không có iđêan lũy linh.
v) R là Artin phải và giao của các iđêan tối đại của R là 0.
Chứng minh:
(i)⇒(ii) Hiển nhiên do định nghĩa.
ii)⇒i) Giả sử R R là vành nửa đơn. Gọi A là iđêan tối tiểu của vành R.
 Ta chứng minh A là vành đơn.
Giả sử B là iđêan của vành A, B ≠ 0. Suy ra ABA là iđêan của R và ABA ⊆ B và
ABA ≠ 0.
Ta có:
0 ≠ ABA ⊆ B ⊆ A

⇒ ABA = A ⇒ B = A .
 ABA  R
A  R
 min

Vậy A là vành đơn.
 Ta chứng minh R = A ⊕ R 1 .
 Vì A là iđêan của vành Artin nửa đơn nên ∃e là phần tử lũy đẳng:
A = eR = Re.
 ∀x ∈ R, ta có:
x =xe + x (1 − e ) ∈ Re+ R (1 − e ) ⇒ R =
Re+ R (1 − e ) =A + R (1 − e ) .

 ∀x ∈ A ∩ R(1 – e), ta có:

12
x ∈ A Re =
=
 x xe
⇒
⇒ x = xe − xe = 0 ⇒ A ∩ R (1 − e ) = 0 .

 x ∈ R (1 − e )
 x =x (1 − e ) =x − xe

Đặt R 1 = R(1 – e) ta được R = A ⊕ R 1 , R 1 là vành Artin nửa đơn.
Vậy nếu R là vành Artin nửa đơn thì R = A o ⊕ R 1 với A o là vành Artin đơn, R 1
là vành Artin nửa đơn.
 Do R 1 là vành Artin nửa đơn nên R 1 = A 1 ⊕ R 2 với A 1 là vành Artin
đơn, R 2 là vành Artin nửa đơn. Suy ra R = A o ⊕ A 1 ⊕ R 2 .
Tương tự ta được R = ⊕ A i với A i là vành Artin đơn.
∞

∞

∞

Giả sử R = ⊕ Ai , đặt B0 =
⊕ Ai , B1 =
⊕ Ai , ... ta được dãy giảm vô hạn các iđêan của
i =0

=i 0=i 1

R (vô lý do R là vành Artin).
n

Vậy ∃n ∈ N * : R =⊕ Ai với A i là các vành Artin đơn.
i =0

1.1.14 Định nghĩa:
 Căn của vành Artin phải R là giao của các iđêan tối đại của R. Ký hiệu:
N(R).
Ta có: N(R) = ∩ρ với ρ là các iđêan tối đại của R.
 R được gọi là nửa đơn nếu N(R) = 0.
Suy ra: ∩ρ = 0 với ρ là các iđêan phải tối đại của R. Từ đó ta chứng minh
được (ii) ⇒ (v) của định lý 1.11 như sau:
Ta có N(R) = ∩ρ , ρ là các iđêan phải tối đại của R.
R là nửa đơn nếu N(R) = 0.
1.1.15 Định lý:
Nếu R là vành Artin phải thì N(R) là lũy linh và là iđêan lũy linh lớn nhất của
R. Khi đó R/N(R) là vành nửa đơn.
Chứng minh:
 Ta chứng minh: N(R) là lũy linh.
Đặt N = N(R), xét dãy giảm các iđêan phải:
N ⊃ N2 ⊃ … ⊃ N n ⊃ …


13
Do R là vành Artin nên ∃n sao cho: J n = J n+1 = … = J 2n = …
Do đó nếu: x.N 2n = 0 thì x.N n = 0.
Ta chứng minh: N n = 0.
Giả sử N n ≠ 0, đặt W = { x ∈ N / x.N n = 0 } là iđêan của R.

 Nếu N n ⊂ W thì N nN n = 0. Suy ra 0 = N 2n = N n.
 Nếu M n ⊄ W thì ảnh của N n trong R = R / W là N n ≠ 0 .
Nếu xN n = 0 thì xN n ⊂ W. Suy ra 0 = x.N nN n = xN 2n = xN n .
Ta được x ∈ W ⇒ x = 0 . (*)
Vì N n ≠ 0 ⇒ ∃ρ ∈ N n là iđêan phải tối tiểu và ρ ≠ 0 . Khi đó ρ là R môđun đơn và N ⊂ N ⊂ N ( R) . Suy ra ρ .N = 0 nên ρ = 0 (do (*)) (mâu thuẫn).
n

n

Vậy N n = 0 hay N(R) là lũy linh.
 Ta chứng minh: N(R/N(R)) = 0.
Đặt R = R / N ( R) và π : R → R là toàn cấu.
Lấy ρ là iđêan tối đại chính quy của R, ta được N(R) ⊂ ρ .
Ta=
có: ρ ρ=
/ N ( R) π ( ρ ) , do ρ tối đại trong R nên ρ là tối đại trong R .
Do ρ chính quy nên ∃a ∈ R để ∀r ∈ R: r – ar ∈ ρ .
Suy ra ∀r ∈ R : r − ar ∈ ρ hay ρ là iđêan tối đại chính quy của R .
Ta có N ( R) ⊂ ∩ ρ với ρ chạy khắp các iđêan tối đại chính quy của R.
Suy ra N ( R) ⊂ ∩ ( ρ / N ( R) ) = ∩( ρ / ∩ ρ ) = 0
Vậy N(R/N(R)) = 0 hay R/N(R) là vành nửa đơn.
1.1.16 Hệ quả:
Nếu R là Artin phải thì R là Noether phải.
Chứng minh:
Giả sử R là Artin phải.
Do hệ quả 1.1.7(iii) suy ra mỗi iđêan phải của R là hữu hạn sinh.
Do hệ quả 1.1.7(i) suy ra R là Noether phải.
Vậy nếu R là Artin phải thì R là Noether phải.

14
1.2. CĂN NGUYÊN TỐ
1.2.1 Cho vành R tùy ý và không là vành Artin thì ta có căn nguyên tố và căn
Jacobson. Khi R là vành Artin phải thì căn nguyên tố và căn Jacobson trùng
nhau, ký hiệu: J(R).
Căn nguyên tố là một khái niệm ít được biết đến. Hơn nữa, các kết quả bài
này sẽ được áp dụng vào vành không có phần tử đơn vị 1. Trong bài này, các
vành liên quan không được đề cập đến vấn đề có phần tử đơn vị 1.
1.2.2 Định nghĩa:
 Vành R được gọi là miền nguyên nếu tích của các phần tử khác 0 luôn
khác 0.
a = 0
.
∀a, b ∈ R , ab =0 ⇔ 
b = 0

 Iđêan A của vành R là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/A là miền
nguyên.
1.2.3 Mệnh đề:
Các điều kiện sau trên vành R là tương đương:
i) Nếu 0 ≠ a, b ∈ R thì aRb ≠ 0.
ii) Nếu 0 ≠ A, B  R R thì AB ≠ 0.
iii) Nếu 0 ≠ A, B  R thì AB ≠ 0.
Chứng minh:
i) ⇒ii) Chọn 0 ≠ a ∈ A, 0 ≠ b ∈ B  R R .
Do i) ta được aRb ≠ 0, suy ra AB ≠ 0.
ii)⇒iii) Do 0 ≠ A, B  R R nên 0 ≠ A, B  R. Suy ra AB ≠ 0 (do (ii)).
iii)⇒i) Xét tập C = { c ∈ R / RcR = 0 }.
Khi đó: C  R và RCR = 0, do đó: C = 0.
Nếu A = RaR và B = RbR thì do A, B  R và A, B ≠ 0 theo (iii) ta có AB ≠ 0

Suy ra (RaR)(RbR) ≠ 0 ⇔ R(aRb)R ≠ 0 ⇔ aRb ≠ 0.


15
Khi đó vành R được gọi là vành nguyên tố.
1.2.4 Định nghĩa:
 Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu:
a = 0
∀a, b ∈ R , aRb =0 ⇒ 
b = 0

 Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/A là vành nguyên
tố.
Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R được ký hiệu: Spec(R).
1.2.5 Định nghĩa:
 Căn nguyên tố của vành R là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R.
Ký hiệu: N(R).
 Nếu R là Artin thì căn nguyên tố trùng với căn Jacobson. Ký hiệu
chung: N(R).
1.2.6 Tính chất:
 Phần tử a của vành R là lũy linh nếu ∃n ∈ N: an = 0.
 Nếu mỗi phần tử của tập con A của R là tập con lũy linh thì tập con A
gọi là nil.
 Phần tử a được gọi là lũy linh mạnh nếu với mọi dãy a = a 0 , a 1 , a 2 ,…
sao cho ai +1 ∈ ai Rai thì tồn tại n với a n = 0.
 Mọi phần tử lũy linh mạnh là lũy linh và mỗi phần tử trong iđêan phải
lũy linh là lũy linh mạnh.
1.2.7 Định lý:
Căn nguyên tố N(R) là tập hợp các phần tử lũy linh mạnh của R. Trong
trường hợp đặc biệt N(R) là nil.

Chứng minh:
⇒) Giả sử a ∈ R và a không là lũy linh mạnh.
Ta có dãy vô hạn S gồm các phần tử a i ≠ 0 với: a o = a, a i = a i-1 ra i-1 .
Do bổ đề Zorn, chọn P là iđêan lớn nhất của R với P ∩ S = ∅.
Giả sử B, C  R với B ⊃ P, C ⊃ P.


16
Suy ra: B ∩ S ≠ ∅ và C ∩ S ≠ ∅.
Với a i ∈ B, a j ∈ C ∀i,j . Đặt k = max{i , j}, ta có:
a k+1 ∈ BC và a k+1 ∉ P.
Suy ra P là nguyên tố và a ∉ N(R).
⇐) Giả sử a ∈ R và a ∉ N ( R) =
 P.
P∈Spec ( R )

Ta có a ∉ P, ∀P ∈ SpecR. Suy ra aRa ⊄ P nên ara ∉ P, ∀r ∈ R.
Cho a o = a, a 1 = ara, a 2 = a 1 ra 1 , … ∉ P. Ta được a i ≠ 0 ∀i ∈ {0,1,2,…}.
Vậy a không là lũy linh mạnh.
1.2.8 Hệ quả:
Các điều kiện sau trên vành R là tương đương:
i) R không có iđêan phải lũy linh khác 0.
ii) R không có iđêan lũy linh khác 0.
iii) N(R) = 0.
Chứng minh:
(iii)⇒(ii) Do tính chất N(R) chứa tất cả iđêan lũy linh và N(R) = 0.
(ii)⇒(i) Hiển nhiên.
ii)⇒iii) Ta có iđêan C = { c ∈ R / RcR = 0 } là lũy linh, nên C = 0 (do (ii)).
Với 0 ≠ a ∈ R thì RaR ≠ 0 và không là lũy linh. Do đó aRa ≠ 0, suy ra ara ≠ 0,
∀r ∈ R. Đặt a o = a, a 1 = ara, …, phần tử a không là lũy linh mạnh, ta được J(R)

= 0.
 Các tính chất này là đặc điểm của vành nửa nguyên tố.
 Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu R/A là vành
nửa nguyên tố.
1.2.9 Định nghĩa:
 Căn nguyên tố của iđêan A là giao của các iđêan nguyên tố chứa A. Ký
hiệu: N(A).
 N(R/A) = N(A)/A và N(A) là iđêan nửa nguyên tố.
Ta có A = J(A) khi và chỉ khi A là nửa nguyên tố.


17
1.3.CĂN JACOBSON
1.3.1 Định nghĩa:
 M R là môđun trung thành nếu Mr = 0 suy ra r = 0 với r ∈ R.
 Nếu vành R có môđun đơn trung thành M R thì R được gọi là vành
nguyên thủy (bên phải).
 Một vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu R có môđun đơn trung
thành M.
1.3.2 Bổ đề:
i) Vành đơn là vành nguyên thủy.
ii) Vành nguyên thủy là vành nguyên tố.
Chứng minh:
(i) Giả sử R là vành đơn. Ta chứng minh R có M là môđun đơn trung thành.
Do R là vành đơn nên R có hai iđêan là 0 và R.
Xét M = R nên M là môđun đơn.
Ta có Mr = Rr = 0, suy ra r = 0 với r ∈ R (do R ≠ 0). Nên M là môđun đơn trung
thành. Vậy R là vành nguyên thủy.
(ii) Giả sử R là vành nguyên thủy. Suy ra ∃M là R - môđun đơn trung thành.
Giả sử aRb = 0, ta chứng minh a = 0 hoặc b = 0.

Giả sử a ≠ 0, có 2 khả năng xảy ra:
1) aR ≠ 0:
Đặt ρ = aR ta có Mρ là môđun con của M. Suy ra Mρ = 0 hoặc Mρ = M (do
M là môđun đơn).
 Nếu Mρ = 0 thì ρ = 0 do M ≠ 0 (mâu thuẫn).
 Nếu Mρ = M, ta có:
Mb = (Mρ)b = M(aR)b = M(aRb) = M.0 = 0.
Suy ra b = 0 (do M ≠ 0).
2) aR = 0:

(1)


18
Đặt ζ = { r ∈ R : rR = 0 }. Ta có: 0 ≠ a ∈ ζ nên ζ ≠ 0 , và b ∈ R nên ζb = 0.
Mζ là môđun con của M suy ra Mζ = 0 hoặc Mζ = M.
 Nếu Mζ = 0 thì ζ = 0 do M ≠ 0 (mâu thuẫn).
 Nếu Mζ = M, ta có: Mb = (Mζ)b = M(ζb) = 0 suy ra b = 0.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra aRb = 0, nghĩa là a = 0 hoặc b = 0.
Vậy R là vành nguyên tố.
1.3.3 Định nghĩa:
 Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nguyên thủy nếu R/A là vành
nguyên thủy.
 Iđêan tối đại là iđêan nguyên thủy và iđêan nguyên thủy là iđêan nguyên
tố.
Chứng minh:
 Giả sử A là iđêan tối đại. Khi đó R/A là trường và R/A có duy nhất hai iđêan là

0 và R/A. Suy ra R/A là vành đơn hay R/A là vành nguyên thủy (do bổ đề 1.3.2).
Vậy A là iđêan nguyên thủy.
 Giả sử A là iđêan nguyên thủy. Khi đó R/A là vành nguyên thủy.
Suy ra R/A là vành nguyên tố (do bổ đề 1.3.2).
Vậy A là iđêan nguyên tố.
1.3.4 Định nghĩa:
 Cho E = End( D V) là vành các phép biến đổi D - tuyến tính của V và cho
R là vành con của E. R là trù mật trên E nếu:
∀α ∈ E , ∃r ∈ R : W(α - r) = 0 ⇒ r ≡ α.
với W là không gian con hữu hạn chiều của V.
 Nếu V hữu hạn chiều thì R = E.
1.3.5 Định lý trù mật:
Cho R là vành nguyên thủy, M R là môđun đơn trung thành và D =
EndM R . Khi đó M là không gian D – vectơ trái và R là trù mật trên E =
End D M.
Chứng minh:


19
 Chứng minh bổ đề: Với V là không gian con hữu hạn chiều của M trên
D và m ∈ M\V thì ∃r ∈ R : Vr = 0 và mr ≠ 0.
Chứng minh bằng quy nạp theo số chiều của V.
 dimV = 0: hiển nhiên.
Giả sử đúng với dimV = n. Ta chứng minh đúng với dimV = n + 1.
Đặt V = V o + WD với dimV o = n và W ∉ V o .
Do dimV o = n nên y ∉ V o . Khi đó ∃r ∈ R : V o r = 0 và yr ≠ 0 hay y ∉ V o . Suy ra
∃r ∈ A(V o ) : yr ≠ 0 với A(V o ) = {x ∈ R / V o x = 0}.
Nghĩa là mA(V o ) = 0 thì m ∈ V o .
Với W ∉ V o ta có WA(V o ) ≠ 0, trong đó WA(V o ) là R – môđun con của M
và M là môđun đơn. Ta được WA(V o ) = M.

Với m ∈ M và m ∉ M, ta chứng minh: ∃r ∈ R, Vr = (0) và mr ≠ 0.
Giả sử ∀r ∈ R: Vr = 0. Ta được mr = 0.Xét quy tắc

τ: M → M
x  ma
(Trong đó, x ∈ M = WA(V o ) = { wa / a ∈ A(V o ) }⇒ x = wa. Ta đặt xτ = ma).
 Ta chứng minh τ là ánh xạ. Giả sử x = wa 1 = wa 2 , với a 1 , a 2 ∈ A(V o )
Ta được w(a 1 – a 2 ) = 0, suy ra (a 1 – a 2 ) linh hóa V o và W. Vì vậy (a 1 – a 2 ) linh
hóa V. Do đó a 1 – a 2 ∈ A(V) hay m(a 1 – a 2 ) = 0 nên ma 1 = ma 2 .
 τ là đồng cấu.
 τ ∈ ∆, tức là ∀r ∈ R, Tr  τ = τ  Tr. Thật vậy:
∀x ∈ M, ∀r ∈ R, ta có x ∈ M = WA(V o ) ⇒ x = wa , a ∈ A(V o ),
xTr  τ = (war)τ = mar = (ma)r = (xτ)Tr.
Khi đó: ∀a ∈ A(V o ), ma = (wa)τ = (wτ)a.
Suy ra (m - wτ)a = 0,∀a∈A(V o ) hay m - wτ ∈ V o .
Do đó m ∈ wτ + V o ∈ W∆ +V o = V (trái với m ∉ V).
Vậy nếu m ∈ M\V thì ∃r ∈ R : Vr = 0 và mr ≠ 0.
 Trở lại với định lý trù mật.


20
∀n, v 1 , …, v n ∈ M, độc lập tuyến tính trên ∆ và w 1 , …, w n ∈ M là các
phần tử bất kỳ. Gọi V i là không gian con của M sinh bởi các phần tử v j , j = 1, n , j
≠ i. Khi đó v i ∉ V i nên ∃t i ∈ R : v i .t i = 0 và v i .t i = w i .
Do đó nếu đặt t = t 1 + t 2 + … + t n thì ta có v i .t = w i , ∀i = 1, n .
Vậy R là dày đặc trên M.
1.3.6 Hệ quả:
Nếu R là vành nguyên thủy và D = EndM R với M R là môđun đơn trung
thành thì R ≅ M n (D), hoặc với mỗi số tự nhiên t, tồn tại vành con R t của R và
toàn cấu vành R t → M t (D).

Chứng minh:
Do R là vành nguyên thủy nên tồn tại M là môđun đơn trung thành.
Xét đồng cấu:
ψ : R → EndM R
r  Tr

với
Tr : M → M
m  mTr = mr.

Theo bổ đề Schur thì D = EndM R là vành chia. Khi đó M là không gian vectơ
trên D. Theo định lý trù mật thì R là trù mật trong HomD ( M , M ) chính là không
gian các D - ánh xạ tuyến tính từ M vào M.
TH1: Nếu M là D - không gian vectơ hữu hạn chiều thì theo định lý trù
mật ta có:
R ≅ HomD ( M , M ) =
M n ( D) .

TH2: M không là D - không gian vectơ hữu hạn chiều. Gọi v 1 ,v 2 ,…,v t ,…
là tập vô hạn độc lập tuyến tính trong M.
Đặt M t = v1 , v2 ,..., vt = v1 D + v2 D + ... + vt D . Khi đó: HomD ( M , M ) = M t ( D ) .
Đặt Rt =
{ x ∈ R / M t x ⊂ M t } thì R t là vành con của R. Xét:


21
ϕ : Rt → M t ( D )
x  xϕ : M t → M t
v  vx

Khi đó ϕ là đồng cấu vành và ϕ là toàn cấu.
1.3.7 Định nghĩa:
Căn Jacobson của R được định nghĩa là giao của tất cả các iđêan trái
(hoặc phải) nguyên thủy.
1.3.8 Định lý:
Các điều kiện sau trên iđêan A của R là tương đương:
i) A = J(R).
ii) A là giao của các iđêan phải tối đại của R.
iii) A là iđêan lớn nhất sao cho 1 – a là khả nghịch trong A, ∀a ∈ A.
1.3.9 Định nghĩa:
 Nếu J(R) = 0 thì R là vành nửa nguyên thủy.
 Iđêan A của R là iđêan nửa nguyên thủy nếu R/A là vành nửa nguyên
thủy.
1.3.10 Bổ đề Nakayama:
Nếu M R là R - môđun phải hữu hạn sinh và M R ≠ 0 thì M ≠ MJ(R).
Chứng minh:
Ta có M R là R - môđun phải hữu hạn sinh và M R ≠ 0. Giả sử M = MJ(R).
Với J(R) = ∩ρ trong đó ρ là các iđêan tối đại của R. Ta được M ⊂ M ρ .
Cho a 1 ,…,a n là tập hợp nhỏ nhất các phần tử sinh của M.
Ta có an ∈ M suy ra an ∈ M ρ . Do đó an= a1 ρ1 + ... + an ρ n với ρ i ∈ ρ .
Nên an (1 − ρ n )= a1 ρ1 + ... + an −1 ρ n −1 .
Do ρ n ∈ J ( R ) nên 1 − ρ n khả nghịch trong R. Suy ra a n là môđun con của M sinh
bởi a 1 ,…,a n-1 , mâu thuẫn.
Vậy M ≠ MJ(R).


22

Chương 2:
MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA

CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN
  
Lớp các vành Noether giao hoán là lớp các vành rất quen thuộc mà chúng
ta đã được làm quen trong chương trình đại số giao hoán. Trong đó, ta có định lý
cơ bản của Hilbert: “ Nếu A là vành Noether thì vành đa thức A[x] là Noether ”,
đã giúp xây dựng nên các hình ảnh và ví dụ về vành Noether giao hoán. Nhưng
đối với vành Noether không giao hoán thì những hình ảnh và ví dụ cụ thể không
được phong phú.
Mục đích của chương này là đi tìm những hình ảnh cụ thể, những ví dụ cụ
thể về lớp các vành Noether không giao hoán. Vật liệu chính dùng để xây dựng
nên lớp các vành Noether không giao hoán là: ma trận, đa thức một biến và
nhiều biến không giao hoán, vành nhóm.
Sau đây chúng ta sẽ đi và xây dựng lớp các vành Noether không giao
hoán bằng vật liệu thứ nhất là ma trận.


23
2.1. MA TRẬN
 Trong đại số tuyến tính, nếu R là vành có đơn vị 1 và

2.1.1
=
Rn

{( a , a ,..., a ) / a ∈ R} với hai phép toán cộng và nhân trên Rn như sau:
1

2

=

Với α

n

i

=
an ) , β ( b1 ,..., bn ) ∈ R n , ta có:
( a1 ,...,

( a1 + b1 ,..., an + bn )
( a1k ,..., an k ) , ∀k ∈ R.

α +β =
=
α .k

Khi đó Rn là R – môđun phải tự do cấp n.
 Ta có phép nhúng:
R → Mn ( R)

r  ( aij )

với:
r , ∀i
 a=
ii

aij 0 , i ≠ j
=

 Nếu I r R thì M n ( I ) r M n ( R) .
Chứng minh:
Phép nhúng:
I → Mn (I )
a  0 
a      
 0  a 

 ∀α , β ∈ M n ( I ) , ta có:
a  0 
    , β
α =
=
 0  a 

b  0 
  


0  b 

0 
a + b 

Khi đó α + β      ∈ M n ( I ) . Do a, b ∈ I và I r R nên a + b ∈ I .
=
 0
 a + b 

 ∀r ∈ R, ∀α ∈ M n ( I ) , khi đó:


24
a  0 
    . r
α .r =
=
 0  a 

 a.r  0 
     ∈M I .
n( )


 0  a.r 

Do a ∈ I , r ∈ R và I r R nên a.r ∈ I .
Vậy M n ( I )  M n ( R) .
r
2.1.2 Mệnh đề:
M n (R) là Noether phải nếu và chỉ nếu R là Noether phải.
Chứng minh:
(⇒) Ta có M n ( R) ≅ R n và M n (R) là Noether phải nên R n là Noether phải.
2

2

Vậy R là Noether phải.
(⇐) Giả sử R là Noether phải.

Nếu { I j / j = 1,2,… } là một dãy tăng nghiêm ngặt các iđêan phải của R
thì {M n (I j ) / j = 1,2,… } cũng là dãy tăng nghiêm ngặt các iđêan phải của M n (R).
Vậy M n (R) là Noether phải.
2.1.3 Bổ đề:
Nếu R là vành con của S, với S R hữu hạn sinh và R là Noether phải thì S là
Noether phải (S là vành R – môđun).
Chứng minh:
 Ta có R ⊂ S và S R là hữu hạn sinh nên R là hữu hạn sinh. Do R là Noether phải
nên{ I j / j = 1,2,… } là một dãy tăng nghiêm ngặt các iđêan phải của R.
 Do R ⊂ S nên ta có phép nhúng ϕ: R → S suy ra nếu I r R thì ϕ ( I ) r ϕ ( R ) ⊆ S .
Ta được {ϕ( I j )/ j = 1,2,… } là một dãy tăng nghiêm ngặt các iđêan phải của S.
Vậy S là Noether phải.
2.1.4 Ví dụ:
Vành các ma trận n × n trên R là M n (R) có vành con là vành:
T n (R) = { (a ij ) / a ij ∈ R, a ij = 0 với i > j }.
T n (R) là vành của tất cả các ma trận tam giác trên.
2.1.5 Hệ quả: