nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong dạy học toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Lê Vương Quốc

NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Lê Vương Quốc

NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Chuyên ngành

: LL&PP dạy học bộ môn Toán

Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn:
Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt
nghiên cứu khoa học, luôn động viên để tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong suốt
quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn này;
Tất cả quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc, dẫn dắt
chúng tôi lĩnh hội những kiến thức nền tảng, truyền cho chúng tôi sự hứng thú đối
với chuyên ngành Didactic Toán. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Claude
Comiti, PGS.TSKH Hamid Chaachoua đã chỉ dẫn, gợi mở và định hướng đề tài
luận văn cho chúng tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn:
Ban giám hiệu, quý thầy cô Trường THCS Lương Quới, Giồng Trôm, Bến
Tre đã luôn động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại
trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh.
Quý thầy cô và các em học sinh lớp 11 (năm học 2013 – 2014) Trường
THPT Phan Văn Trị, các em học sinh lớp 9 (năm học 2012 – 2013) Trường THCS
Lương Quới, Giồng Trôm, Bến Tre đã nhiệt tình hỗ trợ và giúp đỡ tôi tiến hành
thực nghiệm tại trường;
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn:
Các bạn học cùng lớp Didactic Toán K22 (2011 – 2013) đã đồng hành
cùng tôi, chia sẻ những khó khăn và kinh nghiệm giảng dạy trong suốt khóa học.
Tôi xin dành những dòng cuối cùng để cảm ơn sự động viên, chia sẻ và

tạo những điều kiện tốt nhất từ phía gia đình, đặc biệt là cha mẹ tôi, đã giúp tôi tự
tin trong công việc, học tập và nghiên cứu trong suốt 2 năm học cao học.
Trần Lê Vương Quốc


MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN ...........................................................................................................
MỤC LỤC .................................................................................................................
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT ......................................................
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
T
2

2T

Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát ............................................................. 1

1.
T
2

T
2

T
2

Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu ................................... 4

2.
T
2

T
2

T
2

T
2

T
2

T
2

Tổ chức của luận văn ....................................................................................... 7

4.
T
2

T
2

Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu .......................... 6

3.
T
2

T
2

T
2

T
2

2T

Chương 1. CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
T
2

TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN
HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC ...................................... 9
T
2

1.1. Mục tiêu của chương........................................................................................ 9
T
2

T
2

T
2

2T

1.2. Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn của toán học ..... 11
T
2

T
2

T
2

T
2

1.2.1. Trong Hình học tổng hợp.......................................................................11
T
2

2T

2T

T
2

1.2.2. Trong Đại số - Giải tích .........................................................................12
T
2

2T

2T

T
2

1.2.3. Trong Hình học giải tích ........................................................................19
T
2

2T

2T

T
2

1.3. Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong môn Kinh tế lượng .................. 25
T
2

T
2

T

2

T
2

1.4. Kết luận chương 1 .......................................................................................... 27
T
2

T
2

T
2

2T

Chương 2. MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG HỆ SỐ GÓC
T
2

CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY – HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG
PHỔ THÔNG ...................................................................................................... 29
2T

2.1. Mục tiêu của chương...................................................................................... 29
T
2

T

2

T
2

2T

2.2. Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng trong dạy
T
2

T
2

T
2

– học toán ở bậc phổ thông............................................................................ 30
T
2


2.2.1. Hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THCS .............30
T
2

2T

2T

T
2

2.2.2. Hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THPT .............45
T
2

2T

2T

T
2

2.3. Kết luận chương 2 .......................................................................................... 64
T
2

T
2

T
2

2T

Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................. 66
T
2

T
2

3.1. Mục tiêu của chương...................................................................................... 66
T
2

T
2

T
2

2T

3.2. Thực nghiệm trên học sinh THCS ................................................................. 66
T
2

T
2

T
2

T
2

3.2.1. Đối tượng thực nghiệm ..........................................................................66
T

2

2T

2T

T
2

3.2.2. Mục tiêu thực nghiệm ............................................................................66
T
2

2T

2T

T
2

3.2.3. Nội dung câu hỏi thực nghiệm...............................................................66
T
2

2T

2T

T
2

3.2.4. Phân tích thực nghiệm ...........................................................................67
T
2

2T

2T

T
2

3.2.5. Kết luận ..................................................................................................80
T
2

2T

2T

2T

3.3. Thực nghiệm trên học sinh THPT ................................................................. 80
T
2

T
2

T

2

T
2

3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ..........................................................................80
T
2

2T

2T

T
2

3.3.2. Mục tiêu thực nghiệm ............................................................................81
T
2

2T

2T

T
2

3.3.3. Nội dung bài toán thực nghiệm .............................................................81
T
2

2T

2T

T
2

3.3.4. Phân tích thực nghiệm ...........................................................................81
T
2

2T

2T

T
2

3.3.5. Kết luận ..................................................................................................92
T
2

2T

3.4. Kết luận chương 3 .......................................................................................... 93
T
2

T

2

T
2

2T

KẾT LUẬN .......................................................................................................... 94
T
2

2T

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 97
T
2

2T

PHỤ LỤC............................................................................................................. 99
T
2

2T


DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT
Chữ viết đầy đủ

Chữ viết tắt

CL

Chiến lược

ĐS-GT

Đại số - Giải tích

GT

Giả thuyết

HH

Hình học

HHTH

Hình học tổng hợp

HHGT

Hình học giải tích

KNV

Kiểu nhiệm vụ

SGK

Sách giáo khoa

SGK9.T1

Sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1

SGV9.T1

Sách giáo viên toán lớp 9 tập 1

SBT9.T1

Sách bài tập toán lớp 9 tập 1

ĐS10.NC

Sách giáo khoa Đại số lớp 10 nâng cao

GVĐS10.NC

Sách giáo viên Đại số lớp 10 nâng cao

BTĐS10.NC

Sách Bài tập Đại số lớp 10 nâng cao

ĐS10.CB

Sách giáo khoa Đại số lớp 10 cơ bản

HH10.NC

Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao

GVHH10.NC

Sách giáo viên Hình học lớp 10 nâng cao

BTHH10.NC

Sách Bài tập Hình học lớp 10 nâng cao

HH10.CB

Sách giáo khoa Hình học lớp 10 cơ bản

tr.00

Trang 00

THCS

Trung học cơ sở

THPT

Trung học phổ thông


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Hàm số là một trong những khái niệm có ý nghĩa hết sức quan trọng trong
toán học cũng như trong thực tiễn. Trong toán học, chủ đề về hàm số có mặt hầu
như xuyên suốt từ THCS đến THPT, từ Trung học cho đến Đại học. Trong đó, hàm
số bậc nhất là một dạng hàm số cơ bản nhất trong tất cả các dạng hàm số ở trường
phổ thông. Nó giữ vai trò là nền tảng để học sinh nghiên cứu các dạng hàm số khác
phức tạp hơn.
Khái niệm hàm số nói chung và hàm số bậc nhất nói riêng được học sinh bắt
đầu tiếp cận từ lớp 7 với dạng đặc biệt y = ax (a ≠ 0) và đến lớp 9 thì học sinh được
học hàm số bậc nhất dạng tổng quát y = ax + b (a ≠ 0).
Ở lớp 7, bước đầu học sinh có những hiểu biết sơ lược về hàm số bậc nhất và
đồ thị của nó trong trường hợp đặc biệt y = ax (a ≠ 0). Việc cung cấp kiến thức về
hình dạng của đồ thị hàm số y = ax là một đường thẳng làm nền tảng để xây dựng
đồ thị của hàm số bậc nhất tổng quát y = ax + b (a ≠ 0), trong đó hệ số a của x chưa
có một tên gọi chính thức mà sau này đến lớp 9 thì hệ số a của x được gọi là hệ số
góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0).
Đến lớp 9, học sinh được cung cấp khá đầy đủ những đặc trưng của hàm số
bậc nhất (tập xác định, tính biến thiên) và đồ thị của hàm số bậc nhất, trong đó đáng
chú ý nhất là khái niệm “hệ số góc” của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0).
Đến lớp 10, khái niệm “hệ số góc” được học sinh tiếp cận qua cả hai phân
môn Đại số lẫn Hình học.
Ở phân môn Đại số, ngoài việc củng cố, nhắc lại các kiến thức cơ bản về hàm
số bậc nhất mà học sinh đã được học ở lớp 9 như tập xác định, đồ thị của hàm số
bậc nhất, sách giáo khoa đại số 10 (cả sách cơ bản và nâng cao) còn bổ sung thêm
bảng biến thiên của hàm số bậc nhất. Chính hình ảnh trực quan này đã làm nổi bật
tính biến thiên của hàm số bậc nhất. Ngoài ra, sách giáo khoa đại số 10 còn mở rộng
một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc nhất trong trường hợp a = 0. Hàm số đó có

2
dạng y = b, gọi là hàm số hằng và đồ thị của nó cũng là một đường thẳng.
Ở phân môn Hình học, bằng phương pháp tọa độ thông qua công cụ vectơ, đối
tượng đường thẳng được xây dựng một cách bài bản hơn, tổng quát hơn thông qua
việc xây dựng “phương trình đường thẳng”. Ở đây, khái niệm “hệ số góc” của
đường thẳng một lần nữa được củng cố và đặt trong mối liên hệ với góc tạo bởi
đường thẳng với trục Ox. Nhưng trong nó vẫn tồn tại một sự khác biệt so với cách
tiếp cận ở bậc THCS, đó là hệ số góc của đường thẳng có mối liên hệ với tọa độ của
vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Hơn nữa, đến lớp 11, một lần nữa học sinh được tiếp cận khái niệm “hệ số
góc” của đường thẳng nhưng nó được đặt trong mối liên hệ với một phân môn mới
của toán học đó là Giải tích. Theo đó, qua bài toán tiếp tuyến của đường cong,
người ta đã chỉ ra rằng hệ số góc của đường thẳng có mối liên hệ với đạo hàm của
hàm số, một trong những khái niệm cơ bản của Giải tích: Hệ số góc của tiếp tuyến
bằng đạo hàm của hàm số tại tiếp điểm. Từ đây, hệ số góc của đường thẳng trở
thành một công cụ đắc lực trong toán học. Nó giữ vai trò quan trọng trong việc giải
quyết các bài toán về xác định tính biến thiên của hàm số, xác định tiếp tuyến với
một đường cong, …
Trên cơ sở đó, chúng tôi nhận thấy rằng: hệ số góc của đường thẳng tồn tại
trong nhiều phân môn của toán học như Đại số, Hình học và Giải tích. Với sự xuất
hiện đa dạng của nó trong những phạm vi khác nhau đó đã làm nổi lên mối liên hệ
mật thiết giữa các phân môn của toán học qua Sơ đồ mối liên hệ sinh thái của hệ số
góc của đường thẳng trong mối liên hệ giữa Hình học và Đại Số - Giải tích (h.1):


3

Hình 1. Sơ đồ mối liên hệ sinh thái của hệ số góc của đường thẳng trong mối liên
hệ giữa Hình học và Đại số - Giải tích.

Xuất phát từ những ghi nhận trên, chúng tôi tự hỏi rằng sự tồn tại phong phú
và đa dạng của hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ sinh thái giữa các phân
môn của toán học có những nghĩa gì? với cách tiếp cận của chương trình giảng dạy
toán ở THCS và THPT hiện hành (gọi chung là bậc phổ thông) thì học sinh hiểu gì
về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng?
Vì vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài cho luận văn của mình là “Nghĩa của
hệ số góc của đường thẳng trong dạy học toán ở trường phổ thông”.
Dưới góc độ toán học thì trong hai phạm vi Hình học và Đại số - Giải tích luôn
mang trong nó nhiều kiến thức sâu và rộng. Vì vậy trong khuôn khổ của luận văn
này, mục tiêu chính của chúng tôi là đi tìm nghĩa của hệ số góc của đường thẳng.
Để làm được điều đó, chúng tôi sẽ không đi sâu phân tích mối liên hệ sinh thái giữa
Hình học và Đại số - Giải tích. Thay vào đó, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu khái
niệm hệ số góc của đường thẳng, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng với cách
hiểu là sự xuất hiện và sự tồn tại của nó trong mối liên hệ với các phân môn của
toán học, trong mối liên hệ với một số đối tượng tri thức khác trong toán học cũng
như trong các liên môn 1 (chẳng hạn như môn Kinh tế lượng). Trong đó, chúng tôi sẽ
0F
P

P

Liên môn ở đây chúng ta có thể hiểu là những phân môn khác trong các lĩnh vực ngoài toán học
nhưng có liên quan và sử dụng đến những kiến thức của toán học.

1


4
tập trung chỉ ra các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong phạm vi của HH và
ĐS-GT. Đặc biệt, qua phân tích chương trình và SGK bậc phổ thông hiện hành ở

Việt Nam, chúng tôi sẽ chỉ ra sự xuất hiện và sự hình thành các nghĩa của hệ số góc
của đường thẳng ở học sinh.
Cụ thể, nghiên cứu của chúng tôi sẽ khởi đầu với các câu hỏi sau đây:
- Trong các phân môn của toán học và các liên môn, hệ số góc của đường
thẳng có những nghĩa gì? và những nghĩa đó có mối liên hệ với những đối tượng
toán học nào?
- Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng được chương trình và sách giáo khoa
phổ thông trình bày như thế nào? Chương trình và sách giáo khoa phổ thông có
những mong muốn và ràng buộc gì trong việc dạy và học hệ số góc của đường
thẳng? Học sinh phổ thông sẽ hiểu gì về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng?
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu
Để có sự giải thích thỏa đáng cho những vấn đề đã nêu thì điều quan trọng mà
chúng tôi cần làm trước tiên là tìm kiếm công cụ lý thuyết làm cơ sở cho việc đưa ra
các câu trả lời cho các câu hỏi đó. Và chúng tôi đã tìm những công cụ này trong
phạm vi Didactic toán bởi vì “Didactic mang lại những công cụ hữu hiệu lí giải các
hiện tượng trong giảng dạy và học tập” [1, tr.9].
Nếu chúng tôi gọi đối tượng O là hệ số góc của đường thẳng; I là thể chế dạy
học hiện hành ở trường phổ thông của Việt Nam thì vấn đề về mối quan hệ giữa các
cách tiếp cận O trong các phạm vi của toán học, trong việc dạy học hệ số góc của
đường thẳng ở trường phổ thông liên quan đến khái niệm “quan hệ thể chế” của
Thuyết nhân học do Chevallard (1998) đặt nền móng. Câu hỏi “Học sinh phổ thông
sẽ hiểu gì về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng?” liên quan đến khái niệm
“quan hệ cá nhân” của lý thuyết này. Cá nhân được xét ở đây là đối tượng học sinh
đã được học về hệ số góc của đường thẳng. Câu hỏi “Nghĩa của hệ số góc của
đường thẳng được sách giáo khoa và chương trình phổ thông trình bày như thế
nào? Chương trình và sách giáo khoa phổ thông có những mong muốn và ràng
buộc gì trong việc dạy và học hệ số góc của đường thẳng?” liên quan đến khái niệm


5

“quan hệ thể chế” của lý thuyết này. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm lược
những khái niệm đó và cố gắng giải thích tính hợp lý của sự lựa chọn phạm vi lý
thuyết tham chiếu của luận văn. Phần trình bày các khái niệm này được trích lọc từ
quyển sách song ngữ Việt - Pháp “Những yếu yếu tố cơ bản của Didactic Toán”
(2009).
Chúng tôi sử dụng các khái niệm sau: “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”
và “tổ chức toán học”. Mối quan hệ thể chế R(I,O) và quan hệ cá nhân R(X,O)
được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một
khái niệm do Chevallard (1998) đưa ra mà qua việc phân tích chúng, cho phép
chúng tôi xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O.
2.1. Quan hệ thể chế R(I, O)
Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà
thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có
vai trò gì, tồn tại ra sao,… trong I.
2.2. Quan hệ cá nhân R(X,O)
Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại
mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về
O, có thể thao tác O ra sao,… Quan hệ cá nhân với một đối tượng O chỉ rõ cách
thức mà X biết O.
Với đối tượng O mà chúng tôi quan tâm (hệ số góc của đường thẳng), phân
tích R(I, O) cho phép chúng tôi rút ra được nghĩa của O trong I từ đó chúng tôi sẽ
làm rõ vai trò, phạm vi tác động cũng như mối liên hệ giữa các lựa chọn của thể chế
I trên con đường tiếp cận nghĩa của O, đặc biệt là ở bậc trung học cơ sở và trung
học phổ thông. Đồng thời, để tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với O
thì lại cần phải nghiên cứu R(I, O) bởi vì sự lựa chọn của thể chế đối với O ảnh
hưởng trực tiếp đến quan hệ cá nhân đối với O. Vì lẽ đó, chúng tôi nhận thấy sự cần
thiết phải xem xét “quan hệ thể chế” và “quan hệ cá nhân” đối với đối tượng tri
thức mà chúng tôi quan tâm. Mặt khác, theo Bosch và Chevallard để phân tích mối
quan hệ R(I, O) thì cần phải dùng đến khái niệm “tổ chức toán học”.

6
2.3. Tổ chức toán học
Theo Chevallard (1998), mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần
[T,τ,θ,Θ] trong đó T là KNV, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết KNV T, θ là công
nghệ giải thích cho kỹ thuật τ và Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ. Một
praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức
toán học (organisation mathématique). Việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn
liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của
một chủ thể X tồn tại trong O. Do đó, việc chúng tôi lựa chọn Thuyết nhân học làm
tham chiếu cho nghiên cứu của mình là hoàn toàn thỏa đáng.
3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu
Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi
ban đầu và trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho
phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này.
Gọi đối tượng O là hệ số góc của đường thẳng; I là thể chế dạy học hệ số góc
của đường thẳng theo chương trình phổ thông hiện hành ở Việt Nam.
CH1. Về mặt tri thức luận, đối tượng O được nghiên cứu trong những phân
môn nào, những phạm vi nào của toán học? Trong mỗi phạm vi đó, đối tượng O
được hiểu như thế nào? Nó có những nghĩa gì? Nó liên hệ với những đối tượng toán
học nào?
CH2. Trong I, cách tiếp cận đối tượng O được trình bày như thế nào? Trong
các cách tiếp cận đó, nghĩa của O được thể hiện ra sao? Những mong muốn và ràng
buộc nào của thể chế đối với O trong các cách tiếp cận này? Có những tổ chức toán
học nào trong thể chế nhằm làm rõ nghĩa của O?
Chúng tôi đi tìm lời giải đáp cho hai câu hỏi CH1 và CH2 thông qua việc
nghiên cứu các giáo trình đào tạo và bồi dưỡng giáo viên, phân tích các kết quả từ
các công trình nghiên cứu đã có, phân tích các bộ sách giáo khoa môn toán được
giảng dạy ở trường phổ thông theo chương trình hiện hành ở Việt Nam (bao gồm
các bộ sách giáo khoa Đại số 9, Đại số 10 nâng cao và Hình học 10 nâng cao).

Trước khi phân tích R(I, O), chúng tôi sẽ thực hiện một phân tích về O ở góc


7
độ tri thức bác học. Bởi vì để tồn tại trong một thể chế nào đó thì mỗi tri thức phải
được biến đổi cho phù hợp. Chính sự biến đổi đó đã tạo nên một khoảng cách giữa
tri thức được trình bày trong SGK và tri thức bác học. Vì vậy để có sự hiểu biết đầy
đủ về O thì một phân tích O ở góc độ tri thức bác học là thật sự cần thiết.
Phạm vi hoạt động của mỗi tri thức toán học thường rất lớn và đối tượng hệ số
góc của đường thẳng cũng không ngoại lệ. Do đó, chúng tôi không thể thực hiện một
nghiên cứu khoa học về hệ số góc một cách đầy đủ. Thay vào đó, chúng tôi sẽ chỉ
tiến hành nghiên cứu O thông qua việc tổng hợp các kết quả đã có về đường thẳng
và hệ số góc của đường thẳng.
Kết quả thu được từ việc nghiên cứu tri thức bác học về hệ số góc của đường
thẳng và phân tích các bộ sách giáo khoa môn toán được giảng dạy ở trường phổ
thông theo chương trình hiện hành ở Việt Nam sẽ làm cơ sở cho phép chúng tôi đưa
ra các giả thuyết nghiên cứu về hiểu biết của học sinh đối với nghĩa của hệ số góc
của đường thẳng. Từ đó, chúng tôi xây dựng hai thực nghiệm (một ở THCS và một
ở THPT) nhằm kiểm chứng lại giả thuyết nghiên cứu đã nêu ở trên.
4. Tổ chức của luận văn
Chương 1. Các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn
của toán học và trong mối liên hệ với một số đối tượng tri thức khác
Chúng tôi sẽ phân tích các tính chất toán học của đường thẳng và hệ số góc
của đường thẳng dưới góc độ toán học. Qua việc phân tích những tính chất này,
chúng ta sẽ có cái nhìn rõ hơn khái niệm hệ số góc của đường thẳng và nghĩa của nó
trong mặt phẳng. Từ đó chúng tôi trả lời được câu hỏi CH1.
Chương 2. Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng
trong dạy – học toán ở trường phổ thông
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm
hệ số góc của đường thẳng trong chương trình và SGK môn Toán THCS và THPT

hiện hành. Qua đó, chúng tôi làm rõ: cách tiếp cận khái niệm hệ số góc của đường
thẳng, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng. Kết quả nghiên cứu mối quan hệ thể
chế sẽ cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi CH2 và nêu lên các giả thuyết nghiên cứu.


8
Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm
Chúng tôi tiến hành nghiên cứu thực nghiệm bằng việc xây dựng một hệ thống
các câu hỏi và bài toán. Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 9 và lớp 11 đã học
về hệ số góc của đường thẳng.
Mục đích của việc xây dựng thực nghiệm là nhằm kiểm chứng tính thích đáng
của các giả thuyết nghiên cứu đã nêu lên ở cuối chương 2.


9

Chương 1. CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN
HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC
1.1. Mục tiêu của chương
Như chúng tôi đã đề cập ở phần mở đầu, đường thẳng được nghiên cứu trong
nhiều phân môn của toán học như Hình học (HH), Đại số (ĐS) và Giải tích (GT).
Sự xuất hiện đa dạng của nó trong những phạm vi khác nhau được tìm thấy trong
mối liên hệ mật thiết giữa các phân môn của toán học (h.1).
Ta đã biết, “đường thẳng” là một trong những đối tượng nghiên cứu của toán
học. Trong cả HH lẫn ĐS-GT, “đường thẳng” đều là một tập hợp của vô số các
điểm thẳng hàng. Nhưng trong HH, “đường thẳng” là một tập hợp vô số các điểm
thẳng hàng thỏa mãn những tiên đề hình học của Hilbert. Còn trong ĐS-GT, “đường
thẳng” cũng là một tập hợp vô số các điểm thẳng hàng nhưng các điểm của nó phải
thỏa mãn một “phương trình đại số”.

- Trong HH, “Góc” tạo bởi hai đường thẳng là một đối tượng quan trọng – vì
đối tượng này huy động các kiến thức lượng giác. Còn trong ĐS-GT thì một trong
những đặc trưng của đường thẳng chính là “Hệ số góc” của nó. Dù xét trong phạm
vi nào của toán học, trong HH hay trong ĐS-GT, thì cả hai khái niệm “Góc” và “Hệ
số góc” của đường thẳng có mối liên hệ với nhau thông qua “Lượng giác”.
- Trong ĐS-GT, “Hệ số góc của đường thẳng” giữ vai trò là một công cụ hữu
hiệu trong việc xác định phương trình đường thẳng, cũng như xác định phương trình
tiếp tuyến với đường cong (liên quan đến công cụ “Đạo hàm của hàm số”). Tuy
nhiên, trong ĐS-GT, mọi quan hệ hình học giữa các đối tượng trong toán học đều
được đại số hóa. Điều này làm cho một số tính chất hình học bị che khuất, đặc biệt
là nghĩa của nó.
Như vậy ẩn chứa sau mối liên hệ giữa HH và ĐS-GT thì các đối tượng toán
học, cụ thể là “Đường thẳng” và “Hệ số góc” của nó trong mặt phẳng, có những tính
chất nào? Về mặt toán học, hệ số góc của đường thẳng trong mặt phẳng được hiểu
như thế nào? Nghĩa của nó trong toán học là gì?


10
Chính vì vậy, mục tiêu của chương này là nhằm phân tích các tính chất toán
học của đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng dưới góc độ toán học. Qua việc
phân tích những tính chất này, chúng ta sẽ có cái nhìn rõ hơn khái niệm hệ số góc
của đường thẳng và nghĩa của nó trong mặt phẳng. Để đạt được mục tiêu đó, chúng
tôi tham khảo các giáo trình toán cao cấp và công trình nghiên cứu đã có liên quan
đến đồ thị hàm số, đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng.
Với tư cách là một đối tượng toán học, hệ số góc của đường thẳng được đề cập
trong nhiều phân môn của toán học như đã trình bày trong sơ đồ trên (h.1). Câu hỏi
đặt ra là: Trong những phân môn khác nhau của toán học, hệ số góc của đường
thẳng mang những ý nghĩa gì?
Trong chương này, chúng tôi sử dụng các giáo trình, các tài liệu tham khảo và
các kết quả nghiên cứu trước đây có liên quan như sau:

- Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm – Một
nghiên cứu khoa học luận và sư phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ
Chí Minh.
- Phạm Trí Cao – Vũ Minh Châu (2009), Kinh tế lượng ứng dụng (Dành cho
khối tài chính ngân hàng), Nxb Thống kê Tp.Hồ Chí Minh.
- Phan Huy Điển – Phan Huy Khải – Tạ Duy Phượng (2002), Cơ sở giải tích
phổ thông, lý thuyết và thực hành tính toán, Nxb Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội.
- Nguyễn Thúc Hào (1992), Hình học vectơ, Nxb Khoa học và Kỹ thuật Hà
Nội.
- Trương Đức Hinh – Đào Tam (2004), Giáo trình cơ sở hình học và hình học
sơ cấp, Nxb Đà Nẵng.
- Ngô Thúc Lanh – Đoàn Huỳnh – Nguyễn Đình Trí (2003), Từ điển toán học
thông dụng, Nxb Giáo dục.
- Nguyễn Minh Phong (2012), Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và giải tích
trong dạy học hình học lớp 12 ở Việt Nam, Luận Văn Thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP
Tp.Hồ Chí Minh.
- S.M.Nikolski – Nhóm dịch giả, Từ điển bách khoa phổ thông toán học Tập


11
1, 2, Nxb Giáo dục.
- Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số và nghiên cứu đường cong
qua phương trình của nó, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh.
1.2. Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn của toán học
1.2.1. Trong Hình học tổng hợp
Trong HH, các khái niệm cơ bản như mặt phẳng, điểm, đường thẳng, ba điểm
thẳng hàng, tia, góc; các mối quan hệ: liên thuộc, song song, vuông góc, …; các
khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn, … được xây dựng dựa trên hệ tiên đề
Hilbert. Xét trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày các vấn đề có
liên quan đến đường thẳng mà thôi.

Theo hệ tiên đề Hibert, mỗi đường thẳng được đồng nhất với tập hợp tất cả các
điểm thẳng hàng với nhau. Vì thế, với hai đường thẳng cắt nhau thì chúng sẽ cắt
nhau tại một điểm duy nhất. Khi ấy ta có khái niệm “góc giữa hai đường thẳng”. Từ
điển toán học thông dụng đã định nghĩa góc giữa hai đường thẳng và phép cộng các
góc như sau:
[…] Góc định hướng giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng
Cặp đường thẳng có thứ tự đi qua O trong mặt phẳng (d,δ), d là đường thẳng đầu, δ là
đường thẳng cuối; O gọi là đỉnh của góc.
Phép cộng các góc định hướng giữa hai đường thẳng và có hệ thức Chasles:
(d,δ) + (δ,∆) = (d,∆); (d,δ) = -(δ,d)
(d, δ, ∆ là ba đường thẳng trong mặt phẳng cùng đi qua O)
Sau khi mặt phẳng đã được định hướng: số đo bằng độ là số thực xác định sai khác
cộng k.1800 (k ∈  ), số đo radian được xác định sai khác cộng kπ (k ∈  ).
P

P

Do đó: (d,δ) + (δ,∆) = (d,∆) + kπ; (d,δ) = -(δ,d) + kπ (k ∈  ).
Sau khi định hướng mặt phẳng, có hàm số tang xác định trên tập các góc định hướng
giữa các cặp đường thẳng không vuông góc là:
tan( d , δ ) =

sin(Ou , Ov )
cos(Ou , Ov )

Trong đó, O là đỉnh của góc (d,δ), Ou là một tia của d, Ov là một tia của δ; tập giá trị
của hàm số tang là  . [12,tr.270-273]


12

• Nhận xét
Trong HH, đường thẳng là một trong những khái niệm cơ bản. Nó là một tập
hợp các điểm thẳng hàng với nhau. Trong mặt phẳng có định hướng,
góc định hướng ( d , δ ) giữa các đường thẳng không vuông góc d và δ là

tan( d , δ ) =

sin(Ou , Ov)
cos(Ou , Ov)

,

trong đó O là đỉnh của góc (d,δ), Ou là một tia của d, Ov

là một tia của δ. Như vậy khái niệm “Góc” trong HH được xây dựng dựa trên tỉ số
lượng giác của góc tạo bởi hai đường thẳng. Đặc trưng của khái niệm “Góc” là luôn
gắn với sự định hướng của hai đường thẳng không vuông góc trong mặt phẳng.
Vậy vì sao lại có sự ràng buộc đó?
Rõ ràng từ định nghĩa trên cho ta thấy có hai lí do. Lí do thứ nhất, sự ràng
buộc “hai đường thẳng không vuông góc” tức cos (Ou, Ov) ≠ 0 làm cho tan (d,δ)
xác định. Lí do thứ hai, sự ràng buộc “mặt phẳng định hướng” làm cho các góc tạo
thành giữa hai đường thẳng không bị thu hẹp trong giới hạn của góc nhọn (lớn hơn
00 và nhỏ hơn 900) mà trái lại nó đạt được những giá trị rộng hơn (giá trị của góc sai
P

P

P

P

khác k.1800 nếu tính theo độ và sai khác k.π nếu tính theo radian).
P

P

1.2.2. Trong Đại số - Giải tích
Trong ĐS-GT, một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng của toán học
đó là “Hàm số” và “Đồ thị của hàm số”.
Từ điển bách khoa phổ thông toán học, viết:
[…] Hàm số là một trong các khái niệm cơ bản của toán học, biểu diễn sự phụ thuộc
của những đại lượng biến thiên này đối với những đại lượng biến thiên khác.
Từ “đại lượng” trong định nghĩa ấy của hàm số được hiểu với ý nghĩa rất rộng, [...] nói
chung là phần tử của một tập hợp bất kỳ”. [18, tr.324].
[…] Đồ thị của một hàm là tập hợp các điểm của mặt phẳng có tọa độ vuông góc
(x, y), trong đó y = f(x) là hàm của x trong miền xác định E của hàm. Ở đây y = f(x) là
hàm của một biến x. Nhưng đồ thị có thể chỉ xác định một đường cắt mọi đường thẳng
song song với trục Oy tại chỉ một điểm. Để thoát khỏi sự hạn chế đó, người ta cho một
đường dưới dạng ẩn nhờ phương trình: F(x, y) = 0, trong đó F(x, y) là một hàm số nào
đó của hai biến x và y. [18, tr. 356]


13
[…] Đồ thị của hàm số y = f(x) cho trên đoạn [a, b] , hoặc trong khoảng (a, b), là một
đường liên tục nếu hàm số f(x) liên tục; và trơn nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên
tục.[18,tr.134]

Như vậy, trong ĐS-GT, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm có tọa
độ (x 0 ;f(x 0 )) với mọi x 0 thuộc tập xác định của hàm số đó. Do đó, với hàm số bậc
R

R

R

R

R

R

nhất y = ax + b, người ta chứng minh được rằng đồ thị của nó là một đường thẳng.
Tuy vậy, điều này không có nghĩa là mọi đường thẳng đều là đồ thị của hàm số bậc
nhất y = ax + b. Chẳng hạn, các đường thẳng song song với trục tung không là đồ
thị của hàm số nào cả. Do vậy, một đường thẳng không thẳng đứng trong mặt phẳng
tọa độ được biểu diễn bởi hàm số dạng y = ax + b và luôn có hệ số góc. Theo đó, hệ
số góc của đường thẳng được định nghĩa như sau:
Định nghĩa [về hệ số góc của đoạn thẳng]

y

Nếu P 1 = (x 1 , y 1 ) và P 2 = (x 2 , y 2 ), và P1P2 không
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

thẳng đứng, thì hệ số góc của
y2 − y1

P1P2

là

.

y1

Định lý 13-1

O

a=

x2 − x1

P2

y2
P1

H
x

Trên một đường thẳng không thẳng đứng, mọi

x1

x2

Hình 1.1

đoạn thẳng đều có cùng hệ số góc.
Chứng minh: Nếu đường thẳng nằm ngang thì rõ ràng ta có điều khẳng định trên, bởi
vì mọi đoạn thẳng trên đường thẳng đều có hệ số góc bằng 0. Trong những trường hợp
còn lại, ta quan sát hai hình dưới đây:

Hình 1.2


14

Trong trường hợp 1, ta có ∆RP 1 P 2 ∽ ∆R’P 1 ’P 2 ’ (g-g).
R

RP2

Vì vậy

R ' P '2

P1R

=

R

R

RP2

hay

R

=

P1R

P '1 R '

R

R ' P '2

RP

P

R

RP

P

.

P '1 R '

Do đó P1P2 và P '1 P '2 có cùng hệ số góc.
Trong trường hợp 2, ta cũng có ∆ RP 1 P 2 ∽ ∆ R’P 1 ’P 2 ’.
R

Điều đó cũng cho ta giống như trên

R

R

R

RP2

R

=

P1R

R ' P '2

R

R

R

.

P '1 R '

Như vậy ta cũng có điều phải chứng minh bởi vì các hệ số góc của hai đoạn thẳng
chính là những số đối của hai tỉ lệ ở trên.
[…] Định nghĩa [về hệ số góc của đường thẳng không thẳng đứng]
Hệ số góc của một đường thẳng không thẳng đứng là hệ số góc của một đoạn thẳng
bất kỳ của đường thẳng”. [Bùi anh Tuấn(2007), tr.20-22]

Qua trích dẫn trên cho chúng ta thấy nghĩa của hệ số góc của đường thẳng
được bộc lộ ngay trong chính định nghĩa nó. Theo định nghĩa hệ số góc của đoạn
y −y
f ( x2 ) − f ( x1 )
, tỉ số này gọi là tỉ số biến

thẳng, với x 1 ≠ x 2 , ta có a = 2 1 hay a =
x2 − x1
x2 − x1
R

R

R

R

thiên của hàm số y = f(x) = ax + b (a ≠ 0). Do đó, một cách tổng quát: hệ số góc
của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) bằng tỉ số biến thiên của hàm số y = ax + b
(a ≠ 0).
Mặt khác, nếu ta gọi x 1 và x 2 là hai giá trị bất kì trên tập xác định của hàm số
R

R

R

R

y = f(x) = ax + b (a ≠ 0). Do vai trò bình đẳng của x 1 và x 2 nên ta giả sử x 1 < x 2 .
R

R

R

R

R

R

R

R

Khi đó, f(x 2 ) – f(x 1 ) = a.(x 2 – x 1 ). Vì x 2 – x 1 > 0 nên:
+ Nếu a > 0 thì f(x 2 ) – f(x 1 ) > 0 hay f(x 2 ) > f(x 1 ). Ta suy ra được hàm số
y = f(x) = ax + b đồng biến trên  .
+ Nếu a < 0 thì f(x 2 ) – f(x 1 ) < 0 hay f(x 2 ) < f(x 1 ). Ta suy ra được hàm số
y = f(x) = ax + b nghịch biến trên  .
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Như vậy, ta có thể nói rằng hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là
công cụ để xác định sự biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0). Cụ thể hơn, dấu
của hệ số góc của đường thẳng cho biết sự biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
trên  2.
1F
P

P

Vì chúng ta biết rằng tập xác định của hàm số y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) là  nên để đơn giản, từ
đây trở đi khi nói đến sự biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) chúng tôi không nhắc lại tập xác
định của nó.
2


15
Ngoài ra, chúng tôi còn tìm thấy một định nghĩa khác của hệ số góc của
đường thẳng trong mặt phẳng Oxy như sau:
[…] Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy trong mặt phẳng nếu đường thẳng có

phương trình y = kx + m thì hệ số k được gọi là hệ số góc của đường thẳng đó.
Khi Oxy là hệ tọa độ (định hướng) thuận thì k là tang của góc định hướng giữa đường
thẳng Ox và đường thẳng đang xét.
Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì cùng phương.
[…] Cũng có khi người ta coi hệ số góc của đường thẳng song song với trục tung bằng
“vô cực”. [18, tr.307]

Cụ thể, trong mặt phẳng Oxy, ta xét một đường thẳng (d) định hướng được xác
định bởi hàm số bậc nhất y = f(x) = kx + m. Không mất tính tổng quát, ta xét k > 0
(h.1.3). Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d) với trục Ox và trục Oy. Khi đó

−m
 m 
;0  , điểm B có tọa độ là ( 0;m ) và OA =
;OB = |m|.
k
 k 

điểm A có tọa độ là  −

Theo định nghĩa góc định hướng giữa hai đường thẳng (d) và trục Ox, ta có:
tan(d,Ox) =

sin( AB, AO )
cos( AB, AO )

Trong tam giác OAB vuông tại O,
theo định nghĩa tỉ số lượng giác ta có:
sin(AB,AO) =

OB
AB

và cos(AB,AO) =

OA
AB

.
Hình 1.3

Khi đó:
tan(d,Ox) =

sin( AB, AO )
cos( AB, AO )

=

OB
AB

:

OA
AB

=

OB

OA

= |m|:

−m
k

= |k| = k (do k > 0).

• Nhận xét
Từ phân tích trên, ta có thể khẳng định rằng góc định hướng giữa đường thẳng
y = kx + m và trục Ox có mối liên hệ với hệ số của x (tức hệ số k của hàm số
y = kx + m) qua hệ thức tan(d,Ox) = k (k > 0).
Mối liên hệ đó làm cho hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) xuất hiện


16
trong ĐS-GT bộc lộ thêm một nghĩa khác gắn liền với "Góc" qua "Lượng giác": hệ
số góc của đường thẳng bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox.
Chúng tôi gọi đó là "nghĩa hình học" của hệ số góc của đường thẳng trong mặt
phẳng.
Tuy vậy, mặc dù có sự phân biệt trong cách gọi tên nghĩa của hệ số góc của
đường thẳng trong mặt phẳng nhưng xét về mặt toán học thì các nghĩa nói trên của
hệ số góc của đường thẳng vẫn có sự tương đồng. Trở lại với h.1.1, nếu xét trong
∆HP 1 P 2 vuông tại H thì ta có HP 1 = x 2 – x 1 , HP 2 = y2 – y1 . Khi đó:
R

R

R

R

R


tan P
=
2P
1H

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

HP2 y2 − y1
=
= a.
HP1 x2 − x1

Như vậy, nếu xét đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với vai trò độc lập trong mặt
phẳng tọa độ Oxy thì hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) xuất hiện dưới
nhiều dạng khác nhau. Sự xuất hiện đa dạng của nó làm cho nó bộc lộ những nghĩa
khác nhau.
Nếu xét đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) trong sự tương giao với đường cong
(C) y = f(x) trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì hệ số góc của đường thẳng thể hiện vai
trò gì? và nghĩa của nó còn tồn tại hay không? ngoài mối liên hệ với tỉ số biến thiên
của hàm số, liên hệ với góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox thì hệ số góc
của đường thẳng còn liên hệ với những đối tượng nào khác trong toán học?
• Hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ với các đối tượng toán học
khác
1.2.2.1. Hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ với đạo hàm
Cho đường cong (C) được xác định như là đồ thị của hàm số y = f(x), điểm
M 0 (x 0 ,y0 ) cố định trên (C), còn điểm M(x,y) di động dọc theo đường cong (h.1.4).
R

R

R

R

R

R

Đường thẳng MM 0 được gọi là cát tuyến của đường cong (C). Vị trí giới hạn (nếu
R

R

có) của cát tuyến MM 0 khi M tiến tới M 0 dọc theo đường cong (từ cả hai phía)
R

R

R

R

được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại điểm M 0 . Điểm M 0 gọi là tiếp điểm.
R

R

R

R


17

Hình 1.4
Gọi α và α 0 lần lượt là góc giữa cát tuyến và tiếp tuyến với chiều dương trục
R

R

hoành. Trong mặt phẳng, một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu ta biết được một
điểm và hệ số góc của nó. Như vậy, tiếp tuyến tại M 0 hoàn toàn xác định khi biết hệ
R

R

số góc của nó (giả sử k là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C) tại M 0 ).
R

R

Vì M 0 nằm trên (C) nên M 0 (x 0 ;y0 ) với y0 = f(x 0 ). Vì M di động trên (C) nên
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

M(x;y) với y = f(x). Khi M → M 0 tức x → x 0 thì hệ số góc của cát tuyến
R

R

R

R

MM 0 → hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại M 0 . Hệ số góc của MM 0 là
R

R

tan α =

R

f ( x) − f ( x0 )
x − x0

. Vì

R

R

R

tanα là hàm liên tục trên tập xác định của nó, do đó ta có:

=
tan(α 0 )

=
lim tan(α ) lim

M →M 0

x → x0

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0 là k = lim
R

R

x → x0

f ( x) − f ( x0 )
x − x0
f ( x) − f ( x0 )
x − x0

.

[…] bài toán trên (và nhiều bài toán thực tế khác) có chung một bản chất: tìm giới hạn
của đại lượng lim =
x → x0

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

. Việc nghiên cứu giới hạn này dẫn tới một khái

niệm mới trong toán học: đạo hàm của hàm số 3. [7, tr.142]
F
2
P

3

P

Cho hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và x0 là một điểm trong khoảng đó. Nếu tồn tại giới hạn
lim

h →0

f ( x0 + h ) − f ( x0 )

thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại điểm x0. Khi ấy ta nói f có

h

đạo hàm tại x0 và giới hạn nêu trên được kí hiệu là f’(x0). [7,tr.142].


18
Như vậy, đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 chính là hệ số góc của tiếp
R

R

tuyến với đường cong (C) (đồ thị của hàm số y = f(x)) tại điểm M 0 (x 0; y0 ). Vì hàm
R

R

R

R

R

R

số y = f(x) liên tục trên tập xác định của nó nên tại mỗi điểm M chỉ tồn tại duy nhất
một tiếp tuyến. Do vậy tiếp tuyến của đường cong (C) tại M đặc trưng cho “độ

dốc” của đường cong y = f(x) tại điểm M. Nói cách khác, với vai trò là tiếp tuyến
của đường cong (C), hệ số góc của đường thẳng là số chỉ “độ dốc” của đường cong
(C) y = f(x) tại điểm M thuộc đường cong đó. Cụ thể, “độ dốc” của đường cong (C)
cho ta biết điều gì?
Bây giờ ta xét từng trường hợp cụ thể của giới hạn lim

x → x0

Nếu giới hạn lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 )
.
x − x0

f ( x) − f ( x0 )
tiến về một hằng số k và k > 0 4 thì góc tạo
x − x0
F
3
P

P

bởi tiếp tuyến với đường cong (C) tại các giá trị x = x 0 là góc nhọn. Điều này chứng
R

R

tỏ đường cong (C) có chiều “đi lên” hay hàm số của đường cong (C) y = f(x) đồng
biến trên tập xác định của nó.
Ngược lại, nếu giới hạn lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 )
tiến về một hằng số k và k < 0 thì
x − x0

góc tạo bởi tiếp tuyến với đường cong (C) tại các giá trị x = x 0 là góc tù. Điều này
R

R

chứng tỏ đường cong (C) có chiều “đi xuống” hay hàm số của đường cong (C)
nghịch biến trên tập xác định của nó.
Trong trường hợp giới hạn lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 )
dần đến ∞ ta nói hàm số
x − x0

y = f(x) có đạo hàm vô hạn tại x 0 . Lúc đó, tiếp tuyến với đường cong (C) y = f(x) tại
R

R

x 0 vuông góc với trục Ox. Do vậy, ta có thể nói hệ số góc của đường thẳng bằng
R

R

“vô cực”.

Nếu f’(x) ≥ 0 (hay f’(x) ≤ 0), ∀x ∈ K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y = f(x)
đồng biến (hay nghịch biến) trên K (trong đó K là tập xác định của hàm số y = f(x)).

4


19
Tóm lại, nếu đường cong (C) y = f(x) xác định và có đạo hàm tại mọi
x ∈ (a;b) thì dấu của hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C) y = f(x) tại
x ∈ (a;b) cho biết sự biến thiên của hàm số đó trên khoảng (a;b).
1.2.2.2. Hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ với vi phân
Xét hàm số y = f(x) xác định với mọi x ∈ (a;b), có đạo hàm tại x ∈ (a;b). Theo
định nghĩa của đạo hàm ta có: f '( x) = lim

∆x →0

∆y
∆x

(*). Trong đó ∆y = f(x + ∆x) – f(x).

∆y
Khi ∆x → 0,= f '( x) + α , và α → 0 khi ∆x → 0.

∆x
Do đó, ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = f’(x). ∆x + α. ∆x. Ta gọi số hạng α. ∆x là một
vô cùng bé bậc cao hơn ∆x. Do đó, ∆y và f’(x). ∆x là hai vô cùng bé tương đương.
Biểu thức f’(x). ∆x gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là dy hay df(x).
Vậy dy = f’(x).∆x
Nếu y = x thì dy = dx = 1.∆x = ∆x. Do đó, với biến số độc lập x, ta có dy = ∆x.
Khi đó, công thức trên được viết lại: dy = f’(x).dx. Suy ra f '( x ) =

dy
dx

. Mà ta đã

biết, đạo hàm của hàm số f(x) tại x (tức f’(x)) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với
đường cong tại điểm (x;f(x)). Do vậy, hệ thức này cho chúng ta thấy được mối liên
hệ giữa hệ số góc của đường thẳng với vi phân của hàm số.
Như vậy, đối với hàm số một biến số, khái niệm hàm số có đạo hàm tại x và
khái niệm hàm số khả vi tại x tương đương nhau.
1.2.3. Trong Hình học giải tích
Trong HHGT, vì các hoạt động toán học diễn ra qua các phép biến đổi đại số
hình thức nên nghĩa hình học của bài toán bị che khuất
[…] do đã chuyển từ bài toán hình học thành thành bài toán đại số, với phương pháp
giải tích người ta hoàn toàn thoát ly khỏi phạm vi hình học, và do đó mà không tận
dụng được yếu tố trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán. Chẳng những thế,
lời giải bằng phương pháp giải tích chỉ đòi hỏi những biến đổi đại số hình thức, làm
cho cái nghĩa hình học của bài toán bị che lấp. [3, tr.59]