nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy học toán ở bậc trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Viết Hiếu

NGHĨA VÀ VAI TRỊ CƠNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM
LOGARIT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Viết Hiếu

NGHĨA VÀ VAI TRỊ CƠNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM
LOGARIT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô :
 TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người thầy đã hướng dẫn tơi tận tình về mặt nghiên cứu
khoa học và góp phần quan trọng cho tơi hồn thành luận văn.
 PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần
Lương Công Khanh, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga đã tận tình giảng
dạy, cung cấp cho tơi những tri thức khoa học về Didactic Toán và truyền thụ cho tôi
niềm say mê nghiên cứu khoa học.
 GS. Annie Bessot, GS. Alain Birebent đã cho tơi những lời góp ý chân thành và q báu,
giúp tơi có những định hướng tốt hơn cho luận văn và có cái nhìn rộng mở đối với các
vấn đề về Didactic Tốn.
Tơi xin chân thành cám ơn :
 Ban lãnh đạo và chuyên viên Phịng Sau đại học đã tạo thuận lợi giúp tơi hoàn thành
luận văn.
 Sở GD&ĐT Bà Rịa Vũng Tàu, Ban giám hiệu trường THPT Phước Bửu đã tạo cho tôi
những điều kiện thuận lợi nhất để tôi tập trung việc học và nghiên cứu khoa học.
 Tập thể học sinh lớp 12A11 trường THPT Phước Bửu đã nhiệt tình tham gia các buổi
thực nghiệm.
 Tập thể học sinh lớp 12A1 trường THPT Hịa Bình, 12A1 trường THPT Bưng Riềng,
12A1 trường THPT Nguyễn Trãi, học sinh trường THPT Nguyễn Du, BRVT đã giúp tơi
hồn thành các thực nghiệm.
 Các anh, chị, em và các bạn cùng lớp cao học chuyên ngành Didactic Tốn khóa 22 đã
chia sẻ, động viên tơi trong suốt quá trình học tập.
 Cha, mẹ và anh, chị, em trong gia đình đã ln tin tưởng, ủng hộ và giúp đỡ cho tôi về
mọi mặt.
Nguyễn Viết Hiếu

1

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT ...................................... 4
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ........................................................... 5
2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu ................................................. 7
3. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................... 8
4. Tổ chức của luận văn ..................................................................................................... 9

CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ NGHĨA VÀ VAI TRỊ
CƠNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT ............................................................. 10
1.1. Vài nét về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit ........................................................ 10
1.2. Một số cách tiếp cận định nghĩa khái niệm logarit ................................................ 14
1.2.1. Tiếp cận khái niệm logarit từ giá trị hàm số logarit ............................................. 15
1.2.2. Tiếp cận khái niệm logarit qua định nghĩa trực tiếp ............................................ 15
1.3. Vai trị cơng cụ của logarit qua một số ứng dụng .................................................. 17
1.3.1. Logarit – Cơng cụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp ............................................ 17
1.3.2. Logarit – Cơng cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương......................... 26
1.3.3. Logarit – Cơng cụ chuyển các đại lượng có phạm vi q rộng hoặc q hẹp về
phạm vi có thể kiểm sốt được ....................................................................................... 26
1.4. Kết luận chương 1 ..................................................................................................... 28

CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG LOGARIT
TRONG DẠY HỌC TOÁN BẬC THPT ................................................................ 30
2.1. Yêu cầu của chương trình Tốn phổ thơng Việt Nam với dạy học logarit .......... 30
2.2. Nghĩa và vai trị cơng cụ của logarit trong Giải tích 12 ban Cơ bản .................... 31
2.2.1. Phần bài học ......................................................................................................... 31

2.2.2. Phần bài tập .......................................................................................................... 34
2.2.3. Kết luận ................................................................................................................ 41
2.3. Nghĩa và vai trị cơng cụ của logarit trong Giải tích 12 nâng cao......................... 43
2.3.1. Phần bài học ......................................................................................................... 43
2.3.2. Phần bài tập .......................................................................................................... 46
2.3.3. Kết luận ................................................................................................................ 49
2.4. Kết luận chương 2 ..................................................................................................... 50

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM ............................................................................... 53
2


A. THỰC NGHIỆM 1 ............................................................................................... 53
3.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................................. 53
3.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm ....................................................................... 54
3.3. Nội dung các câu hỏi thực nghiệm ........................................................................... 54
3.4. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ..................................................... 54
3.4.1. Biến tình huống và giá trị của chúng .................................................................... 54
3.4.2. Biến didactic và giá trị của chúng ........................................................................ 55
3.4.3. Đặc trưng của các tình huống nhìn qua lựa chọn các giá trị của biến didactic,
biến tình huống ............................................................................................................... 55
3.4.4. Phân tích chi tiết các bài tốn thực nghiệm .......................................................... 56
3.5. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................................... 63
3.5.1. Đưa về cùng cơ số - kĩ thuật được HS ưu tiên trong giải PT mũ ......................... 63
3.5.2. Vai trị cơng cụ đơn giản hóa của logarit thực sự chưa tồn tại ở HS ................... 66
3.6. Kết luận ...................................................................................................................... 69

B. THỰC NGHIỆM 2 ............................................................................................... 70
3.7. Mục đích thực nghiệm .............................................................................................. 70
3.8. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................... 70

3.8.1. Giới thiệu tình huống thực nghiệm ...................................................................... 70
3.8.2. Dàn dựng kịch bản................................................................................................ 71
3.8.3. Biến tình huống và biến didactic .......................................................................... 72
3.8.4. Chiến lược và cái có thể quan sát được, ảnh hưởng của biến .............................. 73
3.8.5. Phân tích kịch bản ................................................................................................ 80
3.9. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................................... 80
3.9.1. Ghi nhận tổng quát ............................................................................................... 81
3.9.2. Kết quả thực nghiệm bài 1d, bài 2 của lớp chọn làm thực nghiệm 2 ................... 81
3.9.3. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm 2 .............................................................. 82
3.10. Kết luận .................................................................................................................... 91

KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................ 93
DANH MỤC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ .................................... 96
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 97
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 99

3


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT
Cụm từ
viết tắt

Cụm từ viết đầy đủ của cụm từ viết tắt

BPT

Bất phương trình

CSC

Cấp số cộng

CSN

Cấp số nhân

CT

Chương trình

[CT]

Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (2006), Nxb Giáo dục

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

PT

Phương trình

[KC]
[KN]

Sách giáo khoa Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên),
Nxb Giáo dục
Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh (Tổng
chủ biên), Nxb Giáo dục

KNV

Kiểu nhiệm vụ

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

SV

Sinh viên

[TC]

Sách bài tập Giải tích 12 (2008), Vũ Tuấn (Chủ biên), Nxb Giáo dục

[TN]

[VC]
[VN]

Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao (2008), Nguyễn Huy Đoan (Chủ
biên), Nxb Giáo dục
Sách giáo viên Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên),
Nxb Giáo dục
Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh (Tổng
chủ biên), Nxb Giáo dục

4


MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Logarit là một đối tượng chiếm vị trí và vai trị quan trọng trong chương trình (CT)
Tốn phổ thơng. Logarit ln có mặt trong các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh Đại học, Cao
đẳng. Khi xuất hiện đầu tiên trong lịch sử, logarit cũng đã khẳng định được vị thế riêng.
Nhà toán học Pháp, Pierre S. Laplace (1749 – 1827) đã nói rằng: “việc phát minh ra logarit
đã kéo dài tuổi thọ của các nhà tính tốn”.
Với tầm quan trọng được thừa nhận, logarit được đưa vào giảng dạy ở phổ thông Việt
Nam. Chúng tôi quan sát thấy, dường như các SGK chú ý đến logarit qua tính giá trị biểu
thức và giải phương trình mũ. Thực sự học sinh (HS) có biết được các nghĩa và vai trị cơng
cụ của khái niệm logarit khơng? Chúng tơi thực nghiệm trên 84 sinh viên (SV) năm nhất,
trường đại học X ở TPHCM với nội dung:
Câu hỏi 1: Điền vào ô trống: 2

= 4

2

=8

2

=5

Câu hỏi 2: Tìm x thỏa 2 x = 5 .
Câu hỏi 3: Bạn giải thích như thế nào cho một học sinh lớp 10 hiểu về kí hiệu log 3 7 ? (Với log 3 7
đọc là logarit cơ số 3 của 7).

Kết quả thực nghiệm cho thấy:
- Hầu hết SV được hỏi (94%) trả lời “ x = log 2 5 ” cho câu hỏi 2, nhưng chỉ còn 79,7% SV
đưa ra đáp án “ 2

log 2 5

= 5 ” cho yêu cầu “điền vào ô trống

2

= 5 ”.

- 73,9% SV không trả lời được câu 3 và 8,3% SV giải thích sai về kí hiệu log 3 7 . Một số
câu giải thích sai: “logarit là 1 loại toán mà nhà văn tên logarit sáng lập ra để chúng ta
3

tìm hiểu thêm sâu hơn về con số đó” hay “log37 là �√7� ”.

- Chỉ 9,5% SV trả lời “ log 3 7 là nghiệm của phương trình (PT) 3x = 7 ” và 8,3% SV giải

thích “ log 3 7 là số mà 3 lũy thừa số đó bằng 7” theo đúng định nghĩa khái niệm logarit 1
F
0

trong sách giáo khoa (SGK) Giải tích 12.
Trước ứng xử của SV, chúng tôi tự hỏi:“Nguyên nhân gì đã làm cho 94% SV giải
được PT 2 x = 5 trong khi đó 82,2% SV khơng giải thích được hoặc giải thích sai về 𝑙𝑜𝑔3 7?
Tại sao chỉ hai nghĩa (nghiệm của PT 3x = 7 và số mà 3 lũy thừa số đó bằng 7) được SV

1

Cho hai số dương a, b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số
([KC], tr.86)
log a b . α= log a b ⇔ aα= b ( a, b > 0; a ≠ 1)

5

a của b và kí hiệu là


huy động để giải thích cho log 3 7 ? Chúng tôi thắc mắc thêm: “Khái niệm logarit được đưa
vào chương trình, SGK tốn THPT Việt Nam như thế nào? Chúng đã tác động ra sao đến
việc hiểu nghĩa, vai trị cơng cụ của khái niệm này ở HS ?”
Chúng tơi nghiên cứu một số cơng trình về logarit, đặc biệt chú ý 2 đề tài “Khái niệm
hàm số logarit trong trường trung học phổ thông” của tác giả Phạm Trần Hoàng Hùng –
luận văn thạc sĩ 2008 – và “Khái niệm logarit ở trường trung học phổ thông” của Tơn Nữ
Khánh Bình – luận văn tốt nghiệp đại học 2009.
Trong “Khái niệm hàm số logarit trong trường trung học phổ thơng”, tác giả Hồng
Hùng đã nghiên cứu được:
+ “Mục tiêu xuất hiện khái niệm hàm số logarit là đưa vào một cơng cụ cho phép thay thế

phép tính tích bằng phép tính cộng; phép tính chia bằng phép tính trừ; phép khai căn bậc
hai bằng phép chia đôi…”
+ Ở cấp độ tri thức giảng dạy ở phổ thông Việt Nam, “Khái niệm logarit được trình bày
trước khái niệm hàm số logarit”, “Logarit cơ số a của số b nhằm biểu diễn nghiệm của
phương trình mũ a x = b ” và một số quy tắc hợp đồng thể chế:
R1: Biểu thức chứa logarit cần tính phải thỏa mãn hai đặc trưng sau:
- Có dạng log a b hoặc a log

b

N

, hoặc có thể biến đổi về một trong hai dạng đó.

- Có thể biến đổi a , b trong log a b và a log N về dạng: a = c r và b = c s với r , s ∈  .
b

R2: Kết quả tính tốn của biểu thức chứa logarit là một giá trị chính xác, chứ không phải là giá
trị gần đúng.
R3: Không sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị biểu thức chứa logarit.
R4: Không sử dụng phương pháp đồ thị để tính giá trị biểu thức chứa logarit.
R5: Khơng sử dụng máy tính bỏ túi để so sánh 2 số logarit.
R6: Không sử dụng phương pháp đồ thị để so sánh 2 số logarit.
+ Tác giả thực nghiệm trên đối tượng giáo viên đã giảng dạy về logarit và HS khối 12 đã
học khái niệm này để kiểm chứng các quy tắc hợp đồng trên.
Trong đề tài “Khái niệm logarit ở trường trung học phổ thơng”, Khánh Bình nghiên
cứu được:
+ Hai cách trình bày định nghĩa khái niệm logarit: logarit như giá trị của hàm số logarit và
định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit.
+ Cách trình bày bài học về logarit, phân loại các dạng bài tập trong các SGK Giải tích 12,

sách bài tập (SBT) ban cơ bản và nâng cao, dự kiến một số sai lầm HS gặp phải khi giải
6


toán và hướng khắc phục của giáo viên (GV). Tác giả kết luận “số bài tập có sử dụng ý
nghĩa của logarit q ít […]. Do đó, trong đa số các bài tập, học sinh không cần dùng đến
định nghĩa vẫn có thể giải được bài”.
+ Qua thực nghiệm tác giả chỉ ra “có rất ít học sinh lưu tâm đến ý nghĩa của logarit trong
khi đó có rất nhiều HS ghi nhớ và thành thục các quy tắc đại số…”.

+ Tác giả đã thực hiện dạy “định nghĩa khái niệm logarit” theo phương pháp dạy học đặt và
giải quyết vấn đề.
Tuy nhiên, hai tác giả chưa chỉ rõ: liên quan đến khái niệm logarit có những nghĩa nào
và vai trị cơng cụ gì? Cách thức trình bày các nghĩa và vai trị cơng cụ đó ra sao trong các
SGK ở Việt Nam? Thực sự các SGK có chú ý đến vận dụng logarit như cơng cụ tính tốn
khơng? Cần xây dựng tình huống dạy học như thế nào để học sinh hiểu được một trong các
vai trị cơng cụ của logarit?
Từ những ghi nhận và gợi hỏi trên chúng tơi quyết định chọn chủ đề “Nghĩa và vai trị
cơng cụ của khái niệm logarit trong dạy học Toán ở bậc trung học phổ thông” làm đề tài
luận văn nghiên cứu cho mình.

2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu
Từ các vấn đề đã đặt ra ở trên, mục đích nghiên cứu của chúng tơi là:
+ Tìm hiểu nghĩa và vai trị cơng cụ của khái niệm logarit ở cấp độ tri thức bác học.
+ Làm rõ các nghĩa, vai trị cơng cụ của khái niệm logarit và sự trình bày của chúng trong
thể chế dạy học tốn ở bậc trung học phổ thơng (THPT) Việt Nam.
+ Xây dựng và triển khai tình huống dạy học cho phép HS tiếp cận một trong các vai trị
cơng cụ của logarit.
Chúng tơi nhận thấy Didactic Tốn cung cấp những cơng cụ cần thiết để nghiên cứu
q trình truyền thụ, lĩnh hội tri thức và giải thích các hiện tượng liên quan giữa dạy và học.

Vì thế để trả lời các câu hỏi đặt ra, chúng tôi chọn các công cụ lý thuyết Didactic Toán như
thuyết nhân học, lý thuyết tình huống và hợp đồng didactic làm lý thuyết cơ sở nghiên cứu.
Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, chúng tơi trình bày hệ thống các câu hỏi nghiên
cứu như sau:
Q1: Ở cấp độ tri thức bác học, khái niệm logarit được đưa vào như thế nào? Những
nghĩa nào được đề cập? Trong thực tiễn, logarit có vai trị cơng cụ gì và những ứng dụng
nào gắn với các vai trị cơng cụ đó?

7


Q2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, mối quan hệ thể chế dạy học Toán ở Việt Nam
với nghĩa và vai trị cơng cụ của khái niệm logarit có những đặc trưng gì? Những nghĩa nào
và vai trị cơng cụ gì của khái niệm logarit được đưa ra? Cách thức trình bày ra sao? Chúng
đã tác động như thế nào đến việc hiểu nghĩa và các vai trò công cụ của khái niệm logarit ở
học sinh ?
Q3: Cần phải xây dựng đồ án dạy học như thế nào cho phép học sinh tiếp cận được
một trong những vai trị cơng cụ của logarit ?

3. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt mục đích nghiên cứu, chúng tơi đề ra phương pháp nghiên cứu được sơ đồ
hóa như sau:
NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC
Về nghĩa và vai trị cơng cụ của khái niệm logarit
NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY
Thể chế dạy học Toán ở Việt Nam

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
Quan hệ cá nhân của học sinh

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
Tiểu đồ án didactic

Sơ đồ trên được diễn giải như sau:
+ Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu tri thức khoa học luận về nghĩa và vai trị cơng cụ
của khái niệm logarit qua điều tra một số luận văn và các giáo trình đại học liên quan. Kết
quả nghiên cứu được trình bày trong chương 1 : “Một điều tra khoa học luận về nghĩa và
vai trị cơng cụ của khái niệm logarit” cho phép chúng tơi trả lời câu hỏi Q1, góp phần
tham chiếu trả lời Q2 và xây dựng tiểu đồ án didactic.
+ Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy được thực hiện qua phân tích CT, SGK, sách giáo
viên (SGV), SBT Giải tích 12 ban cơ bản, nâng cao hiện hành để làm rõ ràng buộc của thể
chế dạy học Việt Nam với nghĩa và vai trị cơng cụ của khái niệm logarit. Các kết quả
nghiên cứu được chúng tôi trình bày trong chương 2 : “Mối quan hệ thể chế với đối tượng
logarit trong dạy học toán bậc THPT”. Những nghiên cứu về quan hệ thể chế cho phép
chúng tôi trả lời câu hỏi Q2.
+ Từ những kết quả đã đạt được ở trên, chúng tôi đề ra các giả thuyết nghiên cứu mà
tính thích đáng của nó được kiểm chứng qua thực nghiệm thứ nhất. Từ đó, cho phép chúng
tôi xây dựng một tiểu đồ án didactic cho phép HS lớp 12 tiếp cận một trong những vai trò
8


công cụ của logarit. Kết quả của các nghiên cứu này cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q3
và được trình bày trong chương 3 : “Thực nghiệm”.

4. Tổ chức của luận văn
 Chương 1 – Một điều tra khoa học luận về nghĩa và vai trị cơng cụ của khái niệm logarit
Chúng tơi trình bày và phân tích một số cơng trình nghiên cứu và các giáo trình đại
học đề cập khái niệm logarit. Thông qua những nghiên cứu tài liệu lịch sử toán học, điều tra
về nghĩa và các vai trị cơng cụ của khái niệm logarit chúng tôi phải chỉ rõ: Ở cấp độ tri thức
bác học, khái niệm logarit được đưa vào như thế nào? Những nghĩa nào được đề cập? Trong

thực tiễn, logarit có vai trị cơng cụ gì và những ứng dụng nào gắn với các vai trị cơng cụ
đó?
 Chương 2 – Mối quan hệ thể chế với đối tượng logarit trong dạy học tốn bậc THPT
Trong chương này chúng tơi trình bày các kết quả nghiên cứu về khái niệm logarit
trong CT, SGK hiện hành. Chúng tôi đặc biệt chú ý đến các tổ chức toán học liên quan đến
nghĩa và vai trị cơng cụ của khái niệm logarit.
 Chương 3 – Thực nghiệm
Chúng tơi trình bày một thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết đã được đề ra cuối
chương 2 và xây dựng, triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép HS tiếp cận một trong
những vai trị cơng cụ của logarit. Đối tượng mà chúng tôi thực nghiệm là HS 12 đã học về
khái niệm logarit và đạo hàm của hàm số logarit.
Ngồi ba chương đã trình bày trên, chúng tơi cịn nêu một cách tổng qt nhất những
kết quả nghiên cứu ở chương 1, 2, 3 trong phần KẾT LUẬN CHUNG đồng thời nêu lên
một số hướng nghiên cứu từ đề tài.

9


CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ NGHĨA VÀ
VAI TRỊ CƠNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT
Mục đích của chương là trả lời câu hỏi Q1 được đặt ra ở phần trước như sau:
Q1: Ở cấp độ tri thức bác học, khái niệm logarit được đưa vào như thế nào? Những nghĩa
nào được đề cập? Trong thực tiễn, logarit có vai trị cơng cụ gì và những ứng dụng nào gắn
với các vai trị cơng cụ đó?
Do hạn chế về tài liệu tham khảo nên chúng tôi chỉ đề cập sơ lược lịch sử xuất hiện, cách
thức tiếp cận khái niệm logarit và thực hiện một điều tra về các vai trị cơng cụ. Những trình
bày trong chương 1 là cơ sở tham chiếu cho nghiên cứu tiếp theo.

1.1. Vài nét về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit
Nghiên cứu của chúng tôi ở mục này dựa vào các tài liệu tham khảo sau:

[1]. Florian Cajori (1913), History of the Exponential and Logarithmic Concepts, Nxb
Mathematical Association of America.
[2]. A.Wright (1618), A Description of the Admirable Table of Logarithmes, London.
[3]. Les Logarithmes Et Leurs Applications, Par André Delachet Presses Universitaires De
France 108, Boulevard Saint-German, Paris 1960.
[4]. Phạm Trần Hoàng Hùng (2008), Khái niệm hàm số logarit trong trường THPT, Trường
ĐHSP TP.Hồ Chí Minh.
Trong [4], tác giả Hồng Hùng nêu ra được kết quả: logarit được sử dụng để đơn giản
hóa các phép tính nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số hạng thật lớn. Theo đó “phép
nhân sẽ được thực hiện bằng phép cộng, chia bằng trừ, căn bậc hai được lấy từ chia đôi,
căn bậc ba lấy từ chia ba, v.v…” ([4], tr.13). Tuy nhiên, khơng có ví dụ nào được trích dẫn
và định nghĩa ban đầu về logarit của Napier chưa được tác giả Hoàng Hùng đề cập. Tham
khảo thêm tài liệu [1], [2], [3] chúng tôi bổ sung thêm được những chi tiết liên quan sau:
Logarit xuất hiện nhằm đáp ứng nhu cầu tính tốn thế kỉ XVI – XVII, đặc biệt trong
lĩnh vực thiên văn và địa lí. Thực tế địi hỏi phải tính nhân, chia, căn bậc hai,… nhanh và
tương đối chính xác. Các nhà tính tốn đã từng sử dụng phương pháp prosthaphaeresis 2
F
1

tính

nhân

cos a.cos b

cos ( a + b ) + cos ( a − b )
cos ( a − b ) − cos ( a + b )
.
=
; sin a.sin b

2
2

2

theo

hai

công

thức

lượng

Theo tiếng Hy Lạp, từ prosthaphaeresis là sự kết hợp giữa prosthesis và aphaeresis, có nghĩa là cộng và trừ.

10

giác:


Thay vì tính trực tiếp tích hai số, prosthaphaeresis chuyển về tính tích cos a.cos b hay
sin a.sin b , thực hiện ba phép cộng, trừ và một phép chia hai. Prosthaphaeresis đã phần nào

đơn giản hóa phép nhân, tuy nhiên vẫn bất lợi khi tính chia, căn bậc hai và căn bậc ba.
Trong khi, logarit giải quyết được nó.
Cơng trình nghiên cứu đầu tiên về logarit “Mirifici logarithmorum 3 canonis
F
2

descriptio” được John Napier (1550 – 1617) công bố vào năm 1614 sau 20 năm nghiên cứu.
Cuốn sách được Adward Wright dịch qua tiếng Anh với nhan đề “A Description of the
Wonderful Table of Logarithms”, xuất bản 1618. Tuy nhiên định nghĩa ban đầu hoàn toàn
khác so với định nghĩa trong các SGK hiện hành.

Hình 1.1. Hai đường thẳng song song, hai điểm b, B chuyển động và đoạn thẳng SQ cho trước

Cụ thể, Napier cho 2 điểm B và b chuyển động trên hai đường thẳng song song. Điểm
B chuyển động trên đường thẳng vô hạn với tốc độ không đổi theo chiều nhất định bắt đầu
từ A, trong khi điểm b chuyển động từ a trên đoạn thẳng az với tốc độ giảm dần (Hình 1.1).
Ở những khoảng thời gian bằng nhau, điểm B vạch ra các điểm C, D, E,… tương ứng với
thời điểm 1, 2, 3,…, trong khi đó điểm b vẽ ra các điểm c, d, e,… thỏa

RQ cz dz ez
…
= = =
SQ az cz dz

với đoạn thẳng SQ và điểm R thuộc đoạn SQ cho trước. Napier định nghĩa : AC=lognap(cz)
với cz = Sinθ1
AD=lognap(dz) với dz = Sinθ2.
Tương tự cho các điểm khác mà B và b vạch ra trên hai đường thẳng. Napier đã chọn
độ dài az = 10.000.000 , theo đó “Logarit của 10.000.000 bằng 0 hay là khơng có gì, và
logarit của số lớn hơn 10.000.000 thì nhỏ hơn 0” ([2], tr.6).
Rõ ràng, các độ dài AC, AD, AE,…tăng theo cấp số cộng (CSC) trong khi cz,
dz, ez,… giảm theo cấp số nhân (CSN). Như vậy, logarit do Napier xây dựng thể hiện mối
liên hệ giữa các phần tử của CSC và CSN. Logarit biến các phần tử CSN thành phần tử của
CSC tương ứng. Tuy nhiên, Napier không định nghĩa logarit cho một số thực dương bất kì.

Từ “Logarithm” được Napier ghép từ hai chữ “logos” (nghĩa là tỉ lệ) và “arithmos” (nghĩa là số), do vậy logarithm
có thể được hiểu là “số tỉ lệ”.

3

11


Vậy, mục đích Napier xây dựng logarit là gì? Những tính chất nào của logarit đã được thiết
lập?
Tài liệu [2] đã chỉ ra Napier xây dựng được 3 tính chất (TC) quan trọng sau:
=
log nap a + log nap c .
TC1: Nếu ba số dương a, b, c tỉ lệ 4 thì 2 log
nap b
3F

TC2: Nếu a, b, c, d là bốn số dương thỏa

a c
= thì log nap a − log nap b = log nap c − log nap d .
b d

TC3: Nếu bốn số dương liên tiếp a, b, c, d tỉ lệ 5 thì 3log
2 log nap a + log nap d và
=
nap b
F
4

3log
2 log nap d + log nap a .
=
nap c

Các TC trên của logarit được Napier áp dụng vào tính nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba
(theo Napier, tính tốn với logarit đơn giản hơn), cụ thể 2 ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho a =10.000.000 và b=5.000.000. Tìm căn bậc hai của tích a.b .
Napier tính 𝑐 = √𝑎. 𝑏 như sau:

+ Lấy logarit Napier hai số 𝑎 và b được=
log nap a 0=
;log nap b 6931470 .

+ Tìm log nap c theo công
thức log nap c
=

log nap a + log nap b
= 3465735 .
2

+ Tra bảng logarit, tìm được căn bậc hai của tích a.b xấp xỉ 7071068 .
Ví dụ 2: Cho bốn số hạng 14142135, b, c, 5.000.000 tỉ lệ. Tìm số b và c.
Có thể tính c theo c = 3 14142135.50000002 , nhưng Napier tìm c theo cách sau:
+ Lấy logarit Napier 14142135, 5000000 được hai số – 3465735 và 6931470.
+ Tính log
=
nap c theo cơng thức log nap c

2 log nap 5000000 + log nap 14142135
3

≈ 3465735 .

+ Tra bảng, Napier tính được c ≈ 7071068 . Tương tự Napier tìm được b ≈ 107 .
Như vậy, logarit do Nepier xây dựng nhằm mục đích đơn giản hóa các phép tính nhân,
chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số thực dương. Thay vì tính trực tiếp, logarit cho phép
chuyển chúng về các phép tính đơn giản hơn như cộng, trừ, chia hai, chia ba các số logarit.
Về mặt phép tốn, so với prosthaphaeresis, tính nhân theo logarit tiện lợi hơn bởi chỉ cần
thực hiện một phép cộng.
Với ưu điểm được thừa nhận, logarit trở nên phổ biến trong giới khoa học châu Âu
thời bấy giờ. Tuy nhiên, logarit do Napier tạo ra vẫn chưa thực sự tiện lợi bởi kết quả tính
4

Ba số dương a, b, c tỉ lệ được hiểu là b = c .
a b

5

Bốn số dương a, b, c, d tỉ lệ được hiểu là =

b
a

c
=
b

d

.
c

12


 x 
. Vì thế, Henry Briggs (1561 –
7 
e  10 

toán phức tạp, theo lý thuyết hiện đại log nap x = 107.log 1 

1630) đã gặp Napier đề nghị đổi logarit theo cơ số 10. Logarit thập phân ra đời với tên gọi
logarit Briggs. Năm 1624, Briggs cơng bố cơng trình “Arithmetica logarithmica”, gồm các
bảng logarit thập phân từ 1 đến 20.000 và 90.000 đến 100.000. Phần còn trống (từ 20.000
đến 90.000) về sau được bổ sung bởi Vlacq (1600 – 1666).
Liên quan logarit, Jost Bürgi (1552 – 1632) đã xây dựng cách tính logarit hồn tồn
độc lập với Napier. Trong khi Napier dựa trên hình học thì Bürgi xây dựng logarit dựa vào
đại số. Dựa trên ý tưởng về mối tương quan giữa CSN ( un = 2n ) 1, 2, 4, 8, 16, 32,… và CSC

( vn = n ) 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Bürgi tính tích hai phần tử CSN bởi tính tổng các phần tử CSC
tương ứng và tra bảng.
Cơng trình về logarit “Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen” được
Bürgi công bố năm 1620. Tác phẩm đã được dịch qua tiếng Anh với tựa “Arithmetic and
Geometric Progression Tables”. Trong cơng trình, Bürgi tạo bảng liên hệ giữa CSN
=
bn +1 bn .1, 001, n ∈  (với b0 = 108 ) và CSC
=
vn 10n, n ∈  cho n từ 0 đến 23027. Bürgi viết

bằng mực đen cho các phần tử CSN và màu đỏ để chỉ các phẩn tử CSC hay các số logarit
Bürgi (Trong hình 1.2 có log burgi 100020001 = 20 ).

Hình 1.2. Một phần bảng tính logarit của Jost Bürgi
Bürgi không sử dụng thuật ngữ “logarit” để mô tả các số logarit Bürgi. Bảng do ông
tạo ra đơn thuần thể hiện tương ứng giữa CSC và CSN và được sử dụng để tính nhân, chia
và

khai

căn

các

số

thực

dương.

Tuy

nhiên,

theo

lý

thuyết

hiện

đại

 x 
log Burgi ( x ) = 105.log1,000110000  8  , cơ số 1, 000110000 ≈ e .
 10 

Như vậy, logarit do Napier và Bürgi tạo ra thể hiện mối liên hệ các phần tử của CSN
và CSC. Logarit tác động vào các phần tử CSN biến chúng thành CSC tương ứng. Mục đích
xây dựng logarit là tạo ra một cơng cụ để thực hiện đơn giản các phép toán nhân, chia, lũy
thừa, khai căn bậc hai, bậc ba các số thực dương thơng qua các phép tính cộng, trừ, chia hai
và chia ba các logarit.

13


Qua quá trình phát triển, lý thuyết logarit ngày càng hồn thiện bởi nhiều nhà tốn học
như William Oughtred (1575 – 1660), Gregory St. Vincent, Nicolaus Mercator (1620 –
1687), Leonhard Euler (1707 – 1783)….Vincent thiết lập mối quan hệ giữa logarit và diện
tích giới hạn bởi đường hyperbol xy = 1 . Trong “Logarithmotechnia”, (xuất bản 1668)
Mercator sử dụng kết quả của Vincent, biểu diễn PT hyperbol về dạng y =

1
và khai
1+ a

a 2 a3 a 4
triển ln (1 + a ) =a − + − + ... với a gần số 0. Euler chỉ ra được mối quan hệ giữa

2 3 4

logarit và lũy thừa mũ số thực bởi tương quan “ z = log x y để chỉ x z = y ”. Nhưng Napier
được biết đến là người phát minh ra logarit.
Trong luận văn “Hàm số mũ trong dạy học vật lý ở trung học phổ thông” (2010), tác
giả Kim Ngân cũng đã chỉ ra:“định nghĩa về một số nâng lên lũy thừa là số thực bất kỳ
không xuất phát từ việc định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ (mặc dù lũy thừa với số mũ vô tỷ
căn 2 đã xuất hiện vào thế kỷ 14) mà phải thông qua hàm số logarit”. Như vậy trong lịch
sử, khái niệm logarit và hàm số logarit xuất hiện trước và là cơ sở để định nghĩa lũy thừa
với số mũ thực.
Nhận xét:

+ Logarit xuất hiện đầu tiên trong lịch sử với vai trị cơng cụ đơn giản hóa nhân, chia, căn
bậc hai, căn bậc ba các số thực dương. Thay vì tính tích, thương, khai căn logarit cho phép
thực hiện trên các phép tính đơn giản hơn như cộng, trừ, chia hai và chia ba.
+ Theo định nghĩa ban đầu, logarit thể hiện mối liên hệ giữa các phần tử CSN và CSC.
Logarit tác động vào các phần tử CSN và biến chúng thành phần tử CSC tương ứng. Từ đó
nhân, chia các phần tử CSN được chuyển về cộng, trừ các phần tử CSC.
+ Logarit ra đời hồn tồn độc lập với phép tính lũy thừa. Không những vậy logarit, hàm số
logarit là cơ sở để định nghĩa lũy thừa với mũ số thực.
Chúng tôi đã tìm thấy vài ý trả lời Q1, tuy nhiên các cách thức tiếp cận khái niệm logarit
và các vai trò cơng cụ của logarit chưa được biết đến. Vì thế chúng tơi tiếp tục nghiên cứu
các giáo trình đại học, luận văn liên quan.

1.2. Một số cách tiếp cận định nghĩa khái niệm logarit
Trong “Khái niệm logarit ở trường trung học phổ thơng” (Kí hiệu [5]), tác giả Khánh
Bình chỉ ra hai cách tiếp cận khái niệm logarit: Logarit là giá trị của hàm số logarit và định
nghĩa trực tiếp.
14

1.2.1. Tiếp cận khái niệm logarit từ giá trị hàm số logarit
Khánh Bình tổng hợp được hai cách định nghĩa hàm số logarit: hàm số logarit là hàm
ngược của hàm số mũ và là nghiệm PT hàm f (=
x.t ) f ( x) + f (t ) .
•

Hàm số ngược của hàm số y = a x được gọi là hàm số logarit cơ số a và được kí hiệu là y = log a x .
(Calculus – International Student Edition, James Stewart, trang 26)

•

Hàm y = ln x được xác định bởi “nghiệm của PT f ( xt ) = f ( x) + f (t ) là duy nhất và nghiệm đó là nguyên
hàm của hàm số x →

1
” và “hàm số logarit cơ số a (với 0 < a ≠ 1 ) được định nghĩa thông qua hàm số
x

logarit tự nhiên y = log a x =

ln x
”. (Guy Lefort (1975), Toán cao cấp, tr.71)
ln a

Trên cơ sở định nghĩa hàm số logarit đã xác định, logarit cơ số a của b (b>0) được tính
bằng cách thay x = b vào biểu thức log a x . Thơng qua cách tiếp cận này chúng tơi tìm thấy
một nghĩa cho khái niệm logarit: logarit cơ số a của b với 0 < a ≠ 1, b > 0 là giá trị của hàm số
y = log a x tại x = b .

1.2.2. Tiếp cận khái niệm logarit qua định nghĩa trực tiếp
Theo [5], khái niệm logarit được định nghĩa trực tiếp như sau: “Cho a là một số dương
khác 1 và b là một số dương. Số thực α để aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí
hiệu là log a b , tức là α = log a b ⇔ aα = b ”. Từ định nghĩa trực tiếp này, chúng tơi tìm thấy
nghĩa khác của khái niệm logarit: logarit cơ số a của b với 0 < a ≠ 1, b > 0 là số thực α thỏa
aα = b .

Ngoài ra, khi nghiên cứu Đại số & Giải tích 11 (1995) của tác giả Trần Văn Hạo (Kí
hiệu [6]) chúng tôi thấy tồn tại thêm một nghĩa cho khái niệm logarit. Ở bài Logarit thuộc
chương VI. Hàm số logarit, tài liệu [6], thông qua biện luận nghiệm của PT
a x= b ( 0 < a ≠ 1) dựa vào sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = a x và đường thẳng y = b dẫn

đến kết quả: «khi b>0 PT (1) 6 có một nghiệm duy nhất. Nghiệm đó được gọi là logarit cơ số
5F

a của b» ([6], tr.204). Từ tình huống xuất hiện chúng tôi nhận thấy sự tồn tại nghĩa sau cho
khái niệm logarit : logarit cơ số a của b với 0 < a ≠ 1 , b > 0 là nghiệm của PT a x = b .
Xem xét thêm tài liệu Calculus II (Kí hiệu [6b]), tác giả D. Joyce nhận xét: “Chúng ta
1
x

xem xét phần diện tích được giới hạn bởi hyperbol y = , trục Ox và hai đường thẳng x = 1 ,
x = b . Chúng ta coi phần này như diện tích có dấu, khi b > 1 diện tích mang dấu dương và
6

PT (1) là PT a x = b

15

khi 0 < b < 1 diện tích mang dấu âm. Nói cách khác, nó được xem như kết quả của tích phân
b

1

∫ x dx ” ([6b],tr.1).Sau đó, D. Joyce định nghĩa khái niệm logarit như sau:
1

• Logarit tự nhiên của số thực dương b là kết quả của

b

1

∫ x dx , được kí hiệu là ln b . ([6b],
1

tr.1)
• Nếu b là số dương khác 1, logarit cơ số b được định nghĩa log b x =

ln x
([6b], tr.9)
ln b

Như vậy, lnb (b > 0) có thể xem là diện tích có dấu của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
y = 1/x, trục hoành, hai đường thẳng x = 1 và x = b. Từ đó suy ra được nghĩa 4 của khái
niệm logarit: log a b là tỉ số giữa hai tích phân
diện tích có dấu

b

1
∫1 x dx và

a

b

1
∫1 x dx và

a

1

∫ x dx

(hay log a b là tỉ số giữa hai

1

1

∫ x dx ).
1

Nhận xét:
+ Từ các tình huống xuất hiện, khái niệm logarit tồn tại với bốn nghĩa sau : Nghĩa một,
logarit cơ số a của b là giá trị của hàm số y = log a x tại điểm x bằng b. Nghĩa hai, logarit cơ
số a của b với 0 < a ≠ 1 , b > 0 là nghiệm của PT a x = b . Nghĩa ba, logarit cơ số a của b với

0 < a ≠ 1 , b > 0 là số thực α thỏa a = b . Nghĩa bốn, log a b là tỉ số giữa hai tích phân
α

b

1

∫ x dx
1

a

1
và ∫ dx (hay log a b là tỉ số giữa hai diện tích có dấu
x
1

b

1
∫1 x dx và

a

1

∫ x dx ).
1

+ Nghĩa một của khái niệm logarit được xét trên quan điểm hàm số, nghĩa hai liên quan đến

ngơn ngữ biểu đạt phương trình, nghĩa ba liên quan tính số và biểu diễn số thực, trong khi
đó nghĩa bốn là tỉ số giữa hai tích phân.
+ Có sự khác biệt rõ rệt giữa nghĩa hai và nghĩa ba của khái niệm logarit. Trong khi nghĩa
hai là nghiệm, một ngôn ngữ biểu đạt của PT, xuất hiện trong tình huống giải PT a x = b thì
nghĩa ba chỉ rõ log a b biểu diễn số thực mà a lũy thừa số đó bằng b và liên quan tính số
thực.
Câu hỏi Q1 có thêm vài ý để trả lời. Chúng tơi cần tìm hiểu thêm: Ngồi vai trị cơng cụ
đơn giản hóa nhân, chia và khai căn các số thực dương, logarit có những vai trị công cụ
nào khác và được thể hiện cụ thể qua những ứng dụng nào?

16


1.3. Vai trị cơng cụ của logarit qua một số ứng dụng
Do khơng tìm được tài liệu viết đầy đủ về các ứng dụng và vai trị cơng cụ của logarit
nên chúng tôi thực hiện điều tra từ nhiều giáo trình đại học liên quan. Những tài liệu, trang
web chúng tôi nghiên cứu gồm:
[7]. James Stewart (2010), Calculus – Concepts and contexts – 4th Edition.
[8]. Guy Lefort, Giáo trình Tốn cao cấp, Tập 2, Phép tính vi phân.
[9]. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (2007), Tốn
học cao cấp, tập 2, Phép tính giải tích một biến số, Nxb Giáo dục.
[10]. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Bài tập tốn
cao cấp, tập 2, Phép tính giải tích một biến số, Nxb Giáo dục.
[11]. GS. Nguyễn Đình Soa (1990), Hóa đại cương, Nxb ĐH Bách Khoa TPHCM.
[12]. Hồng Ngọc Nhậm (2008), Giáo trình Kinh tế lượng, Nxb Lao động-Xã hội.
[13]. />[14]. />Phân tích các tài liệu trên chúng tôi ghi nhận, logarit được ứng dụng để giải các PT mũ
a

f ( x)

= b, a

f ( x)

=b

g( x)

; chuyển hàm mũ, lũy thừa về hàm tuyến tính và bán tuyến tính; tính

giới hạn vơ định dạng 1∞ , 00 , ∞ 0 và tính đạo hàm của các hàm số y = f ( x) g ( x ) , …. Qua các
ứng dụng, logarit thể hiện ba vai trị cơng cụ:
• Cơng cụ đơn giản hóa các biểu thức phức tạp cho dưới dạng tích, thương, lũy thừa về
biểu thức đơn giản hơn.
• Cơng cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương cho trước.
• Cơng cụ chuyển các đại lượng có phạm vi q rộng hoặc q hẹp về phạm vi có thể
kiểm sốt được.
1.3.1. Logarit – Cơng cụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp
Các biểu thức phức tạp được chúng tôi đề cập để chỉ các biểu thức dạng tích, thương,
lũy thừa, chẳng hạn (1 − x )

m
m+n

× (1 + x )

n
m+n

x2

 x2 −1 
,  2  . Logarit thể hiện vai trị cơng cụ đơn giản
 x +1

hóa biểu thức phức tạp qua kĩ thuật giải các KNV TGiaiPT1, TGiaiPT2, TGHVoDinh, TĐaoHam1,
TĐaoHam2 và TChuyen. Cụ thể như sau:
Trước hết, chúng tôi xét TGiaiPT1: “Giải các PT mũ đưa được về dạng a f ( x ) = b với

0 < a ≠ 1, b > 0 ”.
17


Theo [6], [7], [8] có nhiều sự kiện thực tế dẫn đến giải PT a f ( x ) = b , chẳng hạn: Tính số
năm gởi tiền N (năm) từ công thức lãi kép=
C A. (1 + r ) hay tính thời gian phân rã của các
N

chất phóng xạ m = m0 e − λt biết m0 , m là khối lượng ban đầu, khối lượng sau thời gian t;
λ=

ln 2
là hằng số phóng xạ và T là chu kì bán rã….
T

Dưới đây là các nhiệm vụ cụ thể, lời giải kèm theo và kĩ thuật giải tương ứng:
•

Giải PT e5−3 x = 10 ([7], tr.66)
Lấy logarit hai vế của PT và sử dụng (9) 7: ln e5−3 x = ln10

(

F
6

)

5 − 3x =
ln10
=
x
•

Giải PT 2 x

2

Lời giải: 2

•

+2

= 8 ([6], tr.224)

x +2
2

1

( 5 − ln10 ) ([7], tr.66)
3

= 8 ⇔ 2x

2

+2

=
23

⇔ x2 + 2 =
3
([6], tr.224).
⇔x=
±1
Theo tính chất của hàm số mũ, y = a x là một hàm số đơn điệu, miền giá trị là ( 0; +∞ ) nếu a ≠ 1 ,
còn nếu a = 1 thì y = 1 là một hàm hằng nên ta suy ta các kết luận về nghiệm của PT
f ( x)
a=
b ( a > 0 ) (1) như sau:
+ Nếu b ≤ 0 thì PT (1) vơ nghiệm.
+ Nếu b > 0 thì PT (1) tương đương với a f ( x ) = a loga b . Hay do tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta
có f ( x ) = log a b . ([6], tr.221 và tr.222)

 Kĩ thuật τ 1.CCLog - Công cụ logarit – được rút từ lời giải PT e5−3 x = 10 :
+ Điều kiện cho PT (nếu có).
+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng a f ( x ) = b .
+ Lấy logarit cơ số a hai vế của PT a f ( x ) = b được PT f ( x ) = log a b .

+ Giải f ( x ) = log a b theo ẩn x, đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của PT.
Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ 1.CCLog :
+ Tính biến thiên của hàm số logarit; tính chất của logarit.
+ Kĩ thuật giải các PT đại số đặc biệt kĩ thuật giải PT bậc nhất, bậc hai.
+ Tính chất liên quan đến tập nghiệm của hai PT tương đương.
 Kĩ thuật τ 1.MuLog - Đưa về cùng cơ số mũ logarit:
+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng a f ( x ) = b .

7

Các công thức (9) được đề cập trong Calculus – Concepts and Contexts – 4th Edition là:

ln ( e x ) =
x , x ∈  ; eln x =
x , x > 0.

18


+ Biến đổi b thành a log

a

b

đưa PT đã cho về a f ( x ) = a log b .
a

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ đưa PT a

f ( x)

= a loga b về f ( x ) = log a b (*) .

+ Giải PT (*) bằng các kĩ thuật giải PT đại số.

Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ 1.MuLog :
+ Định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit.
+ Tính đơn điệu của hàm số mũ y = a x và các phép biến đổi tương đương.
 Kĩ thuật τ 1.MuHuuTi - Đưa về cùng cơ số mũ hữu tỉ:
+ Điều kiện xác định PT (nếu có).
+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng a f ( x ) = b .
+ Tìm số hữu tỉ n thỏa b = a n , biến đổi PT đã cho thành a f ( x ) = a n và f ( x ) = n .
+ Giải PT f ( x ) = n và tổng hợp nghiệm PT đã cho.
Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ 1.3 :
+ Tính chất lũy thừa với mũ số thực, phép biến đổi tương đương PT.
+ Tính đơn điệu của hàm số mũ y = a x .
Mục đích cần đạt đến của kĩ thuật giải KNV TGiaiPT là tìm x từ PT chuyển được về
a

f ( x)

= b . Có 3 kĩ thuật cơ bản giải quyết TGiaiPT là τ 1.CCLog , τ 1.MuLog và τ 1.MuHuuTi . Mỗi kĩ thuật có

đặc trưng riêng, trong khi τ 1.MuLog huy động nghĩa ba và sử dụng tính đơn điệu của hàm số
mũ chuyển PT về f ( x ) = log a b , kĩ thuật τ 1.MuHuuTi có phạm vi hợp thức “b đưa được về a lũy
thừa với số mũ hữu tỉ” thì τ 1.CCLog huy động logarit tác động vào hai vế a f ( x ) = b , biến đổi về
PT giải được f ( x ) = log a b . Trong khi τ 1.MuHuuTi hạn chế thì lời giải theo τ 1.CCLog mang tính
chất tổng qt. Thay vì giải trực tiếp a f ( x ) = b , logarit cho phép giải chúng qua f ( x ) = log a b .
Như vậy, logarit thể hiện vai trị cơng cụ đơn giản hóa biểu thức trong giải PT a f ( x ) = b

bằng tác động logarit cơ số a (hay logarit cơ số b) vào hai vế PT a f ( x ) = b . Việc chuyển như
vậy đã đưa PT a f ( x ) = b về PT giải được.
 Về TGiaiPT2: “Giải các PT a f ( x ) = b g ( x ) với 0 < a, b ≠ 1 và f ( x ) , g ( x ) ≠ x ”
Chúng tơi tìm thấy 2 nhiệm vụ và lời giải tương ứng từ [6] và [14] như sau:
•

Giải PT 5 x − 2 = 33 x − 2 ([14])
Lời giải: Lấy logarit hai vế PT được ln 5 x − 2 = ln 33 x − 2

(

)

19

(

)


(3x − 2) ln 3
( x − 2 ) ln 5 =
=
x
x +5

•

ln 225
≈ −3, 2116

 5 
ln  
 27 

x +17

Giải PT 32 x −7 = 0, 25.128 x −3

([6], tr.223)
5( x + 5 )

Đổi hai vế về cơ số 2 (điều kiện x ≠ 3, x ≠ 7 ) được PT 2
Hay 2

5( x + 5 )
x −7

=2

5 x +125
x −3

x −7

−2

= 2 .2

7( x +17)
x −3

. PT này tương đương với PT 5 ( x + 5 ) = 5 x + 125
x−7

Hay ( x + 5 )( x − 3) = ( x − 7 )( x + 25 )
PT này có nghiệm x = 10

x −3

([6], tr.223).

Từ hai lời giải chúng tơi tìm được 2 kĩ thuật giải TGiaiPT2 là cùng cơ số mũ hữu tỉ và cơng cụ
logarit, chúng tơi kí hiệu lần lượt là τ 2.MuHuuTi và τ 2.CCLog . Cụ thể kĩ thuật τ 2.MuHuuTi như sau:
+ Tìm điều kiện xác định hai vế PT (nếu có).
+ Tìm số hữu tỉ m sao cho b = a m , đưa PT đã cho về a f ( x ) = a m. g ( x ) và f ( x ) = m.g ( x ) .
+ Giải PT f ( x ) = m.g ( x ) , đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của PT đã cho.
Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho τ 2.MuHuuTi là:
+ Tính chất lũy thừa với mũ số thực, tính biến thiên của hàm mũ y = a x .
+ Phép biến đổi tương đương hai PT đại số.
 Kĩ thuật τ 2.CCLog được mô tả:
+ Đặt điều kiện cho PT (nếu có).
+ Lấy logarit cơ số 𝑎 (hoặc cơ số b) hai vế PT chuyển về dạng f ( x ) = g ( x ) .log a b (*) .
+ Giải PT (*), đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm PT.

Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ 2.CCLog :
+ Điều kiện xác định cho các biểu thức đại số, các tính chất của logarit.
+ Các kĩ thuật giải PT đại số.
Mục tiêu của kĩ thuật giải TGiaiPT2 là tìm được 𝑥 từ PT 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑔(𝑥) . Trong khi kĩ thuật

τ 2.CCLog cho lời giải tối ưu thì τ 2.MuHuuTi chỉ dùng được khi “b đưa được về 𝑎 lũy thừa mũ hữu

tỉ”. Bằng cách lấy logarit cơ số 𝑎 hoặc b tác động vào hai vế 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑔(𝑥) , kĩ thuật τ 2.CCLog

chuyển về PT có thể giải được. Rõ ràng, kĩ thuật τ 2.CCLog đã làm đơn giản hóa giải PT

𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑔(𝑥) .

 Về KNV TGHVoDinh: Tính các giới hạn vơ định 1∞ , 00 , ∞ 0
20


Trước hết, thế nào là giới hạn vô định 1∞ , 00 , ∞ 0 ? Theo [9], giới hạn 1∞ , 00 , ∞ 0 là các
giới hạn có dạng lim f ( x )

g( x)

x→a

trong đó a có thể hữu hạn hoặc vơ cùng. Trong trường hợp 1∞
x

1
thì lim f ( x ) = 1 và lim g ( x ) = ∞ , chẳng hạn lim 1 +  , tương tự cho 00 , ∞ 0 . Các giới hạn
x→a
x→a
x →+∞
x




x

vô định 1∞ , 00 , ∞ 0 có thể được tính nhờ dựa vào cơng thức lim 1 +  =
e , tuy nhiên ta có thể
x →±∞
x
1





sử dụng logarit như cơng cụ đơn giản hóa để tính. Dưới đây là ba nhiệm vụ điển hình được
trích từ [10] và [13]:
•

Bài 8. Tìm các giới hạn: […] 5) lim ( sin x )
x→

([10], tr.36) (dạng 1∞ )

tan x

π

2

Lời giải được trình bày bởi tác giả Nguyễn Đình Trí:
5) Đặt A =

( sin x )

=
1 + ( sin x − 1) 

tan x.ln (1 + ( sin x − 1=
))

A
ln=
Và

tan x

tan x

.

ln (1 + ( sin x − 1) ) sin x − 1
.
sin x − 1
cot x

sin x − 1
sin x − 1
sin x − 1
. Do đó lim
= sin x.
=0
π

cot x
cos x
cot x
x→
2

x
0
ln A = 0 , nghĩa là: lim A= lim ( sin x )tan=
Cuối cùng: lim
e=
1
π
π
π

x→

•

x→

2

Tìm lim+ ( sin x )

tan x

x →0

x→

2

([10], tr.46)

2

0

(dạng 0 ) (Tham khảo [13])

Lời giải: Đặt y = ( sin x )

tan x

ln ( sin x )
.
cot x

. Lấy logarit nêpe hai
vế có : ln y tan
=
=
x.ln ( sin x )

cos x
=
lim sin x =
lim ( − cos x.sin x ) =

0.
x → 0+
x → 0+
−1
sin 2 x
tan x
0
Do đó lim+ ln y = 0 . Vậy: lim+ ( sin x ) = e=
1.

ln ( sin x )
Mặt khác: lim
+
x →0
cot x

L ' Hospital

x →0

•

1
x

x →0

sin x

(dạng ∞ 0 )

Tìm lim+  
x →0

1
Lời giải: Đặt y =  
x

− ln x
Mà: lim+
x →0
1
sin x

(Tham khảo [13])

sin x

1
x

. Lấy logarit nêpe hai=
vế có: ln y sin
=
x.ln  

− ln x
.
1
sin x

1
x
sin x sin x
= =
lim
lim
=
.
0 . Do đó lim ln y = 0 .
x → 0+ − cos x
x →0
x →0
x cos x
2
sin x

L ' Hospital

−

+

+

sin x

1
0
Vậy: lim+   = e=

1.
x →0  x 

Từ ba lời giải trên, chúng tơi tìm thấy kĩ thuật τ 3.CCLog giải quyết TGHVoDinh như sau:
21


+ Đặt A= f ( x) g ( x ) . Biến đổi ln A = g ( x ) .ln [ f ( x)]
+ Tính lim ln A = L theo định lí L’Hospital 8 hay sử dụng lim
x→a
α →0

ln (1 + α )

F
7

+ Giới hạn cần tính lim f ( x=
) g ( x ) lim
=
A lim=
eln A e L .
x→a

x→a

α

=1.

x→a

Yếu tố cơng nghệ, lý thuyết giải thích cho kĩ thuật τ 3.CCLog :
+ Tính chất lũy thừa với số mũ thực, tính chất của logarit.
ln (1 + α )
= 1 và các tính
α →0
α

+ Tính liên tục của hàm số logarit, định lí L’Hospital, cơng thức lim
chất của giới hạn.
+ Tính liên tục của hàm số mũ.

Kĩ thuật τ 3.CCLog áp dụng tổng quát cho 3 dạng vô định 1∞ , 00 , ∞ 0 . Xem xét τ 3.CCLog , khái
niệm logarit và các tính chất tham gia biến đổi f ( x) g ( x ) thành g ( x ) .ln [ f ( x)] . Bước biến đổi
góp phần chuyển giới hạn cần tính về các dạng vơ định đơn giản hơn ( 0.∞ ,
giản hơn của 0.∞ ,

0 ∞
, ) . Sự đơn
0 ∞

0 ∞
, thể hiện ở chúng có thể tính được nhờ sử dụng trực tiếp định lí
0 ∞

L’Hospital hay công thức lim
α →0

ln (1 + α )

α

= 1 . Do đó bước chuyển (lấy logarit tác động vào hai

vế) đã góp phần làm đơn giản hóa tính các giới hạn vô định 1∞ , 00 , ∞ 0 . Tuy nhiên, biến đổi
A = f ( x) g ( x ) thành ln A = g ( x ) .ln [ f ( x) ] có thực hiện được không?

Xét giới hạn 1∞ . Rõ ràng, khi x gần a thì f ( x) dần về 1, dẫn đến f ( x) > 0 và
f ( x) g ( x ) > 0 trong lân cận của a . Do đó ln f ( x ) , ln f ( x) g ( x ) tồn tại và biến đổi A = f ( x) g ( x )

thành ln A = g ( x ) .ln [ f ( x)] thực hiện được. Giải thích tương tự cho 00 , ∞ 0 .
 Xét KNV TĐaoHam1: Tính đạo hàm của các hàm số y = f 1α1 ( x ) . f 2α 2 ( x ) ... f nαn ( x ) tại những
x mà hàm số có đạo hàm và f i ( x ) > 0, ∀i =1, n trong lân cận của x

Xét nhiệm vụ sau và lời giải được trình bày bởi tác giả Nguyễn Đình Trí:
Định lí De L’Hospital (Trích dẫn trang 156 và trang 158 tài liệu [9])
+ Giả sử các hàm số f ( x ) , g ( x ) xác định, khả vi tại lân cận=
x a ( a ∈  ) , có thể trừ tại x = a . Nếu

8

lim
=
f ( x ) lim
=
g ( x ) 0 , g ' ( x ) ≠ 0 ở lân cận x = a . Và nếu lim f ' ( x ) = A thì lim f ( x ) = A .
x→a
x →a
x→a

x→a
g '( x)

a ( a ∈  ) trừ tại x = a . Nếu
x = a . Và nếu lim f ' ( x ) = A thì lim f ( x ) = A .
x→a g ' ( x )
x→a g ( x )

=
x
+ Giả sử các hàm số f ( x ) , g ( x ) xác định, khả vi tại lân cận
lim f ( x ) = lim g ( x ) = +∞ , g ' ( x ) ≠ 0 tại lân cận
x→a

x →a

g ( x)

22


Bài 3.Tính đạo hàm của các hàm số: 5) y =

3

1 + x3
([10], tr.54)
1 − x3

1

1
1 + x3  1 + x3  3
3
y
. ln (1 + x3 ) − ln (1 − x3 ) 
Lời =
giải: y =
. Suy ra ln=

3
3 
1− x
3
 1− x 
3x 2 
1 
y ' 1  3x 2
2 x 2 3 1 + x3
2  1
= 
+
=
+
.
x
'
, x ≠ 1 . ([10], tr.60)
=
y

.
Vậy

1 + x3 1 − x3 
y 3  1 + x3 1 − x3 
1 − x 6 1 − x3

Kết quả đạo hàm chính xác, nhưng để tránh phức tạp khi đối chiếu với các bài tốn ở phổ
thơng, chúng tôi chỉ xét đạo hàm của hàm số y = f 1α1 ( x ) . f 2α 2 ( x ) ... f nα n ( x ) tại những x mà hàm
số có đạo hàm và f i ( x ) > 0, ∀i =1, n trong lân cận của x . Từ các lời giải trên, chúng tơi
tìm được kĩ thuật τ 4.CCLog giải quyết TĐaoHam1 như sau:
=
ln y α1.ln f1 ( x ) + α 2 .ln f 2 ( x ) + ... + α n .ln f n ( x ) (1)
+ Lấy logarit cơ số e hai vế của PT được
y'
y

+ Lấy đạo hàm theo biến x hai vế của (1) có= α1.


f1′( x )
f ′( x)
f ′( x)
+ α2. 2
+ ... + α n . n
.
f1 ( x )
f2 ( x )
fn ( x )

+=
Biến đổi y ' có kết quả y ' f α ( x ) . f α ( x ) ... f α ( x ) α1.
1

n

2

1

2

n



f1′( x )
f ′( x)
f ′( x) 
+ α2. 2
+ ... + α n . n

f1 ( x )
f2 ( x )
fn ( x ) 

Công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ 4.CCLog :
+ Tính chất của logarit, đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm hàm số logarit cơ số e.
+ Phép biến đổi tương đương PT.
Mục đích của TĐaoHam1 là tính đạo hàm của hàm số y = f 1α1 ( x ) . f 2α 2 ( x ) ... f nαn ( x ) tại

những x mà hàm số có đạo hàm và fi ( x ) > 0, ∀i =1, n trong lân cận của x . Chúng tôi nhận
thấy: khi n càng lớn ( n ≥ 3 ) thì việc tính đạo hàm của hàm số y = f 1α1 ( x ) . f 2α 2 ( x ) ... f nα n ( x ) theo
cơng thức đạo hàm tích trở nên phức tạp, chẳng hạn tính đạo hàm của hàm số
y=

i

∏ ( x + i ) = ( x + 1) .( x
2013

2

i =1

2

2

+ 2 ) . ( x 2 + 3) ... ( x 2 + 2013)
2

3

2013

. Nhưng kĩ thuật τ 4.CCLog cho lời giải tối ưu

và tổng quát cho n ∈  lớn tùy ý. Trong τ 4.CCLog , logarit tham gia tác động vào hai vế PT
y = f 1α1 ( x ) . f 2α 2 ( x ) ... f nα n ( x ) biến đổi thành
=

ln y α1.ln f1 ( x ) + α 2 .ln f 2 ( x ) + ... + α n .ln f n ( x ) . Nhờ

các tính chất logarit hàm số được chuyển về tổng các hàm logarit. Từ đó thay vì tính đạo
hàm tích chuyển về tính đạo hàm tổng.

23