nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thanh Phúc

NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thanh Phúc

NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT PHI TUYẾN
Chuyên ngành:
Mã số:

Toán giải tích
60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

LỜI CÁM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi lời cám ơn sâu sắc và chân thành nhất tới
PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán Tin – Trường Đại Học Sư Phạm
TP.Hồ Chí Minh vì sự tận tình giúp đỡ và chỉ bảo của thầy đối với tôi trong
thời gian làm luận văn.
Tôi cũng xin gởi lời cám ơn đến Quý Thầy Cô Trường Đại Học Sư Phạm
TP.Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt khóa học.
Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Phòng
Khoa Học Công Nghệ và Phòng Sau Đại Học – Trường Đại Học Sư Phạm
TP.Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tại
trường.
Xin gởi lời cám ơn đến quý thầy, cô trong Hội đồng chấm luận văn đã
dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý và phản biện cho tôi hoàn
thành luận văn này một cách hoàn chỉnh nhất.
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm và
động viên giúp tôi hoàn thành luận văn này.
TP. Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2015.


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA
NGHIỆM BỊ CHẶN ................................................................... 4
1.1. Phát biểu bài toán .................................................................................. 4
1.2. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm bị chặn của phương trình

vi phân hàm bậc nhất tuyến tính ........................................................... 4
1.3. Định lí về sự tồn tại của nghiệm bị chặn ............................................ 12
1.4. Định lí về sự duy nhất của nghiệm bị chặn......................................... 25
Chương 2. NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
HÀM BẬC NHẤT PHI TUYẾN ĐỐI SỐ LỆCH .................. 34
2.1. Phát biểu bài toán ................................................................................ 34
2.2. Nghiệm bị chặn của bài toán (2.1), (2.2) ............................................ 35
2.3. Nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến
đối số lệch ........................................................................................... 47
2.4. Ví dụ .................................................................................................... 50
KẾT LUẬN .................................................................................................... 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 56


MỘT SỐ KÝ HIỆU
•

N là tập hợp tất cả các số tự nhiên.

•

[0, +∞) .
R là tập hợp tất cả các số thực, R=
+

•

C ([ a, b ];R ) : Tập các hàm liên tục trên đoạn [ a, b ] . Khi đó C ([ a, b ];R ) với

chuẩn

u C sup { u (t ) : t ∈ [ a, b ]} là một không gian Banach.
=
•

Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) :

Tập các hàm số liên tục u : [ a, +∞ ) → R . Với

ta có u sup { u (t ) : t ≥ a} .
u ∈ Cloc ([ a, +∞[ ; R )=
•

C0 ([ a, +∞ ) ;R ) : Tập các hàm số liên tục u : [ a, +∞ ) → R sao cho tồn tại
def

giới hạn hữu hạn u ( +∞ ) = tlim
u (t ) .
→+∞
•

C loc ([ a, +∞ ) ; R ) : Tập các hàm số u : [ a, +∞ ) → R liên tục tuyệt đối trên

mỗi khoảng con compact của [ a, +∞ ) .
•

C 0 ([ a, +∞=
) ; R ) C0 ([ a, +∞ ) ; R )  Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) .

•

L ([ a, b ]; R ) : các hàm khả tích Lebesgue trên đoạn

[ a, b] . Khi đó

L ([ a, b ]; R ) với chuẩn f = ∫ f dx là một không gian Banach.
b

a

•

Lloc ([ a, +∞ ) ; R ) : Tập các hàm số p : [ a, +∞ ) → R khả tích Lebesgue với

topo hội tụ trung bình trên mỗi khoảng con compact của [ a, +∞ ) .
•

K : Tập hợp các hàm số F : Cloc

([ a, +∞ ) ; R ) → L ([ a, +∞ ) ; R ) là toán tử
loc

liên tục thỏa mãn điều kiện Carathéodory địa phương, nghĩa là với mỗi r > 0 ,
tồn tại qr ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ; R ) để
F (v)(t ) ≤ qr (t ) hầu khắp nơi trên [ a, +∞ ) , với v ∈ Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) thỏa v ≤ r

•

(

)

(

)

K ab : Tập hợp các hàm số F : C [ a, b ] ;R → L [ a, b ];R là toán tử liên

tục thỏa mãn điều kiện Carathéodory, nghĩa là với mỗi r > 0 , tồn tại
qr ∈ Lloc ([ a, b ]; R ) để
F (v)(t ) ≤ qr (t ) hầu khắp nơi trên [ a, +∞ ) , với v ∈ C ([ a, b ]; R ) thỏa v ≤ r .

•

K ([ a, b ] × A; B ) : Tập hợp các hàm số f : [ a, b ] × A → B thỏa mãn điều kiện

Carathéodory ( A ⊂ R n , B ⊂ R ); nghĩa là ∀x ∈ A , f (., x) : [ a, b ] → B là hàm đo


được, f (t , . ) : A → B là hàm số liên tục theo biến thứ hai (hầu khắp nơi trên

[ a, b] ) và với mỗi

r > 0 , tồn tại qr ∈ L ([ a, b ];R ) để f (t , x) ≤ qr (t ) hầu khắp nơi

trên [ a, b] , với mọi x ∈ R n , x ≤ r .
•

ch: Tập hợp các hàm số ω : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → R là hàm tuyến tính bị

chặn không tầm thường.

•
W0 : Tập hợp các hàm số ω : C0 ([ a, +∞ ) ; R ) → R là hàm tuyến tính bị
chặn không tầm thường.
•

H : Tập hợp các hàm số h : Cloc

([ a, +∞ ) ; R ) → R

là hàm liên tục thỏa

mãn với mỗi r > 0 tồn tại M r ∈ R+ thỏa mãn h(v) ≤ M r cho mỗi
•

v ≤r.

Lab : Tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục l : C ([ a, b ];R ) → L ([ a, b ];R ) sao

cho với mỗi l ∈ Lab tồn tại η ∈ L ([ a, b ]; R+ ) thỏa mãn l (v)(t ) ≤ η (t ) v C , t ∈ [ a, b ] ,
v ∈ C ( [ a, b ] ; R ) .

•

Pab : Tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục l ∈ Lab

sao cho

)

(

l C ([ a, b ]; R+ ) ⊂ L ([ a, b ]; R+ ) .

•

P :

Tập

hợp

các

l : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → Lloc ([ a, +∞ ) ;R )

toán
tử
tuyến
tính
liên
tục
sao cho l ( Cloc ([ a, +∞ ) ; R+ ) ) ⊂ Lloc ([ a, +∞ ) ; R+ ) và

l (1) ∈ L ([ a, +∞ ) ;R + ) .

•

L :

Tập

hợp

các

l : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → Lloc ([ a, +∞ ) ;R )

toán
tử
tuyến
tính
liên
tục
sao cho với mỗi l ∈ L tồn tại l ∈ P để

l (v)(t ) ≤ l ( v ) (t ) hầu khắp nơi trên [ a, +∞ ) , với mọi v ∈ Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) .

•

K loc ([ a, +∞ ) × A; B ) :

Tập hợp các hàm số f : [ a, +∞ ) × A → B thỏa mãn điều

kiện Carathéodory địa phương ( A ⊂ R n , B ⊂ R ); nghĩa là với mọi x ∈ A ,
f (., x) : [ a, +∞ ) → B là hàm đo được trên mỗi khoảng con compact của [ a, +∞ ) ,
f (t , . ) : A → B là hàm số liên tục theo biến thứ hai (với hầu hết các t ≥ a ) và với

mỗi r > 0 , tồn tại qr ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ;R ) để f (t , x) ≤ qr (t ) hầu khắp nơi trên [ a, +∞ ) ,
∀x ∈ R n , x ≤ r .

•

Đặt

1, t ∈ [ a, b ]
.
0, t ∉ [ a, b ]

χ ab (t ) = 

Khi

đó

với

u ∈ Cloc ([ a, +∞ ) ; R )

(hoặc

u ∈ C0 ([ a, +∞ ) ; R ) ), q ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ; R ) , l ∈ L , F ∈ K ω ∈ ch ( ω ∈ W0 ), h ∈ H và
t ≥ a ta có các ký hiệu sau

=
θb (u )(t ) χ ab (t )(t )u (t ) + (1 − χ ab (t ))u (b)
qb (t ) = χ ab (t )q (t )

lb (u )(t ) = χ ab (t )l (θb (u ))(t )
Fb (u )(t ) = χ ab (t ) F (θb (u ))(t )

ω b (u ) = ω (θb (u ))
hb (u ) = h(θb (u ))

Trong luận văn khi ta nói một đẳng thức hay bất đẳng thức xảy ra trên
[ a, b] hay [ a, +∞ ) nghĩa là đẳng thức hay bất đẳng thức đó chỉ xảy ra hầu khắp

•

nơi trên [ a, b ] hay [ a, +∞ ) . Khi nói dãy hàm {un } hội tụ đều về một hàm số u
trên [ a, +∞ ) nghĩa là dãy hàm đó hội tụ đều về u trên mỗi tập con compăct của

[ a, +∞ ) .


1

MỞ ĐẦU
Các phương trình vi phân hàm đã xuất hiện từ thế kỉ 18 như một công cụ
toán học cho những bài toán trong vật lí và hình học. Tuy nhiên cho đến cuối
thế kỉ 19 chúng mới chỉ được biết đến trong các áp dụng cụ thể và chưa có
nghiên cứu một cách hệ thống về chúng. Đầu thế kỉ 20, sự quan tâm dành cho
phương trình vi phân hàm tăng lên, đặc biệt là đối với các ứng dụng trong cơ
khí, sinh học và kinh tế. Ở thời điểm đó, các nhà toán học đi theo hướng
nghiên cứu này đã xây dựng nên các lý thuyết định tính cho phương trình vi
phân hàm và những lý thuyết đó vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Vào thập
niên 1970, những phát kiến lớn trong việc xây dựng lý thuyết bài toán biên
cho phương trình vi phân hàm đã được đề xuất và nền tảng cho lý thuyết về
bài toán biên cho phương trình vi phân hàm đã được xây dựng. Các công cụ
về giải tích hàm và topo là những công cụ hiệu quả nhất để nghiên lĩnh vực

này. Tuy nhiên việc nghiên cứu các bài toán biên cụ thể cho phương trình vi
phân hàm mới chỉ thành công phần nào. Vẫn còn nhiều khó khăn trong việc
nghiên cứu về phương trình vi phân hàm ngay cả trong trường hợp phương
trình là tuyến tính.
Trong những năm gần đây những nỗ lực nghiên cứu này đã thành công
trong trường hợp của một số bài toán biên cho phương trình vi phân hàm. Đặc
biệt là trong các công trình của các tác giả I. Kiguradze và B. Puza, những
điều kiện tinh vi đảm bảo cho tính giải được và giải được duy nhất của một
lớp rộng các bài toán biên cho phương trình vi phân hàm đã được phát hiện.
Phương pháp chính được sử dụng là phương pháp tiên nghiệm và các kỹ thuật
về bất đẳng thức đạo hàm.
Nội dung chính của luận văn là trình bày lại các kết quả nghiên cứu của
các tác giả Robert Hakl, Alexander Lomtatidze và Ioannis P. Stavroulakis
trong các tài liệu [2], [3] và [4].


2

Luận văn muốn giới thiệu một cách hệ thống một số kết quả về sự tồn tại
và tính duy nhất của nghiệm bị chặn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất
phi tuyến
u '(t ) = F (u )(t )

(1)

ω (u ) = h(u )

(2)

với điều kiện biên

Trong đó F : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → Lloc ([ a, +∞ ) ; R ) là toán tử liên tục thỏa mãn
điều

Carathéodory

kiện

ω : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → R

là

địa
hàm

phương
tuyến

( F là
tính

liên

hàm
tục

phi

tuyến),

(tương

ứng

ω : C0 ([ a, +∞ ) ; R ) → R là hàm tuyến tính liên tục) và h : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → R là

hàm liên tục thỏa mãn với mỗi r > 0 tồn tại M r ∈ R+ thỏa mãn h(v) ≤ M r cho
mỗi v ≤ r .
Trường hợp đặc biệt của điều kiện (2) là
u (a ) = h(u )

(3)

Kết quả chính của luận văn là đưa ra các điều kiện đảm bảo cho sự tồn tại
và tính duy nhất của nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm (1) thỏa
mãn điều kiện (2) hoặc thỏa mãn điều kiện (3). Trong luận văn này, các kết
quả cụ thể của bài toán (1), (2) cũng được đưa ra trong trường hợp đặc biệt
của phương trình (1) là phương trình vi phân bậc nhất phi tuyến đối số lệch
u '(t )=

m

∑ ( p (t )u (t
k =1

k

k

(t )) − g k (t )u ( mk (t )) ) + f ( t , u (t ), u (n 1 (t )), ... , u (n n (t )) ) (1’)

Trong đó f ∈ Kloc ([ a, +∞ ) × R n +1; R ) , ta có pk , g k ∈ L ([ a, +∞ ) ; R+ ) và các hàm
số τµν
k , k , j : [ a, +∞ ) → [ a, +∞ ) là đo được bị chặn trên mỗi khoảng con compact
của [ a, +∞ ) , với

m, n ∈ N , k = 1,..., m , j = 1,..., n .

Luận văn có 2 chương


3

Chương 1. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA
NGHIỆM BỊ CHẶN
Chương 1 trình bày các kết quả tổng quát về sự tồn tại và tính duy nhất của
nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến (1), (2).
Chương 2. NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC
NHẤT PHI TUYẾN ĐỐI SỐ LỆCH.
Trong chương 2 chúng ta sẽ áp dụng các kết quả tổng quát có trong
chương 1 để tìm một số điều kiện tồn tại và duy nhất của nghiệm bị chặn của
bài toán (1), (3). Áp dụng kết quả này ta sẽ tìm một số điều kiện để bài toán
(1’), (3) có nghiệm bị chặn, nghiệm bị chặn là duy nhất.


4

Chương 1. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT
CỦA NGHIỆM BỊ CHẶN
1.1. Phát biểu bài toán
Trong chương này chúng ta xét sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm bị chặn

cho phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến
u '(t ) = F (u )(t )

(1.1)

ω (u ) = h(u )

(1.2)

với điều kiện biên
Trong đó F ∈ K , ω ∈ ch (hay ω ∈ W0 ) và h ∈ H . Nghiệm của phương trình
(1.1) là hàm số u ∈ Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) sao cho u thỏa mãn (1.1) hầu khắp nơi trên

[ a, +∞ ) . Nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) là một nghiệm của phương trình (1.1)
thuộc miền xác định của h , ω và thỏa mãn đẳng thức (1.2).
Cùng với bài toán (1.1), (1.2) ta xét bài toán
u '(t ) = Fb (u )(t )

(1.1 0 )

ω b (u ) = hb (u )

(1.2 0 )

1.2. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm bị chặn của phương trình vi
phân hàm bậc nhất tuyến tính
Xét bài toán sau trên [ a, b ]
=
u '(t ) l (u )(t ) + q (t )

(1.3)

ω (u ) = c

(1.4)

u '(t ) = l (u )(t )

(1.3 0 )

ω (u ) = 0

(1.4 0 )

và bài toán thuần nhất tương ứng

Trong đó l ∈ Lab , q ∈ L ([ a, b ]; R ) , c ∈ R , ω : C ([ a, b ]; R ) → R là toán tử tuyến tính
liên tục.
Xét bài toán sau trên [ a, +∞ )


5
u '(t ) = l (u )(t ) , ω (u ) = 0

(1.5)

u '(t ) = lb (u )(t ) , ω b (u ) = 0

(1.6)

và bài toán tương ứng
Trong đó l ∈ Lab , ω : C ([ a, b ]; R ) → R là toán tử tuyến tính liên tục, c ∈ R , lb , ω b
được định nghĩa như trong mục kí hiệu.
Ta có các mệnh sau
Mệnh đề 1.1 (Định lí 1.1, trang 46, [2])
Bài toán (1.3), (1.4) có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu bài toán bài toán
thuần nhất tương ứng (1.3 0 ), (1.4 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường.
Mệnh đề 1.2
Giả sử bài toán (1.3 0 ), (1.4 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường. Khi đó, tồn tại r0 > 0
sao cho với mọi q ∈ L ([ a, b ]; R ) , c ∈ R và nghiệm u của (1.3), (1.4) ta có đánh
giá
u

C


 t
 
≤ r0  c + sup  ∫ q ( s )ds : t ∈ [a, b] 


 a
 


(1.7)

Chứng minh
R)
Ta có R × L ([ a, b ];=

{(c, q) : c ∈ R, q ∈ L ([ a, b]; R )} là không gian tuyến tính.

Trên R × L ([ a, b ]; R ) xét chuẩn

 t

c + sup  ∫ q ( s )ds : t ∈ [a, b] . Khi đó
(c, q ) =
 a


R × L ([ a, b ]; R ) là một không gian Banach.

Gọi Ω là quy tắc biến mỗi (c, q) ∈ R × L ([ a, b ]; R ) thành nghiệm của bài toán
(1.3), (1.4). Theo mệnh đề 1.1, Ω là một hàm số xác định trên R × L ([a, b]; R ) .
Ta có Ω là một toán tử tuyến tính. Thật vậy
Với (c1 , q1 ), (c2 , q2 ) ∈ R × L ([a, b]; R ) , λ1 , λ2 ∈ R thì
=
(c, q ) λ1 (c1 , q1 ) + λ2 (c2 , q2 ) ∈ R × L ([a, b]; R ) .


6

Ta có
u = Ω(c, q ) là nghiệm của bài toán

u '(t ) = l (u )(t ) + ll
u ) λ1c1 + λ2c2
1q1 (t ) + 2 q2 (t ) , ω (=

(1.8)

u1 = Ω(c1 , q1 ) là nghiệm của bài toán
=
u '(t ) l (u )(t ) + l1q1 (t ) , ω (u ) = λ1c1
u2 = Ω(c2 , q2 ) là nghiệm của bài toán
=
u '(t ) l (u )(t ) + l2 q2 (t ) , ω (u ) = λ2c2

Do l và ω là các ánh xạ tuyến tính liên tục nên ta suy ra
′
′
′
(llllllll
1u1 + 2u2 ) = 1.u1 + 2 .u2 =l ( 1u1 + 2u2 ) + ( 1q1 (t ) + 2 q2 (t ))

ω (λ1u1 + λ2u2 ) =λ1ω (u1 ) + λ2ω (u2 ) =λ1c1 + λ2c2

Do đó λ1u1 + λ2u2 là nghiệm của bài toán (1.8). Theo mệnh đề 1.1, ta có
λ1u1 + λ2u2 =
u.

Vậy Ω còn là một toán tử tuyến tính. Hơn nữa, theo định lí 3.2 ([2]), Ω là một
toán tử liên tục.
Đặt r0 là chuẩn của Ω . Ta có Ω(c, q) C ≤ r0 (c, q) , với mọi (c, q) ∈ R × L ([a, b]; R ) .
Do đó, với mỗi q ∈ L ([ a, b ]; R ) , c ∈ R và nghiệm u bài toán (1.3), (1.4) thỏa
mãn (1.7).
Mệnh đề 1.3 (Mệnh đề 2.3, trang 14, [4])
Giả sử bài toán (1.5) chỉ có nghiệm bị chặn là nghiệm tầm thường. Khi đó tồn

tại b0 ∈ ( a, +∞ ) sao cho với mọi b ≥ b0 thì bài toán tương ứng (1.6) chỉ có
nghiệm tầm thường.
Mệnh đề 1.4
Giả sử với b ∈ ( a, +∞ ) , tồn tại ρ > 0 , tồn tại toán tử l ∈ L để bài toán (1.6) chỉ có
nghiệm tầm thường và với mỗi δ ∈ ( 0,1) , u ∈ C 0 ([ a, +∞ ) ; R ) thỏa mãn
u′(t ) =
lb (u )(t ) + δ  Fb (u )(t ) − lb (u )(t )  với t ≥ a

(1.9)


7
ω b (u ) = δ hb (u )

(1.10)

u ≤ρ

(1.11)

thì ta có bất đẳng thức
Khi đó bài toán tương ứng (1.1 0 ), (1.2 0 ) có nghiệm u0 cũng thỏa mãn (1.11).
Để chứng minh mệnh đề 1.4, trước hết ta xét bài toán sau trên [ a, b ]

Trong đó

Fˆ ∈ K ab ,

v '(t ) = Fˆ (v)(t )

(1.12)

ωˆ (v) = hˆ(v)

(1.13)

ωˆ : C ([ a, b ]; R ) → R

là hàm tuyến tính liên tục,

hˆ : C ([ a, b ]; R ) → R là hàm số liên tục thỏa mãn với mọi r > 0 , tồn tại M r > 0 sao

cho
hˆ(v) ≤ M r với mỗi

v
Nghiệm của bài toán (1.12), (1.13) là hàm số v ∈ C ([ a, b ]; R ) thỏa mãn (1.12)
hầu khắp nơi trên [ a, b ] và thỏa mãn (1.13).
Bổ đề 1.5
Giả sử tồn tại số ρ > 0 và hàm l ∈ Lab sao cho bài toán thuần nhất
u '(t ) = lˆ(u )(t ) , ωˆ (u ) = 0

(1.14)

chỉ có nghiệm tầm thường. Hơn nữa, với mỗi δ ∈ ( 0,1) và hàm số
u ∈ C ([ a, b ]; R ) thỏa mãn

u′(t ) =
lˆ(u )(t ) + δ  Fˆ (u )(t ) − lˆ(u )(t )  với t ∈ [ a, b ]

(1.15)

ωˆ (u ) = δ hˆ(u )

(1.16)

thì ta có bất đẳng thức
u

C

≤ρ

Khi đó bài toán (1.12), (1.13) có một nghiệm u cũng thỏa mãn (1.17).
Chứng minh

(1.17)


8

Vì lˆ ∈ Lab , Fˆ ∈ K ab nên tồn tại η , η0 ∈ L ([ a, b ]; R+ ) và số thực α ∈ R+ sao cho
lˆ(u )(t ) ≤ η (t ) u

với t ∈ [ a, b ] , u ∈ C ([ a, b ]; R )

C

Fˆ (u )(t ) ≤ η0 (t ) với t ∈ [ a, b ] , u

hˆ(u ) ≤ α với t ∈ [ a, b ] , u

C

C

≤ 2ρ

≤ 2ρ

Đặt
γ=
(t ) η0 (t ) + 2 ρη (t ) với t ∈ [ a, b ]
 1 , 0≤s≤ρ

s

s ( s) = 2 − , ρ < s ≤ 2 ρ
ρ

 0 , s > 2 ρ
=
q0 (u )(t ) σ ( u

C

)  Fˆ (u)(t ) − lˆ(u)(t )

c0 (u ) = σ ( u

C

(1.18)

với t ∈ [a, b] .

) hˆ(u)

(1.19)

Ta có q0 (u )(t ) ≤ γ (t ) , c0 (u ) ≤ α , với u ∈ C ([a, b]; R ) , t ∈ [a, b] .
Với mỗi v ∈ C ([ a, b ]; R ) ta xét bài toán
=
u′(t ) lˆ(u )(t ) + q0 (v)(t ) , ωˆ (u ) = c0 (v)

(1.20)

Vì bài toán (1.14) chỉ có nghiệm tầm thường nên theo mệnh đề 1.1, bài toán
(1.20) chỉ có duy nhất một nghiệm u .
Hơn nữa theo mệnh đề 1.2, tồn tại β ∈ R+ sao cho
u

Suy ra u C ≤ β (α + γ

C

L


 t

 
≤ b  c0 (v) + sup  ∫ q0 (v)( s )ds : t ∈ [ a, b ] 

 a
 


)

Có

u′(t ) ≤ η (t ) u

C

+ γ (t ) .

Đặt

ρ 0 = β (a + γ

L

γ (t )
) = constant , =
*

ρ0η (t ) + γ (t ) , t ∈ [ a, b ] .

Suy ra

u

C

≤ ρ0 , u′(t ) ≤ γ * (t ) với t ∈ [ a, b ]

(1.21)


9

Đặt Ω : C ([a, b]; R ) → C ([a, b]; R ) là toán tử biến mỗi v ∈ C ([ a, b ]; R ) thành nghiệm
u của bài toán (1.20). Theo định lí 3.2 ([2]), ta có Ω là toán tử tuyến tính liên

tục. Mặt khác, ta lại có
Ω(v )

C

t

≤ ρ0
t

Ω(v)(t ) − Ω(v)( s ) ≤ ∫ γ (ξ )dξ ≤ ∫ γ * (ξ ) dξ với a ≤ s ≤ t ≤ b
*

s

s

Suy ra Ω ( C ([a, b]; R ) ) còn là tập compact tương đối trong C ([ a, b ]; R ) .
Thật vậy,
Vì η , η0 ∈ L ([ a, b ]; R+ ) , =
γ * (t ) ρ0η (t ) + γ (t ) , t ∈ [a, b] , nên γ * ∈ L ([ a, b ]; R ) .
Với mỗi u ∈ Ω ( C ([ a, b]; R ) ) , tồn tại dãy {un } ⊂ Ω ( C ([ a, b ]; R ) ) sao cho
lim un (t ) = u (t ) đều trên [ a, b ]

n →+∞

Với mỗi n ∈ N , tồn tại vn ∈ C ([ a, b ]; R ) , sao cho: un = Ω(vn ) .
Ta có nlim
Ω(vn )(t ) =
u (t ) đều trên [a, b] .
→+∞
t

Và Ω(vn )(t ) − Ω(vn )( s) ≤ ∫ γ * (ξ ) dξ với a ≤ s ≤ t ≤ b với mọi n ∈ N .
s

t

Suy ra u (t ) − u ( s) ≤ ∫ γ * (ξ ) dξ , a ≤ s ≤ t ≤ b , với mọi u ∈ Ω ( C ([ a, b]; R ) ) .
s

Giả sử {un } ⊂ Ω ( C ([ a, b ]; R ) ) .
t

Ta có γ ∈ L ([ a, b ]; R+ ) và un (t ) − un ( s) ≤ ∫ γ * (ξ ) dξ với mọi a ≤ s ≤ t ≤ b , n ∈ N .
*

s

Từ đây ta suy ra dãy {un } liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [ a, b ] . Do đó,
theo định lí Arzelà – Ascoli, {un } chứa một dãy con {un

k

} hội tụ đều về một

hàm số u ∈ C ([a, b]; R ) .
Do Ω ( C ([ a, b ]; R ) ) đóng, {un } ⊂ Ω ( C ([ a, b ]; R ) ) , nên u ∈ Ω ( C ([ a, b]; R ) ) .
k


10

Ta có Ω : C ([ a, b ]; R ) → C ([ a, b ]; R ) là toán tử liên tục, C ([ a, b ]; R ) là tập lồi, đóng
và Ω ( C ([ a, b ]; R ) ) là tập compact tương đối. Theo định lí Schauder, Ω có một
điểm bất động u .
Ta có Ω(u )(t ) =
u (t ) với mọi t ∈ [ a, b ] .
Đặt

δ =σ ( u

C

).

(1.22)

Khi đó u là nghiệm của bài toán (1.15), (1.16).
Ta sẽ chứng minh δ = 1 .
Thật vậy, nếu δ < 1 thì có một trong hai khả năng sau
ρ< u
u

C

C

< 2ρ

(1.23)

≥ 2ρ

(1.24)

Nếu (1.23) xảy ra thì khi đó theo (1.18), (1.22) ta có bất đẳng thức (1.17).
Điều này là mâu thuẫn với (1.23).
Nếu (1.24) xảy ra thì theo (1.18) ta có σ ( u C ) = 0 . Vậy u là nghiệm của bài
toán (1.14). Vì bài toán (1.14) chỉ có nghiệm tầm thường nên ta suy ra u ≡ 0 .
Điều này mâu thuẫn với (1.24).
Vậy δ = 1 .
Do đó u là nghiệm của bài toán (1.12), (1.13). Hơn nữa
từ δ σ=
=
( u C ) 1 ta

suy ra u thỏa mãn (1.17).
Chứng minh mệnh đề 1.4
Với mỗi u ∈ C ([ a, b ]; R ) , đặt
uˆ (t ) = u (t ) nếu t ∈ [a, b] , u (t ) = u (b) nếu t > b

(1.25)

Ta thấy rằng
uˆ ∈ C0 ([ a, +∞ ) ; R ) và u

C

= uˆ

(1.26)

Đặt Fˆ , lˆ là các toán tử xác định trên C ([ a, b ]; R ) như sau
Fˆ (u )(t ) = F (uˆ )(t ) , lˆ(u )(t ) = l (uˆ )(t ) , t ∈ [ a, b ] , u ∈ Cloc ([ a, b ]; R )

(1.27)


11

Do F ∈ K , l ∈ L nên Fˆ ∈ K ab , lˆ ∈ Lab .
Với mỗi u ∈ C ([ a, b ]; R ) đặt
ωˆ (u ) = ω (uˆ ) , hˆ(u ) = h(uˆ )

(1.28)

Với h ∈ H và ω ∈ ch (hoặc ω ∈ W0 ) thì ωˆ là toán tử tuyến tính liên tục từ
C ([ a, b ]; R ) vào R . Hơn nữa do h ∈ H nên từ (1.28) ta suy ra với mọi r > 0 , tồn

tại M r > 0 sao cho với mỗi hàm số thỏa mãn u C ≤ r thì hˆ(u ) ≤ M r .
Giả sử bài toán (1.14) có nghiệm u ∈ C ([ a, b]; R ) . Từ (1.25) ta suy ra
θ (uˆ )(t ) = uˆ (t ) với t ≥ a

(1.29)

Từ (1.14), (1.27), (1.29) ta suy ra u′(t ) = lb (u )(t ) với t ≥ a .
Từ (1.28), (1.29), (1.14) suy ra ω b (uˆ ) = 0 .
Vây uˆ là nghiệm của bài toán (1.6).
Vì bài toán (1.6) chỉ có nghiệm tầm thường nên uˆ ≡ 0 và do đó u ≡ 0 .
Vậy bài toán (1.14) chỉ có nghiệm tầm thường.
Với mỗi δ ∈ ( 0,1) và u ∈ C ([ a, b ]; R ) bất kì thỏa mãn các bất đẳng thức (1.15),
(1.16), ta chứng minh u thỏa mãn bất đẳng thức (1.17).
Với hàm uˆ được xác định như trong (1.25), ta có u thỏa mãn (1.29).
Từ (1.15), (1.27), (1.29) ta suy ra
uˆ′(t ) =
lb (uˆ )(t ) + δ  Fb (uˆ )(t ) − lb (uˆ )(t )  với t ≥ a

(1.30)

Từ (1.16) , (1.28), (1.29) ta được ωb (uˆ ) = δ hb (uˆ ) .
Theo giả thiết của mệnh đề thì từ (1.30) và sự kiện ωb (uˆ ) = δ hb (uˆ ) ta được
uˆ ≤ ρ . Từ (1.26) ta suy ra u

C

≤ρ.

Như vậy, ta đã chứng minh được bài toán (1.14) chỉ có nghiệm tầm thường.
Hơn nữa, với mỗi δ ∈ ( 0,1) và hàm số u ∈ C ([ a, b ]; R ) bất kì thỏa mãn (1.15),
(1.16) ta luôn có (1.17).


12

Theo bổ đề 1.5 thì bài toán (1.12), (1.13) có nghiệm u thỏa mãn u C ≤ ρ .
Ta dễ dàng chứng minh được hàm số uˆ được xác định như (1.25) chính là
nghiệm của bài toán (1.1 0 ), (1.2 0 ) với uˆ (+∞) = u (b) và uˆ ≤ ρ .
1.3. Định lí về sự tồn tại của nghiệm bị chặn
Định lí 1.6
Cho ω ∈ ch , giả sử tồn tại l ∈ L thỏa mãn nghiệm bị chặn của bài toán (1.5) chỉ
là nghiệm tầm thường. Giả sử thêm rằng tồn tại và hàm số liên tục c : R+ → R+
thỏa mãn
h (v ) ≤ c ( v

)

với mọi v ∈ C0 ([ a, +∞ ) ; R )

Hơn nữa, trên tập {v ∈ C0 ([ a, +∞ ) ; R ) : ω (v) ≤ c ( v
t

t

a

a

)}

(1.31)

ta có các bất đẳng thức

∫ [ F (v)(s) − l (v)(s)] ds ≤ ∫ q ( s, v ) ds

với t ≥ a

F (v)(t ) − l (v)(t ) ≤ η (t ) v với t ≥ a, v ≥ ρ1

(1.32)
(1.33)

trong đó q ∈ Kloc ([ a, +∞ ) × R+ ; R ) , η ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ; R+ ) và ρ1 > 0 . Giả sử rằng các
hàm số c và q thỏa mãn
 t

sup  ∫ q ( s, x)ds : t ∈ [ a, +∞ )  < +∞ với mọi x ∈ R+
 a



 t
 
lim  c( x) + sup  ∫ q ( s, x)ds : t ∈ [ a, +∞ )   = 0
x →+∞ 


 a
 


(1.34)

(1.35)

Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm bị chặn.
Để chứng minh định lí ta có một số bổ đề sau
Bổ đề 1.7
Giả sử tồn tại ρ > 0 và b0 ∈ ( a, +∞ ) sao cho với mỗi b ≥ b0 thì phương trình
(1.1 0 ) có nghiệm ub thỏa mãn
ub ≤ ρ

(1.36)


13

Khi đó phương trình (1.1) có một nghiệm bị chặn u .
Hơn nữa, tồn tại dãy {ub }n =1 ⊂ {ub }b ≥ b thỏa mãn
+∞

n

0

lim ubn (t ) = u0 (t ) đều trên [ a, +∞ )

(1.37)

n →+∞

Chứng minh
Vì ub là nghiệm của (1.1 0 ) nên ta có θb (ub )(t ) = ub (t ) với t ≥ a .
Vì ub là nghiệm của phương trình (1.1 0 ) nên ta có đánh giá
t

t

s

s

∫ ub′ (ξ )dξ ≤ ∫ Fb (ub )(ξ ) dξ với a ≤ s ≤ t

ub (t ) − ub (=
s)

(1.38)

Do F ∈ K nên từ bất đẳng thức (1.38) ta suy ra họ {ub }b ≥ b liên tục đồng bậc và
0

bị chặn đều trên mỗi khoảng con compact của [ a, +∞ ) . Theo định lí Arzelà –
Ascoli, tồn tại dãy

{u }

+∞

bn

n =1

⊂ {ub }b ≥ b

0

và hàm u ∈ Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) thỏa mãn

lim bn = +∞ và (1.37). Từ (1.36) và (1.37) suy ra u ≤ ρ . Hiển nhiên, ta có

n →+∞

θb (ub )(t ) = ub (t ) với mọi t ≥ a . Do ub là nghiệm của phương trình (1.1 0 ) với
n

n

n

n

mỗi b = bn nên ta có ta có
t

u=
ubn (a ) + ∫ F (ubn )( s )ds với mọi t ≥ a

bn (t )
a

Do F liên tục nên từ (1.37) ta suy ra
t

u=
(t ) u (a ) + ∫ F (u )( s )ds với t ≥ a
a

Vậy u là nghiệm bị chặn của phương trình (1.1).
Bổ đề 1.8
Giả sử tồn tại l ∈ L thỏa mãn nghiệm bị chặn của bài toán (1.5) chỉ là nghiệm
tầm thường. Hơn nữa, tồn tại hàm số liên tục c : R+ → R+ sao cho bất đẳng thức
(1.31) được thỏa mãn và trên tập {v ∈ C0 ([ a, +∞ ) ; R ) : ω (v) ≤ c ( v

)}

các bất đẳng


14

thức (1.32), (1.33) được thỏa mãn, trong đó

q ∈ K loc ([ a, +∞ ) × R+ ; R ) ,

η ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ; R+ ) và ρ1 > 0 . Giả sử thêm rằng các hàm số c và q thỏa mãn

(1.34) và (1.35).

Khi đó tồn tại ρ > 0 và b0 ∈ ( a, +∞ ) sao cho với mọi b ≥ b0 và u ∈ C 0 ([ a, +∞ ) ; R )
bất kì thỏa mãn (1.9), (1.10) với δ ∈ ( 0,1) thỏa mãn, ta có bất đẳng thức (1.11).
Chứng minh
Vì bài toán (1.5) chỉ có nghiệm bị chặn là tầm thường nên theo mệnh đề 1.3,
tồn tại b* ∈ ( a, +∞ ) sao cho với mọi b ≥ b* thì bài toán (1.6) chỉ có nghiệm tầm
thường.
Ta cần chứng minh tồn tại ρ > 0 và b0 ∈ ( a, +∞ ) sao cho với mọi b ≥ b0 , với mọi
u ∈ C 0 ([ a, +∞ ) ; R ) , với δ ∈ ( 0,1) thỏa mãn (1.9), (1.10) ta có bất đẳng thức

(1.11).
Ta sẽ chứng minh bổ đề bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử ngược lại, với mỗi n ∈ N , tồn tại bn ≥ b* , δ n ∈ ( 0,1) , un ∈ C 0 ([ a, +∞ ) ; R ) sao
cho (1.9), (1.10) được thỏa mãn với δ = δ n , b = bn , trong đó nlim
bn = +∞ và
→+∞
un > n với mọi n ∈ N . Ta có
lim un = +∞

n →+∞

(1.39)

Đặt
vn (t ) =

ρ1un (t )
un

với t ≥ a , n ∈ N

(1.40)

Ta có
vn = ρ1 với mọi n ∈ N

ρ1
ρ1 
ρδ
vn′ (t ) =
un′ (t ) =
lbn (un )(t ) + 1 n  Fbn (un )(t ) − lbn (un )(t ) 
un
un
un

Suy ra

(1.41)


15
ρδ
vn′ (t ) =
lbn (vn )(t ) + 1 n  Fbn (un )(t ) − lbn (un )(t ) 
un

(1.42)

Ta có
ρ

=
ω bn (vn )

1
=
ω b (un )
un n

ρ1δ n 
hb (un )
un

(1.43)

n

Ta có θb (un ) = un , θb (vn ) = vn với mọi n ∈ N .
n

n

Vì l ∈ L nên tồn tại l ∈ P sao cho l (v)(t ) ≤ l ( v ) (t ) với t ≥ a , v ∈ Cloc ([ a, +∞[ ; R ) .
Từ (1.33), (1.41), (1.42) suy ra
t

t

vn (t ) − vn ( s ) ≤ ∫ vn′ (ξ )dξ ≤ ∫ l (vn )(ξ ) dξ +
s

s

t

t

s

s

ρ1

t

∫ F (u )(ξ ) − l (u )(ξ ) dξ
n

un

n

s

≤ ρ1 ∫ l (1)(ξ )dξ + ρ1 ∫η (ξ )dξ với a ≤ s ≤ t

(1.44)

Vì l (1) ∈ L ([ a, +∞ ) ; R+ ) , η ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ; R+ ) nên {vn } liên tục đồng bậc và bị chặn
đều trên mỗi tập con compact của [ a, +∞ ) . Theo định lí Arzelà – Ascoli, tồn tại

dãy con của {vn } hội tụ đều về v0 ∈ Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) trên mỗi khoảng con
compact của [ a, +∞[ . Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng
lim vn (t ) = v0 (t ) đều trên [ a, +∞ )

(1.45)

n →+∞

Từ (1.41) và (1.45) suy ra
v0 ≤ ρ1

(1.46)

Từ (1.42) ta suy ra
t

t

a

a

vn (t ) =
vn (a ) + ∫ vn′ ( s )ds =
vn (a ) + ∫ l (vn )( s )ds +

ρ1d n
un

t

∫ [ F (u )(s) − l (u )(s)] ds
n

n

(1.47)

a

t

t

a

a

Từ (1.45) suy ra nlim
vn (t ) = v0 (t ) và lim ∫ l (vn )( s )ds = ∫ l (v0 )( s )ds với t ≥ a .
→+∞
n →+∞
Từ (1.31), (1.32) suy ra
ρ1
un

t

∫ [ F (u )(s) − l (u )(s)] ds ≤
n

a

n

ρ1d n
un

t

∫ q ( s, u
a

n

)ds

(1.48)


16
=
ω (un ) δ n h(un ) ≤ c ( un

Từ (1.35), (1.39), (1.48) suy ra nlim
→+∞

ρ1
un

)

với mọi n ∈ N

(1.49)

t

0 với t ≥ a .
∫ [ F (u )(s) − l (u )(s)] ds =
n

n

a

Do đẳng thức trên nên từ (1.45), (1.47) suy ra
t

v=
v0 (a ) + ∫ l (v0 )( s )ds với t ≥ a
0 (t )

(1.50)

a

Ta có v0 ∈ Cloc ([ a, +∞[ ; R ) . Hơn nữa ta còn có bất đẳng thức sau
v0 (t ) − =
v0 ( s )

t

t

s

s

∫ l (v0 )(ξ )dξ ≤ ρ1 ∫ l (1)(ξ )dξ với a ≤ s ≤ t

Từ đó ta suy ra được sự tồn tại của giới hạn hữu hạn v0 (+∞) .
Từ (1.31), (1.43) suy ra
ω (vn )
=

ρ1δ n
un

 1
h(un ) ≤ ρ1δ n 
c u
 u ( n
 n



) 


với mọi n ∈ N

Từ bất đẳng thức trên, theo (1.35) và (1.45) suy ra
ω (v0 ) = 0

(1.51)

Từ (1.46), (1.50) và (1.51) suy ra v0 là nghiệm bị chặn của bài toán (1.5).
Vì bài toán (1.5) chỉ có nghiệm tầm thường nên
v0 ≡ 0

(1.52)

Với mỗi t ≥ a ta có
t

vn (t ) − vn (a ) ≤ ∫ l (vn )( s ) ds +
a

ρ1
un

t

∫ F (u )(s) − l (u )(s) ds
n

n

a

Suy ra
+∞

vn (t ) ≤ vn (a ) +

∫ l (vn )(s)ds +
a

un

t

∫ F (u )(s) − l (u )(s)ds
n

n

s

 1
l
(
v
)(
s
)
ds
+
ρ

1
∫a n
 u
 n

+∞

≤ vn (a ) +

ρ1


q
s
,
u
ds

(
)
n
∫a

t


17
 1
 t
 

≤ vn (a ) + ∫ l (vn )( s )ds + ρ1 
sup  ∫ q ( s, un ) ds : t ≥ a  
 un

 a
a
 

+∞

(1.53)

Từ (1.45) và (1.52) suy ra tồn tại n1 ∈ N thỏa mãn
vn (a ) ≤

ρ1
5

với mọi n ≥ n1

(1.54)

 1
 t
 
Từ (1.35) và (1.39) suy ra nlim
ρ1 
sup  ∫ q ( s, un ) ds : t ≥ a   =
0.
→+∞

 un



a





Do đó tồn tại n2 ∈ N thỏa mãn
 t
 ρ
sup  ∫ q ( s, un ) ds : t ≥ a  ≤ 1 với mọi n ≥ n2
un
 a
 5

ρ1

(1.55)

Vì l (1) ∈ L ([ a, +∞ ) ; R+ ) nên tồn tại a0 > a sao cho
+∞

1

∫ l (1)(s)ds ≤ 5

(1.56)

a0

Đặt M n sup { vn (t ) : t ∈ [ a, a0 ]} .
=
Từ (1.55) suy ra tồn tại n3 ∈ N sao cho M n ≤

ρ1
 a0

5 1 + ∫ l (1)( s )ds 


a



với mọi n ≥ n3 .

Với mọi n ≥ n3 ta có
+∞

a0

+∞

a0

+∞

a

a

a0

a

a0

∫ l (vn )(s)ds ≤

∫ l (vn )(s)ds +

∫ l (vn )(s)ds ≤ M n ∫ l (1)(s)ds + ρ1 ∫ l (1)(s)ds ≤

2 ρ1
5

Suy ra
+∞

∫ l (v )(s)ds ≤
n

a

2 ρ1
với mọi n ≥ n3
5

Từ (1.53) – (1.57) suy ra với n ≥ n0 =
max {n1 , n2 , n3} ta có
vn (t ) ≤

Điều này mâu thuẫn với (1.41).

ρ1
5

+

2 ρ1 ρ1 4 ρ1
+
=
< ρ1
5
5
5

(1.57)


18

Chứng minh định lí 1.6
Với các giả thiết đã cho của định lí, các điều kiện của bổ đề 1.8 được thỏa
mãn. Do đó tồn tại ρ > 0 và b0 ∈ ( a, +∞ ) sao cho với mọi b ≥ b0 , với mọi
u ∈ C 0 ([ a, +∞ ) ; R ) và δ ∈ ( 0,1) thỏa mãn (1.9), (1.10) ta có bất đẳng thức (1.11).

Theo mệnh đề 1.4 cho b0 ∈ ( a, +∞ ) sao cho bài toán (1.1 0 ), (1.2 0 ) có nghiệm ub
thỏa mãn
ub ≤ ρ

(1.36)

Theo bổ đề 1.7, tồn tại dãy {ub }n =1 ⊂ {ub }b ≥ b sao cho
+∞

n

0

lim ubn (t ) = u0 (t ) đều trên [ a, +∞ )

(1.58)

n →+∞

Trong đó u0 là nghiệm của phương trình
u′(t ) = F (u )(t ) với t ≥ a

(1.1)

ω b (ub ) = hb (ub ) với n ∈ N

(1.59)

Ta có
n

n

n

n

Vì ub là nghiệm của bài toán (1.1 0 ), (1.2 0 ) với b = bn nên ta có
n

θb (ub ) = ub
n

n

(1.60)

n

Do ω , h liên tục nên từ (1.58), (1.59), (1.60) suy ra ω (u0 ) = h(u0 ) .
Do ub ≤ ρ với mọi n ∈ N , nên từ (1.58) suy ra u0 ≤ ρ .
n

Vậy u0 là nghiệm bị chặn của bài toán (1.1), (1.2).
Định lí 1.9
Cho ω ∈ W0 , giả sử tồn tại l ∈ L sao cho bài toán (1.5) chỉ có nghiệm bị chặn là
nghiệm tầm thường, tồn tại hàm số liên tục c : R+ → R+ sao cho bất đẳng thức
(1.31) được thỏa mãn và trên tập {v ∈ C0 ([ a, +∞ ) ; R ) : ω (v) ≤ c ( v
thức (1.32), (1.33) được thỏa mãn, trong đó

)}

các bất đẳng

q ∈ K loc ([ a, +∞ ) × R+ ; R ) ,

η ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ; R+ ) và ρ1 > 0 . Giả sử thêm rằng các hàm số c và q thỏa mãn