quan hệ giữa hình học và đại số trong dạy học số phức ở lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thanh Tuyền

QUAN HỆ
GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ
TRONG DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thanh Tuyền

QUAN HỆ
GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ
TRONG DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở LỚP 12
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô :
 PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người cô đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên
cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn.
 TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh
đã tận tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc cho chúng tôi trong những ngày đầu làm
quen với Didactic toán và từ đó quý thầy cô đã truyền thụ cho chúng tôi sự say
mê, niềm hứng thú đối với chuyên ngành này.
 GS.Annie Bessot, GS.Alain Birebent đã cho chúng tôi những lời góp ý chân
thành và quý báu, giúp chúng tôi có những định hướng tốt hơn cho luận văn của
mình và có cái nhìn rộng mở đối với các vấn đề về Didactic.
Tôi xin chân thành cám ơn :
 Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo thuận lợi giúp tôi hoàn
thành luận văn này.
 Ban giám hiệu trường THCS &THPT Thuận Mỹ đã hỗ trợ về nhiều mặt giúp
tôi yên tâm tập trung cho việc học.
 Tập thể học sinh lớp 12A1 trường THCS & THPT Thuận Mỹ và trường THPT
Đoàn Thị Điểm đã nhiệt tình tham gia các buổi thực nghiệm.
 Các anh chị và các bạn cùng lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 21
đã chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập.
 Ba mẹ và anh chị trong gia đình đã luôn tin tưởng, ủng hộ và giúp đỡ cho tôi
về mọi mặt.

Lê Thị Thanh Tuyền


MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN..........................................................................................................

MỤC LỤC ...............................................................................................................
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ....................................................................
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 3
3. Khung lý thuyết tham chiếu ............................................................................... 3
3.1. Thuyết nhân học ......................................................................................... 4
3.2. Lý thuyết tình huống ................................................................................. 5
4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu ............................ 5
5. Cấu trúc luận văn ............................................................................................... 6
Chương một : SỐ PHỨC – QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ-MỘT
NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN ..................................................................... 8
1. Quan hệ giữa hình học và đại số trong lịch sử hình thành và phát triển khái
niệm số phức ........................................................................................................... 8
2. Quan hệ giữa hình học và đại số của số phức trong các giáo trình toán ở bậc
đại học ................................................................................................................... 14
2.1. Phân tích giáo trình [A] ............................................................................ 15
2.2. Phân tích giáo trình [B] ............................................................................ 27
3. Kết luận chương 1 ............................................................................................ 33
Chương hai : SỐ PHỨC – QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ- MỘT
NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ................................................................................. 34
1. Số phức trong chương trình và SGK Giải tích 12 Việt Nam ........................... 35
1.1. Mục đích của dạy học số phức ................................................................ 35
1.2. Về số phức và các khái niệm liên quan ................................................... 36


1.3. Về các phép toán trên số phức................................................................. 36
1.4. Về các dạng biểu diễn số phức và vai trò của chúng .............................. 37
1.5. Về các tổ chức toán học liên quan số phức ............................................. 41
2. Số phức trong sách Mathematiques 12 ème .................................................... 49

2.1. Về số phức và các khái niệm liên quan ................................................... 49
2.2. Về các phép toán ..................................................................................... 49
2.3. Về các kiểu nhiệm vụ .............................................................................. 50
3. Kết luận chương 2 ............................................................................................ 53
Chương ba : THỰC NGHIỆM .......................................................................... 55
1. Mục đích thực nghiệm ..................................................................................... 55
2. Hình thức thực nghiệm .................................................................................... 55
3. Xây dựng tình huống thực nghiệm .................................................................. 55
3.1. Một vài điểm tựa ...................................................................................... 55
3.2. Tiểu đồ án didactic .................................................................................. 58
3.3. Dàn dựng kịch bản................................................................................... 59
4. Phân tích tiên nghiệm ...................................................................................... 61
4.1. Biến didactic, biến tình huống và giá trị của chúng ................................ 61
4.2. Các chiến lược ........................................................................................ 67
4.3. Phân tích kịch bản .................................................................................. 67
5. Phân tích hậu nghiệm ....................................................................................... 69
6. Kết luận chương 3 ............................................................................................ 79
KẾT LUẬN CHUNG .......................................................................................... 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................
PHỤ LỤC.................................................................................................................
1.

Phụ lục 1 : Phiếu câu hỏi thực nghiệm

2. Phụ lục 2 : Phiếu làm bài của học sinh
3. Phụ lục 3 : Biên bản nhóm 2


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Tên đầy đủ

Chữ
viết tắt

[A]

Hàm biến phức và phép biến đổi Laplaxaơ, Phan Bá Ngọc

[B]

Hàm biến phức và ứng dụng, B.A. Fukxơ, B.A.Sabat

KNV

Kiểu nhiệm vụ

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

[P]

Sách Mathematiques 12 ème

[V]

Sách Giải tích 12 nâng cao

THPT

Trung học phổ thông


MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Thoạt tiên, như chúng ta đã biết, số phức xuất hiện do nhu cầu phát triển của
toán học về giải các phương trình đại số. Theo sự phát triển của mình, ngày nay
phạm vi ứng dụng của số phức được mở rộng không chỉ ở nhiều chuyên ngành
của toán học mà còn vào cả các khoa học khác.
Đối với toán phổ thông, số phức được đưa vào giảng dạy trong chương trình
toán của nhiều nước trên thế giới. Ở Việt Nam, số phức đã từng có mặt ở lớp 10
trong chương trình trước cải cách giáo dục và ở lớp 12 chương trình phân ban thí
điểm năm 1995-2000. Ngắt quãng một thời gian khá dài, số phức chính thức xuất
hiện trở lại ở lớp 12 trong chương trình toán phổ thông từ năm học 2008-2009
như một sự cần thiết để đáp ứng nhu cầu thực tiễn khoa học cũng như tiếp cận với
trình độ giáo dục phổ thông của các nước trên thế giới. Từ đó cho đến nay số
phức luôn có mặt trong các kỳ thi quốc gia như tốt nghiệp trung học phổ thông,
tuyển sinh cao đẳng và đại học. Chính tầm quan trọng đó đã thúc đẩy chúng tôi
tìm hiểu thật rõ về đối tượng tri thức này.
Số phức có thể được tiếp cận bằng những cách khác nhau.
“Coi tập hợp  là tập hợp  2 các cặp số thực [...]

 a −b 

Coi  là tập hợp các ma trận cấp hai dạng 
 (a, b là số thực) với phép toán cộng,
b a 
nhân các ma trận cấp hai [...]
Coi  là vành thương [X]

(X 2 + 1)

của vành đa thức một ẩn X (trên trường số thực)

chia cho iđêan sinh bởi đa thức X2 + 1 [...]” ([18], trang 234)

Ba cách xây dựng số phức trên khá “cao cấp” và trừu tượng đối với học sinh
THPT. Vì lẽ đó, chúng tôi chỉ xét hai cách tiếp cận số phức sau :


- Theo cách tiếp cận thứ nhất, số phức được xem là một biểu thức đại số có dạng
z = a + ib và ở đây thì các tính toán trên số phức được thực hiện theo kỹ thuật
biến đổi đa thức một biến trên trường số thực. Chúng tôi gọi đây là cách tiếp cận
đại số.
- Trong cách tiếp cận thứ hai, chúng tôi gọi là tiếp cận hình học, số phức được
biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức. Với cách tiếp cận này, những tính
chất và quan hệ trên số phức được chuyển dịch sang các quan hệ hình học, các
phép toán trên số phức liên hệ mật thiết với các phép toán về vectơ và các phép
biến hình trên mặt phẳng phức.
Câu hỏi đầu tiên mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là : Trong toán học, tại sao
lại cần có hai cách tiếp cận đó ? Chúng có quan hệ gì ? Trong thực tế dạy học

toán ngày nay, quan hệ đó được thiết lập ra sao? Những câu hỏi này là nguồn gốc
hình thành nên chủ đề nghiên cứu của chúng tôi : “Quan hệ giữa hình học và đại
số trong dạy học số phức ở lớp 12”.
“Giữa “hình” và “số”, giữa các phép biến hình và các phép biến đổi về số có quan hệ sâu
sắc…hình học trực quan hóa đại số nghĩa là làm cho những quan hệ đại số trừu tượng trở
nên có hình ảnh còn đại số cho thấy mối quan hệ sâu xa bên trong giữa những hiện tượng
hình học bề ngoài nhiều khi rất khác nhau” ([25], trang 47).

Tham khảo các tài liệu nghiên cứu về số phức, đặc biệt là các công trình
nghiên cứu trong didactic toán, chúng tôi tìm thấy hai luận văn thạc sĩ gắn với nội
dung số phức.
- “Số phức và ý nghĩa hình học trong dạy học ở chương trình phổ thông” của tác
giả Lê Thị Huyền (2010).
- “Dạy học số phức ở trường phổ thông” của tác giả Nguyễn Thị Duyên (2009).
Cả hai luận văn đều cho thấy trong thể chế dạy học ở Việt Nam thì dạng đại
số của số phức chiếm ưu thế, ý nghĩa hình học của số phức và các phép toán trên
số phức không được chú trọng, vai trò hình học của số phức khá mờ nhạt, vấn đề
liên quan phép biến hình trên mặt phẳng phức không được đưa vào tường minh.
Tuy nhiên, dường như hai luận văn trên chưa giúp cho chúng tôi hiểu rõ tính cần
thiết của cách tiếp cận hình học. Có thể thấy ngay là khái niệm môđun, argumen


tạo thuận lợi cho phép nâng lên lũy thừa một số phức và từ đó thiết lập công thức
khai căn một số phức. Thế còn việc gắn số phức với phép biến hình sẽ mang lại
lợi ích gì ?
Những ghi nhận trên khiến chúng tôi nảy sinh thêm băn khoăn “Việc thể chế
dạy học ở Việt Nam chỉ chú ý cách tiếp cận đại số mà ít chú trọng tiếp cận hình
học nói chung, cách tiếp cận qua các phép biến hình nói riêng, đã mang lại cho
học sinh ý nghĩa gì về số phức và những khái niệm liên quan? Làm thế nào để
thiết lập mối liên hệ giữa hai cách tiếp cận hình học và đại số trong dạy học số

phức ở trường phổ thông?”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm câu trả lời cho những câu hỏi được đặt ra là mục đích nhắm tới của luận
văn. Cụ thể nhiệm vụ của chúng tôi là :
- Làm rõ vai trò và mối quan hệ giữa hai cách tiếp cận đại số và hình học đối với
đối tượng số phức trong thể chế dạy học số phức ở lớp 12.
- Phân tích ảnh hưởng của sự lựa chọn thể chế lên quan niệm của học sinh đối
với đối tượng số phức.
- Xây dựng và triển khai tình huống dạy học cho phép thiết lập mối quan hệ giữa
hình học và đại số trong trường hợp số phức. Cụ thể, chúng tôi nhắm tới việc xây
dựng tình huống thể hiện mối liên hệ giữa các phép biến hình trong mặt phẳng
với phép nhân hai số phức.
3. Khung lý thuyết tham chiếu
Để có sự giải thích thỏa đáng cho những vấn đề đã nêu thì điều quan trọng
mà chúng tôi cần làm trước tiên là tìm kiếm công cụ lý thuyết làm cơ sở cho việc
đưa ra các câu trả lời đó. Và chúng tôi đã tìm những công cụ này trong phạm vi
Didactic toán bởi vì “Didactic mang lại những công cụ hữu hiệu lí giải các hiện
tượng trong giảng dạy và học tập” ([3], trang 9).
Nếu chúng tôi gọi đối tượng O là số phức; I là thể chế dạy học hiện hành ở
Việt Nam thì vấn đề về mối quan hệ giữa hai cách tiếp cận hình học và đại số
trong việc dạy học số phức ở trường phổ thông liên quan đến khái niệm quan hệ


thể chế của thuyết nhân học do Chevallard đặt nền móng. Câu hỏi “Việc thể chế
dạy học ở Việt Nam chỉ chú ý cách tiếp cận đại số mà ít chú trọng cách tiếp cận
hình học nói chung, cách tiếp cận qua các phép biến hình nói riêng, đã mang lại
cho học sinh ý nghĩa gì về số phức và những khái niệm liên quan?” liên quan đến
khái niệm quan hệ cá nhân của lý thuyết này. Cá nhân cụ thể được xét ở đây là
đối tượng học sinh đã được học về số phức. Câu hỏi “Làm thế nào để thiết lập
mối liên hệ giữa hai cách tiếp cận hình học và đại số trong dạy học số phức?” liên

quan đến khái niệm đồ án didactic của lý thuyết tình huống do Brousseau đề xuất.
Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm lược những khái niệm đó và cố gắng làm rõ
tính hợp lý của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình. Phần trình bày các khái
niệm này được trích lọc từ quyển giáo trình song ngữ Việt - Pháp “Những yếu tố
cơ bản của Didactic toán”.
3.1. Thuyết nhân học

 Quan hệ thể chế R(I, O)
Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại
mà thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở
đâu, có vai trò gì, tồn tại ra sao,… trong I.
 Quan hệ cá nhân R(X, O)
Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại
mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào
về O, có thể thao tác O ra sao,…Quan hệ cá nhân với một đối tượng O chỉ rõ cách
thức mà X biết O.
Trở lại với đối tượng O mà chúng tôi quan tâm, phân tích R(I, O) cho phép
chúng tôi rút ra được cuộc sống của O trong I từ đó chúng tôi sẽ làm rõ vai trò,
phạm vi tác động cũng như mối liên hệ của hai cách tiếp cận số phức. Đồng thời,
để tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với O thì lại cần phải nghiên
cứu R(I, O) bởi vì sự lựa chọn của thể chế đối với O ảnh hưởng trực tiếp đến
quan hệ cá nhân đối với O. Vì lẽ đó, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết phải xem
xét quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với đối tượng tri thức mà chúng tôi


quan tâm. Mặt khác, theo Bosch và Chevallard để phân tích mối quan hệ R(I, O)
thì cần phải dùng đến khái niệm tổ chức toán học.
 Tổ chức toán học (TCTH)
Một TCTH là một bộ phận gồm bốn thành phần [T, τ , θ , Θ ] trong đó T là
một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải T, θ là công nghệ giải thích cho

kỹ thuật τ , còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ .
Việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình
dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X tồn tại trong O.
Do đó, việc chúng tôi lựa chọn thuyết nhân học làm tham chiếu cho nghiên
cứu của mình dường như là hoàn toàn thỏa đáng.
3.2. Lý thuyết tình huống
 Đồ án didactic
Đồ án didactic là một hay một chuỗi tình huống dạy học do nhà nghiên cứu
didactic xây dựng. Một đồ án được thiết kế dựa trên các khái niệm cơ bản trong
lý thuyết tình huống của Brousseau, như tình huống cơ sở, biến didactic, môi
trường...
4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu
Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi cụ thể hóa các câu
hỏi ban đầu và trình bày lại thành ba câu hỏi nghiên cứu sau :
Gọi đối tượng O là số phức; I là thể chế dạy học số phức theo chương trình
nâng cao hiện hành ở Việt Nam.
CH1 : Trong I, hai cách tiếp cận đại số và hình học được trình bày ra sao? Những
mong muốn và ràng buộc nào của thể chế đối với O trong hai cách tiếp cận này?
Tổ chức toán học nào cho phép thiết lập mối liên hệ giữa chúng?
CH2 : Đặc biệt, trong cách tiếp cận hình học, những kiến thức hình học nào đã
được thể chế sử dụng để mang lại nghĩa hình học cho khái niệm số phức và các
phép toán trên tập số phức, những khái niệm thường được định nghĩa một cách
hình thức qua các biểu thức đại số ?


CH3 : Đồ án dạy học nào cho phép mang lại nghĩa hình học cho phép nhân các
số phức ?
Chúng tôi đi tìm lời giải đáp cho hai câu hỏi CH1 và CH2 thông qua việc
phân tích SGK, SBT và SGV Giải tích lớp 12 theo chương trình nâng cao. Mặt
khác, mối quan hệ thể chế với đối tượng O có thể thay đổi từ thể chế này sang thể

chế khác. Với mong muốn làm nổi rõ những đặc trưng của mối quan hệ thể chế
R(I, O), chúng tôi đặt phân tích của mình trong sự so sánh với thể chế khác đó là
thể chế dạy học của Pháp. Công cụ lý thuyết chủ yếu chúng tôi sử dụng để phân
tích là quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân và tổ chức toán học.
Tuy nhiên trước khi phân tích R(I, O), chúng tôi sẽ thực hiện một phân tích
về O ở cấp độ cao hơn. Bởi vì để tồn tại trong một thể chế nào đó thì mỗi tri thức
phải được biến đổi cho phù hợp. Chính sự biến đổi đó đã tạo nên một khoảng
cách giữa tri thức được trình bày trong SGK và tri thức bác học. Vì vậy để có sự
hiểu biết đầy đủ về O thì một phân tích O ở góc độ tri thức bác học là thật sự cần
thiết. Tuy nhiên, do hạn chế về tài liệu tham khảo đặc biệt là các tư liệu lịch sử
nên chúng tôi không thể thực hiện một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ. Do đó,
chúng tôi sẽ chỉ tiến hành nghiên cứu O thông qua việc tổng hợp các kết quả đã
có về số phức và phân tích vài giáo trình toán ở bậc đại học – nơi mà tri thức trình
bày trong đó được xem là có khoảng cách gần hơn (so với tri thức trong chương
trình, SGK phổ thông) tri thức bác học. Việc tổng hợp và phân tích các tài liệu
này nhằm trả lời cho câu hỏi :
CH0 : Về mặt toán học, cách tiếp cận số phức bằng đại số và hình học có vai trò
gì? Những tri thức toán học nào góp phần thiết lập nên mối quan hệ giữa hai cách
tiếp cận đó?
Kết quả thu được từ nghiên cứu tri thức luận và phân tích SGK sẽ là cơ sở
cho phép chúng tôi xây dựng một tiểu đồ án didactic nhằm tạo cơ hội cho học
sinh thấy rõ mối quan hệ giữa phép nhân hai số phức và phép đồng dạng trong
mặt phẳng.
5. Cấu trúc luận văn


+ Chương 1 : Số phức - Quan hệ giữa hình học và đại số – một nghiên cứu tri
thức luận.
Chúng tôi trình bày việc phân tích số phức trong các công trình nghiên cứu
đã có và trong các giáo trình toán ở bậc đại học. Qua đó, chúng tôi sẽ phải chỉ rõ :

Về mặt toán học, cách tiếp cận số phức bằng đại số và hình học có vai trò gì?
Những tri thức toán học nào góp phần thiết lập mối quan hệ giữa hai cách tiếp
cận đó?
+ Chương 2 : Số phức - Quan hệ giữa hình học và đại số – một nghiên cứu thể
chế.
Chương này là một nghiên cứu về cuộc sống của đối tượng O trong các thể
chế khác nhau. Mở đầu, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng số
phức ở lớp 12 theo chương trình và SGK hiện hành của Việt Nam. Tiếp đến là
phân tích SGK của Pháp.
+ Chương 3 : Thực nghiệm.
Ở đây, chúng tôi trình bày cách xây dựng và triển khai một tiểu đồ án
didactic. Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 12 đã học về số phức theo
chương trình nâng cao.


Chương 1

8

Chương một

SỐ PHỨC - QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ
MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN
Mở đầu
Nghiên cứu ở chương này nhằm mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi CH0.
Chúng tôi xin nhắc lại nội dung của câu hỏi này :
CH0 : Về mặt toán học, cách tiếp cận số phức bằng đại số và hình học có vai trò
gì? Những tri thức toán học nào góp phần thiết lập mối quan hệ giữa hai cách tiếp
cận đó?
Như chúng tôi đã trình bày ở phần mở đầu của luận văn, do hạn chế về tư

liệu tham khảo nên chúng tôi không thể thực hiện một nghiên cứu khoa học luận
đầy đủ. Vì vậy, chúng tôi chỉ giới hạn trong việc tổng hợp các kết quả đã có từ
một số công trình nghiên cứu khoa học luận về số phức và phân tích hai giáo
trình toán dùng ở bậc đại học. Phân tích trong chương này được xem là cơ sở
tham chiếu cho những nghiên cứu tiếp theo.
1. Quan hệ giữa hình học và đại số trong lịch sử hình thành và phát triển
khái niệm số phức
Phân tích của chúng tôi chủ yếu dựa vào các tài liệu sau :
[1] Lê Thị Hoài Châu (2008), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học
phổ thông, Trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh.
[2] Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2003), Vai trò của phân tích khoa học luận
lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn Toán, Đề tài
nghiên cứu khoa học cấp bộ, ĐHSP TP. Hồ Chí Minh.
[15] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn
Đăng Phất, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh (2009), Biến phức định lý và
áp dụng, Trường ĐH Khoa học tự nhiên - ĐH quốc gia Hà Nội.


Chương 1

9

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ XVI. Khi ấy, loài người đã biết đến số thực
cũng như cách giải phương trình bậc hai. Lúc bấy giờ chỉ có căn bậc hai của một
số thực dương là được thừa nhận. Căn bậc hai của một số thực âm có dạng như
−1, b −1,a + b −1 xuất hiện đầu tiên trong các công trình của các nhà toán học

Italia như “Ars Magna” (1545) của G.Cardano (1501-1576) và “Algebra” (1572)
của R.Bombelli (1530-1572).
Lịch sử chỉ ra rằng, Cardano đã nhắc đến các nghiệm phức khi giải một bài

toán “Tìm hai số a và b sao cho tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng
40” ([15], trang 13). Ông đã tìm được số a = 5 + −15 và số b = 5 − −15 thỏa
mãn điều kiện nhưng rõ ràng các số dạng này không tồn tại theo những kiến thức
đã có thời bấy giờ. Khi đó, ông gọi các nghiệm này là “nghiệm âm ngụy biện”.
Năm 1547, Cardano công bố phương pháp giải tổng quát phương trình bậc ba.
Xét phương trình x3 + px + q =0 (1) với p, q là hai số thực cho trước, công thức
q
2

nghiệm có dạng x = 3 − +

q2 p3 3 q
q2 p3
+
+ − −
+ . Thực chất mọi phương
4 27
2
4 27

trình bậc ba tổng quát ay3 + by2 + cy +d = 0 đều có thể đưa về dạng (1) bằng cách
đặt y = x -

1
1
1
1
b , p = c − a2 , q =
c − ab + 2a 2 . Có một khó khăn nảy sinh trong
3

3
3
27

quá trình giải là sự xuất hiện căn bậc hai của số âm. Cụ thể nếu ta gọi δ là căn
2
3
q
q
p
bậc hai của q + p và lấy u, v sao cho u 3 =− + δ ; v3 =− − δ (với uv = − ) thì x

4

27

2

= u + v là một nghiệm của phương trình (1). Nếu

2

q 2 p3
< 0 thì gặp phải căn bậc
+
4 27

hai của số thực âm. Chẳng hạn, phương trình x3 - 15x - 4 = 0 có
121, theo công thức nghiệm ta tìm được x =

3

3

q 2 p3
+
4 27

2 + −121 + 3 2 + −121 .

=-

Dựa vào

những hiểu biết tại thời điểm đó thì dường như phương trình này vô nghiệm
nhưng rõ ràng x = u + v = 2 + −121 + 2 − −121 = 4 là một nghiệm của phương
trình. Mâu thuẫn này được giải quyết bởi Bombelli. Năm 1572 trong tác phẩm
“Algebra”, ông đưa vào kí hiệu

−1 và định nghĩa các phép tính số học cho kí


Chương 1

10

hiệu mới đó. Với kí hiệu này ông đã tìm được nghiệm thực của các phương trình
bậc ba.
Như vậy, chính trong quá trình tìm nghiệm thực cho phương trình bậc ba đã
làm nảy sinh khái niệm căn bậc hai của số thực âm. Tuy chúng thực sự hữu ích

nhung chúng chưa mang một “nghĩa” xác định nào “ [...] Ở đây không có một số
mới nào xuất hiện, mà chỉ có sự nảy sinh của các “dấu” hay “cách viết” trung
gian [...]” ([2], trang 51).
Bước sang thế kỉ 17, 18, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu về những tính
chất và ứng dụng của số phức. Chẳng hạn, Euler (1707-1783) mở rộng khái niệm
logarit cho số phức bất kì (1738). Ông thay kí hiệu −1 bằng kí hiệu i, gọi nó là
đơn vị ảo và tìm ra công thức=
eix cos x + i sin x . Nhà toán học người Anh, Moivre
(1667-1754) đã nghiên cứu và giải các bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức.
Ông đưa ra công thức nổi tiếng (cos x + i sin x) n =cos nx + i sin nx .
Cho đến giai đoạn này, tuy có nhiều phát minh về số phức và cho thấy số
phức không chỉ có vai trò quan trọng trong việc giải phương trình mà còn có mối
liên hệ sâu sắc với những kiến thức toán học khác như hàm lượng giác, hàm mũ
,.. nhưng “bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo không được
hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn” ([15], trang 14). Số phức chỉ được
xem là một “kí hiệu hình thức” và đóng vai trò như một công cụ toán hữu ích. Ký
hiệu −1 là gì vẫn còn là một câu hỏi không được giải đáp “Ngay cả tên gọi và kí
hiệu i:= −1 là đơn vị ảo cũng đã gây nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn
đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì chung với số - một công cụ của phép
đếm, mặc dù người ta vẫn xem đó là kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa
i2 = -1”([15], trang 12). Thậm chí đối với nhiều nhà toán học lớn thời kì này, căn
bậc hai của số âm rất khó được chấp nhận. “Lịch sử ghi lại rằng I.Newton đã
không thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các
khái niệm số” ([15, trang 14), còn G.Leibniz (1646 – 1716) thì ví số phức như
“[…] một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có
thật” ([15], trang 14).


Chương 1

11

Vì vậy cho đến tận cuối thế kỉ 19 1 vấn đề hợp thức hóa căn bậc hai của số âm
luôn là mối bận tâm của nhiều toán học. Họ mong muốn tìm được một đối tượng
thực tế (trong toán học) để biểu diễn cho các đại lượng ảo. Lịch sử ghi nhận rằng
các nhà toán học đã giải quyết triệt để vấn đề này trong cả phạm vi đại số và hình
học.
Trong phạm vi hình học, hình ảnh của số phức trong thực tế được thể hiện
qua nhiều công trình của các nhà toán học như Jean Robert Argand (1768–1822),
Caspar Wessel (1745–1818), Mourey, John Warren…Chúng tôi chỉ quan tâm
trường hợp của Arand và Wessel.
Xét mô hình của Wessel, trước tiên, ông định nghĩa phép cộng của hai đường
đồng phẳng. Tiếp theo, ông sử dụng khái niệm độ nghiêng của một đường “Độ
nghiêng được xác định bởi góc do đường đó tạo nên với phương nằm ngang tính
từ trái sang phải” ([1], trang 95) để định nghĩa tích hai đường đồng phẳng “[...] là
một đường có độ nghiêng bằng tổng các độ nghiêng, chiều dài bằng tích các
chiều dài.” ([1], trang 95). Đơn vị ảo i được ông mô tả một cách trực quan
“Wessel quy ước kí hiệu một đoạn thẳng đơn vị đã được xác định bởi ký hiệu +1,
đoạn thẳng đơn vị đối với nó là -1. Một đoạn thẳng đơn vị khác, vuông góc với
đoạn thẳng đầu và có chung gốc thì được kí hiệu là δ . Khi đó, theo định nghĩa về
phép nhân hai đường thì δ . δ = -1, tức δ =

−1 .” ([1], trang 97).

Trong trường hợp của Argand, ông “biểu diễn các số thực trên một trục, sau
đó xét một trục vuông góc với trục thực tại O. Trên trục đó các đơn vị sẽ được ghi
là −1, − −1 .” ([1], trang 98, 99). Tiếp theo, để biểu diễn các đại lượng ảo, ông
đưa vào một khái niệm mới được gọi là “đường định hướng”. Ông quan niệm
rằng “Mọi đường thẳng, nếu song song với trục thực thì được viết là ± a , nếu
1

“Mầm mống biểu diễn hình học các đại lượng ảo đã xuất hiện trước thế kỉ 19 trong công trình

của nhà toán học J.Wallis (1616 –1703)... Ông đã cho các đại lượng ảo một ‘nghĩa” sơ khai đầu

tiên, bằng cách tổng quát “mô hình cộng” của những “được” và “mất” đã được dùng cho trường
hợp số âm...Nhưng cũng cần nhấn mạnh rằng: hình ảnh hình học sơ khai này của các đại lượng ảo
vẫn chỉ tồn tại trong tưởng tượng mà thôi.” ([2], trang 56).


Chương 1

12

vuông góc với trục thực thì được viết là ±b −1 và mọi đường thẳng của mặt
phẳng sẽ được biểu diễn ở dạng a + b −1 .” ([1], trang 99). Từ đó ông đã liên kết
khái niệm này với các đại lượng ảo và “thiết lập được sự tương ứng giữa các phép
toán trên đại lượng ảo với việc dựng hình học các đường.” ([1], trang 99).
Rõ ràng, nhờ hình học mà đại lượng ảo đã khoác lên mình một hình ảnh rất
thực tế. Tuy nhiên, nếu nhìn lại lịch sử phát triển toán học nói chung thì giai đoạn
thế kỉ XIX là giai đoạn mà khuynh hướng đại số hóa hình học nói riêng và đại số
hóa toán học nói chung đang thịnh hành và phát triển, quan niệm đại số hình thức
đang là trào lưu thời bấy giờ. Do đó việc lấy nghĩa của số phức trong phạm vi hình
học dường như không làm thỏa mãn các nhà toán học thời kì này. Họ quan niệm
“khả năng biểu diễn bằng hình học các số phức không giải quyết thực sự vấn đề
“cơ chế” của đối tượng số phức. Nói cách khác, “Số phức là gì?”, câu trả lời phải
có bản chất đại số, chúng phải được xây dựng từ chính các số thực đã biết,[...], chứ
không thể vay mượn từ một hình ảnh hình học thuần túy” ([2], trang 62).
Số phức chính thức lấy “nghĩa” trong phạm vi đại số là nhờ những đóng góp
to lớn của các nhà toán học như: Gauss (1777-1855), W.Hamilton (1805-1865) và

Cauchy (1789 – 1857).
Hamilton cho rằng có thể bắt đầu từ mặt phẳng để định nghĩa những cặp sắp
thứ tự và mỗi số phức được đồng nhất với một cặp số thực có thứ tự (a, b) thỏa
mãn :
+ Quan hệ đồng nhất : (a, b) = (c, d) ⇔ a = c và b = d
+ Phép cộng : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
+ Phép nhân : (a, b).(c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Đây thực sự là một định nghĩa thuần túy đại số của số phức. Các quy tắc tính
toán trên số phức được diễn đạt trên ngôn ngữ các thành phần là những số thực và
đơn vị ảo i chỉ là một cặp số thực (0, 1).
Gauss là người đầu tiên dùng thuật ngữ “số phức” và ông đã dùng kí hiệu
a + bi để chỉ số phức. Đồng thời, ông cũng thành công trong việc chứng minh
định lí cơ bản của đại số khẳng định trong trường số phức  mọi phương trình


Chương 1

13

đều có nghiệm. Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của
trường đại số mở rộng của trường số thực.
Trường hợp của Cauchy, trong một công trình công bố năm 1847, ông đã chỉ
ra rằng tập hợp số phức có thể được coi là vành thương của vành đa thức một ẩn
X trên trường số thực chia cho iđean sinh bởi đa thức X2 + 1.
“Với các kết quả đạt được, số phức không còn là những “đại lượng ảo”
không có nghĩa, mà là những đối tượng đại số - những đối tượng trên đó có thể
thực hiện các phép tính đại số” ([2], trang 62). Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa
là vai trò hình học của số phức mất đi. Trong định nghĩa nhân hai số phức của
Hamilton, phép tính này vừa bảo toàn tính chất của các phép toán đại số trên tập
số thực vừa giữ nguyên được ý nghĩa hình học đẹp đẽ mà Argand, Wessel,..đã chỉ

ra trước đó. Hơn nữa, trong quá trình mở rộng kết quả tính toán cho bộ ba các số
thực mà khó khăn lớn nhất là xây dựng tích của hai bộ ba thì việc trở lại với các
tính chất hình học của phép nhân số phức đóng một vai trò quan trọng “Cuối
cùng, chính bằng cách xem xét các tính chất hình học của phép nhân các số phức
mà ông đã có một bước quyết định về khám phá các quaternions 2.” (Dorier, 1994
- dẫn theo [2], trang 63).
Nhận xét :
Số phức ra đời trong phạm vi đại số nhằm tìm nghiệm của phương trình bậc
ba. Trong một khoảng thời gian dài số phức chỉ đóng vai trò là công cụ và được
xem là số ảo, số tưởng tượng. Trong quá trình đi tìm sự hợp thức cho đối tượng
này, các nhà toán học đã xem xét chúng trong những phạm vi khác nhau, có khi
là hình học có khi là đại số. Chính sự thay đổi đó đã đem lại kết quả to lớn, không
chỉ cung cấp “nghĩa” cho khái niệm số phức mà còn góp phần làm nảy sinh các
đối tượng toán học mới như vectơ, quaternions.
Về phương diện đại số, tuy các phép toán trên số phức được quy về tính toán
trên những số thực nhưng phép nhân hai số phức lại ẩn chứa một vẻ huyền bí khó
hiểu và do đó chúng cần đến sự giải thích trong phạm vi hình học.
2

Xem [2], trang 62, 63


Chương 1

14

Về phương diện hình học, mỗi số phức được biểu diễn bởi một vectơ, đơn vị
ảo i chỉ đơn giản là một vectơ đơn vị nằm trên một trục vuông góc với trục thực
Ox. Theo đó, phép cộng hai số phức được dẫn về phép cộng hai vectơ, phép nhân
hai số phức được thực hiện bằng những phép dựng hình học dựa trên cơ sở lấy

tổng các argumen và lấy tích các độ dài của hai vectơ tương ứng biểu diễn hai số
phức đã cho. Biểu diễn hình học số phức và các khái niệm vectơ, argumen chính
là những mắt xích trong sợi dây liên kết hai cách tiếp cận số phức với nhau. Đồng
thời, chính sự tác động qua lại giữa hai cách tiếp cận này đã mang đến cho chúng
ta một hệ thống số phức hoàn chỉnh về mặt toán học nhưng không hề ảo và trừu
tượng. Qua đó, chúng ta đã phần nào thấy được vai trò của sự thay đổi phạm vi

3

đối với sự phát triển của một khái niệm toán học. Mối quan hệ giữa hai phạm vi
này trong số phức còn được thể hiện ra sao và chúng có vai trò gì nữa hay không?
Chúng tôi tiếp tục đi tìm sự giải đáp qua việc phân tích một vài giáo trình toán
dùng ở bậc đại học.
2. Quan hệ giữa hình học và đại số của số phức trong các giáo trình toán ở
bậc đại học
Chúng tôi chỉ quan tâm đến hai cách tiếp cận số phức :
- Tiếp cận đại số : mỗi số phức được xem là một biểu thức đại số và các phép
toán trên số phức không khác gì những phép biến đổi đại số thông thường trên tập
số thực.
- Tiếp cận hình học : mỗi số phức là một điểm trên mặt phẳng. Khi đó, phép cộng
và phép trừ hai số phức được quy về các phép toán trên vectơ, phép nhân hai số
phức gắn liền với các phép biến hình – vốn được nghiên cứu trong hình học.
Vì lẽ đó, chúng tôi chọn phân tích một giáo trình tiếp cận số phức bằng đại số
và một giáo trình tiếp cận số phức bằng hình học.

- Phan Bá Ngọc (1996), Hàm biến phức và phép biến đổi Laplaxaơ, NXB Giáo
dục.

3

R.Douady, 1986 – dẫn theo [2], trang 64.


Chương 1

15

- B.A. Fukxo, B.A. Sabat, Trần Gia Lịch, Lê Văn Thành, Ngô Văn Lược dịch
(1969), Hàm biến phức và ứng dụng, NXB khoa học Hà Nội.
Để việc trình bày được thuận tiện, chúng tôi ký hiệu hai tài liệu trên lần lượt
là [A] và [B]. Nội dung liên quan đến số phức trong hai giáo trình này khá phong
phú. Điều này giúp chúng tôi có cái nhìn sâu rộng hơn đối với những vấn đề cần
quan tâm.
2.1. Phân tích giáo trình [A]
Trước khi định nghĩa số phức, [A] điểm qua một vài nét về sự cần thiết phải
có số phức. Bởi vì ta không thể lấy căn bậc hai của số âm đối với các số thực nên
không thể giải được mọi phương trình bậc hai và số phức xuất hiện như một cách
lắp đầy hạn chế đó của số thực. Số phức được định nghĩa :
“Ta gọi số phức là một biểu thức có dạng x + iy, trong đó x và y là những số thực, còn số
i là đơn vị ảo. Các số thực x và y lần lượt được gọi là phần thực và phần ảo của số phức
x + iy. Ta thường kí hiệu z = x + iy
x = Rez = Re(x + iy), y = Imz = Im(x + iy)”. ([A], trang 5).

Tiếp theo đó, [A] trình bày định nghĩa hai số phức bằng nhau, số phức liên
hợp và số phức đối của số phức z.
“Số phức x – iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z = x + iy và được kí hiệu là z .
Số phức –x –iy được gọi là số phức đối của số phức z = x + iy và được kí hiệu là (-z).
Hai số phức z 1 = x 1 + iy 1 và z 2 = x 2 + iy 2 được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực
bằng nhau, phần ảo bằng nhau nghĩa là x 1 = x 2 ; y 1 = y 2 . Khi đó ta viết z 1 = z 2 ”.
([A], trang 6).

Nhận xét
- Nguồn gốc của số phức trong giáo trình [A] đã được trình bày khác đi so với sự
ra đời của số phức trong tiến trình lịch sử.
- Số phức được xây dựng như một biểu thức đại số và i là kí hiệu đặc trưng cho
số phức, i không có vai trò gì khác vai trò là một biến trong biểu thức đại số các
số thực thông thường.
- Số phức được xác định khi biết hai thành phần là phần thực và phần ảo của nó.
Ta có thể xem nhân tử i bên cạnh số thực y như một dấu hiệu chỉ rõ số thực y là


Chương 1

16

thành phần thứ hai của số phức z = x + iy.
Những định nghĩa trên là cơ sở để xây dựng các phép toán cho số phức như
phép cộng, trừ, nhân, chia, phép nâng lên lũy thừa hay phép khai căn. Chẳng hạn,
“Cho hai số phức z 1 = x 1 + iy 1 và z 2 = x 2 + iy 2 . Ta gọi số phức z = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 )
là tổng của hai số phức z 1 và z 2 . Khi đó ta viết z = z 1 + z 2 ”. ([A], trang 6).

Phép trừ hai số phức được định nghĩa thông qua phép toán cộng.
“Cho hai số phức z 1 = x 1 + iy 1 và z 2 = x 2 + iy 2 , số phức z được gọi là hiệu của z 1 và z 2
nếu z + z 2 = z 1 ”. ([A], trang 6).

Tuy nhiên, để tìm hiệu của số phức z 1 và z 2 thì ta chỉ cần tính tổng của z 1 với số
phức đối của z 2 .
Phép toán nhân được trình bày như sau :
“Cho hai số phức z 1 = x 1 + iy 1 và z 2 = x 2 + iy 2 .
Ta gọi số phức z = (x 1 x 2 – y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) là tích của số phức z 1 với số phức z 2 .

Khi đó ta viết z = z 1 .z 2 ”. ([A], trang 6).

Phép chia được xem là phép toán ngược của phép nhân.
“Cho hai số phức z 1 = x 1 + iy 1 và z 2 = x 2 + iy 2 . Nếu z 2 khác 0 thì tồn tại duy nhất một số
phức z = x + iy sao cho z.z 2 = z 1 ”. ([A], trang 7).

Người ta chứng minh được rằng số phức nêu trong định lý chính là
=
z

x1 x2 + y1 y2
y x − y2 x1
và gọi z là thương của z 1 với z 2 . Trong thực hành,
+ i 1 22
2
2
x 2+y 2
x 2 + y 22

thương hai số phức có thể được tìm theo một cách khác đơn giản hơn.
“[…] nhân tử số và mẫu số của thương

x + iy1
z1
x2 − iy2 ” ([A], trang 7).
= 1
với z=
2
z2 x2 + iy2

Phép nâng lên lũy thừa bậc n của số phức z là tích của n số phức z, còn phép
khai căn bậc n chính là phép toán ngược của nó.
Nhận xét :
- Các phép toán trên số phức được định nghĩa rõ ràng. Ta biết rằng định nghĩa
phép toán cộng, nhân như trên là định nghĩa hình thức của một cấu trúc đại số.
Giáo trình [A] đã xây dựng tập hợp số phức như là một tập hợp các biểu thức đại
số.


Chương 1

17

“Do định nghĩa các phép toán về số phức vừa nêu trên, ta thấy rằng về mặt thực hành các
phép toán đại số đối với số phức vẫn được thực hiện tương tự như đối với số thực với chú
ý rằng i2 = -1”. ([A], trang 7).
- Khái niệm số phức và phép toán trên số phức trong giáo trình [A] được tiếp cận

chính trên phương diện đại số. Cách tiếp cận này đem lại nhiều thuận lợi về mặt
tính toán. Các thao tác biến đổi trên số phức được vận hành tương tự như ở số
thực. Nhược điểm của cách tiếp cận đại số là chưa lý giải được tính hình thức do
kí hiệu đơn vị ảo i mang lại.
Sau đó, [A] trình bày dạng hình học của số phức gồm biểu diễn số phức bởi
một điểm và biểu diễn số phức bởi một vectơ tự do trên mặt phẳng như một cách
khắc phục nhược điểm trên.
Như đã nói, số phức hoàn toàn được xác định khi biết phần thực và phần ảo
của nó. Điều này ngầm ẩn rằng mỗi số phức được biểu thị bởi một cặp số thực
(x, y) với x, y là các số thực tương ứng với phần thực và phần ảo của số phức đó.
Đây chính là cơ sở để xây dựng dạng biểu diễn hình học cho số phức.

 

“Cho số phức z = x + iy. Trong mặt phẳng chọn hệ trục vuông góc Ox, Oy (gọi tắt là
mặt phẳng xOy), ta xác định điểm M có hoành độ là x, tung độ là y. Điểm M được gọi là
tọa vị của số phức z. Ngược lại, cho trước điểm M trong mặt phẳng, ta biết được tọa độ
(x, y) của nó trong hệ trục xOy, do đó lập được số phức z = x +iy.
Vậy giữa tập hợp các số phức và tập hợp các điểm của mặt phẳng xOy thiết lập được
song ánh x + iy → M ( x, y )".([A], trang 9).

Về phương diện hình học, số phức z = x + iy chẳng qua là một điểm có tọa
độ (x, y). Khi đó, tập số phức được đồng nhất với tập hợp các điểm trên mặt
phẳng. Hai số phức liên hợp là hai điểm đối xứng nhau qua trục thực, hai điểm
đối xứng nhau qua gốc tọa độ tương ứng với hai số phức đối nhau.
“Hai số phức liên hợp có tọa vị đối xứng nhau qua trục thực, hai số phức đối nhau có tọa
vị đối xứng nhau qua gốc tọa độ”. ([A], trang 9).
 

Trong mặt phẳng xOy, cho vectơ v = ( x, y ) và dựng vectơ OM = v . Khi đó,

điểm M(x, y) tương ứng với số phức z = x + iy. Ngược lại, ứng với mỗi số phức




z = x + iy ta luôn tìm được tọa vị của z là điểm M(x, y), nghĩa là vectơ v = OM


Chương 1

18

cũng có tọa độ (x, y). Như vậy, số phức z = x + iy được biểu diễn bởi một vectơ
tự do có tọa độ (x, y).
Nhận xét :
- Biểu diễn hình học của số phức 4 cho ta một cách nhìn trực quan về số phức và
các khái niệm liên quan. Khi đó, các thuật ngữ “số phức z”, “điểm z”, “vectơ z”
được xem như những thuật ngữ đồng nghĩa được sử dụng để diễn tả cùng một
khái niệm toán học.
- Ngoài ra, biểu diễn hình học của số phức còn mang lại cho số phức các dạng
biểu diễn khác đặc biệt tiện lợi khi thực hiện phép nhân, chia, phép nâng lên lũy
thừa hay phép khai căn đó là dạng lượng giác và dạng mũ của số phức.
Hai khái niệm đặc trưng cho dạng lượng giác hay dạng mũ của số phức là
khái niệm môđun và argumen. Chúng được tiếp cận trên phương diện hình học.
“Cho số phức z có tọa vị là M. Ta gọi độ dài r của vectơ OM là môđun của z và kí hiệu là

z.
 
Góc lượng giác ( Ox, OM ) xác định sai khác 2kπ (k là số nguyên) được gọi là argumen
của z và kí hiệu là Argz.
 
=
r z= OM ; Argz= (Ox, OM )"

([A], trang 10)

Cách định nghĩa khái niệm môđun và argumen như trên cho thấy đây thực
chất là các khái niệm quen thuộc trong đại số vectơ và khi xét trong tập số phức
thì chúng được gọi bằng những cái tên khác.


Bằng cách chiếu vectơ OM lên hai trục tọa độ, ta dễ dàng thiết lập được sự
liên hệ giữa phần thực, phần ảo với môđun và argumen :
y
x 2 + y 2 , tan ϕ =
x r=
cos ϕ , y r sin ϕ và r =
=
.
x

Định nghĩa hai số phức bằng nhau dưới dạng lượng giác và các tính chất về
môđun được trình bày tường minh.
z 1 = z 2 khi và chỉ khi z1 = z2 và Argz1 = Argz2 + 2kπ (k ∈ Z )
4

Để thuận tiện, chúng tôi gọi biểu diễn hình học của số phức là bao gồm hai cách biểu diễn số phức bởi
một điểm và biểu diễn số phức bởi một vectơ.


Chương 1

19

=
z z=
; z. z z .
2

Từ công thức biểu diễn phần thực với phần ảo của số phức z theo môđun và
argumen của nó, ta sẽ viết được số phức z dưới dạng lượng giác :

z = x + iy =r (cos ϕ + i sin ϕ )

Dạng mũ của số phức z được suy ra từ dạng lượng giác nhờ công thức Euler :
z = x + iy = r (cos ϕ + i sin ϕ ) = r.eiϕ . Vì dạng mũ của số phức không được đề cập

trong các SGK ở Việt Nam nên chúng tôi chỉ quan tâm dạng lượng giác. Phép
nhân và chia các số phức được thực hiện dễ dàng nhờ dạng lượng giác.
“Tích của hai số phức có môđun bằng tích các môđun của thừa số và có argumen bằng
tổng các argumen của các thừa số” ([A], trang 11).
“Thương hai số phức có môđun bằng thương các môđun và có argumen bằng hiệu của
argumen của số bị chia và số chia” ([A], trang 12).

Phân tích lịch sử chỉ ra rằng biểu diễn hình học số phức đã hợp thức hóa các
đại lượng ảo và bộc lộ rõ khả năng phản ánh thực tiễn của chúng. Biểu diễn số
phức dưới dạng một vectơ cho phép ta vận dụng đồng thời kiến thức hình học và
đại số vectơ để giải các bài toán về số phức hoặc chuyển các bất đẳng thức hình
học về các bất đẳng thức chứa môđun của số phức.






  





Chẳng hạn, bất đẳng thức “ v1 + v2 ≤ v1 + v2 ; v1 −v2 ≥ v1 − v2 ” có thể chuyển về

“ z1 + z2 ≤ z1 + z2 ; z1 − z2 ≥ z1 − z2 ” ([A], trang 13). Hơn nữa, “nghĩa” của các phép
toán trên số phức giờ đây cũng được làm sáng tỏ.
Về mặt hình học, phép cộng (hoặc trừ) hai số phức được thực hiện theo quy
tắc cộng (hoặc trừ) hai vectơ tương ứng biểu diễn hai số phức đó.

“Số phức z 1 = x 1 + iy 1 biểu diễn bởi v1 ( x1 , y1 ) ; số phức z 2 = x 2 + iy 2 biểu diễn bởi



v2 ( x2 , y2 ) . Số phức z = z 1 + z 2 biểu diễn bởi vectơ v có tọa độ là x 1 + x 2 và y 1 + y 2 .
  
Như vậy v= v1 + v2 .

Tương tự, số phức z’ = z 1 – z 2 biểu diễn bởi vectơ v ' có tọa độ là x 1 – x 2 và y 1 – y 2 .
  
Như vậy v=' v1 − v2 ” ([A], trang 13).