siêu lọc và một số tính chất liên quan đến tính compact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đinh Nguyễn Đông Triều

SIÊU LỌC VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT
LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đinh Nguyễn Đông Triều

SIÊU LỌC VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN
QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT

Chuyên ngành : Hình Học và Tôpô
Mã số

: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014


LỜI CÁM ƠN
Luận văn thạc sĩ này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
TS.Nguyễn Trọng Hòa. Trong quá trình viết luận văn, Thầy đã nhiệt tình, tận
tụy, chỉ dạy tôi biết cách đọc tài liệu, biết phương pháp viết luận văn và nghiên
cứu khoa học. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, tôi xin
chúc Thầy cùng gia đình sức khỏe dồi dào và thành công trong sự nghiệp giáo
dục.
Tôi xin trân trọng cảm ơn:
+ TS.Nguyễn Hà Thanh, trong suốt thời gian tôi học cao học và làm luận văn
Thầy đã hết sức nhiệt tình dạy bảo, động viên, nhắc nhở tôi học tập và làm
tốt luận văn. Tôi xin chân thành biết ơn Thầy, xin chúc Thầy cùng gia
đình sức khỏe dồi dào, thành công trong sự nghiệp giáo dục và đạt được
nhiều kết quả trong công trình nghiên cứu.
+ Quí Thầy cô Phòng Sau đại học và Khoa Toán - tin Trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi học tập trong hai năm qua.
+ Giáo sư Y.F Ortiz-Castillo giảng dạy tại Đại Học Auburn, tiểu bang
Alabama, Hoa Kì và giáo sư Á. Tamariz-Mascarúa giảng dạy tại Đại
Học Benema Erita, Autônoda De Pebla, Tây Ban Nha. Hai vị giáo sư đã
cung cấp tài liệu quan trọng cho tôi để hoàn thành luận văn này.
+ Bạn bè trong lớp Hình học và tôpô K23, bạn Lê Hoàng Lâm, Hồ Thị Thu
Hà, Nguyễn Thanh Hải, Huỳnh Phương Nam. Đặc biệt là thạc sĩ Lê Anh
Nhân đã chia sẽ với tôi rất nhiều về kinh nghiệm học tập và viết luận văn
Đinh Nguyễn Đông Triều.


MỤC LỤC

Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu đề tài .................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.......................................................... 3
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài .............................................. 3
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................. 4
1.1. Không gian tôpô ................................................................................... 4
1.2. Không gian compact ............................................................................ 7
1.3. Lưới, lọc, các ánh xạ liên quan ........................................................... 9
1.4. Không gian p − compact, không gian giả compact, không gian p − giả
compact, không gian ω − bị chặn................................................................. 12
CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN p − COMPACT MẠNH ..................................... 17
2.1. Không gian p − compact mạnh ......................................................... 17
2.2. Ảnh, nghịch ảnh và tích của không gian p − compact mạnh ......... 26
CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN p − GIẢ COMPACT MẠNH VÀ ...................... 33
KHÔNG GIAN GIẢ − ω − BỊ CHẶN ................................................................ 33
3.1. Không gian p − giả compact mạnh và không gian giả − ω − bị chặn33


3.2. Không gian p − giả compact mạnh và tiền thứ tự Rudin-Keisler trên

β

40

3.3. Không gian p − giả −ω − bị chặn và không gian hầu giả −ω − bị chặn.
44

CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN GIẢ − D − BỊ CHẶN VÀ KHÔNG GIAN D −
COMPACT MẠNH ............................................................................................ 47
4.1. Không gian giả − D − bị chặn .............................................................. 47
4.2. Không gian D − compact mạnh ........................................................ 49
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 55


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU TRONG LUẬN VĂN
 : không gian số tự nhiên.

β  : compact-hóa Stone- C ech của  (mỗi phần tử của β  là một siêu

lọc trên  )
* = β  \  : Tập các siêu lọc tự do trên  .

C ( X , Y ) : Tập các ánh liên tục từ không gian X vào không Y .
ω : số cardinal vô hạn.

ω1 : số cardinal không điếm được.
A : lực lương tập A .
X ω :=
ω} .
{A ⊆ X : A =
X <ω :=
{ A ⊆ X : A < ω} .

Cl ( A ) : bao đóng của tập A .

Ind ( A ) : phần trong của tập A .

≤ RK : bé hơn hoặc bằng theo tiền thứ tự Rudin-Keisler.

≈ RK : tương đương theo tiền thứ tự Rudin-Keisler.

∏

s∈S

X s : tích Đề-các của những tập không rỗng X s .

π s : phép chiếu từ X = ∏ s∈S X s vào X s .
x= p − lim xn : là điểm p − giới hạn của dãy ( xn )n∈ trong X .

L ( p, (U n )n∈ ) : tập các điểm p − giới hạn của dãy tập khác rỗng (U n )n∈
trong X .


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học − tôpô là một chuyên ngành của toán học được sự quan tâm
của nhiều nhà toán học trên thế giới. Ứng dụng của nó đã lan tỏa vào nhiều
ngành khoa học khác nhau. Như đã biết, nghiên cứu một tính chất tôpô cụ
thể mà nó bất biến qua ánh xạ như liên tục, ánh xạ hoàn chỉnh, đồng phôi...
là một trong những bài toán cơ bản được sự quan tâm của nhiều nhà toán
học, chẳng hạn như tính compact.
Những năm của thập niên 60 của thế kỉ trước cho đến nay những mở
rộng về tính chất compact là một trong những vấn đề quan tâm của rất
nhiều nhà toán học trên thế giới. Các mở rộng không gian compact có thể

kể đến như: paracompact, σ − compact, realcompact, p − compact, giả
compact, p − giả compact, p − compact mạnh, D − compact mạnh, ω − bị
chặn, giả −ω − bị chặn, giả − D − bị chặn, p − giả −ω − bị chặn, hầu giả −ω −
bị chặn.
Như đã biết năm 1970 A.Bernstein người đầu tiên đưa ra khái niệm
p − giới hạn của dãy điểm ( p là siêu lọc trên  ) và từ đó định nghĩa

không gian p − compact và siêu compact.
Năm 1975 John Ginburg và Victor Sark đưa ra khái niệm p − giới hạn
của dãy tập khác rỗng và từ đó định nghĩa không gian giả compact, p − giả
compact.
Năm 1993 S.García-Ferreira nghiên cứu sâu về không gian p −
compact.
Năm 1994 S.García-Ferreira nghiên cứu sâu về không gian giả compact
và p − giả compact.


2
Năm 1999 M.Sanchis, Á. Tamariz-Mascarúa nghiên cứu mối quan hệ
các không gian p − compact, p − giả compact, siêu giả compact, p − bị
chặn.
Năm 2012 J.Angoa, Y. Ortiz-Castillo, Á. Tamariz-Mascarúa nghiên
cứu mối quan hệ không gian p − compact với không gian paracompact và
không gian ω − bị chặn.
Đặc biệt năm 2013 J.Angoa, Y. Ortiz-Castillo, Á. Tamariz-Mascarúa
đưa ra các định nghĩa không gian p − giả compact mạnh, giả −ω − bị chặn,

D − compact mạnh ( D là tập các siêu lọc trên  ), giả − D − bị chặn và tìm
thấy mối liên hệ với không gian p − compact và p − giả compact mạnh.
Đến đầu năm 2014 J.Angoa, Y. Ortiz-Castillo, Á. Tamariz-Mascarúa

đưa ra những nghiên cứu sâu hơn về không gian p − giả compact mạnh,
giả −ω − bị chặn, D − compact mạnh, giả − D − bị chặn, đồng thời đưa ra
định nghĩa và nghiên cứu không gian p − giả −ω − bị chặn, hầu giả −ω − bị
chặn.
Như vậy, chúng ta thấy mở rộng tính compact là đề tài hấp dẫn, có tính
thời sự và được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Do đó, tôi chọn đề tài
“Siêu lọc và một số tính chất liên quan đến tính compact” làm luận văn tốt
nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Tìm hướng nghiên cứu mới về tính compact.
Giải quyết một lớp bài toán tôpô tổng quát như:
+) Tính bất biến tôpô qua: ánh xạ liên tục, ánh xạ hoàn chỉnh, toàn ánh
liên tục...., phép lấy tích trong không gian p − compact mạnh, p − compact
giả mạnh, giả − ω − bị chặn, p − giả −ω − bị chặn, hầu giả −ω − bị chặn, D −
compact mạnh và giả − D − bị chặn.


3
+) Tính di truyền, tính trù mật của các tập con trong không gian p −
compact mạnh, p − giả compact mạnh, giả − ω − bị chặn.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các không gian p − compact mạnh, p − giả compact mạnh,
giả − ω − bị chặn, p − giả −ω − bị chặn, hầu giả −ω − bị chặn, D − compact
mạnh và giả − D − bị chặn.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Trong không gian compact với cách đưa khái niệm lưới, lọc ta có thể mở
rộng khái niệm compact thành các khái niệm tổng quát hơn như giảcompact, p − compact, p − giả compact....nhằm giải quyết các bài toán
tôpô tổng quát hơn.

4

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa và định lí, bổ đề
và làm cơ sở khoa học để trình bày các chương sau. Nội dung chương này chúng
tôi trình bày từ cơ bản đến chuyên sâu như sau: phần một là không gian tôpô,
phần hai là không gian compact, phần ba là lưới, lọc, các ánh xạ liên quan, phần
bốn là các không gian p − compact, không gian p − giả compact, không gian giả
compact, không gian ω − bị chặn.
1.1. Không gian tôpô
1.1.1. Định nghĩa
Một không gian tôpô là cặp ( X , ) bao gồm tập X và họ  các tập
con của X thỏa các điều kiện sau đây:
(O 1 ) ∅ ∈ , X ∈ .
(O 2 ) U1 ,U 2 ∈ ⇒ U1 ∩ U 2 ∈.
(O 3 ) U i ∈ ⇒  U i ∈ .
i∈I

Tập X gọi là một không gian, những phần tử của X gọi là những điểm
của không gian X . Và mọi tập con của X thuộc về  gọi là mở của
không gian X . Họ  của những tập con mở của X , được gọi là tôpô
trên X .
1.1.2. Định nghĩa
Cho X là một không gian tôpô. Tập U ⊂ X gọi là lân cận của điểm x ,
x ∈ X nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ U .


5
1.1.3. Định nghĩa
Họ các lân cận của một điểm x trong một không gian tôpô X được

gọi là hệ lân cận của x trong không gian đó. Kí hiệu hệ lân cận của x
là

ux

1.1.4. Định nghĩa
Một họ con  của

ux

được gọi là cơ sở lân cận hay cơ sở địa phương

của không gian X tại điểm x nếu với mỗi U ∈ u x tồn tại một V ∈
 sao cho V ⊂ U .
1.1.5. Định nghĩa
Tập A trong không gian tôpô X được gọi là trù mật khắp nơi nếu mọi
điểm trong X đều là điểm dính của A . (Nghĩa là ∀x ∈ X ,và ∀U mở
chứa x ⇒ U ∩ A ≠ ∅ ).
1.1.6. Định nghĩa
Một tính chất P của một không gian tôpô X gọi là tính di truyền nếu
mọi không gian con của X đều có tính chất P .
1.1.7. Định nghĩa
Cho X và Y là hai không gian tôpô và một ánh xạ f : X → Y . Ánh xạ

f gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi lân cận V của f ( x ) trong Y tồn
tại lân cận U của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V .
Ánh xạ

f

gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X .

Ánh xạ f gọi là đồng phôi nếu f là song ánh và cả hai ánh xạ f , f −1
liên tục.


6
1.1.8. Định nghĩa
Cho hai không gian tôpô X , Y , ánh xạ f : X → Y gọi là đóng nếu mỗi
B ⊂ Y và mỗi tập mở A ⊂ X chứa f −1 ( B ) thì tồn tại tập mở C ⊂ Y

sao cho f −1 ( C ) ⊂ A .
1.1.9. Tiên đề T0
Một không gian tôpô X được gọi là một T0 − không gian nếu với mỗi
cặp điểm khác nhau x1 , x2 ∈ X , tồn tại một tập mở chứa điểm này
nhưng không chứa điểm kia.
1.1.10 . Tiên đề T1
Một không gian tôpô X được gọi là một T1 − không gian nếu với mỗi
cặp điểm khác nhau x1 , x2 ∈ X , tồn tại hai tập mở U ,V ⊆ X sao cho

x1 ∈U , x2 ∉U và x2 ∈V , x1 ∉V .
1.1.11 . Tiên đề T2
Một không gian tôpô X được gọi là một T2 − không gian hay không
gian Hausdorff nếu với mỗi cặp điểm khác nhau x1 , x2 ∈ X , tồn tại hai
tập mở U ,V ⊆ X sao cho x1 ∈U , x2 ∈V và U ∩ V =
∅.
1.1.12 . Tiên đề T3
Một không gian tôpô X được gọi là một T3 − không gian hay không
gian chính qui, nếu X là T1 − không gian, với mỗi x ∈ X và mỗi tập
đóng F ⊂ X , x ∉ F , tồn tại hai tập mở U1 ,U 2 sao cho x ∈U1 , F ⊂ U 2

và U1 ∩ U 2 ≠ ∅ .


7
1.1.13 . Tiên đề T 1
3

2

Một không gian tôpô X được gọi là một T 1 − không gian hay không
3

2

gian Tychonoff nếu X là T1 − không gian, với mọi x ∈ X và mọi tập
đóng

F ⊂ X , x∉F ,

tồn

tại

một

hàm

liên

tục

f :X →I

( f ( x) ∈ [0,1] ∀x ∈ X ,[0,1] ⊆ I ⊆  ) sao cho f ( x ) = 0 , f ( y ) = 1∀y ∈ F .
1.1.14 . Tiên đề T4
Một không gian tôpô X được gọi là một T4 − không gian hay không
gian chuẩn tắc nếu X là T1 − không gian và mỗi cặp tập con đóng rời
nhau A, B ⊂ X , tồn tại hai tập mở U ,V sao cho A ⊂ U , B ⊂ V và
U ∩V =
∅.

1.2. Không gian compact
1.2.1. Định nghĩa
Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu X là
không gian Hausdorff và mọi phủ mở của X có phủ con hữu hạn.
Nghĩa là nếu có một phủ mở {U s }s∈S trong không gian X thì tồn tại
tập hữu hạn {s1 , s2 ,....., sk } ⊂ S sao cho X = U s1 ∪ U s2 ∪ ... ∪ U sk .
1.2.2. Định lí
Một không gian Hausdorff X là không gian compact nếu và chỉ nếu
mọi họ tập đóng của X có tính giao hữu hạn và có giao khác trống.
1.2.3. Định lí
Mỗi không gian con đóng của không gian compact là compact.


8
1.2.4. Định lí
Mỗi không gian compact là chuẩn tắc.
1.2.5. Định lí
Nếu tồn tại một toàn ánh liên tục f : X → Y , của không gian compact
X vào không gian Hausdorff Y thì Y là không gian compact.

1.2.6. Định lí
Cho A là một không gian con trù mật trong không gian tôpô X và f
là ánh xạ liên tục từ A vào không gian compact Y . Ánh xạ f thác
triển liên tục trên X nếu và chỉ nếu mọi cặp tập đóng rời nhau

B1 , B2 ∈ Y có nghịch ảnh f −1 ( B1 ) , f −1 ( B2 ) là hai bao đóng rời nhau
trong X .
1.2.7. Định lí Tychonoff
Tích Đề-các

∏

s∈S

X s (trong đó X s ≠ ∅ , ∀s ∈ S ) là compact nếu và

chỉ nếu mọi không gian X s compact.
1.2.8. Định nghĩa
Một không gian tôpô được gọi là compact địa phương nếu mọi x ∈ X
tồn tại lân cận U của điểm x sao cho U là không gian con compact
của X .
1.2.9. Định lí
Mỗi không gian compact địa phương là không gian Tychonoff.


9
1.2.10. Định lí
Nếu tồn tại ánh xạ mở f : X → Y của không gian compact địa phương

X lên không gian Hausdorff Y thì Y là không gian compact địa
phương.
1.3. Lưới, lọc, các ánh xạ liên quan
1.3.1. Định nghĩa
Một lưới trong trong không gian tôpô X là một ánh xạ bất kì từ tập có

{ xδ ,δ ∈ ∑} . Trong

=
S
hướng khác rỗng vào X . Lưới được kí hiệu là

đó Σ tập có hướng, hai phần tử δ1 , δ 2 thuộc Σ luôn so sánh được kí
hiệu là δ1 ≥ δ 2 . Mỗi điểm x trong X được gán với phần tử δ trong tập
có hướng Σ , ta viết xδ .
1.3.2. Khái niệm

=
S
Một điểm x ∈ X được gọi là điểm giới hạn lưới

{ xδ ,δ ∈ ∑}

trong

X nếu mọi lân cận U của x tồn tại δ 0 ∈ ∑ sao cho xδ ∈U , ∀δ ≥ δ 0 .

Ta nói lưới S hội tụ về x . Một lưới có thể hội tụ về nhiều điểm. Tập
các giới hạn của lưới S kí hiệu là limS hoặc lim xδ . Nếu lưới S có
δ ∈∑

đúng một điểm giới hạn x khi đó ta viết x = limS hoặc x = lim xδ .
δ ∈∑

1.3.3. Định nghĩa

=
S
Một điểm x được gọi là điểm tụ của của lưới

{ xδ ,δ ∈ ∑} nếu mọi

lân cận U của x và mọi δ 0 ∈ ∑ tồn tại một δ ≥ δ 0 sao cho xδ ∈U .
1.3.4. Định lí
Một không gian Hausdorff X là compact nếu và chỉ nếu mỗi lưới
trong X có một điểm tụ.


10
1.3.5. Định nghĩa
Cho một họ F ≠ ∅ các tập con của X được gọi là lọc trong X nếu F
thỏa các điều kiện dưới đây:
a)

A∈ F ⇒ A ≠ ∅ .

b) A1 , A2 ∈ F ⇒ A1 ∩ A2 ∈ F .
c)

A ⊂ B, A ∈ F ⇒ B ∈ F .

1.3.6. Định nghĩa
Lọc F trong X được gọi là siêu lọc nếu F là lọc tối đại nghĩa là:
( F ' là lọc trong X , F ⊂ F ' ) ⇒ F =
F'.
1.3.7. Định nghĩa
Cho X là một tập hợp, x là một phần tử của X , tập Fx = { A ⊂ X :

x ∈ A} là lọc trên X và được gọi là lọc chính trên X tại x .
1.3.8. Định nghĩa
Cho không gian tôpô X , F là lọc trong X và điểm x nằm trong X .
Ta nói rằng F hội tụ về x nếu mọi lân cận của x đều thuộc F và ta
viết là F → x . Nếu F hội tụ về điểm x trong X thì x gọi là “điểm
giới hạn của F ” và ta viết x = lim F .
1.3.9. Định nghĩa
Một điểm x được gọi là điểm tụ của lọc F nếu x thuộc về bao đóng
của mọi tập con của F .
1.3.10. Định lí
Một không gian tôpô X là không gian Hausdorff nếu và chỉ nếu mỗi
lọc trong X có nhiều nhất một điểm giới hạn.


11
1.3.11. Định lí
Một không gian Hausdorff là compact nếu và chỉ nếu mọi lọc trong X
có một điểm tụ.
1.3.12. Nhận xét
Có hai loại siêu lọc khác nhau trên  siêu lọc chính và siêu lọc tự do.
+) Siêu lọc chính là siêu lọc chứa số không.
+) Không là siêu lọc chính là siêu tự do.

1.3.13. Định lí
Cho lọc F trên tập X . Ta có các phát biểu sau là tương đương:
a) F là một siêu lọc.

AC X \ A ∈ F .
b) Với mỗi A ⊂ X : A ∈ F hoặc=
c) Với mỗi phủ mở hữu hạn { Ai }i =1 của tập A ∈ F , Ai ∈ F với i nào đó
n

1.3.14. Định nghĩa
Đặt β  là tập các siêu lọc trên  . Ta đồng nhất  với một tập con
của β  , tương ứng với mỗi n ta đồng nhất với siêu lọc chính Fn tại n
.
Ta kí hiệu: * = β  \  là tập các siêu lọc tự do trên  .
1.3.15. Định nghĩa
Cho X là không gian tôpô và Y là không gian compact, c : X → Y là
đồng phôi nhúng từ X vào Y sao cho c ( X ) = Y . Cặp (Y , c ) được gọi
là compact hóa của không gian X .
1.3.16. Định lí
X có compact hóa nếu và chỉ nếu X là không gian Tychonoff.


12
1.3.17. Định nghĩa


Compact hóa Stone- Cech là kĩ thuật xây dựng ánh xạ phổ dụng từ

không gian tôpô X vào không gian compact Hausdorff β X . Compact


hóa Stone- Cech β X của không gian tôpô X là không gian compact
Hausdorff tối đại sinh bởi X .
1.3.18. Định lí Ginsburg và Saks
Cho X , Y là hai không gian tôpô, f ∈ C ( X , Y ) .
Ta gọi f : β X → β Y là ánh xạ thác triển của f .
Khi đó: f ∈ C ( β X , β Y ) và f

X

=f .

1.3.19. Định lí
 trù mật trong β  .

1.3.20. Định nghĩa
Một ánh xạ liên tục f : X → Y gọi là hoàn chỉnh nếu X là không gian
Hausdorff , f là ánh xạ đóng và mọi thớ f −1 ( y ) là tập compact con X.
1.3.21. Định nghĩa
Một ánh xạ f trên tập S được gọi là phép biến đổi bất biến dưới T của

=
S vào chính nó, nếu f (TX
) f ( X ), ∀X ∈ S .
1.4. Không gian p − compact, không gian giả compact, không gian
p − giả compact, không gian ω − bị chặn

1.4.1. Định nghĩa
Cho p là một siêu lọc trên  và X là một không gian tôpô, ( xn )n∈ là
dãy điểm trong X . Một điểm x ∈ X gọi là p − giới hạn của dãy điểm

13

( xn )n∈ , nếu mọi lân cận W

của x sao cho {n : xn ∈W } ∈ p (tập chỉ số

thuộc p ). Dãy điểm ( xn )n∈ trong X có điểm x ∈ X gọi là p − giới
hạn, khi đó x là duy nhất và ta kí hiệu: x= p − lim xn (hay kí hiệu
n→∞

x= p − limxn ).
1.4.2. Định nghĩa
Cho X là không gian tôpô và { xn : n ∈ }} ⊆ X . Khi đó x ∈ X là điểm
tụ của dãy { xn : n ∈ }} nếu có p ∈ * sao cho x= p − lim xn .
1.4.3. Định nghĩa
Cho siêu lọc tự do p trên  . Một không gian Tychonoff X là p −
compact nếu mọi dãy điểm trong X có một điểm p − giới hạn.
1.4.4. Bổ đề
Với mỗi p ∈ * , không gian p − compact có tính chất sau :
+ Mỗi không gian compact là không gian p − compact.
+ Tích các không gian p − compact là không gian p − compact.
+ Các tập con đóng trong không gian p − compact di truyền tất cả
các tính chất của không gian này.
1.4.5. Định nghĩa
Cho siêu lọc p ∈ * , một dãy tập con khác rỗng (U n )n∈ của không
gian tôpô X , ta nói rằng một điểm x ∈ X được gọi là điểm p − giới
hạn

của

dãy

(U n )n∈

nếu

mọi

{n ∈ } : W ∩ U n ≠ ∅} ∈ p (tập chỉ số thuộc

lân

p ).

cận

W

của

x

thì


14

(

)

Chú ý: Ta gọi L p, (U n )n∈ là tập chứa các điểm p − giới hạn của dãy

(U n )n∈ thì L ( p, (U n )n∈ ) là tập đóng khác rỗng nhiều hơn một phần tử.
1.4.6. Định nghĩa
Một không gian Tychonoff X là giả compact nếu mọi dãy tập con mở

(

)

khác rỗng {U n : n ∈ }} của X có p ∈ * sao cho L p, (U n )n∈ ≠ ∅ .
1.4.7. Định nghĩa
Một không gian Tychonoff X được gọi là giả compact nếu mỗi hàm
số liên tục f : X →  thì bị chặn.
1.4.8. Định lí
Mỗi không gian Tychonoff compact đếm được là không gian giả
compact.
1.4.9. Định lí
Nếu có ánh xạ liên tục f : X → Y của không gian giả compact X lên
không gian Tychonoff Y thì Y là không gian giả compact.
1.4.10. Định nghĩa
Cho p ∈ * , không gian Tychonoff X được gọi là p − giả compact
nếu mọi dãy tập con mở khác rỗng của X có một điểm p − giới hạn.
1.4.11. Định nghĩa
1) Cho siêu lọc p ∈ * . Một không gian Tychonoff Y con không gian
Tychonoff X được gọi là p − bị chặn trong X nếu mọi dãy tập con

15
mở khác rỗng (Vn )n<ω trong X với Vn ∩ Y ≠ ∅ , ∀n ∈  , có x ∈ X là
điểm p − giới hạn của dãy (Vn )n<ω .
2) Nếu X là p − bị chặn trên chính nó thì X là p − giả compact.
1.4.12. Định lí
Cho p ∈ * , khi đó:
+ Mỗi không gian p − giả compact là giả − compact.
+ Cho hai không gian Tychonoff X , Y nếu ánh xạ f : X → Y liên tục

(

)

thì f  L p, (U n )n∈  ⊆ L ( p,( f [U n ]) n∈ ) . Trong đó (U n )n∈ là dãy tập
con khác rỗng của không gian X .
+ Cho hai không gian Tychonoff X , Y nếu ánh xạ f : X → Y liên tục
và B là p − bị chặn trong X thì f ( B ) bị chặn trong Y .
1.4.13. Định lí
Không gian tích

∏X
i∈I

i

là p − giả compact nếu mọi không gian X i là

p − giả compact ∀i ∈ I .
1.4.14. Định nghĩa
Cho X là không gian Tychonoff, ω là số cardinal vô hạn.

Không gian X là ω − bị chặn nếu mỗi tập con A ∈ [ X ]≤ω bị chứa
trong tập compact con X (trong đó [ X ]≤ω =∈
{ A X : A ≤ ω} ).
1.4.15. Định nghĩa
Cho mỗi số cardinal m , số 2m , cũng kí hiệu bởi exp m , được định
nghĩa như là lực lượng của họ tập con của X thỏa X = m .


16
1.4.16. Định nghĩa
Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X , x được gọi là P − điểm nếu



với bất kì họ tập đếm được (U n )n∈ , lân cận của x , ta có x ∈ int  U n 
 n

.
1.4.17. Định nghĩa
Cho X là không gian Tychonoff . Điểm x ∈ X được gọi là P − điểm
yếu nếu không là điểm tụ của bất kì tập con đếm được nào của X .
1.4.18. Định lí
Nếu X là T1 − không gian thì mỗi P − điểm là P − điểm yếu.
1.4.19. Kí hiệu
Cho tập hợp S . Ta kí hiệu là: P( S ) là tập tất cả tập con của S .
1.4.20. Định nghĩa
Cho một tập hợp S và ánh xạ ϕ : P( S ) → P( S ) ), tập A ⊆ S là tập đóng




chính qui của S nếu A = ϕϕ ( A ) . Trong đó ánh xạ ϕ được định nghĩa:




ϕ : P( S ) → P( S ) sao cho ϕ ( A ) = S \ ϕ ( S \ A ) cho mỗi A ∈ P( S ) .


17

CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN p − COMPACT MẠNH
Một trong những mở rộng của tính compact là tính p − compact mạnh. Trong
không gian p − compact mạnh để khảo sát sự hội tụ người ta định nghĩa hội tụ
theo siêu lọc tự do p trên  . Do đó, ta thấy điều kiện hội tụ trên không gian này
mạnh hơn trên không gian compact và chính điều này giúp ta mở rộng các kết
quả trong không gian compact. Khi nghiên cứu không gian p − compact mạnh ta
nghiên cứu các tính chất có cấu trúc giống như trong không gian compact bao
gồm nghiên cứu tính chất bất biến qua: ánh xạ liên tục, ánh xạ hoàn chỉnh, đồng
phôi, phép lấy tích.....và nghiên cứu tính đóng, mở, tính di truyền, tính trù mật
của các tập con.
2.1. Không gian p − compact mạnh
2.1.1. Định nghĩa
Cho p ∈ * . Ta nói một không gian X là p − compact mạnh nếu X
là p − giả compact và với mỗi dãy điểm ( xn )n∈ trong X , tồn tại dãy
tập mở (U n )n∈ của X , xn ∈U n ∀n ∈  , sao cho L( p,(U n ) n∈ ) là
không gian con compact khác rỗng của X .
Trước khi nghiên cứu không gian p − compact mạnh, ta xét bổ đề chỉ ra
dấu hiệu nhận biết không gian p − compact. Bổ đề này có tính chất then
chốt để chúng ta nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian p − compact

mạnh và không gian p − compact . Ta có bổ đề sau:
2.1.2. Bổ Đề
Cho p ∈ * . Những tính chất sau là tương đương trong không gian
tôpô X :


18
(1) X là p − compact.

(U n )n∈

(2) Cho mỗi dãy tập con khác rỗng

(

của

X

thì

)

L p, (U n )n∈ ≠ ∅.

(3) Cho mỗi dãy tập con đóng khác rỗng

(

( Dn )n∈

của X thì

)

L p, ( Dn )n∈ ≠ ∅ .

(

(4) Cho mỗi dãy tập con khác rỗng (U n )n∈ của X , ta có L p, (U n )n∈

)

là khác rỗng và với mỗi V mở trong X thỏa :

{x =

p − lim xn : xn ∈U n ∀n ∈ }} ⊆ V thì {n ∈ } : U n ⊆ V } ∈ p .

Chứng minh: Dễ thấy các khẳng định trên là tương đương ngoại trừ

(1 ⇒ 4 ) . Giả sử rằng có dãy (U n )n∈ , là dãy các tập mở khác rỗng nằm
trong X và giả sử V là tập mở con X sao cho:

{x =

p − lim xn : xn ∈U n ∀n ∈ }} ⊆ V và {n ∈ } : U n ⊆ V } ∉ p .

Cụ thể, tập A =∈
{n } : U n ∉V } . Lấy xn ∈U n \ V nếu n ∈ A và xn ∈U n

nếu n ∉ A . Do X là không gian p − compact, có z ∈ X sao cho

z= p − lim xn .

Với

mỗi

n∈ ,

z ∈ { x = p − limxn : xn ∈U n ∀n ∈ }} ⊆ V . Hơn

A . Do p ∈ *
{n ∈ } : xn ∉V } =

xn ∈U n ,
nữa,

như

thế

từ định

nghĩa,

là siêu lọc , {n ∈ } : xn ∈U } ∉ p điều này

là mâu thuẫn. 
Cho không gian tôpô X , với p ∈ * . Mỗi dãy tập (U n )n∈ trong X và

dãy điểm ( xn )n∈ sao cho xn ∈U n , ∀n ∈  . Câu hỏi đặt ra liệu có mối
liên hệ nào giữa không gian p − giới hạn của dãy tập (U n )n∈ này và
điểm p − giới hạn của dãy điểm ( xn )n∈ này không? Như đã giới thiệu


19

(

)

trong chương 1 chúng ta có tập L p, (U n )n∈ ≠ ∅ là đóng và nhiều hơn

(

)

một phần tử. Một cách cụ thể hơn ta chứng minh tập L p, (U n )n∈ ≠ ∅
bằng bao đóng của điểm p − giới hạn của dãy điểm

{ xn }n∈}

thỏa

xn ∈U n , ∀n ∈  . Hơn nữa ta có mệnh đề sau:
2.1.3. Mệnh Đề
Cho A ∈ p ∈ * . Nếu X là một không gian p − compact, thì với mỗi
dãy tập con mở khác rỗng (U n )n∈ của X ta có:

(

)

L p, (U n )n∈} = Cl ({ x = p − lim xn : xn ∈U n ∀n ∈ }})

= Cl ({ x = p − lim xn : xn ∈U n ∀n ∈ A}) (i)
Chứng minh: Cho A ∈ p ∈ * , khi đó:

{x =

p − lim xn : xn ∈U n , ∀n ∈ }} =

{x =

p − lim xn : xn ∈U n , ∀n ∈ A}

Như thế, phương trình thứ hai của (i) là hiển nhiên. Đặt

T=

{x =

(

p − lim xn : xn ∈U n , ∀n ∈ }} .

)

(
)

L ( p, (U ) ) là đóng. Ta cần chứng minh L ( p, (U ) ) ⊆ Cl (T ) .

Rõ ràng là T ⊆ L p, (U n )n∈ . Khi đó Cl (T ) ⊆ L p, (U n )n∈
n n∈

vì

n n∈

Lấy x ∉ Cl (T ) và lấy U , V là hai tập mở rời nhau trong X sao cho

Cl (T ) ⊆ U và x ∈V .
Từ bổ đề 2.1.2. ta có: {n ∈ } : U n ⊆ U } ∈ p . Do U ,V là hai tập mở rời

: U n ∩ V ≠ ∅} ⊆ {n ∈ : U n  U } ∉ p
nhau nên {n ∈ }}