PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN về dãy số và số học TRÊN máy TÍNH bỏ túi

CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ SỐ HỌC TRÊN MÁY TÍNH BỎ TÚI
GIỚI THIỆU

Hiện nay chúng ta thấy với sự bùng nổ và phát triển công nghệ thông tin cùng với
sự phát triển của các nghành khoa học trên thế giới nói chung và ở việt nam nói
riêng đã đạt đến một tầm cao mới. Để thích ứng với tầm cao mới này chúng ta
không thể quản lý số liệu bằng các phép tính tay đơn giản mà phải dùng máy tính
mới có thể dự đoán, tính toán và quản lý số liệu hiện nay được.
Ngay cả ở phổ thông nhiều bài toán phải dùng đến máy tính mới dự đoán và cho ra
kết quả tốt được.
Đặc biệt ở các kỳ thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi các bài toán về dãy số và số học
chiếm đến 40% số điểm của bài thi
Tuy nhiên nhiều học sinh chưa hiểu gì về máy tính, hiểu sai tư tưởng về các kỳ thi
giải toán trên máy tính.
Chuyên đề này nhằm đáp ứng nhu cầu của học sinh về tư tưởng giải toán trên máy
tính.
Nội dung chuyên đề gồm ba phần.
Phần 1: Giới thiệu một số chức năng thường dùng của máy tính.
Phần 2: Phân tích tư tưởng giải toán trên máy tính qua một số bài toán về dãy số và
số học.
Phần 3: Các đề thi và tài liệu tham khảo.

1


NỘI DUNG
Phần 1: Giới thiệu một số chức năng thường dùng của máy tính.
Hầu hết hoc sinh đã biết thao tác bấm máy cơ bản. Tuy nhiên các em chưa khai
thác hết các chức năng của một số phím như: STO – CALC – SOLVE – COPY.
1) Chức năng STO: Dùng để nhớ một số vào ô nhớ.

Ngoài ô nhớ M, máy tính còn các ô nhớ A,B, C, D, E, F, X, Y
Ví dụ: Để nhớ số 1 vào A ta bấm: 1 – shift – STO – A
Màn hình hiện 1→A. Ta đã ghi số 1 vào A
2) Chức năng CALC: Dùng để tính giá trị biểu thức f(x) tại một điểm.
Ví dụ: Cho f(x) = x3 – 3x2 + 1. Tính f(-2 ).
Để tính f( - 2 ) ta làm như sau:
Bước 1: Nhập biểu thức x3 – 3x2 + 1
Bước 2: bấm CALC màn hình hiện x? nhập -2 bấm “ = “. Máy tính hiện kết quả 19
3) Chức năng SOLVE: Giải phương trình ( đoán nghiệm).
Khi muốn đoán nghiệm phương trình f(x) = 0 ta làm như sau:
Bước 1: nhập biểu thức f(x)
Bước 2: bấm SHIFT – SOLVE màn hình hiện x?
Bước 3: bấm một số gần với nghiệm mà ta dự đoán rồi bấm “=”. Máy tính sẽ tìm ra
nghiệm.
Ví dụ; Trong đề thi đại học khối B năm 2010 có câu II.1
Giải phương trình:

–

+ 3x2 – 14x – 8 = 0.

Nếu không đoán được nghiệm bài này rất khó phân tích.
Ta thấy x [

, 6]
2


Khi muốn đoán nghiệm phương trình f(x) = 0 ta làm như sau:
Bước 1: nhập biểu thức

Bước 2: bấm SHIFT – SOLVE màn hình hiện x?
Bước 3: bấm số 3 rồi bấm “ =”. Máy tính sẽ tìm ra nghiệm là 5.
Từ đây ta dể dàng phân tích ra thừa số và giải được như sau:
-4–(
⇔

- 1) + 3x2 – 14x – 5 = 0.

–

⇔ (x – 5)(

⇔ x – 5 = 0 hoặc

+(x – 5)(3x + 1) = 0

+

+3x + 1) = 0

+

+3x + 1 = 0 vô nghiệm

⇔x=5

Trong đề thi học sinh giỏi tỉnh đồng nai ngày 14/10/2010 có bài.
Giải phương trình: x5 – x4 – x3 – 11x2 + 25 x – 14 = 0.
Phương án tối ưu để giải phương trình trên là nhẩm nghiệm.
Ta dùng máy tính 570ES đoán được nghiệm là số 2. Và ta phân tích được ra thừa

số.
(x – 2)(x4 + x3 + x2 – 9x + 7 ) = 0.
Ta dùng khảo sát hàm số dễ dàng chứng minh được phương trình:
x4 + x3 + x2 – 9x + 7 =0 vô nghiệm.
Thật vậy
Đặt y = f(x) = x4 + x3 + x2 – 9x + 7
y’ = 4x3 + 3x2 + 2x – 9 = (x – 1)(4 x2 + 7x +9 )
3


Bảng biến thiên
x

–∞

y’
y

1
–

0

+∞

+∞
+

2

+∞

Do đó x = 2 là nghiệm phương trình
4) Chức năng copy:
Máy tính fx570MS cho ta copy lại các phép tính đã tính ở trên.
Ví dụ: Ta có 3 phép tinh
6 +2 = 8
6 *2 = 12
6:2=3
Ta muốn copy 3 phép toán trên ta đưa con trỏ lên phép tính thứ nhất (6 +2 = 8) rồi
bấm SHIFT_COPY
Khi đó 3 phép toán trên hiện lên một dòng: 6 +2 = 8; 6 *2 = 12; 6 : 2 = 3
Ta chỉ việc bấm “=” liên tiếp là máy tính sẽ thực hiện các phép toán trên.
Chức năng này cho phép ta tính số hạng thứ n trong dãy số truy hồi rất nhanh.
Ví dụ: Cho (Fn) biết F1 = 1, F2 = 1, Fn +2 = Fn +1 + Fn. Tìm F30 ?
Bây giờ để dùng chức năng COPY ta lập thuật toán cho máy tính.
Bước 1: Gán 1 cho A: 1 _ shift _Sto _A: 1→A.
Gán 1 cho B: 1 _ shift _Sto _B
Bước 2: Bấm A + B →A. B + A →B.
Bước 3: COPY hai dòng trên ta được A + B →A; B + A →B.
Bước 4: Ta bấm liên tiếp phím “=” và đếm tới số thứ 30 ta được F30
Nếu ta không thích đếm ta lập thêm ô nhớ C để đếm. Thuật toán như sau.
4


Bước 1: Gán 1 cho A: 1 _ shift _Sto _A: 1→A.
Gán 1 cho B: 1 _ shift _Sto _B
Gán 2 cho C: 2 _ shift _Sto _C
Bước 2: Bấm A + B →A. B + A →B. C + 2 →C.
Bước 3: COPY ba dòng trên ta được A + B →A; B + A →B; C + 2 →C.

Bước 4: Ta bấm liên tiếp phím “=” và dừng lại khi C = 30 ta được F30
Phần 2: PhânTích Tư Tưởng Giải Toán Bằng Máy Tính Bỏ Túi Qua Một Số
Bài Toán Về Dãy Số Và Số Học.
Dạng 1: Việc tính toán được lặp đi lặp lại theo một chu kỳ nhất định
Ví dụ 1:
Chữ số thập phân thứ 2006 sau dấu phẩy là chữ số nào khi ta chia 1 cho 49
Phân Tích:
Tư tưởng để giải bài này rất rỏ ràng là tìm chu kỳ của số thập phân

1
49

Vấn đề đặt ra là làm sao để tìm chu kỳ nhanh nhất khi ta dùng máy tính 570MS
1:49 ≈ 0,02040816327
1010 – 49*204081632 =32
32:49 ≈ 0,6530612245
32*109 – 49*653061224=24
24:49 ≈ 0,4897959184
24*109 – 49*489795918=18
18:49 ≈ 0,3673469388
18*109 – 49*367346938=38
38:49 ≈ 0,7755102041
Như vậy 1:49 ≈ 0,02040816326530612244897959183673469387755102041
5


Suy ra chu kỳ là 42
Ta thấy 2006 = 42*47 + 32
Do đó chữ số thập phân thứ 2006 là chữ số 3
Lưu ý: Với kỳ thi máy tính ta viết kết quả gần đúng (≈)

Ví dụ 2: Ngày 01/01/2008 là ngày thứ ba. Vậy ngày 01/01/2080 là ngày thứ mấy?
Phân Tích:
Ta thấy 1 năm có 365 ngày, 1 năm nhuận có 366 ngày
Từ ngày 01/01/2008 đến Vậy ngày 01/01/2080 trải qua 72 năm, trong đó có 18
năm nhuận
Cứ 4 năm có 1 năm nhuận. Năm nhuận là năm chia hết cho 4 mà không chia hết
cho 100 hoặc chia hết 400
Suy ra số ngày là 72*365 + 18 = 26298 = 7*3756 + 6
Số dư là 6 tức là từ thứ 3 thêm 6 ngày nửa ta được thứ 2
Như vậy ngày 01/01/2080 là ngày thứ 2

 x = 1412003
 1
Ví dụ 3: Cho dãy số (xn ):  x2 = 20032004 Tính x2004

1 + xn +1
 xn + 2 =
xn


Tư tưởng đề giải bài này là liệt kê dãy số trên ra xem thử dãy số trên có hội tụ
không
Bấm 1412003 →A. 20032004 →B.
Bấm

1+ B
1+ A
→A.
→B.
A

B

Copy hai dòng trên ta được

1+ B
1+ A
→A;
→B.
A
B

Bấm “ =” liên tiếp ta được
6


 x6 = 1412003
 x = 20032004
 7
 x8 = 20032005/1412003
 x = 282158/372174338737
 9
 x10 = 18579/263579

 x1 = 1412003
 x = 20032004
 2
 x3 = 20032005/1412003
 x = 282158/372174338737
 4
 x5 = 18579/263579

Suy ra dãy số trên tuần hoàn với chu kỳ là 5
Do đó x2004 = x4
Dạng 2: Dãy số hội tụ.

x = y = 3
1
 1

2
Ví dụ 1: Cho hai dãy số (xn) và (yn) :  xn +1 = xn + 1 + xn Tính x2004.y2004

yn
 yn +1 =

1 + 1 + yn2


Phân tích:
Nếu ta dùng máy tính đoán đáp số cho bài toán trên thì rất dễ dàng.
Ta chỉ cần tổ chức ô nhớ cho hợp lý.
3 →A

3 →B

A + 1 + A2 →A

COPY ba dòng trên ta được

B

1 + 1 + B2

A + 1 + A2 →A;

→B
B

1 + 1 + B2

A.B
→B;

A.B

Bấm “=” liên tục ta được A.B không đổi là 2.
Lưu ý khi viết kết quả x2004.y2004 ≈ 2

Nếu ta dùng suy luận toán học thì việc đoán đáp số cho bài toán trên không dễ
dàng
Ta thấy: x1 = cot300, x2 = cot

30o
30o
,………….., xn + 1 = cot n
2
2

7

y1 = tan600, y2 = tan

60o
60o
,………….., yn + 1 = tan n
2
2

2
60o
300
Tính x2004.y2004 = tan 2003 cot 2003 = 1 − tan 2 300 (≈ 2 )
2
2
22003
 x1 = 4732; y1 = 847

Ví dụ 2: Cho hai dãy số (xn) và (yn) xác định như sau :  x = xn + yn ; y = 2 xn yn
n +1
 n +1
2
xn + yn

x5 − 2002

a) Tính giá trị x + 2002 với 10 chữ số thập phân.
5
xn ; lim yn
b) Tìm lim
x →∞

x →∞

Bấm 4732 →A. 847 →B.
Bấm

A+ B
2AB
→C
→D. C→ A. D →B.
2
A+ B

COPY bốn dòng trên ta được :

A+ B
2AB
→ C;
→D; C→ A; D →B.
2
A+ B

 x1 = 4732
 x = 2785,5
 2
Bấm “=” liên tục ta được:  x3 = 2113,159039
 x = 2004,923663
 4
 x5 = 2002, 002132
x5 − 2002

Từ đó suy ra x + 2002 ≈5,323948215-07
5
lim xn = 2002; lim yn = 2002
x →∞

x →∞

Ví dụ 3: Cho dãy số (xn) với
xn =sin(2010 – sin( 2010 - ………..sin( 2010 – sin(2010))………….))
Tìm n0 để với mọi n ≥ n0 thì xn có bốn chữ số phần thập phân ngay sau dấu phẩy là
không đổi.
Tìm gía trị x2009
8


Chuyển máy về radian
Bấm sin2010
Bấm sin(2010 – Ans)
Bấm “ =” liên tiếp và đếm ta được bốn chữ số phần thập phân ngay sau dấu phẩy
không đổi là 3071.
Kết quả n0 = 185
Dạng 3: Tính toán theo một qui luật nhất định.
Ví dụ 1: Cho f(x) = 4x( 4x + 2)
S = f(

–1

. Hãy tính tổng

1

2
2009
) + f(
) +………………..+ f(
)
2010
2010
2010

Ta có: Nếu u + v = 1thì f(u) + f(v) =1
Do đó S = 1004 + f(

1005
1
) = 1004 +
2010
2

Bình luận: Nếu ta không thấy được đặc điểm trên thì việc giải bài toán trên rất khó.
 x1 = 1

Ví dụ 2: Cho dãy số (xn) xác định như sau :  x = xn (n ≥ 1) . Tìm gía trị x2008
 n +1 nx + 1
n


Bấm 1 →A. 1→B.
Bấm

A

→ A ; 1 + B→B.
AB + 1

COPY hai dòng trên ta được :
Bấm “=” liên tục ta được: 1,

A
→ A ; 1 + B→B.
AB + 1

1 1 1 1 1
, , ,
,
, ……
2 4 7 11 16

Ta có 1 +1 +2 + 3 + 4 +…………….+ 2007 = 2015029
Do đó x2008 =

1
2015029

9


Ví dụ 3: Cho f (n) =

1
3

n + 2n + 1 + n 2 − 2n + 1 + 3 n 2 − 1
2

3

Tính S = f(1) + f(2) + f(3) + …………………..+ f(123456789)
Ta thấy f(n) =
Do đó S =

3

3

n +1 − 3 n −1
2

123456790 + 3 123456789 − 1
≈497.4338599
2

Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối cùng của số 21999 + 22000 + 22001.
76*76 = 5776
220 = 1048576
21999 + 22000 + 22001 = 21980 (219 + 220 + 221).
219 + 220 + 221 = 3670016
76*16 = 1216
Do đó hai chữ số cuối cùng la 16
Ví dụ 5: Phép tính nâng lên luỹ thừa rồi lấy modul của các số nguyên, tức là tính
C = Nk mod p, là không khó khăn, ngay cả với những số cực lớn. Nhưng phép tính
ngược lại, tức là tìm ra N khi biết C, k, p, thường được gọi là phép “khai căn” bậc

k modul p, lại là việc vô cùng khó khăn. Trong trường hợp tổng tổng quát, với các
số nguyên lớn, bài toán này là không thể giải được ngay cả với các siêu máy tính
mạnh nhất hiện nay. Tuy nhiên, khi p là số nguyên tố và k không có ước chung với
p – 1 thì nhờ định lý fermat (nhỏ ) người ta phát hiện ra rằng có thể thực hiện được
phép “ khai căn “ này bằng cách tìm số d sao cho dk = 1 mod (p – 1) và tính ra N
bằng công thức N = Cd mod p. Để kiểm nghiệm điều nói trên, em hãy
a) Tính số C = 123452305 mod 54321 ;
b) Tìm số N sao cho N52209 mod 89897 = 56331
Phân Tích
B1) 123452305 , 2305 = 2304 + 1
123452 : 54321≈ 2805.526868, 123452 – 2805* 54321 = 28620
B2) 286201152
10


286202: 54321≈15078.96394, 286202 – 15078*54321 = 52362
B3) 52362576

523622: 54321≈ 50473.64820, 523622 – 54321* 50473 = 35211
B4) 35211288
352112: 54321≈ 22823.85304, 523622 – 54321* 22823 = 46338
B5) 46338144
463382: 54321≈ 39528.17960, 463382 – 54321* 39528 = 9756
B6) 975672
97562: 54321≈ 1752.168333, 97562 – 54321* 1752 = 9144
B7) 914436
91442 : 54321≈ 1539.234108, 91442 – 54321* 1539 = 12717
B8) 1271718
127172 : 54321≈ 2977.155962, 127172 – 54321* 2977 = 8472
B9) 84729, 9 = 8 + 1

84722 : 54321≈ 1321.308223, 84722 – 54321* 1321 = 16743
B10) 167434
167432 : 54321≈ 5160.583366, 167432 – 54321* 5160 = 31689
B11) 316892
316892 : 54321≈ 18486.27089, 316892 – 54321* 18486 = 14715
B12) 12345*8472*14715 : 54321≈ 28331498.878886618,
12345*8472*14715 – 54321* 28331498 = 47742
Suy ra C = 47742
B1) d.52209 = 1 +n.89896

89896 – 52209 = 37687

n = 1190, d = 2049

B2) d.52209 = 1 + n.37687

52209 – 37687 = 14522

n = 1190, d =859

B3) d. 14522 = 1 + n.37687

37687 – 2*14522 = 8643

n = 331, d = 859

B4) d. 14522 = 1 + n. 8643

14522 – 8643 = 5879

n = 331, d = 197

B5) d. 5879 = 1 + n.8643

8643 – 5879 = 2764

n = 134, d = 197

B6) d. 5879 = 1 + n. 2764

5879 – 2*2764 =351

n = 134, d = 63

B7) d. 351 = 1 + n.2764

2764 – 7*351 = 307

n = 8, d = 63

B8) d. 351 = 1 + n.307

351 – 307 = 44

n = 8, d =7

B9) d.44 = 1 + n.307

307 – 6*44 = 43

n = 1, d = 7

B10) d.44 = 1 + n.43

n=1

Từ B10 ta có n = 1 ta suy ngược lên B1 d = 2049
N = 563312049 mod 89897
11


B1) 563312049 , 2049 = 2048 + 1
563312 : 89897≈ 35297.9694651, 563312 – 35297* 89897 = 87152
B2) 871521024
871522: 89897≈84490.81842, 871522 – 84490*89897 =73574
B3) 73574512
735742: 89897≈ 60214.8400503, 735742 – 89897* 60214 =75518

B4) 75518256
755182: 89897≈ 63438.9170273, 755182 – 89897* 63438 = 82438
B5) 82438128
824382: 89897≈ 75597.8936338, 824382 – 89897* 75597 = 80335
B6) 8033564
803352: 89897≈ 71790.0733, 803352 –89897* 71790 = 6595
B7) 659532
65952 : 89897≈ 483.820650300, 65952 – 89897* 483 = 73774
B8) 7377416
737742 : 89897≈ 60542.6552165, 737742 –89897* 60542 = 58902
B9) 589028
589022 : 89897≈ 38593.5637897, 589022 – 89897* 38593 =50683

B10) 506834
506832 : 89897≈ 28574.55186, 506832 – 89897* 28574 =49611
B11) 496112
496112 : 89897≈ 27378.5701525, 496112 – 89897* 27378 = 51255
B12) 51255*56331: 89897≈ 32117.260, 51255*56331– 89897* 32117 = 23456
Suy ra N = 23456
Bình luận
Để làm được bài toán trên đòi hỏi phải kiên nhẫn, thật kiên nhẫn
Dạng 4: Các bài toán không mẫu mực
Ví dụ 1: Tìm một nghiệm (x, y, z) với x, y, z là các số nguyên dương phân biệt của
4

1

1

1

1

1

1

phương trình sau: n = x + y − z Với a) n = 109
4

1

1

1

4

1

Ta có n = x + y − z ⇔ z = x + y − n ⇔ z =

b) n = 1001

( x + y )n − 4 xy
xyn

1 ( x − y)2
Cho n = x + y ta được =
z
xyn
1

1

Cho 1 = x – y ta được z = xyn
a) Với n = 109 thì x = 55 , y = 54 và z = 55*54*109 = 323730
12


b) Với n = 1001 thì x = 501 , y = 500 và z = 501*500*1001 = 250750500
k
(−1) k C2006

Ví dụ 2: Tính S = 2010 ∑ 3
2
k = 0 k + 9k + 26k + 24
2006

2006
(−1) k .2006!
(−1) k .2006!( k + 1)
S = 2010 ∑
= 2010 ∑
k = 0 k !(2006 − k )!( k + 2)( k + 3)( k + 4)
k = 0 ( k + 4)!(2010 − ( k + 4))!
2006

=

2006
1
( −1) k .2010!(k + 1)
k +4
(−1) k C2010
.(k + 1)
=
∑
∑
2007.2008.2009
(
k
+
4)!(2010

−
(
k
+
4))!2007.2008.2009
k =0
k =0

2006

2006

Xét T =
(−1)

2006

.C

∑ (−1) C
k

k =0

2010
2010

k +4
2010

4
5
.(k + 1) = (−1) 0 .C2010
.1 + (−1)1.C2010
.2 + …………+

.2007

4
2006
2010
.1 + …………………+ (−1) 2002 .C2010
.2003 + ………+ (−1) 2006 .C2010
.2007
= (−1)0 .C2010
4
5
1004
1005
.2 + (−1)1.C2010
.2 + ….+ (−1)1000 .C2010
.2 + (−1)1001.C2010
= 1002( (−1)0 .C2010
) + …..+
2010
(−1) 2006 .C2010
.2007
0
1
2010

Ta thấy (1 – 1)2010 = C2010
- C2010
+…………….. + (−1) 2010 C2010
0
1
1004
1005
= 2 C2010
- 2 C2010
+…………….. + 2 C2010
- C2010

Do đó T = 2007.1004
Từ đó suy ra S =

1
4018

Bình luận:
Ta thấy lời giải trên hoàn toàn không sử dụng máy tính mà phải khôn khéo biến
đổi vận dụng sáng tạo nhị thức niu tơn và công thức tổ hợp.
Nhưng đây lại là đề thi cho máy tính bỏ túi. Vậy ta hiểu gì về tư tưởng của người
ra đề cho câu hỏi này.
Một cách giải khác:
1

1

1

1

Ta có: (k + 2)(k + 3)(k + 4) = 2(k + 2) − k + 3 + 2(k + 4)

13


k
(−1) k C2006
Đặt S1 = ∑
k = 0 2( k + 2)
2006

Ta thấy f(x) = x(1 – x)2006 =
1

∫

f ( x)dx =

0

2006

∑ (−1) C
k

k =0

k

2006

.x k .x

k
(−1) k C2006
= 2S1
∑
k +2
k =0

2006

Tương tự
k
(−1) k C2006
S2 = ∑
=
k +3
k =0
2006

1

∫ x (1 − x)
2

2006

dx

0

1

k
1 3
(−1) k C2006
2006
S3 = ∑
= 2 ∫ x (1 − x) dx
k = 0 2( k + 4)
0
2006

Như vậy S = 2010( S1 – S2 + S3 )
Bấm máy cho kết quả S = 0,0002492980106
Bấm theo kết quả S =

1
= 0,0002488800398
4018

Vậy ta hiểu gì về hai đáp số trên.
Chính vì điều này đã tạo ra rất nhiều lời phê bình và gây rất nhiều khó khăn cho
các giáo viên dạy ôn thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi.
Ví dụ 3:
Bài 1; Cho h(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx +132005. Biết h(1) ; h(2); h(3); h(4) lần
lượt là 8, 11, 14, 17
Tìm 3 h(10)

Bài 2: cho p(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. Biết p(x) nhận giá trị lần lượt là 11,
14, 19, 26, 35 khi x theo thứ tự nhận các giá trị tương ứng 1, 2, 3, 4, 5. Tính p(16)
và số dư khi chia p(x) cho 10x – 3 (kết quả lấy 5 chữ số thập phân)
Phân Tích
Về mặt tư tưởng của các bài toán trên là giải hệ phương trình.
14


Nếu nhìn bài toán trên ở khía cạnh đặc biệt :
Ta thấy h(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – p) + 3x + 5 với h(0) = 132005 ta tìm
p và h(10) rất dễ dàng
P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 +10 và ta dễ dàng tính p(16) cũng
như r = p(

3
)
10

Để nhìn ra được khía cạnh đặc biệt đó em xin nhường lời bình luận lại cho người
ra đề đó và mọi người quan tâm tới đề thi trên.
Phần 3: Tài liệu tham khảo
1) Máy tính VINACAL Vn – 570MS
Hướng Dẫn Sử Dụng Và Giải Toán cùa TS. TRẦN VĂN VUÔNG
2) Các đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio của
TẠ DUY PHƯỢNG _NGUYỄN THẾ THẠCH
3) Các website của các sở giáo dục đào tạo trên cả nước

15