phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua mô hình hóa toán học và giải quyết tình huống gợi vấn đề

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành Quốc

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO
HỌC SINH THƠNG QUA MƠ HÌNH
HĨA TỐN HỌC VÀ GIẢI QUYẾT
TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chi Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành Quốc

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO
HỌC SINH THƠNG QUA MƠ HÌNH
HĨA TỐN HỌC VÀ GIẢI QUYẾT
TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu độc lập,những
trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.
Nguyễn Thành Quốc

1


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Nga, người đã
nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,
TS. Trần Lương Cơng Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương đã
nhiệt tình giảng dạy cho chúng tơi những kiến thức về didactic tốn, cung cấp cho chúng tơi
những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.
Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã
cùng tơi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến vợ và những người thân u trong
gia đình đã ln động viên tơi hồn thành khóa học.
Nguyễn Thành Quốc

2

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 2
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ......................................................................... 5
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 6
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ............................................................ 6
2. Câu hỏi nghiên cứu ........................................................................................................ 8
3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu ..................................................... 8
4. Tổ chức của luận văn ...................................................................................................... 9

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN .............................................................................. 10
1.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số ..................................................... 10
1.2. Tư duy hàm ................................................................................................................ 13
1.3. Q trình mơ hình hóa tốn học .............................................................................. 15
1.4. Dạy học đặt và giải quyết vấn đề .............................................................................. 17
1.4.1. Những khái niệm cơ bản ...................................................................................... 17
1.4.2. Dạy học đặt và giải quyết vấn đề ......................................................................... 18
1.5. Phát triển tư duy hàm cho học sinh nhờ vào mơ hình hóa và giải quyết các tình
huống gợi vấn đề ............................................................................................................... 19

CHƯƠNG 2: TƯ DUY HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ
THÔNG ...................................................................................................................... 20
2.1. Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng tiền toán học (tiểu học đến đầu
năm lớp 7) .......................................................................................................................... 20
2.2. Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng toán học (từ lớp 7 trở đi)........ 23
2.2.1. Lớp 7..................................................................................................................... 23
2.2.2. Lớp 9..................................................................................................................... 27
2.2.3. Lớp 10................................................................................................................... 30
2.3. Kết luận ....................................................................................................................... 34

CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM................................................................................ 36
3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................................... 36
3.2. Thực nghiệm : Tiểu đồ án didactic .......................................................................... 37
3.2.1. Nội dung thực nghiệm .......................................................................................... 37
3.2.2. Dàn dựng kịch bản................................................................................................ 38
3


3.2.3. Đối tượng thực nghiệm......................................................................................... 39
3.2.4. Phân tích tiên nghiệm ........................................................................................... 39
3.2.5. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................................... 45
3.3 Kết luận ........................................................................................................................ 57

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 60
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 62

4


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HS

: Học sinh.

GV

: Giáo viên.

SGK

: Sách giáo khoa.

SGV

: Sách giáo viên.

THCS

: Trung học cơ sở.

THPT

: Trung học phổ thông.

KNV

: Kiểu nhiệm vụ

DHĐ&GQVĐ : Dạy học đặt và giải quyết vấn đề

5


MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
 Ghi nhận 1
Hàm số là một trong các khái niệm cơ bản của Toán học, “biểu diễn sự phụ thuộc

của những đại lượng biến thiên này đối với những đại lượng biến thiên khác”. Trong SGK
Toán Việt Nam, khái niệm hàm số được xây dựng từng bước qua nhiều cấp lớp. Khái niệm
hàm số được định nghĩa đầu tiên ở lớp 7. Sau đó được định nghĩa một cách đầy đủ ở lớp 10.
Cụ thể:
Cho một tập hợp khác rỗng D⊂R
Hàm số 𝑓 xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số 𝑥 thuộc D với một

và chỉ một số, kí hiệu là f ( x) ; số f ( x) đó gọi là giá trị của hàm số 𝑓 tại x .

Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm

số 𝑓 . (Trích SGK Đại số 10 nâng cao)

Sau khi đưa ra định nghĩa, SGK còn lưu ý “ Trong ký hiệu hàm số y = f ( x) , ta còn

gọi x là biến số độc lập, y là biến số phụ thuộc của hàm số f. Biến số độc lập và biến số phụ
thuộc của một hàm số có thể được kí hiệu bởi hai chữ cái tùy ý khác nhau.”
Định nghĩa này làm nổi bật đặc trưng tương ứng của hàm số. Tuy nhiên, các thuật
ngữ “quy tắc”, “tương ứng”, “biến số”, “ biến số độc lập”, “ biến số phụ thuộc” được coi

là những khái niệm không được định nghĩa. Phải chăng việc chính xác hóa các khái niệm
này là phức tạp và không cần thiết đối với học sinh? Điều này có ảnh hưởng như thế nào
trên việc học tập của học sinh?
Sự ảnh hưởng của định nghĩa khái niệm hàm số này đã được thể hiện trong các luận
văn khoá trước. Cụ thể:
 “Đối với học sinh, hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích. Vì vậy, họ gặp
nhiều khó khăn khi đối diện với các tình huống trong đó hàm số xuất hiện dưới dạng
bảng hay đồ thị”( Theo Nguyễn Thị Nga- 2003)
 “Mối quan hệ cá nhân giữa học sinh và khái niệm hàm số dựa trên cách biểu diễn
hàm số bằng biểu thức giải tích xuất hiện các quy tắc hợp đồng: R1: y kí hiệu dùng để

chỉ biến phụ thuộc, x kí hiệu dùng để chỉ biến độc lập.”( Theo Đỗ Thị Thuý Vân-2010)
 “ Hai hệ thống biểu đạt hàm số được đề cập chủ yếu là biểu thức giải tích và đồ thị.
6


Tuy nhiên, biểu thức giải tích vẫn chiếm ưu thế, vai trị cơng cụ của đồ thị khá mờ
nhạt. Học sinh chưa thực sự thấy được nhu cầu chuyển đổi hệ thống biểu đạt” (Theo
Nguyễn Thị Hồng Duyên-2012)
Dạy học hàm số là giúp học sinh thấy được vai trò của nó trong thực tế và tập cho họ
khả năng sử dụng nó vào giải quyết các vấn đề của thực tế. Để làm được điều này, phải giúp
học sinh nhận thấy rằng: hàm số khơng chỉ xuất hiện trong tốn học mà cịn được sử dụng
như cơng cụ để giải quyết các vấn đề của thực tiễn và của nhiều lĩnh vực khác như vật lí,
kinh tế, trắc địa, tin học, …Trong các giáo trình, sách giáo khoa tốn, hàm số thường xuất
hiện trước hết với tư cách là đối tượng nghiên cứu, sau đó với tư cách là một cơng cụ để giải
quyết nhiều bài tốn thuộc những nội dung tốn học khác như phương trình, bất phương
trình…Trong chương hàm số bậc nhất và bậc hai, SGK Đại số 10 nâng cao cũng cố gắng
thực hiện mục tiêu này. Tuy nhiên, chúng tôi thống kê được trong chương này chỉ có 4 bài
tốn có tính thực tế (bài 25 tr54, bài 37,38 tr61, bài 46 tr64). Trong các bài tốn nói trên, các
“ biến số độc lập”, “ biến số phụ thuộc” và mối liên hệ giữa chúng đã được đề cập tường
minh trong đề toán.
Như vậy, câu hỏi đặt ra: khi gặp một bài toán thực tế, học sinh có quan tâm đến mối
liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lượng trong sự vận động của chúng hay khơng? Học
sinh có xác định được đại lượng biến thiên nào là biểu diễn sự phụ thuộc cho đại lượng biến
thiên khác? Nói cách khác, học sinh có thể nhìn bài tốn theo quan điểm hàm và sử dụng
các kiến thức về hàm số để giải quyết các vấn đề thực tế hay không?
 Ghi nhận 2
Kiến thức hàm số có vai trị quan trọng trong tồn bộ chương trình mơn tốn phổ
thơng. Điều này được khẳng định khơng chỉ ở nước ta mà cịn được đề cập đến trong nhiều
ý kiến của các nhà khoa học nước ngồi. Ta có thể thấy được điều này qua các ý kiến sau
đây:

- Ý kiến của Kơlanh khi khởi xướng phong trào cải cách việc dạy học toán ở trường phổ
thông đầu thế kỉ 20 đã đề nghị: Đưa cái mới vào giáo trình tốn phổ thơng, lấy tư tưởng hàm
số và biến hình làm tư tưởng quan trọng nhất. Kiến nghi của Hội nghị Quốc tế về giáo dục
họp tại Giơnevơ (tháng 7 năm 1956) gửi các vị Bộ trưởng Giáo dục các nước nêu rõ: Nên
xây dựng chương trình sao cho việc dạy Tốn dựa trên các cơ sở hàm số…
- Ở Việt Nam, chương trình Tốn trong cải cách giáo dục và các chương trình đổi mới
trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số. Trong tài liệu “Phương pháp
7


dạy học bộ mơn Tốn”, GS Nguyễn Bá Kim cho rằng “Đảm bảo khái niệm trung tâm của
hàm số” là một trong ”những tư tưởng cơ bản” của chương trình mơn Tốn bậc THPT. Khi
phân tích tư tưởng này tác giả đã nhấn mạnh:
•

Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ xun suốt trong chương trình bậc Phổ thơng Trung học.

•

Phần lớn chương trình Đại số và Giải tính dành cho việc trực tiếp nghiên cứu hàm số và cơng cụ
khảo sát hàm số.

•

Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số đối số tự nhiên.

•

Lượng giác chủ yếu nghiên cứu hàm số lượng giác cịn cơng thức lượng giác được giảm nhẹ.

•

Phương trình và bất phương trình được trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm số.

Gắn bó chặt chẽ với khái niệm hàm là tư duy hàm. Phát triển tư duy hàm có ý nghĩa
quan trọng trong dạy học tốn, nó vừa là u cầu của việc dạy học mơn Tốn, vừa là điều
kiện để nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến kiến thức mơn Tốn. Việc dạy học các
kiến thức mơn Tốn được trình bày theo tư tưởng hàm số có tác dụng tốt trong việc phát
triển tư duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán và ứng
dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển tư duy hàm. Như vậy, có
những hoạt động nào đặc trưng cho tư duy hàm được đề cập trong chương trình và SGK phổ
thông?

2. Câu hỏi nghiên cứu
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đưa một số câu hỏi để định hướng cho nghiên cứu
như sau:
Q1: Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông, việc phát triển tư duy hàm có
được chú trọng hay khơng? Hoạt động đặc trưng nào của tư duy hàm được nhấn mạnh? Có
những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế trên các kiểu nhiệm vụ gắn với các hoạt động
đặc trưng cho tư duy hàm? Vấn đề dạy học bằng mơ hình hóa có được thể chế quan tâm khi
đưa vào các hoạt động phát triển tư duy hàm cho học sinh hay khơng?
Q2: Liệu có thể tổ chức dạy học nhắm đến việc phát triển tư duy hàm cho học sinh
THPT thông qua mơ hình hóa và và giải quyết các tình huống gợi vấn đề trong đó có tính
đến các điều kiện và ràng buộc của thể chế?

3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu thể chế
Trên cơ sở nghiên cứu các hoạt động đặc trưng của tư duy hàm, chúng tôi sử dụng
8

các khái niệm tổ chức toán học, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân để phân tích chương trình
tốn trung học phổ thông để trả lời các câu hỏi Q1.
3.2. Tiểu đồ án dạy học
Dựa trên kết quả nghiên cứu thể chế cho phép chúng tơi dự đốn những khó khăn của
học sinh khi đối diện với một tình huống thực tế. Từ đó, dựa vào khái niệm đồ án dạy học
trong lý thuyết tình huống kết hợp với lý thuyết mơ hình hóa chúng tơi sẽ xây dựng các tình
huống dạy học nhằm phát triển tư duy hàm cho học sinh thơng qua mơ hình hóa và giải
quyết tình huống gợi vấn đề. Các tình huống này được xây dựng theo các ràng buộc thể chế.

4. Tổ chức của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chương sau:
Chương 1: Cơ sở lý luận
1.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số
1.2. Tư duy hàm
1.3. Q trình mơ hình hóa tốn học
1.4. Dạy học đặt và giải quyết vấn đề
Chương 2: Vấn đề phát triển tư duy hàm trong dạy học tốn ở trường phổ thơng

2.1. Giai đoạn khái niệm hàm số chưa xuất hiện (tiểu học đến đầu năm lớp 7)
2.2. Giai đoạn khái niệm hàm số đã được định nghĩa tường minh (từ lớp7 trở đi)
2.3. Kết luận
Chương 3: Thực nghiệm (Tiểu đồ án dạy học)
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Thực nghiệm : Tiểu đồ án didactic
3.3. Kết luận

9

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số
Chúng tôi sẽ tổng hợp lại các nghiên cứu khoa học luận khái niệm hàm số trong khóa luận
của Nguyễn Thị Nga (2003). Có thể tóm tắt một số điểm chính của luận văn như sau:
 Ba đặc trưng cơ bản của hàm số là: tương ứng, phụ thuộc và biến thiên.
 Biểu diễn hàm số: Trong lịch sử toán học, người ta sử dụng các phương tiện khác
nhau như bảng số, hình hình học, biểu thức giải tích và đồ thị.
Trong từng thời kỳ khác nhau của lịch sử toán học, khái niệm hàm số cùng ba đặc trưng và
các cách biểu diễn xuất hiện một cách ngầm ẩn hay tường minh. Cụ thể, theo tài liệu của
Nguyễn Thị Nga (2003) chúng tơi có bảng tóm tắt như sau:
GIAI

CƠ CHẾ CỦA

ĐẶC TRƯNG

PHƯƠNG TIỆN

ĐOẠN

KHÁI NIỆM

CỦA KHÁI NIỆM

BIỂU DIỄN

+ chưa có tên

• Phụ thuộc (ngầm ẩn)

+ chưa có định nghĩa

• Biến thiên (ngầm ẩn)

+ cơng cụ ngầm ẩn

• Tương ứng (ngầm ẩn)

Cổ đại

• Bảng số

• Phụ thuộc (ngầm ẩn)
Trung
đại

+ chưa có tên

• Biến thiên (ngầm ẩn –

+ chưa có định nghĩa

nhưng bước đầu được

+ cơng cụ ngầm ẩn

quan tâm nghiên cứu)

• Bảng số
• Hình hình học

• Tương ứng (ngầm ẩn)
Thế kỉ
16 -17

+ có tên
+ chưa có định nghĩa
+ cơng cụ ngầm ẩn

• Phụ thuộc và biến thiên
được đề cập rõ ràng hơn
trong vài nghiên cứu
• Tương ứng (ngầm ẩn)

10

• Bảng số
• Đường cong hình
học


+ có tên

• Phụ thuộc (được đề cập

+ có định nghĩa (hàm

tường minh trong vài

số được đồng nhất với nghiên cứu)

Thế kỉ

một biểu thức giải

• Biến thiên (tường minh)

18

tích)

• Tương ứng (ngầm ẩn)

• Biểu thức giải tích

+ cơng cụ tường minh
+ đối tượng nghiên
cứu
+ có tên

Nửa đầu
thế kỉ 19

+ có định nghĩa (dựa

• Phụ thuộc (được đề cập

vào khái niệm tương

tường minh trong vài

ứng giữa hai đại

nghiên cứu)

lượng)

• Biến thiên (tường minh)

+ cơng cụ tường minh

• Tương ứng (tường minh)

• Bảng
• Biểu thức giải tích
• Đồ thị

+ đối tượng nghiên
cứu
+ có tên
+ có định nghĩa
Cuối thế
kỉ 19 Thế kỉ
20

(dựa vào khái niệm
tương ứng hay quan
hệ giữa các phần tử

• Phụ thuộc (ngầm ẩn)
• Biến thiên (ngầm ẩn)

• Tương ứng (tường minh)

• Bảng
• Biểu thức giải tích
• Đồ thị

của hai tập hợp)

• Biểu đồ Ven

+ cơng cụ tường minh

• Các cặp phần tử

+ đối tượng nghiên
cứu
Từ sự tổng hợp trên, chúng tôi nhận thấy rằng: Qua từng giai đoạn khác nhau của
lịch sử, các cách biễu diễn hàm số có sự thay đổi. Bảng số là phương tiện biểu diễn hàm số
đầu tiên. Cách biểu diễn bằng bảng thường chỉ được áp dụng khi tập xác định của hàm số là
hữu hạn và quy tắc tương ứng khó diễn đạt bằng một biểu thức giải tích. Kể từ thế kỷ 18,
11


cách biểu diễn hình hình học rất ít xuất hiện. Hai cách biểu diễn đồ thị và biểu thức giải tích
vẫn ln được ưu tiên. Như vậy, trong từng cách biểu diễn thì đặc trưng hàm số được thể
hiện như thế nào?
Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi sẽ sử dụng lại kết quả nghiên cứu của Nguyễn
Thị Hồng Dun (2012). Chúng tơi có bảng tóm tắt như sau:
Các hệ thống biểu đạt

Ưu điểm

Nhược điểm

Đại số (biểu thức giải + Cơ đọng và chính xác + Khơng thấy được đặc
tích hay cơng thức)

mối tương quan hàm

trưng phụ thuộc của hàm

+ Làm nổi bật đặc trưng số
tương ứng của khái niệm
hàm số
+ Dễ tính tốn, biến đổi
+ Có thể dùng các cơng cụ
giải tích để nghiên cứu
tính liên tục, sự biến thiên,
cực trị…
+ Xác định nhanh một số + Khơng phải hàm số nào
Hình học (đồ thị, biểu tính chất của hàm số

cũng có thể mơ tả chính

đồ)

xác bằng đồ thị
+ Tìm được giá trị (đúng + Cơ sở cho việc đọc được
hay gần đúng) của hàm số tính chất của đồ thị là
tại 1 điểm

những chứng minh chặt
chẽ được thực hiện ở hệ
thống biểu đạt đại số

+ Tìm được giá trị của + Tập xác định của hàm
Bảng số

hàm nhanh chóng

số phải hữu hạn

+Cơng cụ tiện lợi để ghi + Xác định giá trị của hàm
kết quả nghiên cứu thực tại một giá trị ngoài bảng
cũng như muốn biết quy

nghiệm

luật phát triển của chúng
thì cần phải thực hiện sự
12


chuyển đổi
Ngoài 3 hệ thống biểu đạt nêu trên, hàm số còn được biểu đạt bằng lời. Cách biểu đạt
này được đề cập trong
“Tài liệu bồi dưỡng giáo viên Toán trung học phổ thơng tỉnh Bình Thuận” của Trần Lương Cơng
Khanh (2007).
“Ví dụ 1: Xét hàm số f : * → {0,1, 2, ..., 9} ⊂  với f ( n ) là chữ số thập phân thứ n trong cách
viết số π trong hệ thập phân.

Ví dụ 2: Xét hàm số g : * →  \ {0,1} với g ( n ) là số nguyên tố thứ n.”
Về tính ưu việt của hệ thống biểu đạt bằng lời, tác giả Trần Lương Cơng Khanh nói rõ:
“Rõ ràng trong hai ví dụ trên, cách biểu đạt bằng lời là cách biểu đạt tối ưu vì hiện nay tốn học chưa
tìm được cách biểu đạt nào khác đối với f và g. Giả sử sẽ tìm được biểu thức giải tích của f và g trong
tương lai, cách biểu đạt bằng lời vẫn là cách biểu đạt gọn nhất. Điều này cũng cho thấy tồn tại những
hàm số mà ta không thể thực hiện sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt.” (Theo Nguyễn Thị Hồng Duyên
- 2012).

Từ những nghiên cứu trên, chúng tôi nhận thấy rằng: khái niệm hàm số phát sinh, phát
triển, ngày càng mở rộng chính xác hóa và hoàn thiện do nhu cầu của thực tiễn. Cho nên,
việc dạy học khái niệm hàm số không chỉ nên dừng lại ở việc đưa vào định nghĩa của nó,
mà phải nắm vững các đặc trưng và các hệ thống biểu đạt của nó, cách chuyển đổi giữa các
hệ thống biểu đạt và đặc biệt là áp dụng nó vào việc giải quyết các bài toán của thực tế hay
của khoa học. Bởi vì các vấn đề thực tế sẽ làm nảy sinh nhu cầu sử dụng hàm số và thực
hiện sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt.

1.2. Tư duy hàm
Phần này được trích từ tài liệu “Phương pháp dạy học bộ mơn Tốn” của tác giả Nguyễn
Bá Kim (1996).
Tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của
một, hai, hay nhiều tập hợp, phản ánh các mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử
của tập hợp đó trong sự vận động của chúng. Tư duy hàm có vai trị quan trọng trong việc
giáo dục tốn học cho học sinh.
Liên quan đến vấn đề phát triển tư duy hàm, tác giả Nguyễn Bá Kim (1996) cho rằng:
“phát triển tư duy hàm là tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và vận

13


dụng sự tương ứng trong khi và nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán

học”. Như vậy, đặc trưng cho tư duy hàm có thể liệt kê các hoạt động sau đây:
• Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng
• Nghiên cứu những sự tương ứng
• Vận dụng những sự tương ứng
a) Hoạt động 1
Phát hiện những sự tương ứng tức là nhận ra một mối liên hệ tương ứng tồn tại khách quan,
ví dụ như sự tương ứng giữa độ dài cạnh và diện tích một hình vng, giữa thời gian đi và
qng đường đi được, giữa các số hạng và tổng của chúng…
Thiết lập sự tương ứng có nghĩa là tự tạo ra những sự tương ứng theo quy định chủ quan của
mình để thuận lợi cho một mục đích nào đó, chẳng hạn sự tương ứng giữa các số thực và
các điểm trên một đường thẳng, giữa tập con của tập các số tự nhiên và những que đếm…
b) Hoạt động 2
Nghiên cứu những sự tương ứng nhằm phát hiện ra những tính chất của những mối liên hệ
nào đó, ví dụ như diện tích của hình vng ln ln bằng bình phương độ dài của cạnh.
Hoạt động này bao gồm nhiều phương diện khác nhau nhưng có thể cụ thể hố thành ba tình
huống sau:
Tình huống 1. Xác định giá trị ra khi biết giá trị vào; xác định giá trị vào khi biết giá
trị ra; nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong các trường hợp có thể) khi cho
biết các cặp phần tử tương ứng của mối liên hệ đó (hay khi cho cặp giá trị vào và giá trị ra);
nhận biết tính đơn trị của sự tương ứng.
Tình huống 2. Đánh giá sự biến thiên mong muốn của giá trị ra khi thay đổi giá trị
vào; thực hiện một sự biến thiên mong muốn đối với giá ra bằng cách thay đổi giá trị vào;
dự đốn sự phụ thuộc.
Tình huống 3. Phát triển và nghiên cứu những bất biến; những trường hợp đặc biệt
và những trường hợp suy biến.
c) Hoạt động 3
Vận dụng sự tương ứng: Từ chỗ nghiên cứu nắm được những tính chất của một sự tương
ứng có thể vận dụng sự tương ứng đó vào một hoạt động nào đó, chẳng hạn nhờ mối liên hệ
giữa diện tích hình vng với độ dài cạnh ta có thể đo diện tích hình vuông bằng cách dùng
thước dài chứ không cần phải dùng chiếc mét vuông mẩu hoặc lưới ô vuông.

14


Ba loại hoạt động này gắn bó chặt chẽ với nhau, hoạt động trước là tiền đề cho hoạt
động sau và hoạt động sau là mục đích, cơ sở hình thành hoạt động trước.
Như vậy, rèn luyện tư duy hàm là rèn luyện cho học sinh những khả năng, những hoạt động
sau:
(1) Có khả năng xem xét, nhìn nhận các đối tượng tốn học dưới con mắt động, nhìn
trong sự vận động, biến đổi.
(2) Phát hiện được sự tương ứng hay những mối liên hệ giữa các đối tượng, sự kiện
toán học trong sự vận động và biến đổi của chúng.
(3) Từ việc tìm hiểu rồi nghiên cứu được những tương ứng hay những mối liên hệ
nào đó, ở mức độ cao hơn, có khả năng thể hiện (hay diễn đạt) được nội dung của các đối
tượng, sự kiện toán học bằng ngơn ngữ hàm.

1.3. Q trình mơ hình hóa tốn học
Theo Từ điển bách khoa tồn thư, mơ hình hóa tốn học là sự giải thích tốn học cho
một hệ thống tốn học hay ngồi tốn học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt
ra trên hệ thống này.
Q trình mơ hình hóa vấn đề thực tiễn được trình bày theo sơ đồ sau (Theo Nguyễn
Thị Nga (2011)).

15


Sơ đồ này chia q trình mơ hình hóa thành 4 bước: (Tham khảo Nguyễn Thị Nga (2011))
- Bước 1: Chuyển hệ thống ngồi tốn học thành một mơ hình trung gian. Xây dựng
mơ hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác
lập những quy luật mà chúng phải tn theo. Mơ hình trung gian giữa tình huống ngồi tốn
học và mơ hình tốn học cần xây dựng biểu thị một cấp độ trừu tượng hóa đầu tiên của

“thực tiễn”. Mơ hình này tiến triển từ từ qua việc mơ hình hóa: một mơ hình trung gian có
thể gần về ngữ nghĩa ít hoặc nhiều hơn so với tình huống thực tế được xem xét hoặc so với
mơ hình tốn học cần xây dựng.
- Bước 2: Chuyển mơ hình trung gian thành mơ hình tốn học, tức là diễn tả lại dưới
dạng ngơn ngữ tốn học cho mơ hình định tính. Khi có mơ hình trung gian ta chọn các biến
đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét. Từ đó dẫn đến việc lập mơ hình tốn học
thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số của tình huống. Như vậy mơ hình tốn
học là trừu tượng hóa dưới dạng ngơn ngữ toán học của hiện tượng thực tế, cần phải được
xây dựng sao cho việc phân tích nó cho phép ta hiểu được bản chất của hiện tượng.
- Bước 3: Hoạt động tốn học trong mơ hình tốn học. Sử dụng các cơng cụ tốn học
để khảo sát và giải quyết mơ hình tốn học hình thành ở bước thứ hai. Căn cứ vào mơ hình
đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp.
- Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Trở lại tình
huống được nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề toán học thành câu trả lời của
những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn được mô hình hóa.
Trong bước này có hai khả năng:
* Khả năng 1: Mơ hình và các kết quả tính tốn phù hợp với thực tế.
* Khả năng 2: Mơ hình và các kết quả tính tốn khơng phù hợp với thực tế. Khi đó cần xem
xét các ngun nhân sau:
- Tính chính xác của lời giải tốn học, thuật tốn, quy trình.
- Mơ hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét.
- Tính thỏa đáng của mơ hình tốn học đang xây dựng.
- Các số liệu ban đầu khơng phản ánh đúng thực tế.
Có thể phải thực hiện lại quy trình cho đến khi tìm được mơ hình tốn học thích hợp cho
tình huống đang xét.
Như thế, mơ hình hóa tốn học là q trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết nhờ
những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp. Quá trình ấy được thực hiện
16

thơng qua việc xây dựng mơ hình phỏng thực tế bằng cách “cắt tỉa” – hay ngược lại, bổ
sung thông tin - để có thể gắn vấn đề ban đầu với các quy trình tốn học. Trong bước tìm
kiếm mơ hình phỏng thực tế này người ta thường phải thực hiện những việc như đặt giả
thuyết, tổng qt hóa, hình thức hóa,… Bài tốn tốn học cuối cùng được xây dựng phải đại
diện trung thực cho bối cảnh thực tế.
(Theo Vũ Như Thư Hương – 2013)

1.4. Dạy học đặt và giải quyết vấn đề
Chúng tơi sẽ trình bày tóm tắt một số nội dung về dạy học đặt và giải quyết vấn đề
trong tài liệu“ Phương pháp dạy học môn tốn ở trường phổ thơng” của tác giả Lê Văn Tiến
(2005).
1.4.1. Những khái niệm cơ bản
1.4.1.1. Vấn đề
Thuật ngữ Bài toán được hiểu là “tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả
chưa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ liệu, hoặc về phương pháp cần khám phá, mà theo
phương pháp này sẽ đạt được kết quả đã biết” (Từ điển “Petit Robert”).
Xét bài toán T và một chủ thể X có ý thức về T và tiếp nhận T để giải quyết. Khi đó
có hai khả năng xảy ra:
- Chủ thể X có thể giải quyết được bài toán T chỉ nhờ vào việc áp dụng đơn thuần hệ
thống kiến thức đã có của mình mà khơng có khó khăn gì.
- X khơng thể giải quyết được T nếu chỉ dựa vào hệ thống kiến thức đã có, hoặc chỉ
giải quyết được T sau một q trình tích cực suy nghĩ để đồng hóa đối tượng nhận thức vào
mơ hình kiến thức cũ của mình, hoặc để điều chỉnh lại kiến thức hay phương pháp hành
động cũ (nghĩa là kiến tạo kiến thức mới).
Nói cách khác bài toán T đặt ra trước chủ thể X những khó khăn nhận thức, những
mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái chưa biết, được chủ thể ý thức một cách rõ ràng hay mơ
hồ, nhưng chưa có một phương pháp có tính thuật tốn nào để giải quyết. Khi đó ta nói, bài
tốn T là một vấn đề đối với chủ thể X.
Cần nhấn mạnh rằng, để bài toán T là một vấn đề đối với chủ thể X, thì trước hết X
phải có ý thức về T và tiếp nhận T để giải quyết (tự nguyện hay bắt buộc).

17


1.4.1.2. Tình huống có vấn đề và tình huống gợi vấn đề
Tình huống có vấn đề là tình huống trong đó tồn tại một vấn đề (theo nghĩa ở trên).
Tình huống gợi vấn đề là tình huống thỏa mãn ba điều kiện sau:
a) Tồn tại một vấn đề.
b) Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có vấn đề, nhưng vì một lí do nào đó nào
đó mà họ khơng có hứng thú tìm hiểu, suy nghĩ để tìm cách giải quyết (chẳng hạn vì họ cảm
thấy chẳng có ích gì cho mình, hay vì q mệt mỏi,...) thì đó cũng khơng phải là tình huống
gợi vấn đề. Tình huống gợi vấn đề phải là tình huống tao ra cho HS một cảm xúc hứng thú,
mong muốn giải quyết vấn đề.
c) Gây niềm tin ở khả năng: Nếu vấn đề trong tình huống rất hấp dẫn, lơi cuốn và HS
có nhu cầu giải quyết, nhưng nếu họ mau chóng cảm thấy vấn đề là quá khó, vượt quá khả
năng của mình, thì họ cũng khơng cịn hứng thú, khơng cịn sẵn sàng giải quyết vấn đề. Tình
huống gợi vấn đề phải bộc lộ mối quan hệ (có thể khá mờ nhạt) giữa vấn đề cần giải quyết
và vốn kiến thức sẵn có của chủ thể, và tạo ra ở họ niềm tin rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ
thấy rõ hơn mối quan hệ này và có nhiều khả năng tìm ra cách giải quyết.
Tóm lại, tình huống gợi vấn đề là tình huống gợi ra cho HS những khó khăn về lí
luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng khơng phải ngay
thức thì nhờ vào một quy tắc có tính thuật tốn, mà phải trải qua một q trình tích cực suy
nghĩ, hoạt động để đồng hóa nó hay điều chỉnh hệ thống kiến thức sẵn có nhằm thích nghi
với điều kiện hành động mới.
1.4.2. Dạy học đặt và giải quyết vấn đề
Dạy học đặt và giải quyết vấn đề ( DHĐ&GQVĐ) là hình thức dạy học trong đó GV
(hay cùng HS) tạo ra một hay nhiều tình huống gợi vấn đề, tổ chức, điều khiển HS trình bày
vấn đề và hoạt động giải quyết các vấn đề, qua đó giúp HS lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ
năng, phát triển tư duy và đạt được các mục đích dạy học khác.
Một trong các mục đích chủ yếu của DHĐ&GQVĐ là làm cho HS lĩnh hội được kiến

thức mới như là kết quả của quá trình giải quyết vấn đề. Nói cách khác, kiến thức khơng
được truyền thụ trực tiếp từ GV, dưới dạng có sẵn, mà được khám phá dần theo q trình
giải quyết vấn đề.
Một mục đích cốt yếu khác của hình thức dạy học này là giúp HS phát triển các khả
năng khác, như: khả năng phát hiện và trình bày vấn đề, khả năng tìm kiếm cách giải quyết
18


vấn đề, khả năng tổ chức quá trình giải quyết vấn đề, khả năng kiểm tra đánh giá kết quả và
phương pháp tiến hành giải quyết vấn đề,... Nói cách khác, nó cũng cung cấp cho HS những
tri thức phương pháp.
• Các bước chủ yếu của DHĐ&GQVĐ:
a) Tạo tình huống gợi vấn đề (phát hiện vấn đề).
b) Trình bày vấn đề và đặt mục đích giải quyết vấn đề.
c) Giải quyết vấn đề: khám phá các phương pháp giải, chọn phương pháp giải thích
hợp, trình bày lời giải.
d) Kiểm tra, đánh giá lời giải, kết quả và cả cách thức tìm kiếm lời giải.
e) Thể chế hóa kiến thức cần lĩnh hội.

1.5. Phát triển tư duy hàm cho học sinh nhờ vào mơ hình hóa và giải quyết các
tình huống gợi vấn đề
Qua phân tích các đặc trưng tư duy hàm và các bước của q trình mơ hình hố,
chúng tôi nhận thấy việc phát triển tư duy hàm không thể thiếu hoạt động mơ hình hóa một
tình huống thực tế bởi một hàm số nhờ vào một trong các hệ thống biểu đạt của nó. Đặc
biệt, việc nhìn nhận sự phụ thuộc, tương ứng giữa các đối tượng trong sự vận động giữa
chúng để thiết lập nên mối quan hệ hàm cần phải được nhấn mạnh. Hơn nữa, cũng cần quan
tâm đến việc khai thác, sử dụng các tính chất của hàm số như một công cụ để phân tích một
hiện tượng thực tế. Như vậy, việc dạy học tốn ở trường phổ thơng vấn đề phát triển tư duy
hàm được quan tâm ở mức độ nào, có mối liên hệ gì với mơ hình hóa tốn học. Vấn đề này
sẽ được chúng tôi làm rõ trong chương tiếp theo.

19


CHƯƠNG 2: TƯ DUY HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở
TRƯỜNG PHỔ THƠNG
Mục đích nghiên cứu của chúng tơi trong chương này là đi tìm câu trả lời cho câu
hỏi: Trong thể chế dạy học tốn ở trường phổ thơng việc phát triển tư duy hàm có được đề
cập hay khơng? Hoạt động đặc trưng nào của tư duy hàm được nhấn mạnh? Vấn đề dạy
học bằng mơ hình hóa có được thể chế quan tâm khi đưa vào các hoạt động phát triển tư
duy hàm cho học sinh hay không?
Tư duy hàm được bồi dưỡng xuyên suốt ở trường phổ thông và hiện diện trong nhiều
lĩnh vực, đặc biệt là đại số (chủ đề các tập hợp số, hàm số) và hình học (các phép biến hình).
Việc phát triển tư duy hàm có thể khai thác trong nhiều chủ đề khác nhau. Tuy nhiên trong
phạm vi giới hạn của luận văn, chúng tôi chỉ quan tâm đến việc phát triển tư duy hàm trong
lĩnh vực đại số.
Để đạt được mục tiêu trên, chúng tơi sẽ tiến hành phân tích các sách giáo khoa và
sách giáo viên toán hiện hành từ lớp 1 cho đến lớp 10, nhưng tập trung chủ yếu là ở các lớp
7, 9, 10 do ở các lớp này khái niệm hàm số được định nghĩa.

2.1. Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng tiền toán học (tiểu học đến
đầu năm lớp 7)
Khái niệm hàm số không được định nghĩa trong giai đoạn này. Tuy nhiên, đặc trưng
“tương ứng” của hàm số đã hiện diện và được khai thác một cách ngầm ẩn. Đó là sự tương
ứng giữa các phần tử của hai tập hợp như tương ứng giữa số chén và số dĩa, tương ứng giữa
các con số từ 1 đến 10 với tích số trong bảng nhân, tương ứng giữa giá trị của tổng và số
hạng, sự tương ứng giữa diện tích và độ dài một cạnh, tương ứng giữa quãng đường đi được
và thời gian chuyển động… Cụ thể qua từng lớp, chúng tôi minh họa một số kiểu nhiệm vụ
xuất hiện như sau:
Ví dụ: Viết giá trị của biểu thức vào ô trống:

m

3

30

23

230

m x 78
(SGK Toán 4, trang 70)
20


“Ví dụ: Một người đi bộ trung bình mỗi giờ đi được 4 km. Bảng dưới đây cho biết quãng
đường đi được của người đi bộ trong 1 giờ, 2 giờ, 3 giờ:
Thời gian đi

1 giờ

2 giờ

3 giờ

Quãng đường đi được

4 km

8 km

12 km

Nhận xét: Khi thời gian gấp lên bao nhiêu lần thì quãng đường đi được cũng gấp lên bấy
nhiêu lần”

(SGK Tốn 5, trang 18).

Hay
“Ví dụ: Có 100 kg gạo được chia đều vào các bao. Bảng dưới đây cho biết số bao
gạo có được khi chia hết số gạo đó vào các bao, mỗi bao đựng 5 kg, 10 kg,
20 kg.
Số ki-lô-gam gạo ở mỗi bao

5 kg

10 kg

20 kg

Số bao gạo

20 bao

10 bao

5 bao

Nhận xét: Khi số ki-lô-gam gạo ở mỗi bao gấp lên bao nhiêu lần thì số bao gạo có được
lại giảm đi bấy nhiêu lần.”

(SGK Tốn 5, trang 20).

Thơng qua các hoạt động trên, SGK mong muốn bước đầu hình thành nên sự tương
ứng giữa hai đại lượng. Chẳng hạn, để hình thành cho học sinh những biểu tượng đầu tiên
về “ nhiều hơn”, “bằng”, “lớn hơn”, “nhỏ hơn” SGK cho học sinh thiết lập sự tương ứng
giữa số chén và số dĩa. Việc cho học sinh tính tốn trên các bảng như số hạng và tổng, biểu
thức có biến tương ứng với việc xác định giá trị đầu ra khi biết giá trị vào. Ở đây cũng hình
thành ở học sinh biểu tượng ban đầu về sự phân biệt giữa những sư tương ứng đơn trị với
những sự tương ứng không đơn trị và có thể làm cho học sinh biết nhìn nhận một phép tính
như một quy tắc tương ứng thể hiện bởi một bảng giá trị. Như vậy việc rèn luyện các kĩ
năng tính tốn và đào sâu những hiểu biết về những phép tính góp phần phát triển tư duy
hàm cho học sinh.
Đầu chương trình lớp 7, SGK đưa vào khái niệm đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ
lệ nghịch với các mục tiêu cụ thể sau:
“- Hiểu được công thức đặc trưng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, của hai đại lượng tỉ lệ
nghịch.
- Biết vận dụng các cơng thức và tính chất để giải được các bài toán cơ bản về hai đại
lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch.”
21


(SGV Tốn 7, trang 56)
Ở đây, chúng tơi nhận thấy rằng các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm đã được đề
cập đến thông qua các bài tập cho bằng bảng số, và các bài toán gắn liền với thực tiễn, vật
lý. Cụ thể:
Bài 2/54: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp vào ơ trống trong
bảng sau:
x

-3

-1

1

y

2

3

-4

Bài 5/55: Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không, nếu:
x

1

2

3

4

5

x

1

2

5

6

9

y

9

18

27

36

45

y

12

24

60

72

90

Bài 15/58:
Cho biết đội A dùng x máy cày (có cùng năng suất) để cày xong một cánh đồng hết y giờ.
Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau không?
Cho biết x là số trang đã đọc xong và y là số trang còn lại chưa đọc của một
quyển sách. Hỏi x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng?
Cho biết a(m) là chu vi của bánh xe, b là số vòng quay được của bánh xe trên đoạn đường
xe lăn từ A đến B. Hỏi a và b có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?
Bài 22/62: Một bánh răng cưa có 20 răng quay một phút được 60 vịng. Nó khớp với một
răng cưa khác có x răng. Giả sử bánh răng cưa thứ hai quay một phút được y vòng. Hãy
biểu diễn y qua x.
Bài 23/62: Hai bánh xe nối với nhau bởi một dây tời. Bánh xe lớn có bán kính 25cm, bánh
xe nhỏ có bán kính 10cm. Một phút bánh xe lớn quay được 60 vòng. Hỏi một phút bánh xe
nhỏ quay được bao nhiêu vịng?
(SGK Tốn 7 tập 1)
Qua các bài tập trên, mục tiêu mà SGK nhắm đến là giúp học sinh phát hiện và sử
dụng các tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận và nghịch.
Các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm được đề cập ở đây là:
- Nghiên cứu sự tương ứng: xác định giá trị ra khi biết giá trị vào (bài tập 2/54), nhận biết
22


quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (bài 5/55, 15/58, 22/62).
- Vận dụng sự tương ứng: bài tập 23/62. Để giải quyết bài toán này học sinh phải phát
hiện sự tương ứng giữa số vòng quay và bán kính- tỉ lệ nghịch nhau. Sau đó, học sinh dựa
vào tính chất của tỉ lệ nghịch thiết lập nên cơng thức, đi tìm kết quả và sử dụng kết quả này
trả lời câu hỏi của bài tốn.
Tóm lại, giai đoạn này khái niệm hàm số chưa xuất hiện nhưng các hoạt động đăc

trưng cho tư duy hàm bước đầu được đề cập. Hoạt động nghiên cứu sự tương ứng được đề
cập nhiều hơn. Hai hoạt động còn lại chỉ xuất hiện trong một vài bài tập. Trong các bài toán
thực tế liên quan đến hoạt động phát triển tư duy hàm, các đại lượng đóng vai trị là biến độc
lập, biến phụ thuộc luôn được xác định và được đề cập tường minh trong đề toán. Hơn nữa,
các biến này liên hệ với nhau bởi một công thức mà việc tìm ra mối liên hệ đó bằng một
cơng thức được thực hiện khá dễ dàng.

2.2. Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng toán học (từ lớp 7 trở đi)
2.2.1. Lớp 7
SGK trình bày định nghĩa khái niệm hàm số bằng con đường quy nạp: xuất phát từ
những ví dụ cụ thể và rút ra những đặc trưng của khái niệm, sau đó nêu định nghĩa .
Định nghĩa hàm số được SGK trình bày như sau:
“Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn
xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là
biến số” (SGK, Toán 7, tập một, trang 63)
Hàm số trình bày ở đây theo quan điểm: coi hàm số là khái niệm tốn học mơ tả sự
phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên. Khái niệm này đã thể hiện tường minh sự
biến thiên của hai đại lượng. Tuy nhiên, SGK đã nêu ra chú ý: “Khi y là hàm số của x ta có
thể viết y = f(x), y = g(x)… Chẳng hạn, với hàm số được cho bởi công thức y = 2x +3, ta
cịn có thể viết y=f(x)=2x+3 và khi đó, thay cho câu”khi x bằng 3 thì giá trị tương ứng của
y là 9” hoặc câu” khi x bằng 3 thì y bằng 9”) ta viết f(3)=9”. Khi đó, đặc trưng tương ứng
của hàm số được thể hiện rõ nét. Việc phát triển tư duy hàm được quan tâm như thế nào?
Các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm có được khai thác trong các bài tốn thực tiễn hay
khơng? Điều này chúng tơi sẽ phân tích trong phần hoạt động và bài tập.
Chúng tơi nhận thấy có các kiểu nhiệm vụ liên quan đến việc phát triển tư duy hàm
như sau:
23