sử dụng toán học hoá để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
---------------------

NGUYỄN THỊ TÂN AN

SỬ DỤNG TOÁN HỌC HOÁ ĐỂ PHÁT TRIỂN
CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG
CỦA HỌC SINH LỚP 10
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán
Mã số: 62 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. TRẦN VUI

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2014


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện. Các
số liệu và kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa được
công bố bởi bất kỳ tác giả nào hay ở bất kỳ công trình nghiên cứu nào
khác.
Tác giả

Nguyễn Thị Tân An

1

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán trường
ĐHSP Huế, tổ Didactic Toán trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh, phòng
Sau đại học trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh đã hỗ trợ, giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả làm Nghiên cứu sinh cũng như đã
đưa ra những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận án.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
giáo PGS. TS. Trần Vui, người đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt tác giả trong
suốt thời gian qua.
Tác giả xin trân trọng cám ơn sự hợp tác, giúp đỡ từ phía giáo viên
và học sinh các trường THPT Đặng Huy Trứ, THPT Nguyễn Huệ và THPT
Hai Bà Trưng, Tỉnh Thừa Thiên Huế trong thời gian tác giả tổ chức thực
nghiệm đề tài.
Cuối cùng, tác giả xin chân thành cám ơn bạn bè, đồng nghiệp, gia
đình luôn động viên, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận án này.
Do điều kiện chủ quan và khách quan, bản luận án chắc chắn còn
những thiếu sót. Tác giả rất mong những ý kiến đóng góp để tiếp tục hoàn
thiện, nâng cao chất lượng vấn đề nghiên cứu.
Tác giả

Nguyễn Thị Tân An

2


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 11

CHƯƠNG 1 ......................................................................................................................... 23
TOÁN HỌC HÓA VÀ HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG .......................................................... 23
1.1 MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC ....................................................................................... 23
1.1.1 Các khái niệm cơ bản .................................................................................................. 24
1.1.2 Khái niệm mô hình hóa toán học ................................................................................ 26
1.1.3 Sơ đồ quá trình mô hình hóa toán học ........................................................................ 26
1.1.4 Sự khác nhau giữa mô hình hóa và áp dụng toán ....................................................... 30
1.1.5 Nền tảng lịch sử và các tiếp cận mô hình hóa trong giáo dục toán............................. 33
1.1.6 Toán học hóa ............................................................................................................... 36
1.1.7 Phân tích việc dạy học sử dụng toán học hóa dưới quan điểm lý thuyết kiến tạo xã hội
............................................................................................................................................. 40
1.2 HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG .......................................................................................... 42
1.2.1 Khái niệm hiểu biết định lượng .................................................................................. 42
1.2.2 Mối quan hệ giữa Hiểu biết định lượng và Toán học ................................................. 48
1.2.3 Các thành phần liên quan đến hiểu biết định lượng.................................................... 49
1.2.4 Sơ lược lịch sử của hiểu biết định lượng .................................................................... 58
1.3 MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC HÓA VÀ HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG ............. 61
CHƯƠNG 2 ......................................................................................................................... 66
SỬ DỤNG TOÁN HỌC HÓA ĐỂ PHÁT TRIỂN .............................................................. 66
CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG ................................................................. 66
2.1 XÂY DỰNG QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC HÓA PHÙ HỢP VỚI CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN PHỔ THÔNG HIỆN NAY ...................................................................................... 66
3


2.1.1 Các tình huống toán học ............................................................................................. 66
2.1.2 Tìm hiểu thể hiện của mô hình hóa trong chương trình ............................................. 72
2.1.3 Những khó khăn thường gặp khi sử dụng MHH trong lớp học toán .......................... 79
2.1.4 Xây dựng quá trình toán học hóa ................................................................................ 80
2.2 THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG TOÁN HỌC HÓA ................................................... 83

2.2.1 Lựa chọn nội dung toán .............................................................................................. 83
2.2.2 Tiêu chí thiết kế tình huống ........................................................................................ 88
2.2.3 Thiết kế tình huống ..................................................................................................... 89
2.2.4 Các mức độ của tình huống toán học hóa ................................................................... 91
2.2.5 Thử nghiệm và sửa chữa ............................................................................................. 95
2.3 XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ ĐỂ ĐO MỨC ĐỘ PHÁT TRIỂN CÁC NĂNG
LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG CỦA HỌC SINH QUA QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC
HÓA ................................................................................................................................... 101
CHƯƠNG 3 ....................................................................................................................... 110
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................................................ 110
3.1 MỤC ĐÍCH, NGỮ CẢNH VÀ KẾ HOẠCH THỰC NGHIỆM ................................. 110
3.1.1 Mục đích thực nghiệm .............................................................................................. 110
3.1.2 Ngữ cảnh thực nghiệm .............................................................................................. 110
3.1.3 Kế hoạch thực nghiệm .............................................................................................. 112
3.1.4 Tổ chức dạy học thực nghiệm ................................................................................... 113
3.1.5 Thu thập dữ liệu và phân tích ................................................................................... 114
3.2 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NGHIỆM ............................. 115
3.2.1 Tình huống thực nghiệm 1 ........................................................................................ 115
3.2.2 Tình huống thực nghiệm 2 ........................................................................................ 126
3.2.3 Tình huống thực nghiệm 3 ........................................................................................ 135

4


3.2.4 Tình huống thực nghiệm 4 ........................................................................................ 145
3.2.5 Sự phát triển năng lực hiểu biết định lượng thể hiện qua bốn buổi dạy học thực
nghiệm ............................................................................................................................... 153
3.3 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BÀI KIỂM TRA PRETEST VÀ POSTTEST..................... 160
3.3.1 Bài kiểm tra pretest ................................................................................................... 160
3.3.2 Bài kiểm tra posttest ................................................................................................. 167

3.3.3 Sự phát triển năng lực hiểu biết định lượng của học sinh thể hiện qua hai bài kiểm tra
........................................................................................................................................... 176
3.4 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BẢNG HỎI ......................................................................... 180
3.4.1 Mục đích của việc học toán ...................................................................................... 181
3.4.2 Khó khăn khi giải quyết các tình huống ................................................................... 181
3.4.3 Nắm được quá trình toán học hóa ............................................................................. 182
3.4.4 Tự đánh giá về sự tiến bộ .......................................................................................... 184
3.4.5 Thái độ đối với các tình huống thực tế ..................................................................... 185
KẾT LUẬN........................................................................................................................ 188
CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ ................................................................... 193
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 194
PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 200
PHỤ LỤC 1 ....................................................................................................................... 200

5


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

AAC&U : Hiệp hội các trường Đại học ở Mỹ
ĐH

: Đại học

HBĐL

: Hiểu biết định lượng

HS

: Học sinh

MHH

: Mô hình hóa

PISA

: Chương trình đánh giá học sinh quốc tế

SBT

: Sách bài tập

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

TB

: Trung bình

THH

: Toán học hóa

THPT

: Trung học phổ thông

6


DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1.1 Tỷ giá ngoại tệ ...........................................................................................44
Bảng 1.2 Dân số và diện tích của các đảo ở Indonesia năm 1980 ............................47
Bảng 1.3 Các năng lực HBĐL thể hiện qua quá trình toán học hóa .........................63
Bảng 2.1 Thống kê số tình huống toán học trong SGK ............................................72
Toán 10 cơ bản và nâng cao ......................................................................................72
Bảng 2.2 Thống kê các tình huống toán học ở SGK và SBT Đại số 10 Nâng cao ...73
Bảng 2.3 Thống kê các tình huống toán học ở SGK, SBT Hình học 10 Nâng cao ..74
Bảng 2.4 Tỉ lệ các tình huống toán học trong SGK và SBT Toán 10 Nâng cao ......74
Bảng 2.5 Thống kê tình huống mô hình toán theo chủ đề ........................................76
Bảng 2.6 Nội dung toán ............................................................................................84
Bảng 2.7 Các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế - SGK Toán 10 Nâng cao
(không kể chương Thống kê)....................................................................85
Bảng 2.8 Các tình huống THH chứa đựng yếu tố định lượng (Xem nội dung chi tiết
ở phụ lục 3) ...............................................................................................90
Bảng 2.9 Các mức độ của tình huống toán học hóa ..................................................92
Bảng 2.10 Phân loại các tình huống THH theo mức độ phức tạp .............................92
Bảng 2.11 Các tình huống dạy thực nghiệm và kiểm tra ..........................................95
Bảng 2.12 Sắp xếp các tình huống theo mục đích thực nghiệm .............................101
Bảng 2.13 Thang đánh giá năng lực giao tiếp với toán học ....................................103
Bảng 2.14 Thang đánh giá năng lực phân tích và xây dựng mô hình toán học ......104
Bảng 2.15 Thang đánh giá năng lực suy luận .........................................................105

Bảng 2.16 Thang đánh giá năng lực sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực
hiện các phép toán ..................................................................................106
Bảng 2.17 Thang đánh giá năng lực biểu diễn ........................................................107
Bảng 2.18 Thang đánh giá năng lực giải quyết vấn đề ...........................................108
Bảng 3.1 Kết quả thống kê điểm trung bình môn Toán của học sinh lớp 10A2 .....111
Bảng 3.2 Kết quả thống kê điểm pretest và postest ................................................177
Bảng 3.3 Điểm trung bình đối với mỗi câu .............................................................177

7


DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ
Trang

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ quá trình MHH của Pollak (1979) ..................................................28
Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quá trình MHH của Blum và Leiß (2006) ......................................29
Sơ đồ 1.3 Sơ đồ quá trình MHH của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards (2007) ...30
Sơ đồ 1.4 Các hoạt động của quá trình toán học hóa ................................................37
Sơ đồ 1.5 Toán học hóa trong quá trình mô hình hóa ...............................................38
Sơ đồ 1.6 Quá trình toán học hóa theo PISA ............................................................39
Sơ đồ 1.7 Mối quan hệ giữa hiểu biết định lượng và các loại hiểu biết khác ...........43
Sơ đồ 1.8 Ba thành phần liên quan đến HBĐL (Hogan, 2000, [33]) ........................50
Sơ đồ 2.1 Quá trình MHH mô phỏng theo Stillman, Galbraith, Brown, Edwards ...67
Sơ đồ 2.2 Ba giai đoạn đơn giản hóa một tình huống thực tế ...................................68
Sơ đồ 2.3 Mức độ phức tạp của các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế .............69
Sơ đồ 2.4 Phân loại các tình huống toán học ............................................................69
Sơ đồ 2.5 Quá trình toán học hóa ..............................................................................81

8

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Trang

Hình 1.1 Mái che di động ..........................................................................................31
Hình 1.2 Mô hình toán cho tình huống mái hiên ......................................................32
Hình 1.3 Khoảng cách giữa hai tàu ...........................................................................33
Hình 1.4 Sự khác nhau giữa áp dụng toán và mô hình hóa ......................................33
Hình 1.5 Chương trình ca nhạc ngoài trời.................................................................44
Hình 1.6 Chiều cao trung bình của giới trẻ ở Hà Lan năm 1998 ..............................45
Hình 1.7 Cửa hàng áo quần .......................................................................................45
Hình 1.8 Đèn hiệu giao thông và xe cứu thương ......................................................46
Hình 1.9a Tổng giá trị xuất khẩu từ Zedland 1996 – 2000 .......................................47
Hình 1.9b Phân phối xuất khẩu ở Zedland năm 2000 ...............................................47
Hình 1.10 Bánh Pizza ................................................................................................51
Hình 1.11 Khoảng cách giữa hai gót chân liên tiếp ..................................................57
Hình 1.12 Trải thảm ..................................................................................................62
Hình 2.1a Ly cocktail thủy tinh.................................................................................70
Hình 2.1b Các ly thủy tinh với kích thước khác nhau ..............................................70
Hình 2.1c Phần thân ly cùng với đường kính và dung tích .......................................71
Hình 2.1d Phần thân ly với chiều cao H và thể tích V ..............................................71
Hình 2.2a Ném bóng .................................................................................................86
Hình 2.2b Đá bóng ....................................................................................................86
Hình 2.2c Trượt tuyết ................................................................................................86
Hình 2.2d Biểu diễn mô tô bay .................................................................................86
Hình 2.3a Cầu Golden Gate ở San Francisco – California, Mỹ................................86
Hình 2.3b Cầu cảng Sydney, Úc ...............................................................................86
Hình 2.3c Tháp Eiffel, Pháp ......................................................................................87
Hình 2.3d Hồ cá hải dương học ở Valencia, Tây Ban Nha.......................................87
Hình 2.4… .................................................................................................................87

9


Hình 2.5a Đo chiều cao ngọn núi ..............................................................................88
Hình 2.5b Ví trí hai diễn viên nhào lộn có thể “bắt” nhau ........................................88
Hình 2.5c Dắt sà lan biển với hai tàu kéo .................................................................88
Hình 2.5d Xác định vị trí trên biển ...........................................................................88
Hình 3.1 Biểu đồ tần số hình cột .............................................................................111
Hình 3.2 Kế hoạch thực nghiệm .............................................................................113
Hình 3.3 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Út và nhóm Nguyệt ....154
Hình 3.4 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Duyệt, Việt và Phú .....155
Hình 3.5 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Thiện ..........................155
Hình 3.6 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Phượng và nhóm Mơ .156
Hình 3.7 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Nhi và nhóm An.........157
Hình 3.8 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Hòa và nhóm Linh .....157
Hình 3.9 Mức độ trung bình của các năng lực HBĐL qua bốn buổi thực nghiệm .158
Hình 3.10 Biểu đồ đường biểu diễn điểm trung bình mỗi câu ................................178
Hình 3.11 Biểu đồ hình hộp điểm của hai bài kiểm tra ..........................................178
Hình 3.12 Biểu đồ đám mây điểm của điểm pretest và postest ..............................179
Hình 3.13 Điểm trung bình của các năng lực HBĐL qua hai bài kiểm tra .............179
Hình 3.14 Điểm trung bình của các năng lực HBĐL qua hai bài kiểm tra và

bốn

buổi thực nghiệm ...................................................................................180

10

MỞ ĐẦU

1. Giới thiệu về hiểu biết định lượng
Trong lớp học toán, học sinh thường áp dụng các quá trình toán đã được học vào
những nhiệm vụ cụ thể. Nhưng để sử dụng các quá trình đó một cách linh hoạt và
phù hợp khi cần thiết ở bên ngoài lớp học thì học sinh cần hiểu ý nghĩa đằng sau các
phép toán, các quá trình, các khái niệm và có khả năng kết nối các ý tưởng toán học
khác nhau. Kiến thức được học để hiểu và có thể sử dụng khi cần thiết là quan trọng
hơn học để ghi nhớ, thuộc lòng. Nếu học sinh tập luyện và thực hành một quá trình
mà không hiểu ý nghĩa của quá trình đó thì khó có thể sử dụng trong các tình huống
thực tế một cách phù hợp.
Ví dụ: Học sinh lớp 5 có thể dễ dàng trả lời câu hỏi “21000 × 1,3 = ?” bằng cách sử
dụng quy tắc nhân với số thập phân đã được học. Tuy nhiên, trong trường hợp
không có giấy viết hoặc máy tính trên tay, chẳng hạn “đi chợ, em mua 1,3 kg táo,
giá mỗi kilogam táo là 21000 đồng, vậy em phải trả bao nhiêu tiền?”, học sinh cần
có khả năng tính nhẩm. Khi hiểu quy tắc thực hiện phép nhân, nhân một số thập
phân với 10, hiểu vị trí của các chữ số, tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng, học sinh có thể thay thế 21000 × 1,3 bởi 2100 × 13 và tính nhẩm bằng
cách 2100 × 10+2100 × 3 hoặc 2000 × 13+100 × 13 hoặc 21000+2100 × 3. Không phải
học sinh lớp 5 nào cũng trả lời đúng trong tình huống này.
Hoặc dựa vào sơ đồ (hình 1) biểu diễn doanh thu đạt được (phần màu đen) so với
mục tiêu đề ra ban đầu (phần màu trắng) của hai công ty A và B trong năm 2012,
một học sinh so sánh như sau: để đạt được mục tiêu, công ty A cần tăng thêm 50
triệu VNĐ, công ty B chỉ cần tăng thêm 30 triệu VNĐ do đó công ty B gần đạt mục
tiêu hơn. Một học sinh khác sử dụng tỉ lệ để so sánh và nhận thấy công ty A gần đạt
mục tiêu ban đầu hơn vì đã thực hiện được 5/6 (83,33%) mục tiêu của mình trong
khi công ty B chỉ đạt 3/4 (75%).

11

triệu VNĐ
350
300
250
200

Mục tiêu
Doanh thu

150
100
50
0
Công ty A

Công ty B

Hình 1. Doanh thu đạt được so với mục tiêu đề ra của công ty A và B
Trong ví dụ trên, hiểu các khái niệm phân số, phần trăm cho phép học sinh đưa ra
lời giải ý nghĩa khi so sánh các phần của các đại lượng có kích thước khác nhau.
Khả năng học sinh sử dụng kiến thức toán đã học để giải quyết hiệu quả các tình
huống thực tế, như hai ví dụ trên, là những biểu hiện của hiểu biết định lượng (HBĐL).
2. Lý do chọn đề tài
2.1 Nhu cầu từ thực tế
Thế kỉ 21 là một thế kỉ tràn ngập các số liệu. Chúng ta có thể tìm thấy rất nhiều ví
dụ trong cuộc sống hàng ngày và trên các phương tiện truyền thông, ở đó đòi hỏi
khả năng phân tích, xử lý thông tin một cách “hiểu biết” để đưa ra những nhận định
có cơ sở (Steen, 2001, [57]):
-

Các bài viết sử dụng các phép đo định lượng để báo cáo sự gia tăng giá xăng
(phụ lục 1), thay đổi trong tỉ lệ đậu đại học, nguy hiểm chết người từ bệnh ung
thư đường ruột.

-

Các quảng cáo sử dụng các con số để cạnh tranh về giá của các hợp đồng điện
thoại (phụ lục 2), cho vay mua xe ô tô với lãi suất thấp.

12


-

Các bản tin thể thao thường có nhiều thống kê về các đội thi đấu và tỉ lệ thắng
thua cho những trận đấu sắp tới.

-

Hoặc gần gũi hơn đối với cuộc sống của mỗi cá nhân như đọc hiểu lịch trình
xe buýt, hiểu các loại hóa đơn (điện, nước, điện thoại), lên kế hoạch chi tiêu,
trang trí sắp xếp đồ đạc trong nhà.

Cuộc điều tra của Hiệp hội các trường Đại học ở Mỹ AAC&U (Association of
American Colleges and Universities) năm 2009 đã chỉ ra mối quan tâm của những
người sử dụng lao động về các kĩ năng HBĐL, họ nhận thấy rằng gần như tất cả
sinh viên ngày nay sẽ cần một lớp rộng các kĩ năng HBĐL để có thể thực hiện tốt
công việc của nghề nghiệp tương lai. “Để thành công ở nơi làm việc, HBĐL là một
trong những nhân tố cần thiết” (Steen, 2001, [57]).

2.2 Sự thay đổi nhu cầu toán học của xã hội
Mọi người thường nghĩ toán học là một môn học không thay đổi từ trước đến nay,
bao giờ cũng gồm các công thức, khái niệm, định lý, chứng minh, thuật toán... Thực
ra, các phát minh toán học đã phát triển với tốc độ nhanh chóng trong ba thế kỉ qua,
cùng lúc đó vai trò của toán học trong xã hội cũng được mở rộng chứ không còn
hạn chế với một số lĩnh vực như trước đây. Điều này đòi hỏi một sự gia tăng về
HBĐL và yêu cầu để đưa HBĐL vào trường học (Hallett, 2003, [32]).
Quan trọng hơn là ngày càng có nhiều người cần phải sử dụng tư duy định lượng ở
nơi làm việc, trong giáo dục và hầu như mọi lĩnh vực khác của xã hội. Ví dụ:
-

Nông dân sử dụng kiến thức toán để tính lượng hạt giống, phân bón, hóa chất
cần thiết cho đất canh tác của mình, hoặc tính toán chi phí đầu tư bao gồm chi
phí giống, công lao động, máy móc, phân bón hóa học, từ đó ước lượng giá
thành của sản phẩm.

-

Một đầu bếp cần có hiểu biết về tỉ lệ để có thể tăng hoặc giảm số lượng mà
không ảnh hưởng đến tỉ lệ các thành phần của một công thức nấu ăn.

13


-

Luật sư sử dụng các bằng chứng thống kê và những lập luận liên quan đến xác
suất để thuyết phục thành viên ban hội thẩm.

2.3 Quan tâm của các nghiên cứu trong giáo dục

Con người cần những năng lực toán nào để thành công trong xã hội ngày nay? Câu
hỏi này đã đưa các nhà giáo dục đến việc nghiên cứu chương trình và chỉ ra những
nhu cầu liên quan đến học sinh. Một trong những mục tiêu mà giáo dục toán hướng
đến là khuyến khích mối liên hệ giữa kiến thức, kĩ năng thu nhận được trong lớp
học với khả năng thực hiện các tình huống thực tế đòi hỏi sử dụng các kiến thức, kĩ
năng đó. Ngoài ra, ngày càng có nhiều nhà giáo dục nhận ra tầm quan trọng của
HBĐL trong thế giới hiện nay:
-

“HBĐL là một loại hiểu biết cần thiết trong thời đại của chúng ta” (Skalicky,
2004, [56]).

-

“Trong thế kỉ 21, HBĐL sẽ trở thành một đặc trưng không thể tách rời của một
người có giáo dục” (Steen, 2001, [57]).

-

“Khi bước vào thế kỉ 21, một người hiểu biết phải có khả năng đương đầu với
các thông tin định lượng” (Wiggins, 2003, [71]).

-

“HBĐL cho con người công cụ để nhìn thế giới xung quanh với con mắt toán
học, để thấy được các lợi ích cũng như những rủi ro trong các tình huống
thông thường và tiếp cận các vấn đề phức tạp với sự tự tin khi đã suy luận một
cách cẩn thận” (Madison, 2006, [42]).

-

“Khi xã hội ngày càng phụ thuộc vào thông tin và khi công nghệ ngày càng trở
thành một phần của cuộc sống thì nhu cầu HBĐL càng gia tăng” (Shavelson,
2008, [53]).

Theo Hallett (2003, [32]), sự gia tăng này là cần thiết bởi vì “nếu năng lực HBĐL
hạn chế thì khả năng để các công dân đưa ra những quyết định thiếu hiểu biết ở nơi
làm việc, nơi công cộng và trong cuộc sống cá nhân sẽ tăng”. Kaiser (2005, [35])

14


cũng cho rằng, đây là một phản ứng tự nhiên khi thế giới chuyển từ thời đại công
nghiệp sang thời đại thông tin.
Trên phạm vi toàn cầu, HBĐL đã và đang thu hút nhiều sự quan tâm của các tổ
chức giáo dục có uy tín, chẳng hạn:
-

Nhiều hội nghị giữa các nhà giáo dục, các nhà toán học, những nhà lãnh đạo
công nghiệp, những người tham gia trong lĩnh vực giáo dục nhà trường trao
đổi xung quanh vấn đề làm thế nào để gia tăng HBĐL cho con người ngày nay
một cách thích hợp để họ có thể đương đầu với những thách thức định lượng
của cuộc sống trong thế kỉ 21.

-

IALS (The International Adult Literacy Survey) – một chương trình điều tra
quốc tế về hiểu biết của người trưởng thành trên quy mô lớn được thiết kế để
xác định và đo lường các kĩ năng cần thiết của một cá nhân tham gia hiệu quả
vào xã hội thông tin hiện nay, bao gồm HBĐL, giải quyết vấn đề, sử dụng

công nghệ thông tin.

-

NECQL (Northeast Consortium on Quantitative Literacy) Diễn đàn vùng
Đông Bắc về HBĐL – là một diễn đàn thảo luận và phổ biến các thông tin liên
quan đến HBĐL được tổ chức vào mùa xuân hàng năm tại các trường ĐH tại
Mỹ.

-

Năm 2000, chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Programme for
International Student Assessment) của tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế
OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development) bắt đầu
một cuộc điều tra quốc tế, đánh giá sự sẵn sàng của học sinh mười lăm tuổi
cho cuộc sống bên ngoài trường học, tập trung vào ba phần chính: đọc hiểu,
HBĐL và hiểu biết khoa học. Về phần HBĐL, PISA ít chú trọng đến kiểm tra
kiến thức toán thuần túy mà quan tâm nhiều đến việc học sinh thực hiện các áp
dụng toán trong những ngữ cảnh thực tế, nghĩa là học sinh có thể làm gì với
kiến thức toán đã học được từ nhà trường.

15


2.4 Hiểu biết định lượng là cầu nối giữa toán học nhà trường và thế giới thực
Trước khi trẻ đến trường, các em thấy toán học như là một cách hữu ích để xác định
số lượng và hiểu biết thế giới xung quanh. Nhưng khi đến trường, nếu việc học toán
chủ yếu chỉ tập trung vào nhớ lại, lặp lại, giải thích các sự kiện, qui tắc thì học sinh
dễ đánh mất niềm tin toán học là một khoa học dựa trên kinh nghiệm và khó thấy
được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn. Hiểu biết định lượng sẽ giúp các em:

-

Hiểu và nhận ra lợi ích của toán học;

-

Gắn kết toán với thế giới thực;

-

Sử dụng toán một cách thích hợp trong những tình huống khác nhau;

-

Giao tiếp toán học bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán một cách phong phú;

-

Phân tích, tổng hợp, đánh giá tư duy toán học của người khác.

Do đó, hiểu biết định lượng là năng lực cần được trang bị ở nhà trường phổ thông,
nó không chỉ cần thiết cho sự thành công ở trường học mà còn giúp cho việc học
các môn khoa học, nghiên cứu xã hội và công nghệ được tốt hơn (NCTM, 2002).
Hiện nay, việc đánh giá năng lực hiểu biết định lượng của học sinh phổ thông được
thực hiện ở nhiều kỳ thi mang tính quốc tế như SAT (Scholastic Assessment Test),
PISA (Programme for International Student Assessment). Các kỳ thi này xem hiểu
biết định lượng là năng lực không thể thiếu của một công dân có giáo dục trong xã
hội hiện đại. Tuy nhiên, ở nước ta hầu như chưa có nghiên cứu nào trong giáo dục
toán đề cập đến vấn đề này. Chúng ta cần tiến hành nhiều nghiên cứu hơn nữa để
phát triển năng lực hiểu biết định lượng của học sinh.

Trong chương trình toán hiện nay ở Việt Nam, học sinh lớp 10 được trang bị phần
lớn các kiến thức đại số và hình học phẳng như phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình, thống kê, hàm số bậc nhất và bậc hai, lượng giác, hệ thức lượng trong
tam giác, đường tròn, ba đường conic, vectơ… điều này thuận lợi cho việc các em
sử dụng những kiến thức và kĩ năng toán đã học được vào giải quyết nhiều tình
huống thực tế khác nhau của cuộc sống. Đồng thời, theo chúng tôi đây là thời điểm

16


nên bắt đầu chú trọng đến phát triển các năng lực HBĐL cho học sinh để chuẩn bị
cho các em bước vào cuộc sống trưởng thành.
Từ các lý do trên, chúng tôi chọn “SỬ DỤNG TOÁN HỌC HOÁ ĐỂ PHÁT
TRIỂN CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG CỦA HỌC SINH LỚP 10”
làm đề tài nghiên cứu của luận án này.
3. Sơ lược các nghiên cứu liên quan đến đề tài
Trong khi có nhiều tài liệu đề cập đến khái niệm HBĐL cũng như sự cần thiết để
phát triển năng lực này cho học sinh và sinh viên (Madison, 2006, [42], Hallett,
2001, [31], Steen, 2001, [57], Wallace, 2009, [68]), tuy nhiên đối với câu hỏi “làm
thế nào để phát triển năng lực HBĐL?” thì câu trả lời đưa ra thường chung chung và
thiếu chi tiết, chẳng hạn như:
Hallett (2001, [31]), đứng trên quan điểm của một nhà nghiên cứu giáo dục, đã đưa
ra một số đề nghị để phát triển HBĐL:
-

HBĐL cần được dạy trong các ngữ cảnh thực tế; để học sinh có thể áp dụng
kiến thức toán đã học trong nhiều ngữ cảnh khác nhau thì trước hết các em cần
nhận ra những kiến thức toán trong các ngữ cảnh đó, muốn vậy các em phải
hiểu được tình huống, điều này phụ thuộc vào mối quan hệ, kinh nghiệm của
học sinh đối với lĩnh vực được đặt ra.

-

Học sinh cần “hiểu biết sâu sắc” các kiến thức toán để có thể phát hiện các mối
quan hệ định lượng và nhận ra các mối quan hệ này trong những ngữ cảnh
không quen thuộc.

-

Tạo cho học sinh thói quen sẵn sàng sử dụng các công cụ định lượng để phân
tích, phản ánh, phán xét các hiện tượng tự nhiên, xã hội, muốn vậy các em cần
được thực hành các kĩ năng này thường xuyên trong lớp học.

Tuy nhiên, bà cũng cho rằng để làm được điều này là một thử thách lớn đối với các
giáo viên, các nhà giáo dục, và để thực hiện hiệu quả cần có sự chia sẻ của nhiều

17


môn học, cũng như có sự phối hợp giữa các cấp học từ phổ thông đến cao đẳng, đại
học.
Theo De Lange (2003, [21]), HBĐL có mối liên hệ chặt chẽ với toán học vì vậy ông
đã đưa ra những chỉ dẫn mà theo ông dạy học toán có thể giúp để phát triển HBĐL:
-

Các khái niệm toán nên được học thông qua giải quyết vấn đề trong môi
trường phù hợp, tạo cơ hội cho toán học hóa và tổng quát hóa.

-

Kiến thức toán được dạy không chỉ trong ngữ cảnh toán học mà còn trong cả
những ngữ cảnh thực tế.

Hoặc “Để phát triển hiểu biết định lượng, giáo viên cần khuyến khích học sinh nhận
ra và sử dụng toán trong mọi tình huống định lượng. May mắn là các tình huống
định lượng có thể được tìm thấy rất nhiều trong thực tế vì vậy chúng ta có nhiều cơ
hội để phát triển hiểu biết định lượng của học sinh thông qua chương trình” (Steen,
2001, [57]).
Chúng tôi tìm thấy rất ít các nghiên cứu thực hành liên quan đến việc phát triển
năng lực hiểu biết định lượng cho học sinh.
Kaiser và Willander (2005, [36]) đã báo cáo kết quả thực hiện một nghiên cứu thực
nghiệm nhằm đánh giá sự phát triển hiểu biết toán của học sinh trong một dự án đổi
mới dạy học nhấn mạnh đến ngữ cảnh thực tế và mô hình hóa tại Đức. Nghiên cứu
đã sử dụng 5 mức độ hiểu biết toán được xếp từ thấp đến cao dựa trên tiếp cận của
Bybee và tập trung vào (i) khả năng giải quyết các vấn đề thực tế bằng phương tiện
toán học, (ii) khả năng suy luận toán học, (iii) khả năng sử dụng các khái niệm và
phương pháp toán một cách linh hoạt, phản ánh. Phát triển hiểu biết toán được thực
hiện qua một năm đối với 31 học sinh lớp 7 và 8 được chọn từ 6 trường phổ thông
của thành phố Hamburg, đây là những học sinh có năng lực cao về toán để đảm bảo
có các kĩ năng toán cơ bản cần thiết cho việc giải quyết vấn đề. Kết quả nghiên cứu
cho thấy học sinh có những thay đổi đáng kể, thể hiện sự tiến bộ rõ rệt ở mức độ 3 –
nghĩa là hiểu các kiến thức, quy tắc toán học và có thể áp dụng linh hoạt trong nhiều
ngữ cảnh khác nhau. Ngược lại, ở các mức độ cao hơn (4 và 5) sự tiến bộ là rất ít.
18


Dingman và Madison (2010, [23]), Boersma (2011, [16]) đã mô tả những thành
công và thách thức trong quá trình thực hiện và phát triển khóa học Hiểu biết định
lượng đối với sinh viên ngành báo chí tại trường Đại học Arkansas ở Mỹ, đây là
một phần trong dự án quốc gia NSF. Khóa học, MATH 2183, được thiết kế để sinh

viên làm việc hợp tác theo nhóm, thảo luận và trả lời các câu hỏi liên quan đến
thông tin định lượng xuất hiện từ những bài báo được đăng tải trên các tạp chí. Dựa
trên kết quả có được từ khóa học và phân tích những điểm mạnh, điểm yếu của sinh
viên khi làm việc trong môi trường đòi hỏi hiểu biết định lượng, các tác giả đã đưa
ra những kết luận từ nghiên cứu này như nguồn tài liệu phục vụ giảng dạy khá hạn
chế, sinh viên gặp nhiều khó khăn khi giải quyết vấn đề, giáo viên thiếu kinh
nghiệm và sự linh hoạt khi xử lý các tình huống xảy ra trong lớp học… Tuy nhiên
qua 6 năm thực hiện, nhiều thách thức đã được cải thiện, kết quả của khóa học có sự
tiến bộ mặc dù khá khiêm tốn, nhiều sinh viên cảm thấy tự tin hơn về năng lực hiểu
biết định lượng của mình sau khi tham gia khóa học.
Ngoài ra, một số nghiên cứu báo cáo kết quả của việc phát triển năng lực hiểu biết
định lượng thông qua chương trình ở nhiều trường đại học của Mỹ đối với những
ngành học có các khóa học về toán. Để đánh giá, các nghiên cứu này thường sử
dụng một bài kiểm tra đầu vào đối với sinh viên năm thứ nhất và bài kiểm tra đầu ra
đối với những sinh viên đó ở năm cuối, ví dụ trường ĐH James Madison (Sundre và
Thelk, 2010, [63]), ĐH Miami (Ward, 2011, [69]), ĐH Michigan (Sikorskii, 2011,
[54]), rồi dựa trên kết quả thu được để so sánh, xem xét tính hiệu quả của chương
trình có tích hợp hiểu biết định lượng. Bên cạnh đó, một số trường xây dựng thang
đánh giá để đo các năng lực hiểu biết định lượng của sinh viên thể hiện qua hồ sơ
học tập hoặc dự án như trường ĐH Carleton, Hiệp hội các trường đại học Mỹ
AAC&U (Taylor, 2009, [65]).
Về phần các nghiên cứu trong nước, hầu như chưa có nghiên cứu nào đề cập đến
hiểu biết định lượng cũng như phát triển hiểu biết định lượng.

19


4. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của nghiên cứu này là tìm kiếm cách thức để phát triển các năng lực hiểu
biết định lượng của học sinh lớp 10 thông qua quá trình toán học hóa, trên cơ sở

nghiên cứu lý thuyết về mô hình hóa toán học, hiểu biết định lượng và chương trình
toán 10 nâng cao hiện nay.
Với mục đích trên, luận án sẽ trả lời các câu hỏi nghiên cứu sau:
4.1 Xây dựng quá trình toán học hóa như thế nào để có thể sử dụng phù hợp trong
chương trình toán phổ thông hiện nay?
4.2 Sử dụng quá trình toán học hóa như thế nào để có thể phát triển các năng lực
hiểu biết định lượng của học sinh?
4.3 Làm thế nào để đánh giá các năng lực hiểu biết định lượng thông qua quá trình
toán học hóa?
4.4 Năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp 10 phát triển như thế nào thông
qua việc sử dụng các tình huống toán học hóa trong dạy học toán?
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận án có nhiệm vụ nghiên cứu những vấn đề sau đây:
5.1 Nghiên cứu lý thuyết về mô hình hóa toán học và chương trình toán 10 nâng
cao hiện nay để tìm ra quá trình toán học hóa phù hợp với hướng nghiên cứu
của đề tài.
5.2 Phân tích mối liên quan giữa quá trình toán học hóa và các năng lực hiểu biết
định lượng để chứng tỏ rằng về mặt lý thuyết có thể sử dụng quá trình toán học
hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng.
5.3 Tìm hiểu các nội dung toán lớp 10 để thiết kế các tình huống toán học hóa tạo
cơ hội thúc đẩy học sinh phát triển các năng lực hiểu biết định lượng.
5.4 Xây dựng thang đánh giá giúp cho điểm các năng lực hiểu biết định lượng của
học sinh thông qua quá trình toán học hóa.

20


5.5 Phân tích mức độ phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp
10 thông qua việc sử dụng các tình huống toán học hóa trong dạy học toán?
6. Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận
-

Nghiên cứu các tài liệu về mô hình hóa toán học và hiểu biết định lượng.

-

Phân tích, tổng hợp các công trình nghiên cứu về các vấn đề thuộc phạm vi
nghiên cứu của đề tài.

6.2 Phương pháp điều tra
-

Điều tra kết quả học tập môn toán của học sinh để biết được khả năng toán của
lớp thực nghiệm tại thời điểm bắt đầu nghiên cứu.

-

Điều tra độ tin cậy của bộ công cụ đánh giá thông qua tiến hành thử nghiệm bộ
công cụ.

-

Điều tra tác động của nghiên cứu lên nhận thức, thái độ của học sinh đối với
các tình huống định lượng.

6.3 Phương pháp quan sát, phỏng vấn: Quan sát, phỏng vấn được tiến hành trong
suốt quá trình thực nghiệm để hỗ trợ quá trình phân tích.
6.4 Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các chuyên gia về phạm vi
nghiên cứu của đề tài.

6.5 Tổ chức dạy học thực nghiệm
-

Tổ chức dạy học thực nghiệm sư phạm để nghiên cứu sự phát triển các năng
lực HBĐL của học sinh.

-

Sử dụng phương pháp định tính và định lượng để xử lý, phân tích, giải thích
dữ liệu thu được.

7. Những đóng góp của luận án
7.1 Về mặt lý luận

21


-

Luận án đưa ra một cách phân loại các tình huống toán học và xây dựng quá
trình toán học hóa phù hợp với chương trình hiện nay.

-

Luận án bước đầu kiểm nghiệm được rằng có thể sử dụng quá trình toán học
hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh.

-

Luận án cũng đã đề xuất thang đánh giá giúp đo mức độ đạt được các năng lực

hiểu biết định lượng trong những nhiệm vụ toán học hóa chứa đựng yếu tố
định lượng.

7.2 Về mặt thực tiễn
-

Kết quả nghiên cứu cho phép chúng ta tin rằng học sinh lớp 10 chương trình
nâng cao có thể phát triển các năng lực hiểu biết định lượng thông qua bộ công
cụ được trình bày trong luận án.

-

Hệ thống các tình huống trong luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo
viên phổ thông, vận dụng vào thực tiễn dạy học theo hướng phát triển HBĐL
của học sinh.

8. Bố cục của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, nội dung chính của
luận án được trình bày trong 3 chương:
Chương 1. Toán học hóa và hiểu biết định lượng
Chương 2. Sử dụng toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

22


CHƯƠNG 1
TOÁN HỌC HÓA VÀ HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG
Để trả lời các câu hỏi nghiên cứu mà đề tài đặt ra, tiếp cận lý thuyết chúng tôi sử
dụng trong luận án này tập trung vào mô hình hóa toán học và hiểu biết định lượng.

Qua đó tìm hiểu, phân tích mối quan hệ giữa hai khái niệm toán học hóa và hiểu
biết định lượng cũng như xem xét việc sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy
học toán dưới quan điểm lý thuyết kiến tạo xã hội.
1.1 MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
Một trong những lý do mà toán học luôn chiếm thời lượng lớn của chương trình
giáo dục toán ở hầu hết các nước trên thế giới là vì lợi ích của toán học trong thực
tiễn, toán học được áp dụng dưới nhiều cách khác nhau trong nhiều môn học (vật lý,
hóa học, sinh học, địa lý, kĩ thuật), trong công việc và trong cuộc sống hàng ngày
của mỗi người (Muller và Burkhardt, 2007, [45]).
Theo Blum và Niss (1991, [11]), bên cạnh việc cung cấp cho học sinh những kiến
thức và kĩ năng liên quan đến toán học như khái niệm, định lý, công thức, quy tắc,
dạy toán cần giúp học sinh phát triển khả năng kết nối các kiến thức, kĩ năng đó để
giải quyết những tình huống thực tế. Khi sử dụng toán để giải quyết các vấn đề, tình
huống trong lĩnh vực ngoài toán thì mô hình toán học và quá trình mô hình hóa toán
học là những công cụ cần thiết.
Những thập kỉ gần đây, mô hình hóa toán học trong nhà trường ngày càng được
thúc đẩy nhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáo dục toán theo hướng thực tế, được
đặt ra bởi nhiều quan điểm giáo dục từ giữa thế kỉ 20 đến nay (Kaiser, 2007, [39]).
Vậy tại sao mô hình hóa toán học lại cần thiết đối với học sinh? Blum (1993, [12]),
Stillman (2010, [61]) đã đưa ra các lý do chính sau đây:

23


-

Mô hình hóa toán học cho phép học sinh hiểu được mối liên hệ giữa toán học
với cuộc sống, môi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho
việc học toán trở nên ý nghĩa hơn.

-

Mô hình hóa toán học trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán như một
công cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán, từ
đó giúp các em thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế. Khả năng sử
dụng toán vào các tình huống ngoài toán không phải là kết quả tự động của sự
thành thạo toán học thuần túy mà đòi hỏi phải có sự chuẩn bị và rèn luyện.

-

Mô hình hóa toán học góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện và
phong phú của toán học, giúp học sinh thấy được đó không chỉ là một ngành
khoa học mà còn là một phần của lịch sử và văn hóa loài người.

-

Các nội dung toán có thể được hình thành, củng cố bởi các ví dụ mô hình hóa
phù hợp, điều này giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển
thái độ tích cực của các em đối với toán, tạo động cơ, thúc đẩy việc học toán.

-

Mô hình hóa toán học là một phương tiện phù hợp để phát triển các năng lực
toán học của học sinh như suy luận, khám phá, sáng tạo, giải quyết vấn đề.

1.1.1 Các khái niệm cơ bản
Để làm cơ sở cho việc trình bày của luận án, dưới đây chúng tôi sẽ mô tả ngắn gọn
khái niệm của một số thuật ngữ liên quan.
Để dễ hình dung, các nhà giáo dục toán quan niệm là thế giới mà chúng ta đang
sống được xem như tách thành hai phần, thế giới thực và thế giới toán học.

-

Thế giới toán học: là phần thế giới bao gồm các đối tượng, kí hiệu, quan hệ,
cấu trúc toán học (Blum và Niss, 1991, [11]).

-

Thế giới thực: là thuật ngữ được sử dụng để mô tả phần thế giới bên ngoài thế
giới toán học, đó có thể là một môn học, một ngành khoa học khác, một lĩnh
vực thực hành, một phạm vi liên quan đến cuộc sống cá nhân hoặc xã hội
(Blum và Niss, 1991, [11]).
24